Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 1.
А) 36 = 1 Б) В) 3
А) 8 Б)
( 8. | Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 2.
А) 9 Б) В)
А) 2 Б)
27.
| Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 3.
А) Б) В)
А) Б)
| Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 4.
А) Б) В)
А) Б)
| Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 5.
А) = 243 Б) 3 = 4 В) 2
А) Б)
| Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 6.
А) = 9 Б) 3 В) — 3
А) Б)
|
«Решение логарифмических, показательных уравнений и неравенств»
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №1.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+ = 3,
б)- = 3.
2. Решить неравенство:
≥2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
+ 4 +=16.
2.Решить неравенство:
≤ 0.
3*.Решить графически: + = 3.
______________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №2.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+ = 2,
б)+ = 8.
2. Решить неравенство:
≥ -2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
+ = 1.
2.Решить неравенство:
— ≤ 1,5.
3*.Решить графически: х= 3.
_____________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №3.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+ = ,
б) = .
2. Решить неравенство:
< -2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
0,1=1000.
2.Решить неравенство:
+ +≤ -1.
3*.Решить графически:+ = .
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №4.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+)=0,
б) = .
2. Решить неравенство:
≥ 2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
۰۰ =
2.Решить неравенство:
≥ 1+ .
3*.Решить графически:=.
______________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №5.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+ =0,
б) -3 =0.
2. Решить неравенство:
< 3.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
= 0.
2.Решить неравенство:
≤ .
3*.Решить графически: +7.
_________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №6.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)+ =0,
б) = -2.
2. Решить неравенство:
≥ 2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
= 6.
2.Решить неравенство:
≥ 2.
3*.Решить графически:+ < 3.
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №7.
Обязательная часть.
1.
Решить уравнения:
а)+ =3,
б) = .
2. Решить неравенство:
< 3.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
= 1.
2.Решить неравенство:
.
3*.Решить графически:+ > .
__________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №8.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)= ,
б) + = 2 +.
2. Решить неравенство:
< -2.
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
2.Решить неравенство:
> 2+.
3*.Решить графически: х> 3.
______________________________________________________________________________
Контрольная работа
по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант №9.
Обязательная часть.
1.Решить уравнения:
а)= -1,
б)+ = 2.
2. Решить неравенство:
Дополнительная часть.
1.Решить уравнение:
= 0.
2.Решить неравенство:
.
3*.Решить графически: ≤ .
Контрольная работа по Математике «Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств» 10-11 класс
Контрольная работа на тему «Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств»
Вариант 1
1. Решить уравнение:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ;
г) .
3. Решить систему уравнений и неравенств:
а) б) в)
; ; .
Контрольная работа на тему «Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств»
Вариант 2
1. Решить уравнение:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ;
3. Решить систему уравнений и неравенств:
а) б) в)
; ; .
Контрольная работа на тему «Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств»
Вариант 1
1. Решить уравнение:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ;
г) .
3. Решить систему уравнений и неравенств:
а) б) в)
; ; .
Контрольная работа на тему «Показательные уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств»
Вариант 2
1. Решить уравнение:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ;
г) .
3. Решить систему уравнений и неравенств:
а) б) в)
; ; .
Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства»
Контрольная работапо теме «Показательные уравнения и неравенства».
Вариант 1.
Часть А
А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А2.
Решите неравенство
| 1) ; | 2) решений нет; | 3) ; | 4) . |
А3. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А4. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
Часть В.
В5. Укажите число целых решений неравенства .
В6. Найдите корни уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.
В7. Укажите число корней уравнения
В8. Укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства
Часть С.
С9. Решите уравнение .
С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два различных корня?
Контрольная работа
по теме «Показательные уравнения и неравенства».
Вариант 2.
Часть А
А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А2. Решите неравенство
| 1) ; | 2) решений нет; | 3) ; | 4) . |
А3. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А4.
Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
Часть В.
В5. Укажите число целых решений неравенства .
В6. Решите уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.
В7. Укажите число корней уравнения
В8. Укажите число целых решений неравенства
Часть С.
С9. Решите уравнение .
С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень?
Контрольная работа по теме «Показательные уравнения и неравенства»
Контрольная работапо теме «Показательные уравнения и неравенства».
Вариант 1.
Часть А
А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) .  |
А2. Решите неравенство
| 1) ; | 2) решений нет; | 3) ; | 4) . |
А3. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А4. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
Часть В.
В5. Укажите число целых решений неравенства .
В6. Найдите корни уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.
В7. Укажите число корней уравнения
В8. Укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства
Часть С.
С9. Решите уравнение .
С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два различных корня?
Контрольная работа
по теме «Показательные уравнения и неравенства».
Вариант 2.
Часть А
А1. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А2. Решите неравенство
| 1) ; | 2) решений нет; | 3) ; | 4) . |
А3. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) . |
А4. Решите неравенство
| 1) ; | 2) ; | 3) ; | 4) .  |
Часть В.
В5. Укажите число целых решений неравенства .
В6. Решите уравнения . Если получили два корня, то в ответе впишите их произведение, если один, то его запишите в ответ.
В7. Укажите число корней уравнения
В8. Укажите число целых решений неравенства
Часть С.
С9. Решите уравнение .
С10. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно один корень?
| 1. | Сложность: лёгкое |
1 |
2. |
Показательное уравнение с отрицательным показателем степени
Сложность: лёгкое |
2 |
| 3. |
Определение показательного уравнения (корень n-ой степени)
Сложность: лёгкое |
1 |
4. |
Определение корня n-ой степени
Сложность: лёгкое |
1 |
| 5. |
Показательное уравнение с корнем
Сложность: среднее |
1 |
6. |
Показательное уравнение (приведение к одному основанию)
Сложность: среднее |
2 |
| 7. |
Показательное уравнение с приведением к одному основанию
Сложность: среднее |
2 |
8.
|
Показательное уравнение (приведение к общему основанию)
Сложность: среднее |
2 |
| 9. |
Показательное уравнение (дробные показатели)
Сложность: среднее |
2 |
10.
|
Показательное уравнение (общий множитель)
Сложность: среднее |
2 |
| 11. |
Показательное уравнение с общим множителем
Сложность: среднее |
2 |
12.
|
Показательное уравнение (умножение степеней)
Сложность: среднее |
2 |
| 13. |
Показательное уравнение (деление степеней)
Сложность: среднее |
2 |
14.
|
Решение показательного уравнения (умножение степеней)
Сложность: среднее |
2 |
| 15. |
Количество корней показательного уравнения, графический метод
Сложность: среднее |
1 |
16.
|
Показательное уравнение и неравенство, графический метод
Сложность: среднее |
3 |
| 17. |
Показательное уравнение (новая переменная)
Сложность: среднее |
4 |
18.
|
Показательное уравнение с обратной дробью
Сложность: среднее |
4 |
| 19. |
Показательное уравнение, сводимое к одному основанию
Сложность: сложное |
3 |
20.
|
Свойства степени в показательном уравнении
Сложность: сложное |
3 |
| 21. |
Однородное уравнение
Сложность: сложное |
7 |
РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РЕШЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Чтобы решить экспоненциальное уравнение, возьмите логарифм с обеих сторон и
решить для переменной.
Пример 1: Решите относительно x в уравнении.
Решение:
- Шаг 1: Возьмите натуральное бревно с обеих сторон:
- Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:
- Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Ln ( e ) = 1, уравнение имеет вид
Ln (80) — точный ответ и x = 4.38202663467 — приблизительный ответ, потому что мы округлили значение Ln (80).
Чек: Отметьте свой ответ в исходном уравнении.
Пример 2: Решите относительно x в уравнении
Решение:
- Шаг 1: Выделите экспоненциальный член, прежде чем брать общий логарифм обеих сторон.
