Решебник по геометрии 8 класс контрольная работа: ГДЗ геометрия 8 класс контрольные работы Мельникова (Атанасян)

| Purplemath

Purplemath

Существует множество геометрических формул, и они связывают высоту, ширину, длину, радиус и т. Д. С периметром, площадью, площадью поверхности или объемом и т. Д. Некоторые формулы довольно сложны, и вы их почти никогда не видите, позвольте в одиночку использовать их. Но есть несколько основных формул, которые вам действительно стоит запомнить, потому что ваш инструктор может ожидать, что вы их знаете.

Например, очень легко найти площадь A прямоугольника: это просто длина l в раз больше ширины w :

MathHelp.com

«Прямоугольник» в приведенной выше формуле является нижним индексом, означающим, что найденная область « A » является областью прямоугольника.Поскольку я собираюсь обсуждать формулу площади, объема и т. Д., Формулы для различных форм, я использую нижние индексы, чтобы прояснить форму, к которой относится данная формула (при использовании « A » для «площади», » SA «для» площади поверхности «,» P «для» периметра «и» V «для» объема «). Подстрочные индексы такого типа могут быть полезным методом прояснения вашего смысла, поэтому постарайтесь держать это в уме для возможного использования в будущем.

Если вы посмотрите на изображение прямоугольника и вспомните, что «периметр» означает «длину по внешней стороне», вы увидите, что периметр прямоугольника P представляет собой сумму верхней и нижней длины l и ширина слева и справа w :

Квадраты еще проще, потому что их длина и ширина идентичны.Площадь A и периметр P квадрата со стороной s определяются по формуле:

Вы должны знать формулу площади треугольника; его легко запомнить, и он может неожиданно всплывать посреди словесных задач. Учитывая размеры основания b и высоты h треугольника, площадь A треугольника равна:

Конечно, периметр P треугольника будет просто суммой длин трех сторон треугольника.

Вы должны знать формулу для длины окружности C и площади A окружности с учетом радиуса r :

(«π» — это число, приблизительно равное 3,14159 или дроби 22/7)

Помните, что радиус круга — это расстояние от центра до внешней стороны круга. Другими словами, радиус составляет половину диаметра. Если они дают вам длину диаметра, являющуюся длиной линии, проходящей через середину, проходящую через весь круг, то вам сначала нужно разделить это значение пополам, чтобы применить приведенные выше формулы.

Это все «плоские», двухмерные формы. Иногда вам придется иметь дело с объемными фигурами, например, кубиками или шишками. Для таких форм вы найдете площадь поверхности (если вы рисовали объект, это область, которую вам нужно было бы покрыть) и объем (внутреннее пространство, которое вы могли бы заполнить, была ли форма полый).

Формула для объема V куба проста, так как длина, ширина и высота — все одно и то же значение s :

Формула для площади поверхности (площади, которую вы бы измерили, если бы вам нужно было закрасить внешнюю сторону куба) тоже довольно проста, поскольку все стороны имеют одинаковую квадратную площадь с ² .Имеется шесть сторон (верхняя, нижняя, левая, правая, передняя и задняя), поэтому площадь поверхности SA составляет:

Формулы немного усложняются для «прямоугольной призмы», технического термина для кирпича. Объем V все еще довольно прост: длина умножена на ширину и высоту:

Формула площади поверхности немного сложнее. (Постарайтесь следовать рассуждениям, которые я собираюсь использовать, потому что вы, вероятно, забудете формулу, но ее легко воссоздать, если вы просто уделите немного времени и подумаете над ней.) Верх и низ «кирпича» имеют одинаковую площадь: длина умножена на ширину. Левая и правая стороны кирпича имеют одинаковую площадь, равную ширине, умноженной на высоту. И передняя, ​​и задняя часть кирпича имеют одинаковую площадь, равную длине, умноженной на высоту. (Нарисуйте рисунок, обозначив размеры, если вы не уверены в этом.) Тогда формула для площади поверхности SA кирпича будет:

