Метод математической индукции 10 класс контрольные: Тест по теме «Метод математической индукции»

Метод математической индукции

Вступление

Основная часть

1. Полная и неполная индукция
2. Принцип математической индукции
3. Метод математической индукции
4. Решение примеров
5. Равенства
6. Деление чисел
7. Неравенства

Заключение

Список использованной литературы

1. Базовый шаг: Докажите, что первое утверждение \ (S (1) \) верно.
2. Индуктивный шаг: для любого целого числа \ (k \ geq 1 \) предположим, что \ (S (k) \) истинно.2 \) для всех \ (n \ in \ mathbb {N} \).

   Задача5.9

   Предположим, что каждая машина имеет только один цвет, и мы хотим доказать, что каждая коллекция из \ (n \) машин имеет одинаковый цвет для всех натуральных чисел \ (n \). Что вы думаете о следующем доказательстве с использованием математической индукции?

   Продолжаем индукцией по \ (n \).

   1. Базовый шаг: Если \ (n = 1 \), то в коллекции есть только одна машина, и все машины в этой коллекции явно одного цвета.
   2. Индуктивный шаг: Для любого целого числа \ (k \ geq 1 \) предположим, что любой набор \ (k \) автомобилей имеет один и тот же цвет.Мы хотим доказать, что любой набор из \ (k + 1 \) машин имеет одинаковый цвет. Давайте выберем набор из \ (k + 1 \) автомобилей \ begin {equal *} C = \ {c_1, c_2, \ dots, c_ {k + 1} \} \ end {equal *}, где каждый \ (c_i \) обозначает одну машину в коллекции для всех \ (1 \ leq i \ leq k + 1 \). Обозначим \ begin {уравнение *} C_1 = \ {c_1, c_2, \ dots, c_k \} \ end {уравнение *} как подколлекцию \ (C \). Поскольку \ (C_1 \) имеет \ (k \) автомобилей, мы знаем, что все автомобили в \ (C_1 \) имеют одинаковый цвет по индуктивной гипотезе. Обозначим \ begin {уравнение *} C_2 = \ {c_2, c_3, \ dots, c_ {k + 1} \} \ end {уравнение *} как другую подгруппу \ (C \). Поскольку \ (C_2 \) имеет \ (k \) автомобилей, мы знаем, что все автомобили в \ (C_2 \) имеют один и тот же цвет по предположению индукции. Автомобиль \ (c_1 \) имеет тот же цвет, что и автомобили в центре, которые, в свою очередь, того же цвета, что и последний автомобиль \ (c_ {k + 1} \). Следовательно, первая, средняя и последняя машины имеют одинаковый цвет.
   3. По математической индукции следует, что каждый набор \ (n \) автомобилей имеет один и тот же цвет для всех натуральных чисел \ (n = 1 \).

   Задача5.10

   Докажите, что каждое положительное целое число либо нечетное, либо четное.

   Задача5.11

   Докажите свою гипотезу в задаче 4.30.

   Примеры математической индукции

   О «Математических примерах индукции»

   Примеры математической индукции:
   

   Здесь мы увидим некоторые задачи математической индукции с решениями.

   Определите математическую индукцию:

   Математическая индукция — это метод или метод доказательства математических результатов или теорем

   Процесс индукции включает следующие шаги.

   Математические примеры индукции
   

   Вопрос 1:

   Докажите, используя принцип математической индукции, что для n ≥ 1

   1 ² + 3 ² + 5 ² + · · · + (2n — 1) ² = n (2n — 1) (2n + 1) / 3

   Решение:

   Пусть p (n) = 1 ² + 3 ² + 5 ² + · · · + (2n — 1) ² = n (2n — 1) (2n + 1) / 3

   Шаг 1:

   положить n = 1

   p (1) = 1 ² + 3 ² + 5 ² + · · · + (2 (1) — 1) ² = 1 (2 (1) — 1) (2 (1) +1) / 3

   1 = 1

   Следовательно, p ( 1) верно.

   Шаг 2:

   Предположим, что утверждение верно для n = k

   p (k) = 1 ² +3 ² +5 ² + · · · + (2k — 1) ² = k (2k — 1) (2k + 1) / 3 — (1)

   Нам нужно показать, что P (k + 1) истинно. Рассмотрим,
   

   Шаг 3:

   Предположим, что утверждение верно для n = k + 1

   p (k + 1)

   1 ² + 3 ² · · · + ( 2 (k + 1) — 1) ² = [(k + 1) (2 (k + 1) — 1) (2 (k + 1) +1)] / 3

   1 ² + 3 ² · · · + (2k + 1) ² = [(k + 1) (2k + 1) (2k + 3)] / 3

   1 ² + 3 ² · · · + (2k-1) ² + (2k + 1) ² = [(k + 1) (2k + 1) (2k + 3)] / 3

   Применяя (1) на этом этапе, мы получаем

   Следовательно, по принципу математической индукции n ≥ 1

   1 ² + 3 ² + 5 ² + · · · + (2n — 1) ² = n (2n — 1) ( 2n + 1) / 3

   Вопрос 2:

   Докажите, что сумма первых n ненулевых четных чисел равна n ² + n.

   Решение:

   Пусть p (n) будет выражением «n ² + n» четно.

   Шаг 1:

   p (n) = n ² + n

   положим n = 1

   p (1) = 1 ² + 1 = 2, что равно

   Следовательно, p ( 1) верно.

   Ste 2:

   Пусть p (m) истинно. Тогда

   p (m) истинно ==> m ² + m четно ==> m ² + m ==> 2λ для некоторого λ ∊ N

   Теперь мы покажем, что p (m + 1) верно.Для этого мы должны показать, что (m + 1) ² + (m + 1) — четное натуральное число.

   Сейчас,

   (m + 1) ² + (m + 1) = m ² + 2 m + 1 + m + 1

   = m ² + 2 m + m + 2
   

   = m ² + m + 2m + 2

   = m ² + m + 2 (m + 1)

   = 2λ + 2 (m + 1)

   = 2 (λ + m + 1)

   Следовательно, p (m + 1) верно.

   Следовательно, сумма первых n ненулевых четных чисел равна n ² + n.

   Мы надеемся, что после того, как студенты усвоили материал, приведенный выше, «Примеры математической индукции».

   Помимо вышеперечисленного, если вы хотите узнать больше о «Математических примерах индукции». Помимо того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

   Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

   v4formath @ gmail.com

   Мы всегда ценим ваши отзывы.

   Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

   ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

   Задачи со словами HCF и LCM
   

   Задачи со словами на простых уравнениях

   Задачи со словами на линейных уравнениях

   Задачи со словами на квадратных уравнениях

   003

   Проблемы со словами в поездах

   Проблемы со словами по площади и периметру

   Проблемы со словами по прямому и обратному изменению

   Проблемы со словами по цене за единицу

   Проблемы со словами по количеству единиц

   задачи по сравнению ставок

   Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

   Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

   Word задачи по простому проценту

   Word по сложным процентам

   Word по типам ngles

   Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

   Проблемы со словами с двойными фактами

   Проблемы со словами тригонометрии

   Проблемы со словами в процентах

   Проблемы со словами для разметки 9102 Задачи со словами

   Задачи с десятичными словами

   Задачи со словами на дроби

   Задачи со словами на смешанные фракции

   Одношаговые задачи со словами с уравнениями

   Проблемы со словами о линейных неравенствах и пропорциях 9

   Задачи

   Проблемы со временем и рабочими словами

   Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

   Проблемы со словами на возрастах

   Проблемы со словами из теоремы Пифагора

   Процент числового слова проблемы

   Проблемы со словами при постоянной скорости

   Проблемы со словами при средней скорости

   Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

   ДРУГИЕ ТЕМЫ

   Сокращения прибыли и убытков

   Сокращение в процентах

   Сокращение в таблице времен

   Сокращение времени, скорости и расстояния

   Сокращение соотношения и пропорции

   000 Домен и диапазон 9103 рациональных функций Область и диапазон 9103 рациональных функций функции с отверстиями

   Графики рациональных функций

   Графики рациональных функций с отверстиями
   

   Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

   Десятичное представление рациональных чисел

   видение

   Л. Метод CM для решения задач времени и работы

   Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

   Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

   Остаток при делении степени 17 на 16 на 16

   Сумма всех трехзначных чисел, делящихся на 6

   Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

   Сумма всех трехзначных чисел, делящихся на 8

   Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4
   

   Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

   Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3
   

   Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

   8.7 Математическая индукция — Скачать PDF

   1 8. 7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ Цель математической индукции. Доказать утверждение с помощью математической индукции. Многие математические факты устанавливаются, сначала наблюдая за образцом, затем делая предположение об общей природе образца и, наконец, доказывая гипотезу.Чтобы доказать гипотезу, мы используем существующие факты, комбинируем их таким образом, чтобы они имели отношение к гипотезе, и действуем логически, пока истинность гипотезы не будет установлена. Например, давайте сделаем предположение о сумме первых n четных чисел. Сначала мы ищем шаблон: = + 4 = = = = 30. Из приведенных выше уравнений мы можем построить следующую таблицу:

   2 8-136 ГЛАВА 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ АЛГЕБРЫ Сумма первых nn четных чисел Числа в столбце суммы таблицы можно разложить на множители следующим образом: = 1, 6 = 3, 1 = 3 4, 0 = 4 5 и 30 = 5 6.Принимая во внимание значения n, которым соответствуют факторизации, мы делаем нашу гипотезу: сумма первых n четных чисел равна n (n + 1). По нашим расчетам, это верно для n вплоть до 5. Но верно ли это для всех n? Чтобы установить образец для всех значений n, мы должны доказать гипотезу. Простая подстановка различных значений n невозможна, так как вам придется проверять утверждение для бесконечного числа n. Необходим более практичный метод доказательства. Затем мы представим метод, называемый математической индукцией, который обычно используется для доказательства подобных утверждений.Откройте для себя и узнайте Какую закономерность вы наблюдаете для суммы первых n нечетных целых чисел? Математическая индукция Перед тем, как дать формальное определение математической индукции, мы рассмотрим сумму первых n четных чисел и введем некоторые новые обозначения, которые нам понадобятся для работы с этим типом доказательства.

   3 8.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ Во-первых, гипотеза получила имя: P n. Нижний индекс n означает, что гипотеза зависит от n.Формулируя нашу гипотезу, мы имеем P n: сумма первых n четных целых чисел равна n (n + 1). Для некоторых конкретных значений n гипотеза читается следующим образом: P 8: сумма первых 8 четных целых чисел равна 8 9 = 7 P 1: сумма первых 1 четных целых чисел равна 1 13 = 156 P k: сумма первых k четных целых чисел равна k (k + 1) P k + 1: сумма первых k + 1 четное целое число равно (k + 1) (k +) Далее мы сформулируем принцип математической индукции, который понадобится для завершения доказательства нашей гипотезы. Принцип математической индукции. Пусть n — натуральное число и пусть P n — утверждение, которое зависит от n.Если 1. P 1 верно, и. для всех натуральных чисел k можно показать, что P k + 1 истинно, если предполагается, что P k истинно, тогда P n истинно для всех натуральных чисел n. Основная схема доказательства по индукции состоит из двух ключевых частей: 1. Доказательство базового случая: доказательство истинности P 1. Использование гипотезы индукции (предположение, что P k истинно) для общего значения k, чтобы показать, что P k + 1 истинно

   4 8-138 ГЛАВА 8. ДРУГИЕ ТЕМЫ АЛГЕБРЫ Взятые вместе, эти две части (доказательство базового случая и использования предположения индукции) докажите, что P n выполняется для любого натурального числа n.При доказательстве утверждений по индукции нам часто приходится брать выражение в переменной k и заменять k на k + 1. Следующий пример иллюстрирует этот процесс. Пример 1 Замена k на k + 1 в алгебраическом выражении Замените k на k + 1 в следующем. a) 3 k 1 b) k (k + 1) (k + 1) 6 Решение a) Заменяя k на k + 1, получаем 3 k + 1 1 b) Заменяя k на k + 1 и упрощая, (k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 1) 6 (k + 1) (k +) (k + 3) = 6

   5 8,7.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ Проверьте это 1 Замените k на k + 1 в k (k +). Теперь вернемся к гипотезе, высказанной в начале этого раздела, и докажем ее по индукции. Пример. Доказательство формулы по индукции. Докажите по индукции следующую формулу: n = n (n + 1). Решение Это как раз то утверждение, о котором мы предполагали ранее, но в форме уравнения. Напомним, что мы обозначили это утверждение как P n, поэтому мы также обозначим предложенное уравнение через P n. Сначала докажем, что P n истинно для n = 1 (базовый случай).Мы делаем это, заменяя каждый n в P n на 1, а затем демонстрируя, что результат верен. P 1: (1) = 1 (1 + 1) Поскольку (1) = 1 (1 + 1), мы видим, что P 1 истинно. Затем мы заявляем P k (заменяем каждый n в P n на a k) и предполагаем, что P k истинно. P k: k = k (k + 1) Наконец, мы формулируем P k + 1 и используем предположение индукции (предположение, что P k истинно), чтобы доказать, что P k + 1 также выполняется. P k + 1: k + (k + 1) = (k + 1) (k +)

   6 8-140 ГЛАВА 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ АЛГЕБРЫ Чтобы доказать, что P k + 1 выполняется, мы начнем с выражения в левой части P k + 1, и покажем, что оно равно выражению в правой части k + (k + 1) Левая часть P k + 1 = k (k + 1) + (k + 1) Индукционная гипотеза = k + k + k + Expand = k + 3k + Объединить подобные термины = (k + 1) (k +) Фактор Мы видим, что результат, (k + 1) (k +) , — выражение в правой части P k + 1.Таким образом, по математической индукции P n истинно для всех натуральных чисел n. Проверьте это Докажите следующую формулу с помощью математической индукции: (n 1) = n. Пример 3 Доказательство формулы суммирования по индукции. Докажите по индукции следующую формулу: n = n (n + 1).

   7 8.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ Решение Сначала обозначим предложенное уравнение через P n и докажем, что оно выполняется для n = 1 (базовый случай). Заменяя каждое n на 1, мы получаем P 1: 1 = 1 (1 + 1). Ясно, что это так, поэтому P 1 выполняется. Затем укажите P k и предположите, что P k истинно. P k: k = k (k + 1). Наконец, сформулируйте P k + 1 и используйте предположение индукции (предположение, что P k истинно), чтобы доказать, что P k + 1 также выполняется. P k + 1: k + (k + 1) = (k + 1) (k +) k + k + 1 Левая часть P k + 1 k (k + 1) = + k + 1 Предположение индукции k (k + 1) + (k + 1) = Использовать общий знаменатель = k + k + k + Expand = k + 3k + Объединить подобные термины (k + 1) (k +) = Factor (k + 1) (k + ) Мы видим, что результатом ,, является выражение в правой части P k + 1.Таким образом, по математической индукции P n истинно для всех натуральных чисел n.

   8 8-14 ГЛАВА 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ АЛГЕБРЫ Проверьте это 3 Докажите по индукции: (3n 1) = 1 n (3n + 1). Пример 4 Доказательство формулы для частных сумм по индукции. Докажите по индукции: n 1 = n 1. Решение Сначала обозначим предложенное уравнение через P n и докажем, что оно верно для n = 1 (базовый случай), заменив все n с 1. P 1: 1 = 1 1. Легко видеть, что P 1 истинно. Затем укажите P k и предположите, что P k истинно.P k: k 1 = k 1 Наконец, сформулируйте P k + 1 и используйте предположение индукции (предположение, что P k истинно), чтобы показать, что P k + 1 также выполняется. P k + 1: k 1 + k = k k 1 + k Левая часть P k + 1 = k 1 + k Индукционная гипотеза = (k) 1 Объедините подобные термины = k + 1 1 Упростите

   9 8.7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ Мы видим, что результат k + 1 1 — это выражение в правой части P k + 1. Таким образом, по математической индукции P n истинно для всех натуральных чисел n.Проверьте это 4 Докажите по индукции: n 1 = 4n 1 3 Вы можете задаться вопросом, как вообще можно получить формулы, которые нужно доказывать по индукции. Многие из них приходят сначала путем изучения закономерностей, а затем придумывают общую формулу с использованием различных математических фактов. Полное обсуждение того, как получить эти формулы, выходит за рамки этой книги. 8.7 Ключевые моменты Принцип математической индукции сформулирован следующим образом: пусть n — натуральное число, а P n — утверждение, которое зависит от n.Если 1. P 1 верно, и. для всех натуральных чисел k можно показать, что P k + 1 истинно, если предполагается, что P k истинно, тогда P n истинно для всех натуральных чисел n.

   10 8-144 ГЛАВА 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ АЛГЕБРЫ 8.7 Упражнения Раздел НАВЫКИ. Этот комплекс упражнений укрепит навыки, проиллюстрированные в этом Замените k на k + 1 в каждом из следующих выражений. 1. к (к + 1) (к +). 3 kkkk В упражнениях 5 18 докажите утверждения по индукции (n + 1) = n (n +) (4n) = n (3n) = n (3n 1) (6 n) = 1 n (11 n) (9 n) знак равно n + 8n n = n 3 = n (n + 1) 1.п (п + 1) (п + 1) п (п + 1) = п (п + 1) = 4 п п + 1 п (п + 1) (п +). 3

   11 8.7 Упражнения n 1 = 3n n 1 = 5n r + r + + r n 1 = rn 1, r натуральное число, r 1. r n 1 делится на. 18. n + n четно. КОНЦЕПЦИИ Этот комплекс упражнений будет основан на идеях, представленных в этом разделе, и на вашем общем математическом опыте. Индукция — не единственный метод доказательства истинности утверждения. Следующие ниже задачи предлагают альтернативные методы доказательства утверждений. 19.Разложив n + n, n на натуральное число, покажите, что n + n делится на. 0. Разложив a 3 b 3, a, b натуральные числа на множители, покажите, что a 3 b 3 делится на a b. n (3n 1) 1. Докажите, что (3n) = для суммы членов арифметической последовательности. по формуле. Докажите, что n 1 = 4n 1 3 сумма членов геометрической последовательности. используя формулу для

   Принцип слабой математической индукции

   Теперь мы рассмотрим очень важный метод доказательства, известный как слабая математическая индукция .

   Принцип слабой математической индукции: Пусть $ n_0 \ in \ mathbb {N} $ и пусть $ P (n) $ будет утверждением, относящимся ко всем натуральным числам $ n ≥ n_0 $. Если утверждение $ P (n_0) $ истинно и истинность $ P (k) $ влечет истинность $ P (k + 1) $, то $ P (n) $ истинно для всех $ n ≥ n_0 $ .

   Чтобы провести доказательство моей слабой математической индукции, мы сначала формально начнем доказательство с небольшого введения, излагающего наше утверждение $ P (n) $. Затем мы продолжим, чтобы показать, что $ P (n_0) $ истинно ($ n_0 $ — наша отправная точка.Обычно мы начинаем с $ n_0 = 1 $). Впоследствии мы предположим, что $ P (k) $ истинно для любого натурального числа $ k ≥ n_0 $, а затем покажем, что из этого следует истинность $ P (k + 1) $, используя предполагаемую истинность $ P (k ) $.

   Теперь мы рассмотрим несколько примеров слабой математической индукции.

   Пример 1

   С помощью слабой математической индукции покажите, что $ 1 + 2 + … + n = \ frac {n (n + 1)} {2} $ для любого натурального числа $ n ≥ 1 $.

   Пусть $ n ≥ 1 $. Мы хотим показать, что утверждение $ P (n): 1 + 2 +… + n = \ frac {n (n + 1)} {2} $ верно. Сначала мы покажем, что $ P (1) $ истинно.

   Когда $ n = 1 $, обратите внимание, что левая часть нашего уравнения равна $ 1 $. Кроме того, правая часть нашего уравнения равна $ \ frac {1 (2)} {2} = 1 $ и, следовательно, $ P (1) $ истинно.

   Теперь предположим, что для некоторого $ k ≥ 1 $ верно $ P (k): 1 + 2 + … + k = \ frac {k (k + 1)} {2} $. Мы хотим показать, что истинность $ P (k) $ влечет истинность $ P (k + 1): 1 + 2 + … + k + (k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} $. Мы начинаем с левой части этого утверждения и используем истинность $ P (k) $, также известную как наша гипотеза индукции , при выводе истинности $ P (k + 1) $ (гипотеза индукции используется обозначаемый ниже символом равенства $ \ overset {IH} = $).3 — (k + 1)} {3} \ end {align}

   Следовательно, истинность $ P (k) $ влечет истинность $ P (k + 1) $, и поэтому для любого $ n ≥ 1 $ истинно $ P (n) $. $ \ blacksquare $

   13.4 Математическая индукция. Математическая индукция — это распространенный метод доказательства того, что каждое утверждение представляет собой бесконечную последовательность математических утверждений.

   Презентация на тему: «13.4 Математическая индукция. Математическая индукция — это распространенный метод доказательства того, что каждое утверждение представляет собой бесконечную последовательность математических утверждений.»- стенограмма презентации:

   1 13.4 Математическая индукция

   2 Математическая индукция — это распространенный метод доказательства того, что каждое утверждение бесконечной последовательности математических утверждений истинно.Принцип математической индукции содержит ОБА английские и математические утверждения в три этапа. * Вы потеряете баллы, если не включите английские инструкции для каждого шага! Последовать примеру! Пусть P n будет утверждением, содержащим натуральные числа, тогда I. P 1 Докажите, что P 1 истинно для n = 1 (Покажите математически, что это работает для n = 1) II. P k Предположим, что P k истинно для n = k. (Здесь нет доказательства, истинность одного утверждения подразумевает истинность следующего утверждения) III. P k + 1 Докажите, что P k + 1 истинно для n = k + 1 (это утверждение основано на шаге II). Заключение: «По математической индукции приведенное выше утверждение верно для всех натуральных чисел.”

   3 Пример 1) Используйте математическую индукцию, чтобы доказать, что сумма первых n нечетных натуральных чисел равна n 2. 1 + 3 + 5 +… + (2n — 1) = n 2 I. Докажите, что P 1 истинно для n = 1. 1 = (1) 2? 1 = 1 · 1 1 = 1 II. Предположим, что P k истинно для n = k. 1 + 3 + 5 +… + (2k — 1) = k 2 III. Докажите, что P k + 1 верно для n = k + 1 1 + 3 + 5 +… + (2k — 1) = k 2 (из шага II) 1 + 3 + 5 +… + (2k — 1) + ( 2 (k + 1) — 1) = k 2 + (2 (k + 1) — 1) = k 2 + (2k + 2 — 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 По математической индукции, приведенное выше утверждение верно для всех натуральных чисел.Q.E.D. добавить следующий термин на латыни для quod erat демонстрационный, что означает «что должно было быть продемонстрировано». Мы хотим, чтобы RHS = (k + 1) 2

   4 Домашнее задание # 1304 Стр. 702 # 5–9 нечетные, 12–16 все, 21, 23 * Подсказки для домашних заданий * # 5,7: Вы просто находите P k + 1 — подключите (k + 1) для каждого n справа стороны стороны и упростить! №9: Преобразуйте предложение в математические символы / уравнения — вот и все! # 12–16, 21, 23: Это полноценные задачи математической индукции! Помните законы экспонент: 3 2 · 3 4 = 3 2 + 4 Итак… 3 · 3 k = 3 k + 1 3 · 3 k + 1 = 3 k + 2 Для дополнительной практики давайте вместе сделаем домашнее задание.

   5 HW # 12) Используйте математическую индукцию, чтобы доказать для всех натуральных чисел n. I. Докажите, что P 1 верно для n = 1 II. Предположим, что P k истинно для n = k.

   6 III. Докажите, что P k + 1 верно для n = k + 1. По математической индукции приведенное выше утверждение верно для всех натуральных чисел. Q.E.D. Мы хотим, чтобы RHS (сначала выносим k + 1 за скобки)

   
   .

   No related posts.