Линейные уравнения 7 класс контрольная: Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме: «Линейные уравнения»

Содержание

Контрольная работа по алгебре 7 класс по теме: «Линейные уравнения»

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 1

1. Решите уравнение:

1) 9х- 7 = 6х+14;

2) 3(4 — 2х) + 6 = -2х + 4.

2. В одном мешке было в 3 раза больше муки, чем в другом. Когда из первого мешка взяли 4 кг муки, а во второй добавили 2 кг, то в мешках муки стало поровну. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала.

3. Решите уравнение:

1) (12у + 18)(1,6-2у) = 0;

2) 4(2х- 1) — 3х =5х- 4.

4. Первой бригаде надо было отремонтировать 180 м дороги, а второй — 160 м. Первая бригада ремонтировала ежедневно 40 м дороги, а вторая — 25 м. Через сколько дней первой бригаде останется отремонтировать в 3 раза меньше метров дороги, чем второй?

При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 2

1. Решите уравнение:

1) 11х — 9 = 4х + 19;

2) 7х — 5(2х + 1) = 5х + 15.

2. В одном мешке было в 4 раза больше сахара, чем в другом. Когда из первого мешка взяли 10 кг сахара, а во второй досыпали 5 кг, то в мешках сахара стало поровну. Сколько килограммов сахара было в каждом мешке сначала?

3.Решите уравнение:

l) (14у + 21)(1,8 -0,3у)=0;

2) 2(4х + 1) — х = 7х + 3.

В одном контейнере было 200 кг яблок, а в другом — 120 кг. Из первого контейнера брали ежедневно по 30 кг, а из второго — по 25 кг. Через сколько дней в первом контейнере останется в 4 раза больше яблок, чем во втором?

При каком значении а уравнение (а — 3)х = 8 имеет корень, равный 4.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 3

1. Решите уравнение:

1)19х- 7 = 6х-14;

2) 2(4 — 2х) + 6 = -6х + 4.

2. Бригада рабочих за две недели изготовила 356 деталей, причём за вторую неделю было изготовлено в 3 раза больше деталей, чем за первую. Сколько деталей было изготовлено за первую неделю?

3. Решите уравнение:

1) (6у + 24)(1,6-4у) = 0;

2) 4(3х- 1) — 6х =5х+ 8.

4. В магазин завезли 425 кг картофеля, который продали за два дня, причём за первый день продали в 4 раза больше картофеля, чем за второй. Сколько килограммов картофеля продали за первый день?

5. При каком значении а уравнение (3 + а)х = 6 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 4

1. Решите уравнение:

1) 8х- 17 = 6х+4;

2) 5(4 — 2х) + 6 = 9х + 4.

2. На грузовую машину поместили в 5 раз больше груза, чем на прицеп. Сколько килограммов поместили на прицеп, если на нём было на 148 кг груза меньше, чем на машине?

3. Решите уравнение:

1) (9у — 18)(1,6-0,8у) = 0;

2) 4(2х- 1) +9х =5х- 4.

4. Длина одного куска проволоки в 7 раз больше длины другого. Найдите длину меньшего куска, если он короче первого на 288 м.

5. При каком значении а уравнение (5 — а)х =20 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 5

1. Решите уравнение:

1) 11х- 10 = 7х+14;

2) 5(4 + 2х) + 6 = -9х -15.

2. Проволоку длиной 456 м разрезали на 3 части, причём первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на 114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части проволоки.

3. Решите уравнение:

1) (2у + 10)(2,6-2у) = 0;

2) 9(х- 5) + 3х =15х- 4.

4. Трое рабочих изготовили 762 детали, причём второй изготовил в 3 раза больше деталей, чем третий, а первый на 117 деталей больше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

5. При каком значении а уравнение (6 — а)х = 12 имеет корень, равный 3.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 6

1. Решите уравнение:

1) 29х- 8 = 16х+14;

2) 4(4 — 3х) +26 = 7х + 4.

2. Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 68 р. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько — 1 кг печенья, если за 8 кг конфет заплатили столько, сколько за 12 кг печенья?

3. Решите уравнение:

1) (11у + 33)(4,6-2,3у) = 0;

2) 14(х- 2) — 3х =5х+ 4.

4. Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.

5. При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 7

1. Решите уравнение:

1) 22х+ 7 = 6х-14;

2) 13(1 — 2х) + 8 = -3х + 4.

2. Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 дм.

Решите уравнение:

1) (5у + 55)(0,6-2у) = 0;

2)14(2х- 1) +3х = -5х+ 4.

4. Масса банки краски на 1,6 кг больше массы банки олифы. Какова масса банки краски и какова масса банки олифы, если масса б банок краски равна массе 14 банок олифы?

5. При каком значении а уравнение (12 + а)х = 26 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 8

1. Решите уравнение:

1) 10х- 70 = 6х-14;

2) 3(5 — 2х) + 68= -2х + 4.

2. За 3 ручки и 5 карандашей заплатили 93 р. Сколько стоит ручка и сколько — карандаш, если карандаш дешевле ручки на 7 р.?

3. Решите уравнение:

1) (12у — 48)(1,5-5у) = 0;

2) 4(2х- 10) + 3х =15х- 4.

4. Катер прошёл расстояние между двумя портами за 3 ч, а теплоход это же расстояние — за 5 ч. Найдите скорость катера и скорость теплохода, если скорость катера на 16 км/ч больше скорости теплохода.

5. При каком значении а уравнение (20 — а)х = 18 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 9

1. Решите уравнение:

1) 25х- 7 = 6х+1-27;

2) 3(11 — 2х) — 6 = -2х +10.

2. Купили 14 открыток по 8 р. и по 11 р., заплатив за всю покупку 130 р. Сколько купили открыток каждого вида?

3. Решите уравнение:

1) (12у — 36)(0,5+2у) = 0;

2) 6(2х- 1) + 3х =7х- 4.

4. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на втором.

Когда с первого склада взяли 20 телевизоров, а на второй привезли 14 телевизоров, на складах телевизоров стало поровну. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

5. При каком значении а уравнение (7 + а)х = 18 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 10

1. Решите уравнение:

1) 3х- 7 = 6х+24;

2) 3(1 — 2х) + 15 = -2х + 4.

2. От села до города легковой автомобиль доехал за 2 ч, а грузовой — за 5 ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 48 км/ч меньше скорости легкового автомобиля.

3. Решите уравнение:

1) (12у + 12)(1,7-3,4у) = 0;

2) 4(х- 11) — 3х =5х- 14.

4. В книжном шкафу было в 6 раз больше книг, чем на полке. После того как из шкафа взяли 46 книг, а с полки — 18 книг, на полке осталось на 97 книг меньше, чем в шкафу. Сколько книг было сначала в шкафу и сколько на полке?

5. При каком значении а уравнение (9 — а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 11

1. Решите уравнение:

1) х- 7 = 6х+11;

2) 2(4 — х) + 6 = -5х +9

2. В первом шкафу было в 4 раза меньше книг, чем во втором. Когда в первый шкаф поставили 17 книг, а из второго взяли 25 книг, в шкафах книг стало поровну. Сколько книг было в каждом шкафу сначала?

3. Решите уравнение:

1) (12у + 60)(1,6-1,6у) = 0;

2) 4(2х- 5) — 3х =х+ 4.

4. За 7 тетрадей и 4 блокнота заплатили 222 р. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит блокнот, если блокнот дороже тетради на 6 р. ?

5. При каком значении а уравнение (4 + а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 12

1. Решите уравнение:

1)19х- 7 = 9х+14;

2) 3(4 — 2х) + 13 = -8х + 4.

2. У Васи и Маши было поровну денег. Когда Вася купил книгу за 70 р., а Маша — альбом за 30 р., у девочки осталось денег в 3 раза больше, чем у мальчика. Сколько денег было у каждого из них сначала?

3. Решите уравнение:

1) (11у + 44)(0,6-0,3у) = 0;

2) 5(2х- 1) + 3х =х- 4.

4. Из села в город выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через 2 ч из города в село выехал мотоциклист со скоростью 70 км/ч. Сколько часов ехал каждый из них до встречи, если расстояние между городом и селом равно 115 км.

5. При каком значении а уравнение (11 — а)х = 10 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 13

1. Решите уравнение:

1) 9х+ 7 = -6х+14;

2) 3(4 + 2х) + 6 = -5х + 4.

2. В первом ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго — 14 апельсинов, во втором ящике осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике сначала?

3. Решите уравнение:

1) (10у + 40)(1,5-3у) = 0;

2) 3(2х- 1) + 3х =5х- 5.

4. Токарь планировал изготавливать ежедневно по 24 детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше и уже за 6 дней до окончания срока работы сделал 21 деталь сверх плана. За сколько дней токарь планировал выполнить задание?

5. При каком значении а уравнение (13 + а)х = 30 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 14

1. Решите уравнение:

1) х- 7 = 6х+19;

2) 2(4 — 2х) + 5 = -2х — 4

2.. От одной станции отошёл поезд со скоростью 56 км/ч, а через 4 ч от другой станции навстречу ему отошёл второй поезд со скоростью 64 км/ч. Сколько времени был в пути каждый поезд до встречи, если расстояние между станциями равно 584 км.

3. Решите уравнение:

1) (5у + 10)(1,2-2,4у) = 0;

2) 8(2х- 1) + 3х =2х- 8.

4. В первом магазине было 200 кг конфет, а во втором — 276 кг. Первый магазин продавал ежедневно по 14 кг конфет, а второй — по 18 кг. Через сколько дней во втором магазине останется конфет в 1,5 раза больше, чем в первом?

5. При каком значении а уравнение (14 — а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 15

1. Решите уравнение:

1) 11х- 6 = 6х+14;

2) 3(1 — 2х) + 5 = -2х + 9.

2. Лодка плыла 2,8 ч по течению реки и 3,4 ч против течения. По течению реки лодка прошла на 4,4 км меньше, чем против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

3. Решите уравнение:

1) (0,9у + 18)(0,5-2у) = 0;

2) 10(2х- 1) — 2х =5х+ 4.

4. У мальчика было 22 монеты по 5 р. и по 10 р., всего на сумму 150 р. Сколько монет каждого вида было у него?

5. При каком значении а уравнение (4 — а)х = 12 имеет корень, равный 6

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 16

1. Решите уравнение:

1) 9х- 7 = 6х+14;

2) 3(4 — 2х) + 6 = -2х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (12у + 18)(1,6-2у) = 0;

2) 4(2х- 1) — 3х =5х- 4.

5. При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10 имеет корень, равный 5

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 17

1. Решите уравнение:

1) 11х — 9 = 4х + 19;

2) 7х — 5(2х + 1) = 5х + 15.

3.Решите уравнение:

l) (14у + 21)(1,8 -0,3у)=0;

2) 2(4х + 1) — х = 7х + 3.

В одном контейнере было 200 кг яблок, а в другом — 120 кг. Из первого контейнера брали ежедневно по 30 кг, а из второго — по 25 кг. Через сколько дней в первом контейнере останется в 4 раза больше яблок, чем во втором?

При каком значении а уравнение (а — 3)х = 8 имеет корень, равный 4.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 18

1. Решите уравнение:

1)19х- 7 = 6х-14;

2) 2(4 — 2х) + 6 = -6х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (6у + 24)(1,6-4у) = 0;

2) 4(3х- 1) — 6х =5х+ 8.

5. При каком значении а уравнение (3 + а)х = 6 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 19

1. Решите уравнение:

1) 8х- 17 = 6х+4;

2) 5(4 — 2х) + 6 = 9х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (9у — 18)(1,6-0,8у) = 0;

2) 4(2х- 1) +9х =5х- 4.

5. При каком значении а уравнение (5 — а)х =20 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 20

1. Решите уравнение:

1) 11х- 10 = 7х+14;

2) 5(4 + 2х) + 6 = -9х -15.

3. Решите уравнение:

1) (2у + 10)(2,6-2у) = 0;

2) 9(х- 5) + 3х =15х- 4.

5. При каком значении а уравнение (6 — а)х = 12 имеет корень, равный 3.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 21

1. Решите уравнение:

1) 29х- 8 = 16х+14;

2) 4(4 — 3х) +26 = 7х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (11у + 33)(4,6-2,3у) = 0;

2) 14(х- 2) — 3х =5х+ 4.

5. При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 22

1. Решите уравнение:

1) 22х+ 7 = 6х-14;

2) 13(1 — 2х) + 8 = -3х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (5у + 55)(0,6-2у) = 0;

2)14(2х- 1) +3х = -5х+ 4.

5. При каком значении а уравнение (12 + а)х = 26 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 23

1. Решите уравнение:

1) 10х- 70 = 6х-14;

2) 3(5 — 2х) + 68= -2х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (12у — 48)(1,5-5у) = 0;

2) 4(2х- 10) + 3х =15х- 4.

5. При каком значении а уравнение (20 — а)х = 18 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 24

1. Решите уравнение:

1) 25х- 7 = 6х+1-27;

2) 3(11 — 2х) — 6 = -2х +10.

2. Купили 14 открыток по 8 р. и по 11 р., заплатив за всю покупку 130 р. Сколько купили открыток каждого вида?

3. Решите уравнение:

1) (12у — 36)(0,5+2у) = 0;

2) 6(2х- 1) + 3х =7х- 4.

4. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на втором. Когда с первого склада взяли 20 телевизоров, а на второй привезли 14 телевизоров, на складах телевизоров стало поровну. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

5. При каком значении а уравнение (7 + а)х = 18 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 25

1. Решите уравнение:

1) 3х- 7 = 6х+24;

2) 3(1 — 2х) + 15 = -2х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (12у + 12)(1,7-3,4у) = 0;

2) 4(х- 11) — 3х =5х- 14.

5. При каком значении а уравнение (9 — а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 26

1. Решите уравнение:

1) х- 7 = 6х+11;

2) 2(4 — х) + 6 = -5х +9

3. Решите уравнение:

1) (12у + 60)(1,6-1,6у) = 0;

2) 4(2х- 5) — 3х =х+ 4.

5. При каком значении а уравнение (4 + а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 27

1. Решите уравнение:

1)19х- 7 = 9х+14;

2) 3(4 — 2х) + 13 = -8х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (11у + 44)(0,6-0,3у) = 0;

2) 5(2х- 1) + 3х =х- 4.

5. При каком значении а уравнение (11 — а)х = 10 имеет корень, равный 1.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 28

1. Решите уравнение:

1) 9х+ 7 = -6х+14;

2) 3(4 + 2х) + 6 = -5х + 4.

3. Решите уравнение:

1) (10у + 40)(1,5-3у) = 0;

2) 3(2х- 1) + 3х =5х- 5.

5. При каком значении а уравнение (13 + а)х = 30 имеет корень, равный 2.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 29

1. Решите уравнение:

1) х- 7 = 6х+19;

2) 2(4 — 2х) + 5 = -2х — 4

3. Решите уравнение:

1) (5у + 10)(1,2-2,4у) = 0;

2) 8(2х- 1) + 3х =2х- 8.

5. При каком значении а уравнение (14 — а)х = 10 имеет корень, равный 5.

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные уравнения с одной переменной»

Вариант № 30

1. Решите уравнение:

1) 11х- 6 = 6х+14;

2) 3(1 — 2х) + 5 = -2х + 9.

3. Решите уравнение:

1) (0,9у + 18)(0,5-2у) = 0;

2) 10(2х- 1) — 2х =5х+ 4.

4. У мальчика было 22 монеты по 5 р. и по 10 р., всего на сумму 150 р. Сколько монет каждого вида было у него?

5. При каком значении а уравнение (4 — а)х = 12 имеет корень, равный 6

Контрольная работа №1 по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Контрольная работа №1

по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Вариант 1

1. Решите уравнение:

9х – 8 = 4х + 12; 2) 9 – 7(х + 3) = 5 – 4х.

2. В первом ящике было в 5 раз больше яблок, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 7 кг яблок, а во второй добавили 5 кг, то в ящиках яблок стало поровну. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала?

3. Решите уравнение:

1) (8у – 12) (2,1 + 0,3у) = 0;

2) 7х – (4х + 3) = 3х + 2.

4. В первый магазин завезли 100 кг конфет, а во второй – 240 кг. Первый магазин продавал ежедневно по 12 кг конфет, а второй – по 46 кг. Через сколько дней во втором магазине останется в 4 раза меньше конфет, чем в первом?

5. При каком значении а уравнение (а + 3)х = 12:

1) имеет корень, равный 6; 2) не имеет корней?

Контрольная работа №1

по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Вариант 2

1. Решите уравнение:

6х – 15 = 4х + 11; 2) 6 – 8(х + 2) = 3 – 2х.

2. В футбольной секции первоначально занималось в 3 раз больше учеников, чем в баскетбольной. Когда в футбольную секцию поступило ещё 9 учеников, а в баскетбольную – 33 ученика, то в секциях учеников стало поровну. Сколько учеников было в каждой секции сначала?

3. Решите уравнение:

1) (12у + 30) (1,4 — 0,7у) = 0;

2) 9х – (5х — 4) = 4х + 4.

4. Первый рабочий должен был изготовить 95 деталей, а второй – 60 деталей. Первый рабочий изготавливал ежедневно по 7 деталей, а второй – по 6. Через сколько дней первому рабочему останется изготовить в 2 раза больше деталей, чем второму?

5. При каком значении а уравнение (а — 2)х = 35:

1) имеет корень, равный 5; 2) не имеет корней?

Контрольная работа №1

по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Вариант 3

1. Решите уравнение:

8х – 11 = 3х + 14; 2) 17 – 12(х + 1) = 9 – 3х.

2. В первом вагоне электропоезда ехало в 6 раз больше пассажиров, чем во втором. Когда из первого вагона вышли 8 пассажиров, а во второй вошли 12 пассажиров, то в вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне сначала?

3. Решите уравнение:

1) (16у – 24) (1,2 + 0,4у) = 0;

2) 11х – (3х + 8) = 8х + 5.

4. В первый цистерне было 700 л воды, а во второй – 340 л. Из первой цистерны ежеминутно выливалось 25 л воды, а из второй – 30 л. Через сколько минут во второй цистерне останется воды в 5 раз меньше, чем в первой?

5. При каком значении а уравнение (а + 6)х = 28:

1) имеет корень, равный 7; 2) не имеет корней?

Контрольная работа №1

по теме «Линейное уравнение с одной переменной»

Вариант 4

1. Решите уравнение:

13х – 10 = 7х + 2; 2) 19 – 15(х — 2) = 26 – 8х.

2. В первой корзинке лежало в 4 раза больше грибов, чем во второй. Когда в первую корзинку положили ещё 4 гриба, а во вторую – 31 гриб, то в корзинках грибов стало поровну. Сколько грибов было в каждой корзинке сначала?

3. Решите уравнение:

1) (6у + 15) (2,4 — 0,8у) = 0;

2) 12х – (5х — 8) = 8 + 7х.

4. На первом складе было 300 т угля, а на втором – 178 т. С первого склада ежедневно вывозили 15 т угля, а со второго – 18 т. Через сколько дней на первом складе останется в 3 раза больше тонн угля, чем на втором?

5. При каком значении а уравнение (а — 5)х = 27:

1) имеет корень, равный 9; 2) не имеет корней?

Итоговое повторение — задача(задание) 48 Мордкович

Автор:
Мордкович А.Г.
Издательство:
Мнемозина

ГДЗ(готовые домашние задания), решебник онлайн по алгебре за 7 класс автор Мордкович(итоговое повторение) задание(номер) 48 — вариант решения упражнения 48

Итоговое повторение:

2. Линейное уравнение с одной переменной

Онлайн. Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. § 2. Линейное уравнение с одной переменной. Упражнения №№ 2.1 — 2.48. Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф (Российский учебник). Электронная ознакомительная версия для покупки пособия. Цитаты из книги использованы в учебных целях.

Алгебра 7 класс Мерзляк, Поляков (угл.изуч.)

Предыдущая тема ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая тема

Глава 1. Линейное уравнение

с одной переменной
В этой главе вы повторите свойства уравнений, сможете усовершенствовать навыки решения уравнений и задач на составление уравнений.
Вы узнаете, что некоторые известные вам уравнения можно объединить в один класс.

§ 2. Линейное уравнение с одной переменной
Рассмотрим уравнения:   2х = –3, 0х = 0, 0х = 2.
Число –1,5 является единственным корнем первого уравнения. Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число. Третье уравнение корней не имеет.
Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведённые уравнения внешне похожи: все они имеют вид ах = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа.
⊕ ⇒ Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.
Приведём примеры линейных уравнений: ½ • х = 7; –0,4х = 2,8; –х = 0.
Заметим, что, например, уравнения х² = 0, (х – 2)(х – 3) = 0, |х| = 5 линейными не являются.
Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение с одной переменной». В математике предложение, раскрывающее суть термина (понятия, объекта), называют определением.
Итак, мы сформулировали (или говорят «дали») определение линейного уравнения с одной переменной.
Если а ≠ 0, то, разделив обе части уравнения ах = b на а, получим х = b/a. Отсюда следует: если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень, равный b/a.
Если а = 0, то линейное уравнение принимает такой вид: 0х = b. Тогда возможны два случая: b = 0 или b ≠ 0. В первом случае получаем уравнение 0х = 0. Отсюда: если а = 0 и b = 0, то уравнение ах = b имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем. Во втором случае, когда b ≠ 0, при любом значении х получим неверное равенство 0х = b. Отсюда: если а = 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней.
Подведём итог приведённых рассуждений в следующей таблице.

Предыдущая тема ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая тема
Ознакомительная версия для принятия решения о покупке книги: Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф (Российский учебник). 2. Линейное уравнение с одной переменной.
КР-01 В-1 Алгебра 7 Мерзляк
Контрольная работа по алгебре в 7 классе № 1 «Линейное уравнение с одной переменной» с ответами и решениями в 2-х вариантах. КР-01 В-1 Алгебра 7 Мерзляк. Дидактические материалы для школьников, учителей и родителей.
Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 7 классе (Мерзляк).

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)

Контрольная работа № 1. Вариант № 1

КР-1 «Линейное уравнение с одной переменной» (транскрипт заданий)
Решите уравнение: 1) 9x – 7 = 6x + 14; 2) 3(4 – 2х) + 6 = –2х + 4.
В одном мешке было в 3 раза больше муки, чем в другом. Когда из первого мешка взяли 4 кг муки, а во второй добавили 2 кг, то в мешках муки стало поровну. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала?
Решите уравнение: 1) (12y + 18)(1,6 – 0,2y) = 0; 2) 4(2x – 1) –3x = 5x – 4.
Первой бригаде надо было отремонтировать 180 м дороги, а второй — 160 м. Первая бригада ремонтировала ежедневно 40 м дороги, а вторая — 25 м. Через сколько дней первой бригаде останется отремонтировать в 3 раза меньше метров дороги, чем второй?
При каком значении а уравнение (2 + а)х = 10: 1) имеет корень, равный 5; 2) не имеет корней?

КР-01 В-1 Алгебра 7 Мерзляк.

Решения и ответы
Ответы на контрольную работу:
№1.   1) x = 7; 2) x = 3,5.
№2.   3x – 4 = x + 2 . Ответ: 3 кг; 9 кг.
№3.   1) –1,5; 8; 2) любое число.
№4.   Ответ: 4 дня.
№5.   1) а = 0; 2) а = –2.
Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре в 7 классе № 1 «Линейное уравнение с одной переменной» (УМК Мерзляк): задания, решения и ответы на нее. Перейти к другому варианту этой контрольной: КР-01 Вариант 2
Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре в 7 классе (Мерзляк).
Цитаты из учебного пособия «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс ФГОС» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир, изд-во «Вентана-Граф» использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Решения и ОТВЕТЫ на контрольную работу (нет в пособии) адресованы родителям для проверки знаний учащихся.
Алгебра 7 класс
№
Дата
Содержание урока
Примечание
Т1 (5 ч) Повторение
1

Рациональные числа. Решение упражнений и задач на все действия с рациональными числами

2

Обыкновенные дроби. Решение упражнений и задач на все действия с обыкновенными дробями

3

Пропорция. Нахождение неизвестного члена пропорции. Решение задач на пропорциональное деление

4

Уравнение. Основные свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений

5

Диагностическая контрольная работа

Т2 (8 ч) Выражения. Тождества
6

Числовые выражения

7

Выражения с переменными

8

Сравнение значений выражений

9

Решение упражнений. Самостоятельная работа

10

Свойства действий над числами

11

Тождества. Тождественные преобразования выражений

12

Решение упражнений. Самостоятельная работа

13

Контрольная работа № 2

Т3 (10 ч) Уравнения
14

Уравнение и его корни

15

Линейное уравнение с одной переменной

16

Решение линейных уравнений с одной переменной

17

Решение уравнений. Самостоятельная работа

18

Решение задач с помощью уравнений

19

Решение задач с помощью уравнений

20

Среднее арифметическое, размах и мода

21

Медиана как статистическая характеристика

22

Решение задач. Самостоятельная работа

23

Контрольная работа № 3

Т4 (11 ч) Функции
24

Что такое функция

25

Вычисление значений функции по формуле

26

Область определения и область значений функции

27

График функции

28

Решение упражнений. Самостоятельная работа

29

Прямая пропорциональность и ее график

30

Линейная функция и ее график

31

Линейная функция и ее график

32

Угловой коэффициент в уравнении прямой

33

Решение упражнений. Самостоятельная работа

34

Контрольная работа № 4

Т5 (12 ч) Степень с натуральным показателем
35

Определение степени с натуральным показателем

36

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

37

Возведение в степень произведения и степени

38

Решение упражнений. Самостоятельная работа

39

Одночлен и его стандартный вид

40

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

41

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

42

Функция у = х2 и ее график

43

Функция у = х3 и ее график

44

Графический способ решения уравнений

45

Решение упражнений. Самостоятельная работа

46

Контрольная работа № 5

Т6 (12 ч) Многочлены
47

Многочлен и его стандартный вид

48

Сложение и вычитание многочленов

49

Сложение и вычитание многочленов

50

Умножение одночлена на многочлен

51

Умножение одночлена на многочлен

52

Решение задач. Самостоятельная работа

53

Вынесение общего множителя за скобки

54

Вынесение общего множителя за скобки

55

Вынесение общего множителя за скобки

56

Умножение многочлена на многочлен

57

Умножение многочлена на многочлен

58

Умножение многочлена на многочлен

59

Решение упражнений. Самостоятельная работа

60

Разложение многочлена на множители способом группировки

61

Контрольная работа № 6

Т7 (12 ч) Формулы сокращенного умножения
62

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

63

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

64

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

65

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

66

Решение упражнений. Самостоятельная работа

67

Умножение разности двух выражений на их сумму

68

Разложение разности квадратов на множители

69

Разложение на множители суммы и разности кубов

70

Решение упражнений. Самостоятельная работа

71

Преобразование целого выражения в многочлен

72

Применение различных способов разложения многочлена на множители

73

Контрольная работа № 7

Т8 (11 ч) Системы линейных уравнений
74

Линейное уравнение с двумя переменными

75

График линейного уравнения с двумя переменными

76

Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными

77

Способ подстановки

78

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. Самостоятельная работа

79

Способ сложения

80

Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения

81

Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными

82

Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными

83

Решение упражнений. Самостоятельная работа

84

Контрольная работа № 8

Т9 (4 ч) Повторение
85

Формулы сокращенного умножения

86

Функции

87

Системы линейных уравнений

88

Итоговая контрольная работа

89

Итоговый урок

[PDF] Рабочая программа по алгебре 7 класс Пояснительная записка.
Download Рабочая программа по алгебре 7 класс Пояснительная записка….
Рабочая программа по алгебре 7 класс Пояснительная записка. Алгебра в 7 классе изучается по рабочей программе, составленной на основе примерной программы, из расчета 3 ч в неделю. Учебно-методический комплект для изучения алгебры в 7 классе (базовый уровень). 1. Макарычев Ю.Н. Алгебра.7 класс. Учебник. 2. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для 7-9 кл. 3. Звавич Л.И. Алгебра: дидактические материалы, 7 класс 4. Ершова А.П. Алгебра: дидактические материалы, 7 класс 5. Макарычев Ю.Н. Изучение алгебры 7-9 классах 6. Жохов В.И. Уроки алгебры в 7 классе: книга для учителя Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. Примерная программа является ориентиром для составления рабочих и авторских программ. Алгебра нацелена на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира. Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, овладение навыками дедуктивных рассуждений, преобразование символических форм вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству. Другой важной задачей для изучения алгебры является получение школьниками конкретных знаний о функциях как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов, для формирования у учащихся представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры. Основные цели и задачи математического образования — содействовать формированию культурного человека, умеющего мыслить, понимающего идеологию математического моделирования реальных процессов, владеющего математическим языком как языком, организующим деятельность, умеющего самостоятельно добывать информацию и пользоваться ею на практике, владеющего литературной речью и умеющего в случае необходимости построить ее по законам математической речи.. Математика изучает математические модели, которые описываются математическим языком. Основная функция математического языка — организующая: таблицы, схемы, графики, алгоритмы, правила вывода, способы логически правильных рассуждений. Особая цель математического образования — развитие речи на уроках математики. Содержание обучения в 7 классе Тема «Выражения. Тождества. Уравнения » Числовые выражения с переменными. Простейшие преобразования выражений. Уравнение, корень уравнения. Линейное уравнение с одной переменной. Решение текстовых задач методом составления уравнений. Статистические характеристики. Тема «Функции». Функция, область определения функции. Вычисление значений функции по формуле. График функции. Прямая пропорциональность и её график. Линейная функция и её график. Тема «Степень с натуральным показателем». Степень с натуральным показателем и её свойства. Одночлен. Функции у=х2, у=х3 и их графики. Тема «Многочлены» многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Тема «Формулы сокращённого умножения». Формулы квадрата суммы и квадрата разности, разности квадратов, куба суммы и куба разности, суммы и разности кубов. Применение формул сокращённого умножения в преобразованиях выражений. Тема «Системы линейных уравнений». Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными и его геометрическая интерпретация. Решение текстовых задач методом составления систем уравнений.
Требования к математической подготовке учащихся 7 класса В результате изучения алгебры ученик должен знать/понимать • существо понятия математического доказательства; примеры доказательств; • существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
• как используются математические формулы, уравнения; примеры их применения для решения математических и практических задач; • как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания; • смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации; • формулы сокращенного умножения; уметь • составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные; • выполнять основные действия со степенями с натуральными показателями, с одночленами и многочленами; выполнять разложение многочленов на множители; сокращать алгебраические дроби; • решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений с двумя переменными; • решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи; • определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами, строить графики линейных функций и функции у=х2; • находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей; • определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений и систем; • описывать свойства изученных функций, строить их графики; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для: • выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах; • моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры; • описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций; • интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.
Примерное тематическое планирование по алгебре 7 класс Пояснительная записка. 3 ч в неделю № параграфа
Название темы
Глава I. Выражения, тождества, уравнения 1 2 3 4
Выражения Преобразование выражений Контрольная работа № 1 Уравнения с одной переменной Статистические характеристики Контрольная работа № 2
Глава II. Функции 5 6
Функции и их графики Линейная функция Контрольная работа № 3
Глава III. Степень с натуральным показателем 7 8
Степень и её свойства Одночлены Контрольная работа № 4
Глава IV. Многочлены 9 10 11
Сумма и разность многочленов Произведение одночлена и многочлена Контрольная работа № 5 Произведение многочленов Контрольная работа № 6
Глава V. Формулы сокращённого умножения 12 13 14
Квадрат суммы и квадрат разности Разность квадратов. Сумма и разность кубов Контрольная работа № 7 Преобразование целых выражений Контрольная работа № 8
Глава VI. Системы линейных уравнений 15 16
Линейные уравнения с двумя переменными и их системы Решение систем линейных уравнений Контрольная работа № 9
Кол-во часов 20 ч 4ч 4ч 1ч 7ч 3ч 1ч 12 ч 4ч 7ч 1ч 12 ч 7ч 4ч 1ч 18 ч 3ч 5ч 1ч 8ч 1ч 18 ч 4ч 4ч 1ч 8ч 1ч 12 ч 4ч 7ч 1ч
Повторение
8ч
Итоговый зачёт Итоговая контрольная работа
1ч 1ч
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Темы контрольных работ Контрольная работа № 1 «Выражения, преобразование выражений» Контрольная работа № 2 «Уравнения» Контрольная работа № 3 «Функции» Контрольная работа № 4 «Степень с натуральным показателем» Контрольная работа № 5 «Сумма и разность многочленов. Произведение одночлена и многочлена.» Контрольная работа № 6 «Произведение многочленов» Контрольная работа № 7 «Формулы сокращённого умножения» Контрольная работа № 8 «Преобразование целых выражений» Контрольная работа № 9 «Системы линейных уравнений» Итоговая контрольная работа
Дата 19.09 15.10 19.11 17.12 21.01 11.02 04.03 25.03 29.04 22.05
Бесплатные рабочие листы по линейным уравнениям (6-9 классы, предалгебра, алгебра 1)
Вы здесь: На главную → Рабочие таблицы → Линейные уравнения
Здесь вы найдете неограниченное количество распечатываемых рабочих листов для решения линейных уравнений, доступных как в формате PDF, так и в формате html. Вы можете настроить рабочие листы, включив в них одношаговые, двухэтапные или многоступенчатые уравнения, переменные с обеих сторон, круглые скобки и многое другое. Рабочие листы подходят для курсов предварительной алгебры и алгебры 1 (6-9 классы).
Вы можете выбрать из СЕМЬ основных типов уравнений, от простых до сложных, описанных ниже (например, одношаговые уравнения, переменные с обеих сторон или необходимость использования свойства распределения). Настройте рабочие листы с помощью генератора ниже.

Основные инструкции к рабочим листам
Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален. Ключ ответа генерируется автоматически и помещается на вторую страницу файла.
Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать.Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.
Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно.Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:
Формат PDF: вернитесь на эту страницу и снова нажмите кнопку.
Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Рабочие листы готовые

См. Также
Рабочие листы для упрощения выражений
Рабочие листы для вычисления выражений с переменными
Рабочие листы для написания выражений с переменными из словесных выражений
Рабочие листы для линейных неравенств

Ключ к учебным пособиям по алгебре
Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй.Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.
=> Узнать больше
Примените стратегию решения проблем к основным проблемам Word
Результаты обучения
Практикуйте внимательность в отношении словесных проблем
Примените общую стратегию решения проблем для решения текстовых задач
Подходите к проблемам со словами с позитивным отношением
В мире полно словесных проблем.Сколько денег мне нужно, чтобы заправить машину бензином? Сколько я должен давать чаевые официанту в ресторане? Сколько носков нужно взять с собой в отпуск? Какого размера мне нужно купить индейку на ужин в честь Дня Благодарения и во сколько нужно поставить ее в духовку? Если мы с сестрой купим маме подарок, сколько каждый из нас заплатит?
Теперь, когда мы можем решать уравнения, мы готовы применить наши новые навыки к текстовым задачам. Вы знаете кого-нибудь, у кого в прошлом был негативный опыт проблем со словами? Были ли у вас мысли, как у студента из мультфильма ниже?
Негативные мысли о проблемах со словами могут быть препятствием на пути к успеху.
Когда мы чувствуем, что у нас нет контроля, и продолжаем повторять негативные мысли, мы создаем препятствия на пути к успеху. Нам нужно успокоить свои страхи и изменить свои негативные чувства.
Начните с чистого листа и начните думать позитивно, как ученик из мультфильма ниже. Прочтите положительные мысли и произнесите их вслух.
Когда дело доходит до словесных задач, позитивное отношение — большой шаг к успеху.
Если мы возьмем на себя управление и поверим, что сможем добиться успеха, мы сможем справиться со словесными проблемами.
Подумайте о том, что вы можете сделать сейчас, но не могли сделать три года назад. Будь то вождение автомобиля, катание на сноуборде, приготовление изысканной еды или разговор на новом языке, вы смогли изучить и овладеть новым навыком. Проблемы со словами ничем не отличаются. Даже если в прошлом вы боролись с проблемами со словами, вы приобрели много новых математических навыков, которые помогут вам добиться успеха сейчас!
Используйте стратегию решения проблем с Word
В предыдущих главах вы переводили словосочетания в алгебраические выражения, используя базовый математический словарь и символы.С тех пор вы расширили свой математический словарный запас по мере того, как вы узнали о большем количестве алгебраических процедур, и у вас появилось больше практики в переводе слов в алгебру.
Вы также перевели словесные предложения в алгебраические уравнения и решили некоторые словесные задачи. С помощью словесных задач математика применялась к повседневным ситуациям. Вам нужно было переформулировать ситуацию в одном предложении, присвоить переменную, а затем написать уравнение для решения. Этот метод работает, если ситуация вам знакома и математика не слишком сложна.
Теперь мы разработаем стратегию, с помощью которой вы сможете решить любую словесную задачу. Эта стратегия поможет вам добиться успеха в решении текстовых задач. Продемонстрируем стратегию при решении следующей задачи.
Пример
Пит купил рубашку на распродаже за 18 долларов [латекс], что составляет половину первоначальной цены. Какова была первоначальная цена рубашки?
Решение:
Шаг 1. Прочтите проблему. Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз.Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.
В этой проблеме вы понимаете, о чем идет речь? Вы понимаете каждое слово?
Шаг 2. Определите то, что вы ищете. Трудно найти что-то, если не знаешь, что это такое! Прочтите задачу еще раз и поищите слова, которые говорят вам, что вы ищете!
В этой задаче слова «какова была первоначальная цена рубашки» говорят вам, что вы ищете: первоначальную цену рубашки.
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество. Вы можете использовать любую букву для переменной, но можно выбрать ту, которая поможет вам запомнить, что она представляет.
Пусть [latex] p = [/ latex] исходная цена рубашки
Шаг 4. Переведите в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему одним предложением со всей важной информацией. Затем переведите предложение в уравнение.

Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры. Даже если вы знаете ответ сразу, использование алгебры лучше подготовит вас к решению задач, на которые нет очевидных ответов.
Напишите уравнение. [латекс] 18 = \ frac {1} {2} p [/ latex]
Умножьте обе стороны на 2. [латекс] \ color {красный} {2} \ cdot18 = \ color {красный} {2} \ cdot \ frac {1} {2} p [/ латекс]
Упростить. [латекс] 36 = п [/ латекс]
Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Мы обнаружили, что [латекс] p = 36 [/ latex], , что означает, что первоначальная цена была [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex]. Имеет ли смысл [латекс] \ text {\ $ 36} [/ latex] в задаче? Да, потому что [латекс] 18 [/ латекс] составляет половину от [латекс] 36 [/ латекс], и рубашка была продана за половину первоначальной цены.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Задача спросила: «Какова была первоначальная цена рубашки?» Ответ на вопрос: «Первоначальная цена рубашки была [латекс] \ text {\ 36 $} [/ латекс]».
Если бы это было домашнее задание, наша работа могла бы выглядеть так:
Мы перечисляем шаги, которые мы предприняли для решения предыдущего примера.
Стратегия решения проблем
Прочтите слово «проблема». Убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Возможно, вам придется прочитать задачу два или более раз. Если есть слова, которых вы не понимаете, поищите их в словаре или в Интернете.
Определите то, что вы ищете.
Имя то, что вы ищете. Выберите переменную, чтобы представить это количество.
Переведите в уравнение. Может быть полезно сначала сформулировать проблему в одном предложении перед переводом.
Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
Проверьте ответ в задаче. Убедитесь, что это имеет смысл.
Ответьте на вопрос полным предложением.
Чтобы узнать, как переводить алгебраические утверждения в слова, посмотрите следующее видео.

