Контрольная работа № 5 по теме «Преобразование тригонометрических выражений»
Контрольная работа № 5 (1 час)
Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.
Вариант 1
1. Вычислите.
а)
б)
в)
2. Упростите выражение
3. Решите уравнение
4. Найдите корни уравнения принадлежащие полуинтервалу
5. Решите уравнение
6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство
Вариант 2
1. Вычислите.
а)
б)
в)
2. Упростите выражение
3. Решите уравнение
4. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку
5. Решите уравнение
6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство
Вариант 3
1. Вычислите.
а)
б)
в)
2. Упростите выражение
3. Решите уравнение
4. Найдите корни уравнения принадлежащие полуинтервалу
5. Решите уравнение
6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство
Вариант
1. Вычислите.
а)
б)
в)
2. Упростите выражение
3. Решите уравнение
4. Найдите корни уравнения принадлежащие полуинтервалу
5. Решите уравнение
6. Докажите, что для любого х справедливо неравенство
Критерии оценивания контрольной работы
За успешное выполнение заданий до черты – оценка «3»; за успешное выполнение обязательных заданий и одного дополнительного (после 1-й или 2-й черты) – «4» ; за успешное выполнение заданий всех трех уровней – «5». При этом оценку не рекомендуется снижать за одно неверное решение в первой части (допустимый люфт).
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. а)
б)
в)
Ответ: а) б) 0; в)
2.
3.
Ответ:
4.
или
Отберем корни, принадлежащие полуинтервалу
Ответ:
5.
или
Ответ:
6.
– верно, так как аргумент принадлежит II координатной четверти ( 458 °), значит,
Вариант 2
1. а)
б)
в)
Ответ: а) б) в) 1.
2.
Ответ:
3.
Ответ:
4.
или
Отберем корни, принадлежащие промежутку
Ответ:
5.
или
Ответ:
6.
– верно, так как аргумент принадлежит III координатной четверти ( 573 °), значит,
Вариант 3
1. а)
б)
Ответ: а) б) в) 1.
2.
Ответ: 1.
3.
Ответ:
4.
или
Отберем корни, принадлежащие полуинтервалу
Ответ: 0,
5.
или
Ответ:
6.
– верно, так как аргумент принадлежит II координатной четверти ( 688 °), значит,
Вариант 4
1. а)
б)
в)
Ответ: а) б) в) 1.
2.
Ответ: 1.
3.
Ответ:
4.
или
Отберем корни, принадлежащие полуинтервалу
Ответ:
5.
Ответ:
6.
– верно, так как аргумент принадлежит II координатной четверти ( 401 °), значит,
№ /№ п/п | Примерная дата проведения урока |
Что пройдено на уроке | Приме-чание | |
|
|
Тригонометрические выражения.
|
26 |
|
1 | сентябрь | Числовая окружность на координатной плоскости. Радианная мера угла. Решение задач по теме « Числовая окружность на координатной плоскости. Радианная мера угла»
| 1 |
|
2 | сентябрь | Решение задач по теме « Числовая окружность на координатной плоскости. Радианная мера угла»
| 1 |
|
3 | сентябрь | Синус, косинус произвольного угла.
| 1 |
|
4 | сентябрь | Синус, косинус числа . Решение задач по теме « Синус, косинус числа»
| 1 |
|
5 | сентябрь | Тангенс, котангенс произвольного угла. Решение задач по теме « Тангенс, котангенс произвольного угла».
| 1 |
|
6 | сентябрь | Тангенс, котангенс произвольного числа. Решение задач по теме « Тангенс, котангенс произвольного числа».
| 1 |
|
7 | сентябрь | Основные тригонометрические тождества. Решение задач по теме « Основные тригонометрические тождества». | 1 |
|
8 | сентябрь | Решение задач по теме «Основные тригонометрические тождества»
| 1 |
|
9 | сентябрь | Решение задач по теме «Основные тригонометрические тождества»
| 1 |
|
10 | сентябрь | Решение задач по теме «Основные тригонометрические тождества»
| 1 |
|
11 | сентябрь | Решение задач по теме «Основные тригонометрические тождества»
| 1 |
|
12 | сентябрь | Контрольная работа №1 по теме «Тригонометрические выражения»
| 1 |
|
13 | сентябрь | Формулы приведения. Решение задач по теме «Формулы приведения»
| 1 |
|
14 | сентябрь | Решение задач по теме «Формулы приведения» Повторение. Основные тригонометрические тождества. | 1 |
|
15 | сентябрь | Решение задач по теме «Формулы приведения»
| 1 |
|
16 | сентябрь | Решение задач по теме «Формулы приведения»
| 1 |
|
17 | октябрь | Синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов. Решение задач по теме « Синус, косинус ,тангенс суммы и разности двух углов»
| 1 |
|
18 |
октябрь |
Решение задач по теме « Синус, косинус ,тангенс суммы и разности двух углов»
|
1 |
|
19 | октябрь | Синус и косинус двойного угла. Решение задач по теме « Синус и косинус двойного угла» | 1 |
|
20 | октябрь | Формулы половинного угла. Решение задач по теме « Формулы половинного угла»
| 1 |
|
21 | октябрь | Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.
| 1 |
|
22 | октябрь | Решение задач по теме « Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму»
| 1 |
|
23 | октябрь | Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
| 1 |
|
24 | октябрь | Преобразование тригонометрических выражений. Решение задач по теме « Преобразование тригонометрических выражений»
| 1 |
|
25 | октябрь | Решение задач по теме « Преобразование тригонометрических выражений»
| 1 |
|
26 | октябрь | Контрольная работа №2 по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»
| 1 |
|
|
|
Тригонометрические функции.
|
13 |
|
27 | октябрь | Функции. Область определения и множество значений. Решение задач по теме « Функции. Область определения и множество значений»
| 1 |
|
28 | октябрь | График функции. Построение графиков функции заданных различными способами.
| 1 |
|
29 | октябрь | Свойства функции: монотонность, чётность и нечётность, периодичность и ограниченность. | 1 |
|
30 | октябрь | Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значение, точки экстремума (локального максимума и минимума) Выпуклость функции.
| 1 |
|
31 | октябрь | Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
| 1 |
|
32 | октябрь | Тригонометрические функции их свойства и графики, периодичность, основной период .
| 1 |
|
33 | октябрь | Решение задач по теме « Тригонометрические функции их свойства и графики, периодичность, основной период»
| 1 |
|
34 | ноябрь | Взаимно обратные функции. Область определения и область значения обратной функции. Нахождение функции обратной данной. График обратной функции.
| 1 |
|
35 | ноябрь | Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Решение задач по теме « Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики» | 1 |
|
36 | ноябрь | Преобразование графиков: параллельный перенос. Решение задач по теме « Преобразование графиков: параллельный перенос»
| 1 |
|
37 | ноябрь | Симметрия относительно осей координат, симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой у=х.
| 1 |
|
38 | ноябрь | Растяжение и сжатие вдоль осей координат .Решение задач по теме « Растяжение и сжатие вдоль осей координат»
| 1 |
|
39 | ноябрь | Контрольная работа №3 по теме «Тригонометрические функции»
| 1 |
|
|
|
Тригонометрические уравнения.
|
12 |
|
40 | ноябрь | Арксинус числа. Решение задач по теме « Арксинус числа». Повторение функции синус.
| 1 |
|
41 | ноябрь | Арккосинус числа. Решение задач по теме « Арккосинус числа». Повторение функции косинус. | 1 |
|
42 | ноябрь | Арктангенс числа. Арккотангенс числа. Решение задач по теме « Арктангенс числа, арккотангенс числа». Повторение функции тангенс.
| 1 |
|
43 | ноябрь | Простейшие тригонометрические уравнения. Решение задач по теме « Простейшие тригонометрические уравнения»
| 1 |
|
44 | ноябрь | Решение задач по теме « Простейшие тригонометрические уравнения»
| 1 |
|
45 | ноябрь | Простейшие тригонометрические неравенства. Решение задач по теме « Простейшие тригонометрические неравенства»
| 1 |
|
46 | ноябрь | Решение задач по теме « Простейшие тригонометрические неравенства»
| 1 |
|
47 | ноябрь | Тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений.
| 1 |
|
48 | декабрь | Решение задач по теме « Тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений»
| 1 |
|
49 | декабрь | Решение задач по теме « Тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений»
| 1 |
|
50 | декабрь | Системы уравнений. Решение задач по теме « Системы уравнений»
| 1 |
|
51 | декабрь | Контрольная работа №4 по теме «Тригонометрические уравнения»
| 1 |
|
|
|
Последовательности.
| 17 |
|
52 | декабрь | Понятие о пределе последовательности. Решение задач по теме « Понятие о пределе последовательности»
| 1 |
|
53 | декабрь | Существование предела монотонной ограниченной последовательности | 1 |
|
54 | декабрь | Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей.
| 1 |
|
55 | декабрь | Решение задач по теме « Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей»
| 1 |
|
56 | декабрь | Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и её сумма. Решение задач по теме « Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и её сумма»
| 1 |
|
57 | декабрь | Решение задач по теме « Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и её сумма»
| 1 |
|
58 | декабрь | Решение задач по теме « Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии »
| 1 |
|
59 | декабрь | Теоремы о пределах последовательностей. Решение задач по теме « Теоремы о пределах последовательностей»
| 1 |
|
60 | декабрь | Переход к пределам в неравенствах. Решение задач по теме « Переход к пределам в неравенствах»
| 1 |
|
61 | декабрь | Решение задач по теме « Переход к пределам в неравенствах»
| 1 |
|
62 | декабрь | Понятие о пределе функции в точке . Решение задач по теме « Понятие о пределе функции в точке»
| 1 |
|
63 | декабрь | Поведение функции на бесконечности. Решение задач по теме « Поведение функции на бесконечности»
| 1 |
|
64 | январь | Асимптоты. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. | 1 |
|
65 | январь | Понятие о непрерывности функции. Графики дробно- линейных функций.
| 1 |
|
66 | январь | Основные теоремы о непрерывных функциях. Решение задач по теме « Основные теоремы о непрерывных функциях»
| 1 |
|
67 | январь | Решение задач по теме « Основные теоремы о непрерывных функциях»
| 1 |
|
68 | январь | Решение задач по теме « Основные теоремы о непрерывных функциях»
| 1 |
|
|
|
Производная.
|
18 |
|
69 | январь | Понятие о производной функции. Решение задач по теме « Основные теоремы о непрерывных функциях»
| 1 |
|
70 | январь | Решение задач по теме « Понятие о производной функции»
| 1 |
|
71 | январь | Физический и геометрический смысл производной функции. Решение задач по теме « Физический и геометрический смысл производной функции»
| 1 |
|
72 | январь | Решение задач по теме « Физический и геометрический смысл производной функции»
| 1 |
|
73 | январь | Производные суммы и разности функций. Решение задач по теме « Производные суммы и разности функции»
| 1 |
|
74 | февраль | Решение задач по теме «Производные суммы и разности функций»
| 1 |
|
75 | февраль | Производная произведения двух функций. Решение задач по теме « Производная произведения двух функций»
| 1 |
|
76 | февраль | Решение задач по теме « Производная произведения двух функций»
| 1 |
|
77 | февраль | Производная частного двух функций. Решение задач на тему « Производная частного двух функций»
| 1 |
|
78 | февраль | Решение задач на тему « Производная частного двух функций»
| 1 |
|
79 | февраль | Решение задач на тему « Производная частного двух функций»
| 1 |
|
80 | февраль | Производные основных элементарных функций .Решение задач по теме «Производные основных элементарных функций»
| 1 |
|
81 | февраль | Решение задач по теме «Производные основных элементарных функций»
| 1 |
|
82 | февраль | Контрольная работа №5 по теме «Производная»
| 1 |
|
83 | февраль | Сложная функция (композиция функций).Решение задач по теме « Сложная функция (композиция функций)»
| 1 |
|
84 | февраль | Производная сложной и обратной функции. Решение задач по теме « Производная сложной и обратной функции»
| 1 |
|
85 | февраль | Вторая производная, ее физический смысл. Решение задач по теме « Вторая производная, ее физический смысл»
| 1 |
|
86 | февраль | Контрольная работа №6 по теме «Производная»
| 1 |
|
|
|
Применение производной.
|
13 |
|
87 | февраль | Использование производных при решении уравнений. Решение задач по теме « Использование производных при решении уравнений»
| 1 |
|
88 | февраль | Использование производных при решении текстовых, физических и геометрических задач.
| 1 |
|
89 | февраль | Уравнение касательной к графику функции. Решение задач по теме « Уравнение касательной к графику функции»
| 1 |
|
90 | март | Использование производной при решении неравенств . Решение задач по теме « Использование производной при решении неравенств»
| 1 |
|
91 | март | Метод интервалов. Решение задач по теме «Метод интервалов». | 1 |
|
92 | март | Решение задач по теме «Решение неравенств с помощью метода интервалов».
| 1 |
|
93 | март | Контрольная работа №7 по теме «Применение производной»
| 1 |
|
94 | март | Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
| 1 |
|
95 | март | Решение задач по теме « Применение производной к исследованию функций и построению графиков»
| 1 |
|
96 | март | Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком.
| 1 |
|
97 | март | Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.
| 1 |
|
98 | март | Использование производной при нахождении наибольших и наименьших значений.
| 1 |
|
99 | март | Контрольная работа №8 по теме «Применение производной к исследованию функции»
| 1 |
|
|
|
Многочлены.
| 24 |
|
100 | март | Многочлены от одной переменной. Решение задач по теме « Многочлены от одной переменной»
| 1 |
|
101 | март | Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Решение задач по теме « Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком»
| 1 |
|
102 | март | Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. | 1 |
|
103 | апрель | Делимость целых чисел .Решение задач по теме « Делимость целых чисел».
| 1 |
|
104 | апрель | Деление с остатком. Сравнения. Решение задач по теме « Деление с остатком. Сравнения»
| 1 |
|
105 | апрель | Решение задач с целочисленными неизвестными. | 1 |
|
106 | апрель | Решение задач с целочисленными неизвестными. | 1 |
|
107 | апрель | Решение задач с целочисленными неизвестными. Решение целых алгебраических уравнений. | 1 |
|
108 | апрель | Многочлены с целыми коэффициентами. Решение задач по теме «Многочлены с целыми коэффициентами»
| 1 |
|
109 | апрель | Решение задач по теме «Многочлены с целыми коэффициентами»
| 1 |
|
110 | апрель | Схема Горнера.Решение задач по теме «Схема Горнера»
| 1 |
|
111 | апрель | Решение задач по теме «Схема Горнера»
| 1 |
|
112 | апрель | Теорема Безу. Решение задач по теме «Теорема Безу»
| 1 |
|
113 | апрель | Число корней многочлена. Решение задач по теме « Число корней многочлена»
| 1 |
|
114 | апрель | Решение задач по теме « Число корней многочлена»
| 1 |
|
115 | апрель | Решение задач по теме « Число корней многочлена»
| 1 |
|
116 | апрель | Многочлены от двух переменных. Решение задач по теме « Многочлены от двух переменных»
| 1 |
|
117 | апрель | Решение задач по теме « Многочлены от двух переменных»
| 1 |
|
118 | апрель | Решение задач по теме « Многочлены от двух переменных»
| 1 |
|
119 | апрель | Формулы сокращенного умножения для старших степеней.
| 1 |
|
120 | май | Бином Ньютона. Решение задач по теме «Бином Ньютона»
| 1 |
|
121 | май | Решение задач по теме «Бином Ньютона»
| 1 |
|
122 | май | Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
| 1 |
|
123 | май | Контрольная работа №9 по теме «Многочлены»
| 1 |
|
|
|
Действительные числа
|
12 |
|
124 | май | Действительные числа. Свойства арифметических действий с действительными числами.
| 1 |
|
125 | май | Сравнение действительных чисел. Решение задач по теме « Сравнение действительных чисел»
| 1 |
|
126 | май | Решение задач по теме « Сравнение действительных чисел»
| 1 |
|
127 | май | Уравнения с модулями. Решение задач по теме « Уравнения с модулями»
| 1 |
|
128 | май | Решение задач по теме « Уравнения с модулями»
| 1 |
|
129 | май | Решение задач по теме « Уравнения с модулями»
| 1 |
|
130 | май | Неравенства с модулем. Решение задач по теме «Неравенства с модулем»
| 1 |
|
131 | май | Решение задач по теме «Неравенства с модулем»
| 1 |
|
132 | май | Уравнения с параметрами. Решение задач по теме « Уравнения с параметрами»
| 1 |
|
133 | май | Решение задач по теме « Уравнения с параметрами»
| 1 |
|
134 | май | Неравенства с параметрами. Решение задач по теме «Неравенства с параметрами»
| 1 |
|
135 | май | Итоговая контрольная работа №10. Тесты. | 1 |
|
|
|
Повторение.
|
1 |
|
136 | май | Повторение. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
| 1 |
|
Урок 40. преобразование тригонометрических выражений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
- различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.
Глоссарий по теме
Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
- Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.
Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.
- Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:
1))
Например:
2)
Например: .
- Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).
Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) заменяем на по формуле .
- Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.
Например: , так как , синус меняется на косинус.
, так как , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.
- Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.
Например:
вычислить .
Заметим, что , , .
Тогда данное выражение примет вид: ;
в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. , значит
- Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.
, , ,
Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.
Например: упростите выражение .
Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:
.
Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный косинус.
Например, число рациональное, так как .
Углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный синус.
Углы вида ; , где k целое число, имеют рациональный тангенс.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:
Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.
Пример 1.Вычислите: .
Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы и . Используем формулу приведения: и тогда наше выражение примет вид: , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.
Пример 2. Найдите , если .
Так как , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на . Получаем:
, сократим и заменим на.
, по условию =3, подставим это число в наше выражение: .
6.4 Преобразования тригонометрических функций
Преобразования, применяемые к тригонометрическим функциям, имеют тот же формат, что и другие функции, хотя в уравнении есть тригонометрическая функция, такая как sin, cos, tan … и т. Д. Есть несколько стратегий, связанных с построением графиков или определением новых точек на преобразованной функции. Давайте взглянем на базовую функцию y = sin (x) и рассмотрим некоторые из преобразований, которые можно применить.
Метод 1: Таблица значений
Шаг 1) Если вы преобразуете точки из родительской функции, вы можете создать таблицу значений, в которой перечислены точки в порядке от 0 до 2π или в зависимости от вашего интервала.
Шаг 2) Разделите преобразования и переводы по горизонтали и вертикали. Убедитесь перед трансформацией, чтобы упростить скобу, если применимо.
Шаг 3) Применяйте преобразования по одному, запоминая BEDMAS и сначала применяя преобразования умножения или деления.
-6sin (4x-π / 2) -3
-6sin4 (x-π / 8) -3
Вертикальные переводы
[(1 x -6) -3)]
= -6-3
= -9
Горизонтальные переводы
[(π / 2/4) + π / 8)]
= π / 2 х 1/4
= π / 8 + π / 8
= 2π / 8
= π / 4
Следовательно, новая точка теперь (π / 4, -9)
Метод 2: Графическая технология
Шаг 1) Вы можете использовать графическую технологию для решения или проверки своей работы.Вы сможете увидеть общую форму функций и ваши трансформированные точки.
[A — Значение] Функция выше y = 2sin (x). Это преобразование означает, что значения y растягиваются на коэффициент, равный коэффициенту значения a, который в данном случае равен 2. Как вы можете видеть, теперь амплитуда растягивается до 2 и -2 на оси Y на синем графике. справа.
Закон синусов гласит, что:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma} {c}} [/ латекс]
где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных им сторон соответственно.
Наклонный треугольник: Стороны этого наклонного треугольника обозначены буквами a, b и c, а соответствующие им углы обозначены [latex] \ alpha [/ latex], [latex] \ beta [/ latex] и [латекс] \ гамма [/ латекс].
Обратите внимание на стандартный способ маркировки треугольников: угол [латекс] \ альфа [/ латекс] (альфа) — противоположная сторона [латекс] а [/ латекс]; угол [латекс] \ бета [/ латекс] (бета) противоположная сторона [латекс] b [/ латекс]; и угол [латекс] \ гамма [/ латекс] (гамма) является противоположной стороной [латекс] c [/ латекс].
Чтобы решить наклонный треугольник, используйте любую пару применимых соотношений из формулы закона синусов. При расчете углов и сторон обязательно доведите точные значения до окончательного ответа.
Пример
Решите треугольник, показанный на рисунке, округляя окончательные ответы до ближайшей десятой.
Наклонный треугольник с неизвестными сторонами и углами: В этом треугольнике [латекс] \ альфа = 50 \ градус [/ латекс], [латекс] \ гамма = 30 \ градус [/ латекс] и [латекс] a = 10 [/латекс].{\ circ} \ quad \ quad \ quad c \ приблизительно 6.5 [/ латекс]
Закон косинусов
Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в случаях, когда другие законы не применяются.
Цели обучения
Используйте закон косинусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений
Основные выводы
Ключевые моменты
- Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в тех случаях, когда нельзя применить закон синусов, например, для треугольников с неизвестными углами.2 [/ latex], где [latex] c [/ latex] — это гипотенуза, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — длины двух других сторон.
Использование закона косинусов
В некоторых случаях у нас может не быть достаточно информации, чтобы применить закон синусов, чтобы найти неизвестные углы и стороны в треугольнике. Например, рассмотрим треугольник, у которого известны все три стороны, но неизвестны значения углов. В таких случаях недостаточно информации для использования закона синуса. Закон косинусов полезен для: 1) вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и 2) вычисления углов треугольника, если известны только три стороны.
Закон косинусов определяет соотношение между измерениями углов и длинами сторон наклонных треугольников. Три формулы составляют Закон косинусов. На первый взгляд формулы могут показаться сложными, потому что они включают много переменных. Однако, как только этот шаблон понят, с законом косинусов легче работать, чем со многими формулами на этом математическом уровне.
Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение двух других сторон и косинус включенного угла.2 — 2ab \ cos \ gamma \ end {align} [/ latex]
Наклонный треугольник (без прямого угла): Наклонный треугольник с углами [латекс] \ альфа [/ латекс], [латекс] \ бета [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] и наоборот. соответствующие стороны [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс].
Для определения размера отсутствующей стороны требуется соответствующая величина противоположного угла. При решении для угла нужны длины всех сторон. Обратите внимание, что каждую формулу закона косинусов можно переставить, чтобы найти угол.2 & = 244 — 120 \ sqrt {3} \\ b & = \ sqrt {244 — 120 \ sqrt {3}} \\ b & \ приблизительно 6.0 \ end {align}} [/ latex]
Обратите внимание, что теперь у нас достаточно информации, чтобы мы могли использовать закон синусов для определения неизвестных углов [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] в треугольнике.
Пифагорейские тождества
Тождества Пифагора полезны для упрощения выражений с помощью тригонометрических функций.
Цели обучения
Соедините тригонометрические функции с теоремой Пифагора, чтобы вывести тождества Пифагора
Основные выводы
Ключевые моменты
- Тождества Пифагора выводятся из теоремы Пифагора и описывают взаимосвязь между синусом и косинусом на единичной окружности.2 [/ латекс]
Для треугольника, нарисованного внутри единичного круга, длина гипотенузы треугольника равна радиусу круга, который равен [латекс] 1 [/ латекс]. Длины сторон треугольника составляют [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].
Тождество Пифагора на единичной окружности: Для треугольника, нарисованного внутри единичной окружности, длина гипотенузы равна радиусу окружности. Стороны треугольника имеют длины [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].2 т = 1 [/ латекс]
, что верно для любого действительного числа [латекс] т [/ латекс]. 2 t = 1 [/ latex].2 т [/ латекс] упрощается до [латекс] 5 [/ латекс].
Формулы сложения и вычитания углов
Тригонометрические выражения можно упростить с помощью специальных углов и набора формул для сложения и вычитания углов.
Цели обучения
Упростите тригонометрические выражения с помощью формул сложения и вычитания углов.
Основные выводы
Ключевые моменты
- Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс
данного угла, если мы можем разбить его
на сумму или разность двух специальных углов. - Формулы для косинуса: [latex] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
- Формулы для синуса: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ sin (\ alpha — \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
- Формулы касательной: [латекс] \ displaystyle {\ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [ / latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha — \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [/ latex] .2} [/ латекс].
Получение формул сложения и вычитания углов
Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения. Мы можем использовать специальные углы, которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном ниже.
Единичная окружность: Единичная окружность со значениями синуса и косинуса, отображаемыми для специальных углов.
Существуют формулы для сложения и вычитания углов в каждой из тригонометрических функций.Они позволяют нам найти тригонометрическую функцию данного угла, если мы можем разбить ее на сумму или разность двух особых углов.
Чтобы увидеть, как выводятся эти формулы, мы можем разместить точки на диаграмме единичного круга. Предположим, что угол, для которого мы хотим найти тригонометрическую функцию, — это угол, образованный точкой [латекс] A [/ латекс], которая измеряет угол [латекс] \ альфа — \ бета [/ латекс]. Угол, образованный [латексом] A [/ латексом] и точкой [латекс] B [/ латексом] на положительной оси [латекса] x [/ латекса], такой же, как угол, образованный между двумя особыми углами, которые обозначается [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс].Точка [latex] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси [latex] x [/ latex] – с координатами [latex] (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ latex], а точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси [latex] x [/ latex] — с координатами [ латекс] (\ соз \ бета, \ грех \ бета) [/ латекс]. Углы равны, поэтому расстояние между точками [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] такое же, как и между точками [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс ].2} [/ латекс]
можно вывести ряд соотношений между углами. Мы можем вывести следующие шесть формул.
Формулы для косинуса:
[латекс] \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]
Формулы для синуса:
[латекс] \ begin {align} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ \ sin (\ alpha — \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]
Формулы тангенса:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan (\ alpha — \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ end {align}} [/ latex]
[latex] [/ latex] Они полезны для поиска углов, которые могут быть получены путем сложения или вычитания специальных углов.{\ circ} [/ латекс]. Можно найти тригонометрические функции любого такого угла.
Пример
Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6 } \ right)}} [/ латекс].
Примените формулу [латекс] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi } {4} \ right)} \ cos {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)} + \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)} \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)}} [/ латекс]
Подставьте значения тригонометрических функций из единичной окружности:
[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ left (- \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right)} [/ латекс]
Упростить:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} & = — \ frac {\ sqrt {6}} {4} — \ frac {\ sqrt {2}} {4} \\ \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right )} & = — \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4} \ end {align}} [/ latex]
Пример
Найдите точное значение [латекс] \ sin (15 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} = \ frac {\ sqrt {6} — \ sqrt {2}} {4}} [/ латекс]
Формулы двойных и половинных углов
Тригонометрические выражения можно упростить, применив формулы двойного и половинного угла.
Цели обучения
Упростите тригонометрические выражения с помощью формул двойного и половинного угла
Основные выводы
Ключевые моменты
- Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex].Они полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла.
- Формулы половинного угла также являются частным случаем и полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла [latex] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [latex] \ alpha [/ latex ] (Другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]).
- Хотя каждая формула полуугла имеет знак [латекс] \ pm [/ латекс], знак, который применяется в каждом случае, зависит от квадранта, в который попадает угол, и правил применения знаков к тригонометрическим функциям.
Формулы двойного угла
В предыдущей концепции мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex]. Другими словами, они позволяют нам найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла. В таких случаях можно выводить формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса, и эти формулы полезны для упрощения тригонометрических выражений.
Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы, которая была введена ранее: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [ /латекс].
Если мы допустим [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex], то имеем:
[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta + \ theta) & = \ sin \ theta \ cos \ theta + \ cos \ theta \ sin \ theta \\ \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {align}} [/ latex]
Формула двойного угла для косинуса может быть получена аналогично:
[латекс] \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
Обратите внимание, что мы можем применить тождества Пифагора, чтобы получить еще два варианта формулы косинуса:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ left (1- \ sin ^ 2 \ theta \ right) — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align}} [/ latex]
[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ cos ^ 2 \ theta — \ left (1- \ cos ^ 2 \ theta \ right) \\ & = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 \ end {align}} [/ latex]
Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex] в формуле суммы дает
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan {\ left (\ theta + \ theta \ right)} & = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ theta} {1 — \ tan \ theta \ tan \ theta} \\ \ tan {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta} \ end {align}} [/ latex]
Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:
- [латекс] \ sin {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ latex]
- [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
- [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
- [латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/ latex]
- [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (2 \ theta \ right)} = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta}} [/ латекс]
Пример
Найдите [латекс] \ sin (60 ^ {\ circ}) [/ latex] с помощью функции [latex] \ sin (30 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} & = 2 \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {4} \ right) \\ & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} } [/ латекс]
Формулы полуугловых
Формулы полуугла
могут быть получены из формул двойного угла. Они полезны для нахождения тригонометрической функции угла [латекс] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [латекс] \ альфа [/ латекс] (другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]). Формулы половинного угла следующие:- [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}} [/ латекс]
- [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}} [/ latex ]
- [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos \ alpha} {1 + \ cos \ alpha} }} [/ latex]
- [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {\ sin \ alpha} {1 + \ cos \ alpha}} [/ latex]
- [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {1 — \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} [/ latex]
Хотя некоторые формулы имеют знак [латекс] \ pm [/ latex], применяется только один знак.{\ circ}) [/ latex], следовательно, положительный.
