Учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции»
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
- Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
- Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
- Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
- Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
- Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
- Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
- Построить график функции и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
1 вариант № 1 Найти область определения и множество значений функции У= У=2 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-π;2π⦌ решения неравенства соs≥ | 2 вариант № 1 Найти область определения и множество значений функции У= У=3 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-3π;0⦌ решения неравенства соs≤ | 3 вариант № 1 Найти область определения и множество значений функции У= У=2 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-2π;π⦌ решения неравенства соs≥ | 4 вариант №1 Найти область определения и множество значений функции У= У= №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-0.5π;2.5π⦌ решения неравенства sin≤ | 5 вариант №1 Найти область определения и множество значений функции У= У=2 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-π;2π⦌ решения неравенства соs≥ | 6 вариант №1 Найти область определения и множество значений функции У= У=2 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-2π;π⦌ решения неравенства tg≥1 | 7 вариант №1 Найти область определения и множество значений функции У= У= №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-π;2π⦌ решения неравенства | 8 вариант №1 Найти область определения и множество значений функции У= У=2 №2 Исследовать функцию на четность или нечетность У= У= №3 Доказать, что функция у= периодическая и найти ее наименьший положительный период. №4 Найти все принадлежащие отрезку корни уравнения №5 Найти все принадлежащие отрезку⦋-2π;π⦌ решения неравенства соs≤ |
Контрольная работа «Тригонометрические функции»
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 1
1 часть (5 баллов)
Запишите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом
Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
Ответ:
Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
Ответ:
Найти наименьший положительный период функции y = cos 2x.
Ответ:
Найти все, принадлежащие отрезку [– π; π] корни уравнения
Ответ:
Найдите нули функции
Ответ:
2 часть (4 балла)
Решение заданий 6-7 может иметь краткую запись без обоснования.
Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами
Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Найдите область значений и наименьший положительный период функции
часть (3 балла)
Решение 8 задания должно иметь полное обоснование.
Постройте график функции и найдите наименьшее значение функции
Контрольная работа по алгебре и началам анализа
по теме «Тригонометрические функции»
Вариант 2
1 часть (5 баллов)
Запишите верный ответ.
Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом
Найти область определения и множество значений функции y = y = 3 cos x
Ответ:
Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
Ответ:
Найти наименьший положительный период функции .
Ответ:
Найти все корни уравнения , принадлежащие отрезку [0; 2,5π]
Ответ:
Найдите нули функции
Ответ:
2 часть (4 балла)
Решение заданий 6-7 может иметь краткую запись без обоснования.
Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами
Построить график функции y = cos x + 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
Найдите область значений и наименьший положительный период функции
часть (3 балла)
Решение 8 задания должно иметь полное обоснование.
Правильное решение оценивается тремя баллами
Постройте график функции и найдите наименьшее значение функции
Контрольная работа по алгебре 11 кл «Тригонометрические функции» 8 вариантов
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 1 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
Выяснить, является ли функция
y = x2 + cos x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2 x равен π.
Построить график функции y = cos x — 1 и найти значение аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 2 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
Выяснить, является ли функция y = x3 sin x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
Найти принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции и найти значение аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 3 А 11
Найти область определения и множество значений функции
Выяснить, является ли функция
y = x — cos x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции y = sin 2x равен π.
Найти принадлежащие отрезку [- π/2; π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции y = cos x +2 и найти значение аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 4 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = -5 cos x.
Выяснить, является ли функция y = —x2 + sin x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции равен 6π.
Найти принадлежащие отрезку [- π/2; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции и найти значение аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 5 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = cos x -1.
Выяснить, является ли функция
y = sin x –x2 чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции равен 10π.
Найти принадлежащие отрезку [0; 2π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции y = cos x +3 и найти значение аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 6 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = -2 sin x.
Выяснить, является ли функция y = —x4 cos x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции равен 4π.
Найти принадлежащие отрезку [- π/2; π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции и найти значение аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 7 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = — cos x -2.
Выяснить, является ли функция
y = x3 + cos x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции y = sin 4 x равен π.
Найти принадлежащие отрезку [- π; π/2] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции y = sin x +2 и найти значение аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.
_________________________________________
Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 8 А 11
Найти область определения и множество значений функции y = -5 sin x.
Выяснить, является ли функция y = x2 +sin x чётной или нечётной.
Доказать, что наименьший положительный период функции равен 6π.
Найти принадлежащие отрезку [- π/2; 2,5π] корни уравнения с помощью графика функции.
Построить график функции и найти значение аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.
