Главная » Реферат » Делимость чисел реферат

Делимость множества чисел. Делимость чисел реферат


Реферат Делимость

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

Введение

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

1. Определение

Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a.

При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

1.1. Обозначения

2. Связанные определения

В этом соотношении число q называется неполным частным, а число r — остатком от деления a на b. Как частное, так и остаток определяются однозначно. Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.

3. Свойства

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что a,\,b,\,c — целые числа. \quad0\,\vdots\,a. \quad a\,\vdots\,1. a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0,

причём частное в этом случае не определено.

1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.

4. Число делителей

Число положительных делителей натурального числа n обычно обозначается τ(n), является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

\sum_{k=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),

в которой γ — постоянная Эйлера — Маскерони, а для θ Дирихле получил значение \frac{1}{2}. Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат \theta=\frac{131}{416} (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение θ, при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем \frac{1}{4}).[1][2][3]

5. Обобщения

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов.

скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 13.07.11 12:25:24Категории: Теория чисел, Арифметика, Математические отношения.Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

wreferat.baza-referat.ru

Дипломная: "Делимость"

Список литературы

1. Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др. Под ред. Н. Я. Виленкина. — 2-е изд. — М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1997. — 256 с.

2. Бабанский Ю. К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: (Дидактический аспект). — М.: Педагогика, 1982. -192 с.

3. Бабанский Ю. К., Харьковская В. Ф. Проблема оптимизации процесса обучения математике // Изучение возможностей школьников в усвоении математики: Сб. научн. трудов НИИ школ. — М., 1977. — С. 3 — 28.

4. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Занимательные задачи по математике. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. — 208 с.

5. Болтянский В. Г., Левитас Г. Г. Делимость чисел и простые числа // Дополнительные главы по курсу математики 7−8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся / Сост. К. П. Сикорский. — М.: Просвещение, 1969. — С. 5 — 57.

6. Буфеев С. Авторская программа углубленного изучения математики для 8−11 классов // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».- 1996.- № 48. -С. 2−3.

7. Василевский А. Б. Обучение решению задач по математике: Учеб. пособие для пед. институтов. — Минск: «Вышэйшая школа», 1988. — 255 с.

8. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л. Делимость целых чисел: Учеб. пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ. — М.: Изд-во ОЛ ВЗМШ, 2000. — 34 с.

9. Галицкий М. Л., Гольдман A.M., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8−9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1994. — 271 с.

10. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1986. — 303 с.

11. Гамидов С. С. Методика преподавания элементов теоретической арифметики в факультативном курсе математики (VII — VIII классы): Автореф. дис. … канд. пед. наук. — Баку, 1971. — 38 с.

12. Горбунова Г. А. О решении геометрических задач различными методами // Подготовка студентов пединститутов к внеурочной работе по математике. — Вологда, 1981. — С. 62 — 73.

13. Горельченко З. П. К вопросу о математических способностях учащихся школ: Дис. … канд. пед. наук. — М., 1968. — 223 с.

14. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6−8 классах / Под ред. С. И. Шварцбурда. — М.: Просвещение, 1984. -286 с.

15. Дырченко И. И. Развитие математических способностей учащихся на внеклассных занятиях: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — М., 1963. — 19 с.

16. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.- 176 с.

17. Евстигнеева И. С. Значение и постановка курса теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — М., 1964. — 22 с.

18. Евтушевский В. А. Методика арифметики. — 17-е изд. — С. Петербург, 1912. — 352 с.

19. Егоров Ф. И. Методика арифметики. — М., 1917. — 454 с.

20. Ермакова Е. С. Развитие гибкости мыслительной деятельности детей дошкольного возраста: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — М., 1989. — 16 с.

21. Жмулева А. В. Факультативный курс «Избранные вопросы арифметики целых чисел» в VII классе средней школы: Дис. … канд. пед. наук. -М., 1980. -229 с.

22. Жмулева А. В., Степанова Л. Л. Арифметика. Практикум по решению задач. — М: МГПИ им. В. И. Ленина, 1986. — 128 с.

23. Зеель Э. О. Теоретико-числовые задачи школьной математики. — Архангельск, 1992. — 46 с.

24. Земцова Л. И., Сушкова Е. Ю. Методики оценки эффективности учебно-воспитательного процесса (для учителей-экспериментаторов). Ч. 1. — М.: НИИ школ, 1987. — 102 с.

25. Зильберберг Н. И. Алгебра — 8. Учеб. пособие для углубленного изучения математики. — Псков, 1996. — 368 с.

26. Зосимовский А. В. Интересный эксперимент // Советская педагогика. — 1965. — № 6. — С. 46 — 56.

27. Ибрагимов Р. В. Воспитание интереса учащихся к математике и развитие их математических способностей // За прочные и глубокие знания школьников по математике. — Казань: Татарское книжное издательство, 1965. -С. 7−30.

28. Иваницына Е. П. Рациональный и нерациональный способы мышления (на материале решения геометрических задач на доказательство) // Вопросы психологии. — 1965. — № 3. — С. 11 — 20.

29. Кагазежев М. Н. Избранные вопросы элементарной математики (теории чисел и геометрии) на факультативных занятиях в X-XI классах: Автореф. дис. … канд. пед. наук. -М., 1993. — 16 с.

30. Калмыкова З. И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога. — М.: Знание, 1982. — 96 с.

31. Канин Е. С. Развитие темы задачи // Математика в школе. — 1991. -№ 3. -С. 8−12.

32. Канин Е. С., Нагибин Ф. Ф. Заключительный этап решения учебных задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. О. А. Боковнев. -М.: Просвещение, 1982. — С. 131 — 138.

33. Киселев А. П. Арифметика. Учебник для 5-го и 6-го классов семилетней и средней школы. Переработка А. Я. Хинчина. — 16-е изд. — М.: Учпедгиз, 1954. — 168 с.

34. Киселев А. П. Алгебра. Ч. II. Учебник для 8−10 классов средней школы. — 41-е изд. — М.: Учпедгиз, 1964. — 232 с.

35. Клейман Я. М. Решение задач различными способами // Математика в школе. — 1987. — № 6. — С. 23 — 28.

36. Ковалев А. Г., Мясищев В. Н. Психические особенности человека. Т. 2. «Способности». — Л.: Изд-во ЛГУ, 1960. — 304 с.

37. Коварская Е. А. К вопросу о психолого-педагогическом значении разных учебных предметов // Естественный эксперимент и его школьное применение / Под ред. А. Ф. Лазурского. — Петроград, 1918. — С. 158 — 181.

38. Кожухов С. К. Составление задач школьниками // Математика в школе. — 1995. — № 2. — С. 4 — 6.

39. Колмогоров А. Н. О профессии математика. — 3-е изд. — М.: Изд-во Московского Университета, 1960. — 30 с.

40. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. — М.: Просвещение, 1977. -112 с.

41. Колягин Ю. М., Копылов B.C., Шепетов А. С. Опыт применения задач как средства диагностики развития математического мышления учащихся // Изучение возможностей школьников в усвоении математики: Сб. научных трудов. — М., 1977. — С. 66 — 75.

42. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи. — М.: Просвещение, 1980. — 96 с.

43. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. — 1990. — № 4. -С. 21−27.

44. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7−9 классов: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.

45. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. — М.: Прометей, 1995. — 210 с.

46. Крупская Н. К. Методические заметки // Педагог, соч. в десяти томах. Т. 3. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. — С. 552 — 560.

47. Крутецкий В. А. Основы педагогической психологии. — М.: Просвещение, 1972. — 255 с.

48. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. — М.: Просвещение, 1968. — 432 с.

49. Крутецкий В. А. Психология. — М.: Просвещение, 1980. — 352 с.

50. Куликова О. С. Геометрические задачи на построение как средство развития математических способностей учащихся: Дис. … канд. пед. наук. — М., 1998. -215 с.

51. Лейтес Н. С. Возрастные и типологические предпосылки развития способностей: Автореф. дис. … канд. психол. наук. — М., 1970. — 32 с.

52. Лейтес Н. С. Об умственной одаренности. Психологические характеристики некоторых типов школьников. — М.: АПН РСФСР, 1960. — 215 с. Менчинская Н. А. Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач // Известия АПН РСФСР. — М. — Л., 1946. — вып. 3. — С. 99−134.

53. Математика. 5 класс. Учебник. Зубарева И. И., Мордкович А. Г 9-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 270 с.

54. Менчинская Н. А. Психология обучения арифметике. — М.: Учпедгиз, 1955. -432 с.

55. Мерлина Н. И. Теоретические основы дополнительного математического образования школьников: Дис. … докт. пед. наук. — Чебоксары, 2000. — 289 с.

56. Метельский Н. В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. — Минск: «Вышэйшая школа», 1977. — 160 с.

57. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика и физика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985. — 336 с.

58. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ. -мат. фак. пед. ин-тов / Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян, В. Я. Саннинский, Г. Л. Луканкин — М.: Просвещение, 1975. — 462 с.

59. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. -мат. спец. / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещение, 1987. — 416 с.

60. Мирзоев М. С., Матросов В. Л., Жданов С. А. О некоторых алгоритмах теории распознавания образов для выявления уровня математических способностей учащихся // Научные труды Mill У. Серия: естественные науки. — М.: Mill У, 1994. — С. 27 — 31.

61. Михелович Ш. Х. Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — М., 1969. — 16 с.

62. Мордкович А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. … докт. пед наук. — М., 1986. — 355 с.

63. Мордухай-Болтовской Д. Психология математического мышления // Вопросы философии и психологии. — М., 1908, книга IV (94). -С. 491 -534.

64. Морозова Е. А., Петраков И. С. Международные математические олимпиады. — М: Просвещение, 1967. — 176 с.

65. Мырзабеков С. А. Проблемный подход при изучении арифметики целых чисел в школах (классах) с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях в 8−9 классах неполной средней школы (на материале делимости чисел): Дис. … канд. пед. наук. — М., 1991. -184 с.

66. Нечипоренко К. А. Элементы теории чисел на факультативных занятиях в VII — VIII классах средней школы: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — Киев, 1975. — 32 с.

67. Нижников А. И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики: /Дис. … докт. пед. наук в виде научного доклада. — М., 2000. — 45 с.

68. Программы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением математики (IX-X классы). — М., 1974. — 56 с.

69. Самарин Ю. А. Знания, потребности и умения как динамическая основа умственных способностей // Проблемы способностей. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. — С. 42 — 52.

70. Саранцев Г. И. Составление геометрических задач на заданных чертежах // Математика в школе. — 1993. — № 6. — С. 14 — 16.

71. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. — М.: Просвещение, 1995. — 239 с.

72. Саранцев Г. И. Математические способности школьников // Проблемы развития математических способностей школьников: Тез. докл. республиканской научно-практической конференции. — Саранск, 1996. — С. 3−4.

73. Семья Ф. Ф. Самостоятельное составление задач учащимися начальных классов как средство обучения решению задач и развития творческих способностей учащихся: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — Киев, 1970. -24 с.

74. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968. — 160 с.

75. Сивашинский И. Х. Задачи по математике для внеклассных занятий (9−10 классы) / Под ред. В. Г. Болтянского. — М.: Просвещение, 1968. -311 с.

76. Система упражнений, направленных на диагностику и формирование математических способностей школьников. — Ташкент, 1986. -48 с.

77. Смирнова И. М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Дис. … докт. пед. наук. -М., 1994. -364 с.

78. Снигирев В. Т., Чекмарев Я. Ф. Методика арифметики. — 7-е изд. -М., 1948. -344 с.

79. Страчевский Э. А. Составление задач по математике как средство активизации мыслительной деятельности учащихся (на материале седьмых — десятых классов): Автореф. дис. … канд. пед. наук. — М., 1973. — 24 с.

80. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7−9 кл. средней школы / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — 383 с.

81. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. — М.: Педагогика, 1977. — 208 с.

82. Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике. -М., 1998. -216 с.

83. Хабина Э. Л. Задачи на делимость // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». — 2002. — № 11. — С. 31 — 32.

84. Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979. -64 с.

85. Хмара Т. Н. Изучение вопросов делимости чисел в восьмилетней школе: Автореф. дис. … канд. пед. наук. — Киев, 1975. — 29 с.

86. Холодная М. А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. — Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во Барс, 1997. — 392 с.

sinp.com.ua

Делимость множества чисел — курсовая работа

  1.  Число, стоящее до десятков умножить на два,

  1.  К результату прибавить оставшееся число.

  1.  Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

 4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.   Признаки делимости на 8  Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр  делится на 8.  Например:  6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.   Признаки делимости на 9  Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,   чтобы сумма его цифр делилась на 9.  Например:  598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4  Признаки делимости на 10  Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.  Например:  33312890 – делится на 10.  Признаки делимости на 11  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.  Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.  Испытаем число 100397.  Нумерация идет слева направо.  1+0+9=10  0+3+7=10  10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.   Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:  Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.  Например, испытаем число 15235.  Разбиваем на группы       и складываем их:  1+52+35=88.  88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.   Признаки делимости на 12  Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.   Признаки делимости на 13  Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.  Например:  858 делится на 13, так как   делится на 13.   Признаки делимости на 14  Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.  Пример:   Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.   Признаки делимости на 15  Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.  Например:  1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.   Признаки делимости на 19  Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.  1 0 2 6  1 2  1 1 4  8   1 9   Числа кратные 19 всегда делятся на 19.  19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..  Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.  В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.  Признаки делимости на 25  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:  Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.   Признаки делимости на 50  Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.  Например:6957200, 67906850.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава V. Понятия НОД  и НОК.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется их общий делитель d (т.е.   и  ), который делится на любой другой общий делитель m и n. Наибольший общий делитель определён если хотя бы одно из чисел m или n не ноль. Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел m и n: (m,n), а иногда НОД(m,n) или GCD(m,n).

Числа m и n называются взаимно-простыми, если (m,n)=1.

Эффективным способом вычисления наибольшего общего делителя является алгоритм Евклида.

Понятие наибольшего общего делителя естественно обобщается на набор целых чисел. Он тоже вычисляется алгоритмом Евклида. Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Например, НОД(6,10,15)=1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Поскольку понятие делимости целых чисел естественно обобщается на рациональные числа(например, 0.5 делится нацело на 0.25, а 0.25 на 0.5 нацело не делится), то понятия НОД и НОК распространяются и на наборы рациональных чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее целое число которое делится на m и n. Обычно обозначается  , а иногда НОК(m,n) или LCM(m,n).

Набор целых чисел   называется взаимно простыми числами, если их наибольший общий делитель равен единице

Свойства  Пусть известно разложение чисел m и n на простые множители

здесь   — различные простые числа, а   и   неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если   в разложении отсутствует). Тогда НОД и НОК выражаются формулами:

Для любых m и n        это частный случай более общей теоремы:

Если   — ненулевые рациональные числа, тогда    

Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определен как наименьший положительный элемент всех их линейных комбинаций:

и, таким образом (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

.

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и v —коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы  , порождённая набором  , —циклическая и порождается одним элементом 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. Алгоритм Евклида для целых чисел.

Пусть   и   — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое   — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   и  , равен  , последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких  , то есть возможность деления с остатком   на   для любого целого   и целого  , доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

Пусть  , тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

Доказательство  

НОД(0, ) =   для любого ненулевого   (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа   и   и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим разность меньше чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q0 = 2), оставаясь с остатком 147

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим знаменатель меньше чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q1 = 3), оставаясь с остатком 21.

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим знаменатель меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q2 = 7), оставаясь без остатка.

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071>462>147>21

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462)=21.

В табличной форме, шаги были следующие:

Шаг k

Равенство

Частное и остаток

0

1071 = q0 462 + r0

q0 = 2 и r0 = 147

1

462 = q1 147 + r1

q1 = 3 и r1 = 21

2

147 = q2 21 + r2

q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2.  Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу.

Соотношение Безу

Формулы для   могут быть переписаны следующим образом:

НОД 

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу.

Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

Отношение   допускает представление в виде цепной дроби:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу  , взятому со знаком минус:

.

Последовательность равенств, задающая алгоритм Евклида может быть переписана в форме:

 

 

Последнее слагаемое в правой части равенства всегда равно обратному значению левой части следующего уравнения. Поэтому первые два уравнения могут быть объединены в форме:

Третье равенство может быть использовано чтобы заменить знаменатель выражения r1/r0, получим:

 

Последнее отношение остатков rk/rk−1 всегда может быть заменено используя следующее равенство в последовательности, и так до последнего уравнения. Результатом является цепная дробь :

В приведённом выше примере, НОД(1071, 462) было посчитано и были найдены частные qk 2,3 и 7 соответственно. Поэтому, 1071/462 может быть

записана  как  :       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение  В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.   Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.   Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.  В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел  Для решения этих проблем ставлю следующие задачи: 

 Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

  

 

                                                                                      

 

myunivercity.ru

Делимость множества чисел — курсовая работа

  1.  Число, стоящее до десятков умножить на два,

  1.  К результату прибавить оставшееся число.

  1.  Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:

 4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.   Признаки делимости на 8  Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр  делится на 8.  Например:  6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.   Признаки делимости на 9  Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,   чтобы сумма его цифр делилась на 9.  Например:  598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4  Признаки делимости на 10  Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.  Например:  33312890 – делится на 10.  Признаки делимости на 11  Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.  Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.  Испытаем число 100397.  Нумерация идет слева направо.  1+0+9=10  0+3+7=10  10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.   Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:  Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.  Например, испытаем число 15235.  Разбиваем на группы       и складываем их:  1+52+35=88.  88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.   Признаки делимости на 12  Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.   Признаки делимости на 13  Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.  Например:  858 делится на 13, так как   делится на 13.   Признаки делимости на 14  Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.  Пример:   Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.   Признаки делимости на 15  Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.  Например:  1146795 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.   Признаки делимости на 19  Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.  1 0 2 6  1 2  1 1 4  8   1 9   Числа кратные 19 всегда делятся на 19.  19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..  Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.  В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.  Признаки делимости на 25  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:  Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.   Признаки делимости на 50  Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.  Например:6957200, 67906850.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава V. Понятия НОД  и НОК.

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел m и n называется их общий делитель d (т.е.   и  ), который делится на любой другой общий делитель m и n. Наибольший общий делитель определён если хотя бы одно из чисел m или n не ноль. Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел m и n: (m,n), а иногда НОД(m,n) или GCD(m,n).

Числа m и n называются взаимно-простыми, если (m,n)=1.

Эффективным способом вычисления наибольшего общего делителя является алгоритм Евклида.

Понятие наибольшего общего делителя естественно обобщается на набор целых чисел. Он тоже вычисляется алгоритмом Евклида. Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Например, НОД(6,10,15)=1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Поскольку понятие делимости целых чисел естественно обобщается на рациональные числа(например, 0.5 делится нацело на 0.25, а 0.25 на 0.5 нацело не делится), то понятия НОД и НОК распространяются и на наборы рациональных чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее целое число которое делится на m и n. Обычно обозначается  , а иногда НОК(m,n) или LCM(m,n).

Набор целых чисел   называется взаимно простыми числами, если их наибольший общий делитель равен единице

Свойства  Пусть известно разложение чисел m и n на простые множители

здесь   — различные простые числа, а   и   неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если   в разложении отсутствует). Тогда НОД и НОК выражаются формулами:

Для любых m и n        это частный случай более общей теоремы:

Если   — ненулевые рациональные числа, тогда    

Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определен как наименьший положительный элемент всех их линейных комбинаций:

и, таким образом (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

.

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и v —коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы  , порождённая набором  , —циклическая и порождается одним элементом 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.1. Алгоритм Евклида для целых чисел.

Пусть   и   — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

определена тем, что каждое   — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель   и  , равен  , последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких  , то есть возможность деления с остатком   на   для любого целого   и целого  , доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

Пусть  , тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

Доказательство  

НОД(0, ) =   для любого ненулевого   (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа   и   и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим разность меньше чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q0 = 2), оставаясь с остатком 147

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим знаменатель меньше чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q1 = 3), оставаясь с остатком 21.

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим знаменатель меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q2 = 7), оставаясь без остатка.

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071>462>147>21

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462)=21.

В табличной форме, шаги были следующие:

Шаг k

Равенство

Частное и остаток

0

1071 = q0 462 + r0

q0 = 2 и r0 = 147

1

462 = q1 147 + r1

q1 = 3 и r1 = 21

2

147 = q2 21 + r2

q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2.  Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу.

Соотношение Безу

Формулы для   могут быть переписаны следующим образом:

НОД 

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу.

Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

Отношение   допускает представление в виде цепной дроби:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу  , взятому со знаком минус:

.

Последовательность равенств, задающая алгоритм Евклида может быть переписана в форме:

 

 

Последнее слагаемое в правой части равенства всегда равно обратному значению левой части следующего уравнения. Поэтому первые два уравнения могут быть объединены в форме:

Третье равенство может быть использовано чтобы заменить знаменатель выражения r1/r0, получим:

 

Последнее отношение остатков rk/rk−1 всегда может быть заменено используя следующее равенство в последовательности, и так до последнего уравнения. Результатом является цепная дробь :

В приведённом выше примере, НОД(1071, 462) было посчитано и были найдены частные qk 2,3 и 7 соответственно. Поэтому, 1071/462 может быть

записана  как  :       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение  В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.   Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.   Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.  В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел  Для решения этих проблем ставлю следующие задачи: 

 Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

  

 

                                                                                      

 

myunivercity.ru

Смотрите также