Тождества тригонометрической симметрии
Тождества тригонометрической симметрии основаны на принципах четных и нечетных функций, которые можно наблюдать на их графиках.
Цели обучения
Объясните тождества тригонометрической симметрии, используя графики тригонометрических функций
Основные выводы
Ключевые моменты
- Тригонометрические функции бывают четными или нечетными, что означает, что они симметричны относительно оси [latex] y [/ latex] или начала координат соответственно.
- Четные тригонометрические функции — это косинус и секанс, а нечетные тригонометрические функции — это синус, косеканс, тангенс и котангенс.
- Определения четных и нечетных функций можно использовать для получения тождеств симметрии, соответствующих каждой из шести тригонометрических функций.
- Тождества симметрии можно использовать для нахождения тригонометрических функций отрицательных значений.
Ключевые термины
- нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex ], и есть симметрия относительно начала координат.
- четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], и есть симметрия относительно оси [латекс] y [/ латекс].
Симметрия в тригонометрических функциях
Мы уже обсуждали четные и нечетные функции. Напомним, что четные функции симметричны относительно оси [latex] y [/ latex], а нечетные функции симметричны относительно начала координат, [latex] (0, 0) [/ latex]. Напомним, что косинус является четной функцией, потому что он симметричен относительно оси [latex] y [/ latex].С другой стороны, синус и тангенс — нечетные функции, потому что они симметричны относительно начала координат.
Теперь мы рассмотрим каждую из тригонометрических функций и их совместные функции (секанс, косеканс и котангенс) и заметим симметрию на их графиках. Эта симметрия используется для получения определенных идентичностей.
Симметрия вокруг оси [latex] y [/ latex]: косинус и секанс являются четными функциями с симметрией относительно оси [latex] y [/ latex].
Функции косинуса и секанса симметричны относительно оси y.Графики, симметричные относительно оси [latex] y [/ latex], представляют четные функции. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].
Симметрия относительно начала координат : синус, косеканс, тангенс и котангенс являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат.
Функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.Графы, симметричные относительно начала координат, представляют нечетные функции. Для нечетных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = -f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].
Тождества симметрии
Мы можем применить определения для четных и нечетных функций, чтобы вывести тождества симметрии, соответствующие каждой из наших шести тригонометрических функций.Следующие тождества симметрии полезны при нахождении тригонометрической функции отрицательного значения.
Обратите внимание, что только два тригонометрических тождества являются четными функциями: косинус и секанс. Для этих функций мы применяем [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], чтобы найти следующие идентификаторы:
[латекс] \ begin {align} \ cos (-x) & = \ cos x \\ \ sec (-x) & = \ sec x \ end {align} [/ latex]
Для нечетных тригонометрических функций мы применяем [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] и находим следующие тождества:
[латекс] \ begin {align} \ sin (-x) & = — \ sin x \\ \ csc (-x) & = — \ csc x \\ \ tan (-x) & = — \ tan x \ \ \ cot (-x) & = — \ cot x \ end {align} [/ latex]
Пример
Найдите синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ theta = — \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].
Во-первых, мы можем определить, что абсолютное значение [latex] \ theta [/ latex] является особым углом, [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex]. Из единичного круга мы знаем, что [латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = — \ frac {\ sqrt {3}} {2}} [/ латекс] и [латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} = \ frac {1} {2}} [/ latex].
Используя эти значения из единичной окружности, мы можем вычислить [латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ frac {\ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right)}} \\ & = \ frac {\ frac {1} {2}} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \\ & = \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ cdot \ left (- \ frac {2} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = — \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align}} [/ latex]
Теперь, когда мы знаем синус, косинус и тангенс [latex] \ displaystyle {\ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex], мы можем применить тождества симметрии, чтобы найти функции [latex] \ displaystyle {- \ frac {5 \ pi} {6}} [/ latex].
Применяя тождество симметрии для косинуса, имеем:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {6 } \ right)} \\ & = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align}} [/ latex]
Применяя тождество для синуса, получаем:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]
Наконец, применив тождество для касательной, мы имеем:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (- \ frac {5 \ pi} {6} \ right)} & = — \ tan {\ left (\ frac {5 \ pi} { 6} \ right)} \\ & = — \ left (- \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ end {align }} [/ latex]
HSC Advanced Maths: преобразования тригонометрических функций
Это часть продвинутого курса математики HSC по теме «Тригонометрические функции» и подразделу «Тригонометрические функции и графики».
В этом посте мы рассмотрим и применим преобразования к функциям скетча вида y = kf (a (x + b)) + c, где a, b, c и k — константы, в различных контекстах, где f (x) является одним из \ sin x, \ cos x или \ tan x, с указанием домена и диапазона, когда это необходимо:
- Используйте технологию или иным образом, чтобы изучить влияние на графики изменения амплитуды (где необходимо), kf (x), периода, y = f (ax). фаза y = f (x + b) и вертикальный сдвиг y = f (x) + c
- Используйте k, a, b, c для описания трансформационных сдвигов и схематических графиков
Преобразования тригонометрических функций
В этом видео мы рассмотрим и применим преобразования к функциям, а также посмотрим, как можно повлиять на амплитуду и период функции и как тригонометрическая функция сдвинута по вертикали или по фазе.
Синус и косинус
Здесь графические преобразования применяются непосредственно к тригонометрическим функциям синуса и косинуса. Мы рассмотрим, как можно повлиять на амплитуду и период тригонометрической функции, и как они сдвинуты по вертикали или по фазе.
Тангенс и котангенс
Здесь преобразования графика применяются непосредственно к тригонометрическим функциям тангенса и котангенса.Мы рассмотрим, как можно повлиять на амплитуду и период тригонометрической функции, и как они сдвинуты по вертикали или по фазе.
Секанс и косеканс
Здесь графические преобразования применяются непосредственно к тригонометрическим функциям секанса и косеканса. Мы рассмотрим, как можно повлиять на амплитуду и период тригонометрической функции, и как они сдвинуты по вертикали или по фазе.
7.1 Исследование эквивалентных тригонометрических функций
ГЛАВНАЯ ИДЕЯ:
- Многие тригонометрические функции имеют эквивалентные выражения из-за их re.
- 2 выражения могут быть названы эквивалентными, если графики, созданные этими 2 функциями, накладываются друг на друга (т.е. они совпадают / располагаются друг над другом).
Вы можете создать эквивалентные функции:
1.Используя период функции.
Пр. f ( θ ) = sin θ
f ( θ ) = sin ( θ + 2π)
∴sin θ = sin ( θ + 2π)
- эквивалентно, потому что вы переместили полный период, оставив график как исходный график.
Даже2. Классификация функции как НЕЧЕТНАЯ или ЧЕТНАЯ.
∴Cosθ = Cos (-θ)- Cosθ — четная функция, потому что ее график симметричен по оси y (т.е.е., если вы сложите бумагу по оси Y, графики будут идеально располагаться друг над другом).
- Для Sinθ он имеет симметрию вращения относительно начала координат (если вы перевернете бумагу вверх дном, она все равно будет выглядеть так же. Но когда вы сложите ее по оси Y, график не выровняется.
∴Sinθ = Sin (-θ)
∴Tanθ = Tan (-θ)
- Tanθ также является нечетным, потому что когда вы складываете график по оси Y, может появиться четное, но из-за линии, проходящей через 0, это делает функцию нечетной.
3. Использование дополнительного угла
- Любой прямой угол, где θ является мерой одного из острых углов, имеет дополнительный угол (π / 2-θ) для другого угла.
π / 3
Sin (π / 3) = √3 / 2 Csc (π / 3) = 2 / √3 Cos (π / 3) = 1 / 2 Сек (π / 3) = 2 Желто-коричневый (π / 3) = √3 / 1 Детская кроватка (π / 3) = 1 / √3
π / 6Sin (π / 6) = 1/2 Csc (π / 6) = 2/1 Cos (π / 6) = √3 / 2 сек (π / 6) = 2 / √3 Желто-коричневый (π / 6) = 1 / √3 Детская кроватка (π / 6) = √3 / 1 SOH CAH TOA
Какое соотношение такой же?
Это истоки / рациональность идентичности совместной функции.
ОТМЕТЬТЕ:4. Использование главных и связанных углов
Главный угол в квадранте II
Cos (π-θ) = -Cosθ
Tan (π-θ) = -TanθГлавный угол в квадранте III
Sin (π-θ86) = Sinθ 910 Cos (π-θ) = -Cosθ
Tan (π-θ) = TanθГлавный угол в квадранте IV
Sin (2π-θ) = -Sinθ
Cos (2π-θ) -θ) = Cosθ
Tan (2π-θ) = TanθОБЩИЙ
- Из-за их периодической природы существует много эквивалентных тригонометрических выражений.
- Два выражения могут быть эквивалентными, если графики, созданные графическим калькулятором их соответствующих функций совпадают, создавая только один видимый граф по всей области определения обеих функций. Чтобы продемонстрировать эквивалентность требует дополнительных рассуждений о свойствах обоих графов.
- Горизонтальные сдвиги π / 2, которые включают как синусоидальную, так и косинусную функции функция может быть использована для получения двух эквивалентных функций с одинаковыми график. Сдвиг функции косинуса π / 2 вправо f ( θ ) = sin ( θ + π / 2) приводит к графику функции синуса f ( θ ) = sin θ .
- Аналогичным образом, перевод синусоидальной функции π / 2 влево f (θ) = sin ( θ + π / 2) приводит к графику функции косинуса, f (θ) = cos θ .
- Поскольку f (θ) = cos θ является четной функцией, отражающей ее график по y -axis приводит к двум эквивалентным функциям с одним и тем же графиком.
- f (θ) = sin θ и f ( θ) = tan θ являются нечетными и обладают свойством симметрии вращения относительно начала координат.Отражение этих функций как по оси x, так и по оси y дает тот же эффект, что и поворот функции на 180 ° относительно начала координат. Таким образом получается тот же график.
- Тождества совместных функций описывают тригонометрические отношения между дополнительными углами θ и (π / 2- θ ) в прямоугольном треугольнике.
- Вы можете определить эквивалентные тригонометрические выражения, сравнивая главные углы, нарисованные в стандартном положении в квадрантах II, III и IV с соответствующим острым углом θ в квадранте I.
ВИДЕО
РАБОТА
Попробуйте: 9g3,70003
Когда вы ответите на все вопросы, вы можете найти ответы на обратной стороне учебника или, если вы хотите получить пошаговое решение, щелкните здесь: [Решения]
Колледж тригонометрии
Важные даты:
Exam Study Guides:
Объявления,
и др.:
* Если вам нужно освежить в памяти алгебру колледжа, щелкните здесь.
* Math Lab- Бесплатные репетиторские услуги.
* Шпаргалка по Trig.
* Домашнее задание 1 нужно сдать 2 февраля 2016 г. в 23:59. Ключ класса
* Как запомнить единичный круг за минуты!
* ПРОБЛЕМА ВЫЗОВА (для развлечения — 2 дополнительных балла)
* К ЭКЗАМЕНУ 1 РУКОВОДСТВО ПО УЧАСТИЮ
* Парадокс Банаха – Тарского. Посмотрите это, если у вас есть время.
* Симпозиум GRASP: Симпозиум аспирантских исследований и научных проектов
* ВЗГЛЯД (по желанию) в ПЯТНИЦУ (06.05.2016) с 12 до 15 в Jardine Hall 308 !!!График:
1) 19.01.2016 — Изучите программу.Просмотрите некоторые важные концепции алгебры колледжа (разделы P.5-P.7).
2) 1/21 / 2-16 — Обзор — стр.8 — Преобразования функций.
3) 26.01.2016 — Часть I) Стр.10- Обратные функции. Обучающее видео.
Часть II) Глава 1.1 — Радианы и градусные меры. , & nbsp Обучающее видео.
Почему полный оборот окружности равен 360 °? Почему не какой-нибудь другой номер?4) 28.01.2016 — Часть I) Глава 1.1 Прод. — Практика преобразования радиана в градус. & nbsp Приложения.
