Скалярное произведение векторов в пространстве контрольная работа: Контрольная работа № 5.2 по теме «Скалярное произведение векторов в пространстве. Движения» — Движения

Содержание

Методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему: 11 класс. Контрольная работа № 2 по теме: «Скалярное произведение векторов в пространстве. Движения»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация к уроку геометрии в 11 классе «Скалярное произведение векторов в пространстве»

урок проходит по презентации с проверочным тестом. Очень удобно .Можно организовать самопроверку….

Контрольная работа по теме «Скалярное произведение векторов» 11 класс

Контрольная работа по геометрии 11 класс…

9 класс. Контрольная работа № 3. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

9 класс. Контрольная работа № 3. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов….

9 класс. Контрольная работа № 3. «Скалярное произведение векторов».

9 класс. Контрольная работа № 3. «Скалярное произведение векторов». Дидактические материалы Б.Г. Зив…

9 класс. Контрольная работа № 1. «Векторы».

9 класс. Контрольная работа № 1. «Векторы»….

11 класс. Контрольная работа № 1 по теме: «Координаты точки. Координаты вектора»

11 класс. Контрольная работа № 1 по теме: «Координаты точки. Координаты вектора&quot…

9 класс геометрия Самостоятельная работа по теме «Скалярное произведение векторов»

9 класс геометрия Самостоятельная работа по теме «Скалярное произведение векторов&quot…

Методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему: Контрольная работа по геометрии 11 класс «Скалярное произведение»

                  Контрольная работа № 2 по теме « Скалярное произведение векторов».                     Г – 11.

                                                                                Вариант 1

№ 1. Даны векторы , причем , , () = 600.  Найти:

        а)   ; б) значение  m, при котором векторы   перпендикулярны.

№ 2. Найдите угол между прямыми AB и  СD,  если  A(3, — 1, 3),  B(3, – 2, 2), C (2, 2, 3) и D (1, 2, 2).

№ 3. АВСDA1B1C1D1 – куб, DM = MD1. Найти угол между прямыми  AD1  и BM.

                                                                                                                

                  Контрольная работа № 2 по теме « Скалярное произведение векторов».                     Г – 11.

                                                                                Вариант 2

№ 1. Даны векторы , причем , , () = 450.  Найти:

       а)   ; б) значение  m, при котором векторы   перпендикулярны.

№ 2. Найдите угол между прямыми AB и  СD,  если  A(1, 1, 2),  B(0, 1, 1), C(2,  — 2, 2) и D (2, — 3, 1).

№ 3. АВСDA1B1C1D1 – куб. Найти угол между прямыми  AB1  и A1D.

                                                                                                                

                Контрольная работа № 2 по теме « Скалярное произведение векторов».                     Г – 11.

                                                                                Вариант 3

№ 1. Найдите скалярное произведение  если = 60˚.

№ 2. Вычислите скалярное произведение векторов   если  Найдите

значение n, при котором векторы  и  перпендикулярны.

№ 3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(; 1; 0), С( 0; 2; 0 ), В(0; 0; 2), D().

                                                                                                                

               Контрольная работа № 2 по теме « Скалярное произведение векторов».                     Г – 11.

                                                                                Вариант 4

№ 1. Найдите скалярное произведение  если = 150˚.

№ 2. Вычислите скалярное произведение векторов   если  Найдите

значение m, при котором векторы  и  перпендикулярны.

№ 3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; -4; 8), С(12 ; -6 ; 4), В(8; -2; 4), D(14).

                                                                                                                

 

Контрольная работа по геометрии 11 класс тема «Векторы, координаты, скалярное произведение»

Контрольная работа по геометрии 11 класс

Тема «Координаты вектора, скалярное произведение векторов»

Вариант 1

Вариант 2

1

Даны векторы и , причем Найти .

1

Даны векторы и , причем Найти .

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(3,-1,3), В(3,-2,2), С(2,2,3), D(1,2,2).

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(1,1,2), В(0,1,1), С(2,-2,2), D(2,-3,1).

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-2,0,1), В(-1,2,3), С(8,-4,9). Найдите координаты вектора , если ВМ – медиана треугольника АВС.

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-1,2,3), В(1,0,4), С(3,-2,1). Найдите координаты вектора , если АМ – медиана треугольника АВС.

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

Вариант 1

Вариант 2

1

Даны векторы и , причем Найти .

1

Даны векторы и , причем Найти .

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(3,-1,3), В(3,-2,2), С(2,2,3), D(1,2,2).

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(1,1,2), В(0,1,1), С(2,-2,2), D(2,-3,1).

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-2,0,1), В(-1,2,3), С(8,-4,9). Найдите координаты вектора , если ВМ – медиана треугольника АВС.

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-1,2,3), В(1,0,4), С(3,-2,1). Найдите координаты вектора , если АМ – медиана треугольника АВС.

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

Вариант 1

Вариант 2

1

Даны векторы и , причем Найти .

1

Даны векторы и , причем Найти .

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(3,-1,3), В(3,-2,2), С(2,2,3), D(1,2,2).

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(1,1,2), В(0,1,1), С(2,-2,2), D(2,-3,1).

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-2,0,1), В(-1,2,3), С(8,-4,9). Найдите координаты вектора , если ВМ – медиана треугольника АВС.

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-1,2,3), В(1,0,4), С(3,-2,1). Найдите координаты вектора , если АМ – медиана треугольника АВС.

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

Вариант 1

Вариант 2

1

Даны векторы и , причем Найти .

1

Даны векторы и , причем Найти .

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(3,-1,3), В(3,-2,2), С(2,2,3), D(1,2,2).

2

Найдите угол между прямыми АВ и СD, если

А(1,1,2), В(0,1,1), С(2,-2,2), D(2,-3,1).

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-2,0,1), В(-1,2,3), С(8,-4,9). Найдите координаты вектора , если ВМ – медиана треугольника АВС.

3

Вершины треугольника АВС имеют координаты

А(-1,2,3), В(1,0,4), С(3,-2,1). Найдите координаты вектора , если АМ – медиана треугольника АВС.

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

4

Даны точки А(2,-1,0), В(-3,2,1), С(1,1,4). Найдите координаты точки D, если .

Контрольная работа по теме «Скалярное произведение векторов». Геометрия. 9 класс

Геометрия 9 класс. Контрольная работа №3 по теме «Скалярное произведение векторов».

Учитель: Коряковцева Нина Владимировна

Контрольная работа представлена в форме теста. Задания 1-3, 6, 8, 9 оцениваются в 1 балл; задания 4, 5, 7 – в 2 балла. Максимальное количество баллов – 12. 11-12 баллов – «5»; 9-10 баллов – «4»; 6-8 баллов – «3»; меньше 6 баллов – «2».

Вариант 1.

1.Вычислить значение cos 135о

1)

2)

3)

4) —

2.Вычислить значение sіn α, если cos α = .

1)

2)

3)

4) —

3.Может ли синус острого угла быть равным ?

1)да

2)нет

3)невозможно определить

4)недостаточно данных для подсчёта

4.Вычислить площадь треугольника АВС, если а=8, в=6, <С=60о.

1) 12

2) 24

3) 12

4) 24

5.В треугольнике АВС <А=45о, <В=60о, а=6. Найти в.

1)

2)

3)

4)

6.Найти скалярное произведение векторов, если {-2;3}, {1;4}

1) 10

2) 12

3) -2

4) -10

7. В треугольнике АВС < А=60о, в=9, с=8. Найти сторону а.

1) 73 2) 3) 227 4)

8. В треугольнике АВС стороны равны: а=12, в=10, с=16. Найти косинус угла С.

1) 1 2) 3) 0 4)

9.Найти скалярное произведение векторов а и в, если они перпендикулярны и │а│=3, │в│=1.

  1. 3 2) 4 3) 1 4) 0

Вариант 2.

1.Вычислить значение sіn 135о

1)

2)

3)

4) —

2.Вычислить значение sіn α, если cos α = .

1)

2)

3)

4)

3.Может ли косинус острого угла быть равным ?

1)да

2)нет

3)невозможно определить

4)недостаточно данных для подсчёта

4.Вычислить площадь треугольника АВС, если а=9, в=4, < С=30о

.

1) 9

2) 18

3) 9

4) 18

5.В треугольнике АВС <А=30о, <В=60о, а=8. Найти в.

1)

2)

3)

4) 8

6.Найти скалярное произведение векторов, если а{-3;2}, в{1;4}

1) 9

2) 15

3) -9

4) 10

7. В треугольнике АВС <А=60о, в=8, с=5. Найти сторону а.

1) 49 2) 3) 7 4) 3

8. В треугольнике АВС стороны равны: а=11, в=10, с=15. Найти косинус угла

С.

1) 0 2) 3) 1 4)

9.Найти скалярное произведение векторов а и в, если они перпендикулярны и │а│=5, │в│=2.

  1. 5 2) 0 3) 1 4) 10

Ответы.

Контрольная работа по геометрии 11 класс

Контрольные работы

по геометрии

в 11 классе

по учебнику атанасян л.с.

Контрольная работа № 1

Тема: Векторы
(на 20 мин)

Вариант 1

1. Найдите координаты вектора , если

А (5; –1; 3), В (2; –2; 4).

2. Даны векторы (3; 1; –2) и (1; 4; –3). Найдите .

3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку А (1; –2; –4). Найдите расстояния от этой точки до координатных плоскостей.

Контрольная работа № 1
Тема: Векторы

(на 20 мин)

Вариант 2

1. Найдите координаты вектора , если С (6; 3; – 2), D (2; 4; – 5).

2. Даны вектора (5; – 1; 2) и (3; 2; – 4). Найдите .

3. Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку В

(– 2; – 3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

Контрольная работа № 2

Тема: Скалярное произведение векторов. Движения.

Вариант 1

  1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , , = 2, = 3, = 60°, ,

  2. .

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AD1 и BM, где M – середина ребра DD1.

3. При движении прямая отображается на прямую b1

, а плоскость β – на плоскость β1 и b || β1.

Контрольная работа № 2

Тема: Скалярное произведение векторов. Движения.

Вариант 2

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , , = 3, = 2, = 60°, , .

2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AC и DC1.

3. При движении прямая a отображается на прямую a1, плоскость α – на плоскость α1, и . Докажите, что .

Контрольная работа № 3

Тема: Цилиндр, конус, шар.

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь поверхности цилиндра.

2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите:

а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 30°;

б) площадь боковой поверхности конуса.

3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

Контрольная работа № 3

Тема: Цилиндр, конус, шар.

Вариант 2

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите:

а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60°;

б) площадь боковой поверхности конуса.

3. Диаметр шара равен 4

m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Контрольная работа № 4

Тема: Объемы тел.

Вариант 1

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2a, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2a, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.

Вариант 1

1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2

a, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.

2. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2a, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.

Контрольная работа № 5

Тема: Объем шара и площадь сферы.

Вариант 1

1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите отношение объемов конуса и шара.

2. Объем цилиндра равен 96π см3, площадь его осевого сечения 48 см2. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

Контрольная работа № 5

Тема: Объем шара и площадь сферы.

Вариант 2

1. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.

Проверочная работа по геометрии «Скалярное произведение векторов»

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 1

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении y векторы и перпендикулярны?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 2

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении y выполняется равенство ?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 3

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении x векторы и перпендикулярны?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 4

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении x выполняется равенство ?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 1

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении y векторы и перпендикулярны?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 2

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении y выполняется равенство ?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 3

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении x векторы и перпендикулярны?

Г – 9 Самостоятельная работа по теме

«Скалярное произведение векторов»

Вариант 4

  1. Найдите скалярное произведение векторов и , если

а) ;

б)

2. Даны векторы . При каком значении x выполняется равенство ?

Учебно-методический материал по геометрии (10 класс) по теме: Самостоятельная работа по геометрии для 11 класса по теме: «Скалярное произведение векторов»

С. Р. по теме «Скалярное произведение  векторов».      11 класс.

Вариант 1.

  1. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами  и  .
  2. Найдите скалярный квадрат вектора   = 7.
  3. Найдите скалярное произведение  если

= 60˚.

  1. Вычислите скалярное произведение векторов   если
  2. ABCDA1B1C1D1  — куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов  и .
  3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(; 1; 0), С( 0; 2; 0 ),

В(0; 0; 2), D().

С. Р. по теме «Скалярное произведение  векторов».      11 класс.

Вариант 2.

  1. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами  и  .
  2. Найдите скалярный квадрат вектора   = 6.
  3. Найдите скалярное произведение  если

= 120˚.

  1. Вычислите скалярное произведение векторов   если
  2. ABCDA1B1C1D1  — куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов  и .
  3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; -4; 8), С(12 ; -6 ; 4),

В(8; -2; 4), D(14).

С. Р. по теме «Скалярное произведение  векторов».      11 класс.

Вариант 3.

  1. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами  и  .
  2. Найдите скалярный квадрат вектора   = 5+2.
  3. Найдите скалярное произведение  если

= 150˚.

  1. Вычислите скалярное произведение векторов   если  — 3 + и  = 4 — .
  2. ABCDA1B1C1D1  — куб, ребро которого равно 2. Найдите скалярное произведение векторов  и .
  3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(1; 1 ; 5 ), С(8 ; 5 ; 5 ),

В(4; 7; 5), D(5).

С. Р. по теме «Скалярное произведение  векторов».      11 класс.

Вариант 4.

  1. Дан квадрат ABCD. Найдите угол между векторами  и  .
  2. Найдите скалярный квадрат вектора   = -3.
  3. Найдите скалярное произведение  если

= 135˚.

  1. Вычислите скалярное произведение векторов   если  -2 +4 и  = 4 — 2.
  2. ABCDA1B1C1D1  — куб, ребро которого равно 3. Найдите скалярное произведение векторов  и .
  3. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(-6; -15; 7), С(14 ; -10; 9),

В(-7; -15; 8), D(14; -10; 7).

Точечное произведение двух векторов

Линейная алгебра — Векторы: (урок 2 из 3)

Точечный продукт

Определение:

Скалярное произведение (также называемое внутренним произведением или скалярным произведением) двух векторов определяется как:

Где | A | и | B | представляет величины векторов A и B, — угол между векторами A и Б.

Расчет точечного произведения

Точечное или скалярное произведение векторов и может быть записано как:

Пример (расчет в двух измерениях):

Векторы A и B предоставлены и .Найдите точечный продукт двух векторов.

Решение:

Пример (расчет в трех измерениях):

Векторы A и B предоставлены и . Найдите точечный продукт двух векторов.

Решение:

Расчет длины вектора

Длина вектора равна:

Пример:

Vector A выдается.Найдите | A | .

Решение:

Угол между двумя векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами A, и B равен

.

Пример: (угол между векторами в двух измерениях):

Определите угол между и .

Решение:

Нам понадобятся величины каждого вектора, а также скалярное произведение.

Угол,

Пример: (угол между векторами в трех измерениях):

Определите угол между и .

Решение:

Опять же, нам нужны величины, а также скалярное произведение.

Угол,

Ортогональные векторы

Если два вектора ортогональны , то: .

Пример:

Определите, являются ли следующие векторы ортогональными :

Решение:

Скалярное произведение —

Итак, два вектора ортогональны.

.n $, обозначаемый $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} $, представляет собой метод умножения двух векторов, в результате чего получается числовая величина, определяемая как $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ mid \ vec { u} \ mid \ mid \ vec {v} \ mid \ cos \ theta $ или $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + … + u_nv_n $ ( компонентная форма точки товар ).

Обратите внимание, что у нас есть две формы скалярного произведения. Теперь мы перейдем к доказательству компонентной формы скалярного произведения, то есть $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + … + u_nv_n $ в трехмерном евклидовом пространстве эквивалентно нашему исходное определение: $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ mid \ vec {u} \ mid \ mid \ vec {v} \ mid \ cos \ theta = u_1v_1 + u_2v_2 +.2) \\ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ frac {1} {2} (2v_ {1} u_ {1} + 2v_ {2} u_ {2} + 2v_ {3} u_ { 3}) \\ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = v_ {1} u_ {1} + v_ {2} u_ {2} + v_ {3} u_ {3} \\ \ vec {u } \ cdot \ vec {v} = u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} + u_ {3} v_ {3} \\ \ blacksquare \ end {align}

Исходная формула для скалярного произведения помогает найти угол между двумя векторами $ \ vec {u} $ и $ \ vec {v} $. Например, если мы возьмем формулу для скалярного произведения и переставим ее, чтобы выделить косинус, мы получим:

(3)

\ begin {align} cos (\ theta) = \ frac {\ vec {u} \ cdot \ vec {v}} {\ mid \ mid \ vec {u} \ mid \ mid \ mid \ mid \ vec {v } \ mid \ mid} \ end {align}

Острые, тупые и перпендикулярные векторные углы

Напомним следующие три классификации углов:

$ долларов
Название уголка Диапазон углов Знак косинуса
Острые углы $ 0 <\ theta <\ frac {pi} {2} $ \ cos \ theta> 0 $
Перпендикулярные (прямые) углы $ \ theta = \ frac {pi} {2} $ \ cos \ theta = 0 $
Тупые углы $ \ frac {\ pi} {2} <\ theta <\ pi $ $ \ cos \ theta <0 $

Мы также отмечаем, что норма любого вектора всегда положительна, следовательно, мы нашли важное свойство векторного скалярного произведения.Если мы знаем знак скалярного произведения между двумя векторами, то мы также знаем, является ли угол между ними острым или тупым, поскольку значение косинуса влияет на весь знак скалярного произведения. Кроме того, если $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0 $, то эти два вектора перпендикулярны друг другу.

(4)

\ begin {align} \ mathrm {if} \ quad \ vec {u} \ cdot \ vec {v}> 0, \ quad 0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2} \\ \ mathrm {если } \ quad \ vec {u} \ cdot \ vec {v} <0, \ quad \ frac {\ pi} {2} <\ theta <\ pi \\ \ mathrm {if} \ quad \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0, \ quad \ theta = \ frac {\ pi} {2} \ end {align}

Теорема 2 (коммутативность скалярного произведения): Для любых двух векторов $ \ vec {u}, \ vec {v} \ in \ mathbb {R} ^ n $ их скалярное произведение коммутативно, т. Е. $ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ vec {v} \ cdot \ vec {u} $.п $. (6)

\ begin {align} \ vec {u} \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = u_ {1} (v_ {1} + w_ {1}) + u_ {2} (v_ { 2} + w_ {2}) + … + u_ {n} (v_ {n} + w_ {n}) \\ \ vec {u} \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = u_ {1} v_ {1} + u_ {1} w_ {1} + u_ {2} v_ {2} + u_ {2} w_ {2} + … + u_ {n} v_ {n} + u_ {n} w_ {n} \\ \ vec {u} \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} +. .. + u_ {n} v_ {n} + u_ {1} w_ {1} + u_ {2} w_ {2} + … + u_ {n} w_ {n} \\ \ vec {u} \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = \ vec {u} \ cdot \ vec {v} + \ vec {u} \ cdot \ vec {w} \\ \ blacksquare \ end {align}

Теорема 4: Для любых двух векторов $ \ vec {u}, \ vec {v} \ in \ mathbb {R} ^ n $ и некоторого скаляра $ k $ следует, что $ k (\ vec { u} \ cdot \ vec {v}) = (k \ vec {u}) \ cdot \ vec {v}) = \ vec {u} \ cdot (k \ vec {v}) $.n $ и пусть $ k $ — скаляр. (7)

\ begin {align} k (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) = k (u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2} + … + u_ {n} v_ {n} \\ k (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) = (ku_ {1} v_ {1} + ku_ {2} v_ {2} + … + ku_ {n} v_ {n}) \\ k (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) = u_ {1} (kv_ {1}) + u_ {2} (kv_ {2}) + … + u_ { n} (kv_ {n}) \\ k (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) = \ vec {u} \ cdot (k \ vec {v}) \\ \ blacksquare \ end {align}

Мы опускаем остальную часть доказательства, поскольку она практически идентична приведенной выше.

Теорема 5: Для любого вектора $ \ vec {u} \ in \ mathbb {R} ^ n $ следует, что $ \ vec {u} \ cdot \ vec {u} ≥ 0 $.2 \\ \ quad = \ frac {1} {2} \ vec {u} \ cdot \ vec {v} + \ frac {1} {2} \ vec {u} \ cdot \ vec {v} \\ \ quad = \ vec {u} \ cdot \ vec {v} \\ \ blacksquare \ end {align}

.

Векторных продуктов

Точечный продукт

Скалярное произведение ( или скалярное произведение или скалярное произведение ) двух векторов и определяется как (скалярное) действительное число, заданное суммой произведений их соответствующих координат. Эта операция обозначена точкой и обозначается:

Например, если и — 2D векторы, то:.

Скалярное произведение имеет свойства:

[Длина вектора]

[Скалярная ассоциация]

[Коммутация]

[Распределение добавок]

[Неравенство Коши-Шварца]


Удивительная математическая формула для скалярного произведения:


где — угол между векторами v и w .Эта формула широко используется в компьютерной графике, поскольку она ускоряет вычисления во многих ситуациях, избегая прямого использования неэффективной тригонометрической функции. Кроме того, для вычисления угла между двумя векторами удобно следующее произведение двух нормализованных единичных векторов:


Полезно отметить, что когда, то.

Интересно, что формула косинуса скалярного произведения эквивалентна хорошо известному тригометрическому тождеству, известному как «Закон косинусов».Скажем, у нас есть треугольник с вершинами A , B , C , а сторона, противоположная каждой вершине, имеет длину a , b , c соответственно. Если мы знаем a и b , и угол между их краями, как показано на схеме, то мы можем вычислить c . Определите векторы и, соответствующие сторонам a и b . Тогда сторона c соответствует вектору, и мы можем вычислить:

Точно так же, учитывая закон косинуса, можно вывести формулу косинуса векторного скалярного произведения.Удивительно, но ранние греки действительно знали закон косинусов [Элементы Евклида, книга 2, предложение 12 и 13], хотя в то время у них не было алгебры и тригонометрии. Для случая острого угла это было указано в чисто геометрических терминах как:

    Предложение 13. В остроугольных треугольниках квадрат на стороне, противоположной острому углу, меньше суммы квадратов на сторонах, содержащих острый угол, на удвоенную величину прямоугольника, содержащегося на одной из сторон, расположенных вокруг острого угла, а именно та, на которую падает перпендикуляр, а прямая линия отсекается внутри перпендикуляром в сторону острого угла.

Еще один очень полезный факт, связанный с формулой косинуса скалярного произведения (неявно использованной в предложении Евклида 2-13), заключается в том, что ее можно геометрически интерпретировать как проекцию одного вектора на другой. Итак, если u — единичный вектор, то это длина перпендикулярной проекции w на u , как показано на диаграмме:

Далее, когда два вектора v и w перпендикулярны, говорят, что они находятся на нормальных друг к другу, и это эквивалентно нулю их скалярного произведения, то есть:.Это очень простой и эффективный тест на перпендикулярность. Из-за этого для любого вектора можно легко построить перпендикулярные векторы, обнуляя все компоненты, кроме 2, переворачивая эти два и меняя знак одного из них; например,, и т. д. Скалярное произведение любого из них с исходным вектором v всегда = 0, и поэтому все они перпендикулярны v . Например, в трехмерном пространстве с два вектора и, если они не равны нулю, являются основой для уникальной плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной v.

Помимо этого, еще одним важным и полезным следствием формулы скалярного произведения является то, что для:


Оператор 2D Perp

Основываясь на вышеизложенном, мы можем определить оператор на 2D-плоскости, который дает вектор нормали (т.е. перпендикуляр) против часовой стрелки (против часовой стрелки) v следующим образом:

2D Perp Operator
Определение

Этот оператор называется оператором perp. Вектор перпендикуляра v — это нормальный вектор, указывающий на левую (против часовой) сторону вектора v , как показано на диаграмме:

Некоторые свойства оператора perp:

[Перпендикуляр]

[Длина консервов]

[Скалярная ассоциация]

[Линейный]

[Антипотентное]


2D Perp Product

Также в 2D-пространстве есть еще одно полезное скалярное произведение двух векторов v и w , продукт perp (также известный как внешний продукт 2D или внешний продукт ) , который обозначается буквой a, и выдано:

Некоторые свойства продукта 2D perp:

[Нильпотентный]

[Скалярная ассоциация]

[Антисимметричный]

[Распределение добавок]

[Идентификация Лагранжа]


Кроме того, для 2D-продукта у нас есть еще одна удивительная формула:


, который можно использовать для вычислений из v и w .В частности, если, то.

Кроме того, геометрически произведение perp дает (знаковую) площадь двумерного параллелограмма, охватываемого v и w , как показано на диаграмме:

Итак, чтобы вычислить площадь двухмерного треугольника с вершинами P 0 , P 1 , P 2 , определите векторы ребер в P 0 как и. Затем, поскольку треугольник составляет половину параллелограмма, мы получаем (знаковую) площадь как:

, что является очень эффективной формулой для определения площади.Эта знаковая область положительна, когда вершины P 0 , P 1 , P 2 ориентированы против часовой стрелки, и отрицательна, когда они ориентированы по часовой стрелке, поэтому ее можно использовать для проверки ориентации треугольника. Это также можно использовать для проверки того, на какой стороне направленной линии, проходящей через точку P 2 , лежит: это левая сторона, когда область положительная; он находится на линии, когда area = 0; и он находится справа, когда область отрицательная.

Аналогичным образом, двумерное произведение perp может использоваться для определения, на какую сторону (левую или правую) одного вектора указывает другой вектор, поскольку для:


Трехмерное перекрестное произведение

Перекрестное трехмерное произведение (также известное как трехмерное внешнее произведение или векторное произведение ) двух векторов, v и w , определено только для трехмерных векторов, скажем и.Обозначается буквой a и определяется как:

Перекрестное произведение имеет свойства:

[Нильпотентный]

[Скалярная ассоциация]

[Антисимметричный]

[Распределение добавок]

[Нормальность]

[Идентификация Лагранжа]


Однако перекрестное произведение не ассоциативно само с собой и не является распределительным с скалярным произведением.Вместо этого есть следующие формулы. Они не часто используются в компьютерной графике, но иногда могут упростить вычисления, поскольку точечные произведения вычислить легче, чем кросс-произведения. Обратите внимание, что формулы для левой и правой ассоциации разные.

[Левая ассоциация]

[Правое объединение]

[Ассоциация Dot-Cross]

[Обобщенная идентичность Лагранжа]

[Идентификация Якоби]


Используя обобщенную идентичность Лагранжа, мы можем вычислить это:

, который демонстрирует важные формулы перекрестного произведения:

, где — угол между и и градусами .Вектор u перпендикулярен как v , так и w , и геометрически указывает наружу от плоскости vw с использованием правила правой руки. Кроме того, величина — это площадь параллелограмма, охватываемого v и w , как показано на следующей диаграмме:

Этот факт делает кросс-произведение очень полезным для вычисления трехмерных площадей. Например, для трехмерного треугольника с векторами ребер и его площадь можно вычислить как:

Еще одно важное следствие формулы перекрестного произведения состоит в том, что если v и w являются перпендикулярными единичными векторами, то это также единичный вектор, поскольку sin () = 1.Таким образом, три вектора v , w и образуют ортогональную систему координат (или основу) для трехмерного пространства. Это используется в трехмерной графике для упрощения перспективных расчетов с точки зрения наблюдателя.

Наконец, в двухмерном пространстве существует взаимосвязь между встроенным кросс-произведением и двухмерным перп-произведением. Можно встроить 2D-вектор в 3D-пространство, добавив третью координату, равную 0, а именно: . Тогда для двух двумерных векторов v и w встроенное трехмерное перекрестное произведение будет:, единственная ненулевая составляющая которого равна perp-произведению .


Трехмерное тройное произведение

Еще одно полезное геометрическое вычисление — это трехмерное ( скаляр ) тройное произведение , которое определяется как:

Трехмерное изделие, тройное
Определение

Свойства этого продукта:

[Инвариант четности]

[Антисимметричный]


Геометрически тройное произведение равно объему параллелепипеда (трехмерный аналог параллелограмма), определяемого тремя векторами u, v и w , начиная с той же угловой точки, как показано на диаграмме. :

Чтобы понять это, вспомните, что это площадь основания (параллелограмма), а проекция и на вектор нормали дает перпендикулярную высоту с высотой =.Объем тогда является произведением площади основания на эту высоту, что дает формулу. Далее, это знаковый объем, знак которого зависит от ориентации векторов «системы координат» u , v и w .

Используя эту формулу, мы также можем получить объем трехмерного тетраэдра с 4 вершинами для i = 0,3. Объем этого тетраэдра составляет 1/6 объема параллелепипеда, образованного векторами , , и , .Это дает:

.

No related posts.

Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *