Период математики переменных величин Характеристика периода. Математика переменных величин реферат

Математика переменных величин

Период элементарной математики закончился когда центр стал переноситься в область переменных величин. Создание новой математики переменных величин занимались ученые стран Западной Европы. Считается что современная математика возникла в 17 веке как наука тесно связанная с созданием математического естествознания имеющего целью объединить течение отдельных природных явлений действием общих математически сформулированных законов природы. Ученные считали что геометрия является отражением пространства а арифметика является отражением времени. Рене Декард заложил основы аналитической геометрии путем объеденения алгебры начала 17 века с геометрией древних греков. Он написал работу Теоиретрия. В ней заложены основы координатного метода, что и положило начала аналитической геометрии. Геометрические построения теперь можно было осуществлять в алгебраической форме и наоборот и до сего времени координатный метод является одним из основных в здании математики и ее приложениях. Благодаря появлению декартовой переменной величины в математику вошло движение. В результате появилось дифферинциальное и интегральное исчисление. Такое исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем. Это считается революцией в математике и в науке в целом.

Лейбниц ввел понятие дифферинциала как бесконечного малое превращение функции и правило построенные Лейбницем обеспечили правильное решение очень широкого класса задач. С тех пор дифф. исчисление становится одной из самых продуктивных частей математики, хотя логическое обоснование этого факта было дано только в 19 веке. Была проведена унификация СИ систем мер на десятичной основе. Появились десятичные дроби. В 17 веке были изобретены логарифмы, которые были ориентированы на приближенное вычисление, которые забыли со времен Архимеда.

Таким образом постепенно образовалось целое направление «Приближенные метоеы анализа».

Под влиянием развития страхового дела и артиллерии возник интерес связанный со случайными событиями. В результате появляется еще одна математическая наука, а именно «Теория вероятностей» основателем которой является Паскаль.

Таким образом в 18 веке деятельность математиков сосредоточилась на решении проблем Теории вероятностей и математического анализа. В этот период работают такие знаменитые математики как: братья Бернулли, Даланберм, Лагранж, Лаплас, Эйлер. Труды этих ученых до сих пор изучаются в школах и университетах.

В начале 19 века произошло событие которое перевернуло взгляды всех ученных математиков. Русский ученный Николай Лобачевский показал что аксиома Евклида о параллельных независима от других аксиом то есть не выводима из них. Таким образом можно построить другую геометрию такую же не противоречивую как и Евклидова геометрия. Для этого необходимо заменить аксиому о параллельных на противоположную ей, а именно через точку на плоскости в не лежащей на этой плоскости прямой можно провести не только одну параллельную этой прямой. Благодаря появлению не Евклидовой геометрии была понята возможность создания существенно новых математических теорий путем правильно выполненной абстракции от налогавшихся ранее ограничений не имеющих внутренне логической необходимости. Важнее значение появления не Евклидовой геометрии состоит в том, что ее открытие явилось исходным пунктом и основным стимулом в понимании природы математических знаний. Но только в начале 20 века в основу математики было положено понятие не противоречивости системы высказываний основанных на не явных определениях. Это радикальным образом отличалось от предшествующих точек зрения. Утверждалось что всякая формально аксиоматическая теория может строиться по чистым законам логики без ссылок на какой-нибудь внешний смысл. Одним из основателей такой точки зрения стал Гильберт. Суть его формализма заключается в том, что математика в отличии от химии или физики есть наука точная. Она находится над опытными науками. Математика это набор формальных знаковых моделей для теоретического знания, которые связанны с опытом через другие науки. По отношению к опыту математика выступает как язык, который устанавливает связь между эмпирическими высказываниями. Единство математики обеспечивается исключительно методом а не предметом исследования. Все что подается формулировке на точном языке может быть изучено в своей логической форме с отвлечением от конкретного содержания. Например можно сказать что между геометрией и арифметикой отличия не являются существенными. Математика – это логически организованная система понятий для существования которой важна лишь ее дедуктивная трансформирующая функция.