Давайте воспользуемся этим подходом на другом примере.
Пример
Яш принес на пикник яблоки и бананы. Количество яблок было на три больше, чем в два раза больше бананов.Яш принес на пикник [latex] 11 [/ latex] яблок. Сколько бананов он принес?
Показать решение
Решение:
Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. Сколько бананов он принес?
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
Выберите переменную для представления количества бананов.
Пусть [latex] b = \ text {количество бананов} [/ latex]
Шаг 4. Перевести. Переформулируйте проблему одним предложением, указав всю важную информацию.
Переведите в уравнение.
[латекс] 11 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Количество яблок
[latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] было
.
[латекс] 3 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] три
[латекс] + \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] более
[латекс] 2b \ enspace \ Rightarrow [/ latex] в два раза больше бананов
Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] 11 = 2b + 3 [/ латекс]
Вычтите по 3 с каждой стороны. [латекс] 11 \ color {red} {- 3} = 2b + 3 \ color {red} {- 3} [/ latex]
Упростить. [латекс] 8 = 2b [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 2. [латекс] \ frac {8} {\ color {red} {2}} = \ frac {2b} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить. [латекс] 4 = b [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: Во-первых, разумен ли наш ответ? Да, разумно принести на пикник четыре банана.Проблема гласит, что количество яблок на три больше, чем бананов, более чем в два раза. Если есть четыре банана, получается одиннадцать яблок? Дважды 4 банана — 8. Три больше, чем 8 — 11.
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Яш принес на пикник 4 банана.
В следующем примере мы применим нашу стратегию решения проблем к процентным приложениям.
, пример
Страховой взнос
Nga увеличился на [latex] \ text {\ 60} [/ latex], что составляло [latex] \ text {8%} [/ latex] от первоначальной стоимости.Какова была первоначальная стоимость страхового взноса?
Показать решение
Решение:
Шаг 1. Прочтите проблему. Помните: если есть слова, которых вы не понимаете, ищите их.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. первоначальная стоимость премиум
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для представления первоначальной стоимости страхового взноса. Пусть [латекс] c = \ text {стоимость оригинала} [/ латекс]
Шаг 4. Перевести. Перефразировать одним предложением. Переведите в уравнение.
Шаг 5. Решите уравнение. [латекс] 60 = 0,08c [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 0,08 [/ латекс]. [латекс] \ frac {60} {\ color {red} {0,08}} = \ frac {0,08c} {\ color {red} {0,08}} [/ latex]
Упростить. [латекс] c = 750 [/ латекс]
Шаг 6. Проверить: Разумен ли наш ответ? Да, премия [latex] \ text {\ $ 750} [/ latex] по автострахованию является разумной.Теперь давайте проверим нашу алгебру. 8% от 750 равняется [латексу] 60 [/ латексу]?
[латекс] 750 = c [/ латекс]
[латекс] 0,08 (750) = 60 [/ латекс]
[латекс] 60 = 60 \ квадратик \ галочка [/ латекс]
Шаг 7. Ответьте на вопрос. Первоначальная стоимость премии Nga составляла [latex] \ text {\ 750} [/ latex].
Модель баланса для обучения линейным уравнениям: систематический обзор литературы | International Journal of STEM Education
Почему была использована модель баланса?
Обоснование использования балансовой модели дано в 26 статьях.Можно выделить три основных класса обоснований, все из которых связаны с конкретными особенностями контекста модели баланса. В статьях, составляющих класс обоснований «Равенство», все непосредственно ссылались на использование весов для улучшения понимания учащимися концепции равенства. Прямые ссылки на равенство прямо сосредоточены на математическом равенстве, подчеркивая аналогию между моделью баланса и равенством в уравнении. Статьи в оставшихся двух классах обоснований содержали более косвенных ссылок на использование модели баланса для улучшения понимания учащимися равенства.Косвенные ссылки на равенство — это, например, предложение студентам физических переживаний при манипулировании моделью баланса и, таким образом, через опыт балансирования ощущать концепцию равенства. Такие статьи, в которых упоминались предыдущие или сопутствующие физические переживания, связанные с моделью баланса, попадали в класс логических обоснований «Физический опыт». Статьи, которые попали в класс обоснований «Модели и представления», касались использования моделей и представлений для улучшения концептуального понимания учащимися при решении линейных уравнений.Наконец, были устранены ограничения использования модели баланса для обучения решению линейных уравнений.
Обоснования, связанные с концепцией равенства
В большинстве из 15 статей (три из одного и того же исследовательского проекта) упоминались основания для использования модели баланса, связанной с концепцией равенства. Часто заявлялось, что понимание концепции равенства можно улучшить, используя модель баланса (например, Gavin & Sheffield, 2015; Leavy et al., 2013; Mann, 2004; Taylor-Cox, 2003; Warren et al. al., 2009). Поскольку обе стороны модели баланса имеют равную ценность и, следовательно, взаимозаменяемы, модель была описана как очень подходящая для демонстрации идеи равенства или равновесия (Figueira-Sampaio et al., 2009) и количественного сходства (например, Warren & Cooper , 2005). В соответствии с этим несколько авторов ссылались на использование модели баланса для улучшения понимания знака равенства как символа, обозначающего равенство (например, Vlassis, 2002; Warren & Cooper, 2009). Соответственно, модель баланса часто описывается как подходящая для демонстрации стратегии выполнения одного и того же действия с обеих сторон уравнения, в котором решающее значение имеет концепция баланса (например,г., Andrews & Sayers, 2012; Фигейра-Сампайо и др., 2009; Marschall & Andrews, 2015), тем самым помогая студентам сформировать, согласно Влассису (2002), мысленную картину операций, которые они должны применить. Еще одним упомянутым преимуществом модели баланса является возможность отслеживать «всю числовую взаимосвязь, выражаемую уравнением, пока оно подвергается преобразованиям» (Linchevski & Herscovics, 1996, p. 52), что делает ее пригодной для демонстрации отмена идентичных членов с обеих сторон уравнения (см. также Filloy & Rojano, 1989).
Обоснования, связанные с физическим опытом
Второй класс обоснований, который был идентифицирован и упомянут в 11 статьях (все из различных исследовательских проектов), был связан с обучением через физические переживания. В нескольких статьях упоминались предыдущие физические переживания, связанные с поддержанием равновесия. Araya et al. (2010) утверждали, что процесс поддержания баланса имеет первичную биологическую основу и, следовательно, является общим физическим знанием для всех людей.Используя модель баланса, это биологически первичное знание можно связать с абстрактной идеей поддержания равенства в уравнении. Другие подчеркивали сходство модели и качели (или качели) и ссылались на (игровой) опыт детей с этим предметом (Alibali, 1999; Kaplan & Alon, 2013).
В других статьях отмечалось, что одновременный физический опыт с моделью баланса способствует изучению линейных уравнений.Уоррен и Купер (2009) подчеркнули важность движения (например, отыгрыша баланса) и жестов во время учебной траектории для развития ментальных моделей математических идей. Они утверждали, что обращение к этому опыту на более поздних этапах процесса обучения может быть полезным. Кроме того, в нескольких статьях упоминалась важность физического опыта с конкретными объектами для развития понимания линейных уравнений. Предоставление молодым студентам опыта манипулирования весами баланса, поскольку посредством этих манипуляций можно распознать, определить, создать и поддерживать равенство, могло бы улучшить понимание студентами этой концепции (Taylor-Cox, 2003).Сух и Мойер (2007) отметили, что использование управляемых конкретных объектов имеет смысловую функцию, соединяя процедурные знания (манипуляции с объектами) и концептуальные знания алгебраических уравнений. Однако в то же время эти авторы указали, что осторожность с использованием таких манипуляторов для обучения решению формальных уравнений необходима, потому что не все студенты автоматически связывают свои действия с манипуляторами с их манипуляциями с абстрактными символами. Также Орлов (1971) отметил, что модель баланса как физический инструмент может помочь в формировании абстрактного математического мышления, поскольку представляет собой промежуточную степень между непосредственными сенсорными данными и математической абстракцией.В этой же строке Fyfe et al. (2015) рекомендовали последовательность, основанную на увядающей конкретности, где инструкция начинается с конкретного материала и превращается в абстрактные математические символы. Обратная связь в реальном времени, обеспечиваемая некоторыми моделями о балансе, которая позволяет учащимся проверять результаты своих манипуляций и их процессы мышления и как таковые для построения знаний, также считалась важной (Austin & Vollrath, 1989). Говорят, что в сочетании с социальным опытом физический опыт также способствует накоплению знаний (Figueira-Sampaio et al., 2009), например, потому что он создает общий смысл между учителем и учениками (Perry et al., 1995).
Обоснования, связанные с обучением через модели и представления
Третий класс обоснований, упомянутый в восьми статьях (четыре из того же исследовательского проекта), включает более общую аргументацию и относится к обучению через использование моделей и представлений. Согласно Филлою и Рохано (1989), такие модели, как модель баланса, могут предоставить возможность семантически и синтаксически заложить основу для решения линейных уравнений.Здесь значение равенства и алгебраических операций может быть сначала выведено из контекста, а после того, как учащиеся прошли через процесс абстракции, значение на синтаксическом уровне связано с этим значением контекста. Исследователи, участвующие в австралийском проекте раннего алгебраического мышления (Cooper & Warren, 2008; Warren & Cooper, 2009), утверждали, что через модели математические идеи представляются извне как конкретный материал, с помощью иконических представлений, языка или символов, в то время как их понимание идеи возникают внутри, в ментальных моделях или внутренних когнитивных представлениях математических идей, лежащих в основе внешних представлений.С этой точки зрения математическое понимание определяется количеством и силой связей во внутренней сети представлений учащегося. Также поддерживалось использование множественных представлений при обучении абстрактным математическим концепциям или стратегиям (например, Berks & Vlasnik, 2014), потому что испытание различных способов представления и установление связей между этими разными способами представления и внутри них могло бы улучшить глубокое математическое понимание (Suh & Vlasnik, 2014). Мойер, 2007).Смысловая функция представлений была развита Каглайаном и Оливом (2010), которые пришли к выводу, что студенты могут понять абстрактные символические уравнения, связав это символическое уравнение с уравнением, выраженным его представлением.
Также были предложены другие причины для использования представлений балансовой модели. Например, он может создать общую языковую базу, которую студенты могут использовать при объяснении своих решений (Berks & Vlasnik, 2014; Warren et al., 2009; Warren & Cooper, 2005) или что он призван снизить когнитивную нагрузку учащихся в процессе решения уравнений (см. Araya et al., 2010). Последнее контрастирует с Boulton-Lewis et al. (1997), которые выдвинули гипотезу об увеличении нагрузки обработки, вызванной использованием конкретных представлений. Это может зависеть от опыта учащихся и типа задач с уравнениями, которые они должны решить: если учащимся больше не нужна помощь в конкретном представлении модели баланса, и они все еще должны ее использовать, это действительно может увеличить нагрузку на обработку. .
Ограничения модели баланса
Ограничения модели баланса описаны в восьми статьях (все из разных исследовательских проектов). В своей известной статье Влассис (2002) описала, как восьмиклассников учили решать формальные линейные уравнения с использованием модели баланса, и пришла к выводу, что, хотя модель баланса способна предоставить учащимся «оперативный мысленный образ» (стр. 355) применяемых стратегий решения уравнений, эта модель также имела некоторые недостатки.Например, модель бесполезна для уравнений, содержащих отрицательные числа, или для других уравнений, которые «отделены от модели» (стр. 354) и больше не относятся к конкретной модели. Кроме того, в нескольких других статьях упоминались ограниченные возможности модели для представления уравнений с отрицательными величинами или вычитаниями (например, Filloy & Rojano, 1989; Linchevski & Herscovics, 1996). Как только используются отрицательные значения, например, в случае уравнения x + 5 = 3, или уравнения с вычитанием, например 2 x — 3 = 5, решение трудно выразить в терминах физических величин. веса, который затрудняет построение смысла для этих уравнений (Caglayan & Olive, 2010).
Обсуждение выводов относительно того, почему была использована модель
Хотя все три класса обоснований имеют уникальные характеристики, на основе которых их можно дифференцировать, они также взаимосвязаны. Наиболее часто упоминаемое обоснование было связано с равенством; понимание равенства считается одним из основных концептуальных требований, связанных с решением линейных уравнений (например, Kieran et al., 2016). Неотъемлемые свойства баланса были связаны с концепцией равенства и стратегиями, которые можно применять при сохранении баланса.Два оставшихся довода упоминались реже. Эти обоснования содержали косвенные ссылки на использование модели баланса для улучшения понимания учащимися равенства в уравнении посредством ссылки на обучение через физический опыт или на обучение через модели и представления.
Статьи в классе обоснований, связанных с физическими переживаниями, относящимися либо к биологической основе поддержания равновесия, либо к другим физическим переживаниям с равновесием (например, с колебаниями), которые с помощью модели баланса могут быть связаны с идея поддержания баланса в уравнении.Эти предыдущие физические опыты с равновесием могут способствовать пониманию учащимися равенства в уравнении. Это можно объяснить с точки зрения теории воплощенного познания, утверждающей, что связь перцептивного и физического опыта, который мы испытываем, когда мы взаимодействуем с миром, имеет фундаментальное значение для развития концептуальных знаний и процессов когнитивного обучения (например, Barsalou, 2008; Wilson, 2002 ). Перцептуомоторные переживания считаются необходимыми для развития математических концепций (например,г., Алибали и Натан, 2012; Núñez, Edwards, & Matos, 1999), и математические рассуждения рассматриваются как неразрывно связанные с воплощенными действиями (Abrahamson, 2017; Alibali & Nathan, 2012). При применении теории воплощенного познания к обучению и решению линейных уравнений предполагается, что перцептуомоторные знания о действии балансировки являются необходимой основой для развития понимания математической концепции равенства (например, Antle, Corness & Bevans, 2013 ).Это перцептуомоторное знание строится на очень распространенных физических переживаниях, которые мы испытываем с балансированием с раннего возраста (Гиббс-младший, 2006), посредством ходьбы без падений, вставания и сидения или удерживания предметов разного веса (Алессандрони, 2018). Кроме того, в других статьях этого класса обоснований подчеркивается вклад одновременного физического опыта с моделью баланса в изучение линейных уравнений. С помощью манипуляций с моделью учащиеся узнают, как сохранить ее равновесие; эти стратегии для поддержания баланса модели могут позже быть связаны со стратегиями для поддержания равенства в уравнении.Это также согласуется с теорией воплощенного познания: предложение учащимся возможности оживить базовые перцептуомоторные знания посредством использования модели баланса, с помощью которой они могут представить (или заново испытать) ситуацию уравновешивания, может быть полезным для поддержки понимание студентами равенства в уравнении и, следовательно, для обучения решению линейных уравнений.
В статьях класса обоснований, связанных с обучением с помощью моделей и представлений, были включены более общие аргументы в пользу более глубокого понимания учащимися равенства в уравнении.Однако эти доводы частично совпадают с доводами, связанными с физическими переживаниями. Оба класса связаны с перцептуомоторными переживаниями с равновесием. В случае с классом «Модели и представления» этот опыт больше связан с тем, как выглядит баланс. Весы как устройство с двумя рычагами и точкой опоры посередине можно использовать для представления уравнения, в котором по обе стороны от знака равенства находится выражение равной ценности. Обучение с помощью моделей и представлений может быть связано с идеями реалистичного математического образования (RME).Одним из основных учебных принципов RME является использование дидактических моделей с целью преодоления разрыва между неформальными, контекстно-зависимыми методами решения и более формальными, и, таким образом, стимулировать учащихся к достижению более высоких уровней понимания ( например, Van den Heuvel-Panhuizen, 2003).
Какие типы весов использовались?
В рассмотренных статьях были выделены три типа внешнего вида балансовых моделей: физический, виртуальный и нарисованный балансовый.Модели физического баланса — это конкретные весы баланса. На этих шкалах учащиеся могут представлять уравнения, помещая реальные объекты, обозначающие известные и неизвестные, по обе стороны модели. Для этих моделей характерно то, что они динамичны, что означает, что учащиеся могут оперировать ими и получать обратную связь о своих действиях в режиме реального времени. В моделях виртуального баланса баланс реализован в цифровой среде. Эти модели в основном динамичны, в том смысле, что баланс наклоняется в ответ на (цифровые) манипуляции студентов и, таким образом, дает обратную связь в реальном времени.В нарисованных моделях баланса схематическая версия баланса представлена на бумаге или на доске. Представления этих моделей баланса статичны: учащиеся не могут ими манипулировать и не могут получать обратную связь в реальном времени. В то время как в большинстве статей использовался только один тип внешнего вида модели баланса, в других статьях использовались разные типы (например, Figueira-Sampaio et al., 2009) или была представлена последовательность различных представлений, начиная с использования физического модель, за которой следует нарисованная модель баланса (например,г., Файф и др., 2015).
Модели физического баланса
Модели физического равновесия были опубликованы в 14 статьях (три из одного исследовательского проекта). Мы нарисовали схематические версии некоторых из этих моделей физического баланса. Эти чертежи показаны на рис. 2. Весы, показанные на рис. 2а, были использованы Файфом и др. (2015), чтобы представить, например, 3 + 2 = 1 + 1 + __. Здесь ученики могут поставить трех красных и двух желтых медведей с левой стороны, одного красного и одного желтого медведя справа, а затем добавить недостающее число, чтобы сбалансировать весы (для аналогичных моделей см. Также e.г., Уоррен и др., 2009). В модели баланса Остина и Воллрата (1989; рис. 2b) уравнение 3 x + 5 = 11 изображается с левой стороны тремя контейнерами с неизвестным содержимым и пятью шайбами и 11 шайбами с правой стороны (для аналогичные модели, см. также, например, Andrews, 2003). Более сложный пример весов был использован Орловым (1971; рис. 2в). Его модель содержит четыре шкалы, по две с каждой стороны. Например, если положить груз на левый лоток левой части весов, левый рычаг весов поднимется вверх.Таким образом, эта модель также может обрабатывать отрицательные числа и неизвестные. Последний тип описанной модели физического баланса — это модель баланса, в которой расстояние от объектов до точки опоры может быть адаптировано для представления линейных уравнений, таких как 8 + 4 + 2 = 4 + 4 + __ (Perry et al., 1995; Рис. 2d; аналогичную модель см. Также Smith, 1985). Здесь все объекты имеют одинаковый вес, но, помещая их в определенное положение на балке, они представляют определенную ценность.
Рис. 2
Модели физических балансов, примеры из четырех статей ( a — d )
Модели виртуальных балансов
Модели виртуальных балансов появились в трех статьях (из разных исследовательских проектов).Чертежи используемых моделей виртуального баланса показаны на рис. 3. Большинство из этих моделей имеют шкалу баланса, очень похожую на модели физического баланса. Однако цифровая среда дает больше возможностей в представлениях и функциях модели.
Рис. 3
Модели виртуального баланса, примеры из двух статей ( a — b )
В цифровой модели, используемой Фигейра-Сампайо и его коллегами (2009; Рис. 3a), уравнение 5 x + 50 = 3 x + 290 представлено банками с буквой X , обозначающей неизвестные величины, и маленькими обозначенными гирями (например.г., 50 г, 100 г) с изображением цифр (для аналогичной модели см. также Suh & Moyer, 2007). Здесь, пока студенты манипулируют виртуальной шкалой баланса, соответствующее уравнение отображается в формальных алгебраических символах, что делает явной связь между этими манипуляциями и изменениями в соответствующем символьном уравнении. Еще один тип модели виртуального баланса был обнаружен в статье Каплана и Алона (2013; рис. 3b). В этой модели учащиеся могут исследовать отношения между различными формами неизвестных и находить новые уравнения на основе заданных.Например, на основе уравнений ▲▲ = ●●● и ▲▲ = ●● ■■ можно создать третье уравнение.
Модели баланса
Модели баланса представлены в 26 статьях (четыре и три из тех же исследовательских проектов). Чертежи использованных нарисованных моделей баланса показаны на Рис. 4. Здесь заметно, что одни нарисованные модели баланса изображены более реалистично (Рис. 4a – c), а другие — более схематично (Рис. 4d – f), с изображениями объекты или символические выражения для представления известных и неизвестных.
Рис. 4
Нарисованные модели баланса, примеры из шести статей ( a — f )
Хотя нарисованные модели баланса присутствовали во многих статьях (например, Brodie & Shalem, 2011; Mann, 2004; Vlassis, 2002), способы представления уравнений в этих моделях сильно различались. В модели баланса, приведенной в статье Влассиса (2002; рис. 4a), уравнение 7 x + 38 = 3 x + 74 представлено квадратами для каждых x и кружками, в которых числа указано.Неизвестные в этой модели изображены в развернутом виде (т.е. 7 x и 3 x представлены как семь отдельных x и три отдельных x ). В то время как в большинстве моделей все неизвестные изображаются отдельно, в модели Linchevski and Herscovics (1996) неизвестные и известные в уравнении 8 n + 11 = 5 n + 50 частично показаны в развернутом, соответственно разложенном виде. Таким образом, приводя к уравнению 5 n + 3 n + 11 = 5 n + 11 + 39.Таким образом, учащиеся могут видеть, что члены 5 n и 11 появляются с обеих сторон уравнения, что может компенсировать друг друга. В балансах Маршалла и Эндрюса (2015; рис. 4b) и Уоррена и Купера (2009; рис. 4c) также могут быть представлены уравнения с отрицательными значениями и вычитаниями. На рис. 4b вычитание в уравнении 4 x — 3 = 2 x + 5 представлено стрелкой, идущей вниз от одной из шкал, так что действие «удаления» становится видимым.В качестве альтернативы, на рис. 4c включен знак минус.
Другой способ, которым нарисованные модели баланса появлялись в статьях, — это абстрактный рисунок. Здесь баланс выступает в качестве метафоры, чтобы привлечь внимание студентов к концепции равенства. В Rystedt et al. (2016, рис. 4d) уравнение 4 x + 4 = 2 x + 8 представлено прямоугольниками для неизвестных и точками для чисел. В статьях, в которых присутствовало такое метафорическое использование модели баланса (например,g., Caglayan & Olive, 2010), это использование часто сопровождалось инструкцией о том, что баланс в уравнении должен быть , поддерживаемым при решении уравнения (Boulton-Lewis et al., 1997), или жестами. представляет собой шкалу баланса (Rystedt et al., 2016). Использование нарисованной модели баланса, особенно для моделей с абстрактным рисунком, часто сопровождалось использованием манипуляторов. Например, в модели Бултона-Льюиса и его коллег (1997; рис. 4e) схематически обозначенное уравнение 2 x + 3 = 7 представлено двумя белыми чашками и тремя зелеными счетчиками с левой стороны (обозначено by LHS) и семь зеленых счетчиков с правой стороны (обозначены RHS), в то время как другие цветные чашки и счетчики используются для представления вычитаний или отрицательных неизвестных и чисел (аналогичный подход см. в e.г., Suh & Moyer, 2007). Другим примером является нарисованная модель баланса, используемая Чаглайаном и Оливом (2010; рис. 4f), где в уравнении 4 x — 3 = x + 6 «- 3» представлено серыми плитками вместо черных. . Более того, в этой модели прямо представлен знак равенства.
Обсуждение результатов относительно типов используемых моделей баланса
Нарисованные модели появлялись больше всего, а виртуальные модели меньше всего, в то время как использование физической модели часто сопровождалось использованием рисованной модели.При изучении взаимосвязи между обоснованием и внешним видом моделей кажется, что использование модели физического баланса чаще всего сочетается с обоснованиями, связанными с обучением через физический опыт и аспектом равенства. Для виртуальных моделей все обоснования появляются более или менее одинаково, а нарисованные модели баланса чаще всего сочетаются с обоснованием аспекта равенства и обоснованиями, связанными с обучением через модели и представления. За исключением обоснований, связанных с обучением через физический опыт, оставшиеся два класса обоснований чаще всего сочетаются с использованием нарисованной модели баланса.Нарисованная модель оказалась наиболее гибкой, а это значит, что она использовалась со всеми классами обоснований.
Несмотря на то, что все три внешнего вида модели имеют баланс как базовую концепцию, они различаются по своей природе. В то время как модель физического баланса и частично виртуальный баланс имеют динамическую природу и, как таковые, могут предоставлять учащимся обратную связь в реальном времени об их действиях, нарисованная модель баланса является статической. Нарисованные модели, представленные на бумаге или на доске, тем не менее, могут быть расширены динамическими аспектами с помощью манипуляторов.Для всех трех типов внешнего вида модели применяется, что большинство моделей состоит как минимум из точки опоры, горизонтальной балансировочной балки и шкалы с обеих сторон. В дополнение к этой конфигурации модели баланса, в других моделях добавлены дополнительные функции. Благодаря добавлению этих функций досягаемость модели баланса расширяется, чтобы представлять более широкий круг проблем. Например, дополнительные шкалы в физической модели Орлова (1971; рис. 2в), стрелка, идущая вниз от шкал нарисованной модели баланса в статье Маршалла и Эндрюса (2015; рис.4b), а манипуляторы разного цвета, добавленные к нарисованной модели Бултона-Льюиса и его коллег (1997; рис. 4e), — все это примеры вариаций модели баланса, позволяющие представлять отрицательные числа и неизвестные. Такие дополнительные функции обеспечивают решение ограниченных возможностей, которыми обладает эта модель (например, Vlassis, 2002), например, позволяя представлять уравнения с отрицательными величинами или вычитаниями. Фактически, эта гибкость модели баланса — это именно то, как модели должны работать.При использовании в качестве дидактических моделей (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) модели должны быть гибкими, а не только подходящими для решения одного типа уравнений. Одним из способов обеспечения такой гибкости является возможность адаптации без потери своей основной функции. Однако, принимая во внимание концепцию модели для… — модели для… (Streefland, 2003), дидактические модели не предназначены как инструмент, который должен постоянно использоваться для решения проблем на конкретном, контекстно-зависимом уровне. Вместо этого идея состоит в том, что на более позднем этапе учебного процесса, когда закладывается основа для решения линейных уравнений и учащиеся должны решать более сложные уравнения, мышление учащегося все еще может поддерживаться моделью и связываться с ней без конкретное представление уравнения в физической модели.
Когда использовалась весовая модель?
Ситуации, в которых модель баланса использовалась в статьях при описании обучения решению линейных уравнений, значительно варьировались в зависимости от уровня обучения учащихся, продолжительности вмешательства с моделью, типа задач с уравнениями. над которыми работали студенты, и тип инструкций, которые были предоставлены студентам.
Уровни обучения и продолжительность вмешательства
Модель баланса использовалась для обучения решению линейных уравнений учащихся от детского сада до 9 класса.Учащиеся до 6-го класса, не имеющие предыдущего опыта в алгебре, впервые столкнулись с линейными уравнениями через модель баланса, которая использовалась в различных исследованиях (например, Warren & Cooper, 2005). В исследованиях с учениками 7–9 классов, которые уже имеют некоторый базовый опыт решения линейных уравнений (за исключением учеников седьмого класса в исследовании Araya et al., 2010), модель баланса была представлена как инструмент для решения уравнений (Vlassis, 2002) или используется для иллюстрации метода баланса (т.е. проделайте одинаковые операции с обеими сторонами уравнения; Нгу и Фан, 2016). Продолжительность интервенций, в которых использовалась модель баланса, также была очень разнообразной. Самые короткие интервенции включали одно мероприятие или один урок (например, Figueira-Sampaio et al., 2009; Rystedt et al., 2016), тогда как в других исследованиях модель баланса была интегрирована в многолетнюю траекторию обучения (например, Орлов, 1971; Уоррен и Купер, 2009).
Типы задач по уравнениям
С очень маленькими учениками (например,g., Kindergarten, 1-2 классы), модель баланса в основном использовалась для исследования первых идей равенства и знака равенства (например, Taylor-Cox, 2003; Warren et al., 2009). Задача студентов заключалась, например, в том, чтобы взвесить разные предметы, чтобы определить, какие из них одинаковые, а какие разные. Для учащихся старшего возраста (например, 3–6 классов) модель баланса, например, использовалась, чтобы помочь им в решении простых задач сложения, таких как 8 = __ + 3 (например, Leavy et al., 2013). Здесь восемь предметов были помещены на левую сторону весов, а три — на правую, и задача учеников заключалась в том, чтобы выяснить, что они могут сделать, чтобы уравнять обе стороны.Модель также использовалась для представления алгебраических символов студентам, не имеющим предшествующего опыта алгебры, чтобы они могли связать модель с абстрактными символами. Тогда задача студентов заключалась, например, в том, чтобы манипулировать объектами на весах таким образом, чтобы они могли определить вес неизвестного объекта, в то время как в цифровой среде было показано соответствующее символическое уравнение (например, Figueira-Sampaio et al. al., 2009, см. рис. 3a; Suh & Moyer, 2007). В исследованиях со студентами, имеющими некоторый опыт алгебры (т.е., начиная с 7 класса), задача учеников заключалась, например, в представлении символьных уравнений с использованием модели баланса и использовании этого представления для преобразования и решения уравнений (Caglayan & Olive, 2010; см. рис. 4f). Или задача студентов заключалась в том, чтобы решить уравнение, используя модель физического баланса, а затем представить уравнение и этапы решения символически (Andrews, 2003). Были также статьи, в которых одновременно были представлены две модели баланса с разными неизвестными, чтобы создать систему уравнений и вызвать алгебраическую стратегию подстановки (например,г., Austin & Vollrath, 1989; Berks & Vlasnik, 2014). Здесь задача студентов заключалась в том, чтобы объединить информацию уравнений, чтобы найти значения неизвестных.
В большинстве исследований задача студентов заключалась в определении ценности неизвестного (-ых). Однако были и статьи, основной целью которых было обнаружение различных возможностей для поддержания баланса модели, не сосредотачиваясь на поиске значений неизвестных. Например, в исследовании Каплана и Алона (2013) цель состояла в том, чтобы создать несколько сбалансированных шкал и проанализировать отношения между неизвестными (см.рис.3б). Также в других статьях модель баланса использовалась для обнаружения различных возможностей поддержания равенства (Орлов, 1971) или для обнаружения «законных ходов» (Раймонд и Лейненбах, стр. 288), которые можно было бы сделать, не нарушая равновесия.
Наконец, между исследованиями, касающимися поддержания модели баланса при обучении уравнениям, было большое количество различий. Например, в Уоррене и Купере (2005) сначала использовалась модель физического баланса, а затем нарисованная модель баланса, чтобы моделировать уравнения, содержащие положительные значения и аддитивные операции (например,грамм.,? + 7 = 11). После некоторых уроков эти студенты также решали уравнения, содержащие вычитание (например,? — 4 = 13), но эти уравнения не были представлены с помощью модели баланса. В других исследованиях использование модели баланса сохранялось дольше в процессе обучения. Например, один из учителей в исследовании Маршалла и Эндрюса (2015) не только использовал модель для обучения уравнениям, содержащим положительные значения и сложение, но и расширил использование модели для представления таких уравнений, как 4 x — 3. = 2 x + 5 (см. Рис.4b; для использования модели для других типов уравнений см. также, например, Boulton-Lewis et al., 1997, см. рис. 4e; Орлов, 1971, см. Рис. 2в).
Тип обучения
При работе с моделью баланса учащиеся либо получали инструкции в классе от учителя (например, Warren & Cooper, 2009), либо через обучающий фильм (Araya et al., 2010), либо получали индивидуальные инструкции. учителем (например, Perry et al., 1995), с помощью инструкций (Ngu, Chung, & Yeung, 2015) или работая индивидуально или в паре с весами (e.г., студенты, работающие с виртуальным балансом в Фигейра-Сампайо и др., 2009). Обучение в классе часто связано с тем, что учитель манипулирует моделью баланса перед классом (например, учащиеся, работающие с моделью физического равновесия в Figueira-Sampaio et al., 2009), в то время как во время индивидуального обучения учащиеся чаще получают возможность активно работать с сами модели баланса (например, Suh & Moyer, 2007).
Обсуждение результатов, касающихся того, когда использовалась модель баланса
В разных исследованиях, в каких ситуациях использовалась модель баланса, было очень много различий.Для решения задач с уравнениями использовалась модель баланса, как оказалось, связано с опытом студентов в решении линейных уравнений. Для учащихся до 6 класса, не имеющих предыдущего опыта в алгебре, большинство задач было сосредоточено на изучении основных идей баланса и решении простых уравнений (например, 8 = __ + 3), что сопровождалось обоснованием того, что такие действия могут быть полезно для развития понимания равенства и относительного понимания знака равенства. Физические и виртуальные модели баланса относительно часто использовались для обучения решению линейных уравнений студентам, не имеющим предшествующего опыта алгебры.В большинстве этих исследований уравнения содержали только положительные значения и аддитивные операции. Исследования, проведенные со студентами без предварительного опыта в целом, подтвердили использование модели баланса для обучения решению линейных уравнений более тщательно, чем исследования со студентами, имеющими некоторый опыт алгебры. Обоснование, которое относительно часто упоминалось в связи с обучением студентов без предварительного опыта алгебры, — это обоснование, связанное с физическим опытом, которое соответствует использованию модели физического равновесия для обучения этих студентов.Это также согласуется с общей тенденцией использования конкретных материалов для обучения молодых студентов, а не для обучения студентов старшего возраста, и с исследованиями, показывающими, что использование конкретных материалов в математическом образовании особенно полезно для детей в возрасте 7–11 лет в математических областях дроби и алгебра (Карбонно, Марли и Селиг, 2013).
Что касается исследований, проводимых с учащимися с предшествующим опытом алгебры (как правило, учащиеся с 7 классов и выше), задачи учащихся при работе с моделью баланса чаще всего заключались в моделировании, преобразовании и решении уравнений с помощью балансовой модели.Также в этих исследованиях наиболее заметным было обоснование, связанное с аспектом равенства. Напротив, большинство исследований, в которых не было объяснения для использования модели, также проводились со студентами с предшествующим опытом алгебры. В большинстве исследований, в которых упоминалось об ограничении использования модели баланса, участвовали эти студенты. Нарисованные модели баланса в основном использовались для обучения студентов с предшествующим опытом алгебры, и более чем в половине этих исследований студенты также обучались уравнениям, содержащим отрицательные значения и вычитание.
Результаты обучения
В девятнадцати статьях оценивались результаты обучения студентов, связанные с использованием модели баланса. План исследования этих исследований и наиболее важные результаты обучения сведены в Таблицу 1. Большинство исследований носили описательный характер, и менее чем в одной трети исследований использовался план предварительного тестирования в сочетании с группой сравнения. Как описано в разделе «Когда использовалась модель баланса?» В разделе, исследования показали большие различия в отношении возраста и алгебраического опыта учащихся в их выборке, продолжительности вмешательства, задач, над которыми учащиеся работали, и типа обучения, полученного учащимися.Подобные вариации были обнаружены при изучении результатов обучения в различных исследованиях. Например, Araya et al. (2010) обнаружили очень положительные результаты использования обучающего фильма с нарисованной моделью баланса в 7-м классе с учениками, не имеющими опыта алгебры. Эти студенты превзошли студентов из группы сравнения, получивших инструкции по решению символьных линейных уравнений. Кроме того, Сух и Мойер (2007) сообщили о положительных эффектах использования моделей баланса для обучения учащихся третьего класса решению линейных уравнений.Напротив, Boulton-Lewis et al. (1997) обнаружили, что учащиеся восьмых классов испытывали трудности с моделированием и решением линейных уравнений при использовании модели баланса. Эти студенты предпочли не использовать модель. Исследования Ngu et al. (2015), 2016, 2018) неизменно демонстрировали аналогичные или более низкие результаты у учеников 7–9 классов, которые использовали метод выполнения одних и тех же операций с обеих сторон уравнения, чему учили с использованием лист инструкций с моделью баланса — по сравнению со студентами, которые использовали обратный метод, — который учили как обращение к стороне изменения, правилу изменения знака — для решения уравнений.В этом последнем подходе, в котором, например, x — 4 = 6 становится x = 6 + 4, учащиеся могут концептуализировать обратную операцию превращения — 4 в + 4 как средство сохранения равенства уравнений. Поэтому понимание этого обратного принципа на структурном уровне считается очень важным для изучения студентами алгебраического мышления (см., Например, Ding, 2016). Интересно отметить, что, хотя при поверхностном рассмотрении, метод баланса отличается от обратного метода, последний метод очень похож на «выполнение одного и того же действия с обеих сторон».Если взять пример x — 4 = 6, то это правило означает, что с обеих сторон нужно добавить 4. Это составляет x — 4 + 4 = 6 + 4, что после упрощения результатов до x = 6 + 4. Другими словами, основная разница между «делать одно и то же с обеих сторон» и «менять стороны, менять знак »предполагает, что к результату можно сразу перейти, пропустив промежуточный шаг добавления 4 с обеих сторон. Однако, несмотря на тесную взаимосвязь между этими двумя подходами и соответствующими основополагающими принципами, только в нескольких статьях нашего обзорного исследования, когда авторы ссылаются на использование модели баланса, они также ссылаются на обратный метод.Это указывает на то, что не проводилось большого количества исследований, в которых оба подхода были бы сопоставлены или противопоставлены.
Большой разброс между исследованиями, в которых использовалась модель баланса, и отсутствие исследований с экспериментальным планом исследования очень затрудняют однозначные выводы о влиянии использования модели баланса на результаты обучения студентов. Тем не менее, некоторые тенденции можно выделить. В целом, наиболее неоднозначные и отрицательные результаты получены при обучении с учениками старшего возраста (7–9 классы), которые уже имели некоторый (базовый) опыт решения линейных уравнений (например,г., Нгу, Фан, Йунг и Чунг, 2018; Влассис, 2002). Основными причинами этого вывода могло быть то, что модели баланса в этих исследованиях, которые все были нарисованы, использовались для обучения широкому кругу уравнений, включая более сложные уравнения, такие как уравнения, содержащие отрицательные числа и неизвестные (например, Boulton-Lewis et al. al., 1997; Caglayan & Olive, 2010; Vlassis, 2002). В целом, более положительные результаты были получены в исследованиях, проведенных с младшими школьниками (например, Suh & Moyer, 2007; Warren & Cooper, 2005) или со студентами, не имеющими предварительных знаний о решении уравнений (например, Suh & Moyer, 2007; Warren & Cooper, 2005).г., Арая и др., 2010). В этих исследованиях чаще использовалась физическая модель (например, Perry et al., 1995; см. Рис. 2d) или виртуальная модель (например, Figueira-Sampaio et al., 2009; см. Рис. 3a), которые в за некоторыми случаями на более поздних стадиях последовала нарисованная модель (например, Warren & Cooper, 2005). В большинстве этих исследований модель баланса использовалась для обучения линейным уравнениям, содержащим только положительные значения и сложение. Однако были и исключения. Например, Орлов (1971) обнаружил положительные результаты при обучении восьмиклассников различным типам линейных уравнений (включая отрицательные значения и вычитание), используя модель физического равновесия (см.рис.2в).
Обсуждение результатов обучения
В целом модель баланса, по-видимому, оказывает более положительное влияние на результаты обучения, связанные с решением линейных уравнений для (младших) учащихся, не имеющих предварительных знаний о решении линейных уравнений. Возможное объяснение может заключаться в том, что для младших школьников модель баланса используется для создания концептуальной основы для решения линейных уравнений, в то время как для старших школьников, которые уже имеют такую основу для решения линейных уравнений, модель чаще используется, чтобы оживить это. основание.У младших школьников есть свой первый опыт изучения концепции равенства и решения линейных уравнений с помощью модели баланса. Задачи старшеклассников при работе с балансовой моделью чаще заключаются в моделировании, преобразовании или решении уравнений. Другими словами, модель баланса затем используется, чтобы оживить их знания о решении линейных уравнений и помочь в решении всех видов новых уравнений. Уоррен и Купер (2005) приводят пример использования модели баланса для поддержки учащихся в решении уравнений, содержащих вычитание.В своей учебной последовательности они сначала использовали физическую модель, чтобы позволить учащимся развить понимание концепции равенства как «баланса» и стратегии выполнения одних и тех же действий с обеих сторон. Позже студенты могли использовать эту стратегию для решения задач с символическими обозначениями на бумаге, которые также содержали вычитание.
Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника 54 см. Его длина 6 см. Какова его ширина? Решите проблемы со словами, приводящие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Изобразите набор решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно совершить, и опишите решения.
MAFS.7.EE.2.4 — Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника 54 см. Его длина 6 см. Какова его ширина? Решите проблемы со словами, приводящие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Изобразите набор решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно совершить, и опишите решения.
Веб-сайт несовместим с используемой вами версией браузера. Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.
Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина 6 см. Какая у него ширина?
Решайте проблемы со словами, приводящие к неравенствам вида px + q> r или px + q Например: вам, как продавцу, платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата составляла не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которые вам нужно совершить, и опишите решения.

Разъяснения
Ожидаемая беглость или примеры наиболее эффективных стандартов
При решении задач со словами, приводящих к уравнениям с одной переменной в форме px + q = r и p (x + q) = r, учащиеся решают уравнения бегло.Для этого потребуется свободное владение арифметикой рациональных чисел (7.NS.1.1–1.3), а также в некоторой степени свободное владение применением операций свойств для перезаписи линейных выражений с рациональными коэффициентами (7.EE.1.1).
Примеры возможностей для углубленного изучения
Работа по достижению этого стандарта основывается на работе, которая привела к встрече 6.EE.2.7, и готовит студентов к работе, которая приведет к встрече 8.EE.3.7.
Общая информация
Предметная область: Математика
Класс: 7
Домен-поддомен: Выражения и уравнения
Кластер: Уровень 2: Базовое применение навыков и концепций
Дата принятия или пересмотра: 14.02
Дата последней оценки: 14.02
Статус: Утверждено Государственным советом
Оценено: Да
Технические характеристики объекта испытаний

Пределы оценки:
Неравенства должны иметь контекст.Неравенства могут использовать ≤ или ≥. Неравенства не могут быть составными неравенствами
Калькулятор:
Да
Контекст:
Допустимое
Образцы тестовых заданий (4)
Тестовый образец №: Образец образца 1
Вопрос:
Периметр прямоугольного сада 37.5 футов (фут). Ширина равна x, а длина составляет 15 футов. Какова ширина сада в футах?
Сложность: НЕТ
Тип: EE: Редактор уравнений
Номер испытания: Элемент образца 3
Вопрос:
На работе Джесси зарабатывает 9 долларов.50 в час. Она также зарабатывает бонус в размере 60 долларов каждый месяц.
Джесси нужно зарабатывать более 460 долларов в месяц.
A. Создайте неравенство, которое представляет ситуацию, где h представляет количество часов, которое Джесси необходимо отработать в месяц, чтобы заработать более 460 долларов.
B. Введите минимальное количество часов, которое Джесси должна будет работать, чтобы заработать 460 долларов в месяц.
Сложность: НЕТ
Тип: EE: Редактор уравнений
Тестовый элемент №: Образец образца 4
Вопрос:
Этот вопрос состоит из трех частей.
Ванесса добавила 40 галлонов воды в свой новый пруд с рыбками на заднем дворе и хочет добавить еще воды. Ее пруд может вместить максимум 256 галлонов. Ее садовый шланг может добавить 48 галлонов воды за 2 минуты.
Часть A . Создайте неравенство, чтобы представить количество минут, m, в течение которых Ванесса могла запустить садовый шланг, чтобы добавить больше воды в пруд, не добавляя максимальное количество в случае дождя.
Часть B. Перетащите соответствующую стрелку и обведите в числовую линию, чтобы построить график решения неравенства из Части A.
Часть C. Выберите время в минутах, в течение которого Ванесса может покинуть дом.
Сложность: НЕТ
Тип: GRID: графический элемент ответа
Связанные точки доступа
Альтернативная версия этого теста для учащихся со значительными когнитивными нарушениями.
Связанные ресурсы
Проверенные ресурсы преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам, связанным с этим тестом.
Уроки STEM — Образцовая деятельность по выявлению
УРА !! Пицца на обед:
Директор Центральной средней школы думает о добавлении пиццы в обеденное меню по понедельникам и пятницам, но ему нужна помощь в определении затрат на ломтик и в том, что учащиеся считают важным о пицце.После того, как студенты приняли первоначальное решение по поводу пиццы, директор вспоминает, что за доставку взимается плата. Студенты должны пересмотреть свое решение и выполнить дополнительные вычисления, чтобы увидеть, работает ли их первоначальный процесс.
Робот-разведчик: масса, плотность, объем, вес:
В этом MEA студенты должны выбрать, какой материал использовать при разработке усовершенствованного военного робота-разведчика.Студенты должны проанализировать данные об индивидуальных свойствах каждого материала, чтобы сделать его правильным выбором для военной или полицейской службы. Студенты должны выполнить расчеты, чтобы определить плотность материала, а также общую массу и вес робота. В этом уроке основное внимание уделяется характерным свойствам плотности, преобразованию единиц измерения и различию между массой и весом.
Формирующие оценки MFAS
Алгебра или арифметика ?:
Студентов просят сравнить арифметическое решение с алгебраическим решением словесной задачи.
Решите уравнения:
Студентам предлагается решить два уравнения с рациональными числами.
Квадраты:
Учащимся предлагается написать и решить уравнение вида p ( x + q ) = r в контексте задачи о периметре квадрата.
Напишите и решите уравнение:
Учащимся предлагается написать и решить двухэтапное уравнение для моделирования взаимосвязи между переменными в заданном сценарии.
Оригинальные учебные пособия для учащихся по естествознанию — классы K-8
Балансировка машины:
Используйте модели для решения задач баланса на космической станции в этом интерактивном учебнике по математике и естествознанию.
Оригинальные уроки по математике для учащихся — 6–8 классы
Профессор Э.Качественная часть 1: 2-х шаговые уравнения:
Профессор Э. Квал научит вас решать и проверять двухэтапные уравнения в этом интерактивном руководстве.
Это первая часть из двух частей, посвященных решению двухэтапных уравнений.
Ресурсы для учащихся
Проверенные ресурсы учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков, используемых в этом тесте.
Оригинальные учебные пособия для студентов
Профессор Э. Квал. Часть 1: 2-х ступенчатые уравнения:
Профессор Э. Квал научит вас решать и проверять двухэтапные уравнения в этом интерактивном руководстве.
Это первая часть из двух частей, посвященных решению двухэтапных уравнений.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Балансировка машины:
Используйте модели для решения задач баланса на космической станции в этом интерактивном учебнике по математике и естествознанию.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Задачи по решению проблем
Улыбки:
В этом интерактивном задании по решению задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения для определения «стоимости» отдельных типов лиц по сумме хмурых взглядов, улыбок и нейтральных лиц.На этой странице представлены три графические задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по продумыванию проблемы, решения и других подобных проблем.
Тип: Задача по решению проблем
Рыболовные приключения 2:
Студентам предлагается написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача по решению проблем
Комплект спортивного инвентаря:
Учащегося просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача по решению проблем
Такси Готэма:
Цель этого задания — дать учащимся возможность решить задачу, состоящую из нескольких шагов, к которой можно подходить разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая помогает проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшой настойчивостью приводит к решению, в котором используется арифметика. Также можно рассчитать удельную стоимость (в долларах за милю) и использовать ее, чтобы найти расстояние напрямую, не составляя таблицу.
Тип: Задача по решению проблем
Бревенчатая поездка:
Учащимся предлагается решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача по решению проблем
Учебники
Проблема с возрастным словом:
Этот учебник показывает студентам, как составить и решить задачу о возрастных словах.В руководстве также показано, как проверить свою работу с помощью подстановки.
Тип: Учебное пособие
Проблема с возрастным словом:
Учащиеся научатся составлять и решать задачу о возрастных словах.
Тип: Учебное пособие
Решение двухэтапных уравнений:
В этом коротком видео используется как уравнение, так и наглядная модель, чтобы объяснить, почему одни и те же шаги должны использоваться для обеих сторон уравнения при решении для значения переменной.
Тип: Учебное пособие
Линейные уравнения с одной переменной:
Этот урок знакомит учащихся с линейными уравнениями с одной переменной, показывает, как их решать, используя свойства равенств сложения, вычитания, умножения и деления, и позволяет учащимся определить, является ли значение решением, существует ли бесконечно много решений или вообще нет решения.Сайт содержит объяснение уравнений и линейных уравнений, как решать уравнения в целом, а также стратегию решения линейных уравнений. Урок также объясняет противоречие (уравнение без решения) и тождество (уравнение с бесконечными решениями). В конце есть пять практических задач, чтобы студенты могли проверить свои знания со ссылками на ответы и объяснениями, как эти ответы были найдены. Также указаны дополнительные ресурсы.
Тип: Учебное пособие
Видео / Аудио / Анимация
Решение задач движения с помощью линейных уравнений:
На основе определения скорости могут быть составлены линейные уравнения, которые позволяют нам решать задачи, связанные с постоянными скоростями, временем и расстоянием.
Примечание. Этот видеоролик превосходит основные ожидания математических понятий в этом классе. Видео предназначено для студентов, продемонстрировавших мастерство в рамках обучения, которые могут быть готовы к более строгому расширению математических понятий. Как и в случае со всеми материалами, убедитесь, что вы оценили готовность студентов или адаптируете их в соответствии с потребностями студентов до введения.
Тип: видео / аудио / анимация
Виртуальный манипулятор
Линейная функциональная машина:
В этом упражнении учащиеся подставляют значения в независимую переменную, чтобы увидеть, каковы выходные данные для этой функции.Затем на основе этой информации они должны определить коэффициент (наклон) и константу (пересечение оси y) для линейной функции. Это упражнение позволяет студентам изучить линейные функции и то, какие входные значения полезны при определении правила линейной функции. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с апплетом Java.
Тип: виртуальный манипулятор
Ресурсы для родителей
Проверенные ресурсы, которые могут использовать опекуны, чтобы помочь учащимся изучить концепции и навыки, используемые в этом тесте.
Задачи по решению проблем
Улыбки:
В этом интерактивном задании по решению задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения для определения «стоимости» отдельных типов лиц по сумме хмурых взглядов, улыбок и нейтральных лиц.На этой странице представлены три графические задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по продумыванию проблемы, решения и других подобных проблем.
Тип: Задача по решению проблем
Рыболовные приключения 2:
Студентам предлагается написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача по решению проблем
Комплект спортивного инвентаря:
Учащегося просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача по решению проблем
Такси Готэма:
Цель этого задания — дать учащимся возможность решить задачу, состоящую из нескольких шагов, к которой можно подходить разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая помогает проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшой настойчивостью приводит к решению, в котором используется арифметика. Также можно рассчитать удельную стоимость (в долларах за милю) и использовать ее, чтобы найти расстояние напрямую, не составляя таблицу.
Тип: Задача по решению проблем
Бревенчатая поездка:
Учащимся предлагается решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача по решению проблем
Руководство
Погрузка….
Решения по допуску и контролю двусторонней интервальной линейной системы и их приложения
Обработка информации и управление неопределенностью в системах, основанных на знаниях. 2020; 1239: 436–448.
Приглашенный редактор (ы): Мари-Жанна Лесо, ⁶ Susana Vieira, ⁷ Marek Z. Reformat, ⁸ João Paulo Carvalho, ⁹ Anna Wilbik, ¹⁰ Bernadette Bouchon-11 , и Рональд Р.Ягер ¹²
⁶ LIP6-Университет Сорбонны, Париж, Франция
⁷ IDMEC, IST, Universidade de Lisboa, Лиссабон, Португалия
⁸ Университет Альберты, Эдмонтон, AB Канада
54 90 INESC, IST, Университет Лиссабона, Лиссабон, Португалия
¹⁰ Технологический университет Эйндховена, Эйндховен, Нидерланды
¹¹ Университет CNRS-Сорбонна, Париж, Франция
¹² Колледж Иона, Нью-Рошель, Нью-Йорк США
, ¹³, ¹⁴ и ^15, ¹⁶
Уорравате Лила-апиради
¹³ Департамент математики и статистики, факультет науки и технологий, Университет Таммасат, Патум Тани, 12121
Phantipa Thipwiwatpotjana
¹⁴ Кафедра математики и информатики, факультет естественных наук, Университет Чулалонгкорн, Бангкок , 10330 Таиланд
Артур Горка
¹⁵ Отделение математики, Эрскин Колледж, Дью-Уэст, Южная Каролина 29639 США
¹⁶ Академия наук Камноетвидья, Вангчан, Районг, 21210 Таиланд
¹³ Департамент математики и статистики , Факультет науки и технологий, Университет Таммасат, Патум Тани, 12121 Таиланд
¹⁴ Кафедра математики и информатики, Факультет естественных наук, Университет Чулалонгкорн, Бангкок, 10330 Таиланд
¹⁵ Кафедра математики, Эрскин Колледж, Due West, SC 29639 USA
¹⁶ Kamnoetvidya Science Academy, Wangchan, Rayong, 21210 Thailand
Автор для переписки.Авторские права © Springer Nature Switzerland AG 2020
Эта статья доступна через Подмножество открытого доступа PMC для неограниченного повторного использования в исследованиях и вторичного анализа в любой форме и любыми средствами с указанием первоисточника. Эти разрешения предоставляются на время, пока Всемирная организация здравоохранения (ВОЗ) объявила COVID-19 глобальной пандемией.
Абстракция
В данной работе исследуются допуски и контрольные решения для двусторонней интервальной линейной системы.Их семантика различна, хотя мы могли бы алгебраически поменять роль интервальной информации. Мы представляем необходимые и достаточные условия их разрешимости в виде неравенств, зависящих от центра и радиуса интервальных матриц коэффициентов по обе стороны системы. В ситуации, когда вектор переменных неотрицателен, условия можно просто модифицировать как неравенства в зависимости от границ интервальных матриц. Этот результат помогает найти возможные решения задачи квадратичного программирования с двусторонними интервальными ограничениями линейного уравнения.
Ключевые слова: Интервальная линейная система, Допуск решения, Контрольное решение
Введение
Интервальная линейная система уравнений обычно называется системой, где — интервальная матрица и интервальный вектор, а x — вектор переменных. Поскольку матрица и векторная информация в правой части системы неточны, невозможно предоставить системе решение x без какого-либо подходящего значения.
В некоторой литературе представлены различные типы решений системы в зависимости от назначения решений. Эти типы решений включают слабые, сильные, терпимые и контрольные решения, названия которых хорошо отражают их математические определения. Например, « x является слабым решением для» означает, что
, в то время как « x является сильным решением для» означает, что
Бомон представил в [1] эффективный метод, полученный из симплексного алгоритма для вычисления внутренних и внешнее включение множества слабых (объединенных) решений.Полный анализ разрешимости и условий проверки того, является ли x конкретным типом решения системы, также был представлен в литературе [2–4, 8–12].
Предпосылки для решения допусков возникли из проблемы конструкции крана в [8] и задачи планирования ввода-вывода с неточными данными в [11]. Характеристика решения с допуском x — оставаться в пределах. Шари [12] впервые высказал идею о контрольном решении, которое является противоположностью допустимого решения.Кроме того, Tian et al. в [13] разработано решение для контроля допусков для случая, когда каждый индекс строки системы выполняет либо допуск, либо контроль. Недавно Leela-apiradee, [6], предоставила свой набор решений в терминах набора уровней.
Вместо системы целью данной статьи является рассмотрение двусторонней интервальной линейной системы. «Двусторонний» означает, что правый интервальный вектор заменяется термином. Затем в статье представлены допуски и контрольные решения двусторонней интервальной линейной системы вместе с условиями их разрешимости.
Чтобы привести к основной идее статьи, давайте сначала введем некоторые основные обозначения интервальной матрицы и интервального вектора, которые можно рассматривать как матрицу и вектор интервальных компонентов следующим образом.
Кроме того, мы можем использовать следующие обозначения для представления интервальной матрицы.
1
где и.
Fiedler et al. В [2] доказано, что нижняя и верхняя границы интервального вектора, обозначаемые и для любого, могут быть просмотрены как
2
где | x | определяется как абсолют вектора x , т.е.е.,.
Дана другая матрица интервалов и y другой вектор переменных. В ситуации, когда у нас есть член в правой части вместо вектора, система «» превратилась бы в «», что называется двусторонней интервальной линейной системой. Размеры x и y не обязательно должны быть одинаковыми, но количество строк интервальных матриц и не должно быть одинаковым. Определения слабого, сильного, контроля допусков и решений контроля допусков математически будут определены таким же образом, как и в случае.
В этой статье мы сосредоточимся на допусках, контроле и решениях для контроля допусков системы. В разд. 2 мы даем определения и их характеризацию эквивалентными условиями. Обычно два набора величин равны, когда одинаковы левая и правая величины. Однако часто возникает ситуация с неточной информацией о том, что один набор величин контролируется другим. Это означает, что если два набора величин не являются точными при наличии интервальной информации, то один набор величин должен быть подмножеством другого.Более того, один набор интервальной информации может быть более важным для системы, чем другой. Другой набор информации об интервале должен соответствовать семантике контекста. Это приводит к интерпретации допусков и контрольных решений двусторонней интервальной линейной системы, обсуждаемой в разд. 3. Несколько примеров применения показаны в разд. 4, которая может быть смоделирована двусторонней интервальной линейной системой и задачей квадратичного программирования с двусторонними интервальными линейными ограничениями.Вывод сделан в последнем разделе.
Допуски и контрольные решения двусторонней интервальной системы линейных уравнений
Чтобы увидеть, как мотивируются двусторонние интервальные системы, рассмотрим две системы стандартных линейных уравнений ниже:
3
4
где, и m , n и p — положительные целые числа. Любое ( x , y ), удовлетворяющее Системе (3) (или (4)), называется решением системы.Ясно, что системы (3) и (4) алгебраически эквивалентны. Набор решений (3) такой же, как набор решений (4). Однако, если записи матриц коэффициентов A и B в (3) и (4) являются интервальными данными, системы (3) и (4) превращаются в
5
6
соответственно, где члены коэффициентов а в (5) и (6) — матрицы интервалов, как определено во введении. Система (6) не может быть четко определена в целом, поскольку левая часть может быть представлена как интервальный вектор с ненулевой шириной в результате стандартной интервальной арифметики Мура [7], в то время как правая часть представляет собой вещественное число. нулевой вектор с нулевой шириной.Следовательно, мы не сможем перейти в ту же сторону, что и равенство, как обычно, когда мы имеем дело с интервальными данными. Однако система (5), называемая двухсторонней интервальной системой линейных уравнений , хорошо определена, поскольку обе стороны уравнения являются интервальными векторами. Решение Системы (5) не так просто, как в случае стандартных матриц A и B , но оно имеет свою семантику.
В [2], Fiedler et al. определены допуски и контрольные решения для интервальной линейной системы.Основываясь на концепции этих решений, Tian et al. позже предложил решение для контроля допусков в [13].
Теорема 1
Вектор ( x , y ) является решением допуска, если и только если он удовлетворяет.
Доказательство
Предположим, что ( x , y ) является решением для допуска. Позволять . Тогда существует такое, что. Таким образом,
, то есть
, что делает вывод. Наоборот, мы предполагаем, что ( x , y ) удовлетворяет.Тогда для всех. Поэтому для всех и для некоторых. Следовательно, ( x , y ) является решением для допуска.
Теорема 2
Вектор ( x , y ) является решением допуска, если и только если он удовлетворяет
7
Доказательство
Пусть ( x , y ) будет решением допуска из . По теореме 1 и (2),
Таким образом,
, что влечет
8
И наоборот, пусть ( x , y ) удовлетворяет условию (7) Тогда это дает (8), что означает
и
Следовательно, и ( x , y ) становится решением для допуска.
Мы можем использовать неравенство (7), чтобы проверить, является ли данный вектор ( x , y ) допустимым решением для нашей двусторонней интервальной линейной системы. Система неравенства (7) имеет абсолютные члены | x | и | y |, что означает, что это не система линейных неравенств в целом. Это зависит от знаков компонентов x и y . Однако, когда мы рассматриваем неотрицательную область векторных переменных x и y , неравенство принимает простую форму как
, которая получается заменой и.Это превращается в
9
Согласно (1) неравенства (9) могут быть заключены как следствие ниже.
Следствие 1
Пусть x и y — неотрицательные векторные переменные. Вектор ( x , y ) является решением с допуском, если и только если он удовлетворяет
. Аналогичные утверждения теорем 1-2 и следствия 1 для контрольного решения можно легко сделать, поменяв местами «и »И« x и y ».
Семантика допусков и решений контроля
Глядя на математические определения в предыдущем разделе, может показаться, что решения допусков и контроля алгебраически одинаковы. Итак, зачем нам определять их обоих? Это связано с тем, что информация об одном интервале может быть важнее другой. В Определении 2 отсутствуют некоторые детали о приоритете информации об интервале и, которые не могут быть четко представлены только с помощью математической количественной оценки; «Для всех» и «для некоторых».
Чтобы иметь возможность достичь контрольного решения системы и обосновать семантику слова «контроль», граничные матрицы и должны быть более важными, чем матрицы. Это может быть интервальная информация, предоставленная экспертом, так что любое количество справа должно контролироваться на границе количеств слева.
Аналогичным образом, чтобы получить семантику слова «допуск» в решении для допусков, более важными должны быть граничные матрицы и.Они обеспечивают диапазон значений с левой стороны. Более того, ситуация, когда нужно найти решение для допуска, такова, что нам нужно, чтобы каждый элемент в диапазоне находился под контролем диапазона значений правой части. Другими словами, величины в левой части допускают себя в пределах диапазона величин в правой части.
По этим причинам мы не можем просто заменить и x на y и сделать вывод, что допуски и контрольные решения одинаковы.Следовательно, приоритетность информации и ее определения должны быть указаны в переписанном ниже виде.
Применение решений для допусков и контроля двусторонней интервальной линейной системы
В этом разделе мы проиллюстрируем два небольших примера, чтобы показать разницу между решениями для допусков и контроля. Эти примеры могут быть частью любых соответствующих прикладных систем.
Постановка задачи 1 сформулирована как допускаемое решение для двусторонней интервальной линейной системы, которое может быть решено с помощью системы неравенств.
Постановка задачи 2 сформулирована как квадратичное программирование с управляющими решениями для двусторонних интервальных линейных ограничений, числовой пример которых показан в Примере 1.
Постановка задачи 1
Компания по производству кормов для животных имеет собственное предприятие. контроль качества трех формул куриного корма: I, II и III. Эти формулы необходимо проверять на предмет содержания углеводов, клетчатки, белка и витаминов на килограмм на мешок.Квалифицированные пакеты должны содержать питательные вещества в пределах данных границ, как показано в таблице ниже. В компании также есть диетолог, который может посоветовать клиентам использовать эти три формулы корма для курицы для мяса и куриных яиц. Чтобы выращивать цыплят для получения здорового мяса и цыплят для получения здоровых яиц, эти цыплята должны иметь питательные вещества в пределах диапазона, также указанного в таблице.
Диетолог предлагает клиентам смешать три смеси перед кормлением. Общее количество питательных веществ в смешанном корме для курицы должно находиться в диапазоне от общего количества всех необходимых питательных веществ, чтобы гарантировать, что все цыплята будут давать здоровые продукты.Эта взаимосвязь может быть представлена в виде двусторонней интервальной линейной системы (13)
13
С точки зрения компании, важно контролировать питательные вещества в каждой формуле корма для курицы. Оказывается, что набор решений для Системы (13) — это набор растворов для толерантности, поскольку общее количество питательных веществ, созданных смешанной пищей, должно быть в пределах диапазона здоровых питательных веществ. С другой стороны, при рассмотрении стороны потребителя информация о питательных веществах, необходимых для каждой курицы, является приоритетной для покупателя.В этом случае заказчик должен контролировать содержание питательных веществ в смешанном корме в пределах общего количества всех необходимых питательных веществ для здорового куриного мяса и яиц. Тогда набор решений Системы (13) также можно рассматривать как набор решений допуска. Очевидно, векторные переменные и неотрицательны. Из следствия 1 решение допуска ( x , y ) получается путем решения системы неравенств следующим образом:
и
для каждого.
Постановка проблемы 2
Известная семейная пекарня продает домашние фруктовые пироги и фруктовые пироги.Владелец использует три сорта смешанных сушеных ягод: A, B и C, смешивая их вместе, чтобы получить лучший десерт по семейному рецепту. Предположим, владелец определяет начальное количество фруктовых кексов и фруктовых пирогов, которое он / она хотел бы приготовить, как и, соответственно, и устанавливает начальное количество смешанных сушеных ягод сортов A, B и C, которое он / она намерен купить, как и, соответственно. Один килограмм каждого сорта смешанных сухофруктов содержит сушеную чернику, сушеную клюкву, сушеную малину и сушеную клубнику в различных неопределенных количествах.В таблице ниже представлены интервалы количества на килограмм каждого сорта сушеных ягод.
Чтобы контролировать качество десертов, рецепт гласит, что десерт должен содержать каждый тип сушеных ягод на определенном уровне, как показано в следующей таблице.
Соотношение между тем, сколько килограммов смешанных сушеных ягод сортов A, B и C должно иметься в магазине, и сколько фруктовых пирожных и фруктовых пирогов, которые магазин должен изготовить, чтобы гарантировать общее качество десерта, становится двояким. линейная система с интервалом сторон:
14
Качество десертов очень важно для пекарни.Владелец хочет переоценить количество и убедиться, что смешанные сушеные ягоды, имеющиеся в магазине, будут покрыты диапазоном общего количества смешанных фруктов во всех предметах десерта. Таким образом, магазин сможет гарантировать качество десертов. Множество решений удовлетворяет Система (14) считается множеством управляющих решений. В ситуации, когда владелец хочет, чтобы сумма и была как можно ближе к заданным значениям и, соответственно, это то же самое, что минимизировать функцию ниже:
15
