Контрольная работа по теме комплексные числа 2 вариант: Контрольная работа на тему «Комплексные числа»

Контрольная работа по математике на тему: «Комплексные числа»

Контрольная работа по математике (по ) ______________________, _______(2019г)

___________(ВАРИАНТ) Фамилия И. группа

1. Найти сопряжённые () к комплексным числам z₁, z₂, z₃. (1,5б.)

2. Найти противоположные (-z) к комплексным числам z₁, z₂, z₃. (1,5б.)

3. Вычислить: z₁ + z₂ ; z₁ + z₃ ; z₁ — z₂ . (3б.)

4. Вычислить: z₁ · z₂ ; z₁ · z₃. (2б.)

5. Вычислить: . (2б.)

6. Превратить дробь в десятичную, округлить до сотых, вычислить абсолютную погрешность (Δ)

(3б.)

7. Вычислить относительную погрешность (δ), используя данные №6. (2б.)

8. Дать определение ____________________________________ (1б.)

1 вариант

1-5) z₁= 1+2i ; z₂= 4-3i ; z₃= 5i

6-7) 5/17

8) абсолютная погрешность

2 вариант

1-5) z₁= 4 — 2i ; z₂= 5+3i ; z₃= 2i

6-7) 7/19

8) относительная погрешность

3 вариант

1-5)

z₁= 1-2i ; z₂= 4+3i ; z₃= 6i

6-7) 4/11

8) комплексное число

4 вариант

1-5) z₁= 2+3i ; z₂= 1-3i ; z₃= 3i

6-7) 8/23

8) иррациональное число

5 вариант

1-5) z₁= 2-3i ; z₂= 1+4i ; z₃= 7i

6-7) 3/17

8) множество действительных чисел

6 вариант

1-5) z₁

= 2+i ; z₂= -1+5i ; z₃= 4i

6-7) 5/19

8) верная цифра

7 вариант

1-5) z₁= 4 — i ; z₂= -1+2i ; z₃= 5i

6-7) 9/11

8) значащая цифра

8 вариант

1-5) z₁= 3 — 2i ; z₂= 1+4i ; z₃= 2i

6-7) 4/23

8) сомнительная цифра

9 вариант

1-5) z₁= 1+5i ; z

₂= 2-3i ; z₃= 5i

6-7) 11/17

8) абсолютная погрешность

10 вариант

1-5) z₁= 4 — 3i ; z₂= 5+2i ; z₃= 2i

6-7) 6/19

8) относительная погрешность

11 вариант

1-5) z₁= 1-12i ; z₂= 6+3i ; z₃= 6i

6-7) 5/11

8) комплексное число

12 вариант

1-5) z₁= 2+7i ; z

₂= 11-3i ; z₃= 3i

6-7) 7/23

8) иррациональное число

13 вариант

1-5) z₁= 12-3i ; z₂= 1+14i ; z₃= 7i

6-7) 12/17

8) множество действительных чисел

14 вариант

1-5) z₁= 2+9i ; z₂= 11-5i ; z₃= 4i

6-7) 11/19

8) верная цифра

15 вариант

1-5) z₁= 4 — i ; z₂= -1+2i

; z₃= 5i

6-7) 3/7

8) значащая цифра

16 вариант

1-5) z₁= 3 — 12i ; z₂= 11+4i ; z₃= 2i

6-7) 4/13

8) сомнительная цифра

17 вариант

1-5) z₁= 11+2i ; z₂= 4-13i ; z₃= 5i

6-7) 11/29

8) абсолютная погрешность

18 вариант

1-5) z₁= 4 — 12i ; z₂= 15+3i ; z₃

= 2i

6-7) 18/19

8) относительная погрешность

19 вариант

1-5) z₁= 1-12i ; z₂= 4+i ; z₃= 6i

6-7) 2/7

8) комплексное число

20 вариант

1-5) z₁= 2+7i ; z₂= 4-3i ; z₃= 3i

6-7) 20/23

8) иррациональное число

21 вариант

1-5) z₁= 1-3i ; z₂= 1+5i ; z₃= 7i

6-7) 13/29

8) множество действительных чисел

22 вариант

1-5) z₁= 2+3i ; z₂= 1-4i ; z₃= 4i

6-7) 15/19

8) верная цифра

23 вариант

1-5) z₁= 4 — 3i ; z₂= 5+2i ; z₃= 5i

6-7) 8/11

8) значащая цифра

24 вариант

1-5) z₁= 4 — 3i ; z₂= 1+2i ; z₃= 2i

6-7) 9/23

8) сомнительная цифра

Контрольная работа рассчитана на пару – 1ч30мин. (два урока по 45 мин.)

Каждому обучающемуся выдается распечатанный вариант Контрольной работы (они одинаковые) и индивидуальная карточка, соответствующая номеру в журнале.

Критерии Оценки

Задания оцениваются по количеству баллов, указанных справа от задания.

Оценка

15 — 16

«5»

12 – 15

«4»

8 – 11

«3»

1 – 7

«2»

0

«1»

Учебно-методический материал по алгебре на тему: Комплексные числа.Контрольная работа №1 и контрольная работа №2

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа по алгебре по теме «Комплексные числа»

Контрольная работа составлена по учебнику А.Г.Мордковича Алгебра и начала анализа, профильный уровень. Работа рассчитана на 45 минут, на два варианта….

Комплексная контрольная работа по теме «Проценты», 6 класс

Данный урок относится к типу урока: контроль и проверка знаний учащихся по теме «Проценты». Не всгда на уроках данного типа удается сформировать компетенции учащихся, такой тип контрольной работы форм…

Графическое изображение комплексных чисел. Практическая работа.

«Графическое изображение комплексных чисел» —  практическая работа для учащихся технического профиля 1 курса ПУ, направленная на формирование умения изображения комплексных чисел. В этой работе п…

ФГОС Урок развивающего контроля: Работа над ошибками контрольной работы по теме: «Изменения, происходящие с веществами»

Урок развивающего контроля состоит из двух этапов: контрольная работа и работа над ошибками….

Тестовые работы на переводных контрольных работах

Материалны күчеш контроль эшләрендә файдаланырга була…

Тестовые работы на переводных контрольных работах

Материалны күчеш контроль эшләрендә кулланырга була…

Работа над ошибками контрольной работы по теме «Словосочетание» 8 класс (презентация)

Работа над ошибками контрольной работы по теме «Словосочетание» 8 класс (презентация)…

Проверочный материал на тему «Комплексные числа»

Контрольная работа №2

«Комплексные числа»

Основные теоретические сведения и методические указания

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b— мнимой частью (b = Im

z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная — мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  — аргументом комплексного числа.

.

Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

2) Умножение.

В тригонометрической форме:

,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.

В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

1. Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(-i)⁴ = 16i⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

Если , то

Задания контрольной работы №2

Вариант 1

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 2

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 3

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 4

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 5

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 6

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 7

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 8

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 9

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 10

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 11

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 12

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 13

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 14

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 15

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 16

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 17

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 18

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 19

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 20

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 21

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 22

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 23

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 24

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Вариант 25

1. Записать заданные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах и отметить их на плоскости

2. Найти и данного числа z

.

3. Найти

.

4. Найти все корни указанной степени из указанного числа

.

5. Решить заданное уравнение

.

Разноуровневые самостоятельные работы «Комплексные числа»

§32 Комплексные числа и арифметические операции над ними.

Цели:

• Ввести понятие комплексного числа, мнимой единицы, чисто мнимого числа, определить связь между действительными и комплексными числами, дать определение сопряженным числам.
• Научить выполнять сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Тест№1

Цель: проверить знание определения комплексного числа, сопряженных чисел, умения находить действительную и мнимую части комплексного числа.

Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число является комплексным.
2	Число а, такое что а2 = – 2 является действительным.
3	Число а, такое что а4 = 1 является действительным.
4	0 – комплексное число.
5	Число 3i является чисто мнимым.
6	Действительная и мнимая части комплексного числа 3 – 2i соответственно равны 3 и 2.
7	Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Сопряженным для действительного числа является само это число.
9	Если, то действительная часть числа z равна 0.

Вариант 2

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число 5 является комплексным.
2	Число а, такое что а2 = 4 является действительным.
3	Число а, такое что а8 = 1 является действительным.
4	0 – мнимое число.
5	Если а + bi является действительным, то b = 0
6	Действительная и мнимая части комплексного числа – 3 + 2i соответственно равны – 3 и 2.
7	Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Если, то мнимая часть числа z равна 0.
9	.

Самостоятельная работа №1

Цель: проверить умение применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, записанных в алгебраической форме .

Вариант №3 рассчитан для более подготовленных детей.

§33 Комплексные числа и координатная плоскость.

 Целт:

• Дать понятие геометрической модели комплексного числа.
• Научить отмечать комплексные числа в комплексной плоскости, находить их сумму, разность, произведение действительного и комплексного чисел используя геометрическую интерпретацию.

Самостоятельная работа №2

Цель: проверить умение изображать комплексные числа в комплексной плоскости и производить операции над ними.

§34 Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Цели:

• Ввести определение модуля и аргумента комплексного числа, рассмотреть их геометрическую интерпретацию.
• Научить записывать комплексное число в тригонометрической форме, применять операции умножения и деления для чисел записанных в комплексной форме.

Тест №2

Цель: проверить умение применять геометрическую интерпретацию модуля.

Задание: Сопоставьте друг другу условие на комплексное число z и соответствующее ему множество точек координатной плоскости.

Вариант №1

А		1	Круг с центром (1; 0) и радиусом 3
Б		2	Часть плоскости вне круга с  центром (0; 0) и радиусом 3
В		3	Прямая х = 0
Г		4	Круг с центром (0; 0) и радиусом 3
Д		5	Круг с центром (0; 1) и радиусом 3
		6	Окружность с  центром (0; 0) и радиусом 3

Вариант №2

А		1	Часть плоскости вне круга с  центром (0;0) и радиусом 3, включая границу.
Б		2	Прямая у = – х
В		3	Окружность с центром (0; – 2) и радиусом 3
Г		4	Круг с центром (2; – 1) и радиусом 3
Д		5	Круг с центром (0;2) и радиусом 3
		6	Окружность с  центром (0; 0) и радиусом 3

Тест №3

Цель: проверить знание определения аргумента и модуля.

Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны, то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1

№ п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Точки плоскости, удовлетворяющие условию , лежат на окружности радиуса 1.
2	Два комплексных числа равны, если равны их аргументы.
3	Точки плоскости, у которых аrg z = , лежат на открытом луче выходящим из (0; 0) и имеющим угол, равный 180оС положительным направлением действительной оси.
4	Множество всех комплексных чисел, у которых равны модули, есть окружность.
5	При умножении комплексных чисел модули и аргументы перемножаются.
6	При делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.
7	У сопряженных комплексных чисел модули равны.

 Вариант 2

№ п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Точки плоскости, удовлетворяющие условию , лежат на окружности радиуса 2.
2	Два комплексных числа равны, если равны их модули.
3	Точки плоскости, у которых аrg z = –, лежат на открытом луче выходящим из (0;0) и имеющим угол, равный – 90оС положительным направлением действительной оси.
4	Множество всех комплексных чисел, у которых равны аргументы

Тест «Комплексные числа»

«Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел»

Хорхе Вагенсберг, испанский физик (1948-2018)

Часть I. Выберите один правильный ответ.

1.      На множестве действительных чисел не выполнима операция:

а)      деления чисел

б)      возведения в степень отрицательного числа

в)      извлечения корня из отрицательного числа

г)       сравнения чисел

2.      Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:

а)      систем линейных уравнений

б)      квадратных уравнений

в)      уравнений высших степеней

г)       тригонометрических уравнений

3.      Что представляет собой число i:

а)      число, квадратный корень из которого равен – 1

б)      число, квадрат которого равен – 1

в)      число, квадратный корень из которого равен  1

г)       число, квадрат которого равен  1

4.      Числа 5; 3-6i; 2,7; 2i принадлежат множеству:

а)      действительных чисел

б)      мнимых чисел

в)      иррациональных чисел

г)       комплексных чисел

5.      Термин «мнимые числа» ввел:

а)      Декарт

б)      Эйлер

в)      Кардано

г)       Муавр

6.      Из предложенных чисел выберите чисто мнимое число:

а)      z = 5 — 3i

б)      z = 75i

в)      z = 32

г)       z = 0

7.      Выражение z= a+bi называется:

а)      вещественной частью комплексного числа

б)      мнимой частью комплексного числа

в)      тригонометрической формой комплексного числа

г)       алгебраической формой комплексного числа

8.      Числа a+bi и a—bi называются:

а)      сопряженными

б)      противоположными

в)      обратными

г)       мнимыми

9.      Числа a+bi и —a—bi называются:

а)      сопряженными

б)      противоположными

в)      обратными

г)       мнимыми

10.  Два комплексных числа нельзя соединить знаком:

а)      равенства

б)      неравенства

в)      деления

г)       разности

11.  На координатной плоскости число изображается:

а)      точкой или радиус-вектором

б)      отрезком

в)      плоской геометрической фигурой

г)       заштрихованной частью плоскости

12.  Аргументом комплексного числа называется:

а)      вещественная часть комплексного числа

б)      мнимая часть комплексного числа

в)      расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г)       угол, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox

13.  Модулем комплексного числа называется:

а)      данное комплексное число без учета знака

б)      расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

в)      расстояние от осей координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г)       сумма вещественной и мнимой части

14.  На комплексной плоскости числу i соответствует точка с координатами:

а)      (0;0)

б)      (1;1)

в)      (1;0)

г)       (0;1)

15.  Модуль комплексного числа z= 4 + 3i равен:

а)      25

б)      1

в)      7

г)       5

16.  Вычислить: (3-i) + (-1+2i)

а)      2+i

б)      4+3i

в)      2+3i

г)       -3-2i

17.  Вычислить: (4-2i) – (-3+2i)

а)      1-4i

б)      7-4i

в)      1

г)       7

18.  Вычислить: (4-2i) × i

а)      2i

б)      6i

в)      2+4i

г)       4i-2

19.  Вычислить: 1/i

а)      1

б)      -1

в)      i

г)       -i

20.  Вычислить: 1 / (1-i)

а)      1/2+1/2i

б)      1/2-1/2i

в)      1+i

г)       -1+i

Часть II. Выберите верные утверждения.

1.      Число -2 является комплексным.

2.      Число, квадрат которого равен – 4, является действительным.

3.      0 – комплексное число.                     

4.      0 – мнимое число.

5.      Число 2i является чисто мнимым.

6.      Если а + bi является действительным, то b = 0.

7.      Действительная и мнимая части комплексного числа 3–2i соответственно равны 3 и 2.

8.      Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.

9.      Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.

10.  Сопряженным для действительного числа является само это число.

11.  Два комплексных числа равны, если равны их аргументы.

12.  Два комплексных числа равны, если равны их модули.

13.  Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.

14.  Множество всех комплексных чисел, у которых равны модули, есть окружность.

15.  Множество всех комплексных чисел, у которых равны аргументы, есть числовой луч, выходящий из начала координат и наклонённый под углом a к положительному направлению оси абсцисс.

16.  У сопряженных комплексных чисел модули равны.

 

Тест в интерактивной форме:

Выбрать 1 ответ

Верно — неверно

Самостоятельная работа по теме «Комплексные числа» 11 класс алгебра

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант 1

1.Даны числа: .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант 2

1.Даны числа: .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

 2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант3

1. Даны числа:

 .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e)  

2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант 1

1.Даны числа: .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант 2

1.Даны числа: .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e) 

 2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Самостоятельная работа «Комплексные числа»

Вариант3

1. Даны числа:

 .

Найдите:

a) 
b) 
c) 
d) 
e)  

2. Представьте комплексное число в тригонометрической форме:

а) 
b) 

Контрольная работа

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 по теме «Комплексные числа»  Вариант №1 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   + 4х + 13 = 0,  и изобразить их на комплексной плоскости 2.  Пусть z1 =3 ­ 2i; z2   = 4 + 3  i  . Вычислить a) z1+ z2; b) z1 ­   z2;      c) z1 ∙  z2;          d  )  3. Вычислить i58. 4. Найти модуль комплексного числа: 3+4i 5. Записать   3(  2)3 i в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №2 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  x2 ­ 2х + 5 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.  4  i  . Вычислить   2.  Пусть z1 =6 ­ 2i; z2 = 3 +  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 z z 1 2 3. Вычислить i  81  . 4. Найти модуль комплексного числа: 4­3i 5. Записать  1(  2)3 i в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №3 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 + 9 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.   2.  Пусть z1 = 6 + 3i; z2 = ­2 ­  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2;  5  i  . Вычислить 1 d  )  z z 1 2 3. Вычислить i62. 4. Найти модуль комплексного числа: ­3+4i 5. Записать   2(  2)2 i в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №4 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 + 4 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. 2.  Пусть z1 =4 ­ 2i; z2 = 5 + 3i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 3.  Вычислить i  77  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­1+i 5. Записать  8(  2)8 i в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №5 13. Найти комплексные корни квадратного уравнения 4х2 + 16 = 0, и изобразить их на комплексной плоскости.  3  i  ;   z2 = 5 + 4i. Вычислить   2.  Пусть z1   = 2 —  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 3.  Вычислить i45. 4. Найти модуль комплексного числа: 3+4i 5. Записать  2)33( i  в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №6 2 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2 +4x+ 13 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. 2.  Пусть z1 = 5 ­ 6i; z2   = ­ 2 + 3i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 3.  Вычислить i  6  7  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­3+i 5. Записать   ( 3 i 2) в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №7 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения х  2 + 1 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.  3  i  . Вычислить   2.  Пусть z1 =3 ­ 2i; z2 = 4 +  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  3.  Вычислить i47  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­3+4i 5. Записать  2(  2)2 i в тригонометрической и алгебраической формах. z z 1 2 z z 1 2 Вариант №8 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  x2 ­ 2x + 5 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.  4  i  . Вычислить   2. Пусть z1 =6 ­ 2i; z2 = 3 +  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  3.  Вычислить i  89  . 4. Найти модуль комплексного числа: 2­2i 3 5. Записать  2)23( i  в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №9 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  x2 + 9 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.  5  i  . Вычислить   2. Пусть z1 = 6 + 3i; z2 = ­2 ­   z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 3.  Вычислить i62. 4. Найти модуль комплексного числа: 1­2i 5. Записать   ( 2)33 i  в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №10 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения х2 + 4 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. 2.  Пусть z1 =4 ­ 2i; z2 = 5 + 3i. Вычислить а)     z1+    z2; b  )   z1 ­   z2;  c  )   z1 ∙    z2;  d  )                  z z 1 2 3.  Вычислить i  71  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­1­3i 5. Записать  32( i 2) в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 + 10х + 26 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №11 2. а)     Пусть z1 = 2 ­ 3i; z2 = 5 + 4i. Вычислить  z1+    z2; 4 b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  1 z z  Вычислить i  51  . 2 3.  1(  2)3 i 4. Найти модуль комплексного числа: ­4­2i 5. Записать  в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 ­ 14х + 53 = 0, Вариант №12 и изобразить их на комплексной плоскости.  Пусть z1 = 5 ­ 6i; z2 = ­2 + 3i. Вычислить 2.  z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  33  . 4. Найти модуль комплексного числа: 6+4i 5. Записать  6( i 2) Вариант №13 в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 ­ 14х + 53 = 0, и изобразить их на комплексной плоскости.  i  . Вычислить  + 5    2. Пусть z1 =3 ­ 2i; z2   = 2  а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  59  . 4. Найти модуль комплексного числа: 1­7i 5. Записать   5(  2)5 i в тригонометрической и алгебраической формах. 5 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   ­ 4х + 8 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №14 2.  Пусть z1 =8 ­ 4i; z2 = 2 ­ 5i. Вычислить  z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  81  . 4. Найти модуль комплексного числа: 8­i 5. Записать  2)43( i  в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения   x  2 + 8x + 25 = 0,   и изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №15 2.  Пусть z1 = 2 + 3i; z2 = ­2 ­ 6i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  6  1  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­2+2i 5. Записать  1(  2)2 i в тригонометрической и алгебраической формах. изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №16 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения     х2 + 6х + 25 = 0,   и  изобразить их на комплексной плоскости. 2.  Пусть z1 =8 ­ 2i; z2 = 2 + 3i. Вычислить  z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; 6 d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  77  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­2+5i 5. Записать   4( 2)4 i в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения   х2 + 4х + 8 = 0,   и  изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №17 2.  Пусть z1 = 5 ­ 3i; z2 = 5 + i  . Вычислить а)     z1+    z2; b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i49. 4. Найти модуль комплексного числа: ­5+5i 5. Записать  3( i 2)2 в тригонометрической и алгебраической формах. 1.Найти комплексные корни квадратного уравнения  х2 + 4х + 20 = 0,  и изобразить их на комплексной плоскости. Вариант №18 2.  Пусть z1 =3 ­ 6i; z2 = ­ 4 + 3  i  . Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i57. 4. Найти модуль комплексного числа: ­2+2i 5. Записать   3( 2)3 i в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   +4х + 13 = 0, Вариант №19 7 2. 3. 2. 3. изобразить их на комплексной плоскости.  Пусть z1 =3 ­ 7i; z2 = 6 + 3i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2  Вычислить i  47  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­3­2i 5. Записать  в тригонометрической и алгебраической формах. i 2)43( Вариант №20 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   ­ 2х + 5 = 0, изобразить их на комплексной плоскости.  Пусть z1 =6 ­ 2i; z2 = 8 + 4i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2  Вычислить i  5  3  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­1+i 5. Записать   2)322(  i в тригонометрической и алгебраической формах. 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2 + 9 = 0, и изобразить их  Вариант №21 2. на комплексной плоскости.  Пусть z1 = ­5 + 3i; z2 = ­ 3 ­ 5i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3.  Вычислить i  62  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­1+3i 8 5. Записать   ( 2  2)2 i в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №22 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2 + 4 = 0, и изобразить  их на комплексной плоскости.  Пусть z1 = ­2 ­ 2i; z2 = 4 + 3  i  . Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2  Вычислить i  71  . 4. Найти модуль комплексного числа: 2+i. 5. Записать   1( 2)3 i в тригонометрической и алгебраической формах. 2. 3. Вариант №23 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  x2 + 10x + 26 = 0, изобразить их на комплексной плоскости. 2. Пусть z1 =6 ­ 3i; z2 = 4 ­ 7  i  . Вычислить  z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3. Вычислить  i51 4. Найти модуль комплексного числа: ­1­3i 5. Записать  2)434( i  в тригонометрической и алгебраической формах. 1.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   ­ 14х + 53 = 0, и  Вариант №24 изобразить их на комплексной плоскости. 2.  Пусть z1 = 5 ­ 6i; z2 = ­ 2 + 3i. Вычислить а)     z1+    z2; 9 b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2  Вычислить i  33  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­4+i 5. Записать   ( 6 i 2) в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №25 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2 ­ 2х +5 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости.  Пусть z1 = 2 ­ 3i; z2 = ­ 4 + i  . Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2  Вычислить i  39  . 4. Найти модуль комплексного числа: ­4+i. 5. Записать  1(  2)3 i в тригонометрической и алгебраической формах. 3. 4. 5. Вариант №26 1. Найти комплексные корни квадратного уравнения  x2 + 5x + 4= 0, изобразить их на комплексной плоскости. 3. Пусть z1 =1 ­ 3i; z2 = 3 ­ 7  i  . Вычислить  z1+    z2; а)    b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 3. Вычислить  i57 4. Найти модуль комплексного числа: ­6+8i 5. Записать  2)43( i  в тригонометрической и алгебраической формах. Вариант №27 1 0 4.  Найти комплексные корни квадратного уравнения  х  2   ­ 8х + 11 = 0, и  изобразить их на комплексной плоскости. 5.  Пусть z1 = 5 ­ 6i; z2 = ­ 2 + 3i. Вычислить а)   z1+    z2;   b  )   z1 ­   z2; c  )   z1 ∙    z2; d  )  z z 1 2 6.  Вычислить i  23  . 4. Найти модуль комплексного числа: 8+15i 5. Записать  в тригонометрической и алгебраической формах. ( 2)5 i 11  1 1

Викторина: комплексные числа

• Мои предпочтения
• Мой список чтения

• Литературные заметки
• Подготовка к тесту
• Учебные пособия

!

