Контрольная работа на тему первообразная: Контрольная работа по алгебре 11 класса по теме «Первообразная и интеграл»

Контрольная работа по Алгебре «Первообразная функции и интеграл»

ГБПОУ Строгановский колледж

Контрольная работа по алгебре и началам математического анализа

Тема «Первообразная функции и интеграл»

2 курс системы НПО и 1 курс СПО

на базе основного образования

Разработано преподавателем математики

Пешковой Ольгой Алексеевной

Контрольная работа по теме «Первообразная функции и интеграл. Применение интеграла» ориентирована на учебник Ш.А.Алимова и др. «Алгебра и начала анализа» 1 и 2 курса колледжей по профессиям технического и естественно-математического профилей.

Контрольная работа предназначена для самостоятельной внеаудиторной работы.

Контрольная работа включает в себя 10 вариантов заданий одинакового уровня сложности. Вариант определяется последними цифрами номера зачетной книжки студента /или порядкового номера в журнале теоритических занятий/.

Работа выполняется студентом в отдельной тетради с соответствующим оформлением титульного листа. На титульном листе указывается дисциплина, название контрольной работы, номер варианта, фамилия, имя и отчество студента, группа.

Оформление работы должно соответствовать «Единым требованиям оформления письменных работ по математике».

Правильное выполнение каждого задания оценивается 1 баллом. Максимально возможное количество баллов за контрольную работу – 12. Для того чтобы работа была зачтена, необходимо выполнить все задания и набрать не менее 8 баллов.

Задание 1.

Найти первообразные следующих функций

1 вариант

а) у = 1 б) в) у =3sin x г) д) е) y = sin 2x + 2cos 3x

2 вариант

1. б) в) г) д) е)

3 вариант

а) б) в) г) д) е)

4 вариант

а) б) в) г) д) е)

5 вариант

а) б) в) г) д) е)

6 вариант

а) б) в) г) д) е)

7 вариант

а) б) в) г) д) е)

8 вариант

а) б) в) г) д) е)

9 вариант

а) б) в) г) д) е)

10 вариант

а) б) в) г) д) е)

Задание 2 Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

1 вариант

а) x = -1 x = 2 y = 0 y = x² – 1

б) y = 0 y = 1 – x²

2 вариант

1. x = 0 x = 3 y = 0 y = — x² + 1

2. y = x — 2

3 вариант

a) x = 1 x = 2 y = 0 y = x² + 1

b)

4 вариант

x = -1 x = 1 y = 0 y = x² — 2

5 вариант

x = 1 x = 4 y = 0 y = x — 1

6 вариант

x = 1 x = 4 y = 0 y =

7 вариант

x = 0 x = 2 y = 0 y = x³

8 вариант

x = 1 x = 2 y = 0 y = 2x²

9 вариант

x = -1 x = 2 y = 0 y =

10 вариант

x = 1 x = 2 y = 0 y = 2

x

Задание 3 Вычислить определенный интеграл

1 вариант

а) б) в) г)

2 вариант

а) б) в) г)

3 вариант

а) б) в) г)

4 вариант

а) б) в) г)

5 вариант

а) б) в) г)

6 вариант

а) б) в) г)

7 вариант

а) б) в) г)

8 вариант

а) б) в) г)

9 вариант

а) б) в) г)

10 вариант

а) б) в) г)

Задание 4 Найти общее решение дифференциального уравнения

1 вариант а) ’=x² б) y’= y

2 вариант а) y’= б) y’= 2y

3 вариант а) y’= sin x б) y’=

4 вариант а) y’ = б) y’ = y²

5 вариант а) y’ = 2x + 1 б) y’ = -5y

6 вариант а) y’ = x² + x б) y’ = = y

7 вариант а) y’ = sin x б) y’ = 5y

8 вариант а) y’ = 2 cos x б) y’ = 6y

9 вариант а) y’ = 5x⁴ б) y’ =

10 вариант а) y’ = -6x б) y’ = — y

Задание 5 Найти частное решение дифференциального уравнения

1 вариант а) y’ = x² y(2 ) = 1

2 вариант а) y’ = y(e ) = 1

3 вариант а) y’ = e^—x y(0) = -2

4 вариант а) y’ = 2cos x y() = 3

5 вариант а) y’ = 3x + 2 y(1) = 4

6 вариант а) y’ = x³ y(1) = 3

7 вариант а) y’ = y(-1) = 2

8 вариант а) y’ = x + 2x² y(1) = 1

9 вариант а) y’ = x³ + 1 y(-1) = 2

10 вариант а) y’ = 2 – 3x y(1) = 6

Задание 6 Вычислить значения скорости V(t) м/с и перемещения S(t) м материальной точки за время t c, если ускорение

1 вариант a(t) = 3t + 2 t = 3 c

2 вариант a(t) = — 3t + t² t = 1 c

3 вариант a(t) = t = 2 c

4 вариант a(t) = -2t³ + 4 t = 2 c

5 вариант a(t) = 2t² – 3 t = 1 c

6 вариант a(t) = -6 + t³ t = 4 c

7 вариант a(t) = t = 5 c

8 вариант a(t) = 3x⁵+2 t = 1 c

9 вариант a(t) = -2x³ – 4 t = 4 c

10 вариант a(t) = 3 + 4t³ t = 2 c

Задание 7 Вычислить объем тела, полученного вращением графика функции y = f (x) вокруг оси Ох

1 вариант f(x) = x³ + 2 a = 0 b = 2

2 вариант f(x) = — x² + 1 a = 1 b = 2

3 вариант f(x) = 2 – 2x³ a = — 1 b = 0

4 вариант f (x) = a = 1 b = 4

5 вариант f(x) = x² + 1 a = 1 b = 3

6 вариант f(x) = a = 2 b = 3

7 вариант f(x) = a = 1 b = 4

8 вариант f(x) = cos x a = b =

9 вариант f(x) = sin x a = 0 b =

10 вариант f(x) = x + 1 a = 2 b = 4

Задание 8 Найти неопределённые интегралы

1 вариант

а) б) в) г)

2 вариант

а) б) в) г)

3 вариант

а) б) в) г)

4 вариант

а) б) в) г)

5 вариант

а) б) в) г)

6 вариант

а) б) в) г)

7 вариант

а) б) в) г)

8 вариант

а) б) в) г)

9 вариант

а) б) в) г)

10 вариант

а) б) в) г)

Контрольная работа № 2 по теме «первообразная» вариант 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 1.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = х + 2; б) f (х) = х

³ – 2х + 1; в) f (х) = х² + соs х; г) f (х) = ; д) у = .

2. Найдите ту первообразную функции, график которой проходит через начало координат

f (х) = 2х² — 3х + 1.

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х² — х . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума.

4. (дополнительно) Является ли функция

   F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = 2 sin²х cos²х, f (х) = sin 4х; б) F(х) = (х + 2)⁴, f (х)= 4х³ + 24х² + 48х + 32.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 2.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = 3х — 1; б) f (х) = х⁴ – 3х² + 7; в) f (х) = х⁵ + sin х; г) f (х) = ; д) у = .

2. Найдите ту первообразную функции f (х) = 1 – 4х, график которой проходит через точку М (-1; 9)

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = х²+3х. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума

4. (дополнительно) Является ли функция F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = , f (х) = ; б) F(х) =, f (х)= .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 3.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = 3х² – х + 8; б) f (х) = 4х³ + 6х³ + ; в) f (х) = + ; г) f (х) = ; д) у =

2. Найдите ту первообразную функции f (х) = 2х + 4 график которой проходит через точку М (-1; 1)

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = 4х³ -16 . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума

4. (дополнительно) Является ли функция F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = , f (х) = ; б) F(х) =, f (х)= .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 4.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = -2х⁴ – 3х³ -2; б) f (х) = + 6х⁶ + ; в) f (х) = + ; г) f (х) = ; д) у =

2. Найдите ту первообразную функции f (х) = -х +1, график которой проходит через точку М (-2; -3).

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = 256 – 4х³ . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума

4. (дополнительно) Является ли функция F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = 2 — sin²х + cos²х, f (х) = -2sin 2х; б) F(х) = (х — 1)⁴, f (х)= 4х³ — 12х² + 12х — 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 4.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = -2х⁴ – 3х³ -2; б) f (х) = + 6х⁶ + ; в) f (х) = + ; г) f (х) = ; д) у =

2. Найдите ту первообразную функции f (х) = -х +1, график которой проходит через точку М (-2; -3).

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = 256 – 4х³ . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума

4. (дополнительно) Является ли функция F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = 2 — sin²х + cos²х, f (х) = -2sin 2х; б) F(х) = (х — 1)⁴, f (х)= 4х³ — 12х² + 12х — 1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 по теме «Первообразная»

ВАРИАНТ 4.

1. Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):

а) f (х) = -2х⁴ – 3х³ -2; б) f (х) = + 6х⁶ + ; в) f (х) = + ; г) f (х) = ; д) у =

2. Найдите ту первообразную функции f (х) = -х +1, график которой проходит через точку М (-2; -3).

3. Пусть F(х) – первообразная функции f (х) = 256 – 4х³ . Найдите промежутки монотонности и точки экстремума

4. (дополнительно) Является ли функция F(х) первообразной для функции f (х)

а) F(х) = 2 — sin²х + cos²х, f (х) = -2sin 2х; б) F(х) = (х — 1)⁴, f (х)= 4х³ — 12х² + 12х — 1.

А– 11 К — 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

по теме «Первообразная».

(Колмогоров)

Контрольная работа по теме «Первообразная «

Домашняя контрольная работа

Тема: «Первообразная»

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R

а) F(x) = x⁴ – 3, f(x) = 4x³

б) F(x) = 5x – cosx, f(x) = 5 + sinx

в) ,

1. Найдите общий вид первообразной для функции:

а) f(x) =

б) f(x) = x²(1 – x).

в) f(x) = 4 sinx cosx

1. Для функции f(x) = найдите первообразную график которой проходит через точку М ().

Контрольная работа №1 по теме «Первообразная»

Вариант 1

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R

а)

б)

1. Для функции f(x) =

а) найдите общий вид первообразных;

б)найдите первообразную график которой проходит через точку А.

1. Найдите общий вид первообразных для функций:

а)

б)

1. Для функции

а) найдите общий вид первообразных;

б)найдите первообразную график которой проходит через точку А.

———————————————————————————————————————

Вариант 2

1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R

а)

б)

2. Для функции f(x) =

а) найдите общий вид первообразных;

б) найдите первообразную график которой проходит через точку А.

3. Найдите общий вид первообразных для функций:

а)

б)

4. Для функции

а) найдите общий вид первообразных;

б)найдите первообразную график которой проходит через точку А.

Контрольная работа на тему Первообразная и интеграл

Технологическая карта

Группа	Дата

 

План занятия №_____ по дисциплине Алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Тема занятия: Контрольная работа №13 «Первообразная и интеграл».

Тип занятия: урок контроля знаний.

Методы урока: метод письменного контроля.

Основные понятия: производная, первообразная, интеграл.

Используемые формы организации познавательной деятельности обучающихся: фронтальное, индивидуальное

Цель занятия: Проверить знания учащихся, используя разноуровневые задания.

Задачи:

Образовательная: проверить уровень овладения учащимися изученного

материала по данной теме, способствовать реализации полученных знаний

при выполнении заданий различного уровня сложности

Воспитательная:  формировать у учащихся таких черт личности,

как чувство ответственности и самоутверждения.

Развивающая: способствовать развитию мыслительной деятельности

 

  Прогнозируемый результат (формируемые компетентности):

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения,

определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и

коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

 

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2.Пояснение работы

3.Выполнение.

4. Подведение итогов.

5. Домашнее задание: повторение

деятельности.

 

 

 

 

Этап урока (мин)	Дидактическая структура урока	Деятельность учителя	Действия учащихся	Результат взаимодействия (сотрудничества)
3 мин.	Организационный момент	Приветствие. Отметить отсутствующих. Объявляет тему, этапы, цели и задачи урока:	Внимательно слушают Отвечают на вопросы	Настрой на работу на уроке, на сотрудничество
12 мин	Пояснение работы	Пояснение заданий контрольной работы	Внимательно слушают	Слушают преподавателя, задают вопросы
60 мин.	Выполнение работы	Раздается раздаточный материал контрольной работы по вариантам	Приступают к выполнению контрольной работы	Работа с раздаточным материалом Контрольной работы.
3 мин.	Подведение итогов	Подводит итог урока, сбор тетрадей. Благодарит учащихся за хорошую работу на уроке.	Внимательно слушают. Сдают тетради.	Подготовка к дальнейшему изучению материала по курсу алгебра и начала математического анализа, геометрия.
2 мин.	Домашнее задание		Записывают в тетради	Повторение деятельности

 

Контрольная работа № 1 «Первообразные»

Контрольная работа № 1 «Первообразные»

Вариант 1

1. Докажите, что функция F(x) = x² + sin x – 7 является первообразной для функции f(x) = 2x + cos x

2. Для функции f(x) = 2 (x-1,5):

а) найдите общий вид первообразных;

б) напишите первообразную, график которой проходит через точку А (1;2).

1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = (3x – 2)³ – 2 cos(5x – )

2. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой V(t) = t² – 3t + 2. Напишите формулы зависимости ее ускорения а и координаты х от времени t, если в начальный момент времени (t=0) координата х = – 5.

3. Найдите первообразную функции y = 2 sin 5x – 3 cos , которая при х = принимает значение равное 0.

Вариант 2

1. Докажите, что функция F(x) = x³ – cos x + 7 является первообразной для функции f(x) = 3x² + sin x

2. Для функции f(x) = 2 (1 – x):

а) найдите общий вид первообразных;

б) напишите первообразную, график которой проходит через точку А (2;3).

1. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = (5x – 3)² + 3 sin(2x – )

2. Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой V(t) = — t² + 4t + 3. Напишите формулы зависимости ее ускорения а и координаты х от времени t, если в начальный момент времени (t=0) координата х = – 2 .

3. Найдите первообразную функции y = 3 cos 4x – 2 sin , которая при х = принимает значение равное 0.

«Производная. Первообразная и интеграл», ФГОС

Контрольная работа по теме:

«Производная. Первообразная и интеграл»

Раздел. Начала математического анализа.
Тема. Производная. Первообразная и интеграл	Знание свойств производной и умение находить производную функции	2	К.р.№5(1,2,3)
	Умение находить угловой коэффициент касательной к графику функции. Знание формулы углового коэффициента касательной к графику функции	2	К.р.№5(3)
	Умение находить критические точки	2	К.р.№5(1,2)
	Умение находить промежутки монотонности	2	К.р.№5(2)
	Знание алгоритма нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Умение его применить	2	К.р.№5(2)
	Умение находить все первообразные функции. Знание свойств первообразной функции	2	К.р.№5(4,5)
	Умение находить абсциссу точки графика функции. Знание формулы углового коэффициента касательной к графику функции	2	К.р.№5(3)
	Умение находить площадь фигуры через производную. Знание формулы Ньютона-Лейбница	2	К.р.№5(4)

 

Контрольная работа по теме:

«Производная. Первообразная и интеграл»

Вариант № 1

Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2×3-9×2-60x+127.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=2×3-3×2-12x+24 на отрезке [-2;1].

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2×2-5x+1, в точке графика с абсциссой x0=2.

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x2+3x и прямыми x=0, x=1.

Первообразная функции f(x)=3×2+2x при x=1 принимает значение 81. Найдите ее значение при x=-1.

Контрольная работа по теме:

«Производная. Первообразная и интеграл»

Вариант № 2

Найдите критические (стационарные) точки функции f(x)=2×3+3×2-72x-213.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-9×2+24x-15 на отрезке [1;3].

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=3×2-4x-2, в точке графика с абсциссой x0=-1.

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=2×2+x и прямыми x=0, x=1.

Первообразная функции f(x)=4×3+2x при x=1 принимает значение 25. Найдите ее значение при x=2.

 

Эталоны ответов

Вариант № 1

f(x)=2×3-9×2-60x+127

Решение:

f’(x)=6×2-18x-60

f’(x)=0 => 6×2-18x-60=0

x2-3x-10=0

По теореме, обратной теореме Виета:

x1+x2=3

x1*x2=-10

x1=-2, x2=5

Ответ: x1=-2, x2=5

y=2×3-3×2-12x+24, [-2;1]

Решение:

y’=6×2-6x-12

y’=0 => 6×2-6x-12=0

x2-x-2=0

По теореме, обратной теореме Виета:

x1+x2=1

x1*x2=-2

x1=-1, x2=2

Отрезку [-2;1] принадлежит только точка x1=-1.

y(-2)=-16-12+24+24=20

y(-1)=-2-3+12+24=31

y(1)=2-3-12+24=11

Ответ: yнаиб=31 при x=-1, yнаим=11 при x=1

f(x)=2×2-5x+1, в точке графика с абсциссой x0=2

Решение:

f’(x)=4x-5

f(2)=8-10+1=-1, f’(2)=8-5=3

y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)

y=-1+3(x-2)

y=3x-7

Ответ: y=3x-7

f(x)=x2+3x, x=0, x=1

Решение:

Ответ:

f(x)=3×2+2x, F(1)=81. F(-1)=?

Решение:

F(x)=x3+x2+C

F(1)=1+1+C, F(1)=81 => C=79

F(-1)=-1+1+79=79

Ответ: F(-1)=79

Вариант № 2

f(x)=2×3+3×2-72x-213

Решение:

f’(x)=6×2+6x-72

f’(x)=0 => 6×2+6x-72=0

x2+x-12=0

По теореме, обратной теореме Виета:

x1+x2=-1

x1*x2=-12

x1=-4, x2=3

Ответ: x1=-4, x2=3

y=x3-9×2+24x-15, [1;3]

Решение:

y’=3×2-18x+24

y’=0 => 3×2-18x+24=0

x2-6x+8=0

По теореме, обратной теореме Виета:

x1+x2=6

x1*x2=8

x1=2, x2=4

Отрезку [1;3] принадлежит точка x1=2.

y(1)=1-9+24-15=1

y(2)=8-36+48-15=5

y(3)=27-81+72-15=3

Ответ: yнаиб=5 при x=2, yнаим=1 при x=1

f(x)=3×2-4x-2, в точке графика с абсциссой x0=-1

Решение:

f’(x)=6x-4

f(-1)=3+4-2=5, f’(-1)=-6-4=-10

y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)

y=5-10(x+1)

y=-10x-5

Ответ: y=-10x-5

f(x)=2×2+x, x=0, x=1

Решение:

Ответ:

f(x)=4×3+2x, F(1)=25. F(2)=?

Решение:

F(x)=x4+x2+C

F(1)=1+1+C, F(1)=25 => C=23

F(2)=16+4+25=45

Ответ: F(2)=45

Контрольная работа по теме: Первообразная и интеграл. 11класс.

1 Вариант.

A₁ Определите функцию, для которой F(x) = x² – sin2x – 1 является первообразной:

1) f(x) = ; 2) f(x) = 2x – 2cos2x; 3) f(x) = 2x +cos2x; 4) f(x) = cos2x + x.

A₂ Найдите первообразную для функции. F (x) = 4х³ + cos x

1) F(x) = 12x² – sinx + c; 2) F(x) = 4x³ + sinx + c; 3) F(x) = x⁴ – sinx + c; 4) F(x) = x⁴ + sinx + c.

A₃ Для функции f(x) = х² найдите первообразную F, принимающую заданное значение в заданной точке F (- 1) = 2

1) F(x) = ; 2) F(x) = 2x + ; 3) F(x) = – ; 4) F(x) = .

A₄ Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t². Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м /сек. 1) 18 м; 2) 12м; 3) 17м; 4) 20 м.

А₅ Вычислите 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 3.

А₆ Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = – х² + 3 и у = 0

1) 4; 2) 6; 3) 9; 4) 8.

А₇ Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = х

1) 2; 2) 1; 3) 2; 4) 1.

А₈ Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 – х², касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = — 1 и прямой х = 0

1) 1; 2) 2; 3) ; 4) 1.

В₁ Вычислите

В₂Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 1)(х + 2) и её первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.

С₁ Найдите ту первообразную функции f(x) = 3х – 1 , для которой уравнение F(x) = 5 имеет единственный корень.

Контрольная работа по теме: Первообразная и интеграл. 11класс.

2 Вариант.

А₁ Определите функцию, для которой F(x) = – cos — x³ + 4 является первообразной:

1) f(x) = — sin — 3x²; 2) f(x) = sin — 3x²; 3) f(x) = — sin — 3x²; 4) f(x) = 2sin — 3x² .

A₂ Найдите первообразную для функции f(x) = x² – sinx

1) F(x) =- cos x + c; 2) F(x) = 2x – cosx + c; 3) F(x) = + cosx + c; 4) F(x) = + sinx + c.

A₃ Для функции f(x) = 2x — 2 найдите первообразную F, график которой проходит через точку А(2;1)

1) F(x) = — х² – 2х – 1; 2) F(x) = х² + 2х + 2; 3) F(x) = 2х² – 2; 4) F(x) = х² – 2х + 1.

А₄ Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) =3 + 0,2 t. Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 сек., если скорость измеряется в м /сек

1) 22, 8 м; 2) 29 м; 3) 23 м; 4) 13 м.

А₅ Вычислите 1) ; 2) 3 — 3; 3) 0; 4) 3 — 3 .

А₆ Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х², у = 0, х = 2

1) 5; 2) 2; 3) 5; 4) 2.

А₇ Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 – х² , у = 1

1) 16; 2) 5; 3) 11 ; 4) 10 .

А₈ Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = – х² + 3, касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0.

1) 2; 2) ; 3) 2; 4) .

В₁ Вычислите

В₂ Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 3)(х + 2) и её первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.

С₁ Найдите ту первообразную функции f(x) = 2х + 5 , для графика которой прямая у = 7х – 3 является касательной.

Calculus II — интегральный тест

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-6: Интегральный тест

Последней темой, которую мы обсуждали в предыдущем разделе, были гармонические ряды. В этом обсуждении мы заявили, что гармонический ряд является расходящимся рядом.{{\, \ infty}} {{\ frac {1} {x} \, dx}} = \ infty \]

, и поэтому мы назвали это интегральное расхождение (да, это тот же термин, который мы здесь используем для рядов…).

Итак, как это помогает нам доказать, что гармонический ряд расходится? Что ж, вспомните, что мы всегда можем оценить площадь, разбив интервал на сегменты, а затем нарисовав прямоугольники и используя сумму площадей всех прямоугольников в качестве оценки фактической площади. 2}}}} \]

Поскольку все члены положительны, мы знаем, что частичные суммы должны быть возрастающей последовательностью.2}}}}

, поэтому последовательность частичных сумм является ограниченной последовательностью.

Во втором разделе, посвященном последовательностям, мы привели теорему, которая утверждает, что ограниченная и монотонная последовательность гарантированно сходится. Это означает, что последовательность частичных сумм является сходящейся последовательностью. Итак, кого это волнует? Напомним, это означает, что ряды также должны быть сходящимися!

Итак, мы снова смогли связать ряд с несобственным интегралом (который мы могли вычислить), и ряд и интеграл имели одинаковую сходимость.

Мы проделали изрядную работу в обоих этих примерах, чтобы определить сходимость двух рядов. К счастью для нас, нам не нужно делать всю эту работу каждый раз. Идеи этих двух примеров можно обобщить в следующем тесте.

Интегральный тест

Предположим, что \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывная положительная убывающая функция на интервале \ (\ left [{k, \ infty} \ right) \) и что \ (f \ left ( n \ right) = {a_n} \) тогда

1. Если \ (\ displaystyle \ int _ {\, k}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) сходится, то и \ (\ displaystyle \ sum \ limits _ {\, n = k} ^ \ infty {{a_n}} \).\ infty {{a_n}} \).

Формальное доказательство этого теста можно найти в конце этого раздела.

Об интегральном тесте следует отметить несколько моментов. Во-первых, нижний предел неправильного интеграла должен быть тем же значением, с которого начинается ряд.

Во-вторых, функция не обязательно должна быть убывающей и положительной везде в интервале. Все, что действительно требуется, — это, чтобы в конечном итоге функция стала положительной и убывающей.\ infty {{a_n}} \]

Итак, первая серия — это не что иное, как конечная сумма (независимо от того, насколько велика \ (N \)) конечных членов, и поэтому она будет конечной. Таким образом, исходный ряд будет сходящимся / расходящимся только в том случае, если второй бесконечный ряд справа сходится / расходится, и проверка может быть выполнена на втором ряду, поскольку он удовлетворяет условиям проверки.

Аналогичное рассуждение можно сделать и с использованием несобственного интеграла.

Требование теста, чтобы функция / серия была убывающей и положительной во всем диапазоне, требуется для доказательства.Однако на практике нам нужно только убедиться, что функция / ряд в конечном итоге является убывающей и положительной функцией / рядом. Также обратите внимание, что при вычислении интеграла в тесте нам фактически не нужно вырезать увеличивающуюся / отрицательную часть, поскольку наличие небольшого диапазона, в котором функция увеличивается / отрицательно, не изменит интеграл с сходящегося на расходящийся или с расходящиеся к сходящимся.

Есть еще один очень важный момент, который необходимо сделать в связи с этим тестом.2}}}}

Итак, мы получили верхнюю границу значения ряда, но не фактическое значение ряда. Фактически, с этого момента мы не будем спрашивать значение ряда, мы будем только спрашивать, сходится ли ряд или расходится. В следующем разделе мы рассмотрим оценку значений ряда, но даже в этом разделе мы не сможем получить значения ряда. {{\, t}} {{\ frac {1} {{x \ ln x}} \, dx}} \ hspace {0.2}} \ справа) \]

Эта функция имеет две критические точки (которые сообщают нам, где производная меняет знак) в \ (x = \ pm \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \). Поскольку мы начинаем с \ (n = 0 \), мы можем игнорировать отрицательную критическую точку. Выбрав пару контрольных точек, мы видим, что функция возрастает на интервале \ (\ left [{0, \ frac {1} {{\ sqrt 2}}} \ right] \) и убывает на \ ( \ left [{\ frac {1} {{\ sqrt 2}}, \ infty} \ right) \). Следовательно, в конечном итоге функция будет уменьшаться, и это все, что нам нужно для использования интегрального теста.\ infty {\ frac {1} {{\ sqrt n}}} \) Показать решение

Для этого ряда \ (p = \ frac {1} {2} \ le 1 \) и поэтому ряд расходится по факту.

Последнее, что мы сделаем в этом разделе, — это быстрое доказательство выполнения интегрального теста. По сути, мы провели доказательство уже в начале раздела, когда вводили интегральный тест, но давайте рассмотрим его формально для общей функции. \ infty {{a_n}} \).Первоначальный тестовый оператор был для серии, которая начиналась с общего \ (n = k \), и хотя доказательство может быть выполнено для этого, будет проще, если мы предположим, что серия начинается с \ (n = 1 \).

Другой способ справиться с \ (n = k \) — мы можем выполнить сдвиг индекса и начать серию с \ (n = 1 \), а затем выполнить интегральный тест. В любом случае будет достаточно доказательства теста для \ (n = 1 \).

Также обратите внимание, что хотя мы позволили первым нескольким членам ряда увеличиваться и / или быть отрицательными в рабочих задачах, это доказательство действительно требует, чтобы все члены были убывающими и положительными.

Давайте начнем и оценим площадь под кривой на интервале \ (\ left [{1, n} \ right] \), и мы недооценим площадь, взяв прямоугольники шириной один, высота которых является правой конечной точкой. Это дает следующий рисунок.

Теперь обратите внимание, что,

\ [f \ left (2 \ right) = {a_2} \ hspace {0,5 дюйма} f \ left (3 \ right) = {a_3} \ hspace {0,5 дюйма} \ cdots \ hspace {0,5 дюйма} f \ left (n \ right) = {a_n} \]

Приблизительная площадь

\ [A \ приблизительно \ left (1 \ right) f \ left (2 \ right) + \ left (1 \ right) f \ left (3 \ right) + \ cdots + \ left (1 \ right) f \ left (n \ right) = {a_2} + {a_3} + \ cdots {a_n} \]

, и мы знаем, что это занижает фактическую площадь, поэтому

\ [\ sum \ limits_ {i = 2} ^ n {{a_i}} = {a_2} + {a_3} + \ cdots {a_n} <\ int _ {{\, 1}} ^ {{\, n} } {{е \ влево (х \ вправо) \, dx}} \]

Теперь предположим, что \ (\ int _ {{\, 1}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) сходится, и поэтому \ ( \ int _ {{\, 1}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) должно иметь конечное значение. {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) расходится.\ infty {{a_n}} \) расходящийся ряд.

Перед тем, как покинуть этот раздел, важно отметить, что для использования интегрального теста члены ряда ДОЛЖНЫ в конечном итоге быть убывающими и положительными. В противном случае тест не работает. Также помните, что тест определяет только сходимость ряда и НЕ дает значения ряда.

Экзамен по базовым навыкам

Calculus II | Математика

Экзамен по основам математического анализа II гарантирует, что студенты, поступающие в классы математического анализа II факультета математики Университета Западного Мичигана, смогут выполнить базовые задачи дифференциации и простые задачи антидифференцирования.Этот тест предназначен для того, чтобы показать вам и вашим инструкторам, подходят ли ваши базовые навыки для решения этих задач для Calculus II.

Информация об испытаниях

• Навыки, проверяемые на этом экзамене, представляют собой небольшую часть навыков, которые вы должны были изучить в Исчислении I. Быстрая сдача этого теста очень важна, поскольку, если вы не сдадите этот тест быстро, это помешает остальной части класса. . Ожидается, что почти все студенты, сдавшие Calculus I, пройдут этот тест ко второй повторной сдаче, в лучшем случае с умеренным объемом изучения.Некоторые студенты Calculus II могут сдать этот экзамен без какого-либо обучения, но все студенты должны ознакомиться с темами перед сдачей экзамена.
• Материал по экзамену разделен на две части:
• Дифференциация: Экзамен включает в себя 10 задач дифференцирования, которые требуют от вас знания производных тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций, а также того, как применять постоянные правила кратного, суммы, степени, произведения, частного и цепочки.
• Антидифференциация: Экзамен включает в себя две первообразные задачи, которые включают поиск первообразных тригонометрических, экспоненциальных и полиномиальных функций и первообразной 1 / x. (Запомните постоянную интегрирования.)
• Экзамены произвольно генерируются компьютерной программой из набора типов задач со случайными константами.
• Первая попытка будет проведена в классе до даты окончания обучения каждым инструктором Calculus II. Вы можете пересдать экзамен два раза после первоначального тестирования в классе. Через две недели после даты сдачи экзамена можно будет пересдать экзамен. На осень 2019 г.3.
• Каждая проблема будет оценена как правильная или неправильная. Любая ошибка означает, что ответ на проблему неверен. Для сдачи экзамена студентам необходимо правильно решить девять задач из 12.
• Если вы не сдадите этот экзамен по базовым навыкам, ваша итоговая оценка будет понижена на полбуквенной оценки в конце курса.
• У вас будет 40 минут на сдачу этого экзамена.
• Единственное, что вам разрешено использовать при сдаче этого экзамена, — это карандаш и ластик.

Практические экзамены

Практические экзамены доступны тремя разными способами.

• Распечатайте и попробуйте практические экзамены:
• Вы можете пройти онлайн-тест как в университетском городке, так и за его пределами. Вам нужно будет создать учетную запись в MapleTA и войти в нее. Выберите ссылку Calc II Skills Practice, чтобы попрактиковаться в экзамене. Чтобы попрактиковаться в онлайн-версии этого экзамена, вам потребуется ввести свои ответы в синтаксисе калькулятора. Вы можете проверить свои ответы в любое время, используя «Как у меня дела?» ссылку на странице с каждым вопросом.2 для cos (x) в квадрате.
• Распечатайте случайно сгенерированную копию экзамена, перейдя по одной из ссылок в Интернете и выбрав значок принтера, чтобы распечатать экзамен. Чтобы сдать новый экзамен, вы должны поставить оценку за распечатанный экзамен.

Повторная сдача теста на квалификацию

Пересдача тестов по навыкам проводится во вторую и третью недели семестра. Тестирование по математике 1230/1710 ученикам будет доступно только на даты и время в расписании тестирования. Регулярно проверяйте обновления расписания.

• Все пересдачи экзаменов по навыкам будут иметь тот же формат, что и каждый исходный аудиторный экзамен, с 12 задачами, состоящими из 10 производных и двух интегралов. Повторные съемки генерируются с помощью MapleTA.
• Для допуска к экзамену у вас должен быть собственный карандаш (и ластик) и удостоверение личности с фотографией. Студенты без удостоверений личности к экзамену не допускаются.
• Вы не можете использовать какие-либо вспомогательные средства во время экзамена. Разрешены только карандаши и ластики.
• Разрешены только две пересдачи.
• Дайте достаточно времени, чтобы закончить экзамен, прежде чем центр тестирования закроется.
• Вы можете не получить сдачу экзамена в течение нескольких дней.
• Вы не можете выходить из комнаты во время прохождения теста. Перед обследованием сходите в туалет.

Первообразные / неопределенные интегралы

Первообразные / неопределенные интегралы

Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если F ′ ( x ) = f ( x ) для всех . x в домене f .Обратите внимание, что функция F не уникальна и что для данной функции может существовать бесконечное количество первообразных. Например, F ( x ) = x ³ , G ( x ) = x ³ + 5 и H ( x ) = x ³ -2 — все первообразные f ( x ) = 3 x ² , потому что F ′ ( x ) = G ′ ( x ) = H ′ ( x ) = f ( x ) для всех x в области f .Ясно, что эти функции F, G и H отличаются только некоторым постоянным значением и что производная этого постоянного значения всегда равна нулю. Другими словами, если F ( x ) и G ( x ) являются первообразными f ( x ) на некотором интервале, то F ′ ( x ) = G ′ ( x ) и F ( x ) = G ( x ) + C для некоторой постоянной C в интервале.Геометрически это означает, что графики F ( x ) и G ( x ) идентичны, за исключением их вертикального положения.

Обозначение, используемое для представления всех первообразных функции f ( x ) — это символ неопределенного интеграла , записанный, где. Функция f ( x ) называется подынтегральным выражением, а C обозначается как константа интегрирования. Выражение F ( x ) + C называется неопределенным интегралом F относительно независимой переменной x .Используя предыдущий пример F ( x ) = x ³ и f ( x ) = 3 x ² , вы обнаружите, что.

Неопределенный интеграл функции иногда также называют общей первообразной функции.

Пример 1: Найдите неопределенный интеграл от f ( x ) = cos x .

Пример 2: Найдите общую первообразную f ( x ) = –8.

• Поскольку производная F ( x ) = −8 x составляет F ′ ( x ) = −8, запишите

Первообразные, следующие непосредственно из производных базовых функций

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Интегральный тест

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) будет функцией, которая является непрерывной, положительной и убывающей для всех \ (x \) в диапазоне \ (\ left [{1, + \ infty} \ right) .{p — 1}}}} — 1} \ right)} = {\ frac {1} {{p — 1}}.} \]

Следовательно, \ (p \) — ряд сходится при \ (p \ gt 1. \)

Знакомство с первообразными | StudyPug

Антипроизводное tanx

Первообразная tanx, возможно, является самым известным тригонометрическим интегралом, с которым у всех возникают проблемы. Это потому, что вам нужно использовать замену u.

Что является первообразной танх

Давайте посмотрим на функцию, которую мы хотим интегрировать.

Уравнение 1: первообразное tanx pt.1

Вы можете спросить себя, как я могу использовать замену u? Во-первых, обратите внимание, что tanx может быть изменен на sinx over cosx. Другими словами,

Уравнение 1: первообразное tanx pt. 2

Теперь мы можем использовать замену u.

Пусть u = cosx. Тогда мы можем сказать, что du = -sinx. Обратите внимание, что умножение обеих сторон на отрицательное дает -du = sinx. Таким образом, замена даст нам следующее:

Уравнение 1: первообразное tanx pt. 3

Теперь мы можем вынести отрицательный знак из интеграла, что даст нам:

Уравнение 1: первообразное tanx pt.4

Теперь возникает вопрос, как мне взять первообразную 1 / u? Ну, это то же самое, что брать первообразную 1 / x. Интеграл от 1 / x — это натуральный логарифм от | x |. Другими словами,

Уравнение 1: первообразное tanx pt. 5

Никогда не забывайте добавлять константу c, потому что вы берете первообразную! Наконец, не забывайте, что изначально интеграл выражался через x. Итак, нам нужно изменить нашу первообразную с точки зрения x. Напомним, что u = cosx, поэтому обратная подстановка даст:

Уравнение 1: первообразное tanx pt.6

, который является неотъемлемой частью tanx.

Поскольку мы обсуждаем триггерные интегралы, почему бы нам не взглянуть на интегралы некоторых триггерных функций? Поскольку tanx представляет собой комбинацию sinx и cosx, почему бы просто не найти их первообразную по отдельности? Давайте продолжим и найдем первообразную sin и первообразную cosx.

Что является первообразной греха

Многие люди просто запоминают, что первообразная sinx — это просто –cosx. Но как именно это получить? Есть несколько способов проиллюстрировать это, но я покажу вам два метода.

Метод 1: возврат с использованием производных

Вместо явного нахождения первообразной нашей целью было бы найти функцию, производная которой равна sinx. Если производная функции равна sinx, то должно быть верно, что первообразная функции sinx вернет эту функцию. Хорошо, звучит идеально. Какую функцию мы должны попробовать? Пусть

Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 1

Обратите внимание, что производная от этого будет:

Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt.2

Видите, мы действительно близки, но вместо sinx у нас –sinx. Как избавиться от негатива? Как насчет того, чтобы взять функцию, которая у нас есть, и добавить дополнительный отрицательный знак? Это может привести к тому, что у производной будет два отрицательных значения, и она станет положительной. Если мы это сделаем, пусть

Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 3

Теперь производная от этого будет:

Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 4

Это прекрасно! У нас есть производная sinx, поэтому наша функция является первообразной sinx.Следовательно, антипроизводная sinx равна

Уравнение 2: Обратный путь Первообразная sin pt. 5

Опять же, не забудьте добавить константу c.

Это отличный способ найти первообразные, но некоторые интегралы могут потребовать много угадываний. Как лучше найти первообразную греха? Это приводит нас к следующему методу:

Метод 2: Используйте теорему Муавра

Этот метод может сбить с толку, если вы не знаете, как использовать комплексные числа. Так что пропустите этот метод, если вы не знаете теорему Муавра.Обратите внимание, что согласно теореме Муавра мы имеем

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 1

Сложение этих двух уравнений дает:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 2

Упрощение правой части приводит к:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 3

Таким образом, разделив обе стороны на 2, получим:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 4

Мы будем использовать это позже. Теперь вместо того, чтобы складывать оба уравнения, вычтем эти два уравнения.

Вычитание этих двух уравнений даст нам:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 5

Упрощение правой части даст нам:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 6

Выделение sinx делением на 2i приведет нас к:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 7

Что мы будем с этим делать? Что ж, вместо того, чтобы брать первообразную греха, мы возьмем первообразную того, что мы видим в правой части уравнения.Это потому, что они абсолютно равны. Следовательно, их первообразные должны давать точно такой же ответ. Следовательно, давайте оценим

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 8

Во-первых, давайте упростим эту задачу, вычленив 1 / 2i из интеграла:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 9

Теперь вычисление интеграла даст нам:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 10

Упрощение дает:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt.2 = -1, тогда

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 13

Обратите внимание на то, что из нашего уравнения ранее:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 14

Следовательно, замена на это приведет нас к окончательному ответу:

Уравнение 3: Первообразная Муавра sin pt. 15

, первородное от греха. Это два метода поиска первородной греха. Теперь перейдем к поиску первообразной cosx.

Какая первообразная у cosx

Опять же, люди запоминают, что первообразная cosx — это sinx.Однако давайте покажем, что это правда, используя два упомянутых ранее метода.

Метод 1: Возврат с использованием производных.

Найдем функцию, производная которой равна cosx. Почему бы нам не сказать это:

Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 1

Это отличное предложение, поскольку мы знаем, что производные sin и cos связаны. Теперь, взяв производную от этого, я получу:

Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 2

Обратите внимание, что производная уже дает cosx.Это здорово, потому что нам не нужно вносить какие-либо изменения в функцию. Следовательно, мы знаем, что первообразная cosx равна:

Уравнение 4: Обратный ход Первообразной cos pt. 3

Еще раз не забудьте добавить константу C.

Теперь, если вы не хотите гадать и тестировать, мы можем использовать метод 2.

Метод 2: Используйте теорему Муавра

Из ранее мы знаем, что:

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 1

Опять же, вместо интегрирования cosx, мы вместо этого собираемся найти первообразную правой части уравнения (поскольку они в точности равны).Итак, оценим

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 2

Вынося за скобки 1/2 интеграла, получаем:

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 3

Вычисление интеграла приводит к:

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 4

Распределение 1/2 на каждый член дает:

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 5

Теперь мы можем переписать это уравнение на

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 6

По совпадению, мы знали раньше, что:

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt.7

Следовательно, замена этого даст нам

Уравнение 5: Первообразная Муавра cosx pt. 8

, который является первообразной cosx. Если вы хотите увидеть больше первообразных триггерных функций, то предлагаю вам посмотреть второй раздел этой статьи «Первообразные триггерных функций»

Теперь, если вам интересно, можно ли взять первообразную обратных тригонометрических функций, то ответ — да. Поскольку мы нашли первообразную tanx, sinx и cosx, почему бы нам не найти первообразную их обратных? Давайте посмотрим на arctan.

Что такое первообразная арктана?

Чтобы найти первообразную арктана, мы должны знать, что такое производное арктана. Если вы не знаете, что это такое, рекомендуем вам ознакомиться с этой статьей ниже. 2), нам нужно использовать замену u.2 ранее, поэтому переключение u обратно на x даст нам:

Уравнение 6: первообразная arctan pt. 9

Отсюда можно сделать вывод, что:

Уравнение 6: первообразная arctan pt. 10

Теперь, если вы заинтересованы в поиске первообразной arcsin и arccosx, взгляните на эти ссылки здесь. Они показывают пошаговое решение для поиска этих первообразных.

http://www.ditutor.com/integration/integral_arccos.html

http://www.ditutor.com/integration/integral_arcsin.html

Обратите внимание, что метод очень прост по отношению к первообразной арктана. Все они требуют использования интеграции по частям.

Первообразные триггерных функций

В этом разделе мы сосредоточимся на поиске первообразных тригонометрических функций, которые являются обратными tanx, sinx и cosx, а также тригонометрических функций, для интеграции которых потребуются тождества половинных углов. Обратите внимание, что взаимные триггерные функции и обратные триггерные функции НЕ совпадают.Следовательно, обратные тригонометрