Решебник по контрольным работам по геометрии: ГДЗ решебник к самостоятельным и контрольным работам по алгебре (геометрии) 9 класс Ершова, Голобородько

Геометрический метод | Интернет-энциклопедия философии

Геометрический метод — это стиль доказательства (также называемый «демонстрацией»), который использовался в доказательствах Евклида по геометрии, и который использовался в философии в доказательствах Спинозы в его Этика .Этот термин впервые появился в Европе 16, ^{-го и} годов, когда математика переживала подъем благодаря новой механике. До этого геометрия преподавалась как чисто теоретическая дисциплина, не связанная с натурфилософией. Напротив, натурфилософия была основана на наблюдениях, экспериментах и ​​предположениях, а вовсе не на математике. Галилей, однако, видел связь; он представлял природу как книгу, написанную математическими знаками, и поэтому он делал упор на изучение математики для понимания природы.Его первоначальные поиски математизации природы продолжил Декарт. Декарт просил культивировать новый вид геометрии, который больше не был бы просто абстрактным занятием, но мог бы объяснять явления природы.

Хотя использование геометрического метода и математизации в более широком смысле стало историей успеха современной науки, оно столкнулось с сопротивлением тех, кто считал, что его использование привело к разочарованию мира и исчезновению чудес. Противники часто обвиняли современных философов в высокомерии, если они применяли геометрический метод.Галилея обвиняли в утверждении равенства между человеческим знанием и знанием Бога, по крайней мере, в геометрических вопросах. Галилей заявил, что все, что мы, люди, можем продемонстрировать геометрически, не может быть лучше известно Богу, потому что это обязательно верно. Более того, ограничение геометрических демонстраций, распространенное на реальные вещи в природе и обществе, даже на людей, вызвало вопросы о свободе человеческой воли, вызвав философские и теологические дебаты, продолжающиеся в некоторой степени даже до наших дней.

Содержание

1. Геометрический метод
2. Важное значение определений
3. Адекватные идеи и априорные знания, которыми мы делимся с Богом
4. Место эмпирических знаний в геометрическом методе
5. Геометрический метод и логика сдерживания
6. Математизация природы как вызов необходимости
7. Заключение
8. Ссылки и дополнительная литература
   1. Сокращения
   2. Библиография

1.Геометрический метод

Когда мы думаем о геометрическом методе сегодня, мы обычно ассоциируем его с тем, что мы видим, открывая книгу Евклида, или (если мы ищем его применение в философии) с тем, что мы видим в «Этике » Спинозы. Вместо связного потока текста, строки разбиты на разные типы текста: определения, аксиомы, постулаты, предложения и демонстрации. Как мы все учимся в школе, геометрическая демонстрация должна начинаться с определений вещей, которые, как предполагается, позволяют делать выводы о свойствах определенных вещей, потому что эти свойства уже (фактически) включены в определения.Типичным примером является определение треугольника, где из его определения, состоящего из трех прямых линий, обязательно следует, что его углы в сумме составляют 180 ^o . Безусловно, это определение верно для всех треугольников евклидовой геометрии , обязательно и, следовательно, с абсолютной уверенностью. Геометрические демонстрации также используют аксиом — утверждения, которые все признают самоочевидной истинностью, и постулатов — утверждения, которые гипотетически утверждаются, пока никто не возражает.И аксиомы, и постулаты считаются разрешенными дополнениями к определениям, которые допускают геометрическую демонстрацию, в которой показано, как выводы обязательно следуют из определений.

Этот способ демонстрации известен со времен древнегреческой математики, в основном через Евклид Elements . Однако термин «геометрический метод» появился намного позже, в раннем Новом времени. Якобо Забарелла, писавший в конце 16 века в Падуе, описал этот метод как , включающий два аспекта , а именно решающий и композиционный, также известный как аналитическая и синтетическая сторона геометрического метода (Cassirer 1974, I, 136-44 ).В то время как аналитическая часть считается полезной для открытия и изобретения новых истин, синтетическая ценится за , обеспечивающую достоверность результатов благодаря полному выводу предложений из определений и аксиом, то есть посредством геометрической демонстрации. Именно синтетический метод обеспечил убедительной силой аргумента, который, таким образом, мог убедить других в правильности предложения. Лейбниц подчеркнул выдающееся значение такой демонстрации, когда он упомянул Евклида.Греческого математика высмеивали за его громоздкую демонстрацию того, что могли легко увидеть даже дети, а именно, что две прямые линии не могут окружать пространство и что они могут иметь только одну точку. Но Лейбниц похвалил Евклида за то, что он продемонстрировал это в любом случае, потому что он сделал демонстрацию не для того, чтобы знать это, а чтобы знать это с уверенностью (A VI, 1, N. 125, 469).

Паскаль в тексте, который дошел до нас как включение в Port-Royal Logic Антуана Арно и Пьера Николя, дал исчерпывающее описание синтетического аспекта геометрического метода, который он затем снова сломал. на два основных требования: не использовать в демонстрации какой-либо термин, который еще не был определен, и не принимать какое-либо предложение, которое еще не было продемонстрировано на основе определенных терминов или продемонстрированных предложений (Pascal 2000, 155-6).Хотя общеизвестно, что только Спиноза явно использует синтетический метод в своей основной работе Ethics , авторы-рационалисты следуют именно этому методу при представлении своих аргументов. Они начинают с определений и выводят из них все свои аргументы (например, A IV, 1, N. 1). Следует отметить, что все рационалисты были продвинутыми математиками, хотя только Декарт и Лейбниц были математическими гениями.

Строгие требования геометрического метода открыли пространство для дискуссии не только о статусе не демонстрируемых аксиом, но и о статусе определений.Зависали ли определения от выбора слов человеком или они должны были выражать сущность определяемой вещи? Если второе, как мы можем узнать суть вещи, а если первое, как произвольные определения приведут к истине? В то время как ограниченность геометрических демонстраций, то есть их убедительность, никогда не могла быть подвергнута сомнению после принятия определений, именно концепция определения и, в меньшей степени, аксиома переместилась в центр дискуссии о геометрическом методе. .

Синтетический аспект геометрического метода, обеспечивающий абсолютную уверенность, также имел недостатки. Из-за правил, согласно которым не следует использовать какое-либо понятие перед его определением и не следует использовать какое-либо предложение перед его демонстрацией, способ представления аргумента должен был следовать тому курсу, в котором эти определения и предложения могли быть продемонстрированы, что часто прерывало естественный ход его рассуждений. Аргумент. Кроме того, аппарат определений, аксиом, постулатов, утверждений и их демонстраций был довольно громоздким.Наконец, стремление к однозначным выражениям не допускало метафор, иронии или шуток и, следовательно, лишалось развлекательных качеств.

Очень часто синтетический или композитный аспект ассоциируется с геометрическим методом и игнорируется аналитическая сторона. Однако ученых и математиков всегда больше интересовал аналитический аспект геометрического метода, потому что они стремились открыть новые истины. При использовании аналитического или решающего метода они даже не особо заботились о беспрерывном вычитании (Breger 2008, 191-2).Скорее они доверяли своей интуиции, основанной на их интенсивных предшествующих исследованиях и глубоких знаниях по своему предмету. Философы также использовали аналитическую сторону геометрического метода, и Декарт даже предпочитал ее в своих трудах, заявляя, что он хотел писать, следуя путем, на котором он нашел истину, а не представлять ее геометрической демонстрацией (AT VII, 211-3; CSM II, 110-1). Спиноза, согласно отчетам Чирнхауса Кристиану Вольфу (Wolff 1980, 124-7; Corr 1972, 323-34), разработал аналитический метод, чтобы находить и постоянно улучшать определения, используя эксперименты и наблюдения.Он начал с простых номинальных определений вещей, которые недостаточно известны, и заменил их (или их части) причинными определениями по мере развития своей способности производить эффекты (Goldenbaum 2011, 29-41). Чирнхаус, который был прежде всего математиком и инженером (он изобрел, например, мейсенский фарфор), развил этот метод определения и переопределения объектов естествознания на основе эмпирических исследований. Кристиан Вольф систематически использовал этот метод, чтобы сократить разрыв между априорным знанием и знанием на опыте.Когда, например, он писал о методах увеличения роста зерна, он проводил различие между фактами, которые мы знаем из опыта, и причинами некоторых явлений, которые мы знаем наверняка и, таким образом, находились под контролем (Wolff 1734; Goldenbaum 2011). Хотя мы еще не можем знать сущность растений, мы можем узнать некоторые причинные процессы роста растений и, таким образом, даже можем предсказать результат с высокой степенью уверенности.

Целью аналитической части геометрического метода было улучшение определений реальных вещей — не только геометрических фигур.Из-за пренебрежения аналитическим аспектом геометрического метода понимание определений в рамках современного геометрического метода часто оказывается недостаточным.

2. Существенное значение определений

Хотя именно геометрические демонстрации гарантировали необходимых истин, они вряд ли подверглись нападкам. Вместо этого именно определения и, в меньшей степени, аксиомы переместились в центр философской дискуссии, поскольку они были отправной точкой геометрического метода, в частности, его синтетической части.Удивительно, но партизаны и критики сошлись во мнении о существенном значении этих определений.

Конечно, аксиомы также стали предметом критики со стороны противников геометрического метода, потому что традиционно они не демонстрировались, а считались очевидными. Критики утверждали, что демонстрация, построенная на недоказанных аксиомах, не может гарантировать истинность продемонстрированного утверждения. Гоббс принял этот вызов, утверждая, что все аксиомы могут быть продемонстрированы, как только кто-нибудь усомнится в них.Спиноза и Лейбниц согласились. В качестве примера Гоббс и Лейбниц продемонстрировали аксиому, ставшую предметом спора в то время, а именно, что часть меньше целого (OL I, 105-6; De corpore II, 8, sec.25; Leibniz A II , 1 2006, 281; A VI, 2, 480). В результате Гоббс (OL I, 252-8; De corpore III, 20, sec.6) и, вслед за ним, Лейбниц (Leibniz, A VI, 1, N. 12; A II, 1 2006, N 24, 153) рассматривали геометрические демонстрации как простые цепочки определений (аксиомы или постулаты, которые можно продемонстрировать, если есть сомнения).Согласно Лейбницу, единственные истинных аксиом были идентичными предложениями, которые нельзя было продемонстрировать.

Но именно концепция определения приняла на себя основную тяжесть атак на протяжении 17 и 18 веков. Критики настаивали, что распространение геометрического метода на реальные вещи было бы невозможным, потому что мы не могли дать никакого реального определения какой-либо реальной вещи, что резко контрастировало бы с реальными определениями геометрических предметов, которые мы могли бы дать. Поскольку геометрические фигуры были созданы людьми, мы могли знать их сущность.Поскольку настоящие вещи были созданы Богом или, по крайней мере, не людьми, их сущность оставалась для нас неизвестной из-за нашего ограниченного разума и, более того, из-за нашего падения. Такую же критику можно найти и у Локка и Канта.

Традиционно существовало общее различие между номинальными и действительными определениями, восходящими к Аристотелю Органон (Anal. Post. II, 7-10). Даже новая декартова логика Port-Royal (L’art de penser ), написанная Арно и Николь, сохранила это традиционное различие (Arnaud / Nicole 2011, 325–31; Logique de Port-Royal I, 12).В то время как номинальное определение было не чем иным, как словами, с помощью которых мы называли вещи, либо по соглашению, либо по обычаю, не зная сути вещи, реальное определение позволило бы нам узнать, была ли определенная вещь реальной или, по крайней мере, возможной в реальность. Обычно предполагалось, что настоящие определения возможны в математике из-за их человеческого производства, но также и в теологии, по крайней мере, в отношении понятия Бога, хотя последнее вызывает все большие сомнения. Например, Паскаль после своего религиозного поворота не принимал никаких определений, кроме номинальных, потому что люди не могли знать никаких реальных определений (Pascal 2000, 156).По его мнению, мы могли определять вещи как угодно, произвольно, и поэтому не могло быть причин для серьезных противоречий, кроме как на словах. Этой радикальной позиции, отвергающей любую роль разума для религии, категорически противоречили Арно и Николь, которые отстаивали настоящие определения в своей логике Port-Royal .

Здесь снова Гоббс принял вызов и разработал новый подход к реальным определениям. То, как он это делает, проливает некоторый свет на то, почему новый геометрический метод раннего нового времени был действительно новым, а именно зараженным новой наукой о механике.Гоббс связал проблему определений с механикой Галилея (Jesseph 1999, 117-25). Рассматривая геометрические фигуры как произведенные механическим движением (что уже было сделано математиком Робервалем), он понимал их как эффекты, вызванные механическим движением. Определение, включающее причину того, что должно быть определено, в то же время показало, что это возможно. Таким образом, он давал возможность вывести любого возможного свойства вещи, то есть даже тех свойств, о которых мы еще не знаем.Окружность, например, создается механическим перемещением одной конечной точки прямой линии вокруг другой конечной точки. Все возможные свойства круга могут быть выведены из этого причинного определения , с необходимостью.