Цилиндры (похожие на трубы, но с крышками на концах) тоже иногда появляются.Объем цилиндра V прост: это площадь конца (которая является просто площадью круга), умноженная на высоту h :

Площадь поверхности SA — это площадь концов (которые представляют собой просто круги) плюс площадь стороны, которая равна длине окружности, умноженной на высоту h цилиндра:

В зависимости от класса, который вы изучаете, вам также может потребоваться формула для объема V конуса с радиусом основания r и высотой h :

…или объемом V сферы (шара) радиусом r :

Вы можете заметить, что в вашем домашнем задании или классных упражнениях появляются другие формулы. Возможно, вам придется запомнить эти другие формулы (их много!), Поэтому обязательно посоветуйтесь со своим инструктором перед тестом, чтобы узнать, какие из них вы должны знать.

Некоторые инструкторы предоставляют все геометрические формулы, поэтому в вашем тесте будет список всего, что вам может понадобиться.Но не все инструкторы таковы, и вы не можете ожидать, что каждый инструктор, каждый отдел или «общие», общекорпоративные или иным образом стандартизированные тесты предоставят вам всю эту информацию. Спросите своих инструкторов об их правилах, но помните, что наступает момент (средняя школа? SAT? ACT? Колледж? «Реальная жизнь»?), В котором вы, как ожидается, усвоите хотя бы некоторые из этих основных формул. Начни запоминать прямо сейчас!

URL: https: // www.purplemath.com/modules/geoform.htm

арифметических и геометрических последовательностей | Purplemath

Purplemath

Две самые простые последовательности для работы — это арифметическая и геометрическая последовательности.

Арифметическая последовательность переходит от одного члена к другому, всегда добавляя (или вычитая) одно и то же значение. Например, 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметическим, потому что каждый шаг добавляет три; и 7, 3, –1, –5 ,… является арифметическим, потому что каждый шаг вычитает 4.

Число, добавляемое (или вычитаемое) на каждом этапе арифметической последовательности, называется «общей разницей» d , потому что, если вы вычтите (то есть, если вы найдете разницу) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

MathHelp.com

Геометрическая последовательность переходит от одного члена к другому путем умножения (или деления) на одно и то же значение. Итак, 1, 2, 4, 8, 16, … геометрически, потому что каждый шаг умножается на два; и 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, … геометрический, потому что каждый шаг делится на 3.

Число, умноженное (или разделенное) на каждом этапе геометрической последовательности, называется «общим соотношением» r , потому что, если вы разделите (то есть, если вы найдете соотношение) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

• Найдите общую разницу и следующий член следующей последовательности:

Чтобы найти общее различие, мне нужно вычесть пару следующих друг за другом членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все вычитания:

11–3 = 8

19–11 = 8

27–19 = 8

35–27 = 8

Разница всегда равна 8, поэтому общая разница составляет d = 8.

Они дали мне пять членов, так что шестой член в последовательности будет следующим термином.Я нахожу следующий член, добавляя общее различие к пятому члену:

Тогда мой ответ:

общая разница: d = 8

шестой семестр: 43

• Найдите общее отношение и седьмой член следующей последовательности:

Чтобы найти обычное отношение, мне нужно разделить следующие пары членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все деления:

Коэффициент всегда равен 3, поэтому r = 3.

Мне дали пять сроков, так что шестой срок — это следующий семестр; седьмой — срок после этого. Чтобы найти значение седьмого члена, я дважды умножу пятый член на обычное отношение:

a 6 = (18) (3) = 54

a 7 = (54) (3) = 162

Тогда мой ответ:

стандартное отношение: r = 3

седьмой семестр: 162

Поскольку арифметические и геометрические последовательности настолько хороши и правильны, у них есть формулы.

Для арифметических последовательностей общая разница составляет d , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку мы получаем следующий член, добавляя общую разницу, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

a 3 = ( a + d ) + d = a + 2 d

Четвертый член:

a 4 = ( a + 2 d ) + d = a + 3 d

На каждом этапе обычная разница умножалась на значение, которое было на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

Для геометрических последовательностей обычное отношение составляет r , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку следующий член мы получаем умножением на обыкновенное отношение, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

Четвертый член:

На каждом этапе обычное отношение увеличивалось до степени, которая была на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

Запомните эти n формул -го члена перед следующим тестом.

• Найдите десятый член и n -й член следующей последовательности:

Первое, что мне нужно сделать, это выяснить, какой это тип последовательности: арифметический или геометрический.Я быстро вижу, что различия не совпадают; например, разница между вторым и первым членами составляет 2 — 1 = 1, но разница между третьим и вторым членами составляет 4 — 2 = 2. Итак, это не арифметическая последовательность.

С другой стороны, соотношение следующих друг за другом членов такое же:

2 ÷ 1 = 2

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

(Я не делал деление с первым членом, потому что в нем участвовали дроби, и я ленив.Однако деление дало бы точно такой же результат.)

Итак, очевидно, что это геометрическая последовательность с общим отношением r = 2, а первый член равен a = 1/2. Чтобы найти n -й член, я могу просто подставить в формулу a _n = ar ^{( n — 1)} :

a _n = (1/2) 2 ^{n –1} = (2 ^-1 ) (2 ^{n –1} )

= 2 ^{(–1) + ( n — 1)} = 2 ^{n — 2}

Чтобы найти значение десятого члена, я могу подставить n = 10 в формулу n -го члена и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й срок:

десятый семестр: 256

• Найдите n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 6 = 5 и d = 3/2

n -й член арифметической последовательности имеет вид a _n = a + ( n — 1) d .В данном случае эта формула дает мне

a 1 =

a 2 =

a 3 =

Это дает мне первые три члена в последовательности.Поскольку у меня есть значение первого члена и общая разница, я также могу создать выражение для n -го члена и упростить:

–5/2 + ( n — 1) (3/2)

= –5/2 + (3/2) n — 3/2

= –8/2 + (3/2) n = (3/2) n — 4

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

первые три семестра:

• Найдите n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей , 4 = 93 и , 8 = 65.

Поскольку a 4 и a 8 разделены на четыре позиции, то из определения арифметической последовательности я знаю, что я бы получил от четвертого члена к восьмому, добавив общую разницу четыре раза к четвертому члену. ; Другими словами, определение говорит мне, что a 8 = a 4 + 4 d . Используя это, я могу найти общую разницу d :

65 = 93 + 4 д

–28 = 4 д

–7 = д

Кроме того, я знаю, что четвертый член относится к первому члену по формуле a 4 = a + (4 — 1) d , поэтому, используя значение, которое я только что нашел для d , я могу найти значение первого члена a :

93 = a + 3 (–7)

93 + 21 = а

114 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общей разницы, я могу без труда найти значения первых трех членов и общую форму n -го члена:

a 1 = 114

a 2 = 114 — 7 = 107

a 3 = 107 — 7 = 100

a _n = 114 + ( n — 1) (- 7)

= 114-7 n + 7 = 121-7 n

Тогда мой ответ:

n -й семестр: 121 — 7 n

первые три семестра: 114, 107, 100

• Найдите n, -й и 26-й члены геометрической последовательности с a 5 = 5/4 и a 12 = 160.

Два члена, для которых они дали мне числовые значения, разнесены на 12-5 = 7 мест, поэтому, исходя из определения геометрической последовательности, я знаю, что перейду от пятого члена к двенадцатому, умножив пятый член по обыкновению семь раз; то есть a 12 = ( a 5) ( r ⁷ ). Я могу использовать это, чтобы найти значение общего отношения r :

160 = (5/4) ( r ⁷ )

128 = r ⁷

2 = r

Кроме того, я знаю, что пятый член относится к первому по формуле a 5 = ar ⁴ , поэтому я могу найти значение первого члена a :

5/4 = a (2 ⁴ ) = 16 a

5/64 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общего отношения, я могу подставить каждое в формулу для n -го члена, чтобы получить:

a _n = (5/64) 2 ^{( n — 1)}

= (5/2 ⁶ ) (2 ^{n –1} )

= (5) (2 ^–6 ) (2 ^{n –1} )

= 5 (2 ^{n –7} )

С помощью этой формулы я могу оценить двадцать шестой член и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

26 семестр: 2,621,440

Как только мы узнаем, как работать с последовательностями арифметических и геометрических терминов, мы можем перейти к рассмотрению добавления этих последовательностей.

URL: https://www.purplemath.com/modules/series3.htm

геометрическая серия | Purplemath

Purplemath

Можно взять сумму конечного числа членов геометрической последовательности. И, по причинам, которые вы будете изучать в области математики, вы можете взять сумму бесконечной геометрической последовательности , но только в особых обстоятельствах, когда общее отношение r находится между –1 и 1; то есть необходимо иметь | r | <1.

Для геометрической последовательности с первым членом a ₁ = a и обыкновенным отношением r сумма первых n членов определяется по формуле:

MathHelp.com

Примечание. В вашей книге может быть немного другая форма приведенной выше формулы частичной суммы. Например, « a » можно умножить через числитель, множители дроби можно поменять местами, или суммирование может начаться с i = 0 и иметь степень n + 1 в числителе.Все эти формы эквивалентны, и приведенная выше формулировка может быть получена из полиномиального деления в столбик.

В частном случае | r | <1, бесконечная сумма существует и имеет следующее значение:

Первые несколько членов: –6, 12, –24:

a 1 = 3 (–2) ¹ = (3) (- 2) = –6

a 2 = 3 (–2) ² = (3) (4) = 12

a 3 = 3 (–2) ³ = (3) (- 8) = –24

Итак, это геометрический ряд с знаменателем r = –2.(Я также могу сказать, что это должен быть геометрический ряд из-за формы, данной каждому члену: по мере увеличения индекса каждый член будет умножаться на дополнительный коэффициент –2.)

Первый член последовательности — a = –6. Подставляя в формулу суммирования, получаем:

Итак, сумма суммирования:

• Оценить S ₁₀ для 250, 100, 40, 16 ,….

Обозначение «S10» означает, что мне нужно найти сумму первых десяти членов. Первый член — a = 250. Разделив пары терминов, я получу:

100 ÷ 250 = 2/5

40 ÷ 100 = 2/5

… и так далее, поэтому добавляемые члены образуют геометрическую последовательность с общим отношением

В отличие от формулы для n -й частичной суммы арифметического ряда, мне не нужно значение последнего члена при нахождении n -ой частичной суммы геометрического ряда. Итак, у меня есть все необходимое для продолжения. Когда я вставляю значения первого члена и общего отношения, формула суммирования дает мне:

Я не буду «упрощать» это, чтобы получить десятичную форму, потому что это почти наверняка будет считаться «неправильным» ответом.Вместо этого мой ответ:

Примечание. Если вы попытаетесь выполнить указанные выше вычисления на своем калькуляторе, он вполне может вернуть десятичное приближение 416,62297 … вместо дробного (и точного) ответа.

Как вы можете видеть на снимке экрана выше, ввод значений в дробной форме и использование команды «преобразовать в дробь» по-прежнему приводит только к десятичной аппроксимации ответа.Но (на самом деле!) Десятичное приближение почти наверняка будет расценено как «неправильный» ответ. Найдите время, чтобы найти дробную форму.

• Найдите a _n , если S ₄ = 26/27 и r = 1/3.

Мне дали сумму первых четырех членов, S ₄ , и значение общего отношения r .Поскольку существует обычное отношение, я знаю, что это должен быть геометрический ряд. Подключаясь к формуле геометрического ряда, я получаю:

Умножая обе стороны на

Затем, подставляя формулу для n -го члена геометрической последовательности, я получаю:

• Покажите с помощью геометрического ряда, что 0.3333 … равно 1/3.

В этом есть одна хитрость. Сначала мне нужно разбить повторяющуюся десятичную дробь на отдельные части; то есть «0,3333 …» становится:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + …

Разделение десятичной формы таким образом явно подчеркивает повторяющийся образец непрерывной (то есть бесконечной) десятичной дроби: для каждого члена у меня есть десятичная точка, за которой следует постоянно увеличивающееся количество нулей, а затем заканчивая цифрой «3».Эта расширенная десятичная форма может быть записана в дробной форме, а затем преобразована в форму геометрической последовательности:

Это доказывает, что 0,333 … является (или, по крайней мере, может быть выражено как) бесконечный геометрический ряд с

Для приведенного выше доказательства, используя формулу суммирования, чтобы показать, что геометрический ряд «разложен» 0.333 … имеет значение 1/3. — это , «показывающий», о котором просило упражнение (поэтому очень важно выполнять свою работу аккуратно и логично). И вы можете использовать этот метод для преобразования любого повторяющегося десятичного числа в его дробную форму.

• Преобразуйте 1,363636 … в дробную форму с помощью геометрического ряда.

Сначала я разобью это на составные части, чтобы найти узор:

1.363636 .. = 1 + 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + …

Две цифры повторяются, поэтому дроби немного отличаются. Но это все же геометрическая серия:

Это показывает, что исходная десятичная дробь может быть выражена как ведущая «1», добавленная к геометрическому ряду, имеющему

Таким образом, эквивалентная дробь в форме неправильных дробей и смешанных чисел:

Кстати, этим методом можно доказать, что 0.999 … = 1.

URL: https://www.purplemath.com/modules/series5.htm

Геометрическая серия — это сумма членов геометрической последовательности. Если в последовательности есть определенное количество членов, простая формула для суммы равна

Формула 3:

Эта форма формулы используется, когда известно количество членов ( n ), первый член ( a ₁ ) и обычное отношение ( r ).

Другая формула суммы геометрической последовательности —

Формула 4:

Эта форма требует первого члена ( a ₁ ), последнего члена ( a _n ) и общего отношения ( r ), но не требует количества членов ( n ) .

Пример 1

Найдите сумму первых пяти членов геометрической последовательности, в которой a ₁ = 3 и r = –2.

a ₁ = 3, r = –2, n = 5

Используйте формулу 4:

Пример 2

Найдите сумму геометрической последовательности, для которой.

Используйте формулу 4:

Пример 3

Найдите a ₁ в каждой описанной геометрической серии.

1. S _n = 244, r = –3, n = 5

2. S _n = 15,75, r = 0,5, a _n = 0,25

1. S _n = 244, r = –3, n = 5

   Используйте формулу 3:

2. S _n = 15,75, r = 0,5, a _n = 0.25

   Используйте формулу 4:

Формула 5:

Если геометрический ряд бесконечен (то есть бесконечен) и –1 < r <1, то формула его суммы принимает вид

Если r > 1 или r <–1, то бесконечный ряд не имеет суммы.

Пример 4

Найдите сумму каждого из следующих геометрических рядов.

1. 25 + 20 + 16 + 12,8 +…

2. 3 — 9 + 27 — 81 +…

1. 25 + 20 + 16 + 12.8 +…

   Сначала найдите r .

   Так как этот бесконечный геометрический ряд имеет сумму.

   Используйте формулу 5.

2. 3 — 9 + 27 — 81 +…

   Сначала найдите r .

   Поскольку –3 <–1, этот геометрический ряд не имеет суммы.