В середине 20 века сформировала интуциониское направление математики. Его основу составляет понимание процесса в построении математического объекта. Согласно точке зрения математический объект существует если он дан интуитивно или может быть сконструирован мысленно построен с помощью интуитивно ясных операций над интуитивно ясными элементами. В настоящее время существует целое направление в математике под названием «Конструктивизм» в рамках которого получены очень интересные и важные практические результаты. В настоящее время сформировались следующие основные философские взгляды на математическую науку:

1. Ценность математических теорий состоит в их способности выполнять функцию вывода именно по-тому перед математикой выдвигается требование не противоречивости

2. Единая программа обоснования математики в настоящее время невозможна. Имеется очень много способов каждый из которых имеет определенную ценность.

3. Математика так же далека от свой окончательной обоснованности, как и всякое другое знание.

Приложения математики

Математика возникла как чисто прикладная наука и в настоящее время ее основной задачей является изучение окружающего нас реального мира. Возникла необходимость в математическом моделировании. Математическое моделирование – это связующее вещество между математикой и другими науками. Существует две основные схемы математического моделирования.

1. Состоит в том чтобы подобрать из уже известных математических моделей ту которая подходит для решения поставленной задачи. То есть у ученого есть готовый инструмент который позволяет эффективно использовать все известные математические методы.

2. Вторая схема особенно подходит для гуманитарных наук. Согласно этой схеме исследователь сам строит математическую модель рассматриваемого объекта. При этом он должен обладать достаточными математическими знаниями чтобы решить весь комплекс задач, который включает в себя вопросы адекватности, точности и реализуемости моделей.

В математике как и в другой науке большую роль играет интуиция. Существует три вида интуиции:

1. Эмпирическая интуиция. Она появляется на основе длительного общения с определенными объектами.

2. Конструирующая интуиция. Это акт конструирования объекта в свете потребляемых к нему сведений.

3. Интеллектуальная интуиция. Это нечто статическое, достаточно общезначимое, заданное с самого начала как постоянный факт сознания, как некоторая предпосылка всякой другой формы очевидности.

Большую роль играет математический язык как одно из основных средств понимания друг другом человеческой деятельности. Одним из основных вещей эффективного моделирования в целом и качественного изучения объекта моделирования, в частности, является предвидение, которое в зависимости от степени конкретности и характера воздействия на ход исследованного процесса имеет три основные формы: гипотеза, прогноз и план. Эти три формы тесно связанны друг с другом.

• Гипотеза - это научно обоснование положение о структуре объекта, характера элемента и связей его механизма функционирования развития. На уровне гипотезы дается качественная характеристика объекта.

• Прогноз в сравнении с гипотезой имеет большую определенность поскольку основывается не только на качественных, но и количественных характеристиках и поэтому позволяет описывать будущее не только качественно, но и количественно. Следует отметить что прогнозы имеют вероятностный характер

• План – это заранее намеченный порядок осуществления каких-либо работ, действий, мероприятий. План и прогноз представляют собой взаимодополняющие стадии планирования.

Последние годы активно применяются математические методы в моделировании целенаправленной человеческой деятельности.

Для гуманитарных наук математические методы имеют очень большое значение и в основном приходится создавать новые модели каких-то гуманитарных процессов, а не использовать старые, которые уже существуют. В такое ситуации математика нужна не только как метод расчета, а как метод мышления, как язык способный сформулировать понятия и организовывать эти понятия.

studfiles.net

Появление переменных величи

XVII — XVIII века — третий период развития математической науки. Начало века было ознаменовано выдающимися математическими исследованиями Рене Декарта. В своих трудах Декарт исправляет ошибочные представления античных математиков и вновь возвращает числу алгебраическое понимание взамен геометрического. К тому же Декарт показывает новый способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык. Это осуществлялось с помощью системы координат, которая впоследствии стала носить имя своего создателя. Благодаря декартовой системе координат эффективность математических исследований становится на порядок выше. Таким образом, появилась аналитическая геометрия.