Но затем Гоббс ввел этот новый механический подход к определениям в философию и потребовал таких причинных определений (или генетических определений) и в философии, чтобы произвести необходимых выводов о реальности.Действительно, он использует термин «философия» (или «наука») исключительно для причинного объяснения явлений, начиная с причинных определений (OL I, 62-65; De corpore I, 6,6). Согласно Гоббсу, как и в геометрии, определение, включающее механическую причину определяемой вещи, может служить в любой области науки для вывода всех свойств вещи (OL I, 71-3; De corpore I , 6, 13). Таким образом, Гоббс превращает геометрический метод в общий эпистемологический принцип: то, что мы можем произвести, то есть причину, мы можем знать с уверенностью, по ее сути или — с необходимостью.Это причина, по которой он может утверждать, что мы можем даже познать политическое состояние с помощью , философии , то есть научным путем, а именно через причинное объяснение — потому что оно создается, порождается или вызывается людьми.

Новаторство Гоббса в определениях причинности было принято (вместе с геометрическим методом) Спинозой (Spinoza 1985, 31-2), Лейбницем и Кристианом Вольфом (Cassirer 1974, II, 521-5; Goldenbaum 2011). Лейбниц обсуждает традиционное различие номинальных и реальных определений, как все еще преподается в Port-Royal Logic .Согласно его объяснению, номинальные определения являются результатом нашего ясного и отчетливого восприятия вещей и их свойств, которые мы можем назвать. Такие номинальные определения позволяют нам отличать эти ясно и отчетливо воспринимаемые вещи от других вещей. Однако запутанные идеи, когда мы не можем дать единичные свойства, хотя каким-то образом распознаем вещь целиком, еще не допускают какого-либо определения. Однако их можно сделать все более (и более) различимыми посредством анализа, то есть путем дальнейшего различения их частей ( On Synthesis and Analysis , Loemker 229-34; A VI, 4, N.129).

В отличие от таких номинальных определений, являясь названием простого перечисления свойств, Лейбниц определяет реальные определения как включающие и отображающие возможность определенной вещи, то есть свободу от противоречий (Loemker 231; A VI, 4, № 129, 542). Его примером является определение круга, то есть определение круга, данное Евклидом, как результат движения прямой линии на плоскости вокруг одной из ее конечных точек. Это определение, являющееся, несомненно, причинным определением (названное так Гоббсом), является для Лейбница настоящим определением в качестве примера, поскольку оно отображает требуемую возможность своего субъекта.Но Лейбниц даже не упоминает никаких других типов реальных определений (Loemker 230-1; A VI, 4, N. 129, 541)

Более того, Гоббс, Спиноза и Лейбниц расширили сферу причинных определений дальше, утверждая, что не только те определения, которые включают действительную причину вещи, но и любое определение, которое включает или причину, способную привести к тому, что вещь будет определено, может служить его причинным определением. Если мы можем создать вещь, в то же время показано, что это возможно.Удивительно, но Лейбниц использует это расширенное понятие причинного определения для развития своих современных концепций гипотезы и истины. Он пишет: «выдвинуть гипотезу или объяснить метод производства — значит просто продемонстрировать возможность вещи» (Loemker 231). То есть для Лейбница гипотеза, которая может объяснить возможное возникновение или причинность вещи, показывает ее возможность и способна вывести все свойства объекта гипотезы, даже если она никогда не воплотится в реальность.

Все рационалисты, использующие геометрический метод, намеревались использовать его не только в геометрии, но и сделали воспроизводимость вещи через людей новым подходом к науке, который также изменил подход к эмпирическому исследованию. Все они твердо осознавали, что знание, начинающееся с причинных определений, может дать необходимое знание, то есть априорное знание о вещах за пределами геометрии. Редко замечается, что именно эту позицию уже занимает Галилей: «все эти свойства [вещей в природе] фактически фактически включены в определения всех вещей; и в конечном итоге, будучи бесконечным, возможно, всего лишь одно по своей сущности и в Божественном разуме »(Galilei 1967, 104).

3. Адекватные идеи и априорные знания, которыми мы делимся с Богом

Математик и рационалист Декарт еще не говорил о причинных определениях. Но в своем ответе Арно о своей четвертой медитации (AT VII, 220; CSM, II, 155) он описывает то, что он называет «адекватной идеей», а именно то, что Гоббс описывает как причинное определение. Подобно причинным определениям, адекватные идеи могут фактически включать всех свойств, которые принадлежат познанной / определяемой вещи.Термин «адекватные идеи» более знаком нам от Спинозы и Лейбница. Декарт действительно использует его редко и только с величайшей осторожностью: он приписывает адекватные идеи не людям, а исключительно Богу. Согласно Декарту, только Бог, зная все, может быть уверен, что знает, действительно ли идея содержит все свойства вещи. Напротив, хотя люди могут знать все свойства вещи, они могут быть уверены в ее полноте только через особое откровение Бога.

Более того, Бог мог не только сотворить вещи по-другому, даже математика могла бы иметь другую форму, если бы Бог так пожелал (AT I, 145, 149-50; CSMK III, 23-4).Хотя это заявление вызвало головную боль и критику среди рационалистов, таких как Спиноза и Лейбниц, все они понимали Декарта как сторонника геометрического метода. Они восхищались его настойчивостью в интуиции и дедукции как единственном пути к достоверности в знании, то есть к знанию априорному. И действительно, отказываясь от нашей досягаемости адекватных идей, Декарт вводит понятие полной идеи , доступной людям. И такие полные представления содержали бы практически все свойства идеатума, делая его похожим на адекватную идею с единственным ограничением, которое мог знать только Бог, действительно ли оно было полным в отношении всех последствий.

Осторожное различие Декарта между адекватными и законченными идеями не будет поддержано его последователями. Для Спинозы именно наших адекватных идей, которые мы разделяем с разумом Бога, обеспечивают достоверность наших знаний (Спиноза 1985, 474-8; EII, с.37-с.40s2), а также для преодоления наших отсутствие свободы. Адекватные идеи даже сделают наш разум вечным (Спиноза 1985, 613-7; EV, с.38-42s). Спиноза определяет «адекватную идею» как «идею, которая, поскольку она рассматривается сама по себе, без отношения к объекту, обладает всеми свойствами или внутренними обозначениями истинной идеи» (Spinoza 1985, 447; EII, d4).Таким образом, он явно отрицает соответствие идеи внешнему объекту как критерий адекватности и тем самым отрицает традиционное понимание адекватности в аристотелевской схоластике как согласие или соответствие идеи и идеатума. Для Спинозы иметь адекватную идею — значит указать ближайшую причину того, что нужно знать, или определить вещь по ее причине. То есть он вводит адекватную идею как причинное определение или вывод из каузальных определений.

