Особенности античной науки. Античная логика и математика. Античная логика и математика реферат

Особенности античной науки. Античная логика и математика

Античная философия продемонстрировала, как можно планомерно развертывать представление о различных типах объектов  и способах их мысленного освоения. Она дала образцы построения знаний о таких объектах. Это поиск единого основания и выведение из него следствий. Эти образцы оказали бесспорное влияние на становление теоретического слоя исследований в античной математике.

Греческий полис принимал социально значимые решения, пропуская их через фильтр конкурирующих предложений и мнений на народном собрании. Преимущество одного мнения перед другим выявлялось через доказательство, диалог велся между равноправными гражданами, и единственным критерием была обоснованность предлагаемого норматива. Этот сложившийся в культуре идеал обоснованного мнения был перенесен античной философией и на научные знания. Именно в греческой математике мы встречаем изложение знаний в виде теорем: “дано — требуется доказать — доказательство” (в то время как в древнеегипетской и вавилонской математике схема: “делай так — смотри, ты сделал правильно”).

Первые шаги к осознанию и развитию диалектики как метода были связаны с анализом столкновения в споре противоположных мнений. Что же касается логики, то ее разработка в античной философии началась с поиска критериев правильного рассуждения в ораторском искусстве и выработанные здесь нормативы логического следования были затем применены к научному рассуждению.

Применение образцов теоретического рассуждения к накопленным на этапе преднауки знаниям математики постепенно выводили ее на уровень теоретического познания. Уже в истоках развития античной философии были предприняты попытки систематизировать математические знания, полученные в древних цивилизациях, и применить к ним процедуру доказательства. Так, Фалесу, одному из ранних древнегреческих философов, приписывается доказательство теоремы о равенстве углов основания равнобедренного треугольника. Ученик Фалеса Анаксимандр составил систематический очерк геометрических знаний, что также способствовало выявлению накопленных рецептов решения задач, которые следовало обосновывать и доказывать в качестве теорем.

Важнейшей вехой на пути создания математики как теоретической науки были работы пифагорейской школы. Ею была создана картина мира, в основе которой лежал принцип: началом всего является число. Пифагорейцы считали числовые отношения ключом к пониманию мироустройства. И это создавало особые предпосылки для возникновения теоретического уровня математики. Числа представали как особые объекты, которые нужно постигать разумом, изучать их свойства и связи, а затем уже, исходя из знаний об этих свойствах и связях, объяснить наблюдаемые явления. Именно эта установка характеризует переход от чисто эмпирического познания количественных отношений к теоретическому исследованию.

В пифагорейской математике, наряду с доказательством ряда теорем, наиболее известной из которых является знаменитая теорема Пифагора, были осуществлены важные шаги к соединению теоретического исследования свойств геометрических фигур со свойствами чисел. Связи между этими двумя областями возникающей математики были двухсторонними. Пифагорейцы стремились не только использовать числовые отношения для характеристики свойств геометрических фигур, но и применять к исследованию совокупностей чисел геометрические образы.

Разработка теоретических знаний математики проводилась в античную эпоху в тесной связи с философией и в рамках философских систем. Практически все крупные философы античности — Демокрит, Платон, Аристотель и др. — уделяли огромное внимание математическим проблемам. Они придали идеям пифагорейцев, отягощенным многими мистико-мифологическими наслоениями, более строгую рациональную форму. И Платон, и Аристотель, хотя и в разных версиях, отстаивали идею, что мир построен на математических принципах, что в основе мироздания лежит математический план. В античную эпоху уже была сформулирована идея о том, что язык математики должен служить пониманию и описанию мира. Развитие теоретических знаний математики в античной культуре достойно завершилось созданием первого образца научной теории — евклидовой геометрии. В принципе ее построение, объединившее в целостную систему отдельные блоки геометрических задач, решаемых в форме доказательства теорем, знаменовали формирование математики в особую, самостоятельную науку.

Вместе с тем в античности были получены многочисленные приложения математических знаний к описаниям природных объектов и процессов. Прежде всего это касается астрономии, где были осуществлены вычисления положения планет, предсказания солнечных и лунных затмений, предприняты смелые попытки оценить размеры Земли, Луны, Солнца и расстояний между ними. В античной астрономии были созданы две конкурирующие концепции строения мира: гелеоцентрические представления Аристарха Самосского и геоцентрическая система Гиппарха и Птолемея.

В античную эпоху были сделаны также важные шаги в применении математики к описанию физических процессов. Особенно характерны в этом отношении работы великих эллинских ученых так называемого александрийского периода — Архимеда, Евклида, Птолемея и др. В этот период возникают первые теоретические знания механики, среди которых в первую очередь следует выделить разработку Архимедом начал статики и гидростатики (развитая им теория центра тяжести, теория рычага, открытие основного закона гидростатики и разработка проблем устойчивости и равновесия плавающих тел и т.д.).

Все эти знания можно расценить как первые теоретические модели и законы механики, полученные с применением математического доказательства. В александрийской науке уже встречаются изложения знаний, не привязанные жестко к натурфилософским схемам и претендующие на самостоятельную значимость.

До рождения теоретического естествознания как особой, самостоятельной и самоценной области человеческого познания и деятельности оставался один шаг. Однако античная наука не смогла развить теоретического естествознания и его технологических применений. Причину этому большинство исследователей видят в рабовладении — дешевый труд рабов не создавал необходимых стимулов для развития солидной техники и технологии, а, следовательно, и обслуживающих ее естественнонаучных и инженерных знаний.

Понравилось это:

Нравится Загрузка...

Похожее

shpory.wordpress.com

Логика античного времени

Министерство культуры и туризма Украины

Харьковская государственная академия культуры

Реферат по логике

На тему: «История логики античного времени»

Выполнила студентка 2го курса

Факультет менеджмент

Спец-сть соц.педагогика

Котелевец Э.Ю.

Проверил: Щедрин А.Т.

Харьков,2010

Оглавление

Введение

1. Зарождение логического закона

2. Логические учения античности

3. Логические аспекты учения Демокрита

4. Аристотелевская классификация суждений

5. Гераклит

6. Демокрит как основатель античной логики

7. Пармени́д из Эле́и

8. Сократ

9. Платон

10. Аристотель

Вывод

Список литературы

Введение

Логика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Современная логика, разработанная формально изощрённо, происходит в конечном счёте из греческой традиции (аристотелевской логики), которая, однако, была воспринята не напрямую, а при посредничестве и комментаторской деятельности арабо-мусульманских философов и средневековых европейских логиков.

Основателем логики в древнегреческой философии считается древнегреческий философ Аристотель, так как полагается, что он вывел первую логическую теорию. Предшественниками Аристотеля в развитии логической науки в Древней Греции были Парменид, Зенон Элейский, Сократ и Платон. Аристотель же впервые систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и правила логического мышления. Его цикл сочинений «Органон» состоит из шести работ, посвящённых логике: «Категории», «Об истолковании», «Топика», «Первая аналитика» и «Вторая аналитика», «Софистические опровержения».

После Аристотеля в Древней Греции логика также разрабатывалась представителями школы стоиков. Большой вклад в развитие этой науки внесли оратор Цицерон и древнеримский теоретик ораторского искусства Квинтилиан.

1. Зарождение логического закона

Учение Ксенофана о всеединстве (существует только единое неподвижное бытие, множественность вещей и их движение есть лишь обманчивая видимость) было развито Парменидом Элейским, который в своей поэме "О природе" выступает с защитой этого положения и говорит о единой неделимой материи, вечной, неизменной, неподвижной. Отстаивая положение, что материя всегда остается равной себе и вечно пребывает в одном и том же состоянии, Парменид впервые дает метафизическую формулировку логического закона тождества: бытие есть, небытия нет.

Ученик Парменида Зенон Элейский выдвинул знаменитые аргументы против движения и множественности вещей. Заслуга Зенона в том, что он первый вскрыл противоречивость движения и сделал попытку выразить эту противоречивость в понятиях. Но, показав противоречивость "понятия движения, он отверг движение материи. Аристотель называет Зенона изобретателем диалектики, а Гегель находит у него объективную и субъективную диалектику, но у Зенона "отрицательная диалектика", поскольку от противоречивости движения он умозаключает к "неистинности" его.

В элейской школе впервые в Древней Греции мы встречаем логическую форму доказательства в виде цепи дедуктивных умозаключений. Таковы рассуждения Ксенофана и Мелисса, приводимые в псевдоаристотелевском сочинении "О Мелиссе, Ксенофане и Горгии", такова аргументация Парменида в его поэме "О природе", и особенно тонко разработанной логической формой дедуктивных умозаключений выделяются сочинения Зенона.

В противоположность элейскому учению о вечном, неизменном и неподвижном бытии Гераклит Эфесский выступает с учением о всеобщем движении и изменении, источником которого являются единство и борьба противоположностей. В известном изречении Гераклита говорится, что наш материальный мир единственно существует, кроме него нет другого, потустороннего, мира, мир не создан никем, он всегда был, есть и будет "вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и закономерно угасающим". Мир Гераклит понимает как единое целое, все части которого находятся во взаимосвязи и взаимозависимости. Это единое сущее находится в непрерывном изменении. Все течет, ничто не пребывает без движения и изменения.

2. Логические учения античности

В историко-философской традиции анализ древнегреческой логики начинается с рубежа IV-V вв. до н.э, а именно: по деятельности Парменида (540-470) - представителя элейской школы, возникшей на территории "Великой Греции" (юг современной Италии). Он дал первую формулировку закона тождества, рассматривал его как свидетельство неизменности содержания мысли. Парменид отождествлял бытия и мышления и считал этот закон также и законом бытия.

Одно и то же мнение (noema) и предмет мысли (noeton), ведь без бытия, в котором воплощена мысль, не найдешь мысли.

Парменид

Парменид выдвинул тезис о различии позирности от истинного знания сути, в дальнейшем были развиты в философии Платона.

Противоположной точки зрения придерживался современник Парменида Гераклит (550-480). Логико-гносеологическая доктрина Гераклита содержит четыре конституционные элементы.

1. Обоснование диалектического метода - принцип "все течет, все изменяется".

2. Определение понятия закона и образцы понятийного мышления.

3. Постановка проблемы отображения движения в мышлении.

4. Разграничение моментов субъективности и объективности в процессе мышления.

В одну и ту же реку мы входим и не входим, существуем и не существуем.

Гераклит

Закон предстает у Гераклита как "logos", что в переводе с древнегреческого языка означает и "слово", и "понятия", и "смысл", и "бог". Гераклит одним из первых трактовал мышление как способ познания в понятиях, благодаря чему мышление может познавать общее.

Основы логики дедуктивного типа заложил ученик Парменида Зенон Элейский (490-430). Он основал приемы косвенного доказательства. В истории логики он особенно известен своими апориями (греч. aporia - тупик, недоразумение, затруднительное положение). Наиболее популярными являются апории "Ахилл и черепаха", "Дихотомия", "Стрела", "Стадий", в которых описываются трудности отражение в понятиях противоречивости движения. Зенон утверждал, например, что быстроногий Ахилл никогда не догонит черепахи, поскольку, пока Ахилл бежит к тому месту, где находилась черепаха в начале соревнования, она продвинется вперед на какое-то расстояние. Получается, что Ахилл никогда не догонит черепахи.

3. Логические аспекты учения Демокрита

Дальнейшее развитие индуктивного метода наблюдаем у Сократа (470-399). Он использовал индукцию для поиска общего на пути восхождения от единичных высказываний в повседневной жизни, бытовых разговорах ко все более общих понятий. Он разграничил индукцию и сравнения. Вторым способом исследования, которым пользовался Сократ в беседах, является определение (дефиниция) понятий, то есть процесс все более точного выяснения их объема и содержания, чего достигают в дискуссиях. Античный мудрец назвал этот метод "маевтикой", т.е. искусством, которое помогает рождению мысли.

В античной логике заметную роль играла мегарской школы (Мегары - греческий город), основателем которой был Евклид (450-380). Представители этой школы разработали теорию эристика (искусства дискуссии), широко использовали метод косвенного доказательства и сформулировали ряд парадоксов ("Лжец", "Покрытый", "Куча" и др.). Логику мегарики трактовали весьма ограниченно - как эристику, т.е. науку о полемику. Для формулировки парадоксов они использовали интенсиональний (лат. - напряжение, намерение) контекст с предикатом "х знает, что ...". Представитель мегарской школы Филон разработал теорию материальной импликации, которая определяет истинность сложного суждения без учета содержания его составляющих - простых суждений, а лишь по характеру связи. Филон очертил три случая истинности таких суждений:

- Антецедент и консеквент истинные;

- Антецедент и консеквент ложны;

- Антецедент неверен, а консеквент истинный.

Филон утверждает, что правильным связью является тот, когда нет того, чтобы неистинным сложный выражение начинался с истины, а заканчивался недостатком.

Секст Емпирик

Существенный вклад в развитие логики принадлежит Платону (427-347). Проблемы логики рассматриваются в его диалогах "Теэтет", "Парменид", "Софист" и др. В них оказывается первая в истории философии таблица категорий. Платон был предшественником схоластического учения о субъект и предикат суждения. Теория суждения содержится в диалоге "Софист". Платон различает два вида языковых выражений: одни называют именами, другие - глаголами. В диалоге "Теэтет" сформулирован закон исключенного третьего (tertium non datur). В диалоге "Евтидем" дано формулировка закона противоречия, который толкуется онтологически. Платон отмечал необходимость сочетать в мышлении признание противоположностей в объекте с соблюдением требований закона противоречия, то есть запрета формальных противоречий в мышлении. В диалоге "Тимей" можно найти положения, которые являются определенным выражением закона достаточного основания. Утверждается, что знания (эпистемы) от мнения (дока) отличается тем, что первое основывается на достаточном основании. Всего логическое учение Платона является определенным итогом и завершением всего предшествующего развития античной логики. Оно стало необходимой основой аристотелевской логики.

www.coolreferat.com

Культура античного полиса и становление первых форм теоретической науки. Античная логика и математика.

Переход к научному знанию связывают с Древней Грецией, когда в ней впервые возникает геометрия как теоретическая система, которая нашла свое завершение в аксиоматической теории Евклида. Древние греки охотно признают, что многие эмпирические сведения по геометрии, астрономии и арифметике они заимствовали у египтян и вавилонян, но они придали им рациональный характер и все привели в целостную систему теоретического знания.

«Что бы эллины ни перенимали от варваров, ? утверждал Платон, ? они всегда доводили это до более высокого совершенства»1.

Такого совершенства они достигали путем рациональной обработки эмпирического материала, т.е. когда стали работать не с реальными предметами, а с их математическими моделями. Исследуя связи между идеальными объектами таких моделей, они выделяли в них основные понятия и недоказуемые утверждения, названные ими аксиомами. Все остальные знания они постарались доказать с помощью логики, т.е. выводили их логически как теоремы. Таким образом, важнейшими условиями возникновения первой теоретической науки, как геометрия, стало введение абстрактных объектов (точки, прямые и плоскости). Логические связи между этими объектами описывались с помощью системы аксиом. Такая аксиоматическая система и стала концептуальной моделью геометрии, как теоретической науки.

Следовательно, переход от преднаучной к научной стадии развития в античной геометрии был связан с отказом от эмпирического изучения предметов, обладающих определенной геометрической конфигурацией, и обращением к теоретическому исследованию их геометрической формы, независимо от конкретного вещественного содержания. Для этого необходимо было использовать различные типы абстракций, чтобы определить основные понятия геометрии. С другой стороны, необходимо было располагать достаточно развитой системой логики, чтобы выделить, во-первых, исходные утверждения геометрии среди остальных и сформулировать их в виде аксиом; во-вторых, вывести остальные утверждения теории из этих аксиом, т.е. получить их как логические следствия из аксиом или доказать как теоремы. Так впервые появляется понятие теоретического доказательства, заменившее непосредственное обращение к реальному предмету или к чертежу, сопровождавшееся указанием: «смотри».

