Контрольные вопросы 7 класс алгебра: Контрольные вопросы к параграфу 12 — ГДЗ по Алгебре 7 класс Учебник Макарычев Ю. Н. и др.

Содержание

ГДЗ по Алгебре за 7 класс Г. К. Муравин, К. С. Муравин

Алгебра 7 класс Г. К. Муравин

Авторы: Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина

Если ребенку не хватает времени на уроке, чтобы освоить нужный объем материала, выручит «ГДЗ по алгебре за 7 класс Учебник Муравин (Дрофа)». Математика в этом возрасте ставит перед учениками достаточно сложные задачи, а учитель не всегда в состоянии индивидуально поработать с каждым семиклассником. Залогом успеха в данной ситуации станет продуктивная самоподготовка дома – вместе с мамой или папой. Наставники часто рекомендуют дополнительную литературу по предмету. Но главным условием всегда является ответственность ребенка, так как он не должен механически списывать задания, а обязан на совесть проработать материал. Готовые домашние работы позволят разобраться в хитросплетениях алгебраических уравнений.

С его помощью школьник сможет:

наверстать материалы школьной программы, которые пропустил по причине болезни;
подготовиться к уроку и проверочным работам;
повысить балл по предмету в школьном аттестате.

Изюминкой пособия и его преимуществом перед аналогичными продуктами является доступный язык изложения, наличие словаря формул, комментарии составителей к упражнениям.

Почему стоит обратить внимание на решебник по алгебре за 7 класс от Муравина

Пособие будет актуальным и для тех семиклассников, которые планируют связать свою жизнь с математикой. Прежде всего, они получат отличную базу, которая пригодится и в последующих классах. Здесь изложено 6 тем, которые, к слову, освещаются в оригинальном учебнике. Весь курс охватывает сложнейшие разделы алгебры, такие как:

Основы математического языка.
Степень с натуральным показателем.
Многочлены.
Функции.

Венчает все этот дело модуль с упражнениями на повторение пройденного. Верные ответы на представленные номера задач для большего удобства можно найти в онлайн-версии решебника.

Чтобы школьник не упустил момент, нужен ГДЗ

Ни для кого не секрет, что математиками дети не рождаются, они становятся ими, вдохновившись примером учителя в классе или кого-то из родственников. Но эта замечательная способность не наследуется на генетическом уровне. Нет никаких гарантий, что у папы-математика сынишка тоже будет проявлять талант к алгебраической дисциплине. Чтобы добиться успехов в непростой науке, нужно трудиться. Причем начинать уже с первого класса – либо момент будет упущен.

«ГДЗ по алгебре за 7 класс Учебник Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина (Дрофа)» станет в этом плане отличным помощником.

Контрольная робота на 7 клас

Скачать контрольная робота на 7 клас rtf

АЛГЕБРА.

Контрольная работа по теме: «Выражения и их преобразования». Вариант 1. 1°. Найдите значение выражения: 6x – 8y при x =, y. 2°. Сравните значения выражений – 0,8х – 1 и 0,8х – 1 при х = 6. 3°. Упростите выражение: а) 2х – 3у – 11х + 8у Контрольная работа по теме: «Сумма и разность многочленов. Произведение многочлена и одночлена». Вариант 1. 1°. Выполните действия: а) (3а – 4ах + 2) – (11а – 14ах), б) 3у2 (у3 + 1). 2°. Вынесите общий множитель за скобки.

За основу взяты контрольные работы под редакцией В.И. Жохова. Контрольные работы в двух вариантах, содержат 5 заданий, выделены задания на выполнение обязательного стандарта математического образовани Читать еще.

tvoi-prazdnik.ru docx. Посмотреть. Контрольные работы по алгебре 7 9 класс. Контрольная работа №2 (пп.5 – 9) 9 класс(Макарычев). Вариант 1. Найдите значение выражения Читать еще. tvoi-prazdnik.ru docx. Посмотреть. Контрольная по алгебре 7 класс макарычев.

Контрольные вопросы и задания № — Алгебра 7 класс Макарычев. Содержит тексты 33 самостоятельных и 10 контрольных работ для формирования знаний, умений и навыков учащихся, предусмотренных программой курса алгебры 7 класса, и текущего контроля результатов обучения — Самостоятельные и контрольные работы по алгебре: 7 класс: к учебнику Ю.

Н. Макарычева. Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей. Контрольные работы алгебра 7 класс. 53 видео 26 просмотров Обновлен 1 авг. г. Ещё. к-1(1вариант) алгебра 7 клаcс дидактические материалы к учебнику Макарычева авторов Звавич и другие.

Алгебра. Алгебра. • 2. Текущее видео. к-1(2вариант) алгебра 7 клаcс дидактические материалы к учебнику Макарычева авторов Звавич и другие. Алгебра. Алгебра. • 3. Текущее видео. к-2 (1 вариант) алгебра 7 клаcс упражнения 1 и 2. Алгебра. Алгебра. • 4. Текущее видео. к-2 (1 вариант) алгебра 7 клаcс упражнение 3.

Алгебра. Алгебра. • 5. Текущее видео. к-2 (1 вариант) алгебра 7 класc №4. Алгебра. Алгебра. • 6. Текущее видео.

к-2 (2 вариант) алгебра 7 класc №1, № 2, № 3. Алг. ГДЗ к тематическим тестам по алгебре за 7 класс Дудницын Ю.П. можно скачать здесь. ГДЗ к рабочей тетради по алгебре за 7 класс Ерина Т.М. (Экзамен) можно скачать здесь. ГДЗ к дидактическим материалам по алгебре за 7 класс Звавич Л.И. (Экзамен) можно скачать здесь. ГДЗ к самостоятельным работам.

Вариант 1. ГДЗ к итоговым контрольным работам.

Используя решебник ГДЗ по алгебре за 7 класс Звавича (дидактический материал и контрольные работы), семиклассники учатся правильно применять на практике формулы и теорию по непростому материалу «царицы наук». Правильный алгоритм выполнения различных задач, примеров и упражнений позволяет быстро подготовиться к классным и самостоятельным занятиям.

В сборнике содержится несколько вариантов решения каждого упражнения, а отдельным параграфом вынесены ответы на контрольные работы.

Решая задания с помощью нашего сборника, ребенок запоминает алгоритм и применяет на практике навыки, полученные от преп. Алгебра 7 класс. Тетрадь для контрольных работ. Кузнецова. Просвещение. Тетрадь для контрольных работ по алгебре – это пособие, предназначенное для проверки знаний и навыков учеников. Оно является логическим дополнением к учебнику одноименного автора. Тетрадь позволяет подготовиться к предстоящим ОГЭ и ЕГЭ по дисциплине, так как структура заданий соответствует экзаменационным требованиям.

Это отличное дополнение к теоретическому материалу, изложенному в учебнике. Автор удачно подобрал задания и разделил их на 4 уровня: начальный, средний, достаточный и высокий. Контрольные работы по алгебре для 7 класса, к учебнику Мордковича А.Г. за 1, 2, 3, 4 четверти с ответами. Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Координатная плоскость», «Линейное уравнение с двумя переменными», «Линейная функция», «Системы двух линейных уравнений», «Одночлены, операции над одночленами», «Многочлены, действия с многочленами», «Формулы сокращенного умножения», «Функция y=x2 и её график», «Графическое решение уравнений&quo Ответы на задания контрольной работы на тему: «Системы двух линейных уравнений (метод постановки и метод сложения)».

Контрольная работа №4 (2 четверть).

txt, EPUB, djvu, djvu

Похожее:

Українська версія сила повернення додому

Україна єдина країна урок 3 клас

Г.п.лишенко зошит з математики 4 клас

Мовчан авраменко українська література 11 клас скачать

Решебник по рідній мові 7 клас о.глазова кузнецов

Конспект уроку з математики 6 клас мерзляк

Скачати книжки 6 клас на планшет

Контрольна робота з всесвітньої історії 8 клас з теми московська держава

Итоговая контрольна работа по алгебре 7 класс

Скачать итоговая контрольна работа по алгебре 7 класс rtf

Алгебра 7 Итоговая контрольная + ОТВЕТЫ. Цитаты годовой контрольной работы в 4-х вариантах из пособия для учащихся «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре в 7 классе / А.

Н. Рурукин — М.: ВАКО». Пособие используется в комплекте с любым учебником по алгебре 7 класса общеобразовательных учреждений (кроме углубленного изучения).

Цитаты из пособия указаны в учебных целях. В конце работы даны ОТВЕТЫ на все 4 варианта годовой контрольной за 7 класс. Итоговая контрольная работа по алгебре за 7 класс. Ответы на контрольную по алгебре за 7 класс. Алгебра 7 Итоговая контрольная + ОТВЕТЫ. Вы здесь: Главная Ученику Задачи, контрольные и самостоятельные работы Итоговая контрольная работа по алгебре в 7 классе. Итоговая контрольная работа по алгебре в 7 классе. Подробности.

Опубликовано Итоговая контрольная работа по алгебре за курс 7-го класса в двух вариантах. 1 ВАРИАНТ. 1.Найдите значение выражения. Работа состоит из двух частей и содержит 11 заданий. Работа состоит из двух частей и содержит 11 заданий. На выполнение работы даётся 45 мин. Ответы прилагаются. breadfood.ru ▲ ▼. Автор: Комарова Елена Игоревна | 31 января Итоговая административная контрольная работа.

по математике. классы 7 «А», 7 «Б». учебный год. Учитель Леонова Елена Сергеевна.

Общая характеристика содержания и структуры работы. Задания во второй части расположены по нарастанию сложности — от относительно простых задач до достаточно сложных, требующих свободного владения материалом курса и высокого уровня математического развития.

Время выполнения работы и условия ее проведения. Время, отводимое на решение заданий экзаменационной работы — 45 мин. Годовая контрольная работа по математике 7 класс (2 варианта) подробный разбор и решение 1 варианта (2 вариант 7 класс алгебра подготовкак итоговой контрольной работе. Виктория Галимзянова. lượt xem năm trước. Видео решение к разделу контрольные вопросы и задания, к номерам по алгебре за 7 класс, авторов Ю.Н. Алгебра.

Данная контрольная работа дает возможность проверить усвоение материала по алгебре за весь учебный год и оценить результаты по критериям оценивания. 11 мая Бережнова Наталья Николаевна. 0 0. Итоговая контрольная работа. по алгебре учебный год 7 класс. Разработала: Бережнова Н.Н. учитель математики. Пояснительная записка.

ВИД КОНТРОЛЯ– тестовая работа. СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЯ: Проверяются следующие темы. ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ. Класс. Предмет. Уровень обучения. 7. Алгебра. Базовый. Общая характеристика. Форма промежуточной аттестации. Общее количество заданий. Количество заданий базового уровня. Количество заданий повышенного уровня. Контрольная работа. 6. 4. 2. Критерии оценивания. 90 – %. 70 – 89%. 51 – 69%. 51%. 5. (отлично). 4. (хорошо). 3. (удовлетворительно). 2. (неудовлетворительно).

Высокий уровень. (ВУ). Повышенный уровень (ПУ). Базовый уровень (БУ). Ниже базового уровня. (НБУ). Описание. Номер задания. Планируемый результат из рабочей программы. Уровень. Баллы.

итоговая контрольная работа за 7 класс по учебному материалу автор Мерзляк. Сколько деталей изготовил каждый цех? Итоговая контрольная работа. по алгебре III вариант. 1. Решите уравнение: 2. Постройте график функции.

PDF, txt, PDF, djvu

Похожее:

Гдз 7 клас геометрія бевз 2007 типові задачі для контрольної роботи

Вегетаріанство курсова

Ядерна фізика формули

Я і україна природознавство 4 клас робочий зошит

Українська мова та література 9 клас авраменко

Презентація до уроку читання 1 класс

Англійська мова 9 клас плахотник підручник

ГДЗ контрольные вопросы. § 7 геометрия 10‐11 класс Погорелов – Telegraph

>>> ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ <<<

ГДЗ контрольные вопросы. § 7 геометрия 10‐11 класс Погорелов

ГДЗ по геометрии 10 ‐11 класс Погорелов контрольные вопросы . § Подробное решение контрольные вопросы . § № 4 по геометрии для учащихся 10 ‐11 класса , авторов Погорелов .

ГДЗ (Готовые домашние задания ) по Геометрии 10 ‐11 класс А . В . Погорелов , решенные задания и онлайн ответы из решебника . Также пособие позволяет ознакомиться с похожими заданиями, которые ждут старшеклассника на контрольных работах .

Задачи такого полезного сборника ГДЗ по геометрии за 10 -11 класс Погорелов Не останутся не решенными вопросы о понятии тела и его поверхности в геометрии . ГДЗ к контрольно -измерительным материалам по геометрии за 11 класс Рурукин А .Н . можно . .

ГДЗ (домашнее задание ) по геометрии за 7 -9 класс к учебнику Погорелова . Тогда ГДЗ по геометрии 7 –9 класс Погорелов – отличная возможность подтянуть свои В нем найдутся понятные рисунки, подробно расписанные доказательства, ответы на контрольные вопросы .

Готовое домашние задание из решебника (гдз ) по Геометрии . 10 -11 классы . Учебник для общеобразовательных учреждений / А . В Умение решать задачи из гдз по геометрии от Погорелова в 10 -11 классе – шаг к успешной сдаче экзаменов . 10 -11 классы – са . .

автор: А .В . Погорелов . Пособие ГДЗ по геометрии 10 ‐11 класс Погорелов станет прекрасным помощником в подготовке к контрольным работам и итоговой аттестации . Зачем пользоваться ГДЗ по геометрии за 10 ‐11 класс Погорелова . Сайт построен по типу учебного . .

10 класс . Погорелов А .В . ГДЗ к учебнику геометрии за 7 класс . Решенные задания и упражнения к учебнику по геометрии за седьмой класс авторов Погорелов А .В . 1995 года выпуска .

Подробный решебник ГДЗ к учебнику по Геометрии 7 -11 класс Погорелов А .В . 2009, онлайн ответы на домашнюю работу . Решебник по геометрии автора для 7 -11 классов Погорелова А .В . содержит материал о свойствах фигур, смежных и вертикальных углах, на примерах можно . .

Геометрия 10 класс . Решебник . Предмет . Быстрая навигация: Упражнения Вопросы после параграфов .

ГДЗ по Геометрии 7 -11 класс к учебнику Погорелов, онлайн ответы из решебника . Решебник по геометрии за 7 -11 класс автора Погорелова А .В . 1995 года издания . Сборник по своему объему достаточно большой и охватывает ряд заданий и тем для целых пяти классов .

Подробный решебник (ГДЗ ) по Геометрии за 10 ‐11 (десятый‐одиннадцатый ) класс — готовый ответ контрольные вопросы . § — 7 . Авторы учебника: Погорелов . Издательство: Просвещение .

Погорелов . 1997-2001-2002 гг(другая сортировка) .

ГДЗ Погорелов 10 -11 класс (геометрия) . §1 Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия . Учебник Погорелова всегда вызывал особые сложности по геометрии у учеников в 10 и 11 классе . Поэтому на сайте решак .ру был приготовлен новый сборник ГДЗ Погорелова . .

Название учебника: Геометрия 7 -11 класс . Автор: Погорелов А .В . Издательство: Просвещение . Площади фигур . 10 класс: Стереометрия . Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия . Параллельность прямых и плоскостей .

Готовые Домашние Задания , Решебник по Геометрии 10 -11 классы . Погорелов .
ГДЗ по геометрии 10 ‐11 класс Погорелов контрольные вопросы . § Подробное решение контрольные вопросы . § № 4 по геометрии для учащихся 10 ‐11 класса , авторов Погорелов .

ГДЗ (Готовые домашние задания ) по Геометрии 10 ‐11 класс А .В . Погорелов , решенные задания и онлайн ответы из решебника . Также пособие позволяет ознакомиться с похожими заданиями, которые ждут старшеклассника на контрольных работах .

Геометрия 10 класс . Решебник . Предмет . Быстрая навигация: Упражнения Вопросы после параграфов .

ГДЗ по Геометрии 7 -11 класс к учебнику Погорелов, онлайн ответы из решебника . Решебник по геометрии за 7 -11 класс автора Погорелова А . В . 1995 года издания . Сборник по своему объему достаточно большой и охватывает ряд заданий и тем для целых пяти классов .

Погорелов . 1997-2001-2002 гг(другая сортировка) .

Готовые Домашние Задания , Решебник по Геометрии 10 -11 классы . Погорелов .

ГДЗ параграф 2 5 алгебра 9 класс рабочая тетрадь Миндюк, Шлыкова
ГДЗ упражнение 1027 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ вправа 305 алгебра 8 класс Истер
ГДЗ упражнение 829 алгебра 10‐11 класс Алимов, Колягин
ГДЗ упражнение 383 математика 6 класс Истомина
ГДЗ задание 1213 математика 6 класс Никольский, Потапов
ГДЗ задание 383 математика 5 класс Никольский, Потапов
ГДЗ вправа 13 украинский язык 7 класс Глазова
ГДЗ задание 1059 математика 5 класс Никольский, Потапов
ГДЗ часть 1 / номер 393 математика 5 класс задачник Бунимович
ГДЗ контрольные работы / КР-4 / вариант 2 6 алгебра 9 класс дидактические материалы Феоктистов
ГДЗ упражнение 250 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ страница 51 английский язык 7 класс Звездный английский Баранова, Дули
ГДЗ номер 990 математика 5 класс Дорофеев, Шарыгин
ГДЗ страница 58-59 немецкий язык 6 класс wunderkinder рабочая тетрадь Радченко, Лясковская
ГДЗ §8 8. 11 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Зубарева, Мильштейн
ГДЗ упражнение 338 русский язык 6 класс Ладыженская, Баранов
ГДЗ упражнение 732 геометрия 7 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ тест 19. вариант 2 история 6 класс контрольно-измерительные материалы России Волкова
ГДЗ номер 1015 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ Страница 152 11 химия 8 класс Гузей, Суровцева
ГДЗ выпуск 4.2. страница 92 математика 4 класс самостоятельные и контрольные работы Петерсон, Горячева
ГДЗ упражнение 72 алгебра 9 класс рабочая тетрадь Минаева, Рослова
ГДЗ параграф 26 26.153 геометрия 9 класс Мерзляк, Поляков
ГДЗ номер 509 алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ часть №1 / номер 205 русский язык 2 класс Канакина, Горецкий
ГДЗ номер 669 алгебра 9 класс Никольский, Потапов
ГДЗ часть 2 / упражнение 209 русский язык 4 класс Желтовская, Калинина
ГДЗ самостоятельная работа / вариант 3 175 математика 6 класс дидактические материалы Чесноков, Нешков
ГДЗ тесты / тест 12 / вариант 2 6 алгебра 8 класс дидактические материалы Феоктистов
ГДЗ параграф 12 18 геометрия 7‐9 класс Погорелов
ГДЗ страница 19 биология 10‐11 класс тетрадь-тренажер Сухорукова, Кучменко
ГДЗ задание 93 алгебра 7 класс рабочая тетрадь Муравин, Муравина
ГДЗ номер 724 алгебра 7 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ приложение / приложение 2 3 химия 9 класс Габриелян
ГДЗ unit 2 Lesson 6 английский язык 5 класс New Millennium, student’s book Деревянко, Жаворонкова
ГДЗ Учебник 2019 / часть 2 321 (1170) математика 5 класс Виленкин, Жохов
ГДЗ номер 757 физика 10‐11 класс задачник Рымкевич
ГДЗ номер 20 математика 6 класс Дорофеев, Шарыгин
ГДЗ работа № 35 биология 8 класс рабочая тетрадь Маш, Драгомилов
ГДЗ часть 2. страница 84 английский язык 2 класс rainbow Афанасьева, Михеева
ГДЗ повторение 23 математика 1 класс Петерсон
ГДЗ номер 420 алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк
ГДЗ самостоятельные работы / СР-21 / подготовительный вариант 4 алгебра 9 класс дидактические материалы Феоктистов
ГДЗ часть 2. страница 52 математика 4 класс рабочая тетрадь Кремнева
ГДЗ номер 678 геометрия 8 класс Мерзляк, Полонский
ГДЗ упражнение 312 математика 6 класс сборник задач и упражнений Гамбарин, Зубарева
ГДЗ упражнение 71 русский язык 4 класс Рамзаева
ГДЗ §30. Природные комплексы Восточно-Европейской равнины / Вопросы в начале параграфа 1 география 8 класс Баринова
ГДЗ вправа 239 украинский язык 7 класс Глазова

Решебник По Физике 8 Класс Габриелян Учебник

Решебник 3 Класс Русский Язык 2 Часть

ГДЗ задание 50 математика 5 класс Никольский, Потапов

Решебник По Английскому 9 Класс Starlight

Spotlight 2 Учебник ГДЗ

Контрольные вопросы по геометрии 7 класс.

Контрольные вопросы к §1.

Основные свойства простейших геометрических фигур.

Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ: Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ: Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 3. Как обозначаются точки и прямые?
Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D, … . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, … .
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую a на рисунке 4 можно обозначить AC, а прямую b можно обозначить BC. Рис.4

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ: Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ: Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ: Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ: Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 12. Как обозначаются полупрямые?
Ответ: Полупрямые, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами.
Вопрос 13. Какая фигура называется углом?
Ответ: Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ: Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ: Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ: Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ: Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ: Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ: Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ: Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ: Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ: Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ: На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ: Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A₁,B₁,C₁ (рис. 23, б).
Треугольник A₁B₁C₁ равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. а||b.

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Контрольные вопросы к § 2. Смежные и вертикальные углы.

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ: Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a₁b) и угол (a₂b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a₁ и a₂ развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a₁b) и (a₂b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ:

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a₁b) и (c₁d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a₂b) и (c₂d) тоже равны. Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a₁b + a₂b = 180° и c₁d + c₂d = 180°. Отсюда, a₂b = 180° — a₁b и c₂d = 180° — c₁d. Так как углы (a₁b) и (c₁d) равны, то мы получаем, что a₂b = 180° — a₁b = c₂d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a₂b = c₂d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ: Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ: Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ: Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ: Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥.. Запись a⊥b читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ: Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a₁ одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a₁ угол (a₁b₁), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁. Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ: Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ: Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Контрольные вопросы к § 3. Признаки равенства треугольников.

Вопрос 1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
Ответ: Первый признак равенства треугольников — Теорема 3.1. (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A₁B₁C₁ угол A= углу A₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁(рис. 44). Рис. 44.
Докажем, что треугольники равны. Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а). Так как A₁B₁=A₁B₂, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁ (рис. 45, б). Так как угол B₁A₁C₁= углу B₂A₁C₂, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁ (рис. 45, в). Так как A₁C₁=A₁C₂, то вершина C₂ совпадает с вершиной C₁ (рис. 45, г).
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
В начале доказательства рисуют треугольник A₁B₂C₂ равный треугольнику ABC с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁ (рис. 45, а). Такой треугольник существует по аксиоме о существовании треугольника, равного данному (каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой).
Затем утверждается совпадение вершин B₁ и B₂ на том основании, что A₁B₁ = A₁B₂. Здесь используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Далее утверждается совпадение лучей A₁C₂ и A₁C₁ на том основании, что ∠B₂A₁C₁ = ∠B₂A₁C₂. Здесь используется аксиома откладывания углов (от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один). Наконец, утверждается совпадение вершин C₁ и C₂, так как A₁C₁ = A₂C₂. Здесь снова используется аксиома откладывания отрезков (на любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один).
Итак, при доказательстве теоремы 3.1 используются аксиомы откладывания отрезков и углов и аксиома о существовании треугольника, равного данному.

Вопрос 2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников.
Ответ: Второй признак равенства треугольников — Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ — два треугольника, у которых AB= A₁B₁, угол A= углу A₁ и угол B= углу B₁(рис. 47). Докажем, что треугольники равны.
Пусть A₁B₂C₂— треугольник, равный треугольнику ABC, с вершиной B₂ на луче A₁B₁ и вершиной C₂ в той же полуплоскости относительно прямой A₁B₁, где лежит вершина C₁.
Так как A₁B₂=A₁B₁, то вершина B₂ совпадает с вершиной B₁. Так как угол B₁A₁C₂= углу B₁A₁C₁ и угол A₁B₁C₂ = углу A₁B₁C₁, то луч A₁C₂ совпадает с лучом A₁C₁, а луч B₁C₂ совпадает с лучом B₁C₁. Отсюда следует, что вершина C₂ совпадает с вершиной C₁.
Итак, треугольник A₁B₁C₁ совпадает с треугольником A₁B₂C₂, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.

Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Вопрос 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ: Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ: Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ: Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ: Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ: Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).

Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ: Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ: Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53). Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Вопрос 12. Докажите третий признак равенства треугольников.
Ответ: Третий признак равенства треугольников — Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трём сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ – два треугольника, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁(рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A₁, угол B не = углу B₁, угол C не = углу C₁. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁ (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Контрольные вопросы к §4. Сумма углов треугольника.

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ: Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ: Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Рис. 71

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ: Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например, угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72). Рис. 72

Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны , то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.
Пара внутренних накрест лежащих углов, например угол 1 и угол 2, и пара внутренних односторонних углов, например угол 2 и угол 3, имеют один угол общий – угол 2, а два других угла смежные: угол 1 и угол 3.
Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ: Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б). Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC₁, равный треугольнику ABC, с вершиной C₁ в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC₁ с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC₁ совпадает с прямой a, а прямая BC₁ совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C₁ проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ: Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠1 = ∠3.

3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ: Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ: Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a₁ так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a₁ и b, были равны (рис. 76). По признаку параллельности прямых прямые a₁ и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a₁. Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ: Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°. Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ: Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC (рис. 78). Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ: Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 11. Что такое внешний угол треугольника?
Ответ: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).

Вопрос 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Ответ: Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник (рис. 80). По теореме о сумме углов треугольника ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Отсюда следует, что ∠A + ∠B = 180° — ∠C. В правой части этого равенства стоит градусная мера внешнего угла треугольника при вершине C. Теорема доказана.

Вопрос 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Ответ: Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Вопрос 14. Какой треугольник называется прямоугольным?
Ответ: Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Вопрос 15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
Ответ: Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° — 90° = 90°.

Вопрос 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

Ответ: Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).

Вопрос 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вопрос 18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Ответ: Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведём через какую – нибудь точку прямой a перпендикулярную прямую. А теперь проведём через точку A параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой a, так как прямая a, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок AB прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.
Докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Вопрос 19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Вопрос 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой – нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Контрольные вопросы к §5. Геометрические построения.

Вопрос 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Ответ: Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Вопрос 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Вопрос 3. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Ответ: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вопрос 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ответ: Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны OA и OC равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через её середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какая прямая называется касательной к окружности?
Ответ: Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Вопрос 6. Что значит: окружности касаются в данной точке?
Ответ: Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97).

Вопрос 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
Ответ: Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).

Вопрос 8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вопрос 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Ответ: Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 10. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
Ответ: Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку B (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть C – точка её пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным c, описываем окружность из центра B, а раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра C. Пусть A – точка пересечения этих окружностей. Проведём отрезки AB и AC. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Ответ: Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведём произвольную окружность с центром в вершине A данного угла (рис.100,а). Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведём окружность с центром в точке O – начальной точке данной полупрямой (рис.100,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим B₁. Опишем окружность с центром B₁ и радиусом BC. Точка C₁ пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ABC и OB₁C₁ равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы A и O являются соответствующими углами этих треугольников. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 12. Объясните, как разделить данный угол пополам.
Ответ: Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть B и C – точки её пересечения со сторонами угла. Из точек B и C тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от A. Проводим полупрямую AD. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол BAC пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 13. Объясните, как разделить отрезок пополам.
Ответ: Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Из точек A и B радиусом AB описываем окружности. Пусть C и C₁– точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. Отрезок CC₁ пересекает прямую AB в некоторой точке O. Эта точка есть середина отрезка AB. Действительно, треугольники CAC₁ и CBC₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны AO и BO этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, O – середина отрезка AB. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Ответ: Задача 5.5. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Решение. Возможны два случая:
1) точка O лежит на прямой a;
2) точка O не лежит на прямой a.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки O проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую a в двух точках: A и B. Из точек A и B проводим окружности радиусом AB. Пусть C – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки O и C.
Перпендикулярность прямых OC и AB следует из равенства углов при вершине O треугольников ACO и BCO. Эти треугольники раны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки O проводим окружность, пересекающую прямую a. Из точек A и B тем же радиусом проводим окружности. Пусть O1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O. Искомая прямая проходит через точки O и O1. Докажем это.
Обозначим через C точку пересечения прямых AB и OO1. Треугольники AOB и AO1B равны по третьему признаку. Поэтому угол OAC равен углу O1AC. А тогда треугольники OAC и O1AC равны по первому признаку. Значит, их углы ACO и ACO1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек?
Ответ: Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть A и B – данные точки, a – прямая, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
2) Каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
То, что каждая точка C прямой a находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, следует из равенства треугольников AOC и BOC. У этих треугольников углы при вершине O прямые, сторона OC общая, а AO=OB, так как O – середина отрезка AB.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a. Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой a. Теорема доказана.

алгебра и геометрия Козлов Инновационная школа

ГДЗ по математике за 7 класс Козлов поможет учащимся среднего звена успешно освоить курс и подтянуть академическую успеваемость. Если школьникам изучение какого-либо предмета дается крайне тяжело, то им следует не только заниматься по учебникам, но еще использовать решебники к ним. Подобные справочники содержат в себе и верные ответы на вопросы в рамках программы, и алгоритмы решения различных задач и уравнений.

На седьмой ступени обучения в школе учащимся среднего звена придется столкнуться со следующими темами:

Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Что такое функция?
Умножение одночленов, возведение в натуральную степень.
Прямая и отрезок.
Многоугольники. Понятие площади.
Задачи на третий признак равенства треугольников.

Эффективность сборника ответов по математике за 7 класс Козлов Никитин

Даже если ученику не нравится этот предмет, то ему все же придется освоить рабочую программу по нему. А чтобы хоть немного облегчить учебный процесс, специалисты настоятельно рекомендуют воспользоваться данным комплексом, который поможет подростку быстро и качественно выполнить домашнее задание, а также подготовиться к любой проверке в классе.

Для того чтобы добиться положительных результатов, нужно использовать данное пособие правильно, а не бездумно переписывать в чистовик выполненные номера. Порой учителям недостаточно просто ответов, иногда они просят подробно объяснить, как подростки пришли к тем или иным выводам. Чтобы не заходить в тупиковую ситуацию, нужно обдумывать каждое свое действие, выбрать подходящий алгоритм решения задачи или уравнения и внимательно изучить его. За такую работу школьник гарантировано получит хорошую или отличную отметку.

Использовать ГДЗ по математике за 7 класс Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов B.C., Мальцев A.А. ученик может в различных целях. Все зависит от результатов, которых бы он хотел добиться. Онлайн-пособие помогает своевременно устранять пробелы в знаниях, закреплять пройденное в классе, избавляться даже от незначительных погрешностей и быстрее разбираться с возникающими задачами.

ГДЗ к рабочей тетради по математике за 7 класс Козлов В.В. можно посмотреть здесь.

ГДЗ к текущему и итоговому контролю по математике за 7 класс Козлов В.В. можно посмотреть здесь.

Сайт МОУ «СОШ п. Белоглинный»

Решаемвместе

Неубранмусор, яманадороге, негоритфонарь?Столкнулисьспроблемой —сообщитеоней!

Сообщитьопроблеме

Здравствуйте, уважаемые посетители!

Вы зашли на официальный интернет-сайт МОУ «Средняя общеобразовательная школа п. Белоглинный», которая находится в Озинском районе Саратовской области.
Администрация школы и педагоги рады видеть Вас здесь.Главной целью нашей деятельности является обеспечение условий, в которых личность сможет формироваться в атмосфере свободы и творчества, проходить социальную адаптацию и получать начальные профессиональные навыки, стать адекватной и проявлять индивидуальность, а также для того чтобы наши ученики нашли способ жить гармонично, сформировали позитивное отношение к миру.

Мы предлагаем очный вид обучения, а также семейное и домашнее обучение.
Со второго класса наши ученики начинают заниматься изучением английского языка. В это же время начинает преподаваться информатика. Мы занимаемся реализацией предпрофильного и профильного обучения.

Младшие классы занимаются по разработанной и утверждённой Министерством Образования и Науки программе «Начальная школа XXI в.». Преподавание осуществляется на русском языке.

В текущем учебном году (2020-2021) в учреждении числится 80 учеников. С первого по четвёртый класс обучение идёт по ФГОС НОО, с пятого по восьмой класс идет обучение по ФГОС ООО. В этом учебном году 9 учащихся обучаются по адаптированной основной общеобразовательной программе, на дому.

Для учеников младших классов реализована группа продлённого дня, которая начинает свою работу со второй половины школьного дня.
Вакансии для педагогов: Учитель математики.

График работы учреждения

Руководителем образовательного учреждения является Абдрахманова Людмила Вячеславовна.
Прийти на приём по интересующим вопросам, вы можете в понедельник с 9.00 до 12.00 и в пятницу с 15.00 до 17.00.
Учредителем является администрация Озинского муниципального района, Саратовской области.
Почтовый адрес: 413615
Саратовская область, Озинский район
п. Белоглинный, ул. Урожайная 32,
тел. 8(84576) 4-34-35
e-mail:[email protected]
Сайт: http://www.belog-shcool.ru

Юридический адрес учреждения совпадает с почтовым.

Наша Гостевая книга — это место, где Вы можете высказать свои пожелания или мнения относительно школы.

вопросов и задач по алгебре для 7 класса

Представлены вопросы и задачи по алгебре 7-го класса с подробным решением. Включены вопросы по упрощению выражений, решению уравнений, факторингу выражений и т. Д.

Оцените каждое из выражений для данного значения (значений) переменной (ей).
1. 12 x ³ + 5 x ² + 4 x — 6 для x = -1
2. 2 a ² + 3b ³ — 10 для a = 2 и b = -2
3. (- 2 x — 1) / (x + 3) для x = 2
4. 2 + 2 | x — 4 | для x = — 4
Расширьте и упростите каждое из приведенных ниже выражений.
1. — 2 (х — 8) + 3 (х — 7)
2. 2 (а + 1) + 5b + 3 (а + b) + 3
3. а (б + 3) + б (а — 2) + 2 а — 5 б + 8
4. (1/2) (4x + 4) + (1/3) (6x + 12)
5. 4 (- х + 2-3 (х — 2))
Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
1. х / у + 4 / у
2. (2 х / 4) (1/2)
3. (3 х / 5) (х / 5)
Упростите каждое из приведенных ниже выражений.
1. 3 х ² 5 х ³
2. [(2 y) ⁴ 9 x ³] [4 y ⁴ (3 x) ²]
Полностью разложите на множители каждое из приведенных ниже выражений.
1. 9 х — 3
2. 24 х + 18 лет
3. б х + д х
Решите каждое из приведенных ниже уравнений и проверьте свой ответ.
1. 2 х + 5 = 11
2. 3 х = 6/5
3. 3 (2 х + 2) + 2 = 20
Перепишем выражения 3 a a a — 5 b b с использованием экспоненты.
Прямоугольник имеет длину 2 x + 3 единицы, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна x + 1 единицам. Найдите значение x, если периметр прямоугольника равен 32.
Прямоугольник имеет длину 2x — 1 единиц, где x — переменная. Ширина прямоугольника равна 3 единицам. Найдите значение x, если площадь прямоугольника равна 27.
45% учеников школы — мужчины? Найдите отношение количества девочек к общему количеству учеников мужского пола в этой школе.
Автомобиль едет со скоростью x + 30 километров за час, где x неизвестно. Найти x, если эта машина преодолевает 300 километров за 3 часа?
Решите пропорцию: 4/5 = a / 16
Найдите a, если упорядоченная пара (2, a + 2) является решением уравнения 2 x + 2 y = 10?
Найдите наибольший общий делитель чисел 25 и 45.
Напишите число «один миллиард двести тридцать четыре миллиона семьсот пятьдесят тысяч два», используя цифры.
Напишите прописью число 393 234 000 034.
Найдите наименьшее общее кратное чисел 15 и 35.
Найти x, если 2/3 x равно 30?
Что такое 20% от 1/3?
Заказывайте 12/5, 250%, 21/10 и 2.3 от наименьшего к наибольшему.
Сумма 3 последовательных положительных целых чисел равна 96.Найдите наибольшее из этих чисел.
Дэни набрал 93 балла по физике, 88 баллов по математике и результат по химии, который вдвое превышает его балл по географии. Средний балл по всем 4 курсам — 79. Какие у него были баллы по химии и географии?
Линда набрала 265 баллов по математике, физике и английскому языку. По математике она набрала на 7 баллов больше, чем по английскому, а по физике на 5 баллов больше, чем по математике. Найдите ее баллы по всем трем предметам.
На стоянке есть велосипеды и автомобили.Всего имеется 300 колес, в том числе 100 маленьких колес для велосипедов. Сколько машин и велосипедов?
Разница между двумя числами равна 17, а их сумма равна 69. Найдите наибольшее из этих двух чисел.

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Больше математики в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше начальной математики (4 и 5 классы) ) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами
Автор — e-mail
Домашняя страница сообщить об этом объявлении

Средняя школа | Математика | 6, 7, 8 класс — обучающие контрольные задания

Тесты делают обучение увлекательным! Нет более быстрого способа изучить математику в средней школе — 6, 7 и 8 классы

В математике происходят очень странные вещи.Например, если вы умножите 111 111 111 на 111 111 111, вы получите ответ 12 345 678 987 654 321. Не многие об этом знают!

Хорошо, мы согласны с тем, что приведенное выше умножение не будет для вас особенно полезным в «реальной жизни», но во многих случаях математика будет для вас неоценимой. Каждый раз, когда вы ходите по магазинам, вам нужна математика, чтобы рассчитать, правильно ли вы получили сдачу.

Когда вы отправляетесь в отпуск, вам нужно решить, можете ли вы позволить себе перелеты, счета в отеле и трату денег.Если вы сядете на диету, вам понадобится математика, чтобы определить, насколько хорошо вы себя чувствуете, а когда вы отправляетесь в долгое путешествие на машине, вам нужно рассчитать, сколько времени, вероятно, у вас уйдет, чтобы добраться туда.

Вам даже понадобится математика, чтобы вычислить, сколько дней покупок осталось до Рождества.

В истории вы будете говорить о годах, десятилетиях и столетиях. В географии вы будете обсуждать плотность населения и площади. В науке вам нужно будет понимать, как измерять и сравнивать результаты. В музыке вам нужно будет определить, сколько 16-х нот в половинной ноте.По всем этим предметам понимание математики поможет вам достичь лучших в классе.

Одна из проблем заключается в том, что очень большие числа трудно понять, но есть разные уловки, которые могут помочь. Например, здесь, в образовательных викторинах, мы знаем, что в мае 2016 года у нас было до 20 000 человек, использующих веб-сайт каждый день, и мы хотели визуализировать, как это выглядело. Мы знали, что роскошные автобусы вмещают около 50 мест, поэтому мы разделили 20 000 на 50 и обнаружили, что количество людей, пользующихся нашим сайтом каждый день, составляет 400 загруженных автобусов!

Никогда не бойтесь чисел.Конечно, кажется, что они время от времени совершают какие-то странные поступки, но правда в том, что они абсолютно последовательны, и если вы научитесь их любить, они станут вашими друзьями на всю жизнь.

В приведенном ниже списке более 200 викторин, и чем больше вы в них будете играть, тем увереннее вы научитесь использовать числа — не забывайте, что вам нужно «научиться любить их»!

Представляем MATH! 7 класс от ArgoPrep: 600+ практических вопросов

Знакомство с математикой! от ArgoPrep — это отмеченная наградами серия, созданная сертифицированными учителями , чтобы предоставить студентам качественные практические задачи.Эта рабочая тетрадь предназначена для того, чтобы предоставить вам исчерпывающий обзор по математике для 7-го класса. Наши рабочие тетради включают обзоры тем с инструкциями, практические вопросы, ответы на объяснения, а также бесплатный цифровой доступ к видео объяснениям . Практикуйтесь уверенно — с ArgoPrep! Глава 1 — Соотношения и пропорциональные отношения

1.1. Расценки на расчетные единицы.
1.2. Распознавать и представлять пропорциональные отношения между количествами

Глава 2 — Система счисления

2.1. Применить и расширить предыдущее понимание операций с дробями
2.2. Применяйте и расширяйте предыдущие представления о умножении и делении
2.3. Решение реальных проблем с использованием четырех операций

Глава 3 — Выражения и уравнения

3.1. Используйте свойства операций для создания эквивалентных выражений
3.2. Решайте реальные и математические задачи, используя числовые и алгебраические выражения и уравнения.
3.3. Глава Test

Глава 4. Геометрия

4.1. Нарисуйте конструкцию, опишите геометрические фигуры и опишите отношения между ними
4.2. Решайте реальные и математические задачи, касающиеся измерения угла, площади, площади поверхности и объема.
4.3. Глава Test

Глава 5. Геометрия

5.1. Определение системы координат.
5.2. Понимание атрибутов двумерных фигур.

Глава 5 — Статистика и вероятность

5.1. Используйте случайную выборку, чтобы сделать выводы о совокупности
5.2. Сделайте неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.
5.3. Исследуйте случайные процессы, а также разрабатывайте, используйте и оценивайте вероятностные модели.
5.4. Глава Test

Наша отмеченная наградами рабочая тетрадь «Знакомство с математикой для детского сада» предназначена для того, чтобы помочь вашему ребенку практиковаться и повысить его успеваемость по математике.

Эта рабочая тетрадь, созданная лицензированными учителями, предлагает комплексные практические вопросы по всем темам, с которыми учащиеся сталкиваются на уровне детского сада. Наши рабочие тетради согласованы с штатами и предлагают обзоры тем с инструкциями, практические вопросы, ответы на объяснения, а также бесплатный цифровой доступ к видео-объяснениям.В отличие от других рабочих тетрадей, представленных на рынке, наши рабочие тетради по математике и английскому языку (ELA) поставляются с видео-объяснениями, которые ведет высококвалифицированный инструктор на нашем веб-сайте. Доступ к нашим видео в вашей книге на любом компьютере, планшете или мобильном устройстве.