Когда большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам?

Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду?

Фракталы и математический хаос — подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос — термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды. Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды — вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мадельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал (от лат. fractus — дробный).

Понятие дробной размерности представляет собой сложную концепцию, которая излагается в несколько этапов. Прямая — это одномерный объект, а плоскость — двумерный. Если хорошенько перекрутив прямую и плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно будет дробной в некотором смысле, который нам предстоит уточнить. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом. Даже в случае гораздо более сложных фракталов, таких как граница множества Мандельброта, когда чистое самоподобие отсутствует, имеется почти полное повторение базовой формы во все более и более уменьшенном виде.

Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции y = f( x) и рассматривают поведение последовательности f( x), f( f( x)), f( f( f( x))),… В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только к вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

2.КЛАСИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

2.1. Самоподобие.

Разделим отрезок прямой на Nравных частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенного в 1/rраз. Очевидно, Nи r связаны отношением Nr = 1 Если квадрат разбить на Nравных квадратов (с площадью, в 1/r2 раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как Nr2 = 1. Соответственно, общая формула соотношения запишется в виде:

Nrd = 1. (2.1)

Множества, построенные выше, обладают целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель dв равенстве (2.1) НЕ является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на Nнепересекающихся подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом r, значение d не будет выражаться целым числом. Ответ — решительное да! Такое множество называется самоподобным фракталом. Величину dназывают фрактальной (дробной) размерностью илиразмерностью подобия. Явное выражение для dчерез Nи r находится логарифмированием обеих частей (2.1):

logN

d = — (2.2)

log 1/r

Логарифм можно взять по любому основанию, отличному от единицы, например по основанию 10 или по основанию е ~ 2,7183.

2.2. Снежинка Коха.

Граница снежинки, придуманной Гельгом фон Кохом в 1904 году (рис.2.2.1), описывается кривой, составленной их трех одинаковых фракталов размерности d ~ 1,2618. Каждая треть снежинки строится итеративно, начиная с одной из сторон равностороннего треугольника. Пусть Ko — начальный отрезок. Уберем среднюю треть и добавим два новых отрезка такой же длины, как показано на рис. 2.2.2. Назовем полученное множество K1 . Повторим данную процедуру многократно, на каждом шаге заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками. Обозначим через Kn фигуру, полученную после n-го шага.

Интуитивно ясно, что последовательность кривых Kn при nстремящемся к бесконечности сходится к некоторой предельной кривой К. Рассмотрим некоторые свойства этой кривой.

Если взять копию К, уменьшенную в три раза (r = 1/3), То всё множество К можно составить из N = 4 таких копий. Следовательно, отношение самоподобия (2.1) выполняется при указанных Nи r, а размерность фрактала будет:

d = log(4)/log(3) ~ 1,2618

Рис 2.2.1. Снежинка Коха.

Еще одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха — ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 2.2.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Доказательство приводится в [1].

2.3. Ковер Серпинского.

Еще один пример простого самоподобного фрактала — ковер Серпинского (рис. 2.3.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 2.3.1. Ковер Серпинского

Пусть начальное множество S0 — равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S0на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S1 (рис. 2.3.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sn, чье пересечение образует ковер S.

Из построения видно, что весь ковер представляет собой объединение N = 3 существенно не пересекающихся уменьшенных в два раза копий; коэффициент подобия r = Ѕ (как по горизонтали, так и по вертикали). Следовательно, S — самоподобный фрактал с размерностью:

d = log(3)/log(2) ~ 1,5850.

Рис. 2.3.2. Построение ковра Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3* (1/42 ) + 32* (1/43 ) + … + 3n-1* (1/4n ) + … .

Эта сумма равна 1 (доказательство в [1]). Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть ковер, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество Sв разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

3. L- системы.

Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в данной курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости.

Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл -графика (turtle– черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x, y, a), где( x, y) — координаты черепашки, a — направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F — переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

b — переместиться вперед на один шаг, НЕ прорисовывая след.