Законченную аксиоматическую форму геометрические знания получили только в III веке до н.э. в знаменитых «Началах» Евклида, ставших впоследствии образцом строгости математического изложения. Но этому предшествовал с VI по III в. до н.э. период накопления и систематизации различных доказательств, которые Евклид систематизировал, переформулировал и добавил к ним собственные доказательства в своих «Началах». Чтобы получить более ясное представление о систематизации геометрических знаний, рассмотрим кратко, как происходил этот процесс в истории древнегреческой математики.

Начало этого процесса связывают с именем родоначальника милетской школы Фалеса, считавшегося первым из семи древних мудрецов. По свидетельству первого комментатора «Начал» Евклида, неоплатоника Прокла, «Фалес путешествовал в Египет и привез геометрию в Элладу; многое он открыл сам и для многого другого он дал основу жившим после него. Иногда он рассматривал вопрос общее, иногда больше опираясь на наглядность»1. Фалесу приписывают, в частности, доказательство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, а также равенства двух треугольников, имеющих равными одну сторону и два прилежащих к ним угла. Эта теорема применяется при определения расстояния до корабля на море, которым пользовался Фалес. Хотя эти элементарные геометрические утверждения, по-видимому, эмпирически были известны египтянам, а тем более вавилонянам, тем не менее они не стремились доказывать их логически. Заслуга Фалеса именно в том и состоит, что он первый положил начало логическим доказательствам теорем в геометрии и тем самым способствовал дедуктивному построению этой науки. Но иногда, как замечает Прокл, он опирался также на наглядность.

Дальнейший прогресс в геометрии связан с именем величайшего ученого античности Пифагора, имя которого известно каждому школьнику по знаменитой его теореме. По мнению Прокла, «Пифагор ...преобразовал эту науку в форму свободного образования. Он изучал эту науку, исходя от первых ее оснований и старался получать теоремы при помощи чисто логического мышления, вне конкретных представлений»2. Однако для большинства своих современников Пифагор был скорее религиозным пророком, который проповедовал бессмертие души, ввел для своих сторонников строгие правила морали и основал братство верующих ? пифагорейский орден. Математика была составной частью религии этого ордена. «Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог ? это единство, а мир ? множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях»3. Самому Пифагору приписывают нахождение «золотой пропорции»

А: Н = R: В, где Н ? гармоническое среднее, a R ? арифметическое среднее.

По свидетельству историков, Пифагор нашел эту пропорцию благодаря знакомству с трудами вавилонских математиков. Он совершал путешествия в Вавилон и Египет. Поэтому некоторые исследователи считают, что он являлся передатчиком вавилонской учености античным грекам. Свой тезис об упорядоченности числами всего существующего в мире пифагорейцы демонстрировали с помощью музыкальной гармонии. Если уменьшить длину струны вдвое, то ее тон повысится на одну октаву. Аналогично этому, если уменьшить ее в отношении 3:2 и 4:3, то ему будут соответствовать интервалы квинта и кварта, что якобы подтверждает основной их принцип «все есть число».

Такая магическая вера в числовые закономерности, которые управляют миром, побудила пифагорейцев заняться тщательным анализом свойств чисел. Среди них они выделяют в первую очередь знаменитую тетраду: 1, 2, 3, 4, которая геометрически изображается совершенным треугольником, а арифметически ? треугольным числом 1 + 2 + 3 + 4= 10. Кроме того, они рассматривали так называемые совершенные числа, равные сумме своих делителей, например, 6=1+2 + 3 = 6. Весьма важными видами чисел они считали фигурные числа: треугольные, квадратные, четырехугольные, пятиугольные, «дружественные» числа и некоторые другие.

Однако главными достижениями пифагорейской школы считают поиск строго логических доказательств в геометрии, в особенности знаменитой теоремы о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника, равной сумме квадратов его катетов. По легенде эта теорема восходит к Пифагору, в честь открытия которого он якобы принес в жертву быка, но последнее выглядит неправдоподобно, ибо он был вегетарианцем и противником убоя животных.

Другие открытия Пифагора были связаны с построением и изучением свойств правильных многогранников, а также звездчатого пятиугольника («звезды»), который считался символом здоровья и служил опознавательным знаком для пифагорейцев. В астрономии Пифагор считал Землю шаром, находящимся в центре Вселенной, знал о собственном движении планет и Солнца.

Идеи Пифагора получили дальнейшее развитие в V веке до н.э., который считается золотым веком эллинской культуры. В этот период возникают такие материалистические учения, как натурфилософия Анаксагора, который впервые заявил, что Солнце и звезды отнюдь не являются божественными существами, а представляют собой мертвые пламенеющие камни, которые находятся в вихревом движении. За такие высказывания Анаксагор был обвинен в безбожии и изгнан из Афин, несмотря на то, что поддерживал дружеские отношения с его правителем Периклом. В астрономии ему удалось верно объяснить причины лунных и солнечных затмений.

Для всего последующего развития науки выдающееся значение принадлежит гениальной догадке Демокрита об атомном строении материи. Эта догадка не опиралась на какие-либо эмпирические знания, а возникла чисто умозрительным путем. Если продолжать неограниченное деление тел на мельчайшие части, то в конечном итоге можно прийти к тому, что материя в конце концов исчезнет, что противоречит принципу вечного ее существования. Поэтому Демокрит допускает, что в мире должны существовать последние, неделимые ее частицы, которые он назвал атомами (от греч. атоиоа ? неделимый). Несмотря на чисто механические представления о свойствах и взаимодействиях атомов, рациональное содержание его гипотезы об атомах впоследствии нашло блестящее подтверждение в современной науке. Демокрит исправил также некоторые недостатки учения Анаксагора, который допускал, что порядок в мире возник благодаря некоему разуму, который привел в вихревое движение материю. В области геометрии Демокриту приписывают открытие формулы объема пирамиды и конуса, хотя он и не дал им точного доказательства.

В целом, в V веке до н.э. продолжалось дальнейшая разработка проблем планиметрии: нахождение площадей многоугольников, исследование пропорциональности, правильных многоугольников, углов и дуг в круге, а также определение площади круга, пропорциональной квадрату его радиуса. В стереометрии Демокритом были найдены объемы пирамиды и конуса, была поставлена проблема удвоения объема куба и намечены подходы к анализу теории перспективы. Исследование теории чисел, начавшееся с пифагорейской мистики чисел, приобрело затем вполне научный характер. Все эти проблемы нашли дальнейшее развитие в IV веке до н.э., который нередко называют веком Платона. Хотя в политическом отношении этот век был уже временем упадка, но в области философии и точных наук это был период невиданного расцвета. Научная жизнь концентрировалась тогда вокруг Платона и созданной им Академии. Ряд великих математиков были друзьями Платона и его учениками в области философии, а сам он всячески способствовал пропаганде математики, требуя от своих учеников основательного знакомства с математикой, прежде чем заняться философией. «При помощи математики, - читаем мы в его диалоге «Государство» ? очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысячи очей, ибо только им одним может быть обнаружена истина»1.

Платон широко использует в своих знаменитых диалогах метод, который применял в своих устных беседах его великий учитель Сократ. Этот метод часто называют диалектическим, поскольку он основывается на доказательстве истины путем обнаружения противоречий в мнениях собеседника. Поскольку истина не может быть самопротиворечивой, то гипотеза, которая окажется противоречивой отвергается и должна быть заменена другой. Такой способ поиска истины путем обнаружения противоречий в мнениях или предположениях собеседника был заимствован Платоном из математики, где он назывался методом доказательства путем приведения к абсурду. По его собственным словам, диалектика есть точный метод доказательства, и поэтому в его диалогах не встречаются иных методов доказательства, кроме опровержения мнений или гипотез. В своих диалогах он иллюстрирует этот метод путем доказательства теоремы о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

Платон оказал значительное влияние на многих математиков своего времени и был в дружеских отношениях с такими выдающимися учеными, как Архит Тарентский, Тэетет и Евдокс Книдский. Среди них особенно известен Евдокс, как математик и астроном. В математике он разрабатывал так называемый метод исчерпывания, согласно которому можно определить, например, площадь круга путем непрерывного уменьшения разницы между описанными и вписанными в круг правильными многоугольниками. По мере увеличения числа их сторон эта разность может сделана как угодно малой величиной. В астрономии он построил оригинальную систему мира, в центре которой находится шарообразная Земля. Вокруг нее обращаются 27 концентрических сфер, внешняя из которых несет неподвижные звезды, а другие служат для объяснения движений Солнца, Луны и 5 планет. Большую известность Евдокс получил также благодаря описанию звездного неба.

В конце IV века вся греческая математика была собрана в трудах Евклида, озаглавленных как «Начала». По ним учился математике весь цивилизованный мир и до настоящего времени школьный учебник геометрии представляет, по сути дела, переработку сочинения Евклида. Хотя сам он не был великим математиком, но стал талантливым систематизатором и педагогом. Он сумел восполнить многие недостающие положения в существующих теоремах и открыл некоторые недостающие теоремы. Однако главной его заслугой является построение геометрии в соответствии с аксиоматическим методом, согласно которому все ее теоремы логически выводятся из небольшого числа принятых без доказательства аксиом.

Значительных новых результатов древнегреческая математика достигает в александрийскую эпоху в III веке до н.э., когда интеллектуальная жизнь сосредоточилась в Александрии, столице династии Птолемеев, щедро финансировавших науку. Известные ученые этого периода Аристарх, Архимед, Эратосфен, добившиеся значительных результатов в астрономии, механике и географии одновременно были выдающимися математиками. Аристарх Самосский впервые осмелился выдвинуть идею, что не Солнце, а Земля вращается вокруг Солнца, став, таким образом, предтечей гелиоцентрической системы мира. Эратосфен известен своими работами по измерению Земли и составлением географической карты мира. В математике он занимался исследованиями по теории чисел, в частности, он открыл способ, посредством которого можно отсеивать простые числа из нечетных, названное решетом Эратосфена. Великим среди ученых этого периода, несомненно, является Архимед, имя которого известно каждому школьнику по закону, носящему его имя. Архимеду принадлежат и многие механические изобретения, но по словам Плутарха, хотя, эти изобретения прославили его сверхчеловеческую мудрость, сам он полагал, что «сооружение всех приспособлений для практического употребления ? дело низкое и неблагодарное». Поэтому он стремился заниматься делами возвышенными и совершенными, которые находил в математике. Ему принадлежат исследования по вычислению площадей поверхностей и объемов геометрических тел. Он не только развил дальше метод исчерпывания, использованный Архитом Тарентским, но, в сущности, применял для вычисления площадей и объемов метод интегрального исчисления в его геометрической интерпретации.

Последним выдающимся геометром александрийской эпохи является Аполлоний Пергский, известный своими исследованиями по коническим сечениям. Его результаты были развиты и использованы создателем геоцентрической системы мира Клавдием Птолемеем. После Аполлония древнегреческая геометрия, как и математика в целом, приходит в упадок. Этот упадок объясняется, как внешними, так и внутренними причинами. Начать с того, что материальное производство, основанное на рабском труде, не нуждалось в помощи науки, а сами ученые, как показывает пример Архимеда, считали использование науки для практических целей занятием низким и неблагородным. К тому же наука, зависевшая от царских субсидий, сразу же после ухудшения экономики в результате войн и разорения, перестала нормально функционировать. Изменилась и ориентация науки: она стала достоянием придворных кругов, в то время как в классический период к знанию стремились широкие слои свободнорожденных граждан.

К числу внутренних трудностей древнегреческой математики следует отнести отсутствие удобной цифровой системы счисления, которая впервые была создана в Индии. Использование греками букв вместо цифр крайне усложняло процесс вычислений, а отказ от применения иррациональных чисел в алгебре задержал процесс алгебраизации геометрии. Арабы, заимствовавшие индийскую систему счисления, достигли значительных успехов в астрономии, навигации и в других областях познавательной и практической деятельности и тем самым способствовали развитию не только прикладной, но и теоретической математики.