Даже Лейбниц, убежденный христианский философ, признавал человеческую способность к адекватным идеям.Он согласился, что , если мы знаем вещи адекватно, мы знаем их с той же достоверностью , с которой они известны Богу. Такая адекватная идея дается всякий раз, когда вещь может быть полностью проанализирована до ее простых примитивных понятий, что как раз и имеет место в геометрических определениях причинности. Лейбниц хвалил адекватные идеи за их особую способность, заключающуюся в том, что на их основе «все истины [могут быть продемонстрированы], за исключением идентичных утверждений, которые по самой своей природе, очевидно, недоказуемы и могут быть действительно названы аксиомами» (Loemker 231; A VI, 4, Н.129, 542). Так же, как Спиноза, Лейбниц связывает адекватные идеи с причинными определениями, потому что такие определения, в отличие от номинальных определений, сразу показывают возможность определенной вещи без какого-либо эксперимента или наблюдения: «Очевидно, мы не можем построить надежную демонстрацию какой-либо концепции, если знайте, что эта концепция возможна … Это априорная причина, по которой возможность является необходимым условием реального определения »(там же).

Именно из этого геометрического метода Лейбниц приходит к своей логике сдерживания, утверждая, что для каждой истины может быть дана причина, «поскольку связь предиката с субъектом либо очевидна сама по себе, как в тождествах, либо может быть объяснена с помощью анализ терминов.Это единственный и высший критерий истины в абстрактных вещах, то есть в вещах, которые не зависят от опыта, — что он должен быть либо тождеством, либо сводиться к тождествам »(Loemker 232; A VI, 4, N 129, 543). Отсюда Лейбниц утверждает, что элементы вечных истин могут быть выведены и метод предоставлен для всего, если они познаны так же демонстративно, как в геометрии. Конечно, таким образом Бог познает все, , даже конкретные вещи, то есть априори и «sub specie aeternitatis», потому что Ему не нужен опыт.Хотя Он знает все адекватно и интуитивно, мы почти ничего не можем понять таким образом, и в большинстве случаев нам приходится полагаться на опыт.

Интересно, что в вольфианстве, когда речь идет о немецких переводах, термин «идея adaequata» прямо переводится как «полная идея» [vollständiger Begriff] (Spinoza 1744), тем самым игнорируя осторожное различие Декарта между доступными полными идеями. людям и адекватные идеи, доступные Богу. Однако, хотя все рационалисты соглашаются с тем, что люди могут знать определенное количество необходимых доказательств и в этой степени иметь адекватные идеи, то есть априорное знание, равное божественному знанию (последнее утверждение не разделяется Гоббсом), эта точка зрения модерируется их осознание того, что такое априорное знание чрезвычайно ограничено в людях и поэтому должно быть дополнено опытом.Галилей, Декарт, Спиноза и Лейбниц признают различие между божественным и человеческим знанием — различие, состоящее в исчерпывающем интуитивном знаниях Бога обо всех вещах в отличие от человеческих дискурсивных познаний очень немногих вещей. Тем не менее, некоторые интуитивные озарения были доступны и людям (Galilei 1967, 103-4; см. Также AT X, 409 (Reg. XI)). Однако они констатировали особый характер этого вида знания, которым мы делились с Богом, его абсолютную достоверность, обусловленную его априорным характером.

Адекватные идеи, таким образом, от Декарта через Спинозу до Лейбница, представляют собой идеи, которые обеспечивают полное и абсолютно определенное знание всех свойств своего предмета, независимо от какого-либо знания соответствия, то есть чувственных восприятий. Хотя мы можем достичь лишь небольшого количества адекватных идей, этот вид знания абсолютно определен, априори, то есть необходим и, следовательно, равен божественному знанию. Причинные определения как центральная часть нового геометрического метода имели решающее значение для получения таких адекватных идей.Именно такое знание отличает нас от животных. По мнению Гоббса, Спинозы и Лейбница, само собой разумеется, что животные могли думать. Но они могли мыслить только эмпирическим путем, путем наблюдения, проб и ошибок или индукции. Им абсолютно не хватало необходимых или априорных знаний, которыми мы, люди, делились наедине с Богом. Только люди обладали способностью иметь адекватные идеи, априорное знание, которым они делились с Богом.

4. Место эмпирических знаний в геометрическом методе

В то время как Бог знает все адекватно и интуитивно, мы, люди, редко узнаем адекватные идеи интуитивно.Следовательно, все рационалисты согласились с тем, что при получении знаний нам обычно нужно полагаться не только на интуицию, но и на эмпирические знания. Из-за немецкого идеализма широко распространено предубеждение, что рационалисты не интересовались эмпирическими исследованиями [см. Континентальный рационализм], но Декарт и Спиноза сами проводили эксперименты, и все они очень интересовались научными экспериментами своего времени. Однако они использовали совершенно иной подход к эмпирическим исследованиям, чем эмпирики.

Хотя мы можем знать только некоторые вещи с абсолютной уверенностью, то, что мы можем знать таким образом, дает нам фиксированную основу для упорядочивания и интерпретации эмпирических данных. Поскольку «фиксированные и вечные вещи» (Спиноза 1985, 41), которые мы знаем априори, тесно связаны с конкретными конкретными вещами, о которых только Бог имеет адекватные представления, необходимые знания, которыми мы располагаем, помогут нам упорядочить наши эмпирические данные. Поскольку эти вечные абстрактные истины никогда не могут противоречить никакому предикату полного представления или адекватному представлению о конкретной вещи, они могут обеспечить прочную основу для нашей эмпирической работы, доступной нашему ограниченному уму.Когда мы приходим к познанию новых фактов на основе опыта и истории, мы можем ожидать, что эти единичные факты войдут в теоретические рамки, такие как части незавершенной головоломки, и построят все более и более полное представление о человеке и его действиях. Поэтому Декарт, Спиноза и Лейбниц настоятельно рекомендуют развитие эмпирических наук, сочетающих априорное знание с экспериментом в смешанных науках, призванных обогатить человеческое знание.

Конечно, этот процесс обучения никогда не может быть окончательным, потому что он бесконечен из-за бесконечных свойств конкретных вещей или людей.Тем не менее, наше ожидание того, что вещи в мире согласованы (основанные на убеждении в теоретической структуре, которая в достаточной мере известна Богу, априори и, следовательно, должна существовать) вместе с доступными конкретными представлениями об абстрактных вещах, которые мы, как люди, можем достичь априори, предоставить мощные инструменты. Это как если бы у нас была незаконченная карта, компас и часы, которые с нашей общей структурой земной географии могут направить экспедицию в неизвестную область. Такое оборудование может помочь нам распознать согласованность и причинную взаимосвязь в пугающем богатом изобилии единичных фактов эмпирически полученных знаний.Поэтому подход Лейбница, Спинозы и Гоббса к эмпирическим исследованиям полностью отличается от любого эмпирического подхода к природе или истории. Эмпирики заявляют, что собирают факты, чтобы проверить общие закономерности или сходства, а затем абстрагировать из них правила или законы. При необходимости к этим абстракциям можно применить математику. Но никакое познание, достигнутое таким процессом, никогда не могло обеспечить уверенности, и оно должно оставаться временным из-за общей слабости падших людей.

Это различие между рационалистами и эмпириками в отношении эмпирических исследований становится очевидным в критике Спинозы Бойля, который видел в своих экспериментах демонстрацию механической корпускулярной философии. Напротив, Спиноза утверждал, что эксперименты Бойля соответствуют гипотезе, которую он придерживался раньше и которую нужно было оправдать только своей внутренней связностью, в то время как ее нельзя было доказать никаким экспериментом (Спиноза 1985, 173–88, особенно 178). Лейбниц цитирует это утверждение, соглашаясь с Локком (A VI, 6, N.2, 454-5; Лейбниц 1996, 455; IV, 12, 13). Керли противоречит точке зрения, согласно которой Спиноза игнорировал эмпирические исследования (Curley 1986a, 156), и действительно, Спиноза даже требует теории экспериментов (Spinoza 1985, 42). У нас также есть свидетельства из его переписки, что Спиноза экспериментировал сам.

Но именно современная концепция гипотезы Лейбница может объяснить эмпирический проект рационализма. Напомним, сформулировать гипотезу — значит указать способ зарождения, с помощью которого можно доказать возможность вещи.Для Лейбница это справедливо даже в том случае, если части такой гипотезы еще не могут быть четко восприняты и могут быть только предположены, то есть если гипотеза представляет собой гибрид причинного определения и эмпирических фактов. Хотя такая гипотеза действительна только на основании предположения об истинности нашего эмпирического знания, она должна быть последовательной сама по себе и может считаться продемонстрированной в той мере, в какой она соответствует этому критерию. Если существуют конкурирующие гипотезы для объяснения природных явлений, как в случае с гипотезами Птолемея, Тихо де Браге и Коперника, нужно выбрать наиболее понятную гипотезу как истинную или наиболее близкую к истине, которая также наиболее согласуется с все известные явления.

То, что уже подразумевается в 1680-х, становится очевидным в 1690-х, что истина для Лейбница есть не что иное, как понятность гипотезы, то есть сложное причинное определение. Истина — это ничто, что мы можем утверждать, проверяя соответствие наших идей реальности, как утверждают эмпирики. Такая проверка действительно невозможна. Напротив, адекватные идеи истинны сами по себе, и их истинность может быть определена только их собственным свойством быть свободным от противоречий. Уже одно это делает их понятными и, следовательно, возможными.Это верно не только для математики, но также и для причинных определений или гипотез о реальных вещах. Как заявил Гоббс, Лейбниц утверждает: все, что мы можем произвести или вызвать, или что мы можем предоставить возможный способ порождения или причинности, постижимо и познаваемо людьми в адекватных идеях.

В то время как сегодня мы привыкли различать естественные науки как фундаментальные науки (такие как физика, химия, биология или, в большей степени, медицина), с одной стороны, и гуманитарные и социальные науки, с другой, Гоббс, Спиноза , а Лейбниц вместо этого отличал доказательное знание от эмпирического.В той степени, в которой эмпирическое знание можно было организовать в виде объяснительных и последовательных гипотез, объясняющих природные явления математической наукой, его можно было превратить в постепенно доказательную науку. По мнению Лейбница, даже история человечества и гуманитарные науки могут быть превращены в науки таким образом, поскольку они не сильно отличаются от естественных наук в их поисках последовательного объяснения эмпирических, случайных истин. Как только они смогли разработать теоретическую основу априорных вечных истин, доступную нам через геометрический метод, они могли стать наукой.

5. Геометрический метод и логика содержания

Лейбниц, обнимая метод Геометрического, полностью осознает его опасные интеллектуальных соседей (Гоббс и Спиноза), и упорно трудился, чтобы обеспечить свою метафизику против строгого детерминизма или детерминизма, чтобы отличить его метафизический и гносеологический проект от этих плохих Bedfellows. Он работал над этим с тех пор, как изучал Гоббса и Спинозу в Майнце между 1670 и 1672 годами. Результатом является его хорошо известное различие между необходимостью и склонением в параграфе 13 «Рассуждения о метафизике », написанного в 1686 году (Loemker 310-1; А VI, 4, N.306, стр. 1546). Но, несмотря на его очевидное неприятие строгого детерминизма Гоббса и Спинозы, Лейбниц явно разделяет новый геометрический метод, как философский метод , с печально известными философами, метод, который постоянно обвинялся в необходимости придания силы, если распространять его на реальные вещи. Более того, именно этот новый метод, основанный на причинном определении, составляет основу логики сдерживания Лейбница (Di Bella 2005, 80-95).

Лейбниц подходит к задаче, различая абстрактные и конкретные вещи как предметы наших идей.Хотя только Бог может иметь априорное знание полных представлений о конкретных вещах или индивидуумах, мы можем, по крайней мере, иметь априорное знание abstracta как, например, геометрических фигур, потому что они конечны по своим свойствам. Кроме того, то, что верно для одного вида абстрактных элементов, например треугольника, верно для всех членов этого типа, например, для всех треугольников. Напротив, поскольку конкретные вещи или индивиды обладают бесконечным множеством свойств и являются единственными представителями своего вида, мы, как конечные существа, не можем достичь их полных концепций и должны полагаться также на эмпирические знания, когда дело касается индивидов (Loemker 331-8; A II, 2, Н.14). Это различие, тесно связанное с различением необходимых и случайных истин, позволило Лейбницу различать человеческое и божественное знание по качественному критерию. Более того, он также предоставил критерий, позволяющий отличить случайное от необходимого знания, тем самым проложив путь к человеческой и божественной свободе. Это решение придало Лейбницу достаточно уверенности, чтобы представить хотя бы заголовки своего Рассуждения о метафизике янсенистскому богослову и картезианцу Арно в 1686 году с длинным разделом.13 особенно провокационны в отношении свободы воли. Ясно, что в это время Лейбниц разработал свою новую метафизику (основанную, однако, на проблематичном геометрическом методе , новый геометрический метод ), которая сделала бы современную науку совместимой с христианской догматикой и, в частности, обеспечила бы свободу воли за счет смягченного детерминизма.

Однако, несмотря на сильный акцент Лейбница на различном онтологическом статусе абстрактных и конкретных и необходимых и случайных истин для обеспечения случайности и блокирования строгого детерминизма, он всегда придерживался теории сдерживания, основанной на геометрическом методе.Согласно этой точке зрения, в каждом истинном предложении сказуемое должно быть включено в подлежащее. Эта позиция явно сохраняет общее сходство между двумя видами концепций, потому что оба — конкретные (или полные) концепции конечных абстрактных вещей, равно как и полные концепции конкретных бесконечных индивидов — должны включать все свои предикаты и могут быть известны a priori Тем, Кто сгенерировал их. Эта точка зрения и составляет основу геометрического метода! Согласно Лейбницу, даже если люди не могут знать индивидов a priori, но только посредством эмпирического исследования или истории, Бог действительно знает полные концепции отдельных субстанций a priori, которые, таким образом, существуют, причем субъект содержит сказуемое.

Именно эта теория привела к абзацу 13 Discourse of Metaphysics , согласно которому полное представление о любом человеке было известно Богу и включало каждое отдельное событие, которое когда-либо могло случиться с нами. Когда Бог создавал этот мир, Он выбрал тех людей, которые принадлежали к лучшему из всех возможных миров. Из-за этого выбора, ведомого разумом Бога, не может быть никакого противоречия между вещами одного мира или, скорее, их концепциями.Здесь важно то, что подход Лейбница к случайным вещам гарантирует нам — с самого начала — внутреннюю согласованность всех явлений этого мира, которые когда-либо будут происходить с нашим опытом, даже если мы еще не можем этого увидеть. Поскольку в творении Бога нет ничего произвольного — nihil sine ratione — мы можем считать само собой разумеющимся, что существует универсальная согласованность мира, несмотря на наш собственный ограниченный подход. Именно в рамках этой точки зрения Лейбниц резко отклоняется от Лютера и протестантского образа мышления, в котором из-за грехопадения прямо отрицается такое понимание мира для людей.Именно эта точка зрения делает его истинным оптимистом, убежденным в постижимости мира, даже если мы никогда не исчерпаем его.

6. Математизация природы как вызов необходимости

Использование геометрического метода в философии часто подвергалось критике, задолго до того, как Кант выступил против него (Kant 1998, 630-43; 1 ^st Cr. A713 / B741-A738 / B766). Одно возражение заключалось в том, что геометрический метод должен быть ограничен геометрией и не может использоваться в какой-либо другой области.На первый взгляд это кажется довольно убедительным. Учитывая громоздкость текста, написанного геометрическим методом, как, например, «Этика » Спинозы , кажется очевидным, что этот метод значительно затрудняет понимание аргументации. Сложная система ссылок на прошлые демонстрации постоянно прерывает спор; Добавление Спинозы множества схолий, в которых он объясняет контекст и цель своих демонстраций на обычном языке, демонстрирует его осведомленность об этой проблеме.

Но возражения против геометрического метода были более фундаментальными. То, что сторонники геометрического метода считали его величайшим преимуществом по сравнению с любым другим знанием — необходимые выводы и, следовательно, уверенность, — считалось его критиками величайшей опасностью. Одной из причин таких протестов, очевидно, была теологическая озабоченность по поводу человеческого высокомерия, как это уже было выражено в обвинении против Галилея. Его обвиняли в утверждении равенства между человеческим знанием и знанием Бога, по крайней мере, в геометрических вопросах (Галилей 1907, т.19, 326-7). В самом деле, Галилей заявил, что то, что мы можем продемонстрировать геометрически, не могло быть лучше известно Богу, потому что это обязательно было правдой: «Я говорю, что что касается истинности знания, которое дается математическими доказательствами, это то же самое , что Божественное. мудрость распознает »(Галилей 1967, 103; выделено мной — У.Г.). Забота о человеческом высокомерии не ограничивалась католической церковью, она также вызывала беспокойство у протестантов, например, у кембриджских платоников, очень влиятельных на Локка и Ньютона, которые оба отвергли геометрический метод.В Германии это стало одним из главных аргументов лютеранских теологов и философов против Лейбница и Кристиана Вольфа (Goldenbaum 2004, 48-58; 195-208).

Но не традиционный метод евклидовой геометрии вызвал массовую критику нового геометрического метода. Скорее, это была его тесная связь с математизацией природы и тем самым расширение геометрии из небольшой дисциплины, не имеющей практического отношения к реальности, что сделало ее наукой мира .Галилей открыл новый путь современной науки, используя геометрический метод для исследования физических явлений, и он был глубоко убежден, что сама природа устроена математически. Таким образом, он нашел закон падающих тел, а также параболу, как траекторию брошенных тел; ни один из них не мог быть обнаружен простым наблюдением или экспериментом. Энтузиазм Галилея по поводу того, что математика позволит нам понять внутренние структуры природы, наиболее ярко выражен в его знаменитом высказывании:

Философия написана в этой великой книге, которая всегда находится у нас перед глазами — я имею в виду вселенную, — но мы не сможем понять ее, если сначала не выучим язык и не усвоим символы, в которых она написана.Книга написана математическим языком, а символы — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без помощи которых невозможно понять ни одного слова; без которого напрасно бредешь по темному лабиринту. (Галилео 1960, 183-4)

Декарт последовал за Галилеем и просил культивировать новый вид геометрии, который больше не был бы просто абстрактным занятием, но мог бы объяснять явления природы (AT II, ​​268; CSMK III, 118-9). Будет только одна наука, mathesis universalis, с помощью которой наблюдаемые природные явления могут быть объяснены исходя из их внутренней сущности и, следовательно, с необходимостью.Большой поклонник Галилея Томас Гоббс распространил геометрический метод на политику, заявив, что его политическая философия была началом политической науки. Спиноза даже распространил геометрический метод на этику и представил теорию человеческих аффектов, показывающую необходимость , по которой они будут возникать всякий раз, когда встречаются определенные обстоятельства. Вот как он мог заявить: «Следовательно, я буду рассматривать природу и силы Аффектов и власть Разума над ними тем же методом, которым в последующих частях я лечил Бога и Разум, и Я буду рассматривать человеческие действия и аппетиты так, как если бы это был Вопрос о линиях, плоскостях и телах »(C 492; Предисловие к EIII).