• Дом
• Учебные пособия
• Алгебра II
• Викторина: комплексные числа

Все предметы

• Линейные предложения в одной переменной
  • Формулы
  • Викторина: формулы
  • Уравнения абсолютных значений
  • Викторина: уравнения абсолютных значений
  • Линейные неравенства
  • Линейные уравнения
  • Викторина: линейные уравнения
  • Викторина: линейные неравенства
  • Сложные неравенства
  • Викторина: Сложные неравенства
  • Неравенства абсолютных значений
  • Викторина: Абсолютное неравенство
• Линии сегментов и неравенства
  • Викторина: прямоугольная система координат
  • Формула расстояния
  • Викторина: формула расстояния
  • Формула средней точки
  • Викторина: Формула средней точки
  • Прямоугольная система координат
  • Уклон прямой
  • Викторина: уклон линии
  • Откосы параллельных и перпендикулярных линий
  • Викторина: уклоны параллельных и перпендикулярных линий
  • Уравнения линий
  • Викторина: уравнения линий
  • Графики линейных неравенств
  • Викторина: графики линейных неравенств
• Линейные предложения с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием замены с двумя переменными
  • Тест: линейные уравнения: решения с использованием замены с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием исключения с двумя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием исключения с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием матриц с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием матриц с двумя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с двумя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с двумя переменными
  • Линейные неравенства: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
  • Викторина: Линейные неравенства: решения с использованием построения графиков с двумя переменными
• Линейные уравнения с тремя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием матриц с тремя переменными
  • Викторина: Линейные уравнения: решения с использованием матриц с тремя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с тремя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием детерминантов с тремя переменными
  • Линейные уравнения: решения с использованием исключения с тремя переменными
  • Викторина: линейные уравнения: решения с использованием исключения с тремя переменными
• Полиномиальная арифметика
  • Умножающие многочлены
  • Викторина: умножение многочленов
  • Специальные произведения биномов
  • Викторина: специальные произведения биномов
  • Делительные многочлены
  • Сложение и вычитание многочленов
  • Викторина: деление многочленов
  • Викторина: сложение и вычитание многочленов
  • Синтетическое подразделение
  • Тест: отдел синтетических материалов
• Факторинговые полиномы
  • Разность квадратов
  • Викторина: разница квадратов
  • Сумма или разница кубиков
  • Викторина: сумма или разница кубиков
  • Трехчлены формы x ^ 2 + bx + c
  • Наибольший общий коэффициент
  • Викторина: наибольший общий фактор
  • Викторина: триномы формы x ^ 2 + bx + c
  • Трехчлены формы ax ^ 2 + bx + c
  • Викторина: Триномы формы ax ^ 2 + bx + c
  • Квадратные трехчлены
  • Викторина: Квадратные трехчлены
  • Факторинг путем перегруппировки
  • Викторина: факторинг путем перегруппировки
  • Краткое изложение методов факторинга
  • Решение уравнений по факторингу
  • Викторина: решение уравнений по факторингу
• Рациональные выражения
  • Тест: упрощение рациональных выражений
  • Умножение рациональных выражений
  • Викторина: умножение рациональных выражений
  • Разделение рациональных выражений
  • Викторина: деление рациональных выражений
  • Сложение и вычитание рациональных выражений
  • Примеры рациональных выражений
  • Викторина: примеры рациональных выражений
  • Упрощение рациональных выражений
  • Викторина: сложение и вычитание рациональных выражений
  • Сложные фракции
  • Викторина: сложные дроби
  • Решение рациональных уравнений
  • Викторина: решение рациональных уравнений
  • Пропорция, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация
  • Тест: пропорция, прямая вариация, обратная вариация, совместная вариация
  • Графические рациональные функции
  • Викторина: построение графиков рациональных функций
• Отношения и функции
  • Обозначение функций
  • Тест: обозначение функций
  • Состав функций
  • Викторина: Состав функций
  • Алгебра функций
  • Основные определения
  • Викторина: Алгебра функций
  • Тест: основные определения
  • Обратные функции
  • Тест: обратные функции
• Полиномиальные функции
  • Тест: теорема об остатке
  • Теорема о множителях
  • Тест: факторная теорема
  • Нули функции
  • Тест: нули функции
  • Полиномиальная функция
  • Викторина: полиномиальная функция
  • Теорема о рациональном нуле
  • Теорема об остатке
  • Викторина: рациональная теорема о нуле
  • Графические полиномиальные функции
  • Викторина: построение графиков полиномиальных функций
• Радикалы и комплексные числа
  • Радикалы
  • Викторина: радикалы
  • Упрощающие радикалы
  • Викторина: упрощение радикалов
  • Сложение и вычитание радикальных выражений
  • Викторина: сложение и вычитание радикальных выражений
  • Что такое радикалы?
  • Умножение радикальных выражений
  • Викторина: умножение радикальных выражений
  • Деление радикальных выражений
  • Викторина: деление радикальных выражений
  • Рациональные экспоненты
  • Тест: рациональные показатели

.

Операции над комплексными числами

Операции по комплексным числам (стр. 2 из 3)

Разделы: Введение, Операции с комплексами, Квадратичная формула

---

Комплексные числа — это «биномы» своего рода, и добавляются, вычитали и умножали аналогичным образом.(Разделение, которое находится ниже по странице, немного другое.) Однако сначала вас, вероятно, попросят продемонстрировать, что вы понимаете определение комплексных чисел.

• Решить 3 — 4 i = x + yi

Поиск ответа на этот вопрос не требует ничего, кроме знания, что два комплексных числа могут быть равны только если их действительная и мнимая части равны.Другими словами, 3 = x и –4 = y .

Для упрощения комплексных выражения, вы комбинируете «похожие» термины и применяете различные другие методы, которые вы узнали для работы с многочленами.

• Упростить (2 + 3 i ) + (1-6 i ).

• Упростить (5 — 2 i ) — (–4 — i ).

(5–2 и ) — (–4 — и )

= (5–2 и ) — 1 (–4 — i ) = 5 — 2 i — 1 (–4) — 1 (- i )

= 5 — 2 i + 4 + i = (5 + 4) + (–2 i + i )

= (9) + (–1 i ) = 9 — и

Возможно, вам будет полезно вставить «1» перед вторым набором круглых скобок (выделено красным выше), поэтому Вы можете лучше следить за умножением «минуса» через круглые скобки.

• Упростить (2 — i ) (3 + 4 i ).

(2 — и ) (3 + 4 i ) = (2) (3) + (2) (4 i ) + (- i ) (3) + (- i ) (4 i )

В последнем примере выше, FOILing работает для этого вида умножения, если вы изучили этот метод. Но какой бы метод вы ни использовали, помните, что умножение и сложение комплексами работает так же, как умножение и сложение многочленов, за исключением того, что x ² равно x ² , i ² равно –1.Вы может использовать те же методы для упрощения выражений комплексных чисел как и для полиномиальных выражений, но вы можете еще больше упростить с комплексами, потому что и ² уменьшает к числу –1.

---

Сложение и умножение комплексы не так уж и плохо. Это когда вы работаете с дробями (то есть с деление), что все становится уродливым. Основная причина этого уродства на самом деле произвольно.Вспомните еще в начальной школе, когда вы впервые выучил дроби? Ваш учитель запихнет трусики в пачку, если вы использовали «неправильные» дроби. Например, нельзя сказать « ³ / ₂ »; вам нужно было преобразовать его в «1 ¹ / ₂ ». Но теперь, когда вы занимаетесь алгеброй, всем плевать, и вы, наверное, заметили что «неправильные» дроби часто более полезны, чем «смешанные» числа.Проблема с комплексными числами в том, что ваш профессор получит его боксеры в кучу, если оставить в знаменателе воображаемые. Так как ты справишься с этим?

Предположим, у вас есть следующие упражнение: Авторские права © Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

• Упростить

Это довольно «просто», но они хотят, чтобы я избавился от этих и внизу, в знаменателе.2 в знаменателе в порядке, но i надо уйти. Для этого я воспользуюсь тем, что i ² = –1. Если я умножу верхнюю и нижнюю дроби на i , тогда i внизу исчезнет в облаке негатива:

Итак, ответ:

Это было достаточно просто, а что, если они дадут вам что-то посложнее?

• Упростить

Если я умножу эту дробь, сверху и снизу, по и , Я получу:

Поскольку у меня все еще есть i , это не сильно помогло.Итак, как мне справиться с этим упрощением? Я использую то, что называется «конъюгатами». Сопряжение комплекса номер а + bi то же самое номер, но с противоположным знаком посередине: a — би . Когда ты умножить конъюгаты, вы, по сути, умножаетесь, чтобы создать что-то в образце различия площадей:

Обратите внимание, что i исчезли, и окончательный результат был суммой квадратов.Эта для чего предназначен конъюгат, и вот как он используется:

Итак, ответ:

На последнем этапе обратите внимание как фракция была разделена на две части. Это потому, что технически говоря, комплексное число состоит из двух частей: действительной и i . Они не должны «разделять» знаменатель. Быть убедитесь, что ваш ответ полностью верен, разделите комплексную дробь на два отдельных термина.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | Возвращение к указателю След. >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Операции над комплексными числами». Пурпурная математика . Доступна с https: // www.purplemath.com/modules/complex2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

.

Комплексные числа

Это выражение не имеет реального ответа. Символ i создан для представления и называется мнимым значением . Поскольку, i ² = –1. Любое выражение, которое является произведением действительного числа на i , называется чисто мнимым числом .

Пример 1

Упростите каждое из следующих действий.

3. (6 и ) (4 и )

3. Это последнее выражение обычно пишется так, чтобы i не было ошибочно написано под корнем.

4. (6 i ) (4 i ) = 24 i ² = 24 (–1) = –24

5. В этом последнем примере все мнимые значения должны были быть приведены в их «форму i‐ », прежде чем можно было выполнить какое-либо упрощение. Обратите внимание, что

То есть правило произведения радикалов не выполняется (в общем случае) с мнимыми числами.

Когда i возведен в степень, он имеет повторяющийся образец.

Когда i возводится в любую степень целого числа, результатом всегда будет 1, i , –1 или — i . Если показатель i делится на 4, остаток показывает, какое из четырех значений является результатом.

Пример 2

Упростите каждое из следующих действий.

1. и ³⁴

2. и ⁹⁵

3. i ¹⁰⁸

4. и ⁵³

1. и ³⁴

   Так как 34 делится на 4, остается 2,

.

Комплексные числа: Введение

Комплекс Номера: Введение (стр. 1 из 3)

Разделы: Введение, Операции с комплексами, Квадратичная формула

---

До сих пор вы были сказал, что ты не можешь взять площадь корень негатива количество.Это потому, что у вас не было чисел, которые были бы отрицательными после того, как вы возводил их в квадрат (так что вы не могли «вернуться назад», взяв квадрат корень). После возведения в квадрат все числа были положительными. Так ты не мог очень хорошо извлеките квадратный корень из отрицательного и ожидайте найти что-нибудь разумное.

Теперь вы можете взять квадратный корень из отрицательного числа, но это предполагает использование нового числа сделать это. Это новое число было изобретено (обнаружено?) Примерно во времена Реформация.В то время никто не верил, что любой «реальный мир» будет найдено применение этому новому числу, кроме упрощения вычислений участвовал в решении определенных уравнений, поэтому новое число рассматривалось как это вымышленное число, придуманное для удобства.

(Но тогда, когда вы думаете об этом, разве не все числа изобретения? Это не похоже на числа растут на деревьях! Они живут в наших головах. Мы сделали их , все up! Почему не придумывать новый, раз уж он работает нормально с тем, что у нас уже есть?)

Во всяком случае, этот новый номер назывался « и «, означает «воображаемое», потому что «все знали» что и не были «настоящими».(Вот почему вы не могли извлечь квадратный корень отрицательного числа раньше: у вас были только «настоящие» числа; который есть числа без « и » в них.) Воображаемое определяется как:

Тогда:

Теперь вы можете подумать, что может это сделать:

Но это не делает смысл! У вас уже есть двух чисел, равных 1; а именно –1 и +1.И i уже равняется –1. Поэтому неразумно, что i также будет равняться 1. Это указывает на важную деталь: имея дело с воображаемым, вы получить что-то (способность работать с отрицаниями внутри квадратных корней), но вы тоже что-то теряете (некоторая гибкость и удобные правила вы имели обыкновение иметь дело с квадратными корнями).В частности, ВЫ ДОЛЖНЫ ВСЕГДА ДЕЛАЙТЕ ЧАСТЬ i ПЕРВЫЙ!

---

• Упростить sqrt (–9) . Авторские права © Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

(Предупреждение: шаг, который проходит через третий знак «равно» — «», не «». i — это за пределами радикала.)

---

В своих вычислениях вы будет работать с i так же, как и с x , за исключением того факта, что x ² — это всего лишь x ² , но i ² равно –1:

• Умножить и Упростить (3 i ) (4 i ).

• Умножить и Упростить ( i ) (2 i ) (- 3 i ).

( и ) (2 и ) (- 3 и ) = (2 · –3) ( i · i · i ) = (–6) ( i ² · i )

Обратите внимание на последнюю проблему. В нем вы можете видеть, что потому что i ² = –1.Продолжая, получаем:

Этот образец сил, знаки, единицы, и и это цикл:

Другими словами, чтобы вычислить любая большая мощность и , вы можете преобразовать его в более низкую степень, взяв ближайшее кратное 4, которое не больше экспоненты, и вычтя это кратное из показатель степени.Например, распространенный вопрос с подвохом на тестах — это что-то по строкам «Упростить и ⁹⁹ », идея в том, что вы попытаетесь умножить на девяносто девять раз, и у вас не хватит времени, а учителя получат Хорошенько посмеяться за свой счет в холле факультета. Вот как ярлык работ:

То есть i ⁹⁹ = i ³ , потому что вы можете просто отрезать i ⁹⁶ .(Девяносто шесть кратно четырем, поэтому i ⁹⁶ равно 1, которые вы можете игнорировать.) Другими словами, вы можете разделить показатель степени на 4 (используя длинное деление), отбросить ответ и использовать только остаток. Это даст вам часть экспоненты, которая вам нужна. Вот еще несколько примеров:

i ^{64 002} = i ^{64 000 + 2} = i ^{4 · 16 000 + 2} = i ² = –1

Теперь вы видели, как воображаемые Работа; пора переходить к комплексным числам.»Комплексные числа состоит из двух частей: «реальная» часть (любое «реальное» число с которой вы привыкли иметь дело) и «воображаемой» частью (являющейся любой номер с « i » в этом). Стандартный формат для комплексных чисел — a. + bi «; это есть, действительная часть первая и i -частная последний.

Вверх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Комплексные числа: Введение». Пурпурная математика . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/complex.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

.

No related posts.