Контрольный срез по математике 5 класс: Входной срез по математике в 5 классе | Тест по алгебре (5 класс) по теме:

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Используйте метод нарезки, чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением области между графиком функции \ (f (x) = 1 / x \) и осью \ (x \) над интервал \ ([1,2] \) вокруг оси \ (x \) . См. Следующий рисунок.

Подсказка

Используйте стратегию решения проблем, представленную ранее, и следуйте примеру \ (\ PageIndex {2} \), чтобы помочь с шагом 2. 2 + 1 \) и \ (x \) — ось на интервале \ ([- 1,3] \) вокруг оси \ (x \) — . График функции и типичный диск показаны на рис. \ (\ PageIndex {8} \) (a) и (b). Область вращения и получившееся твердое тело показаны на рис. \ (\ PageIndex {8} \) (c) и (d).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Тонкий прямоугольник для аппроксимации площади под кривой. (b) Типичный диск, образованный вращением прямоугольника вокруг оси \ (x \) .б А (х) \, dx. \ nonumber \]

Единственное отличие от дискового метода заключается в том, что мы заранее знаем формулу для площади поперечного сечения; это площадь круга. Это дает следующее правило.

Дисковый метод

Пусть \ (f (x) \) непрерывно и неотрицательно. Определим \ (R \) как область, ограниченную сверху графиком \ (f (x) \), снизу — осью \ (x \) , слева — линией \ (x = a \) , а справа — прямой \ (x = b \). Тогда объем тела вращения, образованного вращением \ (R \) вокруг оси \ (x \) , равен

. 2 \, dx.3. \ end {align *} \]

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование дискового метода для определения объема твердого тела вращения 1

Используйте дисковый метод, чтобы найти объем тела вращения, образованный вращением области между графиком \ (f (x) = \ sqrt {x} \) и \ (x \) осью над интервал \ ([1,4] \) вокруг оси \ (x \) .

Решение

Графики функции и тела вращения показаны на следующем рисунке.3. \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, созданный вращением области между графиком \ (f (x) = \ sqrt {4 − x} \) и \ (x \) -осью на интервале \ ([0,4] \) вокруг оси \ (x \) .

Подсказка

Используйте процедуру из примера \ (\ PageIndex {3} \).

Ответ

\ (8π \, \ text {units} ^ 3 \)

До сих пор в наших примерах все задействованные области вращались вокруг оси \ (x \) , но мы можем создать тело вращения, вращая плоскую область вокруг любой горизонтальной или вертикальной линии. В следующем примере мы смотрим на твердое тело вращения, которое было создано путем вращения области вокруг оси \ (y \) . Механика дискового метода почти такая же, как и в случае, когда ось \ (x \) является осью вращения, но мы выражаем функцию через \ (y \) и интегрируем по y. . Это резюмируется в следующем правиле.

Правило

: дисковый метод для тел вращения вокруг оси \ (y \)

Пусть \ (g (y) \) непрерывно и неотрицательно.2 \, дн \]

В следующем примере показано, как это правило работает на практике.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): использование дискового метода для определения объема твердого тела вращения 2

Пусть \ (R \) будет областью, ограниченной графиком \ (g (y) = \ sqrt {4 − y} \) и \ (y \) -осью над \ (y \) -ось интервал \ ([0,4] \). Используйте дисковый метод, чтобы найти объем тела вращения, созданного вращением \ (R \) вокруг оси \ (y \) .

Решение

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \) показывает функцию и типичный диск, который можно использовать для оценки объема. Обратите внимание, что, поскольку мы вращаем функцию вокруг оси \ (y \) , , диски расположены горизонтально, а не вертикально.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): (a) Показан тонкий прямоугольник между кривой функции \ (g (y) = \ sqrt {4 − y} \) и \ (y \) — ось. (b) Прямоугольник образует репрезентативный диск после вращения вокруг оси \ (y \) .

Поворачиваемая область и полное тело вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): (a) Область слева от функции \ (g (y) = \ sqrt {4 − y} \) на отрезке оси \ (y \) \ ( [0,4] \).3 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Используйте метод диска, чтобы найти объем тела вращения, образованный вращением области между графиком \ (g (y) = y \) и \ (y \) осью на интервале \ ([ 1,4] \) вокруг оси \ (y \) .

Подсказка

Используйте процедуру из примера \ (\ PageIndex {4} \). 3 \)

Метод промывки

Некоторые тела вращения имеют в середине полости; они не прочны на всем протяжении оси вращения.Иногда это просто результат того, как область вращения формируется относительно оси вращения. В других случаях полости возникают, когда область вращения определяется как область между графиками двух функций. Третий способ — это когда выбрана ось вращения, отличная от оси вращения \ (x \) — или \ (y \) — оси .

Когда твердое тело вращения имеет полость посередине, срезы, используемые для аппроксимации объема, являются не дисками, а шайбами ​​(дисками с отверстиями в центре).Например, рассмотрим область, ограниченную сверху графиком функции \ (f (x) = \ sqrt {x} \) и снизу графиком функции \ (g (x) = 1 \) на интервале \ ([1,4] \). Когда эта область вращается вокруг оси \ (x \) , получается твердое тело с полостью посередине, а срезы — шайбы. График функции и типичная шайба показаны на рис. \ (\ PageIndex {12} \) (a) и (b). Область вращения и получившееся твердое тело показаны на рис. \ (\ PageIndex {12} \) (c) и (d).