Рене Декарт

Кроме того, именно Рене Декарту принадлежит заслуга введения нового математического понятия переменной величины. По словам Ф. Энгельса, это стало поворотным моментом в математике, кардинально изменившим направление математических исследований. Теперь в математику вошло понятие движение, доселе не изучавшееся.

Изменение направления математических исследований от постоянных величин к переменным был обусловлен прежде всего новыми запросами практики XVII в. Переход от изучения постоянных величин к исследованию зависимостей между переменными величинами, позволили вступить на новую ступень науки — к математическому описанию движения и других сложных абстрактных процессов. поэтому третий период развития математики стали называть периодом математики переменных величин.

Выдающимся достижением рассматриваемого периода в становлении математической науки явилось введение нового обобщенного понятия функции. Введенное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем, понятие функции воплотило в себе общефилософскую идею о всеобщей взаимосвязи явлений материального мира.

Готфрид Лейбниц

Понятия переменной и функции есть не что иное, как абстракции конкретных переменных величин таких, как координата, скорость, ускорение и тому подобные, и конкретных зависимостей между ними, к примеру, закон свободного падения. Результатом углубленного изучения общих свойств зависимостей между переменными величинами стало создание математического анализа. XVIII век по праву называют веком анализа в математике. Став главным средством развития естественных наук, математический анализ прогрессировал и сам, за счет возникновения все более сложных задач. Благодаря обмену идеями, происходившему в процессе взаимодействия, была сформирована математическая физика.

В области геометрии и механики конца XVII в. было также сделано немало важных открытий. Выдающийся английский физик и математик Исаак Ньютон создал основу дифференциального и интегрального исчисления. Это открытие Ньютон совершил одновременно с Г.В. Лейбницем. Вместе они значительно расширили и углубили аппарат математического анализа, который к этому моменту стал главным средством решения задач механики и гидродинамики, астрономии и оптики. Анализ и механика развивались в тесном взаимодействии, однако впервые эти две области научного знания объединил Эйлер. Именно он убрал из ньютоновской механики старые конструкции и положил в основу динамики аналитический фундамент (1736 г.). Теперь механика стала прикладным разделом анализа.

Интересно узнать! Ярким доказательством эффективности методов математического анализа стало предсказание возвращение кометы Галлея в 1759 г. Это было поистине триумфом математического анализа.

Значительные успехи в этой области были достигнуты в XVIII-XIX столетиях. К этому времени математики научились составлять и решать дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, в которых соединялись многие вопросы математической физики. Так было создано вариационное исчисление, которое помогало решать невозможные для первоначальных методов математического анализа задачи. Таким образом, это стало главным методом познания природы. Ценный вклад в развитие этой области внесли работы члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера.

На рубеже XVIII — XIXвв в свет выходят многочисленные специализированные математические журналы. Это прежде всего обусловлено все возрастающим интересом к истории математической науки. Издается двухтомная «История математики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Значительно увеличивается количество научно-популярной литературы.

Надо сказать, что в это же время возникает и развивается теория вероятностей. Первый работы в этом направлении появились в XVII в. В развитие этой идеи внесли неоценимый вклад русские математики XIX в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов и др.

Поделиться ссылкой

sitekid.ru

Период математики переменных величин Характеристика периода

Особенностью является введение в математику идей движения и измерения. На первый план вдвигаются функции. Изучение функциональной зависимости приводит к основным понятиям математического анализа: предел, производная, дифференциал, интеграл. Геометр я также начинает изучать движения и преобразования фигур. Создается аналитическая геометрия. Алгебра изучает вопрос о числе действительных корней уравнения F(x)=0. Доказывается основная теорема алгебры. Решаются систем уравнений при помощи определителей. Разрабатывается теория делимости многочлена. Алгебра рассматривается как часть анализа, а геометрия – как прикладная математика, которая использует результаты чистой математики.

