§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах. Электронный газ в металлах реферат

Вырожденный электронный газ в металлах

Количество просмотров публикации Вырожденный электронный газ в металлах - 138

Распределœение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не должна быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, к примеру направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх ʼʼпо энергетической лестницеʼʼ.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределœению Ферми — Дирака (235.2). В случае если m0— химический поте нциал электронного газа при Т— О К, то, согласно (235.2), среднее число áN(E)ñ электронов в квантовом состоянии с энергией Еравно

(236.1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселœенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо должна быть не заселœено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов áN(E)ñ = f(E), где f(E)— функция распределœения электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределœения áN(E)ñ = 1, в случае если E < m0 и áN(E)ñ = 0, в случае если E > m0.График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до m0 функция áN(E)ñ равна единице. При E = m0она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т =0 К всœе нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = m0 заполнены электронами, а всœе состояния с энергией, большей m0, свободны. Следовательно, m0есть не что иное, как максимальная кинœетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинœетическая энергия принято называть энергией Ферми и обозначается ЕF (ЕF = m0). По этой причине распределœение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

(236.2)

Рис. 312

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, принято называть уровнем Фермн. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна ʼʼпотенциальной ямыʼʼ, как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не чересчур высоких температурах выполняется неравенство kT < ЕF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всœегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т0вырождения (см. § 235) находится из условия kT0 = EF. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчёты показывают, что для электронов в металле Т0 = 104 К, т. е. для всœех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределœения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис. 312, 6). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределœения при T = 0 К) Это объясняется тем, что при Т > 0небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при Е< EFзаполнение электронами меньше единицы, а при Е > ЕF— больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, к примеру при комнатной температуре Т ʼʼ 300 К и температуре вырождения T0=3-104 К, — это 10-5 от общего числа электронов.

В случае если (E—EF) >> kT(ʼʼхвостʼʼ функции распределœения), то единицей в знаменателœе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределœение Ферми — Дирака переходит в распределœение Максвелла — Больцмана. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при (E—EF) >> T, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E—EF) << T, кним применима только квантовая статистика Ферми — Дирака.

referatwork.ru

Вырожденный электронный газ в металлах

Количество просмотров публикации Вырожденный электронный газ в металлах - 184

Распределœение электронов по различным квантовым состояниям в какой-либо системе подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) не должна быть более одного электрона.

Отсюда следует, что всœе свободные электроны в металле не могут располагаться на одном самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены последовательно заполнять энергетические уровни в направлении возрастания энергии.

Для фермионов среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселённости квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо должна быть не занято, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов

, (2.7)

где – функция распределœения электронов по состояниям (2.2).

В случае если – химический потенциал электронного газа при

Т = 0 К, то согласно (2.2) и (2.7), среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

. (2.8)

Из (2.8) следует, что при Т = 0 К функция распределœения при и , в случае если .

График этой функции приведен на рис. 2.1 а, из которого следует, что при Т = 0 К всœе нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией, , заняты электронами, а всœе состояния с энергией, большей , свободны.

а)	б)
Рис. 2.1

Следовательно, есть максимальная кинœетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле, при 0 К. Величину принято называть энергией или уровнем Ферми и обозначать .

Энергия Ферми воспринимается как параметр распределœения ферми-частиц, а само распределœение Ферми-Дирака обычно записывают в виде

. (2.9)

Для металлов при не чересчур высоких температурах выполняется неравенство .

Это означает, что электронный газ в металлах практически всœегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т0 вырождения находится из условия . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчёты показывают, что для электронов в металле , ᴛ.ᴇ. для всœех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределœения Ферми-Дирака, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области энергий порядка кТ в окрестности (рис. 2.1, б).

Из (2.8) видно, что при функция распределœения при любой температуре (рис. 2.1, б).

По этой причине со статистической точки зрения уровень Ферми при любой температуре представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна .

В случае если принять условие тождественности энергетических состояний двух электронов с одинаковым набором трех квантовых чисел n, ℓ, mℓ, но с противоположными направлениями спинов, то можно считать, что на одном энергетическом уровне может находиться два электрона.

На рис. 2.2 наглядно представлено распределœение электронов по состояниям при Т = 0 К (рис. 2.2 а) и Т > 0 К (рис. 2.2 б).

а)	б)
Рис. 2.2

Работа выхода электронов из металла определяется расстоянием от уровня Ферми до нулевого энергетического уровня (рис. 2.2 а). При Т > 0 К энергетические переходы осуществляют электроны вблизи уровня Ферми в полосœе шириной 2кТ (рис. 2.2 б).

В металлах, где концентрация свободных электронов очень высока (≈ 1028 м-3), электронный газ всœегда находится в вырожденном состоянии и описывается распределœением Ферми-Дирака.

С невырожденным электронным газом приходится иметь дело в собственных (беспримесных) и в слаболегированных полупроводниках. Концентрация свободных электронов в таких полупроводниках значительно ниже, чем в металлах, и колеблется исходя из содержания активных примесей от 1016 – 1019 до 1023– 1024м-3. При таких концентрациях электронный газ становится невырожденным и может описываться распределœением Максвелла-Больцмана.

referatwork.ru

§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется прин­ципу Паули (см. § 227), согласно которо­му в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел) электронов, они до­лжны отличаться какой-то характеристи­кой, например направлением спина. Сле­довательно, по квантовой теории, электро­ны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне да­же при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергети­ческой лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если 0 — химический по­тенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число <N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из (236.1) следует, что при Т=0 К

380

функция распределения <N(E)1, если E<0, и <N(E)0, если E>0. Гра­фик этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до 0 функция <N(E)> равна единице. При E=0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей 0, свободны. Следовательно, 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается ЕF (EF=0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода элек­трона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это дела­лось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых элек­тронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<EF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда на­ходится в состоянии сильного вырожде­ния. Температура Т0вырождения (см. § 235) находится из условия kT0=EF . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть су­щественными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T0104 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распреде­ления при T=0К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при E<EF заполнение электрона­ми меньше единицы, а при E>EF — боль­ше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, напри­мер при комнатной температуре Т 300 К и температуре вырождения T0=3•104 К,— это 10-5 от общего числа электронов.

Если (Е-EF)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в знаменате­ле (236.2) можно пренебречь по сравне­нию с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределе­ние Максвелла — Больцмана. Таким об­разом, при (E-EF}>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E-EF)<<kT, к ним при­менима только квантовая статистика Фер­ми — Дирака.

studfiles.net

3.4. Электронный газ в металлах.

результате вблизи ε =µ происходит размытие распределения на глубину

~ kT. При ε − µ >> kT f(ε ) ~exp[(µ -ε)/kT], т.е. эта функция практически близка к классической функции распределения Больцмана.

Вметаллах верхняя энергетическая зона укомплектована не полностью, т.е. является зоной проводимости. Электроны в зоне проводимости ведут себя подобно частицам свободного идеального газа, масса которых равна эффективной массе электронов, m*, а энергия отсчитывается от дна (наинизшего уровня) зоны проводимости. Такие электроны называются квазисвободными.

Для квазисвободных электронов допустимы любые значения энергии ε в пределах зоны проводимости, в том числе и вблизи значенияε =µ . Поэтому при абсолютном нуле (Т = 0) химический потенциал совпадает с энергией электронов на высшем из занятых уровней. Этот уровень называетсяуровнем Ферми.

Для вычисления среднего числа электронов, dN( ε ), имеющих энергию в промежутке (ε ,ε +dε), нужно умножить число состояний в этом промежутке, dg(ε) = g(ε) dε, где g(ε) – функция плотности состояний, на вероятность, f(ε), заполнения этих состояний электронами.

Для вычисления функции g(ε) рассмотрим число различных значений волнового вектораk в сферическом слое объемом 4π k2 dk вk – пространстве. В одномерном случае, исходя из граничных условий на краях образца длиной L, длина волны де Бройля,λ , может принимать

В трехмерном случае условия (24) должны соблюдаться для каждой компоненты вектора k: kx, ky, kz . Следовательно, каждому разрешенному набору этих чисел соответствует элемент объема вk – пространстве:

∆Vk =∆k∆ky∆kz=2π/Lx2π/Ly2π/Lz = (2π)3 /V (25)

где Lx, Ly, Lz - размеры кристалла по осямx, y, z; V – объем кристалла. Число различных значений k в сферическом слое объемом dUk = 4πk2dk (радиуса k и толщиной dk) равно:

dN(k)=dUk/(∆Vk)=4πκ2/(8π3)Vdk=k2dk/(2π2)V (26)

Каждому разрешенному состоянию с импульсом k соответствует два состояния электрона с противоположными спинами:

Импульс электрона в металле вблизи дна зоны проводимости связан с ее энергией соотношением: p = √ 2m*ε . Поэтому

Среднее число электронов с энергией ( ε ,ε + dε ) таким образом равно:

Функция N(ε ) при различных температурах представлена на рисунке 16. Полное число электронов равно:

∞∞

Вычислим концентрацию электронов, n = N/V. Как следует из (23),при

классическому электрону такую энергию, его нужно нагреть до температуры 25000 К. Таким образом, в случае металлов электронный газ является вырожденным.

Величина ТF =εF/к называетсятемпературой Ферми. В данном случае

ТF = 60000 К.

При Т > 0 интеграл в (32)

∞ __

n = N/V = (2m*)3/2 (2π2 h4)–1∫√ε (e(ε − µ)/kT + 1)–1 dε (36) 0

не может быть вычислен точно. Однако, при кТ << µ (Т << TF) имеет место приближенная формула:

т.е. химический потенциал слабо понижается с температурой. Так, при Т = 300 К µ отличается отεF на 0,002 %.

При Т<< TF электронный газ называетсявырожденным. При Т>>TF электронный газневырожденный. (Рис. 15, Т = Т3 ).

Как следует из приведенных формул, электронный газ в металлах остается вырожденным вплоть до температур порядка десятков тысяч градусов. Поэтому для не слишком высоких температур доля возбужденных электронов составляет величину, равную кТ/µ. Средняя

энергия поступательного движения одного электрона равна 3кТ/2. Поэтому суммарная энергия электронного газа при температуре Т равна:

Следовательно, молярная теплоемкость электронного газа равна:

что значительно меньше, чем по классической теории, согласно которой Cµ кл=3R/2, т.е. составляет 50 % от теплоемкости кристаллической решетки. С учетом (39) получаем:

Сµ ЭЛ /Сµ КЛ =KT/µ << 1

Учитывая, что для металлов µ измеряется единицамиэлектрон-вольт,а кТ

=0,025 эВ при Т = 300 К, получаем Сµ эл ~ 0,01Cµ реш.

3.5.Электропроводность металлов.

Решение квантовомеханической задачи о движении электронов в кристалле приводит к выводу, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы сопротивления, и электропроводность металла была бы бесконечно большой. Однако идеальных кристаллов не существует. Нарушение строгой периодичности обусловлено наличием примесей и вакансий, а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электрического сопротивления металлов. Согласно правилу Матиссена об аддитивности сопротивления, удельное сопротивление можно представить в виде,

где ρкол - удельное сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки (ρкол = 0 при Т = 0),ρприм - сопротивление, обусловленное атомами примеси. Оно не зависит от температуры и образует остаточное сопротивление металла.

Под действием внешнего электрического поля электроны проводимости приходят в направленное движение, средняя скорость которого называется дрейфовой скоростью

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля E дрейфовая скорость становится отличной от нуля – в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной внешней силе-eE.Наряду с этим, на направленно движущиеся электроны со стороны кристаллической решетки действует сила сопротивления, среднее значение которой пропорционально дрейфовой скорости и направлено в противоположную сторону.

где r – коэффициент пропорциональности.

Уравнение движения для “среднего” электрона имеет вид:

Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле, дрейфовая скорость начнет убывать. Решение уравнения (43) при E = 0 имеет вид:

где vдр(0) – значение дрейфовой скорости в момент выключения поля. Из уравнения (44) следует, что за время

значение дрейфовой скорости уменьшается в e раз. Таким образом, величина (45) представляет собойвремя релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой после выключения внешнего поля.

Установившееся значение дрейфовой скорости определяется из условия:

dvдр/dt = 0. Cогласно (43),

Отсюда

Установившееся значение плотности тока j можно получить, умножив это значение на заряд электрона - е и концентрацию электронов n:

Величину, равную отношению скорости дрейфа к напряженности поля, называют подвижностью носителей:

Иными словами, подвижность – это дрейфовая скорость, приобретаемая электронами в поле единичной напряженности. Так, для меди τ ~ 210-14 с, а подвижность электронов, вычисленная по формуле (49), u ~ 3 10-3 м2/ (В с). Скорость дрейфа в полях обычной напряженности (E = 10-2 В/м) составляет vдр ~ 0,3 м/c . Эта величина на много порядков ниже скорости

хаотического теплового движения электронов в отсутствие поля <v0> = 1,6 106 м/с.

C учетом (49) выражение (48) можно записать в виде:

Формула (48а) выражает закон Ома в дифференциальной форме. В результате получим удельную электропроводность металла:

Таким образом, для вычисления электропроводности σ необходимо знать подвижность носителей u, которая в свою очередь определяется временем релаксацииτ. Из кинетического уравнения Больцмана следует, что по порядку величины это время сравнимо с временем, <τ >, свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями с квантами колебательной энергии решетки – фононами. Время <τ > определяется средней длиной, <λ >, свободного пробега электрона и скоростью, < v >, хаотического теплового движения электронов. Эти величины связаны очевидным соотношением

Иная картина наблюдается для вырожденного электронного газа, что имеет место в случае металлов. В таком газе основная масса электронов, энергия которых меньше энергии ФермиεF хотя бы на 0,1 эВ, не может принимать участие в процессах переноса заряда и рассеяния на колебаниях решетки, поскольку энергия фононов в этом случае не достаточна для возбуждения электронов на вышележащие свободные уровни. Поэтому при наличии вырождения в процессах участвуют только электроны с энергией, близкой кεF (фермиевские электроны), средние скорости которых, vF ,практически не зависят от температуры. Следовательно,

где λF - средняя длина свободного пробега фермиевских электронов.

В области высоких температур (выше дебаевской температуры) сопротивление обусловлено в основном рассеянием на тепловых колебаниях решетки – фононах. Длина свободного пробега при этом обратно пропорциональна концентрации фононов, nф, которая, в свою очередь, пропорциональна абсолютной температуре, nф ~ T. Поэтому

где α - постоянная, не зависящая от Т.

Согласно (49) и (53), для вырожденного электронного газа имеем:

Так как в металлах концентрация n электронного газа не зависит от температуры, то согласно последней формулеσ обратно пропорционально абсолютной температуре Т.

studfiles.net

§ 236. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется прин­ципу Паули (см. § 227), согласно которо­му в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел) электронов, они до­лжны отличаться какой-то характеристи­кой, например направлением спина. Сле­довательно, по квантовой теории, электро­ны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне да­же при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергети­ческой лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если 0 — химический по­тенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число <N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов <N(E)> =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям. Из (236.1) следует, что при Т=0 К

380

функция распределения <N(E)1, если E<0, и <N(E)0, если E>0. Гра­фик этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до 0 функция <N(E)> равна единице. При E=0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей 0, свободны. Следовательно, 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается ЕF (EF=0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода элек­трона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это дела­лось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых элек­тронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<EF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда на­ходится в состоянии сильного вырожде­ния. Температура Т0вырождения (см. § 235) находится из условия kT0=EF . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть су­щественными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T0104 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распреде­ления при T=0К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к EF, возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при E<EF заполнение электрона­ми меньше единицы, а при E>EF — боль­ше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, напри­мер при комнатной температуре Т 300 К и температуре вырождения T0=3•104 К,— это 10-5 от общего числа электронов.

Если (Е-EF)>>kT («хвост» функции распределения), то единицей в знаменате­ле (236.2) можно пренебречь по сравне­нию с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределе­ние Максвелла — Больцмана. Таким об­разом, при (E-EF}>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E-EF)<<kT, к ним при­менима только квантовая статистика Фер­ми — Дирака.

studfiles.net

Вырожденный электронный газ

Рассмотрим  теперь электронный газ в металлах. Для него п » 5 • 1028 м-3,

 m = 9• 10-31 кг. При таких значениях п и т электронный газ оказывается невырожденным лишь при температурах свыше 105 К, при которых левая часть формулы (15) становится меньше 1 (при Т = 105 К она равна »0,5). Поэтому в реальных условиях электронный газ в металлах всегда вырожден, вследствие чего он должен описываться квантовой статистикой Ферми — Дирака.

Из (15) видно, что невырожденное состояние газа может быть достигнуто не только путем повышения его температуры, но и путем уменьшения концентрации п.  При п » 1022 м-3 левая часть (15) для электронов оказывается равной  »10-3 и электронный газ становится невырожденным. Такая и меньшая концентрации электронного газа имеют место в полупроводниках,  вследствие  чего он   является в них невырожденным и описывается классической статистикой Максвелла — Больцмана.  

Функция распределения для вырожденного газа электронов.

       Функция распределения для вырожденного газа электронов была впервые получена итальянским физиком Ферми и английским физиком Дираком и имеет следующий вид:

                                                                                (16)

        Здесь, как и ранее, через µ обозначен химический потенциал вырожденного газа фермионов, который в применении к такому газу чаще называют уровнем Ферми.

Из (16) видно, что при Е = µ функция распределения ƒ (Е)=0,5 при любой температуре Т  ≠0. Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Функцию (16) называют   функцией   Ферми — Дирака.   Наглядное

представление о ней  можно получить,  рассматривая вырожденный электронный газ  в металлах при абсолютном нуле.

Распределение электронов в металле  при абсолютном нуле.

Энергия Ферми

Металл  для свободных электронов является своеобразной потенциальной   ямой,   выход из которой требует затраты работы  по преодолению сил связи,  удерживающих  электроны в металле. На рис. 3. представлена схема такой потенциальной ямы.

Рис. 3

Горизонтальная  линиями показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. В соответствии с принципом Паули на каждом таком уровне могут разместиться два электрона с противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2. Этот уровень и называется уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Он соответствует максимальной кинетической энергии Еf, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Ее называют энергией Ферми.

   Таким образом, при абсолютном   нуле   все состояния с энергией E < Ef заняты электронами, состояния с энергией E>Ef свободны.

Рис. 4

Иначе говоря, при Т = О К вероятность заполнения электронами состояний с энергией Е < EF равна 1, вероятность заполнения с энергией Е > Ef равна нулю:

                                                               1    для    Е < EF

                                      ƒ (Е)=                                                                      (17)

                                                               0    для    Е > Ef

Чтобы получить этот результат из (16),  необходимо считать, что при Т = О К химический потенциал электронного газа, отсчитанный от дна потенциальной ямы, равен энергии Ферми EF

      µ= EF                                                                    (18)

В самом  деле, положив в (16) µ= EF    получим:

                                                                                                              (19)

Если  Е < EF, то при Т=0 К                 → 0 и ƒф=1,

 Если Е > Ef , то при Т=0 К               → ∞  и  ƒф=0.

На  рис. 4, а показан график функции распределения Ферми -Дирака при абсолютном нуле. Он имеет вид ступеньки, обрывающейся при   Е = EF

       Умножая (17) на число состояний g(E)dЕ получим полную функцию распределения Ферми — Дирака   абсолютном нуле:

N (E)dE = —— (2m)3/2 ÖE dE,                     (20)

Т. к. в интервале энергий от 0 до Ef функция ƒф=1. График функции N(Е) показан на рис. 4, б; заштрихована область занятых состояний

Интегрируя  выражение (20) в пределах от 0 до Ef, получим:

Отсюда  легко определить энергию Ферми Ef:

                                                                                               (21)

Где n = N/V -  концентрация электронного газа в металле

    Зная функцию распределения электронов по энергиям, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле E0. Расчет показывает, что

                                                                                                (22)

Наконец, зная EF и Ео, можно вычислить максимальную f   и среднюю квадратичную vкв скорости движения свободных электронов в металле при абсолютном нуле:

                                                                                                 (23)

В табл. 2 приведены энергия Ферми EF , средняя энергия Ео максимальная и

Рис. 5

средняя скорости движения свободных электронов при абсолютном нуле некоторых металлов. В последнем столбце дана та называемая температура Ферми Tf, которая определяется из соотношения

Tf = EF / k                         (24)

где k — постоянная Больцмана. Она показывает, при какой температуре обычный невырожденный газ с массой молекул, равной массе электрона, имел бы энергию теплового движения kТ, равную энергии Ферми EF.  Из данных табл. 2 видно, что Tf столь высоки, что ни один металл при таких температурах не может существовать в конденсированном состоянии.

Следует подчеркнуть,   что  энергия  Ферми, будучи  кинетической энергией  поступательного  движения  свободных  электронов,   не является энергией их

теплового движения. Она имеет чисто квантовую  природу и возникает из-за специфического свойства электронов как ферми-частиц, подчиняющихся принципу Паули.

Влияние температуры на распределение  Ферми—Дирака.

      С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, в следствии чего меняется характер распределения их по состояниям. Однако в интервале температур, в котором энергия kT теплового движения остается  значительно ниже энергии Ферми E = Ef,  тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой полосы  kT,  непосредственно расположенной у уровня Ферми (рис. 5 а, возбужденные состояния  показаны  штриховкой).    Электроны   более    глубоких уровней остаются практически незатронутыми, так как энергия kT теплового движения недостаточна для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми).

stud24.ru

Смотрите также

• 
  Стерилизация инструментов в стоматологии реферат
• 
  Семейные связи в организации реферат
• 
  Реферат про любую страну африки
• 
  Реферат на тему чертежные инструменты
• 
  Реферат на тему современные электротехнологии
• 
  Реферат взаимодействие оратора и аудитории
• 
  Особенности аудиторского финансового контроля реферат
• 
  Основы экологического права реферат рб
• 
  Общее представление о характере реферат
• 
  Жан жак руссо реферат қазақша
• 
  Духовные основы общества франк реферат