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): (a) Тонкий прямоугольник в области между двумя кривыми. (b) Типичный диск, образованный вращением прямоугольника вокруг оси \ (x \) . (c) Область между кривыми на заданном интервале. (d) Получающаяся в результате революция.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): (e) Динамическая версия этого твердого тела вращения, созданная с помощью CalcPlot3D.

Таким образом, площадь поперечного сечения — это площадь внешнего круга за вычетом площади внутреннего круга.3. \]

Обобщение этого процесса дает метод шайбы .

Правило

: метод промывки

Предположим, что \ (f (x) \) и \ (g (x) \) — непрерывные неотрицательные функции такие, что \ (f (x) ≥g (x) \) над \ ([a, b] \). Обозначим через \ (R \) область, ограниченную сверху графиком \ (f (x) \), снизу графиком \ (g (x) \), слева прямой \ (x = a \ ), а справа — прямой \ (x = b \). 2 \ right] \, dx.\]

Пример \ (\ PageIndex {5} \): использование метода промывки

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком \ (f (x) = x \) и снизу графиком \ (g (x) = 1 / x \) над интервал \ ([1,4] \) вокруг оси \ (x \) .

Решение

Графики функций и тела вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): (a) Область между графиками функций \ (f (x) = x \) и \ (g (x) = 1 / x \) на интервале \ ( [1,4] \).3. \ end {align *} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): (c) Динамическая версия этого твердого тела вращения, созданная с помощью CalcPlot3D.

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной графиками \ (f (x) = \ sqrt {x} \) и \ (g (x) = 1 / x \) на интервале \ ([1,3] \) вокруг оси \ (x \).

Подсказка

Изобразите функции, чтобы определить, какой график формирует верхнюю границу, а какой — нижнюю, затем используйте процедуру из примера \ (\ PageIndex {5} \). 3 \)

Как и в случае с дисковым методом, мы можем также применить метод шайбы к телам вращения, которые возникают в результате вращения области вокруг оси \ (y \). В этом случае действует следующее правило.

Правило

: метод шайбы для тел вращения вокруг оси \ (y \)

Предположим, что \ (u (y) \) и \ (v (y) \) — непрерывные неотрицательные функции такие, что \ (v (y) ≤u (y) \) для \ (y∈ [c, d] \ ). Обозначим через \ (Q \) область, ограниченную справа графиком \ (u (y) \), слева графиком \ (v (y) \), внизу прямой \ (y = c \), а выше — прямой \ (y = d \).2 \ right] \, dy. \]

Вместо того, чтобы смотреть на пример метода шайбы с \ (y \) -осью в качестве оси вращения, мы теперь рассмотрим пример, в котором ось вращения — это линия, отличная от одной из двух осей координат. . Применяется тот же общий метод, но вам, возможно, придется визуализировать, как описать площадь поперечного сечения объема.

Пример \ (\ PageIndex {6} \):

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху \ (f (x) = 4 − x \) и снизу осью \ (x \) на интервале \ ([0, 4] \) вокруг прямой \ (y = −2. \)

Решение

График области и тела вращения показаны на следующем рисунке.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): (a) Область между графиком функции \ (f (x) = 4 − x \) и осью \ (x \) на интервале \ ([0,4] \). (b) При вращении области вокруг линии \ (y = −2 \) образуется тело вращения с цилиндрическим отверстием в середине.

Мы не можем применить формулу объема к этой задаче напрямую, потому что ось вращения не является одной из осей координат.3. \ end {align *} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): (c) Динамическая версия этого твердого тела вращения, созданная с помощью CalcPlot3D.

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Найдите объем тела вращения, образованного вращением области, ограниченной сверху графиком \ (f (x) = x + 2 \), а снизу — осью \ (x \) на интервале \ ( [0,3] \) вокруг прямой \ (y = −1. \)

Подсказка

Используйте процедуру из примера \ (\ PageIndex {6} \).

Ответ

\ (60π \) ед. ³

% PDF-1.3 % 1 0 obj >] / Pages 3 0 R / Type / Catalog / ViewerPreferences >>> endobj 2 0 obj > поток 2010-10-29T12: 56: 38-04: 002013-03-04T16: 28: 10-05: 002013-03-04T16: 28: 10-05: 00Adobe InDesign CS4 (6.0.4)

JPEG256256 / 9j / 4AAQSkZJRgABAgEASABIAAD / 7QAsUGhvdG9zaG9wIDMuMAA4QklNA + 0AAAAAABAASAAAAAEA AQBIAAAAAQAB / + 4AE0Fkb2JlAGQAAAAAAQUAApGg / 9sAhAAMCAgICAgMCAgMEAsLCxAUDg0NDhQY EhMTExIYFBIUFBQUEhQUGx4eHhsUJCcnJyckMjU1NTI7Ozs7Ozs7Ozs7AQ0LCxAOECIYGCIyKCEo MjsyMjIyOzs7Ozs7Ozs7Ozs7Ozs7OztAQEBAQDtAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQEBAQED / wAARCAEA AMYDAREAAhEBAxEB / 8QBQgAAAQUBAQEBAQEAAAAAAAAAAwABAgQFBgcICQoLAQABBQEBAQEBAQAA AAAAAAABAAIDBAUGBwgJCgsQAAEEAQMCBAIFBwYIBQMMMwEAAhEDBCESMQVBUWETInGBMgYUkaGx QiMkFVLBYjM0coLRQwclklPw4fFjczUWorKDJkSTVGRFwqN0NhfSVeJl8rOEw9N14 / NGJ5SkhbSV xNTk9KW1xdXl9VZmdoaWprbG1ub2N0dXZ3eHl6e3x9fn9xEAAgIBAgQEAwQFBgcHBgI7AQACEQMh MRIEQVFhcSITBTKBkRShsUIjwVLR8DMkYuFygpJDUxVjczTxJQYWorKDByY1wtJEk1SjF2RFVTZ0 ZeLys4TD03Xj80aUpIW0lcTU5PSltcXV5fVWZnaGlqa2xtbm9ic3R1dnd4eXp7fh2 + f3 / 9oADAMB AAIRAxEAPwDrfqx9WPq3kfVvpN9 / ScG223Bxn2WPxqnOc51TC5znFkkkpKdL / mn9Vf8Aym6f / wCw tP8A6TSUr / mn9Vf / ACm6f / 7C0 / 8ApNJSv + af1V / 8pun / APsLT / 6TSUr / AJp / VX / ym6f / AOwtP / pN JSv + af1V / wDKbp // ALC0 / wDpNJSv + af1V / 8AKbp // sLT / wCk0lK / 5p / VX / ym6f8A + wtP / pNJSv8A mn9Vf / Kbp / 8A7C0 / + k0lK / 5p / VX / AMpun / 8AsLT / AOk0lK / 5p / VX / wApun / + wtP / AKTSUr / mn9Vf / Kbp / wD7C0 / + k0lK / wCaf1V / 8pun / wDsLT / 6TSUr / mn9Vf8Aym6f / wCwtP8A6TSUr / mn9Vf / ACm6 f / 7C0 / 8ApNJSv + af1V / 8pun / APsLT / 6TSUr / AJp / VX / ym6f / AOwtP / pNJSv + af1V / wDKbp // ALC0 / wDpNJSv + af1V / 8AKbp // sLT / wCk0lK / 5p / VX / ym6f8A + wtP / pNJSv8Amn9Vf / Kbp / 8A7C0 / + k0l K / 5p / VX / AMpun / 8AsLT / AOk0lK / 5p / VX / wApun / + wtP / AKTSUr / mn9Vf / Kbp / wD7C0 / + k0lOb1b6 sfVuvP6KyvpOCxt2c9ljW41QD2jDzX7XAM1G5gPxCSnS + qf / AIlejf8Apvxf / PNaSnWSUpJSklKS UpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / wCnCz / 2xz0lK + qf / iV6N / 6b8X / zzWkp1klKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklK SU5PWf8AlHoX / pws / wDbHPSUr6p / + JXo3 / pvxf8AzzWkp1klKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUp JSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSU5PWf + Uehf + nCz / wBsc9JSvqn / AOJXo3 / pvxf / ADzWkp1k lKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSU5PWf + Uehf + nCz / 2x z0lK + qf / AIlejf8Apvxf / PNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKS UpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / wCnCz / 2xz0lK + qf / iV6N / 6b8X / zzWkp1klOa3ruPZlHHox8m6ttvoOy a691LbAdpaTO7Q6EhsDxTePVk9kgWSGDPrHgvuY0V3jHst9CvMLP0DrJLNodM / SETET3S4wk4JV4 9kF / 1w6Pj4ublWl4 / Z + QcW2qG + o6wEtGwboIMGNexQOWIBXDlZkgdxaa / wCs3S8bI6hjXudXZ0ut ltwIHua9rXD0 / dr9IDtqUjkAJ8Fo5eZESP0lz9YsV1eO7GoyMqzJoZlCmlgc9lVglrrJeGj4T8Eu MK9g2bIFaKq + svSrsnExWPcHZ7Hupc5u0bqztdW6dQ + Z0hh4BYUcEwCezZx + q4mR093VCTVj1 + rv dZALRS99bydpd3YURIEWtljIlw9WvV9YMV1VmRk0ZOJTXX6wtyKtrXMkD27S7X3fRMHyQ4wuOE3Q ILA / WXErbacrHycV1dFmSxl9Ya61lTd7 / T95EgdiQUOMJ9gnYg9GH / OnDZTdbk42Tjmij7WK7Ws3 WVAhpczbY5vLhyQl7gV93kSKI7N / Az7M3f6mHkYeyI + 0Bg3TP0fTss4hOBvosnAR6gttFYpJSklK SUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / wCUehf + nCz / ANsc9JSvqn / 4lejf + m / F / wDPNaSnWSU4 + F0 / q / Tb PsmK / GdgG99wdYH + s1ljza + sNHtOrjDt3yTACGac4TFm7azOg9SGNV0Z9tJ6ZRayxtg3eu5ldnrM rLY2jUAbp47IcBqui45o3xfpIMr6nNycXOe4VHPvflHHsJOwNyLC9m / 2TuaHEeUlA4rBXR5qiO2n 4NrI + rFOZn5udltY91ljbcQyZaW0Mpiz28b2h3ngE447JKwcwYxAh2 + 1jidG6t0sY93T349lv2PH xMqu4vDC7HaWtsre1pP5x0LUBEx2TLLCd3e5I + qNn1SL7Qcu1tgsov8AVsZLHtyb768gWVDXaGlu mqXtpPM6aeh3VTaweg2t + rTuhdQtD7LW3tsur4m2yywOAIb + 9wiIemitnmHu8YCrundb6lhW4PUr cathY0V2Y4e5xtY5r2WOD9oAln0dfikYyIooE8cJXG0Gd0brPV63 / tF + NW + rHyKsdtBeWutvqdTv sc9stADuACgYyluuhlhjOl7hBb9VMtuNm49NwuOXhtx67Mm2x76nt + kxpcHfo3c / FD2zRXDmBYNb Ho6fQsDLwG3MyaqqmvLS308i / JJImZ + 0tEduE + AIYs04yqvyA / J1U5iUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSS lJKUkpyes / 8AKPQv / ThZ / wC2OekpX1T / APEr0b / 034v / AJ5rSU6ySnlcC61 / VHYedlX3HNdkMpvx coOpIbudt9NsOpcxoiR37qIHXVtTA4LA2rcfytrfabOmdIzrhl5VmTdmX9OxzZbbfsaLXND2slx3 MY0mQJ0Quolfw8cwKFUCs / Ltz / q3632vKZl9OyK8N72WW0Osa + 6pjbLGSwkvqeD7gldxUIiOXYUR f4JuqNux + ttwK3Z2RTVhVvDa840O3OtvBe91t1e4kCEpaSpGOjjvTfs6f1h + 0txsSvEv2D1PfV9o + z23tDD7WXGfcDBPj4p87piw1Zsfg514bn4vRszHy8 + tuVktxbQch7HFrW5G7d6Tg0u3V / SHKadQ GSPpMgQNBe3kj / b76frIzbdccCqxvTDW5tjmExByHWEFm4XQzmUOP1fgn2bxba7 / ANjXv6r1bFqz WW22voyupuqxbmudupdXlNDqS6foOrBj5hAyI + 1cMcJEabR1 + xM / Itoxs7qdeff9uq6hfVRjOuc9 lgF5YykUOJEFumg0RugTfVbQJEa0r9iSz6xWN + s4sFtn2Fto6c6rY / 0pPN + / b6ci6GczCXH60DB + q8d / 5fRBi5ea7rDa67M1ttnVMiv1LbZxHUVWP31NY6x3u2D2jaPJIE8X1XSjHg6fKPNL0 / Kuqrwc uvOuuysrPtotxrLTa11IuuY6K3E7NjGh0iOEonbXqicQSRWgDZ + r2XczqQxs3Isybsiqyxl1eQ2 / GtDXNl7a + aiNwAHCMDqtzRHDYFfTVsdc + tlfRM0Yb8Z1xLBZuDw3kkRG0 + Clarnf + OJR / wBwX / 8A bg / 8gkp6TpHUW9W6fV1BrDULt3sJmNrnM50 / dSU3ElKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / wCnCz / 2xz0l K + qf / iV6N / 6b8X / zzWkp1klIK8LDqvflVUVMvs0fa1jQ939ZwElCguM5EVa7cPEY9tjaK2vY99jX BjQQ + yd7gY5dOp7pUEcUu6n4eJYbDZRW82lhsLmNO81mWF0jXaRp4JUFCRHVHldK6ZnWC3Nw6Mmw Dah4VMe4NBJiXNOmqRiDuF0ck4jQpLsPEyKRjZFFdtIgCp7GuYI49pBCRAK0SkDYK5xsYtqYamba CHVDaIYQC0FmmhgxolQVxFb7HifZziehX6BkmnY3Zqd59sR9LVKgriN3ajh5hrdUaKzW9 / quZsbt Ly7fvIj6W7WfFKgriN7o6 + l9MqyDl1YlDMhxLnXNrYHlzuSXhsyZS4RaTkmRV6JPseJ9nOJ6FfoG Sadjdmp3n2xH0tUqCOI3dq + x4cbfQrgWeuBsbHqk7vU4 + lJ55SoK4pd2FHTun4trr8XFpptfO + yu trHOnUy5oBKQiAkzlIUSypwsPHtfdj0VVWW / zj2Ma1zv6xABKQACjORFEo8npXTc2z1svGqusjbu e0OMDtqitRf83 + if9waP + 2x / ckpuY + PRi1Noxq21VMnaxggCTJgfEpKSJKUkpSSlJKUkpSSnJ6z / AMo9C / 8AThZ / 7Y56SlfVP / xK9G / 9N + L / AOea0lOskpF9mxv9Ez / NH9ySlfZsb / RM / wA0f3JKV9mx v9Ez / NH9ySlfZsb / AETP80f3JKV9mxv9Ez / NH9ySlfZsb / RM / wA0f3JKV9mxv9Ez / NH9ySlfZsb / AETP80f3JKV9mxv9Ez / NH9ySlfZsb / RM / wA0f3JKV9mxv9Ez / NH9ySlfZsb / AETP80f3JKV9mxv9 Ez / NH9ySmjmdR6PgZ1OBlsZW / IrstY9zWhgFWrg53YwmmQBpkjilKJIYYHVuhZ + Jj5bTVQ3LL20M v2VveWPdWYaTrq1ITBCp4ZxJFbI29f8Aq0 + 8UC2gHda1znbGtaaHNa7cXERO72 + KHuRT93yVdN59 3SK3llj8ZjmsNrmuLARWBJeQfzY7p1hYISPRgzM6HYWtZfiOLyQ0B9ZLi36QGvZLiCjjmOiK3q31 dqbU91 + K5l9voMewsc3fBdBcNBwhxx7rhhmeiSrM6RY2svNFLrnvrqrsdVue6t7qzt2udOre3z1R 4gg45Dono / Z2Uw2YvoXMa4sLq9rwHDlpLZ1CQIK0xMd0n2bG / wBEz / NH9yKHL6xj446j0ICpgnqD wfaNf1HPKSmf1T / 8SvRv / Tfi / wDnmtJTrJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpzc / oeJ 1LOZlZgbbUyh2Joc2QSbKrQ7dPY1cQmmAJZIZTCNBy8z6m2ZWKMRue5lYFw27HQDddZfuAZcySN8 e6Rp2TDisbsseaETdNmv6rsbmOyLLm2Vl2W5lZqEg5ha50u3a7dpjRO9vVaeY9NV2 / BqD6j1BjmH Lc7dj + jLg / Sz7P8AZPUDRcGRt1gtJ7boTfaX / eze3X9ttm / 6qV213tpvFD7r8e9ljKm7q / s7K2Q2 T + dsJ + fBRONaOYII07 / ihxfqfZj2i85u + 0W0XAurc8TS26sz6t9h9zbvHSPkkMVdUy5kEVTYxPqy / CvF1GU07ifWFlIfub61uQ0Vy / 2H9MQTrPMBEY6Wyz8Qoj + VU3ei9Kd0jFdim71ml5cwBpa1jYa0 MaHPsMe3x + EDRGMeELMuT3DdOgnMbk9Z / wCUehf + nCz / ANsc9JSvqn / 4lejf + m / F / wDPNaSnWSUp JSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / AGxz 0lK + qf8A4lejf + m / F / 8APNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSU pJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / bHPSUr6p / 8AiV6N / wCm / F / 881pKdZJSklKSUpJSklKSUpJSklKS UpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklOT1n / lHoX / AKcLP / bHPSUr6p / + JXo3 / pvxf / PN aSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / wCUehf + nCz / ANsc9JSvqn / 4lejf + m / F / wDPNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUp JSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / AGxz0lK + qf8A4lejf + m / F / 8APNaSnWSUpJSklKSUpJSk lKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / bHPSUr6p / 8AiV6N / wCm / F / 881pKdZJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUjqyKLy4U2NeWEtdtMwWktcD 8C0hJJiRukSQpJSklKSUpJSklKSU5PWf + Uehf + nCz / 2xz0lK + qf / AIlejf8Apvxf / PNaSnWSUpJS klKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTyf11 + s3UOkW4 / T + mBrLsgBxteAYkkANB / q66eCiy5OAO hyHJxzAylsHmuk5uZX1KrJL3HJOSPWe0kMebHTazXzMGNPyqhjyyGffQt3NCJxGPSn0M9c6MGh5z scNJLQ71WwSBJgz4LT4g4 / 3fL + 6VO670ZjnMdnY4c0va5psbINYl4In80cpcQUOXyn9Erft7om0v + 34 + 1sS71WwNwLx3 / dEpcQ7q + 7Zf3SkZ1XpljrG15dLjSHusAe32CvbvLtdA3cJS4gg4cgr0li3r XSHFgbm0E2mKx6jfcdBpr / KCXEEnl8o / RLEdf6IWl4z8ctHJFjdNC / x / dEpcQ7p + 7Zf3S30WFyes / wDKPQv / AE4Wf + 2OekpX1T / 8SvRv / Tfi / wDnmtJTrJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKUkpSSlJKU kp5D69fVnqPWX42d0wNssoBZZU522WkzpxPJkSosuMyb / Ic4MIMZbFJ0P6q14FdGZmtflZgra9zb juDXuG8tG90e148lDHBwS4gEZuaOT03Qb7vq30l2OKX0vcyhr20t9a3Rlg2PrH6T6JaBopaNHRYO aycV3vvoGNn1Z6RZbY92JrYXb3te4bt4uY788fm2 / ihRvb + WqRzeQAer + WjH / m10ks9IYZaxx92y x7ANzbWviLAdW2Eh5oersn71ku + L + Wiav6v9KpORZXigPvpfjP8Ac4B9VplzfpeXyTqNHRYeZyGg ZbG / sWf0Dp5srv8AQe + yhoZW51theQwttra4mzUNewEApES7JHMzqr38Pp2RV / VTo + OGtx8d1Qa4 Pb6dtjYc0OY1 + ln0trueUOEjouPOZJbn8A9Ap2k5PWf + Uehf + nCz / wBsc9JSvqn / AOJXo3 / pvxf / ADzWkp1klKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTXuwqb7PUe60GIhltjBp / JY8BClwmQ GA6Zjip1IfkbXRJ + 0XbtAG6O9TcOOxSpPuG / 7AvX06iqNr7zB3e6 + 12sh451h8EqQZksf2Xjae / I 0M / 0i7 / 0p5JcIT7h / kAzbg0sAAddo0M1utOjYg6v501PJSpHGVh0 + hsw + / VpbrfadDI0 / Sc68pUr jKrOnUW7tz7xvBB232t58NrxHySpQmQ2kVrk9Z / 5R6F / 6cLP / bHPSUr6p / 8AiV6N / wCm / F / 881pK dZJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklOT1n / lHoX / AKcL P / bHPSUr6p / + JXo3 / pvxf / PNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklK SUpJSklKSUpJTk9Z / wCUehf + nCz / ANsc9JSvqn / 4lejf + m / F / wDPNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUp JSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / AGxz0lK + qf8A4lejf + m / F / 8APNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5 R6F / 6cLP / bHPSUr6p / 8AiV6N / wCm / F / 881pKdZJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKS UpJSklKSUpJSklKSUpJSklOT1n / lHoX / AKcLP / bHPSUr6p / + JXo3 / pvxf / PNaSnWSUpJSklKSUpJ SklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / wCUehf + nCz / ANsc9JSvqn / 4 lejf + m / F / wDPNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUp JTk9Z / 5R6F / 6cLP / AGxz0lK + qf8A4lejf + m / F / 8APNaSnWSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSk lKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJTk9Z / 5R6F / 6cLP / bHPSUr6p / 8AiV6N / wCm / F / 881pKdZJS klKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklKSUpJSklOT1n / lHoX / AKcLP / bH Блок питания PSU5v1Y + s / 1bx / q30mi / q2DVbVg4zLK35NTXNc2pgc1zS + QQUlOl / wA7Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJK V / zs + qv / AJc9P / 8AYqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpX / Oz6q / + XPT / wD2Kp / 9KJKV / wA7 Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJKV / zs + qv / AJc9P / 8AYqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpX / Oz6q / + XPT / wD2Kp / 9KJKV / wA7Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJKV / zs + qv / AJc9P / 8AYqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpX / Oz6q / + XPT / wD2Kp / 9KJKV / wA7Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJKV / zs + qv / AJc9P / 8A Yqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpX / Oz6q / + XPT / wD2Kp / 9KJKV / wA7Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJKV / zs + qv / AJc9P / 8AYqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpX / Oz6q / + XPT / wD2Kp / 9KJKV / wA7Pqr / AOXPT / 8A2Kp / 9KJKV / zs + qv / AJc9P / 8AYqn / ANKJKV / zs + qv / lz0 / wD9iqf / AEokpzer fWf6t2Z / RX19WwXtpznvsc3JqIY04eazc4h + g3PA + JSU / wD / 2Q ==

uuid: fc30b505-ef2f-9940-8843-dfdadf9595d3xmp. сделал: F97F117407206811994CE0E07334A648xmp.did: 20D201760B20681188C6BDFDC647FBE9 proof: pdf1

createdxmp.iid: F97F117407206811994CE0E07334A6482010-05-06T11esign: 09.0.0.0.0.0.0.0.0.0.903

savedxmp.iid: F77F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T12: 14: 07-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

savedxmp.iid: F87F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T12: 14: 07-04: 00Adobe InDesign 6.0 / метаданные

savedxmp.iid: F97F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T13: 04: 31-04: 00 Adobe InDesign 6.0/

savedxmp.iid: FA7F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T13: 10: 23-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

savedxmp.iid: FB7F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T14: 50: 18-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

savedxmp. iid: FC7F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T14: 55: 35-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

savedxmp.iid: FD7F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T15: 04: 42-04: 00Adobe InDesign 6.0 /

сохраненный xmp.iid: FE7F117407206811A9B5ACC2BF704C152010-05-06T16: 57: 43-04: 00 Adobe InDesign 6.0 /

savedxmp.iid: 0080117407206811A9B5ACC2BF704C15

Список математических формул

Коэффициенты тригонометрии		`sin alpha = (противоположный) / (hip.` `9000.pp. : гипотенуза
		`cos alpha = (прил.) / (бедра)`	ʻadj.`: смежный `бедро`: гипотенуза
		` tan alpha = (противоп.2-2bc cos A`
Формула Герона	ʻA = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) ` ` s = (a + b + c) / 2`
Точные значения	`sin (pi / 6) = 1 / 2`	`cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2`	` tan (pi / 6) = sqrt (3) / 3`
	`sin (pi / 4) = sqrt (2) / 2`	`cos (pi / 4) = sqrt (2) / 2`	` tan (pi / 4) = 1`
	`sin (pi / 3 ) = sqrt (3) / 2`	`cos (pi / 3) = 1 / 2`	` tan (pi / 3) = sqrt (3) `
Угловые отношения	` sin (- alpha) = — sin alpha `	` cos (- alpha) = cos alpha`	`tan (-alpha) = — tan alpha`
	` sin (pi — alpha) = sin alpha`	` cos (pi — alpha) = — cos alpha`	`tan (pi — alpha) = — tan alpha`
	` sin (pi + alpha) = — sin alpha`	`cos (pi + alpha) = -cos alpha`	`tan (pi + alpha) = tan alpha`
	` sin (pi / 2 — alpha) = cos alpha`	`cos (pi / 2 — al pha) = sin alpha`	`tan (pi / 2 — alpha) = 1 / (tan alpha)`
	`sin (pi / 2 + alpha) = cos alpha`	` cos (pi / 2 + alpha) = — sin alpha`	`tan (pi / 2 + alpha) = — 1 / (tan alpha)`
	`sin ((3pi) / 2 — alpha) = — cos alpha`	`cos ((3pi) / 2 — alpha) = — sin alpha`	` tan ((3pi) / 2 — alpha) = 1 / (tan alpha) `
	` sin ((3pi) / 2 + альфа) = — cos alpha`	`cos ((3pi) / 2 + alpha) = sin alpha`	` tan ((3pi) / 2 + alpha) = — 1 / (tan alpha) `
Тригонометрические уравнения	`sin x = sin alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = pi — alpha + 2kpi, k in ZZ`
	`cos x = cos alpha hArr x = alpha + 2kpi vv x = — alpha + 2kpi, k в ZZ `
	` tan x = tan alpha hArr x = alpha + kpi, k in ZZ `
Формулы суммирования	` sin (a + b) = sin a xx cos b + sin b xx cos a`
	`cos (a + b) = cos a xx cos b — sin a xx sin b`
	`tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 — tan a xx tan b)`
Формулы разности	`sin (ab ) = sin a xx cos b — sin b xx cos a`
	`cos (ab) = cos a xx cos b + sin a xx sin b`
	` tan (ab) = (tan a — tan b) / (1 + tan a xx tan b) `
Формулы двойных углов	` sin (2a) = 2xxsin a xx cos a`
	`cos (2a) = cos ^ 2 a — sin ^ 2 a`
	`tan (2a) = (2 xx tan a) / (1 — tan ^ 2 a)`

Рабочие листы для печати 1-го класса по математике в формате pdf на основе сингапурской начальной и начальной школы Учебная программа по математике для первого класса.

У нас есть тысячи заданий по математике для 1 класса , основанных на программе сингапурской математической школы. Выберите из следующих Категории рабочего листа по математике для первого класса.

Счетные и нумерационные листы

Длина, масса, время и деньги

Графики и графики

Рабочий лист по математике:

Наши рабочие листы для проверки правописания 1-го класса предназначены для написания числовых слов до 100.Рабочие листы с целыми числами включают в себя подсчет чисел до 100 рабочих листов, математические рабочие листы для первого класса с числовыми шаблонами нечетные и четные числа до 100 листов и порядковые номера до 20 листов.

Мы также предлагаем сравнение и заказ номеров до 100 рабочих листов, рабочих листов с числовыми значениями с десятками и единицами, рабочие листы для подсчета пропусков и сложения нумерации, а также рабочие листы для сложения и вычитания 1 степени с и без перегруппировка и заимствования.

Наши рабочие листы умножения и деления для первого класса состоят из картинок и иллюстраций и основаны на группировании и равных группах.Это введение в умножение и деление листов отлично подходит для учеников первого класса математики.

Рабочие листы для смешанных операций охватывают как сложение до 100, так и вычитание в пределах 100, и отлично подходят для повышения математических навыков для ученики 1 класса по математике. Рабочий лист геометрии включает распознавание, рисование основных форм и решение шаблонов и последовательностей форм.

Наши рабочие листы измерения уровня 1 включают в себя рабочие листы измерения длины и высоты, рабочие листы для изменения и определения времени и упражнения с отягощениями для первого класса, рабочие листы для первого класса, все с числами до 100.Наше время чтения покрывают половину и целые часы, наши денежные таблицы основаны на долларах США, евро и тайских батах.

На этой странице вы также можете найти наши упражнения по построению графиков для 1 класса с графическими изображениями и счетными таблицами с числами до 20.

Наши рабочие листы по математике для первого класса бесплатны и доступны для печати в формате PDF. На основе программы сингапурской математической школы для учеников 1 класса, Эти рабочие листы по математике 1-го уровня предназначены для учащихся школ, репетиторства или онлайн-обучения математике.

Наши рабочие листы по математике для 1 класса охватывают такие темы, как: целые числа, написание основных чисел до 10 или 100 и математические операции для первого класса, сложение и вычитание 1 степени, разряд, счет пропусков, введение в деление и умножение, геометрия первого класса и основные формы, простые графические изображения, измерения длины, объема и массы, а также шаблоны чисел для начинающих.

Наши новые материалы? Подписывайтесь на нас.

GCE O-level по математике (включая O в SCE) CSE по математике.CEE по математике. O-level или AO-level по дополнительной математике

1 GCSE и эквивалентные квалификации по английскому языку, математике и естественным наукам В следующем списке излагаются требования для поступления на GCSE и перечисляются квалификации, которые Департамент считает эквивалентными. Приведенная квалификация не является исчерпывающей и регулярно пересматривается. Именно решение факультета, основанное на рекомендациях соответствующих органов, определяет, соответствуют ли кандидаты минимальным требованиям GCSE. Если вы сомневаетесь, достигли ли вы необходимого уровня, свяжитесь с преподавателями, и мы будем рады обсудить это с вами. Чтобы изучать медсестринское дело или акушерство в Департаменте медицинских наук Йоркского университета, вы должны иметь GCSE по английскому языку, математике и естественным наукам на уровне C или выше или эквивалентном.Кандидаты, проходящие повторную сдачу экзаменов GCSE или начинающие эквивалентную квалификацию, не будут рассматриваться, вы должны иметь эти квалификации на момент подачи заявки, если они не включены в вашу программу обучения, например, программы Access и BTEC. Следующие британские квалификации принимаются как соответствующие требованиям GCSE. Обратите внимание, что квалификации уровня GCE O-, AO- и OA должны быть проходными (обычно это A, B или C). CSE должен быть на уровне 1, а CEE — на уровне I, II или III.Этот список является только руководством и не является исчерпывающим. Доска Английский язык Математика Наука Любой совет CSE в Великобритании по английскому, английскому языку или изучению английского языка CEE на английском языке A2 / AS-level на английском языке или английском языке (но не экзамен O-level, достигнутый на сидении A-level) GCE O-level in математика (включая O в SCE) CSE по математике CEE по математике O-level или AO-level по дополнительной математике GCE O-level или A2 / AS-level (включая O в SCE) по любому научному предмету (физика, химия, биология, человеческая биология, общие науки, геология) CSE по любому научному предмету Зоология Уровень A2 A2 / Уровень AS (или уровень O, достигнутый на сидении A-level) по математике или по любому предмету A-level с математикой в ​​названии A2- уровень статистики (но не проход O-level, достигнутый на экзамене A-level) AO в статистике, дополнительная статистика или чистая математика со статистикой

2 AEB (теперь AQA) Уровень OA на английском языке (профессиональное и деловое использование) A -уровень по английскому языку и O-level по коммерческой математике атика, общая математика, современная математика, техническая математика или техническая (строительная) математика BTEC / TEC / BEC Любой первый национальный или высший национальный сертификат или диплом на английском языке Высший национальный сертификат или диплом по математике Первый диплом по естествознанию: сдать с положительным результатом или награда Любой национальный сертификат или национальный диплом, который включает в себя аттестат с отличием или отличием по математике на уровне 1 или выше Сертификат технического обучения, который включает аттестат с отличием или отличием по математике на уровне 1 (Фактическое содержание и комбинация модулей изучение может также определить, считается ли квалификация эквивалентной. ) Научные модули из национального диплома: сдать с отличием или отличием (Фактическое содержание или комбинация изученных модулей также может определять, считается ли квалификация эквивалентной). Высший национальный сертификат или диплом по математике, статистике и информатике; или в вычислениях CIE IGCSE на английском языке или английском IGCSE в математике IGCSE в биологии, химии или физике IGCSE в физических науках, координированных науках или комбинированных науках

3 Edexcel IGCSE на английском языке или английском IGCSE в математике IGCSE в естественных науках (двойная награда) IGCSE по биологии, химии или физике Европейский бакалавриат Пройти по английскому как родному языку или по английскому как иностранному языку Математика Международный бакалавриат Высший или дополнительный уровень по английскому языку в 4 классе или выше Высший или дополнительный уровень по математике в 4 классе или выше Ирландская Республика награды В 1975 году или позже, аттестат по английскому языку в классе C или выше (обычный) или в классе D или выше (с отличием) В 1975 году или после этой даты, аттестат по математике в классе C или выше (обычный) или в классе D или выше (с отличием) JMB / NEAB (теперь AQA) OA-level на дополнительном экзамене по английскому языку для поступления в университет для носителей другие языки O-уровень в коммерческой математике AO-уровень в математике O-уровень в гуманитарных науках Лондон — AO-уровень в прикладной математике, математике и теоретической механике, чистой математике и вероятности O и C O-уровне в общей математике AO-уровне в математика для биологии Граждане OCR — — OCR Кембриджский национальный научный уровень 2, достигнутый на уровне сертификата или диплома ONC / D — Естественные науки, математика или технологии в принципе приемлемы, но образец следует тщательно изучить, чтобы установить эквивалентность

4 Открытый университет с префиксом буква A или D с префиксом M или T с префиксом S RSA Stage III (advanced) в английском SEB До 1985 года, C или выше в обычном классе шотландского In или после 1986 года, уровень 3 или выше по стандарту Оценка шотландского высшего уровня Английский язык Оценка C или выше в свидетельстве о шестом году обучения на английском языке До 1985 года, C или выше в обычном классе Шотландского В 1986 году или позже, класс 3 или выше по стандартной оценке шотландского высшего класса по математике Оценка C или выше в свидетельстве о шестом году обучения по математике SEG — GSCE по математике SUB — O-level по коммерческой математике и статистика Кембриджский университет Английский для носителей других языков Сертификат делового английского (высший) Сертификат о знании английского языка (высший) Лондонский совет по экзаменам и оценке Международная система тестирования по английскому языку (IELTS) (полоса 6 или выше) Свидетельство о достижении на английском языке на уровне 4 или выше

5 Доступ к Совету по высшему образованию Английский математика Наука Включение английского эквивалента GCSE 12 зачетных единиц на уровне 2 (6 зачетных единиц при улучшении навыков пунктуации и грамматики (3 Разработка стратегии чтения (3 Использование письма для смысла.

No related posts.