Математика в XVII веке

Развитие математики связано с успехами астрономии и механики. Кепплер открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей создал механику свободного падения тела, основал теорию упругости, применил математические методы. Для отыскания закономерностей между расстоянием и скорости ускорения. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения. Эти успехи в естествознании, создание математического аппарата для изучения процессов движения. Учение XVII века были одновременно математичками, естествоиспытателями, механиками, в XVII веке создаются научные организации и общества, например, лондонское королевское общество. В 1666 году организована парижская академия. Научные учреждения и общества плодотворно трудились при государственной поддержке. С XVII века берут начало почти все математические дисциплины, входящие ныне в современное высшее образование.

1. Изобретение логарифмов. Практика ставила перед математиками задачи вычислительного характера. Для астрономии нужны были тригонометрические таблицы. Придумывали различные вычислительные приемы. Первым опубликовал свои таблицы тригонометрические Непер.

2. Аналитическая геометрия. Начала формироваться благодаря Декатру и Ферма, как метод выражение числовых соотношений, размеров, форм и свойств геометрических объектов на основе методов координат. Начало положила книга Декарта «Геометрия»,в которой он заложил основу метода координат и ввел общую идею переменной величины. Дал классификацию кривых с разделением их на алгебраические трансцендентные.

3. Дифференциальное и интегральное исчисление. Кеплер разработал метод вычисления геометрических фигур. Кавальери разработал интеграционный метод, позволяющий отыскивать определенные интегралы от многочленов. Вычислять объемы геометрических тел. К середине XVII века встал вопрос создания из разрозненных методов единого интегрального исчисления. Дифференциальные методы развивались в связи с решением задач на движения (мгновенная скорость) и проведения касательных к кривым. Дифференциальные методы решали задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Практика ставила обратную задачу: зная касательную прямую, найти соответствующую кривую. Выяснилось, что неприменимы интеграционные методы. Так было установлено глубокая связь между дифференциальными и интегральными методами. Первые теории – первые формы дифференциального и интегрального исчисления: теория Флюксии – Ньютона и исчисление дифференциалов Лейбница. Ньютон переменные величины, возникающие в результате непрерывного движения, называл флюентами.

4. Теория чисел. Паскаль сформулировал принцип Ферма сформулировал без доказательства теорему: Великая теорема Ферма и малая теорема Ферма.

Развитие математики в XVIIIвеке связано с необходимость ее применения бурно развивающейся промышленности, военной техники, кораблестроением, картографией.

XVIIIвек характеризуется выдающимися математиками из разных кругов общества, которые работали одновременно в области математики, естествознания и техники.

Например, Эйлер происходил из пасторской семьи. Занимался механикой, кораблестроением и оптикой.

Лагранж – сын французского офицера. В 18 лет профессор. Занимался механикой.

Лапласс – сын французского крестьянина. В 18 лет преподавал математику. В 20 лет профессор, в 37 - член парижской академии наук. Занимался механикой.

XVII век дал математике мощный аппарат. Анализ бесконечно малых.

В XVIIIвеке эти идеи получили широкое распространение.

Достижения XVIIIвека.

1. Эйлер ввел в математику символ F(x). Показал, что функциональная зависимость является основным объектом изучения математического анализа.

2. Введены и изучены функции многих переменных.

3. Разрабатывалась теория дифференцирования и интегрирования от многих переменных.

4. Основной инструмент изучения функций – разложение в бесконечно степенные ряды. В XVIIIвеке были найдены степенные ряды для всех элементарных функций (Эйлер, Даламбер, Тейлор).

5. Изучались разложения функций в тригонометрические ряды. Систематически использовались комплексные числа и введен символ .

6. В области геометрии продолжает развиваться аналитическая геометрия, пространственная, начертательная геометрия.

7. В алгебре – пытались отыскать общий метод решения алгебраических уравнений любой степени.

8. Теория чисел впервые приобретает характер систематической науки. Эйлер доказал иррациональность числа . Даламбер доказал иррациональность π.

9. В XVIIIвеке из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин, имеющих большое прикладное значение: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, ТФКП, дифференциальная геометрия, теория вероятности.

10. Основными центрами развития математики в Европе являлись Франция, Англия и Германия.

Проблемы обоснования математики переменных величин.

Слабость математики XVIII века было отсутствие логического обоснования ее важнейших логических частей. В частности, без строго обоснования был развит аппарат бесконечно малых. Например длина кривой линии заменялась длиной многоугольника. При вычислении площадей криволинейной фигуры разбивали на бесконечно малые части, каждую из которых считали прямоугольной. В XVIII веке неясность основ стала тормозить развитие анализа. В математике накопилось большое число противоречий, парадоксов. Например, они рассматривали такой ряд: . При x=1 будет. Решающие изменения произошли в первой половине XIX века. Коши, Абель и другие ученые исчисление бесконечно малых обосновали на основе теории пределов. С помощью предела получили объяснение понятия производная, интеграл, непрерывность функции, сумма ряда. Исследование о сумме предела и бесконечно малых было проведено Вейерштрассом в 70-х годах XVIII века. Для получения строгих определений Вейерштрасс разработал системуξ-δнеравенств. Таким образом, современный анализ заменил использование интуитивных представлений, связанных с движением строгим математическим аппаратом неравенств. Так как все вопросы были сведены к неравенствам с числами, то встала необходимость уточнить понятие действительного числа. В 1872 году были построены теории действительного числа Кантором. Вейерштрассом и Дедекиндом. Изучение действительных чисел, в свою очередь, привело математиков к рассмотрению бесконечных множеств. К концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, основанной на теоретико-множественной концепции построения любой математической теории.

Возникающие проблемы способствовали развитию математики в XIX веке.

studfiles.net

Переменные и постоянные величины — реферат

ПЕРЕМЕННЫЕ И  ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые  величины изменяются, а другие сохраняют  свое числовое значение. Например, при  равномерном движении точки время  и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается  как частный случай переменной, у  которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной  переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j Î N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать  . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

1. ,
2. ,
3. , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений  природы и решении технических  задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение  одной величины в зависимости  от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом.

Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.

Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции.

Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область  определения которой совпадает  с множеством натуральных чисел.

К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые  в школьном курсе математики:

Элементарной  функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА  ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как  с ним непосредственно связаны  основные понятия математического  анализа – производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела  числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут  .

Чтобы сформулировать это  определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью  точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела  числовой последовательности. Для этого  запишем последнее неравенство  из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное  число ε. Нам нужно найти такое  натуральное число N, что при всех n>Nвыполняется неравенство |xn - 1| < ε. Действительно, т.к.

,

то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы   или  . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству  , получим что нужно. Так если взять, например,  , то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь  .

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что  .

Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

.

Тогда  , если   или  , т.е.  . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству  .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |xn - c| = |c - c| = 0 < ε.

Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b. Возьмем любое   и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения  . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА  ФУНКЦИИ

В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ  ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали  пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …, xn=(–1)nn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Обозначают  .

Примеры.

1. Используя определение, доказать, что  .

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство  , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему  , которое будет выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что   (см. рис.).

2. Несложно заметить, что  .
3.  не существует.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ  ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут   или f(x)→∞ при x→a.

Сформулируйте аналогичное  определение для случая, когда x→∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут   или  .

Примеры.

1. .
2.  (см. рис.).

3. .
4. Функция   при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

ОГРАНИЧЕННЫЕ  ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры.

1. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M.
2. Функция y=x2+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11.
3. Рассмотрим функцию y=ln x при x Î (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a, если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x→∞, если найдется такое число N>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Установим связь между  ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема 1. Если  и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Т.к.  , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) –b|<ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M.

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если  , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если  , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε. Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и  .

referat911.ru

Реферат Переменные

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Переменные в физике
• 2 Переменные в математике
  • 2.1 Обозначения
• 3 Переменные в программировании
Примечания

Введение

Переме́нная — атрибут физической или абстрактной системы, который может изменять своё значение. Значение может меняться в зависимости от контекста, в котором рассматривается система, или в случае уточнения, о какой конкретно системе идёт речь. Концепция переменной широко используется в таких областях как математика, естественные науки и техника. Примерами переменных могут служить температура воздуха, параметр функции и многое другое. В широком смысле, переменная характеризуется лишь множеством значений, которые она может принимать.

1. Переменные в физике

В физике переменная — это некоторый атрибут модели реального физического процесса, принимающий количественные значения, физическая величина. Множество значений, которые может принимать конкретная переменная, определяется из физических соображений. Физические переменные связываются друг с другом физическими законами, в результате чего получаются математические модели различной степени сложности. Переменные в физике, как правило, кроме количественного значения характеризуются также размерностью.

2. Переменные в математике

В математике переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать.[1] При этом может иметься ввиду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. В математическом анализе и большинстве смежных разделов математики под «переменной» обычно понимают численную величину, множество принимаемых значений которой включено в множество вещественных чисел.

Множество всех значений, которые может принимать данная переменная, называется областью изменения этой переменной. Это множество и задаёт переменную, то есть формально и является ей.

При моделировании переменные необходимо отличать от параметров, несмотря на то что переменная в одном контексте может быть параметром в другом.

В прикладной статистике переменная — оценочный фактор, или характеристика, или индивидуальный или системный атрибут. Иными словами, нечто, изменение чего ожидается с течением времени или между отдельными лицами.

2.1. Обозначения

• Переменные обозначаются малыми буквами латинского или греческого алфавита (возможно, с индексами): .
• Области изменения соответствующих переменных обозначаются обычно теми же символами, взятыми в фигурные скобки: .

Нужно отметить, что аналогичным образом обозначаются неизвестные в уравнениях, неравенствах и других подобных задачах. Например, . В этом случае имеются ввиду не переменные, хотя понятия весьма схожи и зависят от контекста.

3. Переменные в программировании

В программировании переменная — это идентификатор, определяющий данные. Обычно это бывает имя, скрывающее за собой область памяти с хранящимися там данными. Переменная может иметь тип, характеризующий множество значений, которые она может принимать. В программировании, переменные, как правило, обозначаются одним или несколькими словами или символами, такими, как «time», «x», «foo» и тому подобное.

Следует отметить, что это значение в некотором смысле схоже с математическим. Математики в XVII веке придумали переменную именно для того, чтобы «забронировать» в формуле место, на которое в нужный момент можно подставить конкретное значение. Бумага в этом процессе является памятью, а обозначения (чаще, буквы) резервируют и именуют области этой памяти. Ощущение неоднозначности возникает из-за того, что формула в математике играет двоякую роль: если это алгоритм вычисления, смысл совпадает с программистским определением; если же формула визуализирует отношения своих элементов, мы абстрагируемся от роли переменной, как ячейки памяти, такое понимание теряет смысл.

Примечания

1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ - sci-lib.com/book000401.html / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

wreferat.baza-referat.ru

Реферат - Это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами

Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями.

Например, в соотношении y = х2 геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины x его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y = x2 и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости y = x2 увеличение x в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению y. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

^ Определение функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: « Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

^ Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

Возрастание функции.

Определение: Функция y= f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)< f(x2) (короче: x1 f(x1) <

f(x2)).

Иными словами, функция возрастает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

«Чем дальше в лес, тем больше дров», - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.

Количество

дров

Продвижение в лес

Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

Неубывающая функция.

Определение: Если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что х1<х2, справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) , то функцию f(x) называют неубывающей на множестве Х.

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне. Подобного рода функции называются монотонно неубывающими.

Качество

каши

Количество масла

Убывающая функция.

Определение: Функция y= f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых х1 и х2 из Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)> f(x2) (короче: x1 f (x1) > f(x2)).

Иными словами, функция убывает на промежутке Х, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

«Дальше кумы – меньше греха».

Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, монотонно убывающая.

м

е

р

а

г

р

е

х

а

Расстояние до кумы

4.Ограниченные функции.

Определение: Функция f, определённая на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х1 Х, если f (x1), т.е. множество её значений на множестве Х1, ограничено, т.е. если существуют постоянные m и M такие, что для всех значений x из Х1 выполняется неравенство

m ≤f(x)≤M.