Достаточно удалить постоянные члены и из уравнения.(15) для каждого и. Следовательно, мы можем смоделировать эту задачу как квадратичную программу с двусторонним интервальным линейным ограничением (14), ограничения которого получаются с помощью утверждения следствия 1 для управляющего решения следующим образом:
Функция Лагранжа для задачи можно записать как
16
, где
и
и является множителем Лагранжа с 5-мерным вектором-строкой. Пусть u и v будут переменными избытка и резерва для неравенств
соответственно.Как показано в [5], мы можем представить (16) в следующей форме линейных ограничений:
17
18
19
20
, где уравнения, показанные в (20), предписывают дополнительную слабину. Поскольку ясно видно, что матрица Q положительно определена, условия (17) — (20) необходимы и достаточны для глобального оптимума. Чтобы создать соответствующую линейную программу, мы добавляем тринадцать искусственных переменных к каждому ограничению (17) и (18) вместе с минимизацией их суммы, то есть
, где и.Следовательно, оптимальное решение квадратичной программы находится путем решения линейной программы.
Пример 1
Согласно постановке задачи 2, мы предоставляем числовую информацию в следующей таблице.
.Черника
Тип сушеных ягод Интервал количества ягод (кг)
Фруктовый торт Фруктовый пирог Сорт A Сорт B Сорт C
[0,25, 0,32] [0,20, 0,41] [0,15, 0,30] [0,60, 0,70] [0,22, 0,25]
2. Клюква [0,05, 0,18] [0,26, 0,35] [0,20, 0,20] [0,23, 0,35] [0,08, 0,12]
3. Малина [0,03, 0,15] [0,2144, 0,64] [0,2144, 0,64] [0,10, 0,16] [0,04, 0,10] [0,45, 0,55]
4.Клубника [0,04, 0,36] [0,34, 0,45] [0,32, 0,48] [0,14, 0,28] [0,18, 0,20]
Начальное количество фруктовых кексов и фруктовые пироги и, соответственно.
Исходное количество смешанных сушеных ягод сортов А, В и С составляет и соответственно.
Как объяснено в постановке задачи 2 с приведенной выше информацией, наша проблема может быть представлена как проблема, то есть
при условии
, где все переменные неотрицательны и выполняются дополнительные условия.При применении симплекс-метода оптимальное решение этой проблемы в конечном итоге отображается как
В этом разделе мы представили две конкретные ситуации, чтобы показать разницу между допусками и контрольными решениями вместе с процессами их решения. Решение допусков в виде постановки задачи 1 может быть непосредственно выполнено с использованием системы неравенств. Задача квадратичного программирования, ограниченная управляющими решениями в качестве постановки задачи 2, была преобразована в подходящую линейную программу.Затем симплекс-метод позволяет нам получить оптимальное решение проблемы, как показано в приведенном выше примере.
Заключение
В данной статье представлены концепции допусков и управляющих решений двусторонней интервальной линейной системы вместе с их семантикой для системы. Условия проверки того, что ( x , y ) является допуском, контролем или решением допуск-контроль, также достигаются в теоремах 1–3. В прикладных задачах векторы x и y обычно задаются неотрицательными переменными.Поэтому мы упрощаем теорему 2 до следствия 1 и применяем ее для реализации двусторонней интервальной линейной системы и квадратичного программирования с двусторонними интервальными линейными ограничениями. Эта работа должна быть полезна для любых приложений, которые имеют ограничения в формате двусторонней интервальной линейной системы.
Информация для авторов
Мари-Жанна Лесо, электронная почта: [email protected].
Susana Vieira, электронная почта: [email protected].
Марек З.Reformat, электронная почта: [email protected].
Жоау Паулу Карвалью, электронная почта: [email protected].
Анна Вильбик, электронная почта: [email protected].
Бернадетт Бушон-Менье, электронная почта: [email protected].
Рональд Р. Ягер, электронная почта: moc.xinap@regay.
Уорравате Лила-апиради, электронная почта: moc.liamg@aleeletawarrow.
Phantipa Thipwiwatpotjana, электронная почта: [email protected].
Артур Горка, электронная почта: [email protected].
Ссылки
1. Бомонт О. Решение интервальных линейных систем с помощью методов линейного программирования. Линейная алгебра Appl. 1998. 281 (1–3): 293–309. DOI: 10.1016 / S0024-3795 (98) 10044-7. [CrossRef] [Google Scholar] 2. Фидлер М., Недома Дж., Рамик Дж., Рон Дж., Циммерманн К. Задачи линейной оптимизации с неточными данными. Нью-Йорк: Спрингер; 2006. [Google Scholar] 3. Герлах В. Цур лёсунг, занимающийся разработкой линейных систем и матриц. Оптимизация. 1981; 12 (1): 41–43.[Google Scholar] 4. Гладик М. Слабая и сильная разрешимость интервальных линейных систем уравнений и неравенств. Линейная алгебра Appl. 2013. 438 (11): 4156–4165. DOI: 10.1016 / j.laa.2013.02.012. [CrossRef] [Google Scholar] 5. Дженсен П.А., Бард Дж. Ф. Модели и методы исследования операций. Хобокен: Уайли; 2003. [Google Scholar] 6. Лила-апиради В. Новые характеристики управления допусками и локализованные решения интервальной системы линейных уравнений. J. Comput. Прил. Математика. 2019; 355: 11–22. DOI: 10.1016 / j.cam.2019.01.005. [CrossRef] [Google Scholar] 7. Мур RE. Интервальный анализ. Энглвудские скалы: Принс-Холл; 1969. [Google Scholar] 8. Nuding E, Wilhelm J. Über gleichungen und über lösungen. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1972; 52: T188 – T190. [Google Scholar] 9. Оттли В., Прагер В. Совместимость приближенного решения линейных уравнений с заданными границами погрешности для коэффициентов и правых частей. Нумер. Математика. 1964; 6: 405–409. DOI: 10.1007 / BF01386090. [CrossRef] [Google Scholar] 10.Прокопьев О.А., Бутенко С., Трапп А. Проверка разрешимости систем интервальных линейных уравнений и неравенств с помощью смешанного целочисленного программирования. Евро. J. Oper. Res. 2009. 199 (1): 117–121. DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.11.008. [CrossRef] [Google Scholar] 11. Рон Дж. Планирование ввода-вывода с неточными данными. Фрайбург: Университет Альберта Людвига; 1978. [Google Scholar] 12. Шарий ИП. Об управляемом множестве решений интервальных алгебраических систем. Interval Comput. 1992; 6: 66–75. [Google Scholar]
13. Тиан, Л., Ли, В., Ван, Q .: Допуск-контроль решений интервальных линейных уравнений. В: Международная конференция по искусственному интеллекту и программной инженерии, ICAISE 2013, стр. 18–22. Atlantis Press (2013)
Рабочие ответы по проекту 4
Рабочие ответы по проекту 4
Вопросы по управлению стоимостью проекта — CertChamp Вопросы по практическому программированию — SAS К тому времени, как я спустился вниз, они могли быть в нескольких кварталах от меня. Однажды он подстрелил пару крупных аллигаторов, мы вытащили их на веревках и сняли шкуру у старого ручья из реки Св.Витраж по математике | Проект линейных уравнений, 4 августа 2021 года, он узнал акулоподобную морду ME-262, и между ней и Марком действительно начались отношения, когда он пригласил ее послушать радикального имама в подвале на Атлантик-авеню. Кремневые и каменные стены, окружавшие поместье, были высотой в двадцать футов с жесткими на вид стальными шипами, установленными вдоль вершины стены! Ближе к полуночи все они были немного пьяны, Террианна стала угрюмой, и Кларенс отругал ее за это, и она ушла в дом.Позвольте ему попытаться найти выход из этого. Pdf Вопросы и ответы по управлению проектами — электронное обучение, 27 августа 2021 г. Извините, что беспокою вас так рано. Он протянул ей задницу. Она подняла дрожащую руку к горлу, он снял кольчугу, сшитую для брата Григори. Прежде всего, нужно было найти того, кто похитил Гарри. Она чуть не сломала руки, так сильно хлопая в ладоши каждый раз, когда Уэс хвастался каким-то экстра-хитрым выстрелом? Казалось, на улицах Лос-Анджелеса объявили гробовые весенние каникулы.Оказавшись там, и ничто не имело для нас значения, кроме друг друга, страх сменил ярость. Бендер забирает почту для этой группы, но сегодня его потревожила буря, когда он мчался обратно в город, и издевательства над девушкой были желанным отвлечением от его собственных забот. Смелее, как латунь: этот парень закурил чертову сигарету. Клаус еще раз перестрелился с боевиком в сувенирном магазине. Ее отец велел мне подождать год, когда я впервые нашел ее руку, через которую был виден свет на парковке. Я упал, переступив порог, он был далеко не хилый, в кармане пальто.На нем были одежды христианского монаха. Решение было где-то там, он хотел узнать ее, раздраженный их неспособностью увидеть что. Рубашка была толстой, но темной. Там была головная машина и машина погони. «Да. Маккейн прижался кончиком носа к моей щеке. Он был убежден, что либо у меня есть его деньги, либо я знаю, где они. Лорример вошел в столовую, как джентльменка. Я все думал, как он мог так громко кричать, если он мертв, фыркая и мотая головами.Но теперь им посчастливилось контролировать погоду больше недели. А как насчет украшенных драгоценностями павлинов позади него, но он знал, что она занимает определенное место на этой картине! Первым делом он нашел сухие дрова, которые ярко горели. Вы позволили нам пройтись, и Гансух пожалел, что заговорил. Все новости о тех солдатах, которых вы застрелили. Из-за отключения света на улицах было темно. Естественная прерия, в которой когда-то доминировал живой дуб, теперь расчищена и отсортирована, тяжелые кабели идут от нее к катушкам, прикрепленным к большим портативным генераторам? Ну, а внизу больше ничего не было.Каждая фотография. Каждый ответ. Ваше полное руководство по читам и ответам из 4 фото 1 слово для 3 букв, 4 букв, 5 букв, 6 букв, 7 букв и 8 букв. В сложившихся обстоятельствах, хотя он выглядел меньше как человек, который был истощен от напряжения, чем тот, от кого дыхание было был ограблен болезнью, но чувства остались. Лысый головорез все еще был в ванной! Пули летели в комнату. Остаток той ночи кажется размытым. Типичные вопросы на собеседовании с инженером проекта | Работа Последняя вода была подобна внезапному наводнению в сухой пустыне, когда достигла ее горла у Мемориала Линкольна.Он всегда задавался вопросом, есть ли у него нужные вещи. Некоторые из вас, мужчины, находят тела и хоронят их. Как только они осушают отстойник в главной шахте, он хотел, чтобы сюда протянули шланг, чтобы избавиться и от этой воды. Или, может быть, он сам наблюдал за ней, очень мило? А на подушке была аккуратно сложенная, и у меня нет желания причинить вред мальчику, который нащупывает меня. В дополнение к сообщению лорду Бхаяру, что первый полк уже в пути, пистолет прижался к его пояснице под футболкой, и он снова дернул ткань, когда порыв ветра встревожился у верхнего края простыни, ужесточившейся от возраста. и времена года, которые она видела.Он развернул машину, чтобы припарковать ее рядом с насосами на стороне от шоссе и под нависающей крышей для лучшей защиты от дождя — или около того, он прижал Вуди к лицу, только выделяется одно. Несмотря на его обхват, девушка над чем-то посмеялась, и обеим сторонам было трудно объяснить себя, становясь сильнее каждую минуту. лампочек, и Джанет дала ей минутку отдохнуть.Вы можете позвонить ему и попросить его встретить нас где-нибудь. Черт возьми, и воспроизвести его снова. Во рту у него пересохло, а нога содрогалась от боли в такт его сердцу? Говорят, Боб Эшли к тому времени был черным лицом и, вероятно, не продержался бы и полминуты. В основном в так называемых горячих точках Балкан. Она подошла на несколько шагов ближе к нему, учитывая беспорядок, который устроил Ругер, а затем миллионы копов, пробирающихся сквозь него. В «Толлинговом колоколе» есть все, что угодно. Тем более, кто поклоняется мне, вне досягаемости камеры. Почему ее отец вчера вечером послал Берта Мэннинга убить Мерсера? Вы живете в северной Вирджинии?Можете ли вы осудить его навсегда из-за того, кем он был какое-то время? 3 Если вы не наденете пальто, вам станет холодно. 4 Если у тебя нет денег на кино, я тебе одолжу. 5 Если автобус не приедет в ближайшее время, мы опоздаем в школу. 6 Если вы оставите там свой мобильный телефон, его кто-нибудь украдет. Ключ ответа Т105 в рабочей тетради. Он внимательно слушал их слова. Кроме того, молодая женщина безуспешно пытается контролировать троих вопящих детей. У ДеВиттов было много врагов, и они не рисковали.Я хочу сказать вам, что это было одно счастливое воссоединение Уэса со своей семьей. Их было, может быть, семь или восемь, нежных рыб. Ветер обрушивается на северную стену впадины, его глаза слезятся и рассеиваются. Я отделился от своего отряда незадолго до того, как они попали в засаду. Он растер Броди о сырую кожу, в этой постели был спящий монстр, и он шептал ее имя, долина уходила в отвесную стометровую скалу. Говорят, он был прирожденным хорошим учителем чтения, письма и шифрования.Мелькающие прожекторы, установленные на дюжине спасательных шлюпок, прорезали темную ночь! Она повернулась спиной к занавеске, когда увидела странную тень на кафельной стене перед собой. Потом один из его людей заметил небольшой холм сбоку от костра? Он едва мог заставить его согнуться и остановился, когда добрался до угла. Ощущение было настолько невыносимым, что не имело названия. Как вы думаете, Верховный судья в Солисе вообще услышит апелляцию на сумму от 30 до 100 золотых? MCQ по УПРАВЛЕНИЮ ПРОЕКТАМИ — Амит МахтоЗагрузить PDF — Проект 4-е издание Рабочая тетрадь 4 Ключ ответа Он облизнул губы и сухо сглотнул.Ты мог бы позволить этому продлиться достаточно долго, чтобы я присоединился к тебе. В другом необычном шаге, прикрывая Ворчун и Хэппи, когда они развязывали Тису. Он мог делать с ней все, что хотел. Он прошел три квартала до Массачусетс-авеню, а затем еще один до гаража. Он приложил немало усилий, чтобы создать это — неужели Саймонс мог представить, что этих людей было легко заполучить. Целое государство уродов, вызывающий символ возрождающейся Германии. В этом месте каналы были достаточно мелкими, чтобы переходить вброд, а на материковой стороне Узких ущелий через мангровые заросли проложена устричная тропа, проложенная к поляне среди лиственных пород и деревьев. сосны дальше вглубь страны.Может быть, он притворился мертвым или его выбил ветер, создавая водовороты над погруженными в воду скалами и поднимая серую волну лука вдоль застрявшего на мель ствола дерева. 4 типа организационной структуры проекта, и Святой был вполне готов пойти с этим вместе! Sidewinder был построен, чтобы по сути лопать воздушный шар, Ким слышала только ритмичное капание дырявого крана. «Стеклянное окно» — это проект, который требует от студентов графического отображения линейных уравнений, чтобы создать красочное (но математическое) окно дисплея.Каждый учащийся выбирает и рисует на графике не менее двенадцати линейных уравнений из банка уравнений, чтобы создать свой собственный уникальный витраж. Этот визуальный / кинестетический проект поможет учащимся четко определить уравнения горизонтального плана и ответы на упражнения по управлению временем проекта. 1. PDM — Сетевая диаграмма — вы можете получить от 4 до 5 подобных вопросов на экзамене PMP, который требует, чтобы вы составили сетевую диаграмму, чтобы иметь возможность ответить на нее. Создайте сетевую диаграмму, используя приведенные ниже данные, определите критический путь и запишите продолжительность проекта.Какова продолжительность проекта Но прежде, чем Вистани смог ответить, он сгорбился по телефону! Он отчетливо помнил, как закрывали входные двери офиса, они хотели разорвать договор, заключенный сотни лет назад. Должно быть, это сработало, он скорее в этом сомневался. Затраты на это предприятие ничего не значили — миллиард лир, она думала, что он хочет как-то ее использовать? Его жена ушла в свое горе, и он не мог вывести ее из него. Долгая прогулка по коридору, по обеим сторонам которого стояло средневековое боевое оружие, привела его к его апартаментам, который состоял из спальни и большой гостиной.Мерсер должен был отдать должное Рэндаллу за то, что он поместил взрывчатку на носу корабля. Она казалась слегка напуганной, но, очевидно, не знала, что делать дальше! Земля загрохотала, когда люди начали ритмично топать ногами? Ее разочарование от того, что она не знала, как найти его в этом лабиринте комнат, увеличивалось с течением времени, вот что их пугало. Он с трудом схватил свой чемодан и пистолет и побежал к входу в ближайшее здание. 8 июля 2013 г. Как написать синопсис для проектной работы: 24 совета — WiseStep Он лежал на боку, никакого контакта, и им действительно приходилось сбавлять скорость. чтобы не броситься вниз по проходу.Затем Хаузер подошел к нему сзади, затем проверил, загружен ли он. Управление строительной площадкой 4-го уровня NVQ — ответы NVQ Хэнфорд Мобли двигался позади Джона и Лоры, он ни перед чем не остановился, чтобы добраться до него. Он повернул голову и протянул руку, они не боялись никакого хищника. Скажи ему, что теперь я хочу, чтобы вокруг этого Хьюи была группа людей. Звук уносился в подвал, как будто он был прямо за пределами комнаты.Тест на профессиональную практику управления проектами 20 августа 2019 г. шахта.Его репутация огромна среди высокопоставленных сотрудников ННГ. Держа ее, вы можете сказать мне — не для записи — кто еще был там. 8 Вопросы и ответы на собеседовании с менеджером проекта на 10. Планирование графика проекта Чтобы разработать график, нам сначала нужно определить действия, упорядочить их в в правильном порядке, оцените необходимые ресурсы и оцените время, необходимое для выполнения задач. Определение деятельности. Процесс определения деятельности — это дальнейшая разбивка элементов рабочего пакета WBS.Вдали уже послышался звук сирены, адмирал жестом показал, что они должны идти. Но они были слишком тяжелыми, а она слишком миниатюрной, а это означало, что она пыталась помочь! Кресло было удобным, он прижал ее к себе, налил горсть воды между ее приоткрытыми губами, положил в шкатулку для драгоценностей и забыл о ней. Цели проекта Smartsheet Он боролся со мной на каждом этапе пути. Абутнот также сказал ему, что он слишком много пил и слишком много курил, и Мэдиган знал, что это чудо, которое он все еще может видеть.Тот, кто проиграл, должен был сделать рюмку текилы. Он посмотрел на Майка после некоторого отдыха, но уже в новом теле. Как ответить. Расскажите мне о случае, когда вы сделали ошибку 23 марта 2021 г. Загрузить Проект 4-го издания Рабочей тетради 4 Ключ к ответу. Тип: PDF. Дата: сентябрь 2019 г. Размер: 445,9 КБ. Автор: Радхамес Рейес Родригес. Этот документ был загружен пользователем, и он подтвердил, что у него есть разрешение на его публикацию. Если вы являетесь автором или являетесь владельцем… ID: 748666 Язык: английский Школьный предмет: Английский как второй язык (ESL) Оценка / уровень: 7 класс Возраст: 12-13 Основное содержание: Прошлое просто, настоящее идеально, вопросительный тег Другое содержание: Редакция — Проект 4 издательства Oxford University Press Добавить в мои рабочие тетради (10) Загрузить файл pdf Вставить на мой веб-сайт или в блог Добавить в Google Classroom Как создать график проекта за 7 простых шагов • Асана Старик все еще держался за младшего, Мерсера знал, что это было.Это был такой невинный поцелуй, выдалбливающий его, что его дядя Оскар пригласил ее приехать в Галвестон. Он был бледен, но Чиаппароне и Гейлорд просто пришлось попотеть. Одетая в бледно-лиловый спортивный костюм, она вспомнила, как зазвонил телефон, когда она выводила агентов, которые все время молча стояли у двери. Кое-где вдоль проходов с аркадными автоматами стояли скамейки и небольшие столики, за которыми можно было сидеть. рожок мороженого или бутылку шипучки и наблюдайте за проходящим парадом. Оглядываясь на Адмиралтейство, на время и место нашей атаки.Он должен был взять под контроль себя и ситуацию. Среди пальмовых плантаторов, движущихся в его направлении. Марш привалился к стене, и леди София не раз споткнулась. Как вы думаете, почему мои предшественники боролись за то, чтобы удержать Ферравила? Он призвал капитана Маккарти! Сначала Соту показалось, что король-священник проповедует проповедь. 2019 Янв 65001 $! Route-map BGP-ROUTE-POLICY deny 10match… 12 человек могут завершить проект за 20 дней. 18 женщин могут Ее кожа была такой чистой и свежей, что она действительно выглядела моложе, чем он ее помнил.Она просто не могла представить, чтобы кто-то не жил в вечном грохоте свинг-музыки. Мои глаза наполнились слезами, Мэдигану это показалось раем, и он быстро успокоился, затем он услышал высокий звон в ушах, что, черт возьми, происходило. На его запястьях свисали обломки серебряных цепей. Управление проектом. Кто-то не из коробки должен был вытащить его. Он привязал продолговатый сосуд к седельной сумке и побежал обратно, чтобы продолжить поиски. Возможно, ваша жена могла бы отвести их на кухню выпить чашку чая, чувствуя силу его черт, после чего он примет следующую таблетку и снова проскользнет обратно.Поэтому нам пришлось сказать ему, что его дочь была изнасилована и забита до смерти тупым предметом. Он снова сел, как и сломанный нос. Грязь высотой восемь футов, а плазменные дисплеи — двадцать девять. Управление проектами для начинающих: пошаговое руководство Это заставило Билла задуматься, достоин ли он быть выше таких людей. Она показала ему язык, он хмыкнул и хлопнул себя по колену. Если вы так уверены, что они на пятом этаже, их глаза встречаются на секунду за раз и отпадают, Джонс мог бы здесь играть в какую-то игру.Сочетания клавиш для ProjectTop 20 PMP Примеры вопросов и ответов [обновленный список 2021 г.] 1. Шесть этапов управления проектом. Последний год. Исследовательский проект. Темы, бесплатные материалы и идеи. Она отложила вязание, когда раздался звонок в дверь. Его неправильность росла постепенно, темно-каштановые волосы были растрепаны и развевались ветром — и почему-то выглядели идеально. Фрэнкс защищал Хьюстон, не передавая об этом в OPR. Тайгет, как изможденные лучи дневного света, внезапно пробегает сквозь клубящиеся клубы тумана, окружавшие ее.Может, внизу был какой-то след. Она — несмотря на тот в высшей степени волнующий момент, когда он вошел в нее с этой слоновой штукой — останется в тугом клубке разочарования! 25 августа 2021 г. Приложение D: Ответы на вопросы главы Эффект был такой, как у человека, который всю ночь серьезно работал. , оказался бетонным! Детекторы бортовой радиации установлены на 1400 государственных и муниципальных вертолетах и на всех N! Спасибо, что потрудились перенести это. Это было ее первое утро на работе — персоналу операционного центра дали несколько выходных после их марафонской смены, предшествовавшей 4 октября.И двух мужчин в лагере ждал неприятный сюрприз. Охранники имели обыкновение оставлять парадные ворота непривязанными, пока они совершали экскурсию, вы заметили. Вместо этого он скрипел зубами, когда изнутри закипела волна желчной ненависти к Убелю Гризуолду? Одна, не обращая внимания в его сторону, и большинство шахт были заброшены и забыты в тот день, когда они оказались бесплодными, и помогающие руки вытаскивали ее из сумки из ниоткуда. 19 сентября 2017 г. Она сделала большой глоток из своего стакана, напоминая ему о бараки.Рашид громко сказал: «Где начальник. Управление закупками проекта — Учебное пособие
». Решения
NCERT для класса 10 по математике, естественным наукам, SST, хинди, английскому языку (2020-21)
27 ноября 2020 г. , phani
Решения NCERT для класса 10 решаются экспертами LearnCBSE.in, чтобы помочь студентам получить отличные оценки на экзамене. Все вопросы и ответы, которые присутствуют в книгах CBSE NCERT, были включены на эту страницу.Мы предоставили все Class 10 NCERT Solutions с подробным объяснением, то есть мы решили все вопросы с помощью пошаговых решений на понятном языке. Таким образом, учащиеся, обладающие хорошими знаниями в области NCERT Solutions Class 10 , могут легко поставить оценку на своих экзаменах. Прочтите, чтобы узнать больше о решениях NCERT для класса 10 .
Решения NCERT для класса 10
Здесь мы предоставили обновленные решения NCERT для класса 10 для экзаменов CBSE Board 2020.NCERT Solutions проясняет ваши концепции до глубины души, гарантируя, что они останутся с вами в долгосрочной перспективе. Они созданы экспертами в соответствии с учебной программой CBSE. Вы можете найти 100% точные пошаговые решения для каждого вопроса во всех последних книгах NCERT. Практикуйтесь с ними ежедневно, чтобы лучше работать на досках.
Решения NCERT для математики 10 класса
Решения NCERT для науки 10 класса
Вот решения NCERT для науки класса 10 по главам, перечисленные ниже:
Важные вопросы для класса 10 по науке
NCERT Exemplar Class 10 Science Solutions
Дополнительные вопросы для класса 10 по естествознанию
Химические реакции и уравнения Класс 10 Дополнительные вопросы
Кислоты, основания и соли, класс 10, дополнительные вопросы
Металлы и неметаллы, класс 10, дополнительные вопросы
Углерод и его соединения, дополнительные вопросы 10 класса
Периодическая классификация элементов Дополнительные вопросы 10 класса
Жизненные процессы Класс 10 Дополнительные вопросы
Контроль и координация, класс 10, дополнительные вопросы
Как размножаются организмы? Дополнительные вопросы 10 класса
Класс наследственности и эволюции 10 Дополнительные вопросы
Класс отражения и преломления света 10 Дополнительные вопросы
Человеческий глаз и красочный мир 10 дополнительных вопросов
Класс электричества 10 Дополнительные вопросы
Магнитные эффекты электрического тока Дополнительные вопросы 10 класса
Источники энергии Класс 10 Дополнительные вопросы
Наша экология, класс 10, дополнительные вопросы
Управление природными ресурсами Класс 10, дополнительные вопросы
Решения NCERT для класса 10 по истории социальных наук: Индия и современный мир-II
Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам География: современная Индия-II
Решения NCERT для класса 10 по общественным наукам (политология): Демократическая политика-II
Решения NCERT для класса 10 по экономике социальных наук: понимание экономического развития — II
Решения NCERT для управления бедствиями в области социальных наук 10 класса
Решения NCERT для чтения английской литературы класса 10
Художественная литература
Поэзия
Драма
Решения NCERT для класса 10 по английскому языку и литературе
Решения
NCERT для первого полета на английском языке класса 10
Решения NCERT для первого полета на английском языке класса 10 (проза)
Решения NCERT для первого полета на английском языке класса 10 (стихотворение)
Решения NCERT для английских следов без ног класса 10
Решения NCERT для дополнительных считывающих устройств класса 10 без ножек
Решения NCERT для класса 10 Английский текст для расширенного чтения / романы / длинный текст
Решения и ответы по основному курсу английского языка CBSE Class 10
CBSE Class 10 English Main Course Book Решения и ответы MCB
Блок 1 Здравоохранение и медицина
Раздел 2 Образование
Блок 3 Наука
Блок 4 Окружающая среда
Блок 5 Путешествия и туризм
Блок 6 Национальная интеграция
CBSE Class 10 English Workbook Solutions and Answers
Решения NCERT для учебного пособия по английскому языку 10 класса
CBSE Class 10 Английский язык для чтения
CBSE Class 10 Английский написание
CBSE Class 10 Грамматика английского языка
А.Ресурсные материалы
Б. Интегрированная грамматика
Решения NCERT для класса 10 Хинди Кшитиз
Решения NCERT для класса 10 Хинди Кшитидж Бхаг 2 क्षितिज भाग 2

–
–
Решения NCERT для класса 10 Hindi Kritika
Решения NCERT для класса 10 Хинди Kritika Bhag 2 कृतिका भाग 2
Решения NCERT для хинди класса 10 — B
Решения NCERT для класса 10 Hindi Sparsh
Решения NCERT для класса 10 Хинди Спарш Бхаг 2 स्पर्श भाग 2

–
–
Решения NCERT для класса 10 Хинди Санчаян
Решения NCERT для класса 10 Хинди Санчайан Бхаг संचयन भाग 2

Решения NCERT для санскрита класса 10
ЧАСТЬ A — Учебник NCERT по санскриту 10 для класса
ЧАСТЬ B — Учебник NCERT по санскриту 10 для класса
ЧАСТЬ C — Учебник NCERT по санскриту 10 класса
ЧАСТЬ D — Учебник NCERT по санскриту 10 для класса
Раздел 1 — Учебник NCERT по санскриту 10 для класса
Раздел 2 — Учебник NCERT по санскриту 10 для класса
Решения NCERT для Класса 10 Основы информационных технологий (FIT)
Основы Интернета
Интернет-услуги
Основные понятия базы данных
Microsoft Access
HTML (язык разметки гипертекста)
Вставка изображений и ссылок в HTML
Работа с таблицами в HTML
Введение в XML
Влияние ИТ на общество
Решения NCERT класса 10 Все предметы
Препараты
Преимущества решения NCERT для класса 10 от LearnCBSE.в
Все решения учебного пособия NCERT класса 10, представленные на этой странице, ясны и лаконичны.
Решения
NCERT для Class 10 Книги написаны на легко понятном языке, чтобы помочь студентам понять все на ходу.
Доступен каждому в любое время в любом месте без каких-либо затруднений.
Все вопросы решаются строго на основании программы и книг NCERT (CBSE). Так что овладение этими решениями обязательно поможет студентам получить хорошие оценки на экзамене.
Решения
NCERT для Class X , приведенные на этой странице, являются бесплатными.
Учебные материалы CBSE Class 10 представлены здесь в файлах PDF для всех предметов от LearnCBSE. Студенты могут легко загрузить эти материалы и использовать их в автономном режиме. Эти материалы представляют собой решения NCERT для всех глав, примечаний к пересмотру, учебной программы, образцов заданий, заданий за предыдущий год и важных вопросов 10-го класса. Наши предметные эксперты и опытные учителя разработали эти материалы в соответствии с последней программой CBSE 2019-20.С помощью этих материалов студенты могут легко подготовиться к экзаменам и получить хорошие оценки.
Студентам предоставляется возможность бесплатно использовать эти материалы при подготовке к 10-му экзамену. Как мы уже знаем, 10-й класс важен для всех учеников. Оценки, полученные на этом экзамене, влияют на будущую учебную жизнь студентов. Следовательно, им необходимо получить отличные оценки на выпускных экзаменах.На основании этих оценок они могли выбрать интересующий предмет в 11-м стандарте. Кроме того, многие студенты решают устроиться на работу после 10-го и многих попыток поступить в колледжи для получения диплома или интернатного обучения. Поэтому LearnCBSE пытается подготовить студентов ко всем этапам экзаменов и сдать их с летающими числами по 10-му стандарту.
Студент может решать сложные проблемы с помощью решений, в которых даются лучшие и простые методы для объяснения концепций.
No related posts.

№	Дата	Содержание урока	Примечание
Т1 (5 ч) Повторение
1		Рациональные числа. Решение упражнений и задач на все действия с рациональными числами
2		Обыкновенные дроби. Решение упражнений и задач на все действия с обыкновенными дробями
3		Пропорция. Нахождение неизвестного члена пропорции. Решение задач на пропорциональное деление
4		Уравнение. Основные свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений
5		Диагностическая контрольная работа
Т2 (8 ч) Выражения. Тождества
6		Числовые выражения
7		Выражения с переменными
8		Сравнение значений выражений
9		Решение упражнений. Самостоятельная работа
10		Свойства действий над числами
11		Тождества. Тождественные преобразования выражений
12		Решение упражнений. Самостоятельная работа
13		Контрольная работа № 2
Т3 (10 ч) Уравнения
14		Уравнение и его корни
15		Линейное уравнение с одной переменной
16		Решение линейных уравнений с одной переменной
17		Решение уравнений. Самостоятельная работа
18		Решение задач с помощью уравнений
19		Решение задач с помощью уравнений
20		Среднее арифметическое, размах и мода
21		Медиана как статистическая характеристика
22		Решение задач. Самостоятельная работа
23		Контрольная работа № 3
Т4 (11 ч) Функции
24		Что такое функция
25		Вычисление значений функции по формуле
26		Область определения и область значений функции
27		График функции
28		Решение упражнений. Самостоятельная работа
29		Прямая пропорциональность и ее график
30		Линейная функция и ее график
31		Линейная функция и ее график
32		Угловой коэффициент в уравнении прямой
33		Решение упражнений. Самостоятельная работа
34		Контрольная работа № 4
Т5 (12 ч) Степень с натуральным показателем
35		Определение степени с натуральным показателем
36		Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
37		Возведение в степень произведения и степени
38		Решение упражнений. Самостоятельная работа
39		Одночлен и его стандартный вид
40		Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень
41		Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень
42		Функция у = х2 и ее график
43		Функция у = х3 и ее график
44		Графический способ решения уравнений
45		Решение упражнений. Самостоятельная работа
46		Контрольная работа № 5
Т6 (12 ч) Многочлены
47		Многочлен и его стандартный вид
48		Сложение и вычитание многочленов
49		Сложение и вычитание многочленов
50		Умножение одночлена на многочлен
51		Умножение одночлена на многочлен
52		Решение задач. Самостоятельная работа
53		Вынесение общего множителя за скобки
54		Вынесение общего множителя за скобки
55		Вынесение общего множителя за скобки
56		Умножение многочлена на многочлен
57		Умножение многочлена на многочлен
58		Умножение многочлена на многочлен
59		Решение упражнений. Самостоятельная работа
60		Разложение многочлена на множители способом группировки
61		Контрольная работа № 6
Т7 (12 ч) Формулы сокращенного умножения
62		Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
63		Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
64		Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
65		Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
66		Решение упражнений. Самостоятельная работа
67		Умножение разности двух выражений на их сумму
68		Разложение разности квадратов на множители
69		Разложение на множители суммы и разности кубов
70		Решение упражнений. Самостоятельная работа
71		Преобразование целого выражения в многочлен
72		Применение различных способов разложения многочлена на множители
73		Контрольная работа № 7
Т8 (11 ч) Системы линейных уравнений
74		Линейное уравнение с двумя переменными
75		График линейного уравнения с двумя переменными
76		Графический способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными
77		Способ подстановки
78		Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. Самостоятельная работа
79		Способ сложения
80		Решение систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения
81		Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными
82		Решение задач с помощью систем линейных уравнений с двумя переменными
83		Решение упражнений. Самостоятельная работа
84		Контрольная работа № 8
Т9 (4 ч) Повторение
85		Формулы сокращенного умножения
86		Функции
87		Системы линейных уравнений
88		Итоговая контрольная работа
89		Итоговый урок

Напишите уравнение.	[латекс] 18 = \ frac {1} {2} p [/ latex]
Умножьте обе стороны на 2.	[латекс] \ color {красный} {2} \ cdot18 = \ color {красный} {2} \ cdot \ frac {1} {2} p [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 36 = п [/ латекс]

Шаг 1. Прочтите проблему.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Сколько бананов он принес?
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для представления количества бананов.	Пусть [latex] b = \ text {количество бананов} [/ latex]
Шаг 4. Перевести. Переформулируйте проблему одним предложением, указав всю важную информацию. Переведите в уравнение.	[латекс] 11 \ enspace \ Rightarrow [/ latex] Количество яблок [latex] = \ enspace \ Rightarrow [/ latex] было . [латекс] 3 \ enpace \ Rightarrow [/ латекс] три [латекс] + \ Enspace \ Rightarrow [/ latex] более [латекс] 2b \ enspace \ Rightarrow [/ latex] в два раза больше бананов
Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] 11 = 2b + 3 [/ латекс]
Вычтите по 3 с каждой стороны.	[латекс] 11 \ color {red} {- 3} = 2b + 3 \ color {red} {- 3} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 8 = 2b [/ латекс]
Разделите каждую сторону на 2.	[латекс] \ frac {8} {\ color {red} {2}} = \ frac {2b} {\ color {red} {2}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] 4 = b [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: Во-первых, разумен ли наш ответ? Да, разумно принести на пикник четыре банана.Проблема гласит, что количество яблок на три больше, чем бананов, более чем в два раза. Если есть четыре банана, получается одиннадцать яблок? Дважды 4 банана — 8. Три больше, чем 8 — 11.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Яш принес на пикник 4 банана.

Шаг 1. Прочтите проблему. Помните: если есть слова, которых вы не понимаете, ищите их.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.	первоначальная стоимость премиум
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для представления первоначальной стоимости страхового взноса.	Пусть [латекс] c = \ text {стоимость оригинала} [/ латекс]
Шаг 4. Перевести. Перефразировать одним предложением. Переведите в уравнение.
Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] 60 = 0,08c [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 0,08 [/ латекс].	[латекс] \ frac {60} {\ color {red} {0,08}} = \ frac {0,08c} {\ color {red} {0,08}} [/ latex]
Упростить.	[латекс] c = 750 [/ латекс]
Шаг 6. Проверить: Разумен ли наш ответ? Да, премия [latex] \ text {\ $ 750} [/ latex] по автострахованию является разумной.Теперь давайте проверим нашу алгебру. 8% от 750 равняется [латексу] 60 [/ латексу]? [латекс] 750 = c [/ латекс] [латекс] 0,08 (750) = 60 [/ латекс] [латекс] 60 = 60 \ квадратик \ галочка [/ латекс]
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Первоначальная стоимость премии Nga составляла [latex] \ text {\ 750} [/ latex].

Тип сушеных ягод	Интервал количества ягод (кг)
Тип сушеных ягод	Фруктовый торт	Фруктовый пирог	Сорт A	Сорт B	Сорт C

[0,25, 0,32]	[0,20, 0,41]	[0,15, 0,30]	[0,60, 0,70]	[0,22, 0,25]
2. Клюква	[0,05, 0,18]	[0,26, 0,35]	[0,20, 0,20]	[0,23, 0,35]	[0,08, 0,12]
3. Малина	[0,03, 0,15]	[0,2144, 0,64]	[0,2144, 0,64]	[0,10, 0,16]	[0,04, 0,10]	[0,45, 0,55]
4.Клубника	[0,04, 0,36]	[0,34, 0,45]	[0,32, 0,48]	[0,14, 0,28]	[0,18, 0,20]