Следовательно, прибавьте 8 к обеим сторонам: - Шаг 2: Возьмите общий бревно с обеих сторон:
- Шаг 3: Упростите левую часть приведенного выше уравнения, используя логарифмическое правило 3:
- Шаг 4: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: Поскольку Log (10) = 1, приведенное выше уравнение может быть записано
- Шаг 5: Вычтем 5 из обеих частей приведенного выше уравнения:
это точный ответ.x = -3,1674
29 — приблизительный ответ ..
Следовательно, прибавьте 8 к обеим сторонам:Чек: Отметьте свой ответ в исходном уравнении. Делает
Да.
Пример 3: Решите относительно x в уравнении
Решение:
- Шаг 1: Когда вы построите график левой части уравнения, вы заметите, что график пересекает ось x в двух местах. Это означает, что уравнение имеет два реальных решения.
- Шаг 2: Перепишем уравнение в квадратичной форме:
- Шаг 3: Разложите на множители левую часть уравнения:
теперь можно написать
- Шаг 4: Решите относительно x. Примечание: произведение двух членов может быть равно нулю только в том случае, если одно или оба из двух членов равны нулю.
- Шаг 5: Установите первый множитель равным нулю и решите относительно x: Если , то и и x = Ln (2) — точный или приблизительный ответ.
- Шаг 6: Установите второй коэффициент равным нулю и решите для x: Если , тогда и и x = Ln (3) — это точный или приблизительный ответ. Точные ответы: Ln (3) и Ln (2) и приблизительные ответы: 0,69314718056 и 1,09861228867.
Это означает, что уравнение имеет два реальных решения. Проверить: Эти два числа должны быть одинаковыми числами в местах пересечения графика с осью абсцисс.
Примечание: Почему мы выбрали Ln в примере 3? Потому что мы знаем, что Ln ( e ) = 1.
Если вы хотите просмотреть другой пример, щелкните
Пример.
Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и
решение, нажмите на ответ.
Задача 1: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 2: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 3: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 4: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 5: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Задача 6: Решите относительно x в уравнении.
Ответ
Домашняя страница O.S MATHematicsВам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Автор: Нэнси МаркусCopyright 1999-2020 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час
экспонентов
Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении.
В 8 2 «2» означает использование 8 дважды при умножении,
, поэтому 8 2 = 8 × 8 = 64
Словами: 8 2 можно назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или просто «8 в квадрате»
Показатели также называются степенями или индексами.
Еще несколько примеров:
Пример: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125
- Прописью: 5 3 можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто «5 кубов»
Пример: 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
- Прописью: 2 4 можно назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто «2–4»
Показатели упрощают запись и использование множества умножений
Пример: 9 6 легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Вы можете умножить любое число само на себя столько раз , сколько хотите, используя экспоненты.
4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Отрицательные экспоненты
Отрицательно? Что может быть противоположностью умножения?
Разделение!
Отрицательная экспонента означает, сколько раз разделите единицу на число.
Пример: 8 -1 = 1 ÷ 8 = 0,125
У вас может быть много делений:
Пример: 5 -3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
Но это можно сделать и проще:
5 -3 также можно рассчитать как:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5 3 = 1/125 = 0.008
Отрицательный? Переверните позитив!
Последний пример показал более простой способ обработки отрицательных показателей:
|
Другие примеры:
| Отрицательная экспонента | Взаимное значение положительной экспоненты | Ответ | ||
|---|---|---|---|---|
| 4 -2 | = | 1/4 2 | = | 1/16 = 0. 0625 |
| 10 -3 | = | 1/10 3 | = | 1/1000 = 0,001 |
| (-2) -3 | = | 1 / (-2) 3 | = | 1 / (- 8) = -0,125 |
Что делать, если экспонента равна 1 или 0?
| 1 | Если показатель степени равен 1, то у вас есть просто само число (например, 9 1 = 9 ) | |
| 0 | Если показатель степени равен 0, то вы получите 1 (например, 9 0 = 1 ) | |
А как насчет 0 0 ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» . |
Все имеет смысл
Мой любимый метод — начать с «1», а затем умножить или разделить столько раз, сколько говорит показатель степени, тогда вы получите правильный ответ, например:
| Пример: Полномочия 5 | |||
|---|---|---|---|
| .. и т.д .. | |||
| 5 2 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
| 5 1 | 1 × 5 | 5 | |
| 5 0 | 1 | 1 | |
| 5 -1 | 1 ÷ 5 | 0.2 | |
| 5 -2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0,04 | |
| .. и т.д .. | |||
Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного (довольно простого) паттерна.
Будьте осторожны при группировке
Во избежание путаницы используйте круглые скобки () в таких случаях:
| С (): | (-2) 2 = (-2) × (-2) = 4 |
| Без (): | -2 2 = — (2 2 ) = — (2 × 2) = -4 |
| С (): | (ab) 2 = ab × ab |
| Без (): | ab 2 = a × (b) 2 = a × b × b |
Проверка гипотез: разница в пропорциях
В этом уроке объясняется, как провести проверку гипотез для определения существенна ли разница между двумя пропорциями.
Процедура тестирования, называемая двухпропорциональный z-тест , является уместно при соблюдении следующих условий:
- Каждая популяция как минимум в 20 раз больше, чем ее выборка.
Этот подход состоит из четырех шагов: (1) сформулируйте гипотезы, (2) составить план анализа, (3) проанализировать данные пробы и (4) интерпретировать результаты.
Выскажите гипотезу
Для каждой проверки гипотез требуется аналитик заявить нулевая гипотеза и Альтернативная гипотеза. В таблице ниже представлены три набора гипотез. Каждый делает заявление о разнице d между две пропорции населения: P 1 и P 2 .(В таблице символ ≠ означает «не равно».)
| Комплект | Нулевая гипотеза | Альтернативная гипотеза | Количество хвостов |
|---|---|---|---|
| 1 | пол. 1 — пол. 2 = 0 | пол. 1 — пол. 2 ≠ 0 | 2 |
| 2 | пол. 1 — пол. 2 > 0 | п. 1 — п. 2 <0 | 1 |
| 3 | пол. 1 — пол. 2 < 0 | п. 1 — п. 2 > 0 | 1 |
Первый набор гипотез (Набор 1) является примером двусторонний тест, так как крайнее значение по обе стороны от распределение выборки заставило бы исследователя отклонить нулевой гипотеза.Два других набора гипотез (наборы 2 и 3) являются односторонние тесты, поскольку экстремальное значение только на одной стороне распределение выборки может привести к тому, что исследователь отвергнет нулевая гипотеза.
Когда нулевая гипотеза утверждает, что нет никакой разницы между
две пропорции населения (т.
е. d = P 1 — P 2 = 0), нулевая и альтернативная
гипотезы для двустороннего теста часто формулируются в
следующая форма.
H o : P 1 = P 2
H a : P 1 ≠ P 2
Составьте план анализа
План анализа описывает как использовать образцы данных для принятия или отклонения нулевого значения гипотеза. В нем должны быть указаны следующие элементы.
- Уровень значимости. Часто исследователи выбирают уровни значимости равно 0,01, 0,05 или 0,10; но любое значение от 0 до 1 можно использовать.
- Метод испытаний. Используйте двухпропорциональный z-тест (описанный в
следующий раздел), чтобы определить,
разница между пропорциями населения отличается
значительно от наблюдаемой разницы образцов.
Анализ данных образца
Используя образцы данных, выполните следующие вычисления, чтобы найти статистика теста и связанное с ней P-значение.
- Доля объединенной выборки. Поскольку нулевая гипотеза утверждает
что P 1 = P 2 , мы используем объединенную выборку
пропорция (p) для вычисления
стандартная ошибка
выборочного распределения.
p = (p 1 * n 1 + p 2 * n 2 ) / (№ 1 + № 2 )
где p 1 — доля выборки из генеральной совокупности 1, p 2 — это доля выборки из совокупности 2, n 1 — размер выборки 1, а n 2 — размер выборки 2. - Стандартная ошибка. Вычислить стандартную ошибку (SE)
различия выборочного распределения между двумя пропорциями.
SE = sqrt {p * (1 — p) * [(1 / n 1 ) + (1 / n 2 )]}
где p — доля объединенной выборки, n 1 — размер выборки 1, а n 2 — размер выборки 2. - Статистика теста. Статистика теста — это z-оценка (z), определяемая
следующее уравнение.
z = (p 1 — p 2 ) / SE
где p 1 — доля из образца 1, p 2 — пропорция из образца 2, а SE — стандартная ошибка выборочного распределения. - P-значение. P-значение — это вероятность наблюдения
статистика выборки столь же экстремальна, как и статистика теста.Поскольку
статистика теста — это z-оценка, используйте
Калькулятор нормального распределения
для оценки вероятности, связанной с z-значением. (Увидеть
примеры задач в конце этого урока для примеров того, как это
готово.)
Вычислить стандартную ошибку (SE)
различия выборочного распределения между двумя пропорциями.
(Увидеть
примеры задач в конце этого урока для примеров того, как это
готово.)Описанный выше анализ представляет собой двухпропорциональный z-тест.
Интерпретировать результаты
Если результаты выборки маловероятны, нулевую гипотезу исследователь отвергает нулевую гипотезу.Обычно это включает сравнение P-значения с уровень значимости, и отклонение нулевой гипотезы, когда значение P меньше, чем уровень значимости.
Проверьте свое понимание
В этом разделе два примера задач иллюстрируют, как проводить проверка гипотезы о различии двух пропорций. Первая проблема связана с двусторонний тест; Вторая проблема — односторонний тест.
Задача 1: двусторонний тест
Предположим, компания Acme Drug Company разрабатывает новое лекарство, предназначенное для
предотвратить простуду.
Компания заявляет, что препарат одинаково эффективен
для мужчин и женщин. Чтобы проверить это утверждение, они выбирают
простая случайная выборка из 100 женщин и 200 мужчин из совокупности
100000 волонтеров.
По окончании исследования 38% женщин простудились; а также 51% мужчин простудились.Основываясь на этих выводах, можем ли мы отклонить утверждение компании о том, что препарат одинаково эффективен для мужчин и женщин? Используйте уровень значимости 0,05.
Решение: Решение этой проблемы состоит из четырех шагов: (1) сформулируйте гипотезы, (2) сформулируйте план анализа, (3) анализировать данные образца и (4) интерпретировать результаты. Мы выполняем следующие шаги:
- Сформулируйте гипотезы. Первый шаг —
сформулируйте нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу.
Нулевая гипотеза: P 1 = P 2
Альтернативная гипотеза: P 1 ≠ P 2
Обратите внимание, что эти гипотезы представляют собой двусторонний тест. Нулевая гипотеза будет отклонена, если пропорция
из населения 1
слишком большой или слишком маленький. - Составьте план анализа .Для этого анализа уровень значимости 0,05. Метод испытания — это двухпропорциональный z-тест.
- Анализировать данные образца . Используя образцы данных, мы
рассчитать долю объединенной выборки (p) и стандартную ошибку
(SE). Используя эти меры, мы вычисляем z-оценку
статистика теста (z).
p = (p 1 * n 1 + p 2 * n 2 ) / (п. 1 + п. 2 )
p = [(0.38 * 100) + (0,51 * 200)] / (100 + 200)
p = 140/300 = 0,467
SE = sqrt {p * (1 — p) * [(1 / n 1 ) + (1 / n 2 )]}
SE = sqrt [0,467 * 0,533 * (1/100 + 1/200)]
SE = sqrt [0,003733] = 0,061
z = (p 1 — p 2 ) / SE = (0,38 — 0,51) / 0,061 = -2,13
, где p 1 — доля образца в образце 1, где p 2 — доля образца в образце 2, n 1 — размер выборки 1, и n 2 — размер выборки 2.
Поскольку у нас есть двусторонний тест, P-значение — это вероятность того, что z-значение меньше -2,13 или больше 2,13.
Мы используем Калькулятор нормального распределения чтобы найти P (z 2,13) = 0,017. Таким образом, P-значение = 0,017 + 0,017 = 0,034. - Интерпретировать результаты . Поскольку значение P (0,034) равно меньше уровня значимости (0.05), мы не можем принять нулевая гипотеза.
Нулевая гипотеза будет отклонена, если пропорция
из населения 1
слишком большой или слишком маленький.
Примечание: Если вы используете этот подход на экзамене, вы также можете упомянуть почему такой подход уместен. В частности, подход уместен, потому что метод выборки был простой случайной выборкой, выборки были независимыми, каждая популяция была не менее 10 раз больше, чем его образец, и каждая выборка включала не менее 10 успехов и 10 неудач.
Задача 2: односторонний тест
Предположим, что предыдущий пример сформулирован немного иначе.
Предположим, компания Acme Drug Company разрабатывает новый препарат, предназначенный для
предотвратить простуду. Компания заявляет, что препарат более эффективен.
для женщин, чем для мужчин. Чтобы проверить это утверждение, они выбирают
простая случайная выборка из 100 женщин и 200 мужчин из совокупности
100000 волонтеров.
По окончании исследования 38% женщин простудились; а также 51% мужчин простудились. Основываясь на этих выводах, можно сделать вывод, что препарат более эффективен для женщин, чем для мужчин? Используйте уровень значимости 0,01.
Решение: Решение этой проблемы состоит из четырех шагов: (1) сформулируйте гипотезы, (2) сформулируйте план анализа, (3) анализировать данные образца и (4) интерпретировать результаты.Мы выполняем следующие шаги:
- Сформулируйте гипотезы. Первый шаг —
сформулируйте нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу.
Нулевая гипотеза: P 1 > = P 2
Альтернативная гипотеза: P 1 2
Обратите внимание, что эти гипотезы представляют собой односторонний тест. Нулевая гипотеза будет отклонена, если пропорция простудных женщин (p 1 ) достаточно меньше, чем доля мужчин, простужающихся (р 2 ). - Составьте план анализа . Для этого анализа уровень значимости 0,01. Метод испытания — это двухпропорциональный z-тест.
- Анализировать данные образца . Используя образцы данных, мы
рассчитать долю объединенной выборки (p) и стандартную ошибку
(SE). Используя эти меры, мы вычисляем z-оценку
статистика теста (z).
p = (p 1 * n 1 + p 2 * n 2 ) / (п. 1 + п. 2 )
p = [(0.38 * 100) + (0,51 * 200)] / (100 + 200)
p = 140/300 = 0,467
SE = sqrt {p * (1 — p) * [(1 / n 1 ) + (1 / n 2 )]}
SE = sqrt [0,467 * 0,533 * (1/100 + 1/200)]
SE = sqrt [0,003733] = 0,061
z = (p 1 — p 2 ) / SE = (0,38 — 0,51) / 0,061 = -2,13
, где p 1 — доля образца в образце 1, где p 2 — доля образца в образце 2, n 1 — размер выборки 1, и n 2 — размер выборки 2.
Поскольку у нас есть односторонний тест, P-значение — это вероятность того, что z-оценка меньше -2,13. Мы используем Калькулятор нормального распределения найти P (z - Интерпретировать результаты . Поскольку значение P (0,017) равно выше уровня значимости (0,01), мы не можем отбросить нулевая гипотеза.
Примечание: Если вы используете этот подход на экзамене, вы также можете упомянуть почему такой подход уместен.В частности, подход уместен, потому что метод выборки был простой случайной выборкой, выборки были независимыми, каждая популяция была не менее 10 раз больше, чем его образец, и каждая выборка включала не менее 10 успехов и 10 неудач.
.