Системы уравнений 9 класс контрольная: Контрольная работа по математике «Системы уравнений» ( 9 класс)

Содержание

Контрольная работа по математике «Системы уравнений» ( 9 класс)

Контрольная работа №4

Вариант 1

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

3. Площадь прямоугольника равна 36см², а его периметр – 24см. Найдите стороны прямоугольника.

4. Постройте график уравнения (3х+2)(у+х²-4)=0

5. Решите систему уравнений

Контрольная работа №4

Вариант 1

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

Площадь прямоугольника равна 36см², а его периметр – 24см.
Найдите стороны прямоугольника.
Постройте график уравнения (3х+2)(у+х² -4)=0
Решите систему уравнений

Контрольная работа №4

Вариант 1

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

3. Площадь прямоугольника равна 36см², а его периметр – 24см. Найдите стороны прямоугольника.
4. Постройте график уравнения (3х+2)(у+х² -4)=0
Решите систему уравнений

Контрольная работа №4

Вариант 2

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

3Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18см. Найдите стороны прямоугольника.
Постройте график уравнения

(х-5у)(2у-х²)=0

Решите систему уравнений

Контрольная работа №4

Вариант 2

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

3Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18см. Найдите стороны прямоугольника.
Постройте график уравнения

(х-5у)(2у-х²)=0

Решите систему уравнений

Контрольная работа №4

Вариант 2

Решите графически систему уравнений

Решите систему уравнений:

а) б)

3Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см², а его периметр равен 18см. Найдите стороны прямоугольника.
Постройте график уравнения

(х-5у)(2у-х²)=0

Решите систему уравнений

Контрольная работа по Алгебре «Решение систем уравнений с двумя неизвестными» 9 класс

Контрольная работа по теме: «Решение систем уравнений с двумя неизвестными».

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2 х + у = 7,

х² — у = 1.

2. Периметр прямоугольника равен 28м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы

у = х² + 4 и прямой х + у = 6.

4. Решите систему уравнений:

2 у – х = 7,

х² – ху – у² = 29.

Вариант 2

1. Решите систему уравнений:

х – 5 у = 2,

х² — у = 10.

2. Периметр прямоугольника равен 26см, а его площадь равна 42см². Найдите стороны прямоугольника.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы

у = х² — 8 и

прямой х + у = 4.

4. Решите систему уравнений:

х – 5 у = 9,

х² – 3ху – у² = 3.

Вариант 1

1. Решите систему уравнений:

2 х + у = 7,

х² — у = 1.

2. Периметр прямоугольника равен 28м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы

у = х² + 4 и прямой х + у = 6.

4. Решите систему уравнений:

2 у – х = 7,

х² – ху – у² = 29.

Вариант 2

1. Решите систему уравнений:

х – 5 у = 2,

х² — у = 10.

2. Периметр прямоугольника равен 26см, а его площадь равна 42см². Найдите стороны прямоугольника.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы

у = х² — 8 и

прямой х + у = 4.

4. Решите систему уравнений:

х – 5 у = 9,

х² – 3ху – у² = 3.

Разноуровневая контрольная работа «Решение систем уравнений», 9 класс | Материал (9 класс) по теме:

1 вариант

Решите систему уравнений:
Решите задачу с помощью системы уравнений.

Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 + 4 и прямой х + у = 6.

2 вариант

Решите систему уравнений:
Решите задачу с помощью системы уравнений.

Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х2 – 8 и прямой х + у = 4.

1 вариант

Решите систему уравнений:

А) Б)

Решите задачу с помощью системы уравнений.

Одна из сторон прямоугольника на 2 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 м2.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 + у2 = 10 и прямой х + 2у = 5.

1 вариант

Решите систему уравнений:

А) Б)

Решите задачу с помощью системы уравнений.

Одна из сторон прямоугольника на 4 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 м2.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 + у2 = 17 и прямой 5х – 3у = 17.

1 вариант

Решите систему уравнений:

А) Б)

Решите задачу с помощью системы уравнений.

Из пункта А в пункт В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 + (у – 2)2 = 5 и параболы у = х2 – 1.

1 вариант

Решите систему уравнений:

А) Б)

Решите задачу с помощью системы уравнений.

Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х2 +(у – 1)2= 13 и параболы у = х2 – 10.

§ Контрольная работа. Уравнения 9 класс

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Математика 5 класс

Математика 6 класс

Алгебра 7 класс

Геометрия 7 класс

Алгебра 8 класс

Алгебра 9 класс

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Большинство людей готово безмерно трудиться, лишь бы избавиться от необходимости немножко подумать.Томас Эдисон

на главную Найти репетитора Поддержать сайт ←Вернуться в «Проверь себя»

Печать

Задание № 1

Решить уравнение: 5(8x − 1) − 7(4x + 1) + 8(7 − 4x) = 9

Задание № 2

Решить уравнение: 6 = −x² − 7x

Ответ:

x₁ = −1; x₂ = −6

Задание № 3

Решить уравнение: x² − 36 = 0

Ответ:

x₁ = 6; x₂ = −6

Задание № 4

Решить уравнение: 2x² − 5x = 0

Ответ:

x₁ = 0; x₂

= 2,5

Задание № 5

Решить уравнение (не забудьте рассмотреть ОДЗ): − = −

Ответ:

x₁ = 1; x₂ = 3; x₃ = −2

Задание № 6

Решить уравнение:

Задание № 7

Решить уравнение (используйте метод замены): (x² + 4)² − 7(x² + 4) + 10 = 0

Ответ:

x₁ = −2,5 x₂ = −1

Задание № 8

Решить систему уравнений:

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре.

9 класс. К учебнику

Сборник содержит тексты 18 самостоятельных и 6 контрольных работ (в 4 вариантах каждая) по курсу алгебры 9 класса (Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова; под. ред. С.А. Теляковского. — М.: Просвещение, 2011). Самостоятельные работы 14 — 18 и контрольная работа №6 составлены по курсу алгебры 7 9 классов (к учебникам тех же авторов).
Во всех работах используются задания трех форм: с выбором ответа (задания А1, А2, A3), с кратким ответом (В1), с развернутым ответом (С1). Контрольная работа № 6 составлена в формате демонстрационного варианта ГИА.
На выполнение каждой самостоятельной работы требуется приблизительно 25-30 минут (более точно можно рассчитать время, учитывая особенности класса и объем необходимых записей). Время выполнения работы сообщается учащимся перед ее началом (записывается на доске). Рекомендуем тщательно соблюдать его, чтобы приучить школьников к дисциплине выполнения работы и выработать у них умение планировать время. Поскольку самостоятельные работы носят обучающий характер, рекомендуем разрешить учащимся использовать любые справочные материалы и записи в тетрадях. Но при этом запрещаются любые консультации учащихся друг с другом.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Самостоятельная работа 1
Функции и их свойства 8
Самостоятельная работа 2
Квадратный трехчлен 13
Самостоятельная работа 3
Квадратичная функция и ее график 16
Самостоятельная работа 4
Степенная функция. Корень n-й степени 21
Самостоятельная работа 5
Уравнения с одной переменной 25
Самостоятельная работа 6
Дробные рациональные уравнения 28
Самостоятельная работа 7
Неравенства с одной переменной 32
Самостоятельная работа 8
Уравнения с двумя переменными и их системы 35
Самостоятельная работа 9
Неравенства с двумя переменными и их системы 41
Самостоятельная работа 10
Арифметическая прогрессия 47
Самостоятельная работа 11
Геометрическая прогрессия 50
Самостоятельная работа 12
Элементы комбинаторики 54
Самостоятельная работа 13
Начальные сведения из теории вероятностей 57
Самостоятельная работа 14
Итоговое повторение. Преобразование целых и дробных выражений 61
Самостоятельная работа 15
Итоговое повторение. Функции и графики. Графическое решение уравнений и их систем 66
Самостоятельная работа 16
Итоговое повторение. Решение уравнений, неравенств и их систем 75
Самостоятельная работа 17
Итоговое повторение. Решение текстовых задач 79
Самостоятельная работа 18
Итоговое повторение. Элементы статистики и теории вероятностей 85
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа Ж» 1
Функции и их свойства. Квадратный трехчлен. Квадратичная функция и её график 90
Контрольная работа Ж» 2
Степенная функция. Корень и-й степени. Уравнения с одной переменной 97
Контрольная работа Ж» 3
Неравенства с одной переменной. Уравнения с двумя переменными и их системы 101
Контрольная работа Ж» 4
Неравенства с двумя переменными и их системы Арифметическая и геометрическая прогрессии 106
Контрольная работа Ж» 5
Элементы комбинаторики и теории вероятностей 111
Контрольная работа Ж» 6
Контрольная работа № 6 (в формате ГИА) 116
Ответы 130

Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному образовательному стандарту (второго поколения). Пособие является необходимым дополнением к школьному учебнику Ю.Н. Макарычева и др. «Алгебра. 9 класс» (издательство «Просвещение»), рекомендованному Министерством образования и науки Российской Федерации и включенному в Федеральный перечень учебников. Сборник содержит тексты 18 самостоятельных и 6 контрольных работ для формирования знаний, умений и навыков учащихся, предусмотренных программой курса алгебры 9 класса, и текущего контроля результатов обучения. Каждый текст самостоятельной и контрольной работы представлен в 4 вариантах равной трудности. В сборник включены также ответы к заданиям, рекомендации по подсчету баллов и выставлению отметок. Планируемое время выполнения каждой самостоятельной работы — 30 минут, каждой контрольной работы — 40 минут. Регулярное выполнение самостоятельных и контрольных работ поможет школьникам освоить программный материал и получать своевременно информацию о полноте его усвоения учителям. Книга адресована учителям математики 9 класса и школьникам.

Контрольная работа по алгебре 9 класс по теме «Решение систем уравнений с двумя переменными»

Вариант 1

1). Решить систему уравнений графически:

у = – х²+ 4;

х²+ у²= 25.

2).Решить систему способом подстановки:

3x – y = – l,

х²– 2ху + у²= 9.

3). Сумма двух натуральных чисел равна 10, а разность их квадратов равна 20. Найти эти числа.

Вариант 2

1). Решить систему уравнений графически:

у = х ²— 3;

х²+у²= 16.

2). Решить систему уравнений способом подстановки

2x – y = – l,

х²+ 2ху– у²= 2.

3).Разность двух натуральных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 40. Найти эти числа.

Вариант 1

1). Решить систему уравнений графически:

у = – х²+ 4;

х²+ у²= 25.

2). Решить систему уравнений способом подстановки:

3x – y = – l,

х²– 2ху + у²= 9.

3). Сумма двух натуральных чисел равна 10, а разность их квадратов равна 20. Найти эти числа.

Вариант 2

1). Решить систему уравнений графически:

у = х ²— 3;

х²+у²= 16.

2). Решить систему уравнений способом подстановки

2x – y = – l,

х²+ 2ху– у²= 2.

3).Разность двух натуральных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 40. Найти эти числа.

Вариант 1

1). Решить систему уравнений графически:

у = – х²+ 4;

х²+ у²= 25.

2). Решить систему уравнений способом подстановки:

3x – y = – l,

х²– 2ху + у²= 9.

3). Сумма двух натуральных чисел равна 10, а разность их квадратов равна 20. Найти эти числа.

Вариант 2

1). Решить систему уравнений графически:

у = х ²— 3;

х²+у²= 16.

2). Решить систему уравнений способом подстановки

2x – y = – l,

х²+ 2ху– у²= 2.

3).Разность двух натуральных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 40. Найти эти числа.

Вариант 1

1). Решить систему уравнений графически:

у = – х²+ 4;

х²+ у²= 25.

2). Решить систему уравнений способом подстановки:

3x – y = – l,

х²– 2ху + у²= 9.

3). Сумма двух натуральных чисел равна 10, а разность их квадратов равна 20. Найти эти числа.

Вариант 2

1). Решить систему уравнений графически:

у = х ²— 3;

х²+у²= 16.

2). Решить систему уравнений способом подстановки

2x – y = – l,

х²+ 2ху– у²= 2.

3).Разность двух натуральных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 40. Найти эти числа.

Вариант 1

1). Решить систему уравнений графически:

у = – х²+ 4;

х²+ у²= 25.

2). Решить систему уравнений способом подстановки:

3x – y = – l,

х²– 2ху + у²= 9.

3). Сумма двух натуральных чисел равна 10, а разность их квадратов равна 20. Найти эти числа.

Вариант 2

1). Решить систему уравнений графически:

у = х ²— 3;

х²+у²= 16.

2). Решить систему уравнений способом подстановки

2x – y = – l,

х²+ 2ху– у²= 2.

3).Разность двух натуральных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 40. Найти эти числа.

Контрольная работа № 1 по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными», 9 класс

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

1 вариант

1. Является ли пара чисел (-1; 4) решением уравнения:

х² –у + 3 = 0?

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

х + у = 8,

ху = -20.

2. Задача

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение 32. Найдите эти числа.

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

1 вариант

1. Является ли пара чисел (-1; 4) решением уравнения:

х² –у + 3 = 0?

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

х + у = 8,

ху = -20.

2. Задача

Сумма двух чисел равна 12, а их произведение 32. Найдите эти числа.

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

2 вариант

1. Постройте график уравнения: (х — 3)² + у² = 16.

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

х² + у² = 8,

х — у = 4.

3. Задача

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

2 вариант

1. Постройте график уравнения: (х — 3)² + у² = 16.

2. Решите систему уравнений способом подстановки:

х² + у² = 8,

х — у = 4.

3. Задача

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

3 вариант

1. Решите систему уравнений способом подстановки:

2х² + ху + у² = 1,

2 х + у = 1.

3. Задача

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один их них прибыл в пункт В на 54 минуты позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

3 вариант

1. Решите систему уравнений способом подстановки:

2х² + ху + у² = 1,

2 х + у = 1.

3. Задача

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

3 вариант

1. Решите систему уравнений способом подстановки:

2х² + ху + у² = 1,

2 х + у = 1.

3. Задача

Контрольная работа № 1

Уравнения и неравенства с двумя переменными

3 вариант

1. Решите систему уравнений способом подстановки:

2х² + ху + у² = 1,

2 х + у = 1.

3. Задача

Промежуточная алгебра
Урок 19: Решение систем линейных уравнений
в двух переменных

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Промежуточная алгебра

Цели обучения

После изучения этого руководства вы сможете:

Узнайте, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений в две переменные или нет.
Решите систему линейных уравнений с двумя переменными с помощью построения графиков.
Решите систему линейных уравнений с двумя переменными заменой метод.
Решите систему линейных уравнений с двумя переменными методом исключения метод.

Введение

В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные. Урок 20: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: построение графиков, метод подстановки и метод исключения. Это приведет нас к решению проблем со словами с системами, которые быть показано в Урок 21: Системы линейных уравнений и задачи Решение . Вот где мы должны ответить на печально известный вопрос, когда мы будем использовать это? Но сначала мы должны научиться работать с системами в Общее. Вот почему на этом этапе мы используем общие переменные, такие как x и y . Если вы знаете, как это решить в целом, тогда, когда у вас есть конкретный проблема что вы решаете, где переменные принимают значение, такое как время или Деньги (две вещи, которых нам, кажется, никогда не бывает достаточно), вы будете готовы к идти. Итак, давайте посмотрим на системы в целом, чтобы подготовить нас к решению предстоящих проблем из нас.

Учебник

Система линейных уравнений

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно.

В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные.

В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями истинными.

Другими словами, это место пересечения двух графиков, что у них есть в общем. Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы.

Согласованная система — это система, в которой хотя бы одно решение.

Несогласованная система — это система, которая нет решения .

Уравнения системы зависимы если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения. В Другие словами, они заканчиваются тем, что это та же строка .

Уравнения системы независимы , если они не делятся ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все из них.

Одно решение
Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения ПРАВДА.

Если у вас есть одно решение для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение:

Нет решения
Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения.

Если вы не получили решения для окончательного ответа, — это эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных без решения:

Бесконечный Решения
Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, тогда Там есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение будет работать в другом.

Если вы получите бесконечное количество решений для Ваш окончательный ответ, я с эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «последовательный», вы правы!

Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали иждивенец, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений:

Пример 1 : Определите, является ли каждая упорядоченная пара решением из система.
(3, -1) и (0, 2)

Давайте проверим заказанную пару (3, -1) в первом уравнение:

* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение

Пока все хорошо, (3, -1) является решением первое уравнение x + y = 2.

Теперь проверим (3, -1) во втором уравнении:

* Вставка 3 для x и -1 для y

* Истинное утверждение

Эй, мы закончили с другим верным утверждением, которое означает, что (3, -1) является также решение второго уравнения x — y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (3, -1) решением данная система ?????
Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в системе, Затем это это решение для всей системы.

Теперь поместим (0, 2) в первое уравнение:

* Вставка 0 для x и 2 для y
* Истинное заявление

Это истинное утверждение, поэтому (0, 2) является решением первое уравнение x + y = 2.

Наконец, поместим (0,2) во второе уравнение:

* Вставка 0 для x и 2 для y
* Ложное заявление

На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это средства. (0, 2) НЕ является решением второго уравнения x — y = 4.

Вот большой вопрос, является ли (0, 2) решением данная система ?????
Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, то это не решение всей системы.

Три способа Решать системы линейных
Уравнения с двумя переменными

Шаг 1. Постройте первое уравнение.

Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая.

Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно рассмотреть различные способы график линия.

Разница тут в том, что на такой же поставишь система координат как первый. Это как две задачи с графиком в одной.

Шаг 3. Найдите решение.

Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток — решение системы.

Если две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения.

Если две строки лежат друг над другом , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений. . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать это одна и та же линия.

Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения.

Вы можете подключить предлагаемое решение к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.

Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график.

* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept

Перехват x равен (3, 0).

y — перехват

* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept

Перехват y равен (0, 3).

Найти другого решение, позволяя x = 1.

* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х	л	(х, у)
3	0	(3, 0)
0	3	(0, 3)
1	2	(1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:

* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept

Перехват x равен (1, 0).

Y-перехват

* Вставка 0 для x для y -int

* Обратное от мульт. на -1 — это div. по -1

* y — перехват

Перехват y равен (0, -1).

Найти другого решение, позволяя x = 2.

* Вставьте 2 для x
* Сумма, обратная сумме 2, является вспомогательной. 2

* Обратное от мульт. на -1 это div по -1

Другое решение (2, 1).

Решения:

х	л	(х, у)
1	0	(1, 0)
0	-1	(0, -1)
2	1	(2, 1)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:

Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ — да, они пересекаются в точках (2, 1).

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

Решение этой системы — (2, 1).

Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график.

* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept

Перехват x равен (5, 0).

y — перехват

* Вставка 0 для x для y -int

* y — перехват

Перехват y равен (0, 5).

Найти другого решение, позволяя x = 1.

* Вставить 1 для x
* Сумма, обратная добавлению 1, является вспомогательной. 1

Другое решение (1, 4).

Решения:

х	л	(х, у)
5	0	(5, 0)
0	5	(0, 5)
1	4	(1, 4)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:

* Вставить 0 для y для x -int
* Сумма, обратная сумме 3, является вспомогательной. 3

* Обратное от мульт. на -1 — это div. по -1

* x — интервал

Перехват x равен (3, 0).

y — перехват

* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept

Перехват y равен (0, 3).

Найти другого решение, позволяя x = 1.

* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х	л	(х, у)
3	0	(3, 0)
0	3	(0, 3)
1	2	(1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:

Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ — нет, они не пересекаются. Мы иметь два параллельных линий.

Нет заказанных пар для проверки.

Ответ — нет решения.

Решить методом подстановки

Шаг 1. При необходимости упростите.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби — это еще один способ написать деление, а обратное деление — умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.

Шаг 2: Решите одно уравнение для любая переменная.

Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для.

Вы хотите сделать это как можно проще.Если один уравнений уже решено для одной из переменных, это быстро и легко способ идти.

Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с дробная часть (фу !!).

Шаг 3. Замените то, что вы получаете шаг 2 в другое уравнение.

Вот почему он называется методом замещения. Убедись в том, что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал использовать на шаге 2.

Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.

Шаг 4. Решите для оставшаяся переменная.

Шаг 5: Решить за секунду Переменная.

Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого Переменная.

Если ваша переменная выпадает, и у вас есть ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.

Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.

Вы можете подключить предлагаемое решение к ОБА уравнения. Если это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.

Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод.

Оба этих уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.

Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный.

Второе уравнение, решенное относительно y :

* Решено для y

Подставьте выражение 2 x + 4 вместо y в первое уравнение и решите относительно x :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)

* Под. 2 x + 4 дюйма для y
* Расст. От -5 до ()
* Объединить похожие термины

* инверсия sub. 20 добавлено 20

* Значение, обратное div. by -7 есть мульт. по -7

Вставить -5 для x в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение y .

* Вставка -5 для x

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (-5, -6) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(-5, -6) — решение для нашей системы.

Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод.

Оба этих уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.

На этот раз проблема была не так уж хороша для нас, мы придется проделайте небольшую работу, чтобы решить одно уравнение для одной из наших переменных.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение для. Просто будь простым.

Начиная с x в первом уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на количество решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (УРА !!) Самый простой способ здесь — решить первое уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь. Ты бы не был неправильный чтобы выбрать другое уравнение и / или решить для y, снова вы хотите чтобы сделать его максимально простым.

Решая первое уравнение для x , получаем:

* инверсия суб. 2 y прибавлено 2 y

* Решено для x

Подставьте выражение 5 + 2 y вместо x во второе уравнение и решите относительно y :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете в число вашей переменной)

* Под. 5 + 2 y для x

* Переменная выпала И ложь

Погодите, а где наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает, и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.

Поскольку мы не получили значение для y , там здесь нечего подключать.

Нет заказанных пар для проверки.

Ответ — нет решения.

Решить методом исключения

Этот метод также известен как сложение или исключение добавлением метод.

Шаг 1: Упростите и поместите оба уравнения в виде A x + B y = C, если необходимо.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Шаг 2: Умножьте один или оба уравнения по числу который при необходимости создаст противоположные коэффициенты для x или y .

Забегая вперед, мы добавим эти два Уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает из, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположности . Сумма противоположности равно 0.

Если ни одна из переменных не выпадает, мы застреваем с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы.

Неважно, какую переменную вы выберете для удаления из. Вы хотите, чтобы это было как можно проще. Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. что создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных.Ты жестяная банка думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Делать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы Добавить.

Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два вместе, они выпадут.

Сложите два уравнения.

Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.

Шаг 4: Найдите оставшуюся переменную.

Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной что осталось.

Если вам нужен обзор по этому поводу, перейдите к руководству по 7: Линейные уравнения с одной переменной.

Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.

Шаг 5: Найдите вторую переменную.

Шаг 6: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБЕ исходные уравнения.

Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если оно делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно перейти назад и повторить эта проблема.

Пример 6 : Решите систему уравнений методом исключения метод.

В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:

* Мног. по ЖК 15

* Мульт. по ЖК 6

Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный. Обратите внимание, как коэффициенты на обоих и являются 3. Мы должны быть противоположности, поэтому, если один из них равен 3, а другой -3, Oни будут взаимно отменять друг друга, когда мы перейдем к их добавлению.

Если бы мы сложили их вместе, как сейчас, мы бы закончить с одно уравнение и две переменные, ничего бы не выпало. И мы бы не смогу ее решить.

Предлагаю умножить второе уравнение на -1, это будет создайте -3 перед x , и мы будем имеют наши противоположности.

Обратите внимание, что мы могли бы так же легко умножить первое уравнение на -1 а не второй. В любом случае работа будет выполнена.

Умножая второе уравнение на -1, получаем:

* Мног. обе стороны 2-го ур. по -1

* y ‘а иметь противоположное коэффициенты

* Обратите внимание, что y ‘s выпал

* Реверс от мульт.на 3 — div. по 3

Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы вставьте найденное значение x .

Я выбираю подключить 11 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s ценить.

* Вставка 11 для x

* Сумма, обратная сумме 55, является sub.55

* Обратное от мульт. на 3 — div. по 3

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (11, -25/3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(11, -25/3) — это решение нашей системы.

Пример 7 : Решите систему уравнений методом исключения метод.

Эта задача уже упрощена.Однако второй уравнение не записывается в виде Ax + By = C. Другими словами, нам нужно записывать это в этой форме, чтобы все было готово к работе, когда мы добавим два уравнения вместе.

Переписывая второе уравнение, получаем:

* Инверсия сложения 6 x — sub.6 x

* Все в порядке

Обратите внимание, что если мы умножим первое уравнение на 2, то у нас будет a -6 x , что является противоположностью 6 x , найденной во втором уравнении.

Умножая первое уравнение на 2, получаем:

* Мног.1-й экв. по 2

* x имеют противоположные коэффициенты

* Переменные выпали И истинно

Эй, откуда у нас переменные идти??

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений. Они в конечном итоге та же линия.

Здесь нет значения для подключения.

Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | 3 x — 2 y = 1} OR {( x , y ) | 4 y = 6 x — 2}.

Практические задачи

Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, с следует работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

Практика Задача 1a: Решите систему, построив график.

Практика Задача 2а: Решить систему подстановкой метод.

Практика Проблема 3a: Решите систему метод устранения.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?

07.06.11: Применение системы уравнений к сценариям реального мира: практическая программа

Проблемы со словами — это проблема. Студенты всех уровней постоянно борются со словами; Однако есть решение этой «проблемы». Цель этого раздела учебной программы — показать учащимся различные способы использования системы уравнений для решения реальных проблем.Чтобы учащиеся были вовлечены и заинтересованы в обучении, им необходимо увидеть практическую ценность изучаемой математической концепции в реальном мире. Без большой практики ученикам может быть сложно правильно и эффективно вычислить Систему уравнений. Когда трудности сочетаются с отсутствием интереса или вопросом актуальности, ученик может расстроиться и потерять интерес. Поэтому, чтобы привлечь внимание и интерес моих студентов, я сначала расскажу, что такое система уравнений, а затем объясню, как решить ее, используя три разных метода. Используя методы подстановки, исключения сложения / вычитания и умножения / исключения, мы рассмотрим, как решить систему уравнений.

Как только учащиеся поймут эти концепции, я буду обсуждать и повторять I = Prt и d = rt. Используя простую формулу процента, I = Prt, студенты узнают, как их деньги могут вырасти за год. Несомненно, это заинтересует любого студента. Студенты также смогут увидеть преимущества и практическую практическую ценность расчета расстояния, которое может пройти объект, с учетом скорости и времени с использованием формулы d = rt.Затем я объединю формулы расстояния и интереса с системой уравнений и продемонстрирую, как решать реальные сценарии и интересные задачи. Я также приведу практические примеры проблем, связанных с ветром и водными течениями, химическими проблемами, связанными с смесями и растворами, другими интересными проблемами, связанными с временной стоимостью денег, и другими практическими примерами, которые включают системы уравнений. Я потрачу два дня на каждый из трех методов. Затем я потрачу еще три или четыре дня на то, чтобы ввести формулы процента и расстояния, включив их в систему уравнений.Очень важно, чтобы учащиеся почувствовали, как решать задачи, прежде чем я представлю более сложные задачи со словами. Формулы расстояния и простые формулы процентов не очень сложны, и мои ученики обычно быстро их усваивают. Я также представил их ранее в этом году и использую их в качестве разминки несколько раз в неделю.

Первая система уравнений, которую я представлю, требует для решения метода подстановки. Например;

у = 4х 3х + 4у = 36

Проблема со словами, которая может быть решена методом подстановки:;

«У Тедди на iPod на 8 песен больше, чем у Тайлера.Вместе у них 112 песен. Сколько песен у каждого человека? »

Другой пример системы уравнений, решаемой подстановкой:

х + 3у = 9 2х — 5у = 27

Следующий класс систем уравнений, который я представлю, решается методом сложения / вычитания. Примером может быть;

2x + 4y = 33 2x + 6y = 54

В этой системе коэффициент при x одинаков в обоих уравнениях. Следовательно, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы сможем выделить переменную y.Проблема со словами, которая потребует использования метода сложения / вычитания:

«Тедди подстригает траву летом за 20 долларов за лужайку. Его сосед, Гэвин, очень конкурентоспособен и решает также стричь траву, но берет только 18 долларов за газон. Их общий совокупный доход за одно лето составил 348 долларов. Тедди заработал 132 доллара. больше, чем Гэвин. Сколько газонов они вырезали каждый? »

Последний тип систем уравнений, о котором я буду говорить, требует метода исключения умножения.Примером системы этого типа является;

3x + 6y = -6, 5x — 2y = 14.

Пример проблемы со словами, для решения которой мы могли бы использовать метод исключения умножения:

«Стоимость авиапочты для писем в Европу составляет 45 центов за пол-унции, а в Африку — 65 центов за унцию. Если Ширли заплатила 18,55 доллара за отправку 35 писем объемом пол-унции в Европу и Африку, сколько она отправила Африка? »

Это всего лишь краткий обзор типов проблем, которые я рассмотрю на своем классе в этом модуле.

Я преподаю алгебру в восьмом классе средней школы в пригороде Шарлотты, Северная Каролина. В этом конкретном классе у меня относительно мало проблем с поведением. Говорить в неподходящее время — самая большая ошибка моих учеников. Средняя школа Кармель работает по блочному расписанию, и мой класс алгебры собирается каждый день примерно на 85 минут. У меня есть руководство по темпам, созданное округом, в котором я преподаю, и которому я следую. На системы уравнений выделяется не так уж много времени, поэтому я стараюсь действовать довольно быстро.У меня обычно около 30 учеников в классе алгебры и примерно от 20 до 25 учеников в моих классах более низкого уровня.

В моей школе проживает следующее: 61,4% европеоидов, 21,5% афроамериканцев, 11% латиноамериканцев и 4% азиатов. Двадцать шесть процентов наших студентов зачислены на программу для одаренных и талантливых, в то время как 12,6% наших студентов имеют ту или иную степень инвалидности. У нас 30% населения получают бесплатные или льготные обеды, а остальные 70% платят или приносят с собой упакованные ланчи.

Процент учащихся на уровне класса или выше по математике составляет 80%, а учащихся на уровне класса или выше по чтению еще выше — 91.5%. Этот процент поставил нас выше среднего показателя по округу Шарлотта Мекленбург в обеих категориях. В течение последних нескольких лет в средней школе Кармел 100% учащихся по алгебре и геометрии постоянно учились на уровне своего класса или выше.

Сам округ с каждым годом становится все больше и больше; в настоящее время в нем обучается 122 000 студентов и работает 10 050 учителей. За последние пару лет школьная система Шарлотты-Мекленбург увеличила количество учеников примерно на 6000 учеников в год.Население округа составляет 43% афроамериканцев, 37% европеоидов, 12% латиноамериканцев и 4% азиатов.

Во-первых, я начну с представления трех способов решения системы уравнений. Первый способ называется методом подстановки. Два дня я провожу со своим классом на замену. Обычно задачи ставятся так, что есть только одна переменная с каждой стороны уравнения и, по крайней мере, одна переменная имеет старший коэффициент, равный единице. Другое уравнение также имеет две переменные, каждая из которых находится на одной стороне уравнения.Пример выглядит следующим образом:

х = 3у, 2х + 4у = 20.

Уравнения в приведенной выше форме — самый простой и легкий способ начать задачу замены. Студенты должны понимать, что, когда в уравнении есть несколько неизвестных, его нельзя решить как есть. Поскольку x = 3y, мы можем просто «подставить» переменную ‘x’ во второе уравнение. Это даст уравнение 2 (3y) + 4y = 20. Я прошу добровольца сказать мне, есть ли у нас теперь более одной неизвестной переменной. Остальная часть уравнения должна решаться легко.Студенты знают, как решать многоступенчатые уравнения, сравнительно легко комбинируя одинаковые термины. Я также обязательно вставил свой ответ для «y» и решил также для «x». Студенты должны понимать, что не имеет значения, в какое уравнение они подставляют значение «y». В любом случае они получат одно и то же значение «x».

Я бы также продемонстрировал задачи, в которых переменные находятся на одной стороне для обоих уравнений, но опять же у одного из них старший коэффициент равен единице. Например:

х — 7у = 21 х + 2у = 14.

Я хотел бы продемонстрировать, как легко поместить первое уравнение x — 7y = 21 в форму x = 7y + 21, а затем подставить значение x во второе уравнение и решить. Ученики также могли бы задать второе уравнение, x + 2y = 14, равным «x», вычитая «2y» из обеих частей, чтобы получить x = -2y + 14. Для учеников важно видеть, что у них есть варианты и что есть несколько способов решить эти проблемы. Важно напомнить им, что каким бы способом они ни решили эту задачу, они всегда получат один и тот же ответ.Чтобы удовлетворить наглядность учащихся, я продемонстрирую на доске по две задачи каждого типа. Затем я даю студентам несколько минут на самостоятельное решение задачи. Мы рассмотрим ответ, и я всегда убеждаюсь, что ни у кого нет вопросов без ответа. Пожалуйста, смотрите проблемы №1-4 в Приложении, где вы найдете больше примеров систем, которые можно решить с помощью подстановки.

Я обычно много работаю в группе со своим классом. Это полезно во многих отношениях. Это усиливает концепции для студентов, которые объясняют проблему другим студентам, дает студентам альтернативный подход к уравнениям и, наконец, помогает мне ответить на большее количество вопросов, чем я успеваю наедине с большим классом.Я разбиваю класс на группы по два человека и предлагаю им вместе работать над решением ряда проблем, связанных с заменой. В первый день я не сосредотачиваюсь на словесных проблемах; проблемы со словами могут ошеломить моих учеников, и в конечном итоге я хочу, чтобы они укрепляли уверенность, а не замешательство. Тем не менее, в этот вечер я поставлю пару задач для домашнего задания. Перед окончанием урока я продемонстрирую, как использовать графический калькулятор для поиска решения. Это невероятно важный обучающий инструмент, который дает учащимся графическое представление о том, как их ответ получается путем пересечения двух линейных уравнений.Для них невероятно важно понимать не только, как решить проблему, но и что именно это означает, когда они это делают. В моей школе есть калькулятор TI-84plus, который я подключаю к ЖК-проектору, что позволяет мне показать весь класс. Я прохожу со студентами пару примеров. Я объясняю, как вводить уравнения в форме пересечения наклона при нажатии кнопки «y =». Затем я показываю им, как построить график этих двух уравнений, нажав кнопку «График». Пересечение двух линий хорошо видно, и ученики могут получить хорошее графическое представление своего ответа.Затем я разрешаю студентам проверять свою работу с помощью графического калькулятора, в то же время уделяя большое внимание требованию, чтобы они показывали всю свою работу.

На следующий день перебираем задачи из домашнего задания. У меня есть студенты, которые добровольно подошли к доске и показали свой ответ и всю работу, которая потребовалась для его достижения. Мы делаем это для каждого ответа. Студенческие демонстрации — отличный инструмент обучения. Учащиеся могут увидеть различные способы решения проблемы при условии, что демонстрации учащихся верны.Если эти демонстрации неверны, это дает классу и мне возможность выяснить, почему бы и нет. Студенты любят указывать на ошибки друг друга и, в свою очередь, помогают укрепить стратегии решения проблем. Учащийся, совершивший ошибку, видит, что он сделал не так, и получает возможность исправить это. Однако некоторым студентам не нравится, когда их выделяют на глазах у сверстников. В случае, если один из этих студентов ошибается, я обязательно осознаю это и осыпаю его похвалой, уверяя их, что его ошибка была лишь незначительной.Затем студенты проведут еще некоторое время в совместных группах, решая текстовые задачи, в то время как я отстраняю студентов, которые боролись с проблемами над домашним заданием, работая с ними один на один. На этом этапе учащиеся должны достаточно хорошо разбираться в решении задач. Вот пример решения проблемы со словом, которую можно решить с помощью метода подстановки:

«Маргарет любит покупать обувь. У Маргарет на 18 пар обуви больше, чем у Джейн. Вместе у них 184 пары обуви.Сколько пар обуви у каждой девушки? »Это не даст целых чисел для ответов.

Абсолютно необходимо, чтобы учащиеся выяснили, что такое неизвестное. Я настаиваю, чтобы студенты записали то, что они ищут, и установили неизвестное. В этом случае вопросы выдают то, что мы ищем: «Сколько пар обуви у каждой девушки?». Следовательно,

Пусть ‘m’ = количество пар обуви, которое есть у Маргарет. Пусть ‘j’ = количество пар обуви, которое есть у Джейн.

Студенты должны записать это перед тем, как приступить к какой-либо работе.Это помогает учащимся начать процесс преобразования словесной задачи в уравнение. Обычно процесс перевода для студентов очень труден. Практика и написание этих операторов let для определения их переменных — единственный способ улучшить их. Следующий шаг — написать уравнение. «У Маргарет на 18 пар обуви больше, чем у Джейн». Это можно записать как m = j +18. Затем я предлагаю студентам взглянуть на третье предложение. Вместе подразумевает добавление. Следовательно, мы можем записать следующее уравнение как m + j = 184.Теперь у нас есть два уравнения, и мы легко можем их решить с помощью метода подстановки.

После того, как я рассмотрю несколько примеров и учащиеся будут работать в группах, я даю домашнее задание, включающее словесные задачи. Примеры см. В Приложении № 5-9. Многим ученикам нравится использовать метод «угадать и проверить» для решения этих задач. Они не хотят тратить время на запись проблемы и ее решение. Я постоянно напоминаю им, что единственный способ справиться с этими проблемами — это практиковаться, задавать вопросы и слушать.Я не назначаю домашнее задание много словесных задач, потому что хочу, чтобы они не торопились и не торопились выполнять их. Если их слишком много, они, как правило, спешат выполнить их все и не выполняют работу того качества, которое им необходимо для достижения успеха.

Следующим методом решения системы уравнений является метод исключения сложения / вычитания. Я представлю эту концепцию на третий день этого раздела. Прежде чем я представлю этот новый метод классу, я прохожу домашние задания накануне вечером так же, как и раньше, вызывая добровольцев к доске.Когда мы закончим рассмотрение домашнего задания, я представлю метод исключения сложения / вычитания, моделируя несколько примеров на доске, и трачу некоторое время на рассмотрение любых вопросов, которые могут у них возникнуть. Метод сложения / вычитания обычно используется в задачах, подобных следующей:

2х + у = 12 х — у = 24.

Ключевой особенностью таких систем является то, что коэффициент одной из переменных в первом уравнении является тем же числом, что и коэффициент той же переменной во втором уравнении.Я поручаю своим ученикам выстроить уравнения по вертикали и проанализировать уравнения, чтобы определить, какую переменную было бы легче исключить. В этом случае «y» проще всего удалить, сложив их вместе по вертикали. Я бы также представил задачу, в которой учащимся пришлось бы вычесть, чтобы исключить одну из переменных. Например:

3х + 7у = 10, 3х — 4у = 8.

Старшие коэффициенты переменной «x» равны и поэтому могут быть вычтены, чтобы исключить переменную «x».Написание уравнений в вертикальном формате одно над другим позволяет легко это сделать. Дополнительные примеры можно найти в задачах № 10-14 в Приложении. Основная идея этого метода заключается в том, что вы должны иметь возможность исключить одну из переменных, чтобы у вас осталась только одна неизвестная. Нужно ли им прибавлять или вычитать — это все, что им нужно выяснить, чтобы добиться успеха в решении этого класса систем.

Здесь я также обращаю внимание на то, что студенты изучают разные способы решения этих проблем и, следовательно, имеют варианты.Это воодушевляет учащихся, что их волнует, дает им чувство сопричастности.

Другая распространенная проблема возникает, когда переменные не в одном и том же порядке для каждого уравнения. Например:

3у + 7х = 10, 3х — 4у = 8.

Как написана эта система, «x» в одном уравнении не выше «x» во втором уравнении. Точно так же «y» не выше «y». Когда ученик пытается вычесть по вертикали, он будет комбинировать разные термины, и результат, вероятно, будет бессмысленным.Я показываю им, как перемещать термины, используя свойство коммутативности, чтобы переменные x были выровнены по вертикали, а y — по вертикали. Когда я закончу объяснять, моделировать и отвечать на любые вопросы, я разбиваю студентов на совместные группы и работаю над решением ряда проблем. Я кружу по комнате, чтобы помочь студентам, которые борются с новой концепцией, и обязательно напоминаю студентам, что графические калькуляторы не заменяют работу. Они должны показать свою работу, а калькуляторы — это просто способ проверить, правильно ли они выполнили свою работу.Мы просматриваем ответы в конце блока, и я отвечаю на любые вопросы, которые могут у них возникнуть. В домашнем задании на этот вечер будет ограниченное количество задач со словами, чтобы снова укрепить уверенность учащихся.

На следующий день мы выполняем домашнее задание, как описано выше. Я выявляю студентов, у которых возникают проблемы с новой концепцией, и отбрасываю их в сторону. Я работаю с ними, так как остальная часть класса работает в группах над решением текстовых задач (см. Приложение, № 15–18). У студентов очень сложно понять, как преобразовать эти задачи в уравнения.Это требует практики и терпения. Я напоминаю своим ученикам, что им понадобятся две переменные, x и y. Им нужно прочитать задачу и решить, что будет x, а что будет y. Как только они это установят, им нужно написать уравнение, удовлетворяющее одному из предложений задачи. Например:

«Длина прямоугольного сада в три раза больше ширины. Каковы размеры сада, если его периметр равен 32 метрам?»

Знаем ли мы, что такое ширина или длина? Нет, мы не.Поэтому можно с уверенностью предположить, что пусть x обозначает ширину в метрах, а y обозначает длину в метрах. (Студенты должны это записать). Тогда мы можем сказать, что, поскольку длина в три раза больше ширины, уравнение y = 3x описывает связь между x и y. Чтобы закончить словесную задачу, мы должны проанализировать предложение: «Каковы размеры сада, если его периметр равен 32 метрам?». Опять же, эти студенты должны знать значение периметра. Я требую, чтобы мои ученики нарисовали прямоугольник, чтобы они могли сами убедиться, что когда вы складываете длины сторон, он должен выглядеть так: x + x + y + y = 32.Это упрощается до 2x + 2y = 32. Я снова предлагаю студентам варианты. Для решения они могут использовать замену или сложение / вычитание. Я поручаю ученикам работать над некоторыми проблемами вместе в группах и кружу в классе, чтобы ответить на любые проблемы или вопросы. Когда конец урока приближается, мы просматриваем ответы, и я даю домашнее задание, состоящее в основном из словесных задач, используя метод исключения сложения / вычитания.

Наконец, метод умножения / исключения — это еще один способ решения системы уравнений.Этот урок проводится в пятый день данного учебного модуля. Это должно быть выполнено после того, как будут изучены методы замены и исключения сложения / вычитания. Поскольку метод умножения / исключения представляет собой комбинацию двух предыдущих методов, учащиеся также должны уметь эффективно анализировать проблему и решать, какой метод будет наилучшим подходом к решению этой конкретной проблемы. Если они могут это сделать, то они готовы к методу исключения умножения. Чтобы узнать, готовы ли мои ученики, я даю им список систем уравнений и прошу их определить, не решая, какой метод вы бы использовали для решения каждой задачи.Я также прошу добровольцев создать свою задачу, подойти к доске и записать систему уравнений. Затем класс должен решить, какой метод использовать и почему. Студентам нравится подходить к доске и записывать задачи. Как правило, это имеет для них большой успех и отличный способ сохранить их заинтересованность и заинтересованность. Это также помогает мне видеть, кто понимает концепции, а кто нет. Это задание помогает учащимся подумать о том, что входит в задачу исключения замены или сложения / вычитания, чтобы собрать ее воедино.Это вызов для большинства студентов, который способствует обучению более высокого уровня.

Типичная задача, связанная с методом исключения умножения, следующая:

х + у = 9 3х — 2у = 10

В этом случае у студента есть несколько вариантов. Они могут использовать то, что они уже знают о методе подстановки, и решить первое уравнение относительно x. Я также отмечаю, что они могли бы решить проблему, сначала умножив уравнение x + y = 9 на 3 или 2.Я обязательно задаю им квест «Не имеет значения ионы», например: «Имеет ли значение, какой из них я выберу?» Я показываю им, что обе процедуры дают одинаковый ответ. Ключевой шаг — исключить одну из переменных, чтобы у вас осталась только одна неизвестная. Следовательно, если они умножат x + y = 9 на 3, они просто вычтут ответы по вертикали и исключат «x», или если они умножат x + y = 9 на 2, они добавят по вертикали и исключат «y». Любая из этих процедур даст вам одинаковый ответ для «x» и «y».Важно, чтобы учащиеся чувствовали себя так, как будто они все контролируют, и имели возможность выбирать, какой метод им удобнее всего. Я обязательно смоделирую множество примеров проблем. Каждый раз я прошу добровольцев сказать мне, есть ли альтернативный путь, которым я мог бы воспользоваться для решения проблемы.

Другой тип задачи, которую могут увидеть учащиеся, имеет форму:

2х + 9у = 7, 3х + 7у = 4

В этом примере ни один из ведущих коэффициентов не является одинаковым, и ни один из ведущих коэффициентов в первой строке не может быть умножен на число, чтобы равняться ведущему коэффициенту во второй строке, или наоборот.В этом случае я объясняю, что потребуется умножить оба уравнения, чтобы получить одинаковый старший коэффициент. Я отмечаю, что «x» в обоих уравнениях — это множители 6. Поэтому я могу умножить первое уравнение на 3, 3 (2x + 9y = 7), чтобы получить 6x + 27y = 21. Я показываю им, что я также могу умножить второе уравнение на 2, 2 (3x + 7y = 4), чтобы получить 6x + 21y = 8. Теперь у нас есть старший коэффициент переменных «x» в обоих уравнениях, равных друг другу. Мы можем вычесть их по вертикали и найти неизвестные переменные.После того, как я ответил на вопросы и смоделировал несколько примеров, я перехожу к объединению их в совместные группы для решения ряда проблем. Я обхожу комнату и помогаю студентам, которые нуждаются в помощи. В конце урока мы изучаем ответы, и я отвечаю на любые вопросы, которые могут у них возникнуть. Как и в предыдущие дни, я обязательно подчеркиваю, что графические калькуляторы не заменяют демонстрацию работы. Я даю домашнее задание, состоящее в основном из простых задач с двумя уравнениями и двумя переменными, требуя, чтобы их умножали на константу, а затем добавляли или вычитали, чтобы исключить переменную.На следующий день мы повторяем процесс, повторяя домашнее задание, отвечая на вопросы и пытаясь решить больше практических задач в совместных группах, в то время как я отвечаю на любые вопросы, которые могут у них возникнуть. Примеры таких проблем можно найти в приложении № 29 — 32.

На второй день обучения методу исключения умножения я повторяю тот же процесс, о котором упоминал ранее. Мы завершаем разминку, просматриваем домашнее задание, отвечаем на любые вопросы, а затем я моделирую примеры того, как решить систему уравнений в формате текстовой задачи, используя метод исключения умножения.Пример, который я бы использовал со студентами, чтобы показать задачу со словами, которая включает метод умножения:

«Джек и Люк продавали лимонад. Разница в количестве чашек, проданных Люком и Джеком, составляла 5 чашек. Джек продавал свою по 3 доллара за чашку, а Люк продавал свою по 2 доллара за чашку, и вместе они получили 15 долларов дохода. . Сколько чашек продали Джек и Люк? »

Студенты должны сразу знать, что они должны определить неизвестные переменные, прежде чем пытаться решить задачу.В этом случае вопрос в конце снова говорит нам, что мы ищем: «Сколько чашек продали Джек и Люк каждый?». Поэтому я прошу студентов писать;

Пусть x = количество чашек лимонада, которые продал Джек. Пусть y = количество чашек лимонада, которые продал Люк.

Анализируя слово «проблема», они должны уметь уловить такие ключевые слова, как «различие» и «вместе». Первое уравнение можно записать как разность количества проданных Джеком и Люком чашек, или x — y = 5.Слово «вместе» подразумевает сложение, так что мы могли бы записать последнее уравнение как 3 доллара за каждую проданную Джеком чашку и 2 доллара за каждую проданную Люком чашку, и вместе они продали всего 15 долларов. Это преобразуется в 3x + 2y = 15. Теперь у нас есть две переменные, две неизвестные, и мы можем решить это уравнение, используя метод исключения умножения. У нас есть несколько вариантов решения этого уравнения. Я хотел бы подчеркнуть ученикам, что не имеет значения, умножим ли мы уравнение x — y = 5 на 2 или 3. В любом случае мы получим то же самое решение.Я моделирую еще два примера задач со словами, а затем отвечаю на любые вопросы, которые могут возникнуть у студентов. Я бы также попросил их попытаться решить проблему самостоятельно, а затем поделиться со своим соседом парами и сравнить ответы. Затем я просматривал ответ и смотрел, как они справились.

Если позволяет время, ученикам было бы полезно потратить еще один день на эти задачи со словами. Обычно учащиеся подбирают процесс решения задач математически. На самом деле сложнее всего взять информацию из словесной задачи и создать два уравнения.Скорее всего, студентам будет полезно потренироваться на них еще один день. К сожалению, во многих школьных округах взять еще один день не вариант.

Я играю со студентами в игру, которая им действительно нравится. Студенты разбиваются на группы по два человека; Затем я случайным образом расставляю по комнате 10 задач со словами. Каждый написан на внутренней стороне сложенного листа бумаги, так что вы не сможете увидеть слово «проблема», не подняв лист. На внешней стороне бумаги — ответ на одну из проблем.Студенты должны поднять лист бумаги, решить задачу изнутри, а затем обыскать комнату, чтобы найти ответ на внешней стороне одного из других листов бумаги, который соответствует ответу, который они вычислили. Найдя ответ, они снова поднимают лист, решают задачу со словами на внутренней стороне листа и повторяют процесс. В конце у них должно быть 10 ответов, перечисленных на их листе. Побеждает первая группа, которая найдет их и сядет на свои места. Эта игра требует от учителей некоторого терпения, потому что ученики немного бегают и становятся немного громкими из-за азарта гонки до финиша.

Еще одна отличная обзорная игра связана с использованием системы TI-Navigator. Я делю студентов на группы по два человека, и они входят в систему. Я отправляю студентам вопрос через калькулятор, в который они вошли, а затем любая группа, ответившая правильно, получает балл. Мы ведем подсчет очков на доске и продолжаем, пока позволяет время. Студентам очень нравится работать в группах по двое и соревноваться друг с другом. Чтобы ученики не торопились, я не отсчитываю их время и не выставляю очки только лучшим финишерам.

Надеюсь, что к концу этих шести-семи дней ученики научатся определять правильный метод решения системы уравнений, просто глядя на него. Они также должны уметь составлять два линейных уравнения из словесной задачи. Если они могут это сделать, то можно смело двигаться дальше. В следующем разделе начинается самое интересное. Используя формулы I = Prt и d = rt, я моделирую несколько словесных задач и показываю, как использовать эти формулы. Я не делаю много задач, потому что они уже должны быть хорошо знакомы с этими формулами.Я выбираю задачи со словами, которые сосредоточены на сценариях реального мира; Я начинаю со словесных задач, связанных с деньгами. Студенты всегда восхищаются тем, как могут расти их деньги, и я считаю, что использование задач, связанных с процентами, — отличный способ поддержать это увлечение. Я начну с моделирования задач, подобных:

«Тедди инвестировал 5000 долларов, часть под 11% годовых, а остальное — под 13% годовых. Если он получит проценты в размере 610 долларов в конце года, сколько он вложил по каждой ставке?»

Самая трудная часть — решить, что должны обозначать ваши переменные x и y.Вопрос в конце дает вам большую подсказку. «Сколько он вложил по каждой ставке?» Итак, пишем,

пусть x = сумма, инвестированная под 13% (в долларах), пусть y = сумма, инвестированная под 11% (в долларах).

Сумма x и y должна равняться 5000 долларов, поэтому мы можем записать как x + y = 5000. Формула I = prt используется во втором уравнении. В этой ситуации t = 1. Из нашего определения переменных мы видим, что процент по счету 13% составляет 0,13x, а процент по счету 11% равен.11г. Совокупная процентная ставка составляет 610 долларов, что является суммой процентов по двум счетам. Мы можем выразить это уравнением .13x + .11y = 610. Чтобы закончить, нам просто нужно выбрать, какой метод использовать для решения уравнения. Я также спрашиваю студентов, есть ли у них сбережения. Я призываю студентов добровольно сообщить, сколько у них денег, и я беру одного из них и создаю сценарий. Например, если один из моих студентов сказал, что у него или нее есть 500 долларов на сберегательном счете, мы могли бы создать сценарий, при котором к концу года у них должно было быть 52 доллара в виде процентов.Часть 500 долларов они вложили под 12%, а остальную часть — под 8%. Сколько каждый из них должен был бы вложить свои деньги? Чтобы привлечь их внимание, я подчеркиваю, что проценты — это бесплатные деньги. Им не нужно ничего делать, чтобы получить эти деньги. Это всегда вызывает их интерес. Вы можете увидеть больше примеров этого типа проблем в Приложении, № 17-20. Смоделировав пару примеров такого типа задач со студентами, я разрешаю им проводить некоторое время, работая в группах самостоятельно.Я раздаю лист задания, содержащий задачи со словами, похожие на те, которые мы только что рассмотрели. Поскольку ученики работают в группах над решением задач, я напоминаю им, что после того, как они решат свой ответ с помощью бумаги и карандаша, они должны изобразить свой ответ с помощью графического калькулятора, чтобы убедиться, что их ответ правильный. Я также стараюсь найти то, что вы ищете, и записать это, прежде чем они начнут писать свои уравнения. Когда урок подходит к концу, я поручаю оставшуюся часть листа домашнему заданию.

На следующий день после разминки и проверки домашнего задания я представляю нашу следующую цель, используя систему уравнений для решения задач, связанных со смесями. Всем моим ученикам в какой-то момент своей школьной карьеры придется изучать химию, и это ценный инструмент, который поможет им решать задачи по химии. Как и на предыдущих уроках, я моделирую для своих учеников пару примеров. Начну со следующей проблемы:

«Сколько сливок, состоящих из 20% молочного жира, следует смешать с молоком, в котором 5% молочного жира, чтобы получить 10 галлонов сливок, которые содержат 14% молочного жира?»

Я объясняю классу, что важно установить, что мы ищем, и записать это.В этом случае нам нужны галлоны сливок. Я открываю класс для обсуждения и смотрю, что они придумали. По мере поступления ответов я записываю их все на доске. После того, как я напишу ответы всех на доске, у меня будет голосование класса, какой из них правильный. Надеюсь, они остановятся на галлонах сливок. Это обсуждение и голосование в классе позволяют мне увидеть, сколько учеников усвоили концепцию и нужно ли мне подтвердить и прояснить какие-либо заблуждения. Я снова прошу добровольцев составить «пусть» заявления.Класс должен предложить следующее:

let x = количество галлонов сливок с содержанием жира 20%
let y = количество галлонов молока с 5% -ным содержанием жира

Как только они установили, что означают переменные, можно безопасно двигаться дальше. На этом этапе я прошу их установить первое уравнение. 10 — это общее количество галлонов, указанное в уравнении, поэтому мы можем написать x + y = 10. Затем я объясняю, что для определения количества сливок, являющихся молочным жиром, мы просто умножаем десятичную форму процента на количество галлонов. крема.В результате уравнение будет выглядеть как .20x + .14y = .14 (10). Это не должно слишком сбивать с толку учащихся, потому что все они рассмотрели определение процента числа в 6-м и 7-м классах. В какой-то момент вы должны принять к сведению тот факт, что форма этих уравнений в точности такая же, как и у проблем с процентной ставкой. На данный момент решение остальной части уравнения — это просто вопрос предпочтения. Обычно учащиеся понимают, какой метод лучше всего использовать в определенных ситуациях.Отмечу, что все эти проблемы, включая процентную ставку и смесь с фиксированной суммой, могут быть решены методом ложной позиции, что практически исключает необходимость настройки системы. Я бы снова проголосовал и обсудил, какой метод лучше всего подходит для решения остальной части этого уравнения. Основная идея заключается в том, что есть несколько способов решить эту проблему. Важно только то, правильно вы ответили или нет. Приведя еще несколько примеров, я снова разбиваю студентов на группы по два человека.Я назначаю им больше задач смешивания из рабочего листа и обведу кружком, контролируя успеваемость учеников. Я снова подчеркиваю класс, что они должны проверять свои ответы, используя свои графические калькуляторы. В конце урока мы переходим к ответам. Перед окончанием урока я провожу в классе обсуждение важности и актуальности системы уравнений, чтобы получить некоторую обратную связь о том, начинают ли ученики осознавать ее важность или практичность.

Последний урок этой учебной программы может оказаться самым трудным.Объединение задач ветра и течения воды с системой уравнений может быть немного сложным, если не объяснить правильно. Тем не менее, идеи и концепции, лежащие в основе этого, забавны и могут быть легко решены, если понятен словарный запас. Начну с определения следующих слов:

Воздушная скорость : Скорость самолета в неподвижном воздухе (включая единицы) Скорость ветра : Скорость ветра относительно земли (включая единицы) Хвостовой ветер : Ветер, дующий в том же направлении, что и тот, в котором самолет движется по курсу Встречный ветер : Ветер, дующий в направлении, противоположном направлению движения самолета. Ground Speed : Скорость самолета относительно земли при попутном ветре:

При попутном ветре: скорость относительно земли = скорость воздуха + скорость ветра При встречном ветре: скорость относительно земли = скорость воздуха — скорость ветра

Когда я закончу повторять эти определения, я провожу обсуждение этих слов в классе. Я прошу добровольцев рассказать, почему формула путевой скорости имеет смысл. Парусники — отличный способ продемонстрировать силу ветра, и я также хотел бы упомянуть, что высовываете руку в окно во время вождения.Если вы развернете руку так, чтобы она была перпендикулярна дороге, вы почувствуете, как ветер дует на вашу руку во время движения автомобиля. Если вы попытаетесь переместить его вперед, это будет трудно, но если вы переместите его назад по направлению ветра, это будет намного легче. Это соотношение делает разумным формулу, путевая скорость = скорость воздуха + скорость ветра. Идея этого обсуждения состоит в том, чтобы убедиться, что учащиеся понимают, как выводятся эти формулы, что делает учащихся намного более сильными. Это также упрощает запоминание формулы.Студентам всегда трудно запоминать то, что не имеет смысла. На этом этапе мы готовы начать, и я моделирую пару примеров с помощью этого класса. Например:

«При попутном ветре легкий самолет может пролететь 720 км за 2 часа. Если лететь против ветра, самолет может пролететь такое же расстояние за 3 часа. Какова скорость ветра и воздушная скорость самолета?»

Как мы уже знаем, мы должны установить неизвестные. Следовательно,

Пусть x = скорость воздуха в км / ч. Пусть y = скорость ветра в км / ч.

Учащиеся должны знать формулу «расстояние = скорость x время».Уравнения должны быть составлены в этом формате. Я спрашиваю класс, какое расстояние в этом уравнении. Они должны ответить, сказав «720 км». Затем я спрашиваю их, сколько времени. Они должны ответить 2 часа попутным ветром и 3 часа встречным ветром. Я спрашиваю их, какую часть «расстояние = скорость x время» нам осталось найти? «Темп!» должен быть исчерпывающий ответ. На этом этапе я прошу класс записать в свои заметки, что, по их мнению, будут двумя уравнениями, которые мы напишем. Я даю им несколько минут, а затем предлагаю им поделиться своими ответами с кем-то, кто находится за одним столом.После нескольких минут обсуждения я перехожу к ответу, который они ищут. Скорость воздуха и скорость ветра — это x и y. С попутным ветром время составляло 2 часа, и это можно записать как «скорость, умноженная на время» или (x + y) умноженное на 2, что мы запишем как 2 (x + y). С встречным ветром мы можем записать «скорость x время» как (x-y) x 3, что совпадает с 3 (x — y). Затем мы можем установить оба эти значения равными расстоянию, потому что «расстояние = скорость x время», 720 = 2 (x + y) и 720 = 3 (x — y). Затем я прошу учеников вычислить ответ самостоятельно, а когда они закончат, поделитесь им со своими соседями и сравните ответы.Когда я даю им достаточно времени, чтобы сделать все это, я прошу добровольца прийти к доске и продемонстрировать, как вычислить проблему.

Также важно отметить, что есть несколько способов решить эту проблему. Я мог бы распределить 2 и 3, получив два уравнения, которые выглядят как 720 = 2x + 2y и 720 = 3x — 3y. Затем я мог бы умножить их обоих, чтобы их коэффициенты были одинаковыми, а затем сложить или вычесть. Другой способ решения — разделить на 2 в первом уравнении и разделить на 3 во втором уравнении.Это приведет к двум уравнениям, которые выглядят как 360 = x + y и 240 = x — y. Я объясняю, что следующий шаг — это вопрос выбора. Я мог бы добавить уравнения и исключить переменную «y» или использовать подстановку и исключить любую из переменных. У учащихся есть варианты, и они могут решить, каким способом им удобнее пользоваться. Закончив моделирование еще нескольких примеров для класса, я отвечаю на все вопросы, которые могут у них возникнуть. Мы разбиваемся на группы для совместной работы и работаем над решением некоторых проблем из раздачи, которую я раздаю.Я напоминаю своим ученикам строить графики своих ответов на графических калькуляторах и обводить комнату кружком, чтобы помочь ученикам. Больше примеров подобных проблем можно найти в Приложении № 25-28.

1. 3 года — 2x = 11

у = 9 — 2х

2. y — 3x = 5

у + х = 3

3. х + у = 6

х — у = 2

4. x = 3y

2x + 6y = 12

5. У Сьюзен на семь рыбок больше, чем у Тэмми. Всего у них 43 рыбы.Сколько рыбок у каждого?

6. Боб на три года старше своего брата. Сумма их возраста — 33 года. Сколько лет Бобу?

7. Два угла являются дополнительными. Размер одного угла на 30 градусов больше, чем другого. Какова мера большего угла?

8. Длина прямоугольного сада в три раза больше ширины. Если периметр 32 метра, каковы размеры сада?

9. x + 2y = 0 -x + y = -3 (2, -1)

10.х + 4у = -24 х — 4у = 24

11. 3x + y = 9 -3x + y = 3 (1,6)

12. 2x + y = 4 x + y = 3 (1, 2)

13. Два маленьких кувшина и один большой кувшин вмещают 8 чашек воды. Один большой кувшин минус один маленький — это 2 стакана воды. Сколько чашек воды может вмещать каждый кувшин?

14. Сумма двух чисел равна 15. Разница одних и тех же двух чисел равна единице. Какие два числа? (7,8)

15. Дважды число минус другое число равно -10.Сумма этих двух чисел составляет 1 130. Какие два числа? (750, 380)

16. Тед только что выпустил компакт-диск. Он продает свой новый компакт-диск за 5 долларов. Бретт только что выпустил новый компакт-диск. Он продает свои по 6 долларов за штуку. Сколько компакт-дисков они должны были бы продать каждый, если бы разница в продажах составила 30 долларов, а общий объем продаж — 90 долларов?

17. В два фонда вложено 12 000 долларов с выплатой 9% и 11%. Если годовая процентная ставка составляет 1180 долларов, узнайте, сколько денег они вложили в каждый фонд.

18. Тедди инвестировал 5 000 долларов, часть под 11% годовых, а остальная часть — под 13%. Если он получит проценты в размере 610 долларов в конце года, сколько он вложил по каждой ставке?

19. Стюарт вложил 1000 долларов в два разных фонда. Один платил 10% годовых, а другой — 9%. В конце первого года он заработал 94 доллара. Сколько Стюарт инвестировал по каждой ставке? (400, 600)

20. Маргарет вложила 510 долларов в две акции. Первая акция имела доходность 13%, а вторая — 7%.В результате через год процентная ставка составила 59,70 доллара. Какую сумму денег она вложила в каждую акцию?

21. Сколько унций 6% раствора йода нужно добавить к 12 унциям 10% раствора йода, чтобы получить 7% раствор йода?

