МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическими приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.
М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодичные исследования, которые нельзя в строгом смысле отнести к математике.
В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технического характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математического Аппарата, а значит, и экономико-математических моделей задач.
Задача выявления оптимальных способов — одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z - выпуклый компакт. С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z - выпуклый замкнутый конус.
Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача производственного планирования.
Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z, b}, где X - пространство ингредиентов, Z - множество производственных возможностей, b - задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.
Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) Здесь — (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной момент времени, где х k - количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной интервал из состояния х. Будем называть
графиком отображения а. Точки (х, у ).- допустимые производственные процессы.
Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики.
С экономической точки зрения интерес представляют траектории, на которых достигается максимально возможный темп роста экономики, который она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а такие траектории являются стационарными, т. е. имеют вид
где а — темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.
При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная траектория, независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.
Модель экономической динамики, у которой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин «замкнутый» используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), который задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, А и В порядка
Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений
где X - потоки продуктов, Аи В - матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С - потоки конечного потребления.
Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах.
Математическая экономика имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное программирование, линейные экономические модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.
Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономического равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений
где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. разность функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:
Функция избыточного спроса F задается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия.
Экономическое равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, который является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.
www.ronl.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическими приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.
М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодичные исследования, которые нельзя в строгом смысле отнести к математике.
В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технического характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математического Аппарата, а значит, и экономико-математических моделей задач.
Задача выявления оптимальных способов — одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z - выпуклый компакт. С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z - выпуклый замкнутый конус.
Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача производственного планирования.
Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z, b}, где X - пространство ингредиентов, Z - множество производственных возможностей, b - задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.
Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) Здесь — (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной момент времени, где х k - количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной интервал из состояния х. Будем называть
графиком отображения а. Точки (х, у ).- допустимые производственные процессы.
Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики.
С экономической точки зрения интерес представляют траектории, на которых достигается максимально возможный темп роста экономики, который она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а такие траектории являются стационарными, т. е. имеют вид
где а — темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.
При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная траектория, независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.
Модель экономической динамики, у которой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин «замкнутый» используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), который задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, А и В порядка
Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений
где X - потоки продуктов, Аи В - матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С - потоки конечного потребления.
Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах.
Математическая экономика имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное программирование, линейные экономические модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.
Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономического равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений
где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. разность функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:
Функция избыточного спроса F задается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия.
Экономическое равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, который является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.
www.ronl.ru
Введение.
Глава
1. Математика в экономике.
Глава
2. Исторические сведения.
Глава
3. Принцип Моделирования.
Заключение.
Список литературы.
Содержание
Выдающемуся российскому генетику Н.В.Тимофееву-Рессовскому принадлежат слова: «Бог создал природу так, что все важное просто, а все сложное не нужно». Американцы говорят: «Он недостаточно умен, чтобы делать простые вещи». Формула Альберта Эйнштейна Е=mc 2 - одна из самых простых и одновременно содержательных научных моделей. Как говорил А. Энштейн: «Модель должна быть настолько простой, насколько возможно, но не более того».
Математическая модель — это описание объекта на математическом языке. Математика — мощный инструмент, применимый к любым отраслям человеческой деятельности. Можно выделить три главных этапа математического моделирования. Сначала объект исследуется методами конкретной науки (физики, экономики, медицины и т. д.).
Затем его существенные свойства описываются на математическом языке, т. е. создается математическая модель.
Теперь можно забыть о физическом, экономическом или ином содержании модели и исследовать ее чисто математическими формальными методами. Когда получен математический результат, необходимо вернуться к конкретной науке и проверить его методами данной науки.
Главная проблема на этом этапе - выявить содержательную связь между полученными результатами и исходными данными.
Если такая связь не обнаруживается, то это возможно по двум причинам: либо неадекватна модель, либо допущена ошибка при математическом анализе. Следовательно, нужно исправить ошибку, либо реконструировать модель и снова проделать анализ. Возможно, придется несколько раз выполнить все эти процедуры, прежде чем будет получен удовлетворительный результат.
В экономико-математическом моделировании самое сложное — увидеть в экономической проблеме математическое содержание. Для этого требуется хорошо понимать экономическое содержание проблемы и владеть необходимым математическим инструментарием.
А что думают о применении математики в других науках сами математики? Вот что по этому поводу писал выдающийся русский математик А.Н.Колмогоров. «Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода неограниченна.
Однако роль и значение математического метода в различных ситуациях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления.
Если все трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией.
Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности, создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадем в сферу господства математического метода".
Если проблема качественно уже хорошо определена, к ее решению можно применить сложные математические методы. Если же проблема только постепенно вырисовывается в сознании исследователя, приходится применять качественные методы анализа, опираясь на интуицию, а не дедукцию.
Разработка математических методов и моделей оптимизации отдельных производственно-экономических процессов, общественного производства в целом, оказалось тесно связанной с конкретными проблемами экономической теории: теорией стоимости, ценообразования. Во всей полноте вновь встала проблема измерения затрат и результатов производства, эффективности капиталовложений и путей рационального использования ресурсов производства. Возникла необходимость выявления сущности предельных величин, их роли в экономическом анализе, в процессах ценообразования и определения эффективности затрат.
Применение математических методов и моделей в экономике поставило перед экономической наукой ряд важных методологических проблем, связанных с выяснением закономерностей оптимизации общественного производства и его отдельных процессов, вызвало необходимость анализа и обобщения теоретических основ математического моделирования народнохозяйственных процессов.
1. Ашманов С.А. — Введение в математическую экономику. В 3 т. — М.: Наука. — 2004 г. — 312с.
2. Бережная Е.В. — Математическое методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. Рекомендовано УМО ВУЗов. — М.: Финансы и статистика. — 2001 г — 224с.
3. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. — Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис. — 2005 г. 214с.
4. Лебедев В.В. — Математическое моделирование социально-экономических процессов. — М.: Изограф. — 2007 г. — 527с.
5. Малыхин В.И. — Математическое моделирование экономики. — М.: УРАО. — 2008 г. — 334с.
Ашманов С.А. — Введение в математическую экономику. В 3 т. — М.: Наука. — 2004 г. — 24с.
Ашманов С.А. — Введение в математическую экономику. В 3 т. — М.: Наука. — 2004 г. — 32с.
Лебедев В.В. — Математическое моделирование социально-экономических процессов. — М.: Изограф. — 2007 г. — 17с.
Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. — Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис. — 2005 г. 34с.
Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. — Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис. — 2005 г. — 56с.
2
1. Ашманов С.А. — Введение в математическую экономику. В 3 т. — М.: Наука. — 2004 г. — 312с.
2. Бережная Е.В. — Математическое методы моделирования экономических систем. Учебное пособие. Рекомендовано УМО ВУЗов. — М.: Финансы и статистика. — 2001 г — 224с.
3. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. — Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис. — 2005 г. 214с.
4. Лебедев В.В. — Математическое моделирование социально-экономических процессов. — М.: Изограф. — 2007 г. — 527с.
5. Малыхин В.И. — Математическое моделирование экономики. — М.: УРАО. — 2008 г. — 334с.
список литературы
referatbooks.ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическими приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.
М. э. как часть математики начала развиваться только в 20 в. Ранее были лишь эпизодичные исследования, которые нельзя в строгом смысле отнести к математике.
В экономике присутствуют элементы управляемости и стихийности, жесткой определенности и существенной неоднозначности и свободы выбора, процессы технического характера и социальные процессы, где на первый план выдвигается поведение человека. Разные уровни экономики требуют существенно различного описания. Все это приводит к большой разнородности моделей математического Аппарата, а значит, и экономико-математических моделей задач.
Задача выявления оптимальных способов — одна из важнейших в экономике. Обычно предполагается, и это во многих случаях хорошо согласуется с действительностью, что Z - выпуклый компакт. С помощью расширения пространства продуктов задача анализа эффективных способов при этом может быть сведена к случаю, когда Z - выпуклый замкнутый конус.
Типичной задачей выявления эффективного способа является основная задача производственного планирования.
Эффективный рост. Ингредиенты, относящиеся к разным моментам или интервалам времени, формально можно считать различными. Поэтому описание производства в динамике в принципе укладывается в изложенную выше схему, состоящую из объектов {X, Z, b}, где X - пространство ингредиентов, Z - множество производственных возможностей, b - задания требований и ограничений на экономику. Однако изучение собственно динамич. аспекта производства требует более специальных форм описания производственных возможностей.
Производственные возможности достаточно общей модели экономич. динамики задаются с помощью точечно-множественного отображения (многозначной функции) Здесь — (фазовое) пространство экономики, интерпретируется как состояние экономики в тот или иной момент времени, где х k - количество продукта k, имеющегося в наличии в этот момент. Множество а(х).состоит из всех состояний экономики, в к-рые она может перейти за единичный временной интервал из состояния х. Будем называть
графиком отображения а. Точки (х, у ).- допустимые производственные процессы.
Рассматриваются различные варианты задания возможных траекторий развития экономики.
С экономической точки зрения интерес представляют траектории, на которых достигается максимально возможный темп роста экономики, который она может выдержать сколь угодно долго. Оказывается, что при неизменных во времени а такие траектории являются стационарными, т. е. имеют вид
где а — темп роста (расширения) экономики. Стационарные эффективные в том или ином смысле, а также стационарные оптимальные траектории наз. магистралями.
При весьма широких предположениях имеют место теоремы о магистрали, утверждающие, что всякая эффективная траектория, независимо от начального состояния, с течением времени приближается к магистрали. Имеется большое число различных теорем о магистрали, различающихся определением эффективности или оптимальности, способом измерения расстояния до магистрали, типом сходимости, наконец, конечным или бесконечным временным интервалом.
Модель экономической динамики, у которой производственные возможности задаются многогранным выпуклым конусом, наз. моделью Неймана. Частным случаем модели Неймана является замкнутая модель Леонтьева, или (по другой терминологии) замкнутый динамический межотраслевой баланс (термин «замкнутый» используется здесь как характеристика свойства экономики, состоящего в отсутствии невоспроизводимых продуктов), который задается тремя матрицами с неотрицательными элементами Ф, А и В порядка
Модель Леонтьева также была сначала сформулирована в непрерывном времени в виде системы дифференциальных уравнений
где X - потоки продуктов, Аи В - матрицы текущих и капитальных затрат соответственно, С - потоки конечного потребления.
Эффективные и оптимальные траектории в моделях с непрерывным временем изучаются с помощью методов вариационного исчисления, оптимального управления, математич. программирования в бесконечномерных пространствах.
Математическая экономика имеет тесную связь с вычислительной математикой. Линейное программирование, линейные экономические модели оказали большое влияние на вычислительные методы линейной алгебры. По существу благодаря линейному программированию неравенства в вычислительной математике стали столь же употребительны, как и уравнения.
Трудным и многоплановым вопросом является вычисление экономического равновесия. Напр., много работ посвящено условиям сходимости к равновесию системы дифференциальных уравнений
где р - вектор цен, F - функция избыточного спроса, т. е. разность функций спроса и предложения. Равновесные цены по определению, обеспечивают равенство спроса и предложения:
Функция избыточного спроса F задается либо непосредственно, либо через более первичные понятия соответствующей модели равновесия.
Экономическое равновесие, решение игры, решение той или иной экстремальной задачи могут быть определены как неподвижные точки подходящим образом сформулированного точечно-множественного отображения. В рамках исследований по М. э. разрабатываются численные методы поиска неподвижных точек разных классов отображений. Наиболее известен метод Скарфа, который является комбинацией идей леммы Шпернера и симплекс-метода решения задач линейного программирования.
www.ronl.ru