В противном случае функция называется неограниченной.

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на промежутке Х, если существует такое число k, что для всех выполняется неравенство f(x)≤k (f(x)≥k).

Функция ограничена снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой y=m;

Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

«Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Мера»

Расстояние

5. Максимум функции.

Определение: Пусть функция у =f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Функция у =f (x) имеет максимум в точке x0, если существует такая б – окрестность точки x0, что при x0 – б <х< x0 + б выполняется неравенство f (x) < f(x0),т.е. значение функции в этой точке больше, чем её значение во всех других точках, достаточно близких к x0.

« Пересев хуже недосева», «- издавна говорили земледельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга.

Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить её графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с её значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

у у f(a)- максимум

р

о

ж

а

й

а х

плотность посева

«Недосол на столе – пересол на спине». Качество пищи зависит, является функцией от количества соли в ней. Мало соли – невкусно, много – тоже в рот не возьмёшь. А где-то в промежутке, в золотой середине, когда соли в самый раз, кушанье становится особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает максимума. Малейший щепотью соли больше или меньше – и дегустатор с утончённым вкусом скажет, что качество пищи снизилось.

Вогнутость и выпуклость функции.

«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица заслуживает того, чтобы быть включённой в правила научной организации труда. Тем более что за ней так и видится графическое выражение.

Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее тоже есть своя пословица:

«Горяч на почине, да скоро остыл».

р

р а

а б

б о

о т

т а

а

время время

Обе функции, представленные на графиках зависящими от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, расти можно по-разному.

Рост одной функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью. Парабола вершиной вниз представляет собой вогнутую функцию: сначала она спадает всё замедляющимися темпами, потом нарастает всё ускоряющимися. Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для положительных значений аргумента.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Но присмотритесь подольше к его полёту: достигнув максимальной высоты, он начинает падать; однако искривление его траектории сохраняет прежний характер. Всё усиливающийся спад – это выпуклость. Выпуклой функцией является и гипербола, построенная для отрицательных значений аргумента.

Периодичность функции.

Определение: Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x из области определения функции справедливо равенство f (x + T) = f(x) = f(x – T). Число Т называется периодом функции y = f(x).

«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда

какое-то дело безнадёжно затягивается, когда раз за разом попытки уладить его приводят к пустому или бессмысленному результату.

Поговорку знают все, но не каждый знает, как рассказывается сказка. Важная деталь рассказа – реакция слушателя. Сказка представляет собой диалог:

- Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Расскажи.

- Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Так давай же!

- Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе сказку про белого бычка?

- Ну хватит!

- Ты ну хватит… и так далее.

Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют цитированием первых слов песни «^ У попа была собака». Ради полноты приведём и её.

«У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса. Он её убил. И в землю закопал. И надпись написал: «У попа была собака. Он её любил…» и так далее.

Белый бычок и поповская собака нужны нам для разговора о периодических функциях, для уяснения математического понятия периода и тех искажений, которые привносятся в него обыденной речью.

Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Достаточно сравнить между собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни возьми, она обязательно повториться через 89 букв. Про первый текст такого не скажешь.

В обыденной речи утвердилось выражение «период солнечной активности». Если бы все явления на Солнце подчинялись строгой периодичности, их можно было бы предсказывать на сколь угодный долгий срок. Стала бы не нужна всемирная служба Солнца с её круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в ближайшее время изменится количество солнечных пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.

Прекрасные примеры периодических функций даёт тригонометрия: синус, косинус, тангенс… Для синуса и косинуса период составляет 3600, для тангенса – 1800.

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Массаж при ожирении реферат
• 
  Любовная лирика тютчева реферат
• 
  Лужение и пайка реферат
• 
  Ломоносов и астрономия реферат
• 
  Кольбер жан батист реферат
• 
  Концепция приемлемого риска реферат
• 
  Конфессии в россии реферат
• 
  Консервация архивных документов реферат
• 
  Жан батист кольбер реферат
• 
  Гравитация и вселенная реферат
• 
  Города государства шумера реферат