[ — открыть ветвь (подробнее см. ниже)

] — закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ — увеличить угол a на величину q

— — уменьшить угол a на величину q

Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву Fпри помощи порождающего правила newf = F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 2.2.1), задается следующим образом:

p = p /3

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: newf = F-F++F-F

Графическое представление аксиомы F++F++F — равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2p/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква Fв слове-инициаторе F++F++Fзаменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

и т.д. Причем, убедившись на собственном опыте программирования L-систем знаю, что для снежинки Коха на 20-й итерации порождающее правило занимает несколько мегабайт текста !

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

и его L-система:

p = p/4

Аксиома: FX

Порождающее правило: newf = F

newx = X+YF+

newy = -FX-Y

Рис 3.2. Дерево после 5-ти итераций

и его L-система:

p = p/7

Аксиома: F

Порождающее правило: newf = F[+F]F[-F]F

Рис. 3.3. Квадрат Госпера после 2-х итераций [2]

и его L-система:

p = p/2

Аксиома: -FX

Порождающее правило: newf = F

newx= +FYFY-FX-FX+FY+FYFX+FY-FXFX-FY-FX+FYFXFX-FY-FXFY+FY+FX-FX-FY+FY+FXFX

newy= FYFY-FX-FX+FY+FY-FX-FXFY+FX+FYFYFX-FY+FX+FYFY+FX-FYFX-FX-FY+FY+FXFX-

4. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

4.1. Аттрактор Лоренца

До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере[1]. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

dx/dt = s (-x + y),

dy/dt = rx – y – xz,

dz/dt = -bz + xy.

В дальнейших расчетах параметры s, r и b постоянны и принимают значения s = -10, r = 28и b = 8/3.

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (рисунки приведены в [1], стр. 149).

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий — основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 году [3, стр. 322].

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в данной курсовой работе не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики — дискретные, к которым относится знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.

Рис. 4.1.1. Аттрактор Лоренца.

4.2. Множества Мандельброта и Жюлиа.

Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления, и восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Мандельброта и множества Жюлиа на плоскости. Эти множества относятся к хаотической динамике на комплексной плоскости.

Множество Мандельброта и множество Жюлиа определяется как граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании

f( z) = z2 + c,

где с – комплексная константа. При этом множества Жюлиа (см. рис. 4.2.2) при разных с могут представляться как угодно сложно и красиво, но все они распределяются на два типа: связные или несвязные. Множество Мандельброта (см. рис. 4.2.1) служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции z2 +c. Каждая точка в множестве Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа вполне связно и каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение с, для которого множество Жюлиа вполне несвязно.

Построение данных множеств сводится к построению орбит f(z), проверяемых на ограниченность. То есть на рисунок попадает только та точка на комплексной плоскости (представляемая плоским экраном монитора), которая при итерировании функции f(z0), последняя не стремится к бесконечности, а остается ограниченной на каком-то уровне. Проверка идет для каждой точки (x,y).

Несложно написать программу для построения множества Мандельброта. Единственная проблема, которая может возникнуть при использовании этой программы на маломощных ЭВМ — большой объем вычислений. Для того, чтобы получить приемлемое изображение множества, желательно отображать по меньшей мере 256x256 пикселов. Более удачные визуализации получаются при использовании окна 400x400 пикселов и более. При этом количество итераций достаточно 20-ти. Для получения более качественного построения множества можно увеличить количество итераций до 50, 70, 100 и более.

Рис 4.2.1 Область 3-периодичности множества Мандельброта

Рис. 4.2.2. Множество Жюлиа.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Данная курсовая работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся. Например в книгу [1] включено рассмотрение СИФ (систем итерированных функций), случайных фракталов, и многое другое из теории фракталов.

В дополнение хочется отметить применение фракталов в компьютерных технологиях, помимо просто построения красивых изображений на экране компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих областях:

1. Сжатие изображений и информации

2. Сокрытие информации на изображении, в звуке,…

3. Шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов

4. Создание фрактальной музыки

5. Моделирование систем

6. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с.