Все эти мыслители расширили геометрический метод за пределы математики, заявив о его ценности для исследования реалий, реальных вещей, а не простых геометрических фигур. Такое распространение геометрического метода на реальные вещи было сделано с целью обеспечить достоверность знания, уверенность, гарантированную необходимостью геометрических демонстраций. Но если бы это действительно привело к необходимым демонстрациям о природе, политике и этике, это внесло бы необходимость в естественные, социальные и моральные науки, и не осталось бы места для чудес и, что еще хуже, для свободной воли.Это можно увидеть на примере Гоббса и Спинозы, которые оба были строгими детерминистами. Напротив, именно признание этой угрозы детерминизма или необходимости, подразумеваемой в геометрическом методе, привело Генри Мора очень рано к его критике Декарта, а с 1660-х годов — к его массовому отказу от картезианства (More 1711, 58). Помимо богословской озабоченности по поводу человеческого высокомерия, именно угроза необходимости течения была истинным источником непрекращающегося протеста против геометрического метода на протяжении 17 и 18 веков.

Больше всего проблем с геометрическим методом в 17-м и на протяжении 18-го веков вызывало не его тяжеловесный образ мышления или его отсутствие успеха. Скорее, это были беспорядки по поводу человеческого высокомерия и угроза того, что его детерминизм разрушит свободную волю Бога, а также волю людей. Примером различных подходов к свободе воли Бога по-прежнему является переписка Лейбница и Кларка. Согласно Лейбницу, ничто не может произойти без достаточной причины — и это просто доказывает существование Бога, который — в Своем совершенстве — не мог выбрать произвольно функционирующий мир.Кларк (и Ньютон), с другой стороны, считает любой акт произвольной воли со стороны Бога как достаточной причиной (Leibniz 2000, 7 и 11).

7. Заключение

Глубокую тревогу и гнев по поводу этого метода вызвали две вещи: (1) попытка распространить геометрический метод на природу, людей и общество (принимая математизацию природы как должное), предоставляя людям божественное априорное знание за пределами математика, даже если она ограничена; и (2) угроза детерминизма.Эти угрозы вынудили богословов и христианских философов полностью отказаться от рационализма и геометрического метода. В резком контрасте с рационализмом Локк даже отрицал возможность существования любой естественной науки , потому что у нас не могло быть никаких реальных определений, кроме математики и морали:

Этот способ получения и улучшения наших знаний о веществах только с помощью опыта и истории, который является всей слабостью наших способностей в этом состоянии Посредственности , которого мы можем достичь в этом мире, заставляет меня подозреваю, что естественная философия не может быть превращена в науку.Я полагаю, что мы можем достичь очень мало общих знаний о видах тел и их некоторых свойствах. (Локк 1975, 645; Лейбниц 1996, 453; IV, 12, 10)

Кант заявил бы, что «никогда не будет Ньютона вместо травинки» (Kant 2000, 268-71; 3 ^rd Crit., 75 (B338)), указав вместо этого на теорию дизайна в биологии, допускающую причинные объяснения. только для математики и механики, то есть прикладной математики. Оба подхода приветствовались протестантским богословием (Goldenbaum 2004, 48–58).

Таким образом, противостояние двух философских лагерей рационализма и эмпиризма не было результатом различных подходов к опыту, как это часто утверждается. Скорее, это были их разные и противоположные позиции по отношению к геометрическому методу и математизации природы. Этот новый геометрический метод никоим образом не был просто внешним способом представления рационалистической философии. Вместо этого он составлял эту философию. Несмотря на то, что философы-рационалисты различаются в своих философских системах, все они согласны с тем, что люди могут прийти к априорному знанию (путем вывода из определений) независимо от опыта, и что это знание в некотором роде «божественно», то есть столь же достоверно, как Божье знание.Напротив, эмпирики и теологи стремятся отрицать такую ​​возможность. Таким образом, именно геометрический метод дает объяснение двум школам ранней современной философии.

8. Ссылки и дополнительная литература

а. Сокращения

• А
• AT
• CSM
• Loemker
• Leibniz-Clarke
• ПР

г.Библиография

• Арно, Антуан / Пьер Николь (2011), La logique ou l’art de penser , ed. крит. Доминик Дескот, Чемпион: Париж.
• Брегер, Герберт (1991), «Der Mechanizistische Denkstil in der Mathematik des 17.Jahrhunderts», в: Hartmut Hecht (Ed.), Gottfried Wilhelm Leibniz im Philosophischen Diskurs über Geometrie und Erfahrung , Akademie Verlag .
• Брегер, Герберт (2008), «Расчет Лейбница с компендиумами», в: Урсула Гольденбаум / Дуглас Джессеф, Бесконечно малые разности.Споры между Лейбницем и его современниками , Де Грюйтер: Берлин-Нью-Йорк, стр. 185-198.
• Cassirer, Ernst (1974), Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit , 4 тома, Wissenschaftliche Buchgesellschaft: Darmstadt.
• Корр, Чарльз А. (1972), «Трактовка научных открытий Кристиана Вольфа», в: Journal of the History of Philosophy , 10, pp. 323-334.
• Керли, Эдвин (1986a), «Геометрический метод Спинозы», в: Studia Spinozana 2, Центральная тема: эпистемология Спинозы , изд.Э. Керли, В. Клевер, Ф. Миннини, Walther & Walther: Alling 1986, стр. 152-169.
• Керли, Эдвин (1986b), За геометрическим методом , Princeton University Press.
• Де Дейн, Герман (1986), «Концепции философского метода у Спинозы: Logica и Mos Geometricus», в: The Review of Metaphysics , XL, No. 1, Issue No. 157 (Sep), pp. 55- 78.
• Декарт, Рене (1985-88), Философские сочинения Декарта , пер.Джона Коттингема, Роберта Штутгоффа и Дугальда Мердока, Cambridge University Press: Cambridge, New York, 3 vols.
• Декарт, Рене (1996), Oeuvres de Descartes , изд. Чарльз Адам и Пол Таннери, Librarie Philosophique J. Vrin: Paris, 11 vols.
• Ди Белла, Стефано (2005), Наука об индивидууме: онтология индивидуальной субстанции Лейбница , Дордрехт.
• Галилей, Галилео (1907), Опере. Edizione Nazionale , vol.19, изд. Антонио Фаваро, Firenze: Barbèra.
• Галилей, Галилей (1954), Диалоги о двух новых науках , пер. Генри Крю и Альфонс де Сальвио, вступ. Антонио Фаваро, Dover Publications: Нью-Йорк.
• Галилей, Галилео (1960), «Пробирщик», в: Stilman Drake and C.D. O’Malley, The Controversy on the Comets of 1618 , University of Pennsylvania Press: Philadelphia.
• Галилей, Галилео (1967), Диалог о двух главных мировых системах (2-е издание), пер.Стиллман Дрейк, Калифорнийский университет Press: Беркли.
• Гольденбаум, Урсула (1991), «Daß die Phänomene mit der Vernunft Übereinstimmen sollen. Spinozas Versuch einer Vermittlung von geometrischer Theorie und Experimenteller Erfahrung », в: Leibniz im Philosophischen Diskurs über Geometrie und Erfahrung. Studien zur Ausarbeitung des Erfahrungsbegriffes in der neuzeitlichen Philosophie , изд. Хартмут Хехт, Akademie Verlag: Berlin 1991, стр. 86-104.
• Goldenbaum, Ursula (2004), Appell an das Publikum.Die öffentliche Debatte in der deutschen Aufklärung 1697-1786. Sieben Fallstudien , 2 части, Akademie Verlag: Berlin.
• Гольденбаум, Урсула (2011), «Спиноза — ein toter Hund? Nicht für Christian Wolff », в: Zeitschrift für Ideengeschichte , ed. Йоханнес Ульрих Шнайдер, стр. 29-41.
• Гоббс, Томас (1839), Opera Philosophica quae latine scripsit omnia , ed. Гулиелми Молесворт, Бон: Лондон.
• Hobbes, Thomas (1994), Leviathan, с избранными вариантами из латинского издания 1668 г. , ed.Эдвин Керли, Хакетт: Индианаполис.
• Hubbeling, Hubertus Gesinus (1964), Методология Спинозы , Van Gorcum: Assen.
• Hubbeling, Hubertus Gesinus (1977), «Развитие аксиоматического (геометрического) метода Спинозы: реконструированное геометрическое доказательство второй буквы переписки Спинозы и ее связи с более ранними и более поздними версиями», in: Revue international de Philophie 31 С. 53-68.
• Джессеф, Дуглас (1999), В квадрате круга: война между Гоббсом и Уоллисом , Chicago Press: Чикаго и Лондон.
• Кант, Иммануил (1998), Критика чистого разума , пер. и изд. Пол Гейер и Аллен В. Вуд, Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Нью-Йорк.
• Кант, Иммануил (2000), Критика силы суждения , изд. Пол Гайер, пер. Пол Гайер и Эрик Мэтьюз, Cambridge University Press: Кембридж и Нью-Йорк.
• Клевер, Вим (1986), «Аксиомы в науке Спинозы и философия науки», в: Studia Spinozana 2, Центральная тема: эпистемология Спинозы , изд.Э. Керли, В. Клевер, Ф. Миннини, Walther & Walther: Alling 1986, стр. 171-195.
• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1921ff.), Sämtliche Schriften und Briefe , Akademie Verlag: Berlin (цитируется как A с римским номером серии и арабским номером тома, за которым следует номер страницы).
• Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1969), Philosophical Papers and Letters , trans. и изд. Лерой Э. Лемкер, Reidel: Dordrecht.
• Лейбниц, Готфрид Вильгельм (1996), Новые эссе о человеческом понимании , пер.и изд. Питер Ремнант и Джонатан Беннет, издательство Кембриджского университета: Кембридж, Нью-Йорк.
• Leibniz, Gottfried Wilhelm / Samuel Clarke (2000), Correspondence , ed. Роджер Арью, Хакетт: Индианаполис.
• Локк, Джон (1975), Эссе о человеческом понимании , изд. Питер Х. Ниддич, Oxford University Press.
• Matheron, Alexandre (1986), «Спиноза и евклидова арифметика: пример четвертой пропорциональной» (перевод Дэвида Лахтермана), в: Spinoza and the Sciences , ed.Марджори Грин и Дебра Нейлз, Reidel: Dordrecht, стр. 125-50.
• Максвелл, Вэнс (1988), «Философский метод Спинозы», в: Dialogue 27 (1988), стр. 89–110.
• More, Henry (1711), Epistola H. Mori ad V.C., quae Apologiam complectitur pro Cartesio, quaeque Introductionis loco esse poterit ad Universe Philosophiam Cartesianam , 4 ^th ed., Londini.
• Pascal, Blaise (2000), Œuvres завершает , ed. Мишель ле Герн, Gallimard: Paris, vol.II.
• Schüling, Hermann (1969), Die Geschichte der axiomatischen Methode im 16. und beginnenden 17. Jahrhundert , Olms: Hildesheim, New York.
• Спиноза (1744), B.v.S. Sittenlehre wideleget von dem berühmten Weltweisen unserer Zeit Herrn Christian Wolff , Varrentrapp: Frankfurt and Leipzig [Перепечатка: Hildesheim and New York: Olms 1981].
• Спиноза (1985), Собрание сочинений Спинозы , изд. и транс. Эдвин Керли, Princeton University Press.
• Вольф, Кристиан (1734), Открытие истинной причины чудесного размножения кукурузы; С некоторыми общими замечаниями о природе деревьев и растений , напечатано для Дж. Робертса: Лондон.
• Wolff, Christian (1980), Gesammelte Werke , 1. Abt., Vol. 10, Олмс: Хильдесхайм, Нью-Йорк.

Информация об авторе

Урсула Голденбаум
Эл. Почта: [email protected]
Университет Эмори
США

Международный журнал метрологии и инженерии качества (IJMQE)

Международный журнал метрологии и инженерии качества (IJMQE) посвящен статьям, посвященным прикладной метрологии и инструментам качества для улучшения процессов в промышленности и исследованиях (в окружающей среде, здравоохранении, пищевой промышленности, энергетике, авиакосмической, автомобильной и т. Д.).

• Открытый доступ

  Обзор

  Клеман Безье, Жеральдин Антуан и Абдерафи Чарки

  Внутр. J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 13

  Опубликовано онлайн: 19 ноября 2020 г.

• Открытый доступ

  Вишал Рамнатх

  Внутр.J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 14

  Опубликовано онлайн: 19 ноября 2020 г.

• Открытый доступ

  Даниэль Рене Тасе Веласкес, Элизабет Коста Монтейро, Даниэль Рамос Лузада и Карлос Роберто Холл Барбоса

  Внутр.J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 12

  Опубликовано онлайн: 17 ноября 2020 г.

• Открытый доступ

  Цзяньцян Лю, Шуай Хо и И Ван

  Внутр. J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 11

  Опубликовано онлайн: 13 ноября 2020 г.

• Открытый доступ

  Генлай Ур.

  Внутр.J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 10

  Опубликовано онлайн: 30 октября 2020 г.

• Открытый доступ

  Петр Челищев и Кнут Сёрби

  Внутр. J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 9

  Опубликовано онлайн: 22 октября 2020 г.

• Открытый доступ

  Мохамед Хамди, Мохамед А.Баюми, Али Э. Абуэлезз и Алааэльдин А. Эльтавил

  Внутр. J. Metrol. Qual. Eng., 11 (2020) 8

  Опубликовано онлайн: 15 Октябрь 2020

определение геометрического по The Free Dictionary