Часть II) Глава 1.2 — Тригонометрические функции — Единичный круг.
Схема единичного круга. , & nbsp Обучающее видео.5) 02.02.2016 — Глава 1.3 — Тригонометрия прямоугольного треугольника.
Обучающее видео 1., & nbsp Обучающее видео 2., & nbsp
Дополнительные практические задачи — необязательно (решение включено).6) 04.02.2016 — Глава 1.4 — Тригонометрические функции любого угла.
Обучающее видео 1. & nbsp В классе проблемы.7) 09.02.2016 — Глава 1.5- Графики синуса и косинуса. (Введение)
Обучающее видео 1. & nbsp8) 2/11/2016 — Глава 1.5 продолжение … — Графики, синус и консинус. Мы рассмотрели различные типы преобразований триггерных функций. В частности, вертикальное / горизонтальное растяжение / сжатие и горизонтальный перенос. Мы сделали несколько примеров на доске.
Обучающее видео 1. & nbsp
Обучающее видео 2. & nbsp
Тест 1 — По главам 1.1–1.4 — 4 задачи / всего 20 баллов.9) 16.02.2016- Глава 1.5 продолжение … — В этой главе мы поговорим о последнем типе трансформации (вертикальном переводе).
Глава 1.6 — График других триггерных функций — Мы просмотрели график касательной.
Обучающее видео — Введение в график тангенса и котангенса.
Мы обсуждали ЭКЗАМЕН 1 в начале урока.10) 18.02.2016- Глава 1.6 продолжение … — Графики Котана, CSC, SEC.
EXAM 1 учебное пособие (с решением) будет дано в классе, поэтому убедитесь, что вы там.11) 23.02.2016 — Глава 1.7 — Обратные триггерные функции.
Вычисление обратных тригонометрических функций.12) 25.02.2016 — ЭКЗАМЕН I: 12 вопросов (150 баллов) + 10 баллов дополнительных кредитов (3 вопроса).
13) 01.03.2016 — Глава 2.1 — Использование фундаментальных идентичностей. Мы заявили об основных идентичностях и некоторых их приложениях.
14) 03.03.2016 — Глава 2.2 — Проверка тригонометрических идентичностей.
Краткое резюме.15) 08.03.2016 — Глава 2.3 — Решение тригонометрических уравнений.(Первая половина)
* Краткий обзор того, как решать различные типы алгебраических уравнений (линейные, квадратичные и т. Д.)
* Решение линейных и квадратных тригонометрических уравнений различными методами. (сбор подобных терминов, факторинг, подстановка и т. д.)
Обучающее видео 1 & nbsp & nbsp Обучающее видео 2 & nbsp & nbsp Дополнительные практические задачи16) 10.03.2016- Глава 2.3 — Решение тригонометрических уравнений. (Вторая половина)
* Решение тригонометрического уравнения методом возведения в квадрат и преобразования к квадратичному виду.
* Как решать тригонометрические уравнения с несколькими углами.17) 22 марта 2016 г. — Прочтите главу 2.3, комплексные числа и формулу Эйлера.
EXAM II Учебное пособие. (Второй экзамен назначен на 7 апреля 2016 г.)18) 24.03.2016 — Комплексные числа и формула Эйлера. Прочтите главу 4.1 в нашем учебнике, если вам нужно больше повторений по комплексным числам. Ознакомьтесь с правилами экспоненты.
После всех фоновых теорий мы смогли вывести формулы суммы: sin (x + y), cos (x + y).Щелкните здесь, чтобы узнать, как это было сделано.19) 29 марта 2016 г. — Мы закончим вывод формул суммы и разности, а затем применим эти формулы к разным типам тригонометрических задач (Глава 2.4). Я надеюсь, что к концу этой лекции я закончу с большей частью материалов из главы 2.4.
************* Формула Эйлера и тригонометрические тождества *************
Здесь вы увидите, как я получил все тождества из глав 2.4 и 2.5 из всего лишь единственная, но мощная формула, известная как формула Эйлера.Знаменитый физик Ричард Фейнман назвал эту «самую замечательную формулу математики».20) 5 апреля 2016 г. — Сегодня мы закончили оставшуюся часть главы 2.5. (Формулы «произведение-сумма» и «Сумма-произведение»).
Учебное занятие 2-го экзамена состоится 06.04.2016 в 16.00 в библиотечной комнате № 341.21) 07.04.2016- !!!!!!! ЭКЗАМЕН 2 !!!!!!! 🙂
22) 12 апреля 2016 г. — Глава 3.1: Закон синуса. — Случай I: AAS и ASA. Тест 6
23) 14 апреля 2016 г. — Глава 3.1: Закон синуса. — Случай II: SSA (неоднозначный случай).Мы также говорили о «Формуле площади» для наклонных треугольников. Тест 7
24) 19 апреля 2016 г. — Глава 3.2: Закон косинусов. Случай III: SSS и случай IV: SAS.
В следующий урок мы сделаем больше примеров, относящихся к случаю IV. Тест 825) 21 апреля 2016 г. — Глава 3.2: Случай IV-SAS и формула площади Герона. На этом завершится первая часть главы 3 (3.1 и 3.2). На следующей неделе мы начнем с векторов на плоскости. 🙂
26) 26 апреля 2016 г. — Глава 3.3: Векторы на плоскости — Форма компонента вектора, величина.Векторные операции: скалярное умножение и сложение векторов (как алгебраически, так и графически). Единичный вектор: как найти единичный вектор, который имеет то же направление, что и данный вектор u.
Обучающее видео: что такое вектор? . (Евклидов вектор)
Обучающее видео: основы работы с векторами.
Тест 927) 28 апреля 2016 г. — Глава 3.3 Продолж. Единичные векторы, направленный угол и приложения. Если у нас будет время, я познакомлю вас с концепцией точечного произведения.
Тест 10Дополнительные кредиты (10 баллов): Перейти на симпозиум GRASP: симпозиум по исследованиям и научным проектам.
- Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс