Дифференциальные уравнения — реферат. Дифференциальные уравнения реферат

Реферат: Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Основные понятия и определения.

Дифференциальное уравнение называется соотношение вида

связывающее независимую переменную х, ее ф-цию у, а также производные этой функции до н-го порядка включительно. если в уравнении 1 входит одна независимая переменная, то такое диф. ур. называется обыкновенным, если в уравнение 1 входит несколько независимых переменных, то такое диф. ур. называется уравнение в частных производных.  Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Решением уравнения 1 называется н-раз дифференцированная функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение 1 обращает его в тождество. В простейшем случае определение функции y=f(x)  сводится к вычислению интеграла, а поэтому процесс нахождения решения диф. уравн. называется его интегрированием, а график ф-ции y=f(x) называется интегральной кривой диф. уравн. Т.к. при интегрировании функции получается множество решений, отличающихся друг от друга постоянным коэффициентом, то любое диф. уравн. также будет иметь множество решений, графически определяемых семейством интегральных кривых. Общим решением (общим интегралом) диф. уравн. н-го порядка называется его решение явно (неявно) выраженное относительно ф-ции у и содержащей н-независимых производных постоянных.

Независимость констант СI означает,что ни одна из них не может быть выражена через остальные, а следовательно число этих констант не может быть уменьшено на единицу.

Частным решением интеграла диф. уравн. н-го понрядка называется такое его решение, в котором произвольным константам Сi присвоены конкретные значения. это конкретные значения находятся из решения системы так называемых начальных условий

В этой системе правые части равенства представляют собой некоторые константы.

Диф. уравн н-го порядка

Диф. уравн. 1-го порядка имеет вид.

Если уравн. 1 разрешить относительно производной y’, то получают дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно y’

Диф. уравн. 2 можно представить в так называемой диф. форме

P и Q многочлены зависящие от х и у дифференциальное уравнение описываемое соотношением 1,2,3 в частом случае могут не зависеть от независимой переменной х или ее ф-ции у, но обязательно включают производную y’.

Диф. уравн. с разделяющимися переменными

Диф. ур с раздел переменными называются уравнения вида

Где f1 (х) и f2 (х) зависят только от х, и f1 (у) и f2 (у), разделим обе части уравнения (1) на f1 (у) и f1 (х) получим

   (3)

Уравнения (3) и (3¢) называются общими интегралами исходного диф. уравнения.

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Определение 1. Ф-ция ¦(x,y) наз-ся однородной функцией н-го порядка относительно переменных x и y, если для любого t, отличного от нуля справедливо тождество ¦(tx; ty)=t^n ¦(x;y)

ОДНОРОДНАЯ ФУНКЦИЯ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА.

Отношение двух однородных функций одинакового порядка  есть однородная функция нулевого порядка.

Определение 2. Диф. уравнение P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1) является однородным уравнением , если функции P(x;y) и Q(x;y) являются однородными функциями одного и того же порядка.

Разрешим уравнение (1) относительно производной

dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y)

Производная является однородной функцией нулевого порядка.

Определение 3. Диф. уравнение у¢=¦(x;y) (2) наз-ся однородным, если  его правая часть ¦(x;y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов.

Однородное диф. уравнение приводится к диф. уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой t=y/x ; y=t*x

При такой подстановке правая часть уравнения (2) ¦(tx;ty) = ¦(1/x*x;1/x*y)= ¦(1;y/x) = j(y/x) =j(t)

t=1/x

y/x=t

следовательно однородную функцию ¦(x;y) можно представить как функцию j от аргумента t=y/x

y¢= t¢*x+t

t¢*x+t=j(t)

dt/dx*x=j(t)-t

dt/(j(t)-t)=dx/x

ò dt/(j(t)-t)=ò dx/x + c

общее решение уравнения 2.

ДИФ. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

Д.У. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1)

наз-ся уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y)/

Необходимым и достаточным условием, того ,что уравнение (1) будет уравнением в полных дифференциалах, выполнение равенства

dP/dy=dQ/dx

Действительно, если левая часть равенства (1) есть полный диф. функции U(x;y) ,то dU(x;y)=P(x;y)+Q(x;y)dy

dU(x;y)= dU/dx*dx + dU/dy*dy (3)

dU(x;y)= P(x;y)dx+Q(x;y)dy (4)

Сравнивая рав. 3 и 4

dU/dx=P(x;y) (5)

dU/dy=Q(x;y) (6)

dP/dy=d^2U/dxdy

dQ/dx=d^2U/dydx

Т.к для диф. ф-ции U(x;y) частная произв. 2-го порядка не зависят от порядка диф., то мы приходим к равенству (2). С учётом равенства(30 равенство (1) может быть зависимо как

dU(x;y)=0 (7)

U(x;y)=c (8)

Это и есть общее решение нашего д.у.

Для отыскания ф-ции U воспользуемся ф-лой (5)

dU=P(x;y)dx

U= ò(x;y)dx+C=òP(x;y)dx + j(y) (9)

Для отыскания ф-ции  j(y) продифференцируем равенство (9) по переменной y

dU/dy=d/dyòp(x;y)dx+j¢(y)

j¢(y)=Q(x;y)- d/dyòp(x;y)dx (10)

Проинтегрировав левую и правую часть рав. (10) мы получим значение ф-ции j(y):

j(y)=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (11)

Подставим равенство (11) в (9)

òP(x;y)dx=ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy +C=C

òP(x;y)dx+ò(Q(x;y)-d/dy*òP(x;y)dx)dy=C (12)

C=C-C получаем общее решение диф. уравнения.

Замечание.

В ф-ле (12) знаки частной производной и дифференциала можно поменять местами.

Ф-цию U можно было определить из равенства(6)

www.referatmix.ru

Реферат - Дифференциальные уравнения

1. Сформулируйте теорему существования и единственности решение дифференциального уравнения первого порядка.

Справедлива следующая Теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x0, y0)ОD, то на некотором интервале (x0-h, y0+h) существует единственное решение y=y(x) уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x0, y0)ОD проходит только одна интегральная кривая y=y(x, C0) семейства y=y(x, C) такая, что y(x0,C0)=y0.

Бесконечное множество решений уравнения  

Можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x0) — семейство решений задачи Коши  

Элементы которого различны для разных значений x0 . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x0) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x0 . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения?

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в Дифференциальное уравнение вида

Обращает его в Тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

Где — конкретные числа, то функция вида

При всех допустимых значениях параметров (неопределённых Констант) называется общим решением дифференциального Уравнения.

3. Что называется частным решением дифференциального уравнения?

Частным решением дифференциального уравнения на интервале Называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

Обращает его в верное тождество на интервале .

То есть в противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с1, с2,..., cn придают конкретные числовые значения.

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющими переменными? Как найти общее решение (общий интеграл) этого уравнения?

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

 (1)

Где  – некоторые функции переменной x, а   – функции переменной y.

Для решения уравнения (1) его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функция переменной x окажутся в одной части, а переменной y – в другой, т. е. разделить обе части уравнения (76) на произведение , предполагая, что оно не равно нулю. Тогда после очевидных сокращений получим

. (2)

В уравнении (2) при  стоит функция переменной x, а при  стоит функция, зависящая только от переменной y. В этом случае говорят, что переменные разделены. Беря интегралы от правой и левой частей равенства (2), будем иметь

  (3)

Здесь под интегралами понимаются некоторые соответствующие первообразные. Соотношение (3) представляет собой общий интеграл уравнения (3), выраженный в неявной форме.

5. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка? Как найти его общий интеграл?

Дифференциальное уравнение

У'=ƒ(х; у)  (1)

Называется однородным, если функция ƒ(х;у) есть однородная функция нулевого порядка.

Однородное ДУ (4) можно записать в виде уравнения с разделяющимися переменными

(2)

С помощью замены переменной или, что тоже самое .

Действительно, подставив у=uх и y'=u'x+u в уравнение (1), получаем или , т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

6. Приведите пример линейного дифференциального уравнения первого порядка. Как найти его общее решение?

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде (1), где р(х) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные.

referatbox.com

Реферат - Анализ дифференциальных уравнений

Лекция: Анализ дифференциальных уравнений

Содержание

1. Основные понятия

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

2.2 Геометрические задачи

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y(n) F (x, y, y', y’’,.y(n))= 0.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, уравнение y’’=y’ представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C1ex+ C2 являются его решениями при любых постоянных C1 и C2.

Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием, а графики его решений — интегральными кривыми.

Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ(x,C1,C2.Cn). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1,C2.Cn.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY, а частное решение — конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения yy x 0 является функция y />. То есть, общее решение уравнения — это семейство окружностей x 2+ y2= C2, а

Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно y(x), y(x),.y (n1) (x) в некоторой точке x.

Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y, y,.y (n)) 0, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

y(x) = y, y’ (x) = y1, y’’ (x) =y2,.y(n-1) (x) =yn-1.

Геометрически это означает, что в общем решении уравнения

y  (x,C1,C2.Cn) необходимо так подобрать константы C1,C2.Cn, чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x0, y0) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1. Например, решением задачи Коши yy x 0, y (0) 2 является окружность x 2+ y2= 4. Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x 2+ y2= C2подставить заданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значение постоянной C=2.

Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ.

Теорема 1. (существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция F (x, y, y, y,.y(n))непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x0, y0), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y, y,.y(n))= 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y (x0) = y0, y’ (x0) = y1, y’’ (x0) =y2,.y (n-1) (x0) =yn-1 .

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

2.1 Равноускоренное движение

Пусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальную скорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a. Если S (t) и V (t) — соответственно путь, пройденный точкой за время t, и ее скорость в момент времени t, то, как известно S (t) V (t) и V(t) a (t) a.

То есть, функция перемещения S (t) является решением дифференциального уравнения S (t) a. Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды.

V (t) S (t) S' (t) dt adt at C, V (0) VC V0  V(t) Vat.

/>

2.2 Геометрические задачи

Пусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам.

Для решения этой задачи обозначим через y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x, y) — ее произвольная фиксированная точка.

Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y — y (x) = y' (x) (x — x)

Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат.

/>

Ясно, что xB= 0 иyC= 0. Тогда:

/>

Так как x — произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка

/>

Для произвольной постоянной С функция /> удовлетворяет этому уравнению. Поскольку кривая должна проходить через точку А (1,2), то подставив в это решение x=1 и y=2, получим С=2. Решением задачи является гипербола />.

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида

F (x, y, y) 0.

Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: yf (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме:

P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x,y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов.

3.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Так называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х, и функции, зависящей только от у.

/>

Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы /> и перейдем к уравнению в дифференциалах

/>

Теперь разделим переменные

/>

(В последнем уравнении переменные х и у разделяет знак равенства).

Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции:

/>

G (y) =F (x) +C.

Рассмотрим практический пример: Найти общее решение уравнения

y' = y cos x.

Решение. Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая от у. Следовательно — это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные:

/>

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения:

/>

Пример 2. Решить задачу Коши />

Решение. Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.

/>

В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1: 0=ln1=acrtg1+С=π/4+С. Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4. Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4, или y = e arctg x — π/ 4.

Однородные уравнения.

Так называются уравнение вида />. С помощью замены переменной z (x) =y (x) /x это уравнение может быть сведено к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, тогда

y x z,y (x z) yz xz

и для функции z (x) получаем уравнение с разделяющимися переменными

/>

Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).

Пример 1. Найти общее решение уравнения />

Решение. Разрешим уравнение относительно производной

/>

и обозначим />. Тогда /> и для функции z (x) получаем уравнение:

/>

Это уравнение с разделяющимися переменными.

/>

Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные

/>

Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения

/>

Отсюда

/>

Подставив в последнее равенство z=y/x, найдем общее решение исходного уравнения

/>

Пример 2. Решить задачу Коши

/>

Отсюда z= 2arctg(Cx) и, значит, y= 2x×arctg(Cx). Подставив в это

равенство начальные условия x=1 и y = π/ 2, получим arctg (C) = π/ 4,то есть С=1. Решением задачи Коши является функция y = 2x ×arctgx.

Линейные уравнения.

Так называются дифференциальные уравнения вида

yp (x) y q (x).

Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда yuv uv и относительно функций u и v уравнение примет вид

uv u (vp (x) v) q (x).

Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v, поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными

vp (x) v 0.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

/>/>

Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию

/>

При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение

/>, или />

Интегрируя последнее уравнение, получим

/>

Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.

Уравнение Бернулли.

Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли

yp (x) y q (x) y.

Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Психология сознания реферат
• 
  Реферат радиоактивные отходы
• 
  Реферат психология сознания
• 
  Алкоголизм наркомания реферат
• 
  Путевой лист реферат
• 
  Предмет социологии реферат
• 
  Технические открытия реферат
• 
  Античная цивилизация реферат
• 
  Реферат поведение потребителей
• 
  Реферат об орхидеях
• 
  Таможенная стоимость реферат