Григорьева Алиса Алексеевна
Не раз приходилось слышать фразу о том, что математика - страна без границ. Несмотря на свою банальность, фраза о математике имеет под собой очень веские основания. Математика в жизни человека занимает особое место. Мы настолько срослись с ней, что попросту не замечаем её.
А ведь с математики начинается всё. Ребёнок только родился, а первые цифры в его жизни уже звучат: рост, вес.
Малыш растет, не может выговорить слова "математика", а уже занимается ею, решает небольшие задачи по подсчету игрушек, кубиков. Да и родители о математике и задачах не забывают. Готовя ребенку пищу, взвешивая его, им приходится использовать математику. Ведь нужно решить элементарные задачи: сколько еды нужно приготовить для малыша, учитывая его вес.
В школе математических задач приходится очень много и сложность их с каждым годом растет. Они не просто учат ребенка математике, определённым действиям. Математические задачи развивают мышление, логику, комплекс умений: умение группировать предметы, раскрывать закономерности, определять связи между явлениями, принимать решения. Очень часто решения таких задач являются просто математическим расчётом.
Занятия математикой, решение математических задач развивает личность, делает её целеустремленнее, активнее, самостоятельнее. Вспомните хотя бы своего одноклассника, хорошо знавшего математику, быстро умевшего решать задачи. Его часто называли умником, математиком, "задачником". Он мог решить задачи, аргументировал свой выбор, мог критически оценить себя и своих одноклассников. Да и успеваемость по остальным предметам, кроме математики, оказывалась на порядок выше. Именно математическое мышление помогало ему в этом.
Казалось бы, что после школы математика нигде не пригодится. Увы! Тут приходится использовать математику ещё чаще. Во время учёбы в вузе, на работе и дома нужно постоянно решать задачи, и не только математические. Какова вероятность успешной сдачи экзамена по математике? Сколько денег нужно заработать, чтобы купить квартиру? Сколько можно получить, занимаясь математикой и решением математических задач? Каким должен быть объём вашего дома и сколько для этого нужно приобрести кирпича. Как правильно рассчитать, чтобы родилась девочка или мальчик? И тут на помощь придёт математика. Она следует за человеком везде, помогает ему решать задачи, делает его жизнь намного удобнее.
Стремительно изменяется мир и сама жизнь. В неё входят новые технологии. Только математика и решение задач в традиционном понимании не изменяют себе. Математические законы проверены и систематизированы, поэтому человек в важные моменты может положиться на неё, решить любую задачу. Математика не подведёт.
. Какова роль математики в жизни общества? 3. В чем состоят основные функции математического образования? 4. Каково содержание математического образования, его структура и технологическое обеспечение? [ссылка появится после проверки модератором] – mms.math-net.ru/history.php – На пороге третьего тысячелетия физико-математические науки переживают необыкновенный расцвет. Так ли велика роль математики в жизни общества? - Вся наша цивилизация основана на достижениях наук, в частности математики. www.hse.ru/pressa/mn/20011016.htm – Conference Information System Роль ММФ НГУ в науке, образовании и бизнесе» ЦЕЛИ КОНГРЕССА: Осмысление роли и места математики и математического образования в современном обществе. Формирование общественного мнения в пользу признания значения математики в жизни общества. [ссылка появится после проверки модератором] – Кому-то кажется малозначимым тот факт, что русский язык и математика опередили литературу. Чтобы отказ не был неожиданным, проверьте, соответствуете ли Вы программе. Определяющая роль способа производства в жизни общества.www.ucheba.ru/referats/26408.html – Сохраненная копия Другие страницы с сайта Гуго Штейнгауз. Статьи о математике ...короли, а позже, подобно им, она сохранила только корону и титул, т.е. место и роль математики были несомненны и ясны, но достаточно ограниченны. В одной из своих новелл Анатоль Франс пишет: « Один раз в жизни я видел справедливого судью — это...ega-math.narod.ru/Math/HugoS.htm – 221 Кб .[ссылка появится после проверки модератором] – 36 Кб Ярославский Педагогический Вестник В основной школе математика должна быть универсальной и единой, показывая свою роль и место в жизни общества и использовании в других науках. При этом особое внимание должно уделяться формированию у школьников средствами математики вычислительной...history.yar.ru/vestnik/novosti_i_problem...
.В чём цель математического образования (упорядочьте в соответ-
ствии со своими предпочтениями):
1) Подготовка в вуз,
2) Подготовка к будущей профессии,
3) Интеллектуальное развитие,
4) Формирование мировоззрения,
5) Ориентация в окружающем мире,
6) Физкультура мозга..
(На Конференции в Словакии в полной
Такой вопрос я задавал разным людям, ответы варьировались, но
всё-таки они группировались вокруг некоторых тем, многие из которых
были уже названы в приведённой анкете. Вот некоторые мотивировки
относительно важности математического образования для личности.
Математика встречается и используется в повседневной жизни, сле-
довательно определенные математические навыки нужны каждому че-
ловеку. Не правда ли, нам приходится в жизни считать (например,
деньги), мы постоянно используем (часто не замечая этого) знания о
величинах, характеризующих протяжённости, площади, объёмы, про-
межутки времени, скорости и многое другое. Всё это пришло к нам на
уроках арифметики и геометрии и сгодилось для ориентации в окру-
жающем мире.
Математические знания и навыки необходимы практически во всех
профессиях, прежде всего, конечно, в тех, что связаны с естествен-
ными науками, техникой и экономикой. Математика является языком
естествознания и техники и потому профессия естествоиспытателя
и инженера требует серьезного овладения многими профессиональ-
ными сведениями, основанными на математике. Очень хорошо ска-
зал об этом Галилей: .Философия [речь идёт о натурфилософии,
на нашем современном языке — о физике] написана в величествен-
ной книге, которая постоянно открыта вашему взору, но понять её
может лишь тот, кто сначала научится понимать её язык и тол-
ковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке
математики.. Но ныне несомненна необходимость применения мате-
матических знаний и математического мышления врачу, лингвисту,
историку, и трудно оборвать этот список, настолько важно матема-
тическое образование для профессиональной деятельности в наше
время. Следовательно, математика и математическое образование
нужны для подготовки к будущей профессии. Для этого необходи-
мы знания из алгебры, математического анализа, теории вероятности
и статистики.
Философское постижение Мира, его общих закономерностей и основ-
ных научных концепций также не возможно без математики. И потому
математика необходима для формирования мировоззрения.
Cделаем небольшую паузу. Именно об этих тpёх целях математи-
ческого образования говорил как-то Андрей Николаевич Колмогоров,
рассказывая о концепции проводимой им реформы школьного образова-
ния. Именно последними двумя причинами он объяснял необходимость
включения в школьный курс математики элементов математического
анализа. О каких-либо иных целях математического образования от
А. Н. Колмогорова я не слышал, но многим моим друзьям и коллегам
было что добавить к этому списку. Вот несколько примеров.
Есть две традиции в математическом образовании. Одна из них по-
строена на том, что человек должен уметь воспользоваться готовыми
приемами, другая — на том, что его прежде всего следует научить ду-
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 7
мать самого. Наши, российские, традиции всегда зиждились на разви-
тии интеллекта, и это явилось великим благом для нашего общества
в прошлом. Одна из наших целей в России — не дать угаснуть замеча-
тельным традициям российского образования.
Мы привели аргументы, мотивирующие цели образования в приве-
дённой выше анкете. Но нередко в дискуссиях обсуждаемая тема ещё
более расширялась.
Мои коллеги говорили, что математика должна способствовать
освоению этических принципов человеческого общежития. Освоение
ее призвана воспитывать в человеке интеллектуальную честность, объ-
ективность, стремление к постижению истины, она воспитывает также
способность к эстетическому восприятию мира, красоты интеллекту-
альных достижений, идей и концепций, познание радости человеческого
труда.
Было сказано уже, что математика является неотъемлемой частью
человеческой культуры, т. е. участвует в формировании духовного мира
человечества. Равно как искусство. И потому каждому человеку полез-
но знать некоторые фрагменты истории этой науки, имена ее творцов,
сущность их вклада в нее, ход научной эволюции, преодоление оши-
бок. Преподавание должно воспитывать уважение к авторитетам, но
воспитывать и творческий дух, и смелость в отстаивании истины, свой-
ственной великим творцам. Следует помнить слова Галилея: .Автори-
тет, основанный на мнении тысячи в вопросах науки, не стоит искры
разума одного единственного..
Прервём пока обсуждение вопроса о том, что может дать математика
личности.
Вторая объявленная нами тема — принципы математического обра-
зования.
Вот один из кардинальных вопросов: должен ли соблюдаться в во-
просах образования принцип свободы или оно в значительной мере
должно использовать элементы принуждения?
Мое поколение в Советском Союзе получало образование в те време-
на, когда основной целью человеческой жизни объявлялось служение
государству. Государство при этом контролировало все стороны жизни
каждой отдельной личности. Образование было единым для всех, все
учились по единым учебникам, единым программам, и возможность вы-
бора сводилась к минимуму.
Во многих странах Запада образование основывается на либеральных
принципах, и потому оно базируется на принципах личной свободы. Во
многих странах на Западе этот принцип соблюдается слишком расши-
рительно: ребёнку, например, дозволяется не знать таблицу умножения,
если он этого не хочет.
8 ТИХОМИРОВ В. М.
Некоторым парадоксом является то, что мои сверстники нередко но-
стальгически вспоминают свою школу, свой Университет, нашу систему
обучения и недоумевают, когда знакомятся с западными системами: об-
разование, получаемое там представляется им недостаточным.
Мне думается, что в новом веке следует избегать крайностей и ста-
раться найти компромисс. Разумеется, должен соблюдаться принцип
свободы. Очевидно, что человеку необходимо предоставить возмож-
ность выбора. Но без определенного стимулирования к получению
образования, к овладению многими накопленными человечеством цен-
ностями, массовое образование невозможно. Необходимо именно сти-
мулирование, создание атмосферы в обществе, когда культурность,
образованность, широта взглядов (невозможная без упорного труда по
овладеванию знаниями) были бы среди важнейших критериев оценки
личности. Человечеству предстоит решать столь трудные проблемы,
что без широкого слоя образованных и культурных людей ему не
справиться с ними. Я бы считал естественным, чтобы базовое обра-
зование, в начальном школьном этапе и на первых курсах вузов, было
бы в значительной мере единым, но чтобы каждому была понятна его
необходимость и разумность. А далее могло бы идти бы ветвление и
.многоуровневость..
Наряду с принципом свободы я бы в вопросах образования руковод-
ствовался бы ещё принципом разумного консерватизма, включающего
в себя преемственность, предполагающую взвешенный учёт положи-
тельного опыта, накопленного отечественным математическим об-
разованием.
Дифференциация образования, о которой говорилось, возможна двух
родов — так сказать, индивидуальная, позволяющая учащимся полу-
чать математическую подготовку разного уровня в соответствии со сво-
ими индивидуальными особенностями (это пока ещё очень трудно осу-
ществимая задача) и профильная — возможность выбора типа матема-
тического образования в старшем звене.
И, разумеется, должен осуществляться принцип непрерывности об-
разования для большинства учащихся: от дошкольного возраста до
окончания вуза (или его .обязательной стадии., если вуз не имеет
профиля, где математика изучается до самого конца).
Всё сказанное может послужить базой для описания структуры ма-
тематического образования.
Оно должно начинаться в дошкольном возрасте. Какие-то элементы
математики ребёнок должен получить до школы. Прежде всего от ро-
дителей, но также и в детских садах, группах и т. п. Надо позаботиться
о литературе и пропаганде обучения в этот дошкольный период.
При поступлении в школу разумно, быть может, поставить первый
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 9
сих пор ещё не отражено в наших университетских программах.
Необходима определённая ревизия этих программ. Для того, что-
бы университетское образование могло соответствовать современному
этапу развития науки, необходим, быть может, некоторый особый тип
.экспериментальных. университетов, где состав студентов был бы бо-
лее продвинут (и малочислен), где можно было бы отрабатывать новые
курсы, писать по ним учебники и постепенно внедрять их в тради-
ционное математическое образование. Такой университет был недавно
создан — это Независимый университет. Одной из его нынешних задач
является выработка глубоко продуманной программы. Кроме того, та-
кое учебное заведения, некоторые аналоги которого можно найти и во
Франции и в США, призвано создавать условия для появления учёных
высшего ранга (будущих Архимедов).
Математическое образование должно включать в себя обучение ком-
пьютерам, компьютерным технологиям и современным информаци-
онным возможностям. Это — веяния нового времени, но несомненно,
что новый век будет веком Компьютеров также, как были века Пара,
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ 15
Электричества, Атома. И надо иметь ввиду, что в самой математи-
ке происходят события первостепенной важности, которые необходимо
включать в математическое образование (теория катастроф, фракталы,
дискретная математика и т. п.)
Очень важной задачей представляется сохранение уровня самых пе-
редовых из сложившихся у нас университетов (Московского, С.-Петер-
бургского, Новосибирского, физтеха и т. п.). Из них, как уже объясня-
лось, могут быть почерпнуты кадры для решения сложнейших задач,
стоящих перед нашей страной. И здесь необходимы шаги по некоторому
модифицированию программ, написанию учебников по новым обяза-
тельным и специальным курсам. Не исключено, что грантовая система
должна включиться в эту работу — заказывать программы, учебники,
пособия и т. д.
То же самое, если не в б’ольшей степени относится к остальным вет-
вям высшего образования, особенно, инж
Цель программ по математике, их структура. Роль объяснительной записки и пояснений к отдельным математическим дисциплинам и темам. Содержание программ по математике начальной, восьмилетней и средней школы. Проблема преемственности в обучении математике. Вопросы политехнического обучения, межпредметных и внутрипредметных связей в преподавании математики
Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Кроме того, дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).
Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, является учебная программа по математике.
Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (начальная школа), 5-9 классах (девятилетняя школа), 10-11 классах (средняя школа).
Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобразовательную школу. Таким образом, все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.
Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.
"Ядро" современной программы по математике составляют: 1. Числовые системы. 2. Величины. 3. Уравнения и неравенства. 4. Тождественные преобразования математических выражений. 5. Координаты. 6. Функции. 7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования. 8. Векторы. 9. Начала математического анализа. 10. Основы информатики и вычислительной техники.
Каждый из вошедших в это "ядро" разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы. Вопросы их изучения будут подробно рассматриваться в специальной методике преподавания математики. Сейчас ограничимся отдельными краткими пояснениями.
Раздел "Числовые системы" изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже в далеком прошлом. Но с течением времени происходило значительное снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В настоящее время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела - "Комплексные числа".
Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.
Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость этой темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.
Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.
Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.
Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.
Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.
Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.
Последний из разделов - основы информатики и вычислительной техники - отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику электронновычислительных машин.
Как отмечалось ранее, новые научные достижения, их развитие и внедрение в практику приводят к пересмотру школьного курса математики. Происходит идейное и прикладное обогащение курса. Кроме того, из содержания школьного образования исключаются менее важные разделы и на смену им приходят новые вопросы, приобретающие более высокую как теоретическую, так и практическую ценность. С развитием математики и ее приложений возрастает число разделов, обоснованно ждущих своего включения в школьный курс математики. Но возможности общего среднего образования небеспредельны, они ограничены как сроком обучения, так и пределами разумной учебной нагрузки учащихся. Несмотря на то что уже сейчас стало ясным, что для всеобщего среднего образования важно иметь в курсе средней школы элементы теории вероятности, статистики, что важно строить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики, эти назревшие вопросы оказались весьма сложными для их практической реализации. Возможные формы включения ряда новых разделов в обязательный курс математики средней школы пока не найдены. В связи с этим обсуждается вопрос о том, что именно из прикладных вопросов должно войти в школьное обучение в ближайшем будущем. В то же время высказывается и такое мнение, что в программу не надо вводить специальных разделов прикладной математики, а идти по пути включения в курс таких тщательно отобранных задач, решение которых приводит к рассмотрению ситуаций, которые нужно математизировать, чтобы прийти затем к математическим моделям. Таким образом, предполагается установить более тесную взаимосвязь теоретического содержания математического образования с практикой применения учащимися приобретаемых математических знаний.
Пока все эти и ряд других, важных в своем прикладном значении разделов математики изучаются в школьных факультативах на внеклассных занятиях. Из сказанного видно, что с течением времени содержание школьного математического образования расширяется. Возникает вопрос: каким образом всевозрастающий объем школьного курса математики остается возможным изучать в примерно остающееся стабильным учебное время?
Как показывает история развития школьного математического образования, это становится выполнимым в результате: 1) происходящего в изучаемом предмете процесса обобщения (генерализации) входящих в него понятий, рассматриваемых фактов; 2) все возрастающего применения математических знаний и их приложений в повседневной практике, что приводит к предварительному ознакомлению детей в их жизненном опыте с понятиями, подлежащими изучению; 3) совершенствования методов и средств обучения. Включение в школьный курс основных разделов становится возможным, если каждый из перечисленных факторов учтен в должной для этого мере.
Выделенное ядро школьного курса математики составляет основу его базисной программы, в которой материал расположен не по классам, а по ступеням обучения ( 1-3, 5-6, 7-9, 10-11 классы) и излагается согласно логике развития ведущих научно-методических линий.
Базисная программа обязательна для всех учебных заведений, дающих среднее образование, она является для них исходным документом для разработки тематических программ. В тематической программе для средней школы, кроме распределения учебного материала по классам, излагаются требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся, раскрываются межпредметные связи, примерные нормы оценок. В программе подробно освещаются вопросы формирования научного мировоззрения, воспитания учащихся в процессе обучения.
В содержании математического образования, в результатах, которые должны быть получены в процессе обучения, можно выделить следующие аспекты: 1. Совокупность необходимой для усвоения и запоминания информации. 2. Система выводимых одно из другого понятий. 3. Совокупность приобретаемых оперативных навыков. 4. Система взаимосвязанных способностей.
В последние десятилетия предметом острых дискуссий стали вопросы о том, какова в современных условиях значимость каждого из этих аспектов. Не происходит ли постепенная утрата значимости аспектов 1 и 2 при возрастающей значимости для результатов процесса обучения аспектов 3 и 4?
Но становится все более очевидной необходимость одинаково большого внимания к каждому из этих аспектов, причем каждый из них получает свое развитие, приобретает новые особенности.
Нарушение этого требования влечет за собой отрицательные последствия, и прежде всего возникновение формализма в математической подготовке учащихся: и приобретаемые учащимися знания не становятся опорой для осознанного приобретения необходимых практических навыков; получаемые практические навыки, не подкупленные знаниями, быстро утрачиваются или применяются там, где эго применение не является необходимым и даже не имеет смысла.
ext.spb.ru
Доклад на тему «Математика в моей жизни»
Когда я пришёл в первый класс, я думал, что математика нужна только для того, чтобы быстро считать. Поговорив с родителями, я понял, что математика – очень нужная наука. Люди всех – или почти всех профессий используют математику. Нельзя нормально работать с компьютером без знания математики. Нужна математика и в повседневной жизни: например, при кройке платья, приготовление пищи на много человек или при денежных расчётах. Трудно представить, как жили бы люди, если бы не умели считать, измерять, сравнивать. Этому учит математика. Без математики в жизни невозможно стать лучшим специалистом. Потому что математика нужна везде.
Отрывки из сочинений учеников 5 класса….
«Математика – царица наук»
.
Джаджиева Лана 5 класс.
«Математика нужна каждому человеку. Она занимает первое место в мире. Её изучают везде. Для поступления в институт. Математикой прежде всего пользуются на рынке. Её изучают в школе. Благодаря математике, развивается ум человека».
Кокоева Алана 5 класс.
«Мой папа — жестянщик. Он выполняет расчеты, чтобы правильно изготовить ворота и другие изделия. Если допустить ошибки, придется все переделывать, а это займет много времени и сил. Считаю, то математика играет большую роль в жизни и работе».
Байсангурова Анжела 5 класс.
«Моя мама работает воспитателем в детском саду.Каждый день она считает детей, отмечает отсутствующих. Важно соблюдать режим дня. Воспитатель проводит занятия на которых знакомит ребят с геометрическими фигурами, цифрами».
Дудуаев Сослан 5 класс.
«Моя мама работала на заводе сопротивлений. Они изготавливали радио-детали, Они их считали. Мой папа — кровельщик. Он должен выполнять точные расчеты материала...»
Наниев Аврам 5 класс.
«Моя мама работает на кирпичном заводе. Они упаковывают кирпич по 500 штук в одной упаковке. Для этого нужно знать математику. Мой дедушка работает в цехе и ему тоже нужна математика. Он снимает размеры стульев и столов».
Марзоев Заур. 5 класс
«Математика мне нужна, как и любому человеку. Где бы я не находился дома, в пути, везде и всюду нужна математика. Моя мама работает в Доме культуре. Математика ей нужна при составлении сметы на все календарные праздники».
Когда на уроках математики нас познакомили с геометрическими фигурами: квадратом, ромбом, прямоугольником, окружностью, кругом и другими, я почувствовал особое расположение к кругу. Может потому, что в кругу друзей мне очень комфортно, или потому, что земля круглая, солнце, согревающее нас теплом, круглое. А может потому, что глаза у светофора тоже круглые, и они целых 100 лет помогают человеку уверенно переходить дорогу. Куда бы мы не посмотрели – это мир геометрии. Геометрия- наука древняя.
По мнению психологов, круг в мифологии считается гармоничной и мягкой фигурой. Придающей человеку, выбирающему круг, высокую степень деликатности.
Геометрия, предоставляющая знания о принципах творения, выраженных в геометрических формах, называется Сакральной геометрией.
Сакральные геометрические формы не являются просто произведениями искусства. Воспринимать их надо в связи с теми сокровенными явлениями, которые они помогают выразить и украсить. Символ Цветка Жизни встречается повсюду в мире.
Элемент ее построения - круг. По форме совпадает с колесом мира, цветком лотоса, розы. Цветок Жизни - это простой геометрический узор, заключающий в себе все тайны мироздания. Геометрические образы взаимосвязаны со всеми элементами существования.
Цветок жизни – один из древнейших символов человечества, обозначающий бесконечность нашей вселенной. Этот символ состоит из 19 кругов и 12 полушарий. Существует множество способов применения цветка в нашей жизни, и в этом нам поможет сакральная геометрия. Сакральную геометрию начали изучать тысячи лет назад. Это учение о силе, которая влияет на все аспекты нашей жизни.
Символ цветка жизни, символ живой творческой силы, которая создает все, что нас окружает, можно найти во многих культурах мира. С помощью него мы можем познать универсальное единство, братство и свободу.
Цветок жизни был обнаружен в различных местах нашей планеты: в Египте на горе Синай; в Израиле; во многих дворцах Китая и Японии; в горах Тибета; в Индии, Испании, Греции; Знания о местонахождении цветка жизни не принесут нам никакой пользы до тех пор, пока мы не начнем раскрывать этот цветок внутри себя.
Круги и круговороты можно найти во всех культурах нашей планеты, во все времена и во всех измерениях. Существуют природные круги в форме листьев деревьев, цветов и грибов. Так же существуют круги, которые были созданы человеком, такие как дворцы, храмы, круги из камней. Круговороты – это повторяющиеся циклы и ритмы. Каждый день мы находимся в круговороте, проживая утро, день, вечер и ночь. И так каждые неделю, месяц, год.
Закройте на момент свои глаза и представьте перед собой круг. Где в вашей жизни вы его встречали?Цветок жизни – геометрическое изображение, основанное на форме нашей вселенной, являющееся многомерным. Оно может привести нас и нашу внутреннюю вселенную в состояние равновесия. Как и где можно применить цветок жизни?
С помощью цветка жизни мы можем получать новые знания, лечиться или лечить. Он может помочь нам победить хаос и наладить божественный порядок в своей жизни. Он может помочь нам в лечении, познании и восстановлении собственного совершенства.
Первое, что мы должны сделать, – это восстановить с помощью цветка полную гармонию в нашей жизни. Круг за кругом мы будем познавать цветок жизни, и становиться к нему все ближе.
Семь кругов и их значения:
Первый круг: символ солнца .
Второй круг: овал – отверстие, полярность – связь с миром.
Третий круг: – треугольник – знак Бога.
Четвертый круг: символ земли – квадрат , связь с землей.
Пятый круг: трапеция - внутренний мир.
Шестой круг: энергетическая волна – два знака волны – энергетическая река.
Седьмой круг: цветок – создан первый цветок жизни. Я люблю жизнь.
Первые семь кругов символизируют семь дней сотворения мира. Каждый круг соответствует одному дню. Эти круги обозначают также семь направлений (восток, юг, запад, север, лево, центр, право), семь дней недели.
Уважай тот круг, в котором ты вращаешься!
Ответьте на следующие вопросы.
– Где в своей жизни вы встречаете круги?
– В каких кругах вы вращаетесь?
– Какие круги вы прошли полностью?
– Какие круги еще остаются неоконченными?
– В каком секторе круга вы находитесь?
Успех – это когда дело доведено до его логического завершения. Если мы, например, работаем над каким-либо проектом, то он, лишь тогда ’увидит свет’, когда мы его проработаем до конца. Так, как будто мы дорисуем до конца круг.
infourok.ru
АСТРАХАНСКОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ № 1
РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ
НА ТЕМУ:
МАТЕМАТИКА В ЖИЗНИ ОБЩЕСТВА
Выполнил: студент гр. 2А
Сабиров А.В.
Проверила: Рябова Н.Ю.
АСТРАХАНЬ 2005
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
I. Математика в системе знаний
II. Современная математика и стиль научного мышления
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Название «математика» происходит от греческого слова «матейн» (mathein) — учиться, познавать. Древние греки вообще считали, что понятия «математика» (mathematike) и «наука», «познание» (mathema) — синонимы. Им было свойственно такое понимание универсализма этой отрасли знания, которое два тысячелетия спустя выразил Рене Декарт, писавший: "К области математики относят науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое...; таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов.. ."
Другое объяснение происхождения слова «математика» связано с греческим словом «матема» (mathema), что означает урожай, сбор урожая. Разметка земельных участков (геометрия), определение сроков полевых работ (на основе астрономических наблюдений и вычислений), подготовка необходимого количества посевных материалов и подсчет собранного урожая требовали серьезных математических знаний.
Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.
Целью данного реферата является рассмотрение и изучение роли математики в жизни общества.
За время своего существования человечество прошло огромный путь от незнания к знанию и от неполного знания к более полному и совершенному. Несмотря на то, что этот путь привел к открытию многих законов природы и к построению захватывающе интересной картины мира, каждый день приносит новые открытия, новое проникновение в недостаточно изученные, а порой и полностью неизвестные тайны природы. Но для того, чтобы продвинуться в область неизведанного как можно дальше и поставить на службу обществу новые силы природы, наука должна смело врываться в те области знания, которыми человечество интересовалось еще недостаточно серьезно или которые из-за сложности господствующих там явлений казались недоступными нашему познанию.
На глазах нашего поколения наука сделала колоссальный шаг в изучении законов природы и в использовании полученных знаний. Достаточно сказать о поразивших воображение успехах в покорении космоса и исследованиях внутриатомных явлений, а также о первых операциях на сердце. То, что было так недавно еще неизвестным, за пределами представлений людей и тем более вне их практической деятельности, теперь стало привычным и вошло в нашу жизнь. Успехи медицины позволили вернуть к активной жизни многих, казалось бы, безнадежно больных людей, для которых была потеряна радость восприятия красоты окружающего мира.
Математика начинает приобретать все большее значение в экономике, организации производства, а также в социальных науках.
Положение математики в современном мире далеко не то, каким оно было сто или даже только сорок лет назад. Математика превратилась в повседневное орудие исследования в физике, астрономии, биологии, инженерном деле, организации производства и многих других областях теоретической и прикладной деятельности. Многие крупные врачи, экономисты и специалисты в области социальных исследований считают, что дальнейший прогресс их дисциплин тесно связан с более широким и полнокровным использованием математических методов, чем это было до настоящего времени.
За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжении которого неоднократно изменялся еехарактер, содержание и стиль изложения. От первичных представлений об отрезке прямой как кратчайшем расстоянии между двумя точками, от предметных представлений о целых числах в пределах первого десятка математика пришла к образованию многих новых понятий и сильных методов, превративших ее в мощное средство исследования природы и гибкое орудие практики. От примитивного счета посредством камешков, палочек и зарубок на стволе дерева математика развилась в обширную стройную научную дисциплину с собственным предметом исследования и специфическими глубокими методами. Она выработала собственный язык, очень экономный и точный, который оказался исключительно эффективным не только внутри математики, но и в многочисленных областях ее применений.
Как ни велики успехи научного познания, мы замечаем множество проблем, еще недостаточно исследованных и требующих дополнительных усилий, порой очень значительных. Назовем процессы мышления, причины развития психических заболеваний, управление познавательной деятельностью. В то же время мы все отдаем себе отчет в том, как важно возможно быстрее продвинуть вперед наше понимание этих явлений. Действительно, если бы нам были известны достаточно точно процессы мышления, то это позволило бы облегчить и ускорить обучение детей и взрослых, приобрести новые возможности в лечении психических заболеваний. Но эти задачи настолько сложны, что чисто экспериментальными путями их разрешить нет никаких надежд. Необходимо привлечь совсем иные возможности познания, в частности путь математического моделирования этих процессов и последующего получения логических следствий, уже доступных непосредственному наблюдению. Этот прием оправдал себя во многих областях знания — в астрономии, физике, химии и пр.
Мы до сих пор говорили о математике лишь как об орудии исследования в других областях знания и практической деятельности. Этот аспект тесно связан с прогрессом самой математики, с расширением поля ее исследований, развитием ее основных понятий и созданием новых концепций. Пока же мы ограничились лишь взглядом на нее с позиций потребителя, с позиций определения ее ценности для развития человеческой культуры и общественного благосостояния. В этом плане математика занимает совершенно выдающееся положение. И хотя она сама не производит материальные ценности и непосредственно не изучает окружающий нас мир, она оказывает в этом неоценимую помощь человечеству.
Рассмотрение вопроса влияния математики на изменение самого стиля научного мышления, на изменение традиционных способов умозаключений представляет несомненный интерес хотя бы потому, что оно позволяет глубже проникнуть в перемены, происшедшие в современном научном мышлении, понять их причины, а такженеизбежность этого явления.
Познание предмета не осуществляется вдруг, а проходит ряд последовательных ступеней. Сначала человек наблюдает за явлением и подмечает некоторые его особенности. Затем, с целью уточнения полученных сведений, наступает пора проведения эксперимента, т. е. наблюдений за интересующим нас явлением в достаточно строго соблюдаемых условиях. Одновременно происходят попытки объяснения подмеченных фактов на базе имеющихся общих представлений. Создаются основы теории этого явления. Из этой теории выводятся следствия. По совпадению полученных следствий с ходом явления судят о соответствии теории истинному положению дел.
Если теория позволяет получить сведения о фактах, которые ранее не наблюдались, а затем по указаниям теории они обнаружатся в действительности, то теория получает веское подтверждение.
Но теория может носить чисто качественный характер, в котором даже не предусмотрена сама возможность производства количественных выводов. До последнего времени к этому типу теорий относилась медицина. В значительной мере и экономика находилась на этом уровне. Педагогика также принадлежит к теориям качественного типа. Это свойственно теориям явлений очень сложных, в которых до количественных закономерностей добраться исключительно трудно и сами такие закономерности носят весьма сложный характер. Может при этом случиться, что привычный математический аппарат для их изучения еще даже не создан. Но это не значит, что не нужно делать попытки использовать количественный подход к этим сложным явлениям или хотя бы к отдельным, частным их вопросам. Количественно оформленные теории дают несравненно большие возможности для получения выводов, и притом выводов, которые можно проверить точными приемами. В качественной теории удовлетворяются выводами такого типа: «При нагревании проводов износ их изоляции увеличивается». Для практики такого типа вывод имеет лишь ограниченный интерес, поскольку для нее важно знать, как быстро растет этот износ с увеличением температуры проводов. Только знание таких количественных связей может позволить выбирать оптимальный в том или ином смысле режим.
Человечество очень давно подметило действие рычага и пользовалось им с незапамятных времен. Однако лишь количественная его теория позволила делать предварительные расчеты и предвычислять те силы, которые необходимо приложить, чтобы получить необходимый эффект. Но этот шаг в развитии наших знаний был сделан на весьма высокой стадии прогресса научной мысли.
Однако привлечение математических методов в науку неизбежно влечет за собой и необходимость привлечения самого стиля математического мышления: четкую формулировку исходных положений, полноту проводимой классификации, строгость логических заключений. Об этих моментах и пойдет теперь речь.
В математике всегда перечисляется та совокупность исходных положений, в которых решается задача. Поэтому и полученный результат, вообще говоря, верен только тогда, когда эти исходные положения выполнены. Возьмем для иллюстрации этого утверждения хорошо известную каждому из нас еще с детства теорему Пифагора о соотношении между длиной гипотенузы и длинами катетов. Эта теорема верна для всех прямоугольных треугольников евклидовой плоскости. Если же рассматривать прямоугольные треугольники на какой-либо другой поверхности, например на сфере, то теорема Пифагора, вообще говоря, будет неверна. Именно поэтому в математике требуется перечисление всех условий, в которых верен результат, и не допускается присоединение понадобившихся в процессе рассуждений дополнительных предположений. Такая скрупулезная точность в перечислении условий теорем и во всем изложении, берущая свое начало в математике еще со времен эллинизма, долгое время была присуща только ей. В других научных дисциплинах, а также в практической деятельности к этой отточенной строгости относились в лучшем случае безразлично.
Аксиоматический метод изложения, принятый в геометрии со времени древних греков, в XIX веке получил более широкое развитие. В работах итальянских геометров, а позднее в знаменитом произведении Д. Гильберта (1862— 1943) «Основания геометрии» были тщательно изучены сами аксиомы Евклида. При этом оказалось, что классических аксиом далеко не достаточно для строго логического построения евклидовой геометрии, что в процессе логических рассуждений в классической геометрии при доказательстве теорем прибегают к дополнительным соображениям интуитивного характера, которые не содержатся в сформулированных аксиомах. Гильберт тщательно проанализировал исходные положения геометрии Евклида и сумел довести до конца процесс выделения исходных положений, начатый в Древней Греции.
Позднее на этот же путь четкого перечисления исходных положений теории встали алгебра, механика, теория вероятностей и ряд других областей математической мысли. При таком способе изложения всегда известно, о чем идет речь, и нет опасности привнесения соображений интуиции при правильных рассуждениях в окончательный результат, нет возможности множественности суждений об одном и том же предмете.
Эта простая мысль — рассматривать хорошо определенные понятия и относительно них делать заключения, базирующиеся на определенных исходных положениях, аксиомах — в наши дни широко входит в обиход науки и практической деятельности. Такой подход, примененный к правилам грамматики, показал, что они не обладают полнотой определения. Положение спасает привычка повседневного разговорного языка, в результате чего некоторый дефект определений не играет серьезной роли при употреблении родного языка. Однако любая попытка передать автомату конструирование фраз по определенным правилам грамматики или же перевод с одного языка на другой неизбежно приводит к ошибкам, к многочисленным возможностям неправильных оборотов речи. А такого рода общений человека с машиной в наши дни много, и у нас должна быть уверенность в том, что машины правильно воспримут указания и сделают именно то, что им задано.
В связи с первыми шагами человечества в завоевании космоса становится актуальной проблема общения человечества с другими цивилизациями, с которыми возможно придется встретиться во время космических полетов. При этом неизбежно возникнет задача общения. Ясно, что французского, английского или русского языка для этого недостаточно. Пока проблемами этого рода занимаются в первую очередь писатели-фантасты. Они предлагают решение, которое может и не осуществиться в действительности: представители других цивилизаций находятся на столь высокой ступени интеллектуального развития, что уже обладают совершенными автоматами-переводчиками, которые автоматически настраиваются на язык прибывшего к ним космонавта и ведут с ним беседу на его родном языке. Однако об этой проблеме размышляют и ученые. Они исходят из другого предположения. Если нам придется встретиться с представителями внеземных цивилизаций, то они будут владеть элементами формальной логики и обладать основами геометрических представлений. Поскольку законы мира едины, то и законы логики и первичные геометрические понятия землян и представителей внеземной цивилизации будут одинаковы.
Однако необходимость математического подхода к строгости и точности определений и логических рассуждений нужна не только для подобных, пока весьма отдаленных перспектив, но и для дел, независимо от того, касаются ли они лингвистики, юриспруденции, инженерного дела или экономики. В течение ряда лет я был довольно тесно связан с врачами, занимаясь совместными исследованиями по объективизации диагностики сердечных заболеваний. Меня поразило наличие почти что математического стиля мышления в основном коллективе врачей — сотрудников института сердечных заболеваний. Анализ состояния каждого больного проводился с поразительной логической скрупулезностью, свойственной до последнего времени лишь математическим исследованиям.
Вторая сторона математизации мышления состоит в том стремлении, которое теперь наблюдается, — выводить из строго сформулированных начальных положений логические следствия и затем эти следствия подвергать непосредственному наблюдению. При этом особую ценность приобретают те теоретические построения, которые позволяют привлечь к получению логических заключений разнообразный аппарат дедуктивной математики. При этом удается воспользоваться огромным объемом уже полученных математикой выводов. Этим пользуются в математике уже давно.
Почти два столетия назад возникла математическая физика, которая на базе основных положений, выведенных из наблюдения и опыта, получает обширные следствия математическим путем. Так развивались геометрическая и волновая оптика, так шло развитие акустики и электродинамики. В еще большей мере этот путь оправдал себя в современной физике, имеющей дело с атомными и субатомными явлениями. Математическая теория приводила к выводам, согласно которым должны существовать ранее ненаблюдавшиеся элементы материи. Эти выводы сравнивались с результатами наблюдений, и эти сравнения приводили к интересным и важным следствиям: подсчету величин массы и заряда частицы; ее взаимосвязей с ранее наблюдавшимися частицами и т. д. Иногда проходили годы, прежде чем удавалось подтвердить выводы математической теории экспериментально. Современная физика полна такими математическими предвычислениями реальных явлений, о которых не было известно ничего и которые позднее были обнаружены путем сложных экспериментов, специально продуманных на основе математической теории.
Нетрудно привести многочисленные примеры того, как математический стиль мышления приносил пользу в других областях знания — биологии, экономике, организации производства. Вспомним, для примера, что электротехника и радиотехника излагаются как математические дисциплины и используют разнообразный и весьма сложный математический аппарат. Это полностью себя оправдывает, поскольку позволяет производить своевременно расчеты, прогнозировать течение процессов, получать возможность управления процессами.
Мы говорили о том, что качество любой теории реальных явлений проверяется практикой и постановкой соответствующим образом организованных экспериментов. Однако математика вмешалась и в вопросы организации самого эксперимента: как следует организовать наблюдения, чтобы извлечь при том же количестве испытаний максимум информации? Эта проблема важна, поскольку на испытания в промышленности, на эксперимент в научных лабораториях и конструкторских бюро затрачиваются теперь огромные материальные средства и человеческие усилия.
Сейчас уже созданы основы математической теории эксперимента, которая позволяет значительно сокращать число необходимых наблюдений, их стоимость и длительность для получения обоснованных выводов. Порой этот выигрыш весьма велик — в десятки раз (по стоимости я затраченным усилиям). Основная идея, которая при этом используется, состоит в том, чтобы учитывать результат предшествующих испытаний и производить каждое последующее испытание так, чтобы оно уточняло уже полученные сведения.
Появление ЭВМ изменило отношение людей к возможностям математики при решении жизненных вопросов. Оказалось, что на машины можно переложить не только производство громоздких вычислительных работ, но и осуществление логических выводов. Но для того, чтобы это стало возможным, требуется предварительно составить логико-математическую модель явления или процесса, выявить связи и имеющиеся количественные соотношения. Иными словами, нужно подвергнуть процесс предварительному математическому и логическому анализу. Перед человечеством открылся новый, очень мощный метод исследования, нашедший почти немедленно широчайшее применение в самых разнообразных областях знания, как в науке, так и в непосредственной практике. В результате множество лиц, ранее скептически относившихся к возможностям математики, стали приверженцами ее использования и с увлечением стали применять математический стиль мышления, математические методы к интересующим их проблемам.
Наличие математических машин к тому же позволяет в фантастически короткие сроки осуществлять грандиозные вычисления, еще совсем недавно недоступные прежним средствам вычислительной техники. Трудности вычислений переместились в вопросы создания соответствующих языков программирования, в составление программ вычислений, в создание приемов автоматического выбора нужной программы самой машиной, разработки теории ошибок массовых вычислений и т. д. Математика же и математики освободились от необходимости производства многочисленных элементарных чисто технических операций.
Но одновременно на специалистов легла более сложная и интересная совокупность работ: составление моделей, разработка приемов общения человека с машиной, изучение возможности автоматического сбора экспериментальных данных и их обработки и т. д. Весьма существенно обогатилась проблематика математических исследований. Так изменение стиля научного мышления в сторону его математизации заставило прогрессировать саму математику, значительно расширять арсенал ее орудий и методов исследования разнообразных явлений окружающего нас мира.
В заключении подведем основные итоги реферата.
Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки. Математику можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она является всеобщей научной дисциплиной. Функции математики в равной мере являются функциями гуманитарными, поскольку направлены на совершенствование материальной и духовной сфер человеческого бытия.
При изучении математики осуществляется развитие интеллекта школьника, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями.
Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность.
Изучение математики также способствует формированию гражданских качеств личности посредством воспитания свойства, которое мы называем интеллектуальной честностью, благотворно сказывается на умственном, нравственном и эстетическом развитии учащихся.
Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются навыки самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.
Учитывая внутреннее логическое единство математики, органическую взаимосвязь ее частей, важнейшим требованием к организации ее преподавания должны стать последовательность и преемственность в обучении, видение на всех его этапах основной цели. Этой целью является накопление специальных знаний, овладение приемами постановки и решения математических задач и на их базе развитие интеллекта учащихся, формирование у них культуры мышления, воспитание волевых качеств личности, умения преодолевать трудности, эстетическое развитие, базирующееся на способности оценить красоту научных построений и радости от обретения нового знания.
Таким образом, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса гуманитарных задач и имеет большое значение в жизни общества.
Нет сомнений, что математика и математический стиль мышления совершают сейчас триумфальный марш как в науке, так и в ее применениях. Учащиеся, студенты должны в какой-то мере почувствовать это и относиться к математике с большим интересом, увлечением и пониманием необходимости математических знаний, как для будущей их деятельности, так и для жизни человеческого общества.
1. Б.В. Гнеденко Математика в современном мире. – М.: Просвещение, 1990г. – 128 с.
2. Е.А. Беляев, В.Я. Перминов «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, — 214 с.
3. Н.И. Жуков «Философские проблемы математики», Минск, 1977, -95 с.
4. Непостижимая эффективность математики в естественных науках:— 1991, № 10, с. 23.
www.ronl.ru
