2.3 Асимптоты графика функции. Асимптоты функции реферат

Реферат : Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x  а (соответственно для всех

x  а). Если существуют такие числа k и l, что f(x)  kx  l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x    (соответственно при х   ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х  + 

(или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x 3x  2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x  4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х   , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х  + ,

так и при х   .

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

 - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,  ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ  0 и MP  0 при х    (соответственно при х   ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х   

х   

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х    или, соответственно, х   ).

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х    (при х    рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х   . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х   . Тогда

lim = k.

х   

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х   

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

х   

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х   

lim f (x)  (kx + l) = 0,

х   

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х    х   

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х    х   

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х   , так и при х  - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть  lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  +) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x  a  0 lim f (x) =  . Тогда говорят, что прямая x = a является

х  

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в +  или  .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х   

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x  

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x  + имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x  -  асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6)

Использованная литература

Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
Лекции по математике

topref.ru

Реферат Асимптоты

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Виды асимптот графиков
- 1.1 Вертикальная
- 1.2 Горизонтальная
- 1.3 Наклонная
2 Нахождение асимптот
- 2.1 Порядок нахождения асимптот
- 2.2 Наклонная асимптота — выделение целой части
3 Свойства

Введение

Аси́мптота (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[1]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[2].

1. Виды асимптот графиков

1.1. Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида ~x = a при условии существования предела $\lim_{x \to a}f(x)= \infty$ .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

$\lim_{x \to a-0}f(x)= \infty$
$\lim_{x \to a+0}f(x)= \infty$

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

1.2. Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида ~y = a при условии существования предела

$\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a$ .

1.3. Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида ~y=kx+b при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

$\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
$\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен $\infty$ ), то наклонной асимптоты при $x \to + \infty$ (или $x \to - \infty$ ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0$ , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0$ , и из выше указанных замечаний следует, что

Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

График функции с двумя горизонтальными асимптотами

2. Нахождение асимптот

2.1. Порядок нахождения асимптот

Нахождение вертикальных асимптот.
Нахождение двух пределов $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
Нахождение двух пределов $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ :

если ~k=0 в п. 2.), то ~kx=0 , и предел $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ ищется по формуле горизонтальной асимптоты, $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a$ .

2.2. Наклонная асимптота — выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция $~f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}$ .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

$~f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}$ .

При $~ x \to \infty$ , $\frac{x+2}{x^2+1} \to 0$ , то есть:

$\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(2x+5)= \pm \infty$ ,

и ~y=2x+5 является искомым уравнением асимптоты.

3. Свойства

Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы.

Примечания

Математическая энциклопедия (в 5 томах) - eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
Математический энциклопедический словарь - termist.com/bibliot/stud/ma_en_sl/21/080_1.htm — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.

Литература

Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

wreferat.baza-referat.ru

2.3 Асимптоты графика функции. Исследование функций

Доклад - Асимптота - Математика

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

Введение

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x <а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) — kx — l = 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x®+¥ (соответственно при х ®-¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ®-¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x — 3x — 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x — 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ®±¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ®-¥.

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М — проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q — угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММс асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ= f (x), QM= kx + l, MQ = MM — QM= f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х ®+¥

х ®+¥

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+¥ или, соответственно, х ®-¥).

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ®+¥ (при х ®-¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ®+¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+¥. Тогда

lim = k.

х ®+¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + ¥

х ®+¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ®+¥

lim [f (x) — (kx + l)] = 0,

х ®+¥

х ®+¥ х ®+¥

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ®+¥, так и при х ® — ¥.

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть $lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x® +¥) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ±¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

х ®¥

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ®¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x ®- ¥ асимптота имеет вид y = — x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6)

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по математике

www.ronl.ru

Реферат Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВАРЕФЕРАТпо дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

Введение

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).42. Нахождение асимптоты Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x- 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ® - ¥.

2.1 Геометрический смысл асимптоты

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹,

(рис.1)Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM- QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х ® + ¥

х ® + ¥

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда

lim = k.

х ® + ¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х ® + ¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ® + ¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ® + ¥то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ® + ¥ х ® + ¥

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx)

х ® + ¥ х ® + ¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:7то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.83. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

(рис.2)хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

х ® ¥

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

103.3 Наклонная асимптота

(рис.5)Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6) 12

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по математике

bukvasha.ru

Реферат: Асимптота

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила:студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил:Рошаль А.С.

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4

2.1 Геометрический смысл асимптоты 5

2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6

3. Виды 8

3.1 Горизонтальная асимптота 8

3.2 Вертикальная асимптота 9

3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

Введение

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x <а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ®+¥ (соответственно при х ®-¥), то прямая

y = kx + l

называетсяасимптотой графика функцииf (x) при x®+¥ (соответственно при х ®-¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

x- 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ®±¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ®-¥.

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М- проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q¹,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММс асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ= f (x), QM= kx + l, MQ = MM- QM= f (x) – (kx +l),

то и lim MP = 0, и наоборот. х ®+¥

х ®+¥

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ®+¥ или, соответственно, х ®-¥).

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ®+¥. Тогда

lim= k.

х ®+¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

х®+¥

х ®+¥

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

х ®+¥

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

х ®+¥

х ®+¥ х ®+¥

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim= k. и l = lim (f (x) – kx)

х ®+¥ х ®+¥

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) =,

найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ®+¥, так и при х ® - ¥.

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ±¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

х ®¥

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ®¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x ®- ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функциивыглядит так (рис.6)

(рис.6)

Использованная литература

1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3. Лекции по математике

superbotanik.net

Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

РЕФЕРАТ

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

Москва 2002 год2Содержание ВВЕДЕНИЕ 32. Нахождение асимптоты 4 2.1 Геометрический смысл асимптоты 5 2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6 3. Виды 8 3.1 Горизонтальная асимптота 8 3.2 Вертикальная асимптота 9 3.3 Наклонная асимптота 10 Использованная литература 123ВВЕДЕНИЕ

2. Нахождение асимптоты

Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех

x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х +

(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

x 3x 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,

2 2

получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х + ,

так и при х .

2.1 Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) - точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ - асимптота,

- угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ,

MP - перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q - точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

(рис.1)

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) - (kx +l),

MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот. х

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда

lim = k.

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) - kx).

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) - kx), то прямая y = kx + l является

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) - kx) имеем

lim f (x) (kx + l) = 0,

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) - kx)

х х

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) - kx)

х х

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x - 4, как при х , так и при х - .

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

Пусть lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2)

(рис.2)

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

(рис.3)

3.2 Вертикальная асимптота

(рис.4)

Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

3.3 Наклонная асимптота

(рис.5)

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b - f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b - f (x) стремится к 0 при х

lim [f (x) - (ax + b)] = 0.

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

(рис.6)

Использованная литература

Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

Лекции по математике

referatwork.ru

2.3 Асимптоты графика функции. Асимптоты функции реферат

Реферат : Асимптота

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

Использованная литература 12

Введение

Реферат Асимптоты

План:

Введение

1. Виды асимптот графиков

1.1. Вертикальная

1.2. Горизонтальная

1.3. Наклонная

2. Нахождение асимптот

2.1. Порядок нахождения асимптот

2.2. Наклонная асимптота — выделение целой части

3. Свойства

Примечания

Литература

2.3 Асимптоты графика функции. Исследование функций

Похожие главы из других работ:

1.4 Элементы статистического графика

4.2.1 Построение графика функции вида y = f(-x)

4.2.2 Построение графика функции вида y = - f(x)

4.2.4 Построение графика обратной функции

4.3.1 Деформация графика вдоль оси ординат

2.4 Асимптоты

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

3. Асимптоты графика функции.

4. Общая схема построения графика функции.

4. Общая схема построения графика функции

1.2 Построение графика

1.5 Нахождение эмпирической функции, построение ее графика

3. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЭСКИЗА ЕЕ ГРАФИКА

Выпуклость и вогнутость графика функций

Доклад - Асимптота - Математика

Введение 3

Использованная литература 12

Реферат Асимптота

Москва 2002 год

Содержание

Введение 3

Использованная литература 12

Введение

Реферат: Асимптота

Введение 3

Использованная литература 12

Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

Смотрите также