3. James Gleick, Chaos: Making a New Science, Viking, New York, 1987.

[1] Исследование аттрактора Лоренца включается сейчас в любой

математический пакет, например, Mathematica, Maple.

www.ronl.ru

Реферат Фрактал

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Термин
2 Классификация[1]
3 Примеры
- 3.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
- 3.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
- 3.3 Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
- 3.4 Фракталы в комплексной динамике
- 3.5 Стохастические фракталы
- 3.6 В природе
4 Применение
- 4.1 Естественные науки
- 4.2 Литература
- 4.3 Радиотехника
- 4.4 Информатика
  - 4.4.1 Сжатие изображений
  - 4.4.2 Компьютерная графика
  - 4.4.3 Децентрализованные сети
5 Галерея

Введение

Множество Мандельброта — классический образец фрактала

Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба[1].

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности[1].

1. Термин

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
Является самоподобной или приближённо самоподобной.
Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

1.1. История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

2. Классификация[1]

Алгебраические фракталы
- Множество Мандельброта
- Множество Жюлиа
- Бассейны (фракталы) Ньютона
- Биоморфы
- Треугольники Серпинского

Геометрические фракталы
- Кривая Коха (снежинка Коха)
- Кривая Леви
- Кривая Гильберта
- Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
- Множество Кантора
- Треугольник Серпинского
- Ковер Серпинского
- Дерево Пифагора
Стохастические фракталы
Рукотворные фракталы
Природные фракталы
Детерминированные фракталы
Недетерминированные фракталы

3. Примеры

3.1. Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

3.2. Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

кривая дракона;
кривая Коха;
кривая Леви;
кривая Минковского;
кривая Пеано.
с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

3.3. Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости:

Можно показать, что отображение Ψ является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского n = 3 и отображения ψ1, ψ2, ψ3 — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении Ψ.

В случае, когда отображения ψi — преобразования подобия с коэффициентами ri > 0, размерность s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения . Так, для треугольника Серпинского получаем s = ln3 / ln2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения Ψ, мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

3.4. Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть F(z) — многочлен, z0 — комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:

Стремиться к бесконечности;
Стремиться к конечному пределу;
Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида
Демонстрировать более сложное поведение.

Множества значений z0, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа на картинке справа — множество точек бифуркации для многочлена F(z) = z2 + c, то есть тех значений z0, для которых поведение последовательности zn может резко меняться при сколь угодно малых изменениях z0.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность zn демонстрирует определённое поведение при фиксированном z0. Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых zn для F(z) = z2 + c и z0 = 0 не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления zn к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором | zn | превысит фиксированную большую величину A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

3.5. Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.

3.6. В природе

Бронхиальное дерево

Вид спереди на трахею и бронхи

Сеть кровеносных сосудов
Деревья

4. Применение

4.1. Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

4.2. Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (225 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
«рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)
предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).
К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
Б. Олдисс «Доклад о вероятности А»

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

Х. Л. Борхес «В кругу развалин»
Х. Кортасар «Жёлтый цветок»
Ж. Перек «Кунсткамера»

4.3. Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

4.4. Информатика

4.4.1. Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

4.4.2. Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

4.4.3. Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

5. Галерея

Примечания

↑ 123 Красота фракталов, Паньгина Н. Н. - msint.lokos.net/prez/20080703.ppt

Литература

А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах - www.mccme.ru/dubna/2007/notes/kirillov-preprint.pdf. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая - www.lib.prometey.org/?id=15278&page=3. — Ижевск: «РХД», 2001.
Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. - www.lib.prometey.org/?id=15270&page=2
Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8

wreferat.baza-referat.ru

Фракталы

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Технический Университет

Кафедра ____САПР______

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

По дисциплине: "Прикладная теория систем"

Тема: "Фракталы"

Руководитель

Студент

2009

Содержание

Введение

2. Теоретическая часть

2.1 Понятие "фрактал"

2.2 Применение фракталов

2.3 Теория хаоса

2.3.1 Введение в теорию хаоса

2.3.2 Теория хаоса о беспорядке

2.3.3 Применение теории хаоса в реальном мире

2.3.4 Броуновское движение и его применение

2.4 Интеграция детерминированных фракталов и хаос

2.5 Виды фракталов

2.6 Дерево Фейгенбаума и Множество Мандельброта

3. Постановка задачи

Заключение

Введение

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли из в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

2. Теоретическая часть

2.1 Понятие "фрактал"

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

2.2 Применение фракталов

Компьютерные системы.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

Механика жидкостей.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных

При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с тем, что они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

Телекоммуникации.

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

Физика поверхностей.

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

Медицина.

1. Биосенсорные взаимодействия

2. Биения сердца

Биология.

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

2.3 Теория хаоса

Теория хаоса - это учение о сложных нелинейных динамических системах. Ниже рассматривается истинное положение вещей, как ответ многим ошибочным представлениям об этой области науки.

2.3.1 Введение в теорию хаоса

Что такое теория хаоса?

Формально, теория хаоса определяется как учение о сложных нелинейных динамических системах. Под термином сложные это и понимается, а под термином нелинейные понимается рекурсия и алгоритмы из высшей математики, и, наконец, динамические - означает непостоянные и непериодические. Таким образом, теория хаоса - это учение о постоянно изменяющихся сложных системах, основанное не математических концепциях рекурсии, в форме ли рекурсивного процесса или набора дифференциальных уравнений, моделирующих физическую систему.

2.3.2 Теория хаоса о беспорядке

Наиболее часто встречающееся несоответствие состоит в том, что люди полагают, что теория хаоса - это теория о беспорядке. Ничто не могло бы быть так далеко от истины! Это не опровержение детерминизма и не утверждение о том, что упорядоченные системы невозможны; это не отрицание экспериментальных подтверждений и не заявление о бесполезности сложных систем. Хаос в теории хаоса и есть порядок - и даже не просто порядок, а сущность порядка.

Это правда, что теория хаоса утверждает, что небольшие изменения могут породить огромные последствия. Но одной из центральных концепций в теории является невозможность точного предсказания состояния системы. В общем, задача моделирования общего поведения системы вполне выполнима, даже проста. Таким образом, теория хаоса сосредотачивает усилия не на беспорядке системы - наследственной непредсказуемости системы - а на унаследованном ей порядке - общем в поведении похожих систем.

Таким образом, было бы неправильным сказать, что теория хаоса о беспорядке. Чтобы пояснить это на примере, возьмем аттрактор Лоренца. Он основан на трех дифференциальных уравнениях, трех константах и трех начальных условиях.

Рисунок 1. Аттрактор Лоренца.

Аттрактор представляет поведение газа в любое заданное время, и его состояние в определенный момент зависит от его состояния в моменты времени, предшествовавшие данному. Если исходные данные изменить даже на очень маленькие величины, скажем, эти величины малы настолько, что соизмеримы с вкладом отдельных атомов в число Авогадро (что является очень маленьким числом по сравнению со значениями порядка 1024), проверка состояния аттрактора покажет абсолютно другие числа. Это происходит потому, что маленькие различия увеличиваются в результате рекурсии.

Однако, несмотря на это, график аттрактора будет выглядеть достаточно похоже. Обе системы будут иметь абсолютно разные значения в любой заданный момент времени, но график аттрактора останется тем же самым, т.к он выражает общее поведение системы.

Теория хаоса говорит, что сложные нелинейные системы являются наследственно непредсказуемыми, но, в то же время, теория хаоса утверждает, что способ выражения таких непредсказуемых систем оказывается верным не в точных равенствах, а в представлениях поведения системы - в графиках странных аттракторов или во фракталах. Таким образом, теория хаоса, о которой многие думают как о непредсказуемости, оказывается, в то же время, наукой о предсказуемости даже в наиболее нестабильных системах.

2.3.3 Применение теории хаоса в реальном мире

При появлении новых теорий, все хотят узнать, что же в них хорошего. Итак что хорошего в теории хаоса?

Первое и самое важное - теория хаоса - это теория. А значит, что большая ее часть используется больше как научная основа, нежели как непосредственно применимое знание. Теория хаоса является очень хорошим средством взглянуть на события, происходящие в мире отлично от более традиционного четко детерминистического взгляда, который доминировал в науке со времен Ньютона. Зрители, которые посмотрели Парк Юрского периода, без сомнения боятся, что теория хаоса может очень сильно повлиять на человеческое восприятие мира, и, в действительности, теория хаоса полезна как средство интерпретации научных данных по-новому. Вместо традиционных X-Y графиков, ученые теперь могут интерпретировать фазово-пространственные диаграммы которые - вместо того, чтобы описывать точное положение какой-либо переменной в определенный момент времени - представляют общее поведение системы. Вместо того, чтобы смотреть на точные равенства, основанные на статистических данных, теперь мы можем взглянуть на динамические системы с поведением похожим по своей природе на статические данные - т.е. системы с похожими аттракторами. Теория хаоса обеспечивает прочный каркас для развития научных знаний.

Однако, согласно вышесказанному не следует, что теория хаоса не имеет приложений в реальной жизни.

Техники теории хаоса использовались для моделирования биологических систем, которые, бесспорно, являются одними из наиболее хаотических систем из всех что можно себе представить. Системы динамических равенств использовались для моделирования всего - от роста популяций и эпидемий до аритмических сердцебиений.

В действительности, почти любая хаотическая система может быть смоделирована - рынок ценных бумаг порождает кривые, которые можно легко анализировать при помощи странных аттракторов в отличие от точных соотношений; процесс падения капель из протекающего водопроводного крана кажется случайным при анализе невооруженным ухом, но если его изобразить как странный аттрактор, открывается сверхъестественный порядок, которого нельзя было бы ожидать от традиционных средств.

Фракталы находятся везде, наиболее заметны в графических программах как например очень успешная серия продуктов Fractal Design Painter. Техники фрактального сжатия данных все еще разрабатываются, но обещают удивительные результаты как например коэффициента сжатия 600:

1. Индустрия специальных эффектов в кино, имела бы горазда менее реалистичные элементы ландшафта (облака, скалы и тени) без технологии фрактальной графики.

И, конечно, теория хаоса дает людям удивительно интересный способ того, как приобрести интерес к математике, одной из наиболее мало-популярной области познания на сегодняшний день.

2.3.4 Броуновское движение и его применение

Броуновское движение - это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии, имеющий с наибольшее практическое использование. Случайное Броуновское движение производит частотную диаграмму, которая может быть использована для предсказания вещей, включающих большие количества данных и статистики. Хорошим примером являются цены на шерсть, которые Мандельброт предсказал при помощи Броуновского движения.

Рисунок 2. Частотная диаграмма.

Частотные диаграммы, созданные при построении графика на основе Броуновских чисел так же можно преобразовать в музыку. Конечно этот тип фрактальной музыки совсем не музыкален и может действительно утомить слушателя. Занося на график случайно Броуновские числа, можно получить Пылевой Фрактал наподобие того, что приведен здесь в качестве примера.

Кроме применения Броуновского движения для получения фракталов из фракталов, оно может использоваться и для создания ландшафтов. Во многих фантастических фильмах, как например Star Trek техника Броуновского движения была использована для создания инопланетных ландшафтов таких, как холмы и топологические картины высокогорных плато. Эти техники очень эффективны, и их можно найти в книге Мандельброта Фрактальная геометрия природы. Мандельброт использовал Броуновские линии для создания фрактальных линий побережья и карт островов (которые на самом деле были просто в случайном порядке изображенные точки) с высоты птичьего полета.

www.coolreferat.com