Признаки подобия треугольников 9 класс контрольная работа: Контрольная работа «Подобие треугольников» 9 класс скачать

Контрольная работа по геометрии 9 класс » Подобие треугольников»

₁В₁С₁ А = 27⁰, АВ = 3м, ВС = 4м, В₁С₁ = 20м. Чему равны А₁ и сторона А₁В₁?

№ 2. У треугольников АВС и А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁ АВ=20см, ВС=3см, А₁В₁=4см, А₁С₁ = 10см. Найдите остальные стороны треугольников.

№3 На рисунке АВ ||CD.

1)Докажите, что .

2)Найдите АВ, если ОD = 15 см, ОВ =9 см,

СD = 25 см

№ 4. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 2 м, если длина его тени равна 1 м, вы­со­та фо­на­ря 9 м?

№ 1. У подобных треугольников АВС и А

1В₁С₁ А = 35⁰, АВ = 4м, ВС = 5м, В₁С₁ = 25м. Чему равны А₁ и сторона А₁В₁?

№ 2. У треугольников АВС и А₁В₁С₁, А = А₁, В = В₁ АВ=18см, ВС=5см, А₁В₁=3см, А₁С₁ = 12см. Найдите остальные стороны треугольников.

№3 На рисунке MN || АС.

1)Докажите, что .

2)Найдите MN, если BC = 8 см, ВМ = 6 см,

АС= 21 см

№ 4. Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах).

 

Часть 2

Часть 2

№ 5. _{Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 12 дм и ВС = 4дм, а отрезки DЕ = 9дм и ЕС = 2дм.}

№ 6. Углы В и В₁ треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 4 раза больше сторон треугольника А₁В₁

С_1, прилежащих к углу В₁. Найдите А₁С₁, если АС = 30 м.

№ 5. _{Диагонали трапеции АВСD пересекаются в точке Е. Найдите длины диагоналей, если основания АD = 15 дм и ВС = 3дм, а отрезки DЕ = 10дм и ЕС = 4дм.}

№6. Углы В и В₁ треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В в 2 раза больше сторон треугольника А₁В₁С_1, прилежащих к углу В₁. Найдите А₁С₁, если АС = 15 м.

Самостоятельная работа «Подобие треугольников» 9 класс (УМК Погорелов)

Вариант 1.

1. ABCD – параллелограмм. Укажите не менее трех пар подобных треугольников.

2. В трапеции АВСD основания равны 6 и 15. В каком отношении делятся точкой пересечения диагонали трапеции?

3. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.

Вариант 2.

1. ABCD – параллелограмм. Укажите не менее трех пар подобных треугольников.

2. В четырехугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. При этом АО=6, ВО=1, СО=2, DО=3. Верно ли, что данный четырехугольник – трапеция?

3. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Вариант 1.

1. ABCD – параллелограмм. Укажите не менее трех пар подобных треугольников.

2. В трапеции АВСD основания равны 6 и 15. В каком отношении делятся точкой пересечения диагонали трапеции?

3. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.

Вариант 2.

1. ABCD – параллелограмм. Укажите не менее трех пар подобных треугольников.

2. В четырехугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. При этом АО=6, ВО=1, СО=2, DО=3. Верно ли, что данный четырехугольник – трапеция?

3. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 18 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Тест по геометрии (9 класс) по теме: Тест подобие треугольников

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Первый признак подобия треугольников.

Материал к уроку геометрии 8 класс «Первый признак подобия треугольников»…

Урок по теме: «Первый признак подобия треугольников»

Данная презинтация содержит разработку конкретного урока (первого по плану) 2Признаки подобия треугольников». Содержит теорему с докозательством. Подборку задач…..

Зачет по геометрии «Подобие треугольников» и «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»

Материал содержит задания, которые можно использовать в качестве одной из форм проверки усвоения темы «Подобие треугольников» и «Соотношении между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Зада…

Интерактивный тест «Подобие треугольников»

Интерактивный тест с оцениванием в двух вариантах может использоваться на зачете по теме «Подобие треугольников» или в качестве проверочной работы….

Устный счет на уроках геометрии в 8 классе.Повторение темы «Равнобедренный треугольник», «Средняя линия треугольника», «Теорема Пифагора», «Подобие треугольников», «Ромб», «Площадь параллелограмма».

Устный счет на уроках геометрии в 8 классеПрезентация содержит практические устные задачи по геометрии, которые учитель может предложить на этапе устной работы на уроке. При решении данных задач повто…

Тест по теме: » Подобие треугольников».

Тест по теме: » Подобие треугольников»….

Тест по геометрии по теме «Подобие треугольников»(8 класс)

Тест по геометрии в 8 классе в двух вариантах…

«Подобие треугольников» и «Применение подобия»

Контрольная работа по теме: «Подобие треугольников».

1 вариант 1) Подобны ли треугольники МРК и АВС, если АВ = 5см, ВС = 7см, АС =4см и МР =15см, РК =21см, МК = 12см. 2) Точка М принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Через точку М проведена прямая МР параллельная стороне АС. Найдите отрезок МР, если АС = 16см, СВ = 8см, РВ = 5см. 3) Периметр треугольника равен 90см, а стороны подобного ему треугольника равны 4см, 5см, 6см. Найти стороны данного треугольника.

4) Сходственные стороны ВС = 12см и РК = 9см, подобных треугольников АВС и МРК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МРК равна 27 5) В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД. Стороны АВ = 3см, ВС = 5см. Найти сторону АС, если АД меньше ДС на 2см.

Контрольная работа по теме: «Подобие треугольников».

2 вариант 1) Подобны ли треугольники МРК и АВС, если МР =20см, РК =12см, МК = 16см и АВ = 5см, ВС = 2см, АС =4см. 2)Точка М принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Через точку М проведена прямая МР параллельная стороне АС. Найдите отрезок МР, если АС = 15см, АВ = 30см, МВ = 20см. 3) Периметр треугольника равен 90см, а стороны подобного ему треугольника равны 5см, 7см, 6см. Найти стороны данного треугольника.

4)Сходственные стороны ВС = 20см и РК = 12см, подобных треугольников АВС и МРК. Найти площадь треугольника МРК, если площадь треугольника АВС равна 225 5)В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД. Стороны АВ = 3см, ВС = 5см. Найти сторону АС, если ДС больше ДА на 4см.

Контрольная работа «Применение подобия. Соотношения в прямоугольном треугольнике»

1 вариант 1.В прямоугольном треугольнике АВС, _{С=90,проведена высота СД к гипотенузе АВ=16см. Найдите АС, если АД=9см. 2.Найдите значение выражения: а) ; б) 2}

3.Длина тени дерева равна 14,4м, а длина тени человека, рост которого 1,8м, равна 2,4м. Найти высоту дерева. 4. В прямоугольном треугольнике АВС, _{С=90, один из катетов 54см, а противолежащий угол .Найдите второй катет и гипотенузу этого треугольника.} 5.Периметр треугольника, образованного средними линиями треугольника, равен 56см. Найдите стороны данного треугольника, если они относятся как 1:2:4. 6.Найдите: cos tg если sin =

Контрольная работа «Применение подобия. Соотношения в прямоугольном треугольнике»

2 вариант 1.В прямоугольном треугольнике АВС, _{С=90,проведена высота СД к гипотенузе АВ=12см. Найдите ВС, если ВД=3см.}

_{2.Найдите значение выражения: а) ; б) 3 .} 3.Длина тени столба равна 9,9м, а длина тени человека, рост которого 1,6м, равна 2,2м. Найти высоту столба. 4.В прямоугольном треугольнике АВС, _{С=90, один из катетов 42см, а противолежащий угол .Найдите второй катет и гипотенузу этого треугольника.} 5.Периметр треугольника, образованного средними линиями треугольника, равен 112см. Найдите стороны данного треугольника, если они относятся как 5:6:3. 6.Найдите: sin tg если cos = .

Контрольная работа по теме «признаки подобия треугольников»

Контрольная работа по теме «Признаки подобия треугольников» 1 вариант

1. Нарисуйте схематично подобные треугольники АВС и МЕР так, что  А =  Р,  С =  Е,

 М =  В и АС = 7, ВС = 5, МЕ = 10, РМ = 22, АВ = 11, РЕ = 14. Отметьте на рисунке равные углы и сходственные стороны. Запишите отношение сходственных сторон. Найдите коэффициент подобия.

2. Приведите свой пример подобных треугольников.

3. Стороны треугольника равны 6м, 9 м и 14 м. Большая сторона подобного ему треугольника равна 70 м. Чему равна меньшая сторона этого треугольника?

4. Два угла одного треугольника равны 25⁰ и 79⁰, а два угла второго треугольника равны 76⁰ и 79⁰. Подобны ли эти треугольники?

5. Диагонали трапеции АВСД с основаниями АВ и СД пересекаются в точке О. Найдите АВ, если ОВ=4 см, ОД=10 см, ДС=25 см.

Контрольная работа по теме «Признаки подобия треугольников» 2 вариант

1. Нарисуйте схематично подобные треугольники СМЕ и АКР так, что  А =  М,  С =  К,

 Е =  Р и МС = 30, ЕС = 12, МЕ = 21, РК = 4, АК = 10, АР = 7. Отметьте на рисунке равные углы и сходственные стороны. Запишите отношение сходственных сторон. Найдите коэффициент подобия.

2. Приведите свой пример подобных треугольников.

3. Стороны треугольника равны 20м, 24 м и 36 м. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 5 м. Чему равна большая сторона этого треугольника?

4. Два угла одного треугольника равны 28⁰ и 34⁰, а два угла второго треугольника равны 118⁰ и 34⁰. Подобны ли эти треугольники?

5. Диагонали трапеции АВСД с основаниями АD и СВ пересекаются в точке О. Найдите основание СВ, если ОВ=3 см, ОD=6 см, AD =8 см.

Контрольная работа по теме «Признаки подобия треугольников» 1 вариант

1. Нарисуйте схематично подобные треугольники АВС и МЕР так, что  А =  Р,  С =  Е,

 М =  В и АС = 7, ВС = 5, МЕ = 10, РМ = 22, АВ = 11, РЕ = 14. Отметьте на рисунке равные углы и сходственные стороны. Запишите отношение сходственных сторон. Найдите коэффициент подобия.

2. Приведите свой пример подобных треугольников.

3. Стороны треугольника равны 6м, 9 м и 14 м. Большая сторона подобного ему треугольника равна 70 м. Чему равна меньшая сторона этого треугольника?

4. Два угла одного треугольника равны 25⁰ и 79⁰, а два угла второго треугольника равны 76⁰ и 79⁰. Подобны ли эти треугольники?

5. Диагонали трапеции АВСД с основаниями АВ и СД пересекаются в точке О. Найдите АВ, если ОВ=4 см, ОД=10 см, ДС=25 см.

Контрольная работа по теме «Признаки подобия треугольников» 2 вариант

1. Нарисуйте схематично подобные треугольники СМЕ и АКР так, что  А =  М,  С =  К,

 Е =  Р и МС = 30, ЕС = 12, МЕ = 21, РК = 4, АК = 10, АР = 7. Отметьте на рисунке равные углы и сходственные стороны. Запишите отношение сходственных сторон. Найдите коэффициент подобия.

2. Приведите свой пример подобных треугольников.

3. Стороны треугольника равны 20м, 24 м и 36 м. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 5 м. Чему равна большая сторона этого треугольника?

4. Два угла одного треугольника равны 28⁰ и 34⁰, а два угла второго треугольника равны 118⁰ и 34⁰. Подобны ли эти треугольники?

5. Диагонали трапеции АВСД с основаниями АD и СВ пересекаются в точке О. Найдите основание СВ, если ОВ=3 см, ОD=6 см, AD =8 см.

Контрольная работа на тему «Подобие треугольников»

Контрольная работа на тему «Признаки подобия треугольников» I вариант Определение подобных треугольников ABC A1B1C1, AB : BC : AC = 6 : 4 : 3, P A1B1C1 = 91. Найти: х, у, z.	Отношение площадей подобных треугольников SABD = 12 см2. Найти: SAСD.
Признаки подобия треугольников. Найти BD.	Применение признаков подобия треугольников. Найти B1C1, C1.

Контрольная работа на тему «Признаки подобия треугольников» II вариант

Определение подобных треугольников

MNKM₁N₁K₁,

N₁K₁ : NK = 2 : 1.

Найти: х, у, z.

2. Отношение площадей подобных треугольников

S_BMN = 4 cм².

Найти: S_ABC.

3. Признаки подобия треугольников:

DE AC. Найти AB, BC.

4. Применение признаков подобия треугольников.

Найти AB, NC.

Контрольная работа на тему «Признаки подобия треугольников» III вариант

Определение подобных треугольников:

ABCA₁B₁C₁, P_ABD = 36.

Найти: х, у, z.

2. Отношение площадей подобных треугольников:

BK : KD = 1 : 3,

CO : OD = 2 : 3,

S_AOC = 4 см² .

Найти: S_{BOK .}

3. Признаки подобия треугольников:

а) Найти BC, MN.

4. Применение признаков подобия треугольников.

Найти: BC, А₁В₁.

Контрольная работа на тему «Признаки подобия треугольников» IV вариант

Определение подобных треугольников:

QMRQ₁M₁R₁,

PM₁Q₁R₁ = 110. Найти: х, у, z.

2. Отношение площадей подобных треугольников:

S_ABD : S_MNK = 3 : 7,

Найти: MN _.

3. Признаки подобия треугольников:

Найти CO, OB.

4. Решение задач на применение признаков подобия треугольников

PK MN. Найти x, y, KN.

Контрольная работа по геометрии «Подобие треугольников»

Контрольная работа №3  8 класс

Подобие треугольников

1 вариант

1.Найти на рисунке 1 подобные треугольники и доказать их подобие.

2.В треугольнике АВС проведена прямая МК параллельная стороне АС. Точки М и К принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно; АВ=24 см, АМ= 9 см, ВС=16 см. Найти ВК.

3.В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН из прямого угла. Катет ВС=10 см, а его проекция на гипотенузу – 8 см. Найти высоту треугольника АВС и его площадь.

4.В трапеции АВСД (АД и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, АД=12 см, ВС=4см. Найти площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника АОД равна

45 см².

5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием  АС равным10 см проведена средняя линия ТК равная 4 см , параллельно боковой стороне треугольника. Найти периметр треугольника АТК.

2 вариант

1.Найти на рисунке 2 подобные треугольники и доказать их подобие.

2.В трапеции АВСД (АД и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О.

АО=15 см, АС=27 см, ВС=8 см. Найти АД.

3.В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН из прямого угла. Проекции катетов на гипотенузу равны 5 см и 4 см соответственно. Найти высоту треугольника АВС и его площадь.

4. В трапеции АВСД (АД и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, площадь треугольника АОД равна 32 см², площадь треугольника ВОС равна 8 см². Найти меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

5.В равнобедренном треугольнике АВС с боковой стороной 10 см проведена средняя линия ТК равная 6 см, параллельно основанию. Найти периметр треугольника ВТК.

                           рис .1                                                                     рис.2

                                       

SAS Triangle подобие — Math Open Reference

SAS Triangle подобие — Math Open Reference

Определение: Треугольники подобны, если две стороны в одном треугольнике находятся в той же пропорции, что и соответствующие стороны в другом, и включенный угол равны.

Это (SAS) — один из трех способов проверить, что два треугольника похожи. Список см. Подобные треугольники.

Попробуй Перетащите любую оранжевую точку на P, Q, R.Треугольник LMN изменится и останется аналогичным левому треугольнику PQR.

Если две стороны в одном треугольнике находятся в одинаковой пропорции с соответствующими сторонами в другом, и включенный угол между ними то же самое то треугольники похожи.

Например, в треугольнике выше сторона PQ ровно в два раза больше. пока соответствующая сторона LM в другом треугольнике, а PR вдвое меньше LN. Итак, эти две стороны находятся в одинаковой пропорции, в данном случае 2: ​​1 (два к одному).Так же включенные угловые углы (P и L) равны меры, и поэтому треугольники похожи.

Обратите внимание, что две стороны и угол нарисованы пурпурным цветом, чтобы показать, что они используются для проверки сходства.

Что это значит?

Поскольку две соответствующие пары сторон находятся в одинаковой пропорции, и включенный угол углы равны, мы можем быть уверены, что треугольники похожи.

Потому что треугольники похожи:

1. Три угла при P, Q и R равны к углам L, M и N соответственно.
2. Соответствующие стороны в каждом треугольнике будут в одинаковой пропорции.

Но не забывайте

Подобные треугольники можно вращать и / или зеркально отображать друг друга (отражать). (См. Похожие треугольники.) На рисунке выше два треугольника по-прежнему похожи, хотя один является зеркальным отражением другого и повернут.

Другие похожие темы

Подобные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.

похожих треугольников — математический открытый справочник

подобных треугольников — математический открытый справочник

Определение: треугольники похожи, если имеют одинаковую форму, но могут быть разных размеров.
(Они все еще похожи, даже если один повернут, или один является зеркальным отображением другого).

Попробуй Перетащите любую оранжевую точку в вершину любого треугольника. Оба треугольника изменят форму и останутся похожими друг на друга.

Треугольники похожи, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинакового размера. Вы можете думать об этом как о «увеличении» или «уменьшении», увеличивая или уменьшая треугольник, но сохраняя его основную форму. На рисунке выше, когда вы перетаскиваете любую вершину треугольника PQR, другой треугольник принимает ту же форму, но вдвое меньше. В формальных обозначениях мы можем написать

который читается как « Triangle PQR подобен треугольнику P’Q’R ‘». Буква с небольшой вертикальной чертой после нее, например P ‘, читается как « P prime ».

Свойства подобных треугольников

1. Соответствующие углы совпадают (одинаковая величина)

   Итак, на рисунке выше, угол P = P ‘, Q = Q’ и R = R ‘.

2. Все соответствующие стороны имеют одинаковую пропорцию.

   Выше PQ вдвое превышает длину P’Q ‘. Следовательно, остальные пары сторон также находятся в той же пропорции. PR вдвое больше P’R ‘, а RQ вдвое больше R’Q’. Формально в двух одинаковых треугольниках PQR и P’Q’R ‘:

Вращение

Один треугольник можно вращать, но пока они одинаковой формы, треугольники остаются похожими. На рисунке ниже треугольник PQR похож на P’Q’R ‘, хотя последний повернут. по часовой стрелке 90 °.

В этом конкретном примере треугольники одинакового размера, поэтому они также конгруэнтный.

Отражение

Один треугольник может быть зеркальным отражением другого, но до тех пор, пока они имеют одинаковую форму, треугольники остаются похожими. Он может отражаться в любом направлении: вверх, вниз, влево, вправо. На рисунке ниже треугольник PQR является зеркальным отображением P’Q’R ‘, но по-прежнему считается похожим на него.

Как определить, похожи ли треугольники

Любой треугольник определяется шестью мерками (три стороны, три угла).Но вам не нужно знать их все, чтобы показать, что два треугольника похожи. Подойдут разные группы по три человека. Треугольники подобны, если:

1. AAA (угол угла)
   Все три пары соответствующих углов одинаковы.
   См. Похожие треугольники AAA.
2. SSS в одинаковой пропорции (боковая сторона)
   Все три пары соответствующих сторон имеют одинаковую пропорцию
   См. Подобные треугольники SSS.
3. SAS (сторона бокового угла)
   Две пары сторон в одинаковой пропорции и равный внутренний угол.
   См. Похожие треугольники SAS.

Подобные треугольники могут иметь общие части

Два треугольника могут быть похожими, даже если у них есть общие элементы. На рисунке ниже больший треугольник PQR аналогичен меньшему STR. S и T — середины PR и QR соответственно. Они разделяют вершину R и часть сторон PR и QR. Они похожи по принципу ААА, поскольку соответствующие углы в каждом треугольнике одинаковы.

Другие похожие темы

Подобные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.

Треугольников (сходство и соответствие) Рабочие листы

В чем разница между подобием и конгруэнтностью треугольников? В математике формы, углы и пропорции помогают объяснить разницу между сходством и соответствием. Конгруэнтные фигуры совпадают друг с другом и показывают одинаковые размеры при наложении. Две конгруэнтные формы имеют одинаковый размер и форму, но их ориентация может различаться. Сходство означает быть похожим друг на друга, но не быть идентичным.По форме похожие объекты могут быть одинаковыми, но иметь разные размеры. СОГЛАСОВАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ — Конгруэнтные треугольники идентичны по форме и размеру. Углы и стороны одного треугольника будут идентичны соответствующим углам и сторонам другого треугольника. Это означает, что если один треугольник накладывается на другой, они идеально совпадают друг с другом. СВОЙСТВА СООТВЕТСТВУЮЩИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ — Соответствие SSS: SSS означает «сторона, сторона, сторона».Два треугольника конгруэнтны, если все три стороны одного треугольника равны соответствующим трем сторонам другого треугольника. Соответствие SAS: SAS означает «сторона, угол, сторона». Два треугольника являются конгруэнтными по Сэди, если две стороны и включенный угол одного треугольника совпадают с соответствующими двумя сторонами и включенным углом. Соответствие ASA: ASA означает «угол, сторона, угол». Два треугольника называются конгруэнтными, если два угла и любая сторона одного треугольника совпадают с соответствующими двумя сторонами и любым углом другого треугольника. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ — Два треугольника подобны, если все их углы равны и соответствующие стороны имеют одинаковое отношение. Есть три способа доказать подобие треугольников: AA, SAS, SSS. СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ — AA Сходство: AA означает «угол, угол». Это означает, что если два треугольника называются подобными, то два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Сходство SAS: SAS означает «сторона, угол, сторона».Это означает, что два треугольника считаются подобными, если: — соотношение сторон равно отношению двух других сторон, т.е. две пары сторон находятся в равном соотношении. — Включенные углы равны. Сходство SSS: SSS означает «сторона, сторона, сторона». Два треугольника подобны, если все три пары сторон у них одинаковы. Этот набор рабочих листов и уроков показывает учащимся, как определять и использовать похожие и / или совпадающие треугольники.

.

Как определить, похожи ли треугольники

Два треугольника похожи, если имеют:

• все их углы равны
• соответствующих сторон в одинаковом соотношении

Но нам не нужно знать все три стороны и все три угла … обычно достаточно двух или трех из шести .

Есть три способа определить, похожи ли два треугольника: AA , SAS и SSS :

AA

AA означает «угол, угол» и означает, что два угла треугольников равны.

Если два треугольника имеют два равных угла, треугольники подобны.

Пример: эти два треугольника похожи:

Если два их угла равны, то третий угол также должен быть равен, потому что углы треугольника всегда складываются, чтобы получить 180 °.

В данном случае недостающий угол составляет 180 ° — (72 ° + 35 °) = 73 °

Таким образом, AA можно также назвать AAA (потому что, когда два угла равны, все три угла должны быть равны).

SAS

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где:

• соотношение между двумя сторонами такое же, как соотношение между двумя другими сторонами
• , и мы также знаем, что включенные углы равны.

Если два треугольника имеют две пары сторон с одинаковым соотношением сторон, и включенные углы также равны, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере мы видим, что:

• одна пара сторон находится в соотношении 21: 14 = 3: 2
• другая пара сторон находится в соотношении 15: 10 = 3: 2
• между ними угол совпадения 75 °

Итак, информации достаточно, чтобы сказать нам, что два треугольника похожи на .

Использование тригонометрии

Мы также можем использовать тригонометрию для вычисления двух других сторон, используя закон косинусов:

Продолжение примера

В треугольнике ABC:

• a ² = b ² + c ² — 2bc cos A
• a ² = 21 ² + 15 ² — 2 × 21 × 15 × Cos75 °
• а ² = 441 + 225 — 630 × 0,2588 …
• а ² = 666 — 163,055…
• а ² = 502,944 …
• Итак, a = √502.94 = 22.426 …

В треугольнике XYZ:

• x ² = y ² + z ² — 2yz cos X
• x ² = 14 ² + 10 ² — 2 × 14 × 10 × Cos75 °
• x ² = 196 + 100 — 280 × 0,2588 …
• x ² = 296 — 72,469 …
• x ² = 223,530 …
• Итак, x = √223.530 … = 14,950 …

Теперь давайте проверим соотношение этих двух сторон:

a: x = 22,426 …: 14,950 … = 3: 2

то же соотношение, что и раньше!

Примечание: мы также можем использовать закон синусов, чтобы показать, что два других угла равны.

SSS

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника со всеми тремя парами соответствующих сторон в одинаковом соотношении.

Если два треугольника имеют три пары сторон с одинаковым соотношением, то треугольники подобны.

Пример:

В этом примере соотношение сторон:

• a: x = 6: 7,5 = 12: 15 = 4: 5
• б: у = 8: 10 = 4: 5
• с: z = 4: 5

Все эти отношения равны, поэтому два треугольника похожи.

Использование тригонометрии

Используя тригонометрию, мы можем показать, что два треугольника имеют равные углы, используя закон косинусов в каждом треугольнике:

В треугольнике ABC:

• cos A = (b ² + c ² — a ² ) / 2bc
• cos A = (8 ² + 4 ² — 6 ² ) / (2 × 8 × 4)
• cos A = (64 + 16 — 36) / 64
• cos A = 44/64
• cos A = 0.6875
• Угол A = 46,6 °

В треугольнике XYZ:

• cos X = (y ² + z ² — x ² ) / 2yz
• cos X = (10 ² + 5 ² — 7,5 ² ) / (2 × 10 × 5)
• cos X = (100 + 25 — 56,25) / 100
• cos X = 68,75 / 100
• cos X = 0,6875
• Угол X = 46,6 °

Значит, углы A и X равны!

Аналогичным образом мы можем показать, что углы B и Y равны, а углы C и Z равны.

.