22. Сколько галлонов 7% раствора кислоты следует смешать с количеством галлонов 15% раствора кислоты, чтобы получить 20 галлонов 12% раствора кислоты?

23. Доктор Хекил планирует объединить 12% раствор кислоты с 30% раствором кислоты, чтобы получить 72 литра 20% раствора.Сколько литров каждого нужно использовать?

24. Сколько литров раствора с содержанием хлора 18% необходимо смешать с раствором с содержанием хлора 30%, чтобы получить 50 литров раствора с содержанием хлора 27%?

25. При встречном ветре самолет мог пролететь 3000 км за 6 часов. Самолету потребуется всего 5 часов на обратный рейс без перемены ветра. Найдите скорость ветра и воздушную скорость самолета.

26. Лодка проходит 4 км по течению за 20 мин.Обратный путь занимает 24 мин. найти скорость течения и скорость лодки в стоячей воде.

27. Спускаясь по длинному движущемуся эскалатору, Фил преодолел расстояние в 75 метров за 25 секунд. Пройдя назад против движения эскалатора, расстояние было преодолено за 75 секунд. Какая скорость была у эскалатора?

28. Стив на своем экспериментальном самолете пролетел 56,25 км с ветром за 45 мин. Обратный путь занял 75 минут без перемены ветра. Какая была скорость ветра?

29.3x + 5y = 11 6x + 4y = 16 (2,1)

30. 3x + 6 y = -6 5x — 2y = 14 (2, -2)

31. 3x + 4y = -25 2x — 3y = 6 (-3, -4)

32. 7x — 5y = 76 4x + y = 55 (13, 3)

33. Ландшафтная компания разместила два заказа на питомник. Первый заказ был на 13 кустов и 4 дерева на общую сумму 487 долларов. Второй заказ был на 6 кустов и 2 дерева на общую сумму 232 доллара. В счете не указана цена за единицу продукции. Сколько стоит один куст и одно дерево?

34.Стоимость авиапочты для писем в Европу составляет 45 центов за пол-унции, а в Африку — 65 центов за унцию. Если Ширли заплатила 18,55 доллара за отправку 35 писем по пол-унции за границу, сколько она отправила в Африку

35. Люси и Дези едут по пустыне Мохаве, когда у них заканчивается бензин. Дези идет на восток, чтобы найти заправочную станцию, в то время как Люси идет на запад, чтобы найти телефон. Через 2 часа они разделяют 4,2 мили. Дези проходит 0,4 мили в час быстрее, чем Люси. Найдите их скорость.(d = rt)

Стерлинг, Мэри Джейн. (2001). Алгебра для чайников. Нью-Йорк: голодные мысли.

Уингард-Нельсон, Ребекка. (2004). Решение проблем и проблемы со словами. Беркли-Хайтс, штат Нью-Джерси: Enslow Publishers.

Ларсон, Роланд; Канольд, Тимоти; Жестко, Ли. (1995). Алгебра 2: комплексный подход. Лексингтон, Массачусетс. Д.К. Хит и компания.

Таксономия Блума. Программа обучения навыкам.4 апреля 2004 г. http://www.coun.uvic.ca/learn/ program / hndouts / bloom.html

Ламперт, Магдалина. Проблемы обучения и проблемы обучения. New Haven: Yale University Press, 2001.

млн лет назад, Липин. Знание и преподавание элементарной математики. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, 1999.

Пиаже, Жан. Понять — значит изобрести: будущее образования. Нью-Йорк: Гроссман Паблишерс, 1973

Славин Роберт Э. Психология образования: теория и практика . Бостон: Аллиан и Бэкон, 2000.

Ларсон, Канольд, Штиф. Алгебра 2: Комплексный подход . Торонто: округ Колумбия Хит и компания, 1995.

Стандарты математики школ Шарлотты Мекленбург

Алгебра

Цель компетенции 4: учащийся будет использовать отношения и функции для решения задачи

4.03 Используйте системы линейных уравнений или неравенств с двумя переменными для моделирования и решения проблем.Решайте, используя таблицы, графики и алгебраические свойства; обосновать результаты.

8 класс по математике

Цель компетенции 5: учащийся должен понимать и использовать линейные отношения и функции

5.01a Определяет отношения и функции как линейные или нелинейные. 5.01d. Интерпретируйте и сравнивайте свойства линейных функций из таблиц, графиков или уравнений. 5.04 Решение уравнений с использованием обратных соотношений сложения и вычитания, умножения и деления 5.03 Решение задач с использованием линейных уравнений

Цель компетенции 1: учащийся будет понимать и вычислять действительные числа.

1.02 Развивайте гибкость в решении проблем, выбирая стратегии и используя мысленные вычисления, оценки, калькуляторы или компьютеры, бумагу и карандаш.

Кратко опишите те академические стандарты школьного округа, которые ваше подразделение будет существенно внедрять.

Нелинейная функция: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Линейная функция

Нелинейные функции

Теперь, когда мы понимаем, что такое линейная функция, давайте определим нелинейную функцию .Как мы заявляли ранее, нелинейные функции — это функции, которые не являются линейными функциями. Следовательно, они обладают противоположными свойствами линейной функции.

График линейной функции представляет собой линию. Таким образом, график нелинейной функции не является линией. Линейные функции имеют постоянный наклон, поэтому нелинейные функции имеют наклон, который варьируется между точками. Алгебраически линейные функции — это полиномы со старшим показателем, равным 1 или имеющим форму y = c , где c — постоянная величина.2. Это нелинейно, потому что, хотя это полином, его старший показатель равен 2, а не 1. Кроме того, если мы рассмотрим некоторые случайные точки, которые удовлетворяют уравнению, скажем (-3, 9), (-1, 1), и (4, 16), мы видим, что когда мы вычисляем наклон линии между этими точками, мы получаем разные результаты.

(-3, 9) и (-1, 1): наклон: (1 — 9) / (-1 — (-3)) = -8 / 2 = -4

(-3, 9) и (4, 16): Наклон: ((16-9) / (4 — (-3)) = 7/7 = 1

Наклон линии между разными точками, которые удовлетворяют функции, различается для разных рассматриваемых точек, поэтому наклон меняется.2, показанный ниже, очевидно, что это не график линии. Следовательно, мы видим, что это не линейная функция. Это нелинейная функция.

Нелинейная функция

Линейный или нелинейный

На основе всей этой информации, если мы хотим определить, является ли функция нелинейной функцией, мы можем сделать это несколькими разными способами.

Мы можем построить график функции, чтобы увидеть, является ли это графиком линии.Если это так, то это линейная функция, поэтому она не является нелинейной.
Мы можем посмотреть, как выглядит функция. Если это многочлен с наивысшей степенью, равной 1, или имеющий форму y = c , где c является константой, то это линейная функция, а следовательно, не нелинейная.
Мы можем определить наклон линии между разными точками, которые удовлетворяют функции, и если он не постоянный, то это нелинейная функция. Если мы выберем этот способ и наклон будет постоянным, мы должны обязательно проверить, построив график функции, так как есть некоторые функции, которые могут иметь постоянный наклон в зависимости от того, какие точки вы используете, даже если это нелинейная функция. х . Мы можем использовать любой из наших методов, чтобы определить, является ли это нелинейной функцией. Рассмотрим график:
График сберегательного счета
Легко видеть, что это не график линии, поэтому это нелинейная функция. Мы также могли бы посмотреть на наклон между точками, или мы могли бы взглянуть на него алгебраически, чтобы увидеть, что это не полиномиальная функция с наивысшим показателем, равным 1, или в форме y = c с константой c , поэтому она — нелинейная функция.
Резюме урока
Давайте рассмотрим:
Когда дело доходит до идентификации нелинейных функций, мы можем думать о функциях в математике как о двух категориях: линейных и нелинейных . Рассуждая таким образом и знакомясь с линейными функциями, легко определить, является ли функция линейной или нелинейной. Есть способы определить, является ли функция нелинейной, — это построить график функции и посмотреть, является ли это графиком линии, посмотреть, как выглядит функция, и определить наклон линии между различными точками, которые удовлетворяют функции.Кроме того, знание того, чем не является линейная функция, помогает нам понять, что такое нелинейная функция.
Ключевые термины
Линейная функция — функция, график которой представляет собой линию
Нелинейная функция — функция, график которой не является линией
Результаты обучения
- Описание линейных и нелинейных функций
- Определите, является ли функция линейной или нелинейной, наблюдая или создавая график данных функции
.
No related posts.

Системы уравнений 9 класс контрольная: Контрольная работа по математике «Системы уравнений» ( 9 класс)

Контрольная работа по математике «Системы уравнений» ( 9 класс)

Контрольная работа по Алгебре «Решение систем уравнений с двумя неизвестными» 9 класс

Разноуровневая контрольная работа «Решение систем уравнений», 9 класс | Материал (9 класс) по теме:

§ Контрольная работа. Уравнения 9 класс

Темы уроков

Печать

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре.

Контрольная работа по алгебре 9 класс по теме «Решение систем уравнений с двумя переменными»

Контрольная работа № 1 по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными», 9 класс

07.06.11: Применение системы уравнений к сценариям реального мира: практическая программа

Алгебра

8 класс по математике

Нелинейная функция: определение и примеры — видео и стенограмма урока

Нелинейные функции

Линейный или нелинейный

Резюме урока

Ключевые термины

Результаты обучения

Добавить комментарий Отменить ответ