2 класс | Образовательные тесты
Проверяет знание табличных случаев умножения 2 и 3
Математика 2 класс | Автор: Антонова Елена Петровна | ID: 12124 | Дата: 9.10.2020
Тест на проверку вычилительных навыков в пределах 20 полученных в конце 1 класса по программе «Школа Росии».
Математика 2 класс | Автор: Гусева Юлия Александровна | ID: 12574 | Дата: 19.9.2020
Тест подготовлен для урока по теме «Деление и вычитание»
Математика 2 класс | Автор: Арешко Ольга Сергеевна | ID: 12123 | Дата: 27.4.2020
Тематический тест по теме «Выражения» к учебнику М.И. Башмакова 2 класс. В тесте содержатся задания для текущего контроля знаний по теме «Выражения».
Математика 2 класс | Автор: Москвина Т.В. | ID: 12270 | Дата: 23.4.2020
Основной целью итоговой работы является проверка и оценка способности обучающихся 2 класса применять полученные знания для решения разнообразных задач учебного и практического характера средствами математики.
Математика 2 класс | Автор: Горькавая Светлана Николаевна | ID: 12257 | Дата: 23.4.2020
Впишите решение задачи. Например: 6:2=3 или 2*3=6
Математика 2 класс | Автор: Серова Светлана Михайловна | ID: 12207 | Дата: 8.4.2020
Найди значения выражений, выбери правильный ответ
Математика 2 класс | Автор: Фрицлер С.К. | ID: 11986 | Дата: 17.2.2020
Выполни вычисления.
Математика 2 класс | Автор: Киреева Любовь Викторовна | ID: 11730 | Дата: 7.1.2020
Тест составлен по программе «Перспективная начальная школа»
Математика 2 класс | Автор: Арешко Ольга Сергеевна | ID: 11729 | Дата: 9.12.2019
Математика 2 класс | Автор: Королькова Инга Николаевна | ID: 11552 | Дата: 5.11.2019
Страница 1 из 18
интерактивный тренажер по математике для 2 класса на Skills4U
Наши тесты по математике (2 класс) включают более 20 тем, включая сложение и умножение в рамках школьной программы. Если у вашего ребенка возникают трудности с решением примеров, мы рекомендуем пройти бесплатное тестирование по математике 2 класс онлайн на базе интеллектуальной платформы Skills4U. Инновационная методика позволяет дифференцировать сложность заданий в зависимости от уровня подготовки ученика. Каждый ответ проверяется и корректируется, пока не будет получено правильное решение.
Наш метод нацелен на формирование устойчивых навыков счета и решения уравнений в соответствии со школьной программой. Действие, доведенное до автоматизма, становится простым и привычным. Ребенок привыкает решать многие задачи на автомате, не задумываясь. Сокращается время приготовления домашних заданий, существенно улучшаются оценки по предмету. Так, например, на уравнения 2 класса по математике тренажер отводит не более 30-40 минут, но за это время удается создать навык их решения при условии повторения тренировки в течение нескольких дней подряд.
Первичное тестирование по математике, 2 класс, ваш ребенок может пройти бесплатно. Интеллектуальная платформа выставит оценки и даст рекомендации по продолжению обучения. Для того чтобы получить гарантированный результат, следует зарегистрироваться и получить доступ в личный кабинет. С каждым днем результаты будут становиться все лучше, рейтинг будет расти.
Повторные занятия проводятся за плату, вполне умеренную. Предусмотрены три варианта доступа – в течение 1 месяца, полугода и на весь год – полных 12 месяцев. Если вы хотите повысить успеваемость и избавиться от проблем, рекомендуем использовать онлайн тренажер по математике (2 класс) в течение года. Вы не поверите, какой ощутимый результат могут дать 30-40 минут ежедневных занятий.
Вы получите возможность пройти интерактивные онлайн тесты по математике, 2 класс, составленные с учетом индивидуальной подготовки вашего ребенка. Задания не повторяются, каждый раз система выдает новые примеры и уравнения. Интеллектуальный алгоритм анализирует ответы и подстраивается под конкретного ученика. Такой уровень персонализации возможен только при занятиях один на один с педагогом. В данном случае в качестве репетитора выступает тренажер по математике за 2 класс.
Полученные навыки сложения-вычитания, умножения и решения уравнений надежно закрепляются в памяти. Ребенок не испытывает волнения, он действует быстро и уверенно, следуя привычному алгоритму. Можно выбрать тему, которая дается с трудом, и проработать именно ее.
Если трудности у вашего ребенка вызывает математика, комплексный тренажер 2 класс позволит забыть о проблемах и существенно улучшить успеваемость. Это прекрасное дополнение к школьной программе, позволяющее быстро добиться хороших результатов.
Контрольные работы по математике во 2 классе
• Оперативно проверяют знания, умения и навыки
• Выявляют пробелы в знаниях
| • Требуют актуализации знаний, |
2 | оценки ситуации, выбора действий |
класс | Матема Математика Часть Часть 2 |
ЭКЗАМЕН
84
В.Н. Рудницкая
Контрольные работы по МАТЕМАТИКЕ
К учебнику М.И. Моро и др.
«Математика. 2 класс» В 2-х частях
5
класс
РекоменДоВано
Российской Академией ОбразоВания
Издание Восьмое, переработанное и Дополненное
8
Издательство ”ЭКЗАМЕН”
Москва, 2012
удк
ББК 22,1я71
Р83
Имя автора и название щпмруемого издания укваны на титульном листе данной книги (ст, 1274 п. 1 части четвёртой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Изображение учебного издания «Математика. 2 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч, / М,И. Моро, СИ. Волкова, СВ. Степанова. — М.: Просвещение» приведено на обложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвёртой Гражданскот кодекса Российской Федерации).
Рудницкая, В.Н.
Р83 Контрольные работы по математике: 2 класс; к учебнику М.И. Моро и др. «Математика. 2 класс» / В.Н. Рудницкая, — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство «Экзамен», 2012. — 127, [1] с. (Серия «Учебно-методический комплект»)
ISBN 978-5377-04439-0
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения) для начальной школы.
Пособие представляет сборник текущих и итоговых контрольных работ по математике к учебнику М.И. Моро и др. «Математика. 2 масс». Каждая контрольная рафота дана в 6 вариантах.
Пособие адресовано учителям и учащимся массовых школ, гимназий, а также классов с углублённым изучением математики.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных учреждениях.
удк 373:51 (675,2)
ББК 22.1я71
Подписано в печать 29.06.2011. Формат 70х 100/16
Гарнитура «Букварная». Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 2,5.
Усл. печ. л. 10,4. Тираж 20 000 экз. Заказ № 6947-
ISBN 978-5477-04439-0 (Ф Рудницкая В.Н., 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Числа 20-100
Измерение длин12
Решение задач18
Числовые выражения и их значения21 Вычисление длины ломанои и периметра многоугольника27 Итоговая контрольная работа33
Устные вычисления39 Решение задач41
Буквенное выражение47
Уравнение53
Итоговая контрольная работа56
Сложение и вычитание без перехода через десяток68
Прямоугольник74 Письменные приёмы сложения и вычитания с переходом через десяток80 Сложение и вычитание в пределах 10083
Умножение и деление89
Итоговая контрольная работа95
Табличные случаи умножения и деления на 2107 Табличные случаи умножения и деления на З110 Разные случаи табличного умножения и деления113 Решение задач на умножение и деление116
Итоговая контрольная работа122
Предисловие
8
Пособие разработано в соответствии с требованиями ФГОС начального образования к математическому образованию младших школьников и предназначено для проверки уровня овладения второклассниками предметными и общеучебными знаниями и умениями.
Результаты контрольных работ, проводимых в течение всего учебного года, помогут учителю систематически изучать получаемую учащимися мате3 матическую подготовку и своевременно принимать необходимые меры для устранения в ней возможных 4 пробелов.
Контрольные работы содержат задания, целью которых является проверка знаний и умений учащихся по основным блокам содержания программы второго класса: устные и письменные приёмы сложения и вычитания чисел в пределах 100, решение текстовых арифметических задач, величины, геометрические 4 фигуры, работа с информацией.
Степень овладения учащимися общеучебными умениями проверяется заданиями, предполагающими умение наблюдать, сравнивать, делать выводы, выбирать способ действия, распознавать математические объекты, выполнять классификацию, контроль и оценку готовых решений и др.
Каждая контрольная работа представлена в шести вариантах трёх уровней сложности. Однако при этом предполагается, что все учащиеся класса будут поставлены в равные условия. Поэтому, проводя ту или
4
иную контрольную работу, учитель может использо- 82 вать любые варианты, но только одного уровня. Всё зависит от подготовки учащихся: первые два варианта сориентированы на минимальный уровень требований и предполагаются в классах с большинством слабо- и среднеуспевающих детей; третий и четвёртый варианты рассчитаны на классы без отстающих детей, пятыи и шестой предлагаются в классах учащихся, имеющих по математике отметки не ниже четвёрки.
Учителю предоставляется право самостоятельного выбора как числа контрольных работ, так и их содержания и объёма.
Если по каким-либо причинам материал контрольной работы к моменту её проведения не был пройден, соответствующие задания из работы исключаются или заменяются другими заданиями по усмотрению учителя.
Пособие имеет печатную основу, экономящую время на выполнение работ. Продолжительность тематической контрольной работы может варьироваться от 5 до 15 мин; на итоговую работу отводится не 60лее 20—25 минут урока.
Оценивание контрольных работ отметками 5, 4, З, 2 производится учителем в соответствии с существующими нормами оценки.
8
5
семьдесят восемь девяносто девять тридцать один
сто
Запиши предыдущее
29
43
Обведи кружком: меньшее число большее число
Запиши знак < или
58 48
78
99 66
13 31
10 100
при счёте число.
60
100
28 82
40 36
70 90
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 17 | 869 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 1 | 592 |
| Тесты по математике 2 класс, уравнения. Тест № 51 | 584 |
| Тесты по математике 2 класс, примеры. Тест № 38 | 551 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами, сложение и вычитание. Тест № 54 | 534 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 68 | 511 |
| Тесты по математике 2 класс. Школа России. Тест № 33 | 507 |
| 2 класс. Тесты по математике с ответами, умножение. Тест № 61 | 505 |
| Математика 2 класс. Тесты, умножение. | 486 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 5 | 462 |
| Проверочные тесты по математике 2 класс. Тест № 36 | 450 |
| 2 класс. Тесты по математике с ответами, деление. Тест 62 | 435 |
| Тесты по математике 2 класс, уравнения. Тест № 52 | 419 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 16 | 417 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 67 | 414 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 2 | 407 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 10 | 406 |
| Итоговый тест по математике 2 класс. № 25 | 403 |
| Тесты по математике 2 класс бесплатно. Тест № 27 | 398 |
| Тест 22 по математике 2 класс с ответами | 395 |
| Математика 2 класс. Тесты с ответами, умножение | 391 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 65 | 377 |
| Тесты по математике 2 класс, примеры. Тест № 39 | 376 |
| Тесты по математике 2 класс с ответами. Тест 4 | 375 |
| Тесты по математике 2 класс, сложение, вычитание. Тест № 43 | 370 |
рабочих листов по математике для 2-х классов — бесплатно и для печати
Рабочие листы > Математика > 2 класс > Задачи со словами
Рабочие листы по математике для 2 класса
Эти рабочие листы с задачами со словами помещают математические концепции 2-го класса в контекст, понятный учащимся 2-го класса. Мы предлагаем математические задачи для сложения, вычитания, умножения, времени, денег и дробей.
Мы призываем студентов внимательно читать и обдумывать задачи, а не просто распознавать шаблоны ответов.Этому способствует:
- предоставляет несколько рабочих листов для задач со смешанными словами (например, вопросы на вычитание, смешанные с вопросами сложения)
- иногда включает нерелевантные данные в текстовые задачи, поэтому учащиеся должны понимать контекст, прежде чем применять решение
Задачи на сложение для 2 класса
Простое сложение (1-2 цифры)
Чуть сложнее сложение (1-3 цифры)
Задачи на вычитание слов для 2 класса
Простое вычитание (одно- и двухзначные числа)
Вычитание 1-3-значных чисел
Смешанные задачи на сложение и вычитание слов
Смешанное сложение и вычитание в пределах 20
Смешанное сложение и вычитание (две цифры)
Более сложные задачи на сложение и вычитание слов
Задачи умножения слов
Умножение с точностью до 25
Проблемы со словами измерения
Проблемы с длиной слова
Проблемы со словом времени
Время и прошедшее время (с интервалом 1/2 часа)
Время и прошедшее время (интервалы 5 минут)
Задачи с деньгами
Подсчет денег (монет и купюр)
Проблемы с дробными словами
Понимание дробей — рассказы с картинками
Написание и сравнение частей рассказа (части целого, части группы)
Проблемы со смешанными словами
Смесь всех вышеперечисленных типов задач со словами 2-го уровня
Смешение словесных задач на сложение, вычитание и умножение
Образец рабочего листа с задачами для 2-го класса
МАТЕМАТИКА [1968.., .. — ()]
НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ О РАЗВИТИИ НОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ
Наша нынешняя система счисления не всегда была настолько развита, как сегодня. Система счисления тесно связана с ранним доисторическим человеком и с самыми последними открытиями в атомной науке.
Но было время, когда человек не умел считать. Происхождение числа и счета скрыто за бесчисленными доисторическими эпохами.Никто не знает, когда впервые начался подсчет. Прежде чем человек научился считать, он, вероятно, использовал имена или знаки для каждого человека или предмета. Считается, что ранние пастухи называли своих овец по имени, чтобы определить, пропала ли какая-нибудь из них. Подсчет представляет собой очень важную веху в развитии цивилизации. Конечно, сначала числовых имен не было; поэтому было использовано счетчика . Для прилавков человек использовал палки, камешки, пальцы рук, а в некоторых случаях и пальцы ног.Фактически, слово исчисление происходит от латинского, что означает галька ; наши цифры называются цифрами от латинского, что означает пальца .
Ранний пастырь, вероятно, узнал, что вместо того, чтобы называть своих овец по имени, он мог отложить по камешку для каждой овцы, когда он приводил их в загон на ночь, и таким образом узнавал, потерялась ли какая-либо из них.
Можно упомянуть лишь несколько важных достижений в истории математики.Исторические записи свидетельствуют об астрономических и арифметических достижениях ранних вавилонян, шумеров и китайцев. Где-то в далеком прошлом человек узнал, что число полезно для цивилизованной жизни. Уже 5700. . у предшественников вавилонян был календарь и тип практической арифметики.
Одним из величайших математиков зарегистрированной истории был грек Архимед (287 — 212 гг.), Который разработал динамическую математику, которую можно было применить к законам природы.
Практическая цивилизация Древнего Рима, великая во многих других областях, мало способствовала математике.
Переходя к периоду Возрождения, мы обнаруживаем, что в Европу пришли мусульманские племена, принесшие с собой культуру многих цивилизаций, в том числе странную систему счисления, заимствованную у индусов.
Всего около 300 лет назад великий математик и философ. Рене Декарт (1596 — 1650) изображал пары чисел точками.Это создание сделало возможным большой прогресс в науке и математике в восемнадцатом веке. В 1642 году родился один из величайших умов всех времен Исаак Ньютон (1642 — 1727). Ньютон был одним из изобретателей исчисления, которое сейчас изучается студентами колледжей, серьезно интересующимися математикой или физикой.
Немногие открытия в мировой науке могут сравниться с открытием Лобачевского (1792–1856). Подобно Архимеду, Галилею, Копернику и Ньютону, он является одним из тех, кто заложил основы науки.Лобачевский создал один из величайших шедевров математики — неевклидову геометрию.
В нашей системе счисления используются только символы 0, 1, 2 … 9; он имеет десятичную основу и позиционное обозначение. Таким образом, любое целое число может быть выражено этими символами в различных комбинациях и расположениях. База нашей системы — десять. Десять — это, вероятно, основа, потому что у нас десять пальцев, и «пальцы» использовались на ранних стадиях счета.
Неизвестно, когда и кем был изобретен ноль (ноль).Историки считают, что ноль был введен индусами или вавилонянами не позднее девятого века нашей эры и, вероятно, уже во втором веке. . Изобретение нуля и нашей системы счисления — одно из величайших достижений человечества, без которого прогресс науки, промышленности и торговли был бы невозможен. Эта новая система была введена в Европе арабами или мусульманами примерно в начале десятого века. Эти новые числа использовались, и, наконец, примерно через пять веков десятичная система чисел выиграла битву.
год нашей эры
Древний Рим
Архимед
Вавилоняне
исчисление
китайский ,
Коперник
счетчиков ,
считая
Декарт, Рене ,
динамическая математика
Индусы
Галилео
Если какой-либо из них отсутствовал .-
Считается ,
этап
неевклидова геометрия
номер наименования
система счисления
балл
по пункту
позиционное обозначение
доисторический возраст
Период Возрождения ()
Шумеры
ноль (ноль)
Основные математические определения
| На этой странице мы собрали несколько основных определений. Для получения дополнительных определений, объяснений и т. Д. Воспользуйтесь поиском выше. |
| Или найдите свое слово в: |
| Иллюстрированный математический словарь |
Основные операции
В базовой математике есть много способов сказать одно и то же:
Символ | Используемых слов |
|---|---|
+ | Сложение, Сложение, Сумма, Плюс, Увеличение, Итого |
— | Вычитание, Вычитание, Минус, Меньше, Разница, Уменьшение, Убрать, Вычесть |
× | Умножение, умножение, произведение, на, раз, партии по |
÷ | Деление, деление, частное, входит, сколько раз |
Дополнение есть…
… объединение двух или более чисел (или вещей) для получения новой суммы.
Суммируемые числа называются « слагаемых »:
Вычитание …
… отбирая одно число от другого.
Minuend — Subtrahend = Разница
Minuend : Число, из которого нужно вычесть.
Subtrahend : Число, которое нужно вычесть.
Разница : результат вычитания одного числа из другого.
Умножение …
… (в простейшем виде) повторное сложение .
Здесь мы видим, что 6 + 6 + 6 (три шестерки) составляют 18:
Также можно сказать, что 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (шесть троек) составляют 18
Но мы также можем умножать на дроби или десятичные дроби, что выходит за рамки простой идеи повторного сложения:
Пример: 3.5 × 5 = 17,5
, что составляет 3,5 лота из 5 или 5 лотов из 3,5
Подразделение…
… разделение на равные части или группы. Это результат «честного обмена».
УDivision есть свои особые слова, которые нужно запомнить.
Давайте возьмем простой вопрос: 22 разделить на 5 . Ответ: 4 , осталось 2 .
Здесь мы видим важные слова:
Который также может иметь следующую форму:
A Дробь…
… часть целого.
Верхняя часть (числитель) говорит , сколько деталей у нас .
В нижней части (знаменатель) указано , на сколько частей целое делится на .
Подробнее см. Дроби.
Десятичное число …
… число который содержит десятичную точку.
Подробнее см. Десятичные дроби.
Процент есть…
… частей на 100. Символ%
Пример: 25% означает 25 на 100 (25% этого поля — зеленое)
Подробнее см. Проценты.
Среднее (Среднее) составляет …
… сумма , деленная на количество .
Мы вычисляем среднее значение на , складывая все значения , затем делим на , сколько значений .
Пример: Какое среднее значение для 9, 2, 12 и 5?
Сложите все значения: 9 + 2 + 12 + 5 = 28
Разделите на количество значений (их четыре): 28 ÷ 4 = 7
Таким образом, среднее значение 7
Подробнее см. Среднее значение.
Как выучить высшую математику, не отправляясь в университет — Часть 3
В первой и второй статьях этой серии мы рассмотрели курсы, которые читаются в первой половине четырехлетнего курса бакалавриата по математике, и способы их освоения. модули самостоятельно.
В первый год мы обсудили основы — линейную алгебру, обыкновенные дифференциальные уравнения, вещественный анализ и теории вероятностей. На втором курсе мы опирались на эти основы, изучая метрические пространства, интеграл Римана, теорию групп и исчисление в векторных пространствах.
На третьем году четырехлетнего курса магистратуры, особенно курса с прикладной направленностью, который будет интересен квантам, нам нужно начать думать о более абстрактных концепциях, которые подготовят нас к изучению стохастического исчисления, вероятностной машины. Обучение и байесовская эконометрика.
Имея это в виду, важно, чтобы мы изучали такие темы, как теория меры и линейный функциональный анализ.
Оба этих курса содержат идеи, лежащие в основе теории вероятностей, анализа временных рядов и некоторых аспектов машинного обучения.Теория меры учит нас об обобщении интеграла Римана до интеграла Лебега, в то время как линейный функциональный анализ обсуждает функциональные пространства, многие из которых необходимы для решения некоторых дифференциальных уравнений с частными производными.
На этом уровне доступно меньше видеолекций, так как содержание становится довольно сложным. Тем не менее, есть еще множество доступных учебников и конспектов лекций, многие из которых содержат вопросы и решения для проверки ваших знаний.2 + bx + c = 0 $.
Множество таких комплексных чисел обозначается $ \ mathbb {C} $. Одним из ключевых результатов комплексного анализа является Фундаментальная теорема алгебры, которая утверждает, что каждый комплексный многочлен или порядок $ n $ с коэффициентами в $ \ mathbb {C} $ содержит $ n $ корней внутри $ \ mathbb {C} $.
Комплексный анализ связан с концепциями последовательностей, серий, дифференцирования и интеграции, как и в реальном анализе. Однако тот факт, что $ \ mathbb {C} $ двумерен (каждый элемент $ z \ in \ mathbb {C} $ имеет ‘Реальную’ и ‘Мнимую’ компоненты) и имеет другую геометрию по сравнению с $ \ mathbb { R} $ означает, что некоторые известные результаты не совсем совпадают.п $. Однако это очень применимый предмет в различных областях, включая квантовую механику (уравнение Шредингера), гидродинамику (через конформные отображения) и электротехнику (анализ сигналов / преобразование Фурье, теорию управления и т. Д.).
В частности, для приложений количественной торговли анализ сигналов составляет значительную часть некоторых фондов (например, Renaissance Technology — это часто цитируемый пример!), И, следовательно, хорошее понимание того, как ведут себя сложные числа, поможет вам понять инструменты, которые вы используете в гораздо более структурированный способ.
Учебные материалы
Я изучил комплексный анализ в основном из конспектов лекций в университете, а также из текстов курса Яна Стюарта и Дэвида Толла.
Книга Джона Хауи из серии Springer по математике для бакалавриата (SUMS) также отлично подходит для самостоятельного изучения и написана на более простом уровне (возможно, на втором курсе бакалавриата).
Отличным дополнением к более «алгебраическим» подходам является геометрический подход Тристана Нидхэма в его книге «Визуальный комплексный анализ».Я сам склонен лучше понимать концепции, когда вижу их визуально, и эта книга действительно помогла мне понять основные концепции, особенно касающиеся сложных различий.
Если вы предпочитаете учиться с помощью лекций или видеокурсов, Coursera и MIT предлагают бесплатные альтернативы в формате MOOC:
Топология
Топология — это предмет изучения математики, который пытается определить конкретные свойства абстрактных пространств, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях.«Непрерывный» аспект этих преобразований означает, что рассматриваются только такие понятия, как «растяжение» или «изгиб». Если отверстия растрескиваются или части «склеиваются», это не считается топологическими преобразованиями.
В старой математической шутке рассказывается о топологе, который не может отличить чайную чашку от пончика (пончик для тех, кто в США!), Поскольку оба имеют одно отверстие (отверстие в пончике и отверстие в ручке чашки). .
Основными предметами изучения являются топологические пространства, непрерывные преобразования между ними (гомеоморфизмы и диффеоморфизмы), а также понятия компактности и связности.
Элементарная топология ведет к некоторым увлекательным областям математики, включая дифференциальную топологию и алгебраическую топологию. Первый касается изучения многообразий и дифференциальной геометрии — глубокой области математики, имеющей тесную связь с теоретической физикой. Последний использует абстрактные алгебраические инструменты в попытке классифицировать топологические пространства через определение инвариантов.
По общему признанию, топология не является предметом, который легко допускает прямое отношение к методам количественного финансирования.Однако нельзя сказать, что это бесполезно. В частности, стартап, известный как Ayasdi, напрямую использует топологические методы для определения режима.
Следовательно, если вы хотите быть одним из лучших квантов и работать над самыми передовыми проблемами, как с другими более абстрактными областями математики, представленными в этой серии статей, это действительно помогает узнать как можно больше, поскольку это часто бывает изначально. неясно, как в конечном итоге могут быть применены некоторые области математики.
Учебные материалы
Я изучил вводную топологию из лекций, прочитанных в Университете Уорика, когда я был студентом. Основной учебник курса написан Сазерлендом (см. Ниже). Это отличная книга, в которой от реального анализа плавно переходит к метрическим пространствам и полностью абстрактным топологическим концепциям.
Однако позже я решил небрежно прочитать некоторые вводные топологические концепции, чтобы заново ознакомиться с этой областью, и решил попробовать книгу Кроссли Springer Undergraduate Mathematics Series.Возможно, это лучше для самостоятельного изучения. Он заходит довольно далеко, охватывая гомотопию, а также сингулярные и симплициальные гомологии.
К сожалению, топология — непростая тема для поиска видеолекций, поэтому основной путь к ее изучению — через самоизучение из учебников. При этом, учитывая, что это не часто является предпосылкой для количественных финансов, его можно легко «пропустить», если ваша единственная цель — изучить математику, достаточную для того, чтобы быть количественным.
Теория колец
На первом и втором году обучения в традиционной бакалавриате обычным делом является углубленное изучение абстрактной алгебраической концепции группы.Группы имеют огромное количество математических и физических приложений и являются одной из самых фундаментальных математических структур.
Кольцо, однако, похоже на группу, за исключением того, что это не просто набор с одной связанной операцией с двоичным набором, а набор с двумя двоичными операциями, которые пытаются обобщить концепции сложения и умножения. Мотивация для такого объекта заключается в том, что он позволяет распространить арифметические теоремы, применимые к числам, на более сложные структуры, такие как полиномы и матрицы.
Один из наиболее важных аспектов теории колец — является ли кольцо коммутативным (то есть, влияет ли порядок операции умножения на результат). Теория колец тесно связана с алгебраической теорией чисел и алгебраической геометрией и приводит к тому, что эти области существенно перекрываются с результатами теории колец.
Теория колец, безусловно, абстрактная область математики. Маловероятно, что на большинстве финансовых должностей вам когда-либо понадобится напрямую использовать многие теоретические результаты.Однако, как и в случае с изучением топологии, если вы знакомы с этими концепциями и хорошо разбираетесь в материале, это, вероятно, откроет возможности для некоторых из более сложных коммерческих исследовательских фирм по количественному финансированию, которые используют нетрадиционные, но высокоразвитые , методы.
Учебные материалы
И снова серия Springer по математике для студентов-бакалавров предлагает два полезных текста для самостоятельного изучения абстрактной алгебры и теории колец. Другой рекомендуемый текст — более старая работа Бертона (1970).
Гидравлическая динамика
КурсFluid Dynamics может показаться странным выбором для будущего количественного анализа. Несмотря на, казалось бы, разные области исследований, этот предмет весьма применим к квантам, желающим стать экспертом в области ценообразования деривативов.
Гидродинамика формулируется по принципу законов сохранения , взятых из теоретической физики. Предполагая непрерывность массы, импульса и энергии, можно построить сжимаемые уравнения Навье-Стокса, которые являются основными уравнениями, используемыми в исследованиях гидродинамики.
Уравнения записываются на языке векторного исчисления, поскольку жидкости представляют собой трехмерные полевые явления. Сами уравнения (по крайней мере, в определенных формах) выглядят как уравнения в частных производных для плотности, скорости и энтальпии.
Многие методы решения для задач гидродинамики включают численное приближение и методы конечных разностей, конечных элементов или конечных объемов, которые пытаются аппроксимировать частные производные или интегралы в определенных точках или объемах в пространстве.
Почему это актуально для квантов, которые хотят стать специалистами по ценообразованию деривативов? Проще говоря, уравнения Навье-Стокса очень похожи на PDE Блэка-Шоулза, используемую для определения цен. Не только это, но и после того, как добавляется информация об экзотических вариантах, часто необходимо использовать методы численного приближения, поскольку аналитические методы трудно или невозможно применить.
Следовательно, эксперт по численному анализу PDE, вероятно, будет очень востребован при ценообразовании на ценные бумаги, которые имеют связанный с ними стохастический компонент.
Для полного раскрытия информации, моя докторская степень на самом деле была в области динамики сжимаемых жидкостей, и я использовал много знаний, полученных в ходе курса, для перехода в мир финансовых финансов. Следовательно, на мой взгляд, гидродинамика не только очень важна для опций ценообразования, но и сама по себе является чрезвычайно увлекательной областью исследования, которой стоит заняться.
Учебные материалы
Гидродинамика — обширный предмет, охватывающий прикладную математику, теоретическую физику, авиационную и химическую инженерию, а в последнее время и биологические науки.Поэтому сложно предложить один-два учебника для «изучения предмета».
Я сам получил представление о многих основных идеях из книги Ачесона под названием «Элементарная гидродинамика», а также из своих конспектов лекций в университете. Я изучил больше теории в учебниках по аэродинамике и вычислительной гидродинамике. Андерсон особенно хорош для самообучения и охватывает огромное количество теории аэродинамики (и приложений!) В разговорном стиле. Я широко использовал его учебник «Сжимаемый поток» для моей докторской степени, хотя он несколько более конкретен, чем тексты, которые я перечислил здесь:
Теория меры
Теория меры обычно считается сложным предметом для многих студентов.Однако это абсолютно необходимое предварительное условие для количественного анализа, который хочет быть экспертом в области ценообразования деривативов.
Теория меры мотивирована тем фактом, что «традиционный» интеграл Римана, знакомый из школьного исчисления, не может быть применен к определенным классам функций. Канонический пример — индикаторная функция на рациональных числах, $ \ mathbb {1} _ {\ mathbb {Q}} $. Эта функция равна единице для элементов $ x \ in \ mathbb {Q} $ и равна нулю для элементов $ x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q} $.Интеграл Римана здесь не определяется, поскольку невозможно создать верхних сумм Римана и нижних сумм Римана , которые уравнивают.
Это мотивирует концепции меры Лебега и интеграла Лебега, которые служат для обобщения «расстояния» и интеграции на более широкий класс множеств и функций. Хотя эти понятия могут показаться абстрактными, они абсолютно необходимы для математического определения вероятности и того, как числа могут быть выбраны наугад.Это ключевые концепции, лежащие в основе стохастического исчисления и математики ценообразования производных финансовых инструментов.
Следовательно, твердое понимание теории меры принесет дивиденды при изучении стохастического исчисления на четвертом курсе бакалавриата или на курсе магистра финансового инжиниринга (MFE).
Учебные материалы
Мой любимый ресурс для изучения теории меры — это еще одна книга Марека Капински и Эккехарда Коппа из серии Springer по математике (SUMS) под названием «Мера, интеграл и вероятность».Книга отлично подойдет для самостоятельного изучения. Первоначально он тратит много времени на построение меры Лебега и интеграла Лебега, а также на то, как они приводят к пространствам интегрируемых функций (например, гильбертовым пространствам). В частности, он формулирует все теоретические аспекты на языке вероятности в конце каждой главы, обеспечивая значительную мотивацию для количественного анализа, который хочет стать экспертом по ценообразованию деривативов или зарегистрироваться в программе MFE.
Помимо Капински и Коппа, Массачусетский технологический институт выпустил серию более коротких лекционных заметок в формате PDF, которые можно бесплатно загрузить, хотя они довольно плотные для самостоятельного изучения.Если вы в большей степени визуально обучаетесь, то на YouTube от MathematicalMonk есть также канал по теории измерений и вероятности.
Линейный функциональный анализ
Линейный функциональный анализ в первую очередь связан с распространением идей из конечномерных векторных пространств, изученных в первый год, на бесконечномерные пространства, часто с некоторой формой «структурного» дополнения, такого как внутренний продукт, норма или топология. Такие пространства мотивированы необходимостью определить параметры решения дифференциальных и интегральных уравнений.Бесконечномерное векторное пространство над действительными или комплексными числами часто обеспечивает такую настройку.
Квантовая механика, анализ временных рядов, расширения теории меры и стохастическое исчисление — все они широко используют идеи линейного функционального анализа, и поэтому количественные аналитики и количественные трейдеры могут извлечь выгоду из наличия серьезного знания в этой области.
Основные обсуждаемые концепции включают нормы и нормированные пространства, внутренние продукты и внутренние продуктовые пространства.Полные нормированные векторные пространства известны как банаховых пространств , в то время как полные внутренние пространства-произведения известны как гильбертовых пространств . Ключевой областью исследования в линейном функциональном анализе является область линейных преобразований между этими видами бесконечномерных векторных пространств, которые в некоторых случаях сами по себе набор таких преобразований определяют другое бесконечномерное векторное пространство.
Будучи перспективным количественным исследователем, обучающимся самостоятельно, ваше время на учебу неизбежно будет ограничено из-за карьерных, семейных и даже социальных обязательств.Ключевой вопрос, который следует задать на «третьем году» вашего обучения, заключается в том, стоит ли прилагать усилия для изучения каждого курса, если вы собираетесь продолжить учебу, имеющую непосредственное отношение к тому, чтобы стать количественным.
Хотя линейный функциональный анализ не является прямым предварительным условием для дальнейшего изучения количественных финансов, понимание основных результатов и целей, безусловно, сделает исследования математических финансов на уровне выпускников намного более простыми. Следовательно, вам решать, «окунуться» ли в линейный анализ или просто просмотреть основные теоремы и результаты без детального изучения доказательств.
Учебные материалы
Существует множество учебников — как вводных, так и углубленных, — в которых рассматриваются элементы функционального анализа. Книга SUMS Брайана П. Райна и Мартина А. Янгсона «Линейный функциональный анализ» очень удобна для чтения и отлично подходит для самостоятельного изучения. Кроме того, Kreyszig — это обычная рекомендуемая книга, которая требует только исчисления и базовой линейной алгебры в качестве предварительных условий.
Существует набор бесплатных лекций, прочитанных профессором Мелроузом на сайте MIT Open Courseware для тех, у кого ограниченный бюджет:
Элементарная дифференциальная геометрия
Элементарная дифференциальная геометрия в основном касается кривых и поверхностей, лежащих в трехмерном пространстве, то есть $ \ mathbb {R} ^ 3 $. 3 $.Кроме того, общая теория относительности, одна из величайших теорий теоретической физики, широко использует концепции римановой геометрии, которая является подполем дифференциальной геометрии.
Как и многие другие курсы на третьем курсе бакалавриата по математике, элементарная дифференциальная геометрия явно не связана со многими распространенными темами количественных финансов. Тем не менее, я еще раз заявлю, что Джим Саймонс изначально был геометром до основания количественного фонда Renaissance Technologies, и весьма вероятно, что их огромный успех отчасти объясняется рассмотрением финансовых рынков в геометрическом и топологическом ключе.3 $. Курсы по этой теме не часто углубляются в более глубокие аспекты многомерных многообразий или римановой геометрии до четвертого года обучения.
Следовательно, следующие книги, две из которых из серии Springer по математике для студентов (и, следовательно, идеально подходят для самостоятельного изучения), а третья из Cambridge University Press, имеют правильный уровень сложности для третьего года обучения.
Уравнения в частных производных
В университете уравнения с частными производными (PDE) были моей любимой областью изучения и были одной из первых причин, по которым я в конечном итоге стал квантом, а именно благодаря численному решению моделей типа Блэка-Шоулза.Это одна из самых разнообразных и увлекательных областей прикладной математики, затрагивающая огромное количество других математических тем. Я не могу не подчеркнуть, насколько они важны для математики и количественных финансов в целом.
PDE — это уравнения, которые связывают значения пространственно-временного поля с их производными в различных измерениях. Например, диффузия тепла во времени через изолированный стержень представляет собой линейную УЧП второго порядка с определенными граничными условиями.Они охватывают огромный спектр явлений в математической физике, включая механику сплошной среды, гидродинамику, электромагнетизм, квантовую механику, общую теорию относительности и многие другие теории поля.
Решения PDE (которые сами по себе являются функциями пространства и времени) можно искать либо с помощью аналитических, либо численных методов. Первые допускают прямую спецификацию в пространстве и времени свойства поля после установки начальных и граничных условий, а последние должны аппроксимировать решение дискретно на решетке или сетке, используя теорию, такую как конечные элементы, конечные разности или конечные объемы. .
Классификация PDE является сложной задачей. Для линейных уравнений в частных производных второго порядка основной подход состоит в том, чтобы сгруппировать их в параболический, эллиптический и гиперболический типы. Эти три классификации имеют связанную физическую интерпретацию, особенно в гидродинамике.
Детерминированный PDE естественным образом ведет к изучению стохастического PDE (SPDE), которое является очень активной областью исследований. Действительно, SPDE очень применимы к количественному финансированию в области стохастического исчисления, поэтому для количественного персонала, желающего участвовать в ценообразовании деривативов, проверке моделей или управлении рисками, важно знать PDE и, следовательно, в конечном итоге SPDE.
Учебные материалы
В вводных учебниках по PDE недостатка нет. Область настолько обширна, что бывает трудно понять, с чего начать. Я нашел книгу Штрауса особенно интересной на уровне бакалавриата.
Книга Springer Undergraduate Mathematics Series по аналитическим решениям PDE также является отличным ресурсом для самостоятельного изучения.
Числовая линейная алгебра
Числовая линейная алгебра — это более специализированный предмет для получения степени математика, но я включил его, так как это был модуль, предлагаемый в моем собственном курсе бакалавриата, а также он чрезвычайно важен для вычислительных финансов.
Предмет касается использования компьютеров для эффективного решения задач, возникающих в конечномерной линейной алгебре. Эти проблемы представляют собой не только академический интерес, но и образуют вычислительное «узкое место» для решения прикладных задач.
Конечно-элементные и конечно-разностные уравнения для решения уравнений гидродинамики в частных производных часто формулируются как задача обращения матрицы. Эффективное обращение этих «структурированных» матриц может значительно повысить эффективность вычислений и, таким образом, сделать возможным более подробный анализ.Кроме того, алгоритмы машинного обучения часто используют эффективные реализации разложения LU, QR-разложения или разложения по сингулярным значениям (SVD).
То же самое верно и для моделей PDE в количественных финансах, которые также полагаются на аналогичные численные методы для эффективных матричных вычислений.
Несмотря на наличие «готового» программного обеспечения для выполнения этих задач, я всегда считаю, что для количественного анализа чрезвычайно важно знать основные принципы работы этих методов, чтобы при разработке новых моделей он несложно расширить более элементарные методы.
Учебные материалы
Классический текст в поле — «Голуб и ван Лоан», теперь уже в 4-м издании. Вдобавок я активно использовал текст Трефетена для своей бакалаврской диссертации, которую тоже рекомендую.
Следующие шаги
Третий год программы бакалавриата в основном посвящен подготовке к более продвинутым курсам четвертого года обучения. Самостоятельному специалисту, который хочет стать трейдером по количественному анализу, разработчиком количественного анализа, аналитиком по количественному анализу / риску или ученым по данным, необходимо выбрать модули, которые имеют смысл для каждого соответствующего карьерного пути.
По мере усложнения курсов становится все труднее утверждать, что они абсолютно необходимы для работы с количественными финансами. Многие курсы будут казаться довольно абстрактными и будут казаться далекими от повседневной работы многих квантов. Тем не менее, огромное количество количественной теории финансов, в том числе теории вероятностей, временных рядов и машинного обучения, основано на основных принципах этих курсов. Изучив эти принципы, вы получите явное преимущество при приеме на работу на высшие должности в области количественного анализа или разработке собственных стратегий.
В следующей статье, посвященной 4 классу, мы рассмотрим области, которые начинают пересекаться с прикладной математикой на уровне выпускников, включая приложения к математической физике и случайным процессам. Все эти модули обеспечат прочную основу в материалах, которые необходимо будет изучить при подаче заявления на курсы магистратуры в области финансового инжиниринга.
Статьи по теме
9 стратегий мотивации учащихся к математике
Мотивация учащихся к тому, чтобы они были с энтузиазмом восприимчивыми, является одним из наиболее важных аспектов обучения математике и критическим аспектом любой учебной программы.Эффективные учителя сосредотачивают внимание на менее заинтересованных учениках, а также на мотивированных. Вот девять методов, основанных на внутренней и внешней мотивации, которые можно использовать для мотивации учащихся средней школы к математике.
Внешняя и внутренняя мотивация
Внешняя мотивация включает в себя вознаграждения, которые возникают вне контроля учащегося. Сюда могут входить символические экономические вознаграждения за хорошую работу, признание хороших результатов коллегами, избежание «наказания» за хорошую работу, похвалу за хорошую работу и так далее.
Тем не менее, многие студенты демонстрируют внутреннюю мотивацию в своем желании понять тему или концепцию (связанное с задачей), превзойти других (связанное с эго) или произвести впечатление на других (связанное с обществом). Последний гол находится между внутренним и внешним.
Имея в виду эти базовые концепции, существуют определенные методы, которые можно расширить, приукрасить и адаптировать к личности учителя и, прежде всего, сделать подходящими для уровня способностей и среды ученика.Стратегии — это важные части, которые следует запомнить — примеры приведены только для того, чтобы помочь понять техники.
Стратегии повышения мотивации учащихся по математике
1. Обратить внимание на пробел в знаниях студентов: Выявление студентам пробелов в их понимании основывается на их желании узнать больше. Например, вы можете представить несколько простых упражнений со знакомыми ситуациями, за которыми следуют упражнения с незнакомыми ситуациями на ту же тему.Чем ярче вы обнаружите разрыв в понимании, тем эффективнее будет мотивация.
2. Покажите последовательное достижение: Тесно связано с предыдущей техникой, когда студенты понимают логическую последовательность понятий. Этот метод отличается от предыдущего тем, что он зависит от желания учащихся расширить, а не дополнить свои знания. Один из примеров последовательного процесса — это то, как особые четырехугольники переходят от одного к другому с точки зрения их свойств.
3. Откройте для себя закономерность: Создание надуманной ситуации, которая побуждает учащихся обнаруживать закономерность, часто может быть весьма мотивирующим, поскольку они получают удовольствие от поиска, а затем воплощения идеи в жизнь. Примером может быть сложение чисел от 1 до 100. Вместо того, чтобы складывать числа последовательно, учащиеся складывают первое и последнее (1 + 100 = 101), а затем второе и предпоследнее (2 + 99 = 101 ), и так далее. Затем все, что им нужно сделать, чтобы получить требуемую сумму, — это решить 50 × 101 = 5,050.Это упражнение подарит студентам поучительный опыт с действительно длительным эффектом. Существуют модели, которые могут быть мотивирующими, особенно если они обнаруживаются учеником — конечно, под руководством учителя.
4. Представьте задачу: Когда учащиеся задаются интеллектуальным вызовом, они реагируют с энтузиазмом. При выборе задачи необходимо проявлять особую осторожность. Проблема (если это тип вызова) обязательно должна вести к уроку и быть в пределах досягаемости учащихся.Следует проявлять осторожность, чтобы задача не отвлекала от урока, а фактически приводила к нему.
5. Соблазните класс математическим результатом «ну и дела»: В области математики есть много примеров, которые часто противоречат здравому смыслу. Эти идеи по самой своей природе могут быть мотивирующими. Например, чтобы мотивировать основную веру в вероятность, очень эффективной мотивацией является обсуждение в классе известной проблемы дня рождения, которая дает неожиданно высокую вероятность совпадения дней рождения в относительно небольших группах.Его удивительный — даже невероятный — результат вызовет трепет у класса.
6. Укажите полезность темы: Предложите классу практическое применение, представляющее неподдельный интерес, в начале урока. Например, в средней школе по геометрии ученика могут попросить найти диаметр пластины, где вся информация, которую он имеет, представляет собой сечение пластины меньше полукруга. Выбранные приложения должны быть краткими и несложными, чтобы мотивировать урок, а не отвлекать от него.
7. Используйте развлекательную математику: Рекреационная мотивация включает головоломки, игры, парадоксы, здание школы или другие близлежащие строения. Эти устройства должны быть краткими и простыми, а не только из-за их особой мотивации. Эффективное выполнение этого приема позволит школьникам без особых усилий завершить отдых. Еще раз, с удовольствием, которое создают эти развлекательные примеры, нужно относиться осторожно, чтобы не отвлекать от последующего урока.
8. Расскажите соответствующую историю: Рассказ об историческом событии (например, рассказ о том, как Карл Фридрих Гаусс сложил числа от 1 до 100 за одну минуту, когда ему было 10 лет в 1787 году) или надуманная ситуация может мотивировать студентов. Учителя не должны спешить, рассказывая историю — поспешная презентация сводит к минимуму потенциальную мотивацию стратегии.
9. Активно вовлекайте студентов в обоснование математических любопытств: Один из наиболее эффективных методов мотивации студентов — это попросить их обосновать один из многих уместных математических курьезов, например, тот факт, что когда сумма цифр числа равна делится на 9, исходное число также делится на 9.Студенты должны быть знакомы с математическим любопытством и чувствовать себя комфортно, прежде чем вы бросите им вызов.
Учителя математики должны понимать основные мотивы, уже присутствующие в их учениках. Затем учитель может использовать эти мотивы для максимального вовлечения и повышения эффективности учебного процесса.