_________________________________________
Вариант1 1.Найти область определения и множество значений функции у=5 cos х . 2. Выяснить является функция у=2sin x – tg x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= sin x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение sin x = 0,5. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 6sin x cos х + 3 5. Построить график функции у= cos х + 2. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант2 1.Найти область определения и множество значений функции у=0,5 sin х . 2. Выяснить является функция у=2cos x – x четной или нечетной? 3. интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение cos x = -0,5. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 6cosx — 6sinх + 3 5. Построить график функции у= sin х + 2. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант3 1.Найти область определения и множество значений функции у= cos х + 4 2. Выяснить является функция у = 3sin x + tg x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= sin x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение sin x = -1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 8sin x cos х — 2 5. Построить график функции у= cos х — 1. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант6 1.Найти область определения и множество значений функции у=sin х — 3 2. Выяснить является функция у = cos x +3 x четной или нечетной? 3. интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение cos x = -1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 5cosx — 5sinх + 2 5. Построить график функции у= sin х — 1. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант5 1.Найти область определения и множество значений функции у= 5cos х . 2. Выяснить является функция у=sin x –5 tg x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= sin x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение sin x = 1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 10sin x cos х + 2 . 5. Построить график функции у= cos х + 1. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант6 1.Найти область определения и множество значений функции у=sin х + 2 2. Выяснить является функция у=2cos x – x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= cos x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение cos x = 1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 8cosx — 8sinх + 3 5. Построить график функции у= sin х + 1. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант7 1.Найти область определения и множество значений функции у=cos х + 11 2. Выяснить является функция у=sin x –2tg x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= sin x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение sin x = 1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 6sin x cos х + 3 5. Построить график функции у= cos х + 3. При каких значениях функция убывает; возрастает? | Вариант8 1.Найти область определения и множество значений функции у=0,5 sin х . 2. Выяснить является функция у=2cos x – x четной или нечетной? 3.Изобразить график функции у= cos x на интервале ( — 2п; 2п) и решить уравнение cos x = -1. 4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 6cosx — 6sinх + 3 5. Построить график функции у= sin х +3. При каких значениях функция убывает; возрастает? |
Изобразить график функции у= cos x на
Изобразить график функции у= cos x наСборник контрольных работ по алгебре, (10 класс)
Контрольная работа № 1
по теме «Функции и их свойства»
Цель: проверить уровень усвоение ГОСО
— умение находить значение функции в точке;
— умение находить область определения функции;
— умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки
возрастания и убывания , экстремумы функции, точки пересечения с осями
координат;
— знания свойств четных и нечетных функций.
1. Вычислите:
y = f(x) является нечетной y = f(x) является четной
2 f(-4) + f(3) f(-3) + 2 f(1)
eсли f(4)=1, f(-3)=2 eсли f(3)=4, f(-1)=2
2. Найдите значение функции в точке X0.
X0 = -2 и X0 = 4 X0 = -3 и X0 = 1
3. Постройте эскиз функции и найдите координаты точек его пересечения с осями координат.
4. Найдите область определения функции
5. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции.
Критерии оценки.
0-10 баллов – «2»
11-14баллов – «3»
15-19 баллов – «4»
20-21 баллов – «5»
Распределение заданий по содержанию и видам деятельности.
Содержательные линии | Воспроизведение знаний | Применение знаний | Интеграция знаний | Процентное Соотношение в тексте |
Четные и нечетные функции. | №1 | 20% | ||
Значения функции в точке | №2 | 20% | ||
График функции и ее свойства | №3,4 | №5 | 40% | |
Процентное Соотношение в тексте | 40% | 40% | 20% | 100% |
Критерии оценивания
№ задания | Характеристика задания | Проверяемые элементы | Балл за выполнение проверяемого элемента | Балл за выполнение задания |
1 | Свойства четных и нечетных функций. | Знания свойств четных и нечетных функций | 2 | 3 |
Запись ответа | 1 | |||
2 | Значение функции в точке | Правильно подставил | 2 | 3 |
Вычисления | 1 | |||
3 | График функции и ее свойства | Построение эскиза графика | 2 | 5 |
Пересечение с осью абсцисс | 1 | |||
Пересечение с осью ординат | 2 | |||
Запись ответа | 1 | |||
4 | Область определения функции | Составление условий для нахождения области определения | 2 | 5 |
Решение неравенства | 1 | |||
Запись ответа | 2 | |||
5 | Промежутки возрастания , убывания и экстремумы функции | Вершина параболы | 1 | 5 |
Свойства модуля | 1 | |||
Эскиз графика | 2 | |||
Запись ответа | 1 |
Контрольная работа № 2
по теме «Тригонометрические функции»
Цель: проверить уровень усвоение ГОСО
— умение находить период тригонометрических функций;
— уменияупрощать тригонометрические выражения с помощью основных формул
тригонометрии;
— знание значений тригонометрических функций;
— умения строить графики тригонометрических функций;
— умения по графику определять свойства тригонометрических функций;
1. Найдите наименьший положительный период функции
2. Вычислите значение выражения
3. Постройте график функции
4. Не выполняя построений, найдите область определения и область значений функции.
5. Вычислите:
cos(2 arcsin1\3) cos(2 arcsin1\5)
Критерии оценки.
0-10 баллов – «2»
11-14 баллов – «3»
15-19 баллов – «4»
20-21 баллов – «5»
Распределение заданий по содержанию и видам деятельности.
Содержательные линии | Воспроизведение знаний | Применение знаний | Интеграция знаний | Процентное Соотношение в тексте |
График и свойства тригонометрической функции | №1 | №3,4 | №5 | 80% |
Преобразование тригонометрических выражений | №2 | 20% | ||
Процентное Соотношение в тексте | 40% | 40% | 20% | 100% |
Критерии оценивания
№ задания | Характеристика задания | Проверяемые элементы | Балл за выполнение проверяемого элемента | Балл за выполнение задания |
1 | Определение периода функции | Знание наименьшего периода тригонометрических функций | 1 | 3 |
Нахождение периода по формуле | 1 | |||
Запись ответа | 1 | |||
2 | Нахождение значения выражения, содержащего обратные тригонометрические функции | Определение обратных тригонометрических функций положительного аргумента | 1 | 3 |
Определение обратных тригонометрических функций отрицательного аргумента | 1 | |||
Вычисление значения выражения | 1 | |||
3 | График тригонометрической функции | Сдвиг по оси абсцисс | 1 | 5 |
Растяжение по оси ординат | 1 | |||
Аккуратность построения | 1 | |||
Нули функции | 1 | |||
Промежутки возрастания(убывания) | 1 | |||
4 | Область значений тригонометрических функций | Область определения | 1 | 5 |
Область значений | 2 | |||
Выбор ответа | 1 | |||
Запись ответа | 1 | |||
5 | Свойства монотонности | Знание радианной меры | 1 | 5 |
Промежутки монотонности | 3 | |||
Запись ответа | 1 |
Контрольная работа № 3
по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»
Цель: проверить уровень усвоение ГОСО
— умение находить значение обратных тригонометрических функций;
— умение решать простейшие тригонометрические уравнения;
— умения решать однородные тригонометрические уравнения;
— умения преобразовывать уравнения с помощью основных формул тригонометрии.
— умения решать системы тригонометрических уравненийи неравенств;
1. Решите уравнение
а) а)
б) б)
2. Решите уравнение
а) а)
б) б)
3. Решите неравенство
4. Решите систему уравнений
5. Решите систему неравенств
Критерии оценки.
0-12 баллов – «2»
13-16 баллов – «3»
17-21 баллов – «4»
22-23 баллов – «5»
Распределение заданий по содержанию и видам деятельности.
Содержательные линии | Воспроизведение знаний | Применение знаний | Интеграция знаний | Процентное Соотношение в тексте |
Тригонометрические уравнения | №1 | №2 | 40% | |
Тригонометрические неравенства | №3 | 20% | ||
Системы тригоно-метрических урав-нений и неравенств | №4 | №5 | 40% | |
Процентное Соотношение в тексте | 40% | 40% | 20% | 100% |
Критерии оценивания
№ задания | Характеристика задания | Проверяемые элементы | Балл за выполнение проверяемого элемента | Балл за выполнение задания |
1 | Решение тригонометрических уравнений | Решение простейших тригонометрических уравнений | 2 | 5 |
Применение формул суммы тригонометрических функций | 1 | |||
Решение однородных тригонометрических уравнений первой степени | 1 | |||
Выбор ответа | 1 | |||
2 | Решение тригонометрических уравнений | Выбор способа решения тригонометрического уравнения | 3 | 5 |
Решение квадратного уравнения | 1 | |||
Вычисления и выбор ответа | 1 | |||
Решение неравенств | 2 | |||
Выбор ответа | 1 | |||
Запись ответа | 1 | |||
3 | Решение тригонометрических неравенств | Преобразование неравенства | 1 | 3 |
Решение неравенства | 1 | |||
Выбор ответа | 1 | |||
4 | Решение системы тригонометрических уравнений | Применение метода подстановки | 1 | 5 |
Применение формулы произведения тригонометрических функций | 1 | |||
Решение тригонометрических уравнений | 2 | |||
Запись ответа | 1 | |||
5 | Решениесистемы тригонометрических неравенств | Решение простейшего тригонометрического неравенства | 2 | 5 |
Определение общего решения | 3 |
Контрольная работа № 4
по теме «Определение производной функции. Геометрический и физический смысл производной»
Цель: проверить уровень усвоения ГОСО
— знание формул и правил нахождения производных, уравнения касательной;
— умения применять таблицу и правила нахождения производных;
— умение составлять уравнение касательной к графику функции;
— умения находить производную в точке;
— умения составлять уравнения и неравенства с производной и решать их*
— умения применять производную при решении физических задач.
1. Найти производную функции:
а) а) б) — 8х3 б) )+ 3х5
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0.
, x0=-1 , x0 = 1
3. Решите уравнение:
если если
4. Составьте и решите неравенство
5.Материальная точка движется по закону
x(t)= 5t + 6t2 – t3 x(t) = – t2 + 2t – 4
( х – метров, t – в секундах)
Определите
скорость точки в момент, когда ускорение точки в момент, когда
ее ускорение равно нулю. ее скорость равна 1м/с
Критерии оценки.
0-12 баллов – «2»
13-16 баллов – «3»
17-21 баллов – «4»
22-23 баллов – «5»
Распределение заданий по содержанию и видам деятельности.
Содержательные линии | Воспроизведение знаний | Применение знаний | Интеграция знаний | Процентное Соотношение в тексте |
Нахождение производной | №1 | №3,4 | 60% | |
Геометрический смысл производной | №2 | 20% | ||
Физический смысл производной | №5 | 20% | ||
Процентное Соотношение в тексте | 40% | 40% | 20% | 100% |
Критерии оценивания
№ задания | Характеристика задания | Проверяемые элементы | Балл за выполнение проверяемого элемента | Балл за выполнение задания |
1 | Нахождение производной | Знание таблицы производных | 1 | 3 |
Производная произведения | 1 | |||
Производная степенной функции | 1 | |||
2 | Составление уравнения касательной к графику функции | Знание уравнения касательной к графику функции | 1 | 5 |
Нахождение производной | 1 | |||
Нахождение значений функции и производной в точке | 1 | |||
составление уравнения касательной к графику функции | 1 | |||
Запись ответа | 1 | |||
3 | Составление и решение уравнения с производной. | Нахождение производной дроби | 1 | 5 |
Нахождение производной в точке | 1 | |||
Составление уравнения | 1 | |||
Решение уравнения | 1 | |||
Вычисления и запись ответа | 1 | |||
4 | Составление и решение неравенства с производной. | Нахождение производной | 1 | 5 |
Составление неравенства | 1 | |||
Решение неравенства | 2 | |||
Запись ответа | 1 | |||
5 | Применение производной при решении физических задач | Нахождение скорости | 1 | 5 |
Нахождение ускорения | 1 | |||
Составление уравнения для нахождения времени | 2 | |||
Нахождение конечного ответа | 1 |
Контрольная работа № 5
по теме «Производные сложных и тригонометрических функции»
Цель: проверить уровень усвоение ГОСО
— знание формул и правил нахождения производных тригономкерических функций,;
— умения находить производную сложной функции;
— умения составлять уравнения и неравенства с производной и решать их.
1. Найти производную функции:
б) ,
Тригонометрических формул — Бесплатная справка по математике
Тригонометрия: (урок 1 из 3)
Тригонометрические формулы
$$ \ begin {выровнено} \ sin \ alpha & = \ frac {напротив} {гипотенуза} \\ \ cos \ alpha & = \ frac {смежный} {гипотенуза} \\ \ tan \ alpha & = \ frac {напротив} {смежный} \\ \ cot \ alpha & = \ frac {смежный} {противоположный} \\ \ sec \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {смежный} \\ \ csc \ alpha & = \ frac {hypotenuse} {напротив} \ end {выровнен} $$Взаимные свойства:
$$ \ begin {выровнено} \ cot (x) & = \ frac {1} {\ tan (x)} \\ \ csc (x) & = \ frac {1} {\ sin (x)} \\ \ sec (x) & = \ frac {1} {\ cos (x)} \\ \ end {выровнен} $$ $$ \ begin {выровнено} \ tan (x) \ cot (x) & = 1 \\ \ sin (x) \ csc (x) & = 1 \\ \ соз (х) \ сек (х) & = 1 \ end {выровнен} $$Частные свойства:
$$ \ begin {выровнено} \ tan (x) & = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \\ \ tan (x) & = \ frac {\ sec (x)} {\ csc (x)} \\ \ cot (x) & = \ frac {\ csc (x)} {\ sec (x)} \ end {выровнен} $$Нечетные / четные идентификаторы
$$ \ begin {выровнено} \ sin (-x) & = — \ sin (x) \\ \ cos (-x) & = — \ cos (x) \\ \ tan (-x) & = — \ tan (x) \\ \ csc (-x) & = — \ csc (x) \\ \ sec (-x) & = — \ sec (x) \\ \ cot (-x) & = — \ cot (x) \ end {выровнен} $$Идентификатор функции —
радиан $$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ cos (x) \\ \ cos (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ sin (x) \\ \ tan (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ cot (x) \\ \ cot (\ frac {\ pi} {2} — x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$Идентификаторы совместных функций — степени
$$ \ begin {выровнено} \ sin (90 ^ \ circ — x) & = \ cos (x) \\ \ cos (90 ^ \ circ — x) & = \ sin (x) \\ \ tan (90 ^ \ circ — x) & = \ cot (x) \\ \ cot (90 ^ \ circ — x) & = \ tan (x) \ end {выровнен} $$Идентичности периодичности —
радиан $$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 2 \ pi) & = \ sin (x) \\ \ cos (x + 2 \ pi) & = \ cos (x) \\ \ загар (х + \ пи) & = \ загар (х) \\ \ cot (x + \ pi) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$Periodicity Identities — степени
$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ sin (x) \\ \ sin (x + 360 ^ \ circ) & = \ cos (x) \\ \ tan (x + 180 ^ \ circ) & = \ tan (x) \\ \ cot (x + 180 ^ \ circ) & = \ cot (x) \ end {выровнен} $$Сумма / разность идентичностей
$$ \ begin {выровнено} \ sin (x + y) & = \ sin (x) \ cos (y) + \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x + y) & = \ cos (x) \ cos (y) — \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x + y) & = \ frac {\ tan (x) + \ tan y} {1 — \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \\ \ sin (x — y) & = \ sin (x) \ cos (y) — \ cos (x) \ sin (y) \\ \ cos (x — y) & = \ cos (x) \ cos (y) + \ sin (x) \ sin (y) \\ \ tan (x — y) & = \ frac {\ tan (x) — \ tan (y)} {1 + \ tan (x) \ cdot \ tan (y)} \ end {выровнен} $$Двойные углы идентификации
$$ \ begin {выровнено} \ sin (2x) & = 2 \ sin (x) \ cos (x) \\ \ cos (2x) & = \ cos ^ 2 (x) — \ sin ^ 2 (x) \\ \ cos (2x) & = 2 \ cos ^ 2 (x) — 1 \\ \ cos (2x) & = 1-2 \ sin ^ 2 (x) \\ \ tan (2x) & = [2 \ tan (x)] / [1 — \ tan ^ 2 (x)] \ end {выровнен} $$Идентификаторы с половинным углом
$$ \ begin {выровнено} \ sin (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + \ cos (x)} {2}} \\ \ cos (\ frac {x} {2}) & = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos (x)} {1 + \ cos (x)}} \ end {выровнен} $$Обозначение продукта
$$ \ begin {выровнено} \ sin (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ sin (x + y) + \ sin (x — y)} {2} \\ \ cos (x) \ cdot \ cos (y) & = \ frac {\ cos (x + y) + \ cos (x — y)} {2} \\ \ sin (x) \ cdot \ sin (y) & = \ frac {\ cos (x + y) — \ cos (x — y)} {2} \ end {выровнен} $$Сумма для идентификаторов продуктов
$$ \ beAlgebra Trig Review
Онлайн-заметки ПавлаПосмотреть Быстрая навигация Скачать
- Показать / Скрыть
- Показать все решения / шаги / и т. Д.
- Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
- Разделы
- Решение триггерных уравнений
- Экспоненты и логарифмы
- Разделы
- Алгебра
- Экспоненты и логарифмы
- Классы
- Алгебра
- Исчисление I
- Исчисление II
- Исчисление III
- Дифференциальные уравнения
- Дополнительно
- Алгебра и триггерный обзор
- Распространенные математические ошибки
- Праймер комплексных чисел
- Как изучать математику
- Шпаргалки и таблицы
- Разное
- Свяжитесь со мной
- Справка и настройка MathJax
- Мои студенты
- Дополнительно Загрузить
- Полная книга
- Только проблемы (нет решений)
- Прочие товары
- Получить URL для загружаемых элементов
- Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
- Показать все решения / шаги и распечатать страницу
- Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
- Дом
- Классы
- Алгебра
- Предварительные условия
- Целочисленные экспоненты
- Рациональные экспоненты
- Радикалы
- Полиномы
- Факторинговые полиномы
- Рациональные выражения
- Комплексные числа
- Решение уравнений и неравенств
- Решения и наборы решений
- Линейные уравнения
- Приложения линейных уравнений
- Уравнения с более чем одной переменной
- Квадратные уравнения — Часть I
- Квадратные уравнения — Часть II
- Квадратные уравнения: сводка
- Приложения квадратных уравнений
- Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
- Уравнения с радикалами
- Линейные неравенства
- Полиномиальные неравенства
- Рациональные неравенства
- Уравнения абсолютных значений
- Неравенства абсолютных значений
- Графики и функции
- Графики
- Строки
- Круги
- Определение функции
- Графические функции
- Комбинирование функций
- Обратные функции
- Общие графы
- Прямые, окружности и кусочные функции
- Параболы
- Эллипсы
- Гиперболы
- Разные функции
- Преобразования
- Симметрия
- Рациональные функции
- Полиномиальные функции
- Делительные многочлены
- Нули / корни многочленов
- Графические полиномы
- Нахождение нулей многочленов
- Неполные дроби
- Экспоненциальные и логарифмические функции
- Экспоненциальные функции
- Логарифмические функции
- Решение экспоненциальных уравнений
- Решение логарифмических уравнений
- Приложения
- Системы уравнений
- Линейные системы с двумя переменными
- Линейные системы с тремя переменными
- Расширенные матрицы
- Подробнее о расширенной матрице
- Нелинейные системы
- Предварительные условия
- Исчисление I
- Обзор
- Обзор
7.5. Другие тригонометрические функции
Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем продвинуться дальше в отношениях и получить некоторые фундаментальные идентичности. Идентичности — это утверждения, которые верны для всех значений входных данных, на которых они определены. Обычно идентичность может быть получена из уже известных нам определений и отношений. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.
Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование идентификаторов для упрощения тригонометрических выражений
Упростить \ (\ frac {\ sec t} {\ tan t}. \)
Решение
Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.
\ [\ begin {array} {lll} \ dfrac {\ sec t} {\ tan t} & = \ dfrac {1 / \ cos t} {\ sin t / \ cos t} & \ text {Чтобы разделить функции, мы умножаем на обратную.} \\ \ text {} & = \ dfrac {1} {\ cos t} \ dfrac {\ cos t} {\ sin t} & \ text {Разделите косинусы. 2 t = 1 \).2 t & = \ dfrac {25} {169} \\ \ sin t & = ± \ sqrt {\ dfrac {25} {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {\ sqrt {25}} { \ sqrt {169}} \\ \ sin t & = ± \ dfrac {5} {13} \ end {align} \]
Знак синуса зависит от значений y в квадранте, где расположен угол. Поскольку угол находится в квадранте IV, где значения y отрицательны, его синус отрицательный, \ (- \ frac {5} {13} \).
Остальные функции можно вычислить, используя тождества, связывающие их с синусом и косинусом.
\ [\ begin {align} \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {5} {13}} {\ frac {12} {13}} = — \ dfrac {5} {12} \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {12} {13}} = \ dfrac {13} {12 } \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {13}} = — \ dfrac {13} {5} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ frac {5} {12}} = — \ dfrac {12} {5} \ end {align} \]
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \):
Если \ (\ sec (t) = — \ frac {17} {8} \) и \ (0 Решение \ (\ cos t = — \ frac {8} {17}, \ sin t = \ frac {15} {17}, \ tan t = — \ frac {15} {8} \) \ (\ csc t = \ frac {17} {15}, \ cot t = — \ frac {8} {15} \) Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени, известна как периодическая функция . Тригонометрические функции периодические. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или \ (2π \) приведет к одинаковым результатам для этих функций.А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты. Другие функции также могут быть периодическими. Например, продолжительность месяцев повторяется каждые четыре года. Если x x представляет собой отрезок времени, измеряемый в годах, а \ (f (x) \) представляет количество дней в феврале, тогда \ (f (x + 4) = f (x) \). Этот образец повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и 4 года назад. Положительное число 4 — это наименьшее положительное число, которое удовлетворяет этому условию и называется периодом.Период — это самый короткий интервал, в течение которого функция завершает один полный цикл — в этом примере период равен 4 и представляет время, необходимое нам, чтобы убедиться, что в феврале такое же количество дней. СРОК ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ Период \ (P \) повторяющейся функции f f — это число, представляющее интервал, такой что \ (f (x + P) = f (x) \) для любого значения \ (x \). Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен \ (2π \). Период функций касательной и котангенса равен \ (π \). Пример \ (\ PageIndex {8} \): поиск значений тригонометрических функций Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) по рисунку \ (\ PageIndex {9} \) . Решение \ [\ begin {align *} \ sin t & = y = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ cos t & = x = — \ dfrac {1} {2} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {- \ frac {1} {2}} = \ sqrt {3 } \\ \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {- \ frac {1} {2}} = — 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = — \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {\ sqrt {3}} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align *} \] Упражнение \ (\ PageIndex {8} \) Найдите значения шести тригонометрических функций угла \ (t \) на основании рисунка \ (\ PageIndex {10} \) . Решение \ (\ begin {align} \ sin t & = — 1, \ cos t = 0, \ tan t = \ text {Undefined} \\ \\ sec t & = \ text {Undefined}, \ csc t = — 1, \ cot t = 0 \ end {align} \) Пример \ (\ PageIndex {9} \): поиск значения тригонометрических функций Если \ (\ sin (t) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {1} {2} \), найдите \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \ cot (t). \) Решение \ [\ begin {align} \ sec t & = \ dfrac {1} {\ cos t} = \ dfrac {1} {\ frac {1} {2}} = 2 \\ \ csc t & = \ dfrac {1} {\ sin t} = \ dfrac {1} {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} — \ dfrac {2 \ sqrt {3}} {3} \\ \ tan t & = \ dfrac {\ sin t} {\ cos t} = \ dfrac {- \ frac {\ sqrt {3}} {2}} {\ frac {1} {2}} = — \ sqrt {3} \\ \ cot t & = \ dfrac {1} {\ tan t} = \ dfrac {1} {- \ sqrt {3}} = — \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} \ end {align} \] Упражнение \ (\ PageIndex {9} \): Если \ (\ sin (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \) и \ (\ cos (t) = \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \) найти \ (\ sec (t), \ csc (t), \ tan (t), \) и \ (\ cot (t) \). Решение \ (\ sec t = \ sqrt {2}, \ csc t = \ sqrt {2}, \ tan t = 1, \ cot t = 1 \) Тригонометрические тождества — это равенства, в которых у нас были бы тригонометрические функции, и они были бы верны для любого значения встречающихся переменных.Геометрически это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов. Sin θ = противоположная сторона / сторона гипотенузы Cos θ = смежная сторона / сторона гипотенузы Tan θ = противоположная сторона / смежная сторона Csc θ = сторона гипотенузы / противоположная сторона Sec θ = сторона гипотенузы / смежная сторона Детская кроватка θ = Соседняя сторона / Противоположная сторона Sinθ = 1 / Cosecθ Cscθ = 1 / Sinθ Cosθ = 1 / secθ Secθ = 1 / Cosθ Tanθ = 1 / Cotθ Cotθ = 1 / Tanθ Sin²θ + Cos²θ = 1 Sin²θ = 1 — Cos²θ Cos²θ = 1 — Sin²θ Sec²θ — Tan²θ = 1 Sec²θ = 1 + Tan²θ Tan²θ = Sec²θ3 — 1 9000²3 Cotθ3 Cot Csc²θ = 1 + Детская кроватка²θ Детская кроватка²θ = Csc²θ — 1 Sin2A = 2 SinA ⋅ CosA Cos2A = Cos²A — Sin²A Tan2A = 2 ⋅ TanA / (1 — Tan²A) Cos2A = 1-2 ⋅ Sin²A Cos2A = 2 ⋅ Cos²0002 Sin²A — 1 Область и диапазон тригонометрических функций
Тригонометрические идентификаторы
SOHCAHTOA
Взаимные тригонометрические тождества
Другие тригонометрические идентичности
Двойные углы идентификации
Cos2A = (1 — Tan²A) / (1 + Tan²A)
Sin²A = (1 — Cos2A) / 2
Cos²A = (1 + Cos2A) / 2
Идентификаторы с половинным углом
SinA = 2 Sin (A / 2) ⋅ Cos (A / 2)
CosA = Cos² (A / 2) — Sin² (A / 2)
TanA = 2 ⋅ Tan (A / 2) / [1 — Tan² (A / 2)]
CosA = 1-2 ⋅ Sin² (A / 2)
CosA = 2 ⋅ Cos² (A / 2) — 1
SinA = 2 ⋅ Tan (A / 2) / [ 1 + Tan² (A / 2)]
CosA = [1 — Tan² (A / 2)] / [1 + Tan² (A / 2)]
Sin²A / 2 = (1 — Cos A) / 2
Cos²A / 2 = (1 + Cos A) / 2
Tan² (A / 2) = (1 — CosA) / (1 + CosA)
Идентификаторы составных углов
Sin (A + B) = SinA ⋅ CosB + CosA ⋅ SinB
Sin (A + B) = SinA ⋅ CosB + CosA ⋅ SinB
Cos (A + B) = CosA ⋅ CosB — SinA ⋅ SinB
Cos (A — B) = CosA ⋅ CosB + SinA ⋅ SinB
Tan (A + B) = [TanA + TanB] / [1- TanA ⋅ TanB]
Tan (A — B) = [TanA — TanB] / [1 + TanA ⋅ TanB]
Сумма для идентификаторов продуктов
SinC + SinD = 2 Sin [(C + D) / 2] ⋅ cos [(CD) / 2]
SinC — SinD = 2 ⋅ Cos [(C + D) / 2] ⋅ Sin [(CD) / 2]
CosC + CosD = 2 ⋅ Cos [(C + D) / 2] ⋅ Cos [(CD) / 2]
CosC — CosD = 2 ⋅ Sin [(C + D) / 2] ⋅ Sin [(CD) / 2]
Идентификаторы с тройным углом
Sin3A = 3 SinA — 4 ⋅ sin³A
Cos3A = 4 ⋅ Cos³A — 3 ⋅ Cos A
Tan3A = [3 ⋅ TanA — Tan³A] / [1-3 ⋅ Tan²A]
Значения тригонометрических соотношений для стандартных углов
Решение проблем со словами с использованием тригонометрических идентификаторов
Шаг 1:
Понимание вопроса и построение соответствующей диаграммы — две наиболее важные вещи, которые необходимо сделать при решении словесных задач в тригонометрии.
Шаг 2:
Если это возможно, мы должны разделить данную информацию. Потому что, когда мы разбиваем данную информацию на части, мы можем легко их понять.
Шаг 3:
Нам нужно нарисовать диаграмму почти для всех словесных задач в тригонометрии. Диаграмма, которую мы рисуем для данной информации, должна быть правильной. Рисование диаграммы для данной информации даст нам четкое представление о вопросе.
Шаг 4:
Когда мы четко поймем данную информацию и построим правильную диаграмму, решение словесных задач в тригонометрии не будет сложной работой.
Шаг 5:
После построения соответствующей диаграммы на основе предоставленной информации, мы должны дать имя для каждой позиции диаграммы, используя английский алфавит (это ясно показано в приведенном ниже слове «проблема»). Нам было бы легче идентифицировать части диаграммы, дав названия позициям.
Шаг 6:
Теперь мы должны использовать одно из трех тригонометрических соотношений (sin, cos и tan), чтобы найти неизвестную сторону или угол.
После того, как диаграмма нарисована и мы перевели английское утверждение (информацию), данное в вопросе, в виде математического уравнения с правильным использованием тригонометрических соотношений, 90% работы будет завершено. Остальные 10% только получают ответ. Это решение для неизвестного.
Это наиболее часто встречающиеся шаги при решении словесных задач в тригонометрии.
Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.
Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:
Мы всегда ценим ваши отзывы.
Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.
ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Задачи со словами на HCF и LCM
Задачи со словами на простых уравнениях
Задачи со словами на линейных уравнениях
Задачи со словами на квадратных уравнениях
77Проблемы со словами в поездах
Проблемы со словами по площади и периметру
Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям
Проблемы со словами по цене за единицу
Проблемы со словами по скорости работы за единицу
Задачи по сравнению ставок
Преобразование обычных единиц Word задачи
Преобразование метрических единиц Word задачи
Word задачи по простому проценту
Word задачи по сложным процентам
Word задачи по типам ngles
Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах
Проблемы со словами с двойными фактами
Проблемы со словами в тригонометрии
Проблемы со словами в процентах
Word для разметки и убытков
6 задачизадачи с десятичными числами
задачи со словами на дроби
задачи со словами на смешанные фракции
задачи со словами с одношаговым уравнением
задачи с линейным неравенством и соотношением слов
37 90
Задачи со словамиПроблемы со временем и рабочими словами
Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна
Задачи со словами на возрастах
Проблемы со словами из теоремы Пифагора
Процент числового слова проблемы
Проблемы со словами при постоянной скорости
Проблемы со словами при средней скорости
Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов
ДРУГИЕ ТЕМЫ
Сокращения прибыли и убытков
Сокращения в процентах
Сокращения в таблице времен
Сокращения времени, скорости и расстояния
Сокращения соотношения и пропорций
Домен и диапазон
рациональных функций функции с отверстиями
Графики рациональных функций
Графики рациональных функций с отверстиями
Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
Десятичное представление рациональных чисел
видение
Л.Метод CM для решения задач времени и работы
Преобразование задач со словами в алгебраические выражения
Остаток при делении 2 в степени 256 на 17
Остаток при делении в степени 17 на 16
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7
Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8
Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами
Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3
Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6
Введение в 6 функций тригонометрии
Введение в 6 функций тригонометрии — Math Open ReferenceВ основе тригонометрии лежат шесть функций.Вам необходимо полностью понять три основных вопроса:
- Синус (sin)
- Косинус (cos)
- Касательная (загар)
Остальные три используются не так часто и могут быть производными от трех основных функций. Поскольку их легко получить, в калькуляторах и электронных таблицах их обычно нет.
- Секущая (сек)
- Косеканс (csc)
- Котангенс (детская кроватка)
Все шесть функций имеют трехбуквенные сокращения (показаны в скобках выше).
Определения шести функций
Рассмотрим прямоугольный треугольник над. Для каждого угла P или Q есть шесть функций, каждая функция — это соотношение двух сторон треугольника. Единственная разница между шестью функциями заключается в том, какую пару сторон мы используем.
В следующей таблице
- a — длина стороны a , расположенной рядом с рассматриваемым углом (x).
- o — длина стороны o p, положенный угол.
- h — длина ч ypotenuse.
« x » представляет собой меру угла в градусах или радианах.
В следующей таблице обратите внимание, как каждая функция является обратной величиной одной из основных функций sin, cos, tan.
Например, на рисунке выше косинус x — это сторона, смежная с x (помечена a) над гипотенуза (помечено h): Если a = 12 см и h = 24 см, то cos x = 0.5 (12 из 24).
Soh Cah Toa
Эти 9 букв помогают запомнить соотношения трех основных функций — sin, cos и tan. Произносится как «соака-тава». См. Sohcahtoa.Коэффициенты постоянные
Поскольку функции имеют соотношение двух сторон, они всегда дают одинаковый результат для заданного угла, независимо от размера треугольника.
На рисунке выше перетащите точку C. Треугольник изменится так, чтобы угол C оставался равным 30 °.Обратите внимание, как соотношение сторона, противоположная гипотенузе, не меняется, хотя их длина меняется. Из-за этого не меняется и синус 30 °. Всегда 0,5.
Помните: Когда вы применяете функцию триггера к заданному углу, она всегда дает один и тот же результат. Например, тангенс угла 60 ° всегда равен 1,732.
Использование калькулятора
В большинстве калькуляторов есть кнопки для определения sin, cos и tan угла. Обязательно установите калькулятор в режим градусов или радианов в зависимости от того, какие единицы вы используете.Обратные функции
Для каждой из шести функций существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Перед обратной функцией стоят буквы «ARC».Например, функция, обратная COS, — это ARCCOS. В то время как COS сообщает вам косинус угла, ARCCOS сообщает вам, какой угол имеет данный косинус. См. Обратные тригонометрические функции.
В калькуляторах и электронных таблицах обратные функции иногда написано acos (x) или cos -1 (x) .
Тригонометрические функции больших и / или отрицательных углов
Шесть функций также можно определить в прямоугольной система координат. Это позволяет им выходить за рамки прямоугольных треугольников, где углы могут иметь любую меру, даже за 360 °, и может быть как положительным, так и отрицательным. Подробнее об этом см. Тригонометрические функции больших и отрицательных углов.
Identities — замена функции другими
Тригонометрические тождества — это просто способы написания одной функции с использованием других.Например, из таблицы выше мы видим, что Эта эквивалентность называется тождеством. Если бы у нас было уравнение с сек x , мы могли бы заменить сек x сна единицу больше cos x , если это помогает нам достичь наших целей. Таких отождествлений много. Для получения дополнительной информации см. Тригонометрические тождества.
Не только прямоугольные треугольники
Эти функции определены с помощью прямоугольного треугольника, но их можно использовать и в других треугольниках.Например, Закон синуса и Закон косинусов можно использовать для решить любой треугольник, а не только прямоугольные.Графики функций
Функции можно изобразить в виде графиков, а некоторые, в частности функция SIN, создают формы, которые часто встречаются в природе. Например, см. Выше график функции SIN, часто называемой синусоидой. Подробнее см.
Чистые звуковые тона и радиоволны являются синусоидальными волнами в соответствующей среде.
Производные триггерных функций
Каждую из функций можно дифференцировать в исчислении.Результатом является другая функция, которая указывает скорость ее изменения (наклон) при определенных значениях x . Эти производные функции выражаются в терминах других триггерных функций. Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.
Другие темы по тригонометрии
Уголки
Тригонометрические функции
Решение задач тригонометрии
Исчисление
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.