Cайт учителя Сеновой . История возникновения иррациональных чисел реферат

СодержаниеВведение……………………………………………………………………………2Глава 1

Введение……………………………………………………………………………2

Глава 1. История возникновения иррациональных чисел………………………………………………………………………………..4

Глава 2. Преобразование иррациональных выражений

2.1 Квадратный корень из числа……………………………………………8

2. 2 Вычисление квадратных корней……………………………………….9

2.3 Основные тождества для квадратных уравнений…………………...11

2.5 Преобразование выражений……………………………………………13

2.6 Правила извлечения квадратного корня из натурального числа………………………………………………………………………………...14

2.7 Сравнение корней…………………………………………………………..17

Глава 3. Практика решения уравнений, содержащих переменную под знаком корня.

3.1 Решение иррациональных равнений………………………………………..19 3.2 Преобразование графика функции в график функции …………………………………………………………………………..20

3.3 Два способа решения иррациональных уравнений: аналитический и графический……………………………………………………………………..22

Выводы………………………………………………………………………….28 Список использованной литературы…………………………………………..29

Введение

Совокупность цифр – это бескрайняя азбука весьма выразительного языка математики – вот уже тысячелетиями поражает воображение человечества.

Традиция интереса к очень крупным числам восходит, по крайней мере, к Архимеду, который, решив определить, сколько песчинок может поместиться во Вселенной, разработал систему классов и порядков арифметических величин. Он даже предложил принципы, с помощью которых можно «придумывать» названия сколько угодно больших чисел.

Математика – наука, изучающая соотношения между числами, между пространственными конфигурациями и абстрактными структурами. Понимание самостоятельного положения математики как особой науки возникло в Древней Греции в VI -V в.в. до н. э. Математика объединяет комплекс дисциплин: арифметика, алгебра, геометрия, теория вероятности, математический анализ.

В каждой из этих дисциплин есть ключевые понятия. В алгебре одним из

важнейших понятий является корень. Введение квадратных корней – не прихоть математиков, а объективная необходимость: в реальной жизни встречаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Однако интерес к квадратному корню из двух, видимо, возник ещё раньше. Учёные по-разному предлагают решать квадратные уравнения. Возникает спор о надобности использования формул квадратного уравнения с использованием . В этом мы видим актуальность нашей темы.

Объект исследования: теория числовых множеств.

Предмет исследования: решение проблемы иррациональности в алгебре.

Цель работы: провести анализ введения и использования иррациональных чисел.

Задачи:

1. Рассмотреть историю возникновения иррациональных чисел.
2. Сопоставить определение корня разными учеными.
3. Проанализировать и описать способы извлечения корня.
4. Исследовать применение иррациональных выражений при решении иррациональных уравнений.
5. Исследовать решение иррациональных уравнений графическим методом с использованием дробно-линейной функции.

Структура работы: работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы, приложений.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметических действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого а известна, с давних пор встречалась обратная задача: «Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?»

В собрании Вавилонских исторических ценностей, хранящемся в Йельском университете, есть круглая глиняная табличка, относящаяся к 1750 г. до н.э. На ней изображён рассечённый диагоналями квадрат и чёткими клинописными знаками выписаны три цифры. Когда их прочли, стало ясно. Что без малого 4000 тысячи лет назад в Вавилоне умели определять диагональ квадрата по его стороне, умножая, его длину на квадратный корень из двух.

Невольно хочется повторить: это подсчитано в 18 веке до н.э.!

За пять столетий до нашей эры школа Пифагора сделала одно из величайших математических открытий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведено путём сложения, вычитания, умножения и деления положительных целых чисел. А корень квадратный из двух – число иррациональное и конечным числом таких операций не получается. Это и было обнаружено последователями Пифагора. Однако они любили всяческую секретность и «законспирировали» своё открытие на многие годы.

Его доказательство впервые появилось в «Началах» Евклида около 300 г. до н.э. А затем примерно в 140 г. н. э. Теону из Смирны удалось разработать интереснейший алгоритм вычисления корня из двух. Этот алгоритм стал истоком всей методики использования непрерывных дробей. В 19 в. Математик Бурман довёл вычисление квадратного корня из двух до 486-ог десятичного знака. Его победа, добытая «голыми руками», омрачается тем, что в 316-ом знаке Бурман допустил ошибку. И далее его вычисления неверны.

Математикам необходимо знать, появляются ли где-либо в этой величине такие последовательности, как, например, 7,7,7,7,7 или 1,2,3,4,5,6,7,8,9. подобные события теория пока предсказать не в силах, так что приходится добиваться ответа эмпирически, путем приближения и приближения к истине. Поэтому с момента появления скоростных

электронных вычислительных машин математики не жалели сил и довели вычисление до стотысячного знака. Недавним достижением была титаническая работа сотрудника Отдела математических методов в инженерном деле при Колумбийском университете профессора Жака Дутки (Нью-Йорк). Он специально разработал совершенно новый алгоритм и подсчитал величину названного корня до миллион восемьдесят второго десятичного знака! Это наиболее длинная из всех вычислительных величин за всю историю математики.

Хотя алгоритм профессора Дутки и рассчитан на эффективное и быстрое вычисление, мощная ЭВМ «ИБМ 360 – 91» потратила на эту работу сорок семь с половиной часов машинного времени. А ведь обычно решение даже сравнительно сложных задач отнимает у современной ЭВМ если не секунды, то лишь минуту. К этому нужно добавить сотни часов, ушедших у группы специалистов, составлявших программу для вычислений. В напечатанном виде результат работы Дутки занимает книгу в 201 страницу сжатого текста – 5000 десятичных знаков на каждой странице.

Теперь Дутка и его сотрудники намерены заняться числами π- отношением длины окружности к диаметру – и е- основанием натурального логарифма. Эти «орешки» будут ещё труднее, чем корень квадратный из двух, но к π математики испытывают прямо-таки «историческую нежность», а е – одна из важнейших констант во всей системе исчисления, во всей высшей математике.

«Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было бы невозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющие одной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только в частных случаях могут быть сведены к рациональностям» - Лейбниц Г.

Одной из конкретных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий в виде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этого открытия в математике трудно переоценить.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных

величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос»- невыразимое словами. Позже европейские переводчики с арабского языка на латынь перевели это слово латинским словом surdus- глухой. В Европе этот термин впервые появился в середине 12в. У Геродота Кремонского, известного переводчика математических произведений с арабского на латынь, вплоть до 18в. Позже, математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с рациональным.

В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вероятно, самой иррациональностью, открытой древнегреческими математиками, было число.

Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида.

Глава 2. Преобразование иррациональных выражений

2.1 Квадратный корень из числа

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Решение: Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение:

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а.

Это число обозначают . Таким образом

Пример. Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

Аналогично доказывается, что

Например,

2. 2 Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414... Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой:

Теорема. Если а - положительное число и - приближенное значение для по избытку, то - приближенное значение для по недостатку.

Доказательство:

По условию x1>и потому х12 >a, 2 = = a. Т.к. aa. Значит, а и - приближенное значение для по недостатку.

Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для

естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т. е. число

х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т. е. число

х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

= 1,414 для .

В нашем случае а=2. Поэтому

= (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т. е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2. Найдем приближенное значение для с точностью до 0,0001.

Выберем за первое приближение для число 2. Тогда второе приближение вычисляется так: = = 2,25

birmaga.ru

Сайт учителя Сеновой Н.В. - История иррациональных чисел

Статистика

Онлайн всего: 2 Гостей: 2 Пользователей: 0

Праздники

                    История иррациональных чисел

Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовалось для этого, но самым важным из них были первые – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое – плод деятельности человеческого разума.  

 Казалось бы, что понятие числа должно возникнуть одновременно с умением считать, но это далеко                            не так. Замечено, что считать до пяти умеют и кошки и свиньи, но чтобы перейти от пяти предметов к числу «пять», требовалось великое открытие, и вот почему. Пять собак или пять овец – это совсем не то, что пять орехов. Ведь пять орехов – очень мало, съел – и не заметил, а пять овец – очень много, их хватит, чтобы долго кормиться большой семье. Пять собак – это стая, которая может хорошо защитить от диких зверей, а пять блох на собаке и разглядеть-то трудно. Разве можно их сравнивать?

Знаменитый русский путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племён имеется три способа счёта: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевлённых предметов. То есть там в то время ещё не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три овцы и три ребёнка обладают общим свойством – их количество равно трём.  

Итак, появились числа 1, 2, 3, …, которыми можно выразить количество коров в стаде, деревьев в саду, волос на голове. Эти числа в последствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов.  

Однако торговцам и ремесленникам натуральных чисел было мало, поскольку возникали задачи деления на части земли, наследства и многого другого. Так появились дроби и правила обращения с ними.

Таким образом, любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. В наши дни редко пользуются обыкновенными дробями, предпочитают десятичные.

Вернемся к истории, с появлением дробей торговцам и ремесленникам чисел было уже достаточно. Кстати, если к множеству целых чисел присоединить все дробные числа, то получится множество рациональных чисел (от лат. ratio – «разум», буквальный перевод: «рациональное число – разумное число»). Рациональные числа – это числа, представимые в виде отношения, т.е. обыкновенной дроби. Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Но ещё математики Древней Греции, ученики знаменитого Пифагора, обнаружили, что есть числа, которые не выражаются никакой дробью. Первым таким числом стала длина диагонали квадрата, сторона которого равна единице. Это так поразило пифагорейцев, что они решили скрыть этот факт от всех. Но, как это часто бывает со всякого рода тайнами, нашелся некто Гиппас, который все же не удержался и, как мы сказали бы теперь, разгласил запретную информацию. Легенда утверждает, что боги наказали его – он утонул во время кораблекрушения. Новые числа стали называть иррациональными («неразумными»). 

Поздравляем!!!

-->

talia.ucoz.ru

Путешествие в мир иррациональных уравнений

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9,8 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока.

Образовательные – ввести понятие “иррациональное уравнение”; разобрать подробно алгоритм решения иррациональных уравнений методом возведения в квадрат обеих частей уравнения, который является основным; систематизировать и рассмотреть другие методы решения иррациональных уравнений; способствовать формированию умения выбирать наиболее рациональные способы решения иррациональных уравнений.

Развивающие – выработать умение мыслить, делать выводы, применять теоретические знания для решения задач.

Воспитывающие – воспитывать практическое отношение к знаниям, продолжить воспитание у учащихся устойчивого интереса к математике.

Тип урока: лекция.

Формы работы: фронтальная.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, доска, листы для самостоятельной работы, листы с заданиями для работы на уроке.

Ход урока

1. Организационный момент. (2-3 минуты).

Проверить готовность группы и кабинета к уроку.

Сегодня на уроке я приглашаю вас в мир иррациональных уравнений, нам предстоит познакомиться с ними, разобрать способы решения данных уравнений и научиться выбирать наиболее рациональный способ для конкретного иррационального уравнения. Данная тема важна, так она входит в материал необходимый для сдачи экзамена по математике. (Слайд 1-2)

2. Актуализация знаний. Начало истории иррациональных чисел. (10 минут)

Вначале давайте немного поговорим об иррациональных числах, о том кто стоял у истоков появления иррациональных чисел. (Слайды 37- 48)

Если натуральные числа возникли в процессе счета, а рациональные – из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Иррациональное число – это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель является целым числом (причем знаменатель не равен нулю).

Концепция иррациональных чисел была не явным образом воспринята индийскими математиками в 7 веке до нашей эры, когда Манава выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких, как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а соизмеримым и соответственно несоизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми. Несоизмеримые величины еще в древности были названы иррациональными.

Первое доказательство существования иррациональных чисел приписывается Гиппасу, пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным.

Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами “за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям”.

Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

Не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.

Современный знак корня произошел от обозначения, примяемого немецкими математиками XV-XVI вв.:

Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты.

Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Эти знаком пользовались А.Жирар, С.Стевин V (2) или V (3).

В 1626 г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение.

Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так:

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге “геометрия”.

3. Изложение нового материала. (60 минут)

3.1. Понятие иррационального уравнения. (Слайд 3)

Иррациональным уравнением называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком операции возведения в дробную степень.

Примеры иррациональных уравнений:

3.2. Основные приемы решения иррациональных уравнений. (Слайд 4)

Основная идея при решении уравнений данного типа - это освобождение их от иррациональности. Этого можно достичь путем совместного возведения обеих частей уравнения в нужную степень. Например:

Либо избавиться от иррациональности можно путем извлечения корня из соответствующей степени выражения, например:

При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень (3,5,7…) выполняется равносильное преобразование уравнения, поэтому посторонние решения не появляются. (Слайды 6-7)

Пример решения уравнения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, является неравносильным преобразованием уравнений, поэтому в решении могут появляться посторонние корни. Для отсеивания посторонних корней необходимо выполнять проверку или находить область допустимых значений. (Слайды 8-9)

Рассмотрим примеры решения подобных уравнений (слайды 10-13).

В случае извлечения нечетных корней (n=3,5,…) преобразование вида является всегда равносильным, поэтому посторонних корней не появляется. (Слайд 14)

При извлечении корней четной степени (n=2,4,…) результат необходимо брать по модулю , так как по определению результат выполнения данной операции должен быть неотрицательным числом. (Слайд 15)

Также при решении иррациональных уравнений необходимо учитывать не равносильность преобразований корня четной степени вида (слайд 16):

При разбиении подкоренного выражения возможна потеря корней из-за сужения области допустимых значений. При слиянии корней возможно получение посторонних корней из-за расширения исходного ОДЗ. Для того, чтобы предотвратить возможную потерю корней из-за сужения ОДЗ исходного выражения необходимого наряду с разбиением вида рассмотреть и второй его вариант (Слайд 17-18)

Алгоритм решения иррациональных уравнений основными методами (слайд 19):

1. Найти ОДЗ или после нахождения корней уравнения выполнить проверку.
2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения.
3. Решить полученное уравнение.
4. Записать ответ.

3.3. Другие методы решения иррациональных уравнений. (Слайд 20)

1. Уединение корня в одной из частей уравнения, а потом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2. Введение новой переменной и решение полученного уравнения любым из известных методов.

3. Умножение на сопряженное выражение.

4. Метод применения свойств функции при нахождении корней уравнения.

5. Иррациональные уравнения, приводимые к уравнениям с модулями.

6. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

7. Графический метод решения уравнений.

3.4. Примеры решения иррацилональных уравнений разными методами.

3.4.1. Уединение корня в одной из частей уравнения, а потом возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. (Слайды 21-22)

Решить уравнение:

3.4.2. Введение новой переменной и решение полученного уравнения любым из известных методов. (Слайды 23-24)

Решить уравнение: .

3.4.3. Умножение на сопряженное выражение. (Слайды 25-27)

Решить уравнение:

3.4.4. Метод применения свойств функции при нахождении корней уравнения. (Слайд 28-30)

Решить уравнения: .

.

3.4.5. Иррациональные уравнения, приводимые к уравнениям с модулями. (Слайд 31-32)

Решить уравнение:

3.4.6. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений. (Слайд 33-35)

Решить уравнение: .

4. Разбор заданий для самостоятельного решения дома. (Слайд 36) (10 минут)

Решите уравнения:

3.

Для разбора методов решения уравнений можно привлечь учащихся и потом обобщить все сказанное.

Первое уравнение быстрее решить методом подбора корней, применяя свойства функции, второе – решается основным приемом возведения обеих частей уравнения в квадрат. При решении третьего уравнения можно применить метод введения новой переменной, а для решения четвертого уравнения метод умножения на сопряженной уравнение.

5. Итог путешествия. Рефлексия. (Слайд 40) (5-7 минут)

Для подведения итогов и обобщения всего изложенного на уроке можно провести блиц опрос учащихся по вопросам:

1. Какие уравнения называются иррациональными?
2. Какой метод является основным при решении иррациональных уравнений?
3. Всегда ли необходимо выполнять проверку или находить ОДЗ?
4. Какие еще методы решения иррациональных уравнений вы запомнили?

Используемые источники

1. http://www.gov.uz/ru/helpinfo/science/245

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница

3. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 класс”, профильный уровень, часть 1; Москва; “Мнемозина”; 2007 г.

4. Ю. Н. Макарычев “Алгебра 9” , дополнительные главы к школьному учебнику, учебное пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики; Москва; Просвещение; 1997 г.

5. http://www.ankolpakov.ru/2011/03/04/o-znake-kvadratnogo-kornya/

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Смотрите также

• 
  Двухфакторная теория мотивации герцберга реферат
• 
  Доступ к архивным документам реферат
• 
  Гражданский процесс в россии реферат
• 
  Аппараты управления и защиты реферат
• 
  Типология форм архитектурной среды рефераты
• 
  Треугольник паскаля реферат по математике
• 
  Реферат опухоли опорно двигательного аппарата
• 
  Реферат мучные блюда башкирской кухни
• 
  Юрий долгорукий реферат по истории
• 
  Чацкий победитель или побежденный реферат
• 
  Христианство в истории россии реферат