Реферат: Комплексные числа. История открытия. История открытия комплексных чисел реферат
История открытия комплексных чисел | Рефераты KM.RU
Реферат
по математике
"История открытия комплексных чисел"
“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.
Автор: Соловьев Алексей 12а.
ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как 
. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа 
, чтобы 
.
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида 
кубические и квадратные корни: 
.
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (
), а если оно имеет три действительных корня (
), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени 
нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений 
, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида 
, 
, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что 
. Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа 
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): 
. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : 
, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что 
. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.
“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число 
точкой 
на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором 
, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом 
, 
и число z принимает вид 
, который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают 
. Число 
называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если 
, значение ArgZ не определено, а при 
оно определено с точностью до кратного 
. Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде 
(показательная форма комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами 
на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида 
, где 
, построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, 
, а 
. Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
“Энциклопедический словарь юного математика”
“Школьный словарь иностранных слов”
“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский
Дата добавления: 20.10.2000
www.km.ru
Реферат: История открытия комплексных чисел.
“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.Автор: Соловьев Алексей 12а.
ревнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.Постепенно складывалось представление о бесконечности множестванатуральных чисел.
. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные изцелого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись задве тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгоевремя полагали, что результат измерения всегда выражается или в виденатурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби.Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чиселявляются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией ичислом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием,сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадратанесоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробейнедостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата состороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытияначинается эра теоретической математики: открыть существованиенесоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактномурассуждению, было невозможно.
.
нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень черезбуквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение,степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем неменее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать икомплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этомматематики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборемногочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX вековупомянутая теорема была доказана Гауссом.
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаряК. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь,сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующихединое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природымнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмытаких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, чтоматематический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощьюмнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются,например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейсясреде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексныечисла для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решенымногие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные скартографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строгологического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученыйП. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, -только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь послеподтверждения прямыми доказательствами.
“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых привычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой толькоалгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
(показательная форма комплексного числа).
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определитьмногие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширилообласть их применения.
на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
. Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому ялишь упоминаю об их существовании.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внеслирусские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениямик упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике,Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
Список используемой литературы:
“Энциклопедический словарь юного математика”
“Школьный словарь иностранных слов”
“Справочник по элементарной математике” М. Я Выгодский
История открытия комплексных чисел
geum.ru
Реферат: Комплексные числа. История открытия
Комплексные числа. История открытия Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение. Ф. Клейн Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного, как . Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом". Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы . В XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: . Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее, нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными", считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского словаimaginaire(мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа" также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинскогоcomplexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):  . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. "Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств", — писал Л. Карно. В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкойM,а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют этим же операциям над векторами. Векторможно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и угломj ,который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , ,и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до кратного . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа). Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании "гиперкомплексных" чисел — чисел с несколькими "мнимыми" единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применением к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля. Библиографический список 1. Энциклопедический словарь юного математика. 2. Школьный словарь иностранных слов. 3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. | superbotanik.net
Реферат: Комплексные числа. История открытия
Комплексные числа. История открытия Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того, как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение. Ф. Клейн Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного, как  . Наряду с натуральными числами применяли дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом". Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел — это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа  , чтобы  . В XVI веке, в связи с изучением кубических уравнений, оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида  кубические и квадратные корни:  . Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени  нельзя решить алгебраически; точнее, нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений  , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида  ,  , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что  . Кардано называл такие величины "чисто отрицательными " и даже "софистически отрицательными ", считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа " ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа " также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):   . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:  , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что  . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. "Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств", — писал Л. Карно. В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число  точкой  на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором  , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют этим же операциям над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом j , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом  ,  , и число z принимает вид  , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают  . Число  называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если  , значение ArgZ не определено, а при  оно определено с точностью до кратного  . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде  (показательная форма комплексного числа). Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании "гиперкомплексных" чисел — чисел с несколькими "мнимыми" единицами. Такую систему вида  , где  , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами". Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например,  , а  . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применением к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля. Библиографический список 1. Энциклопедический словарь юного математика. 2. Школьный словарь иностранных слов. 3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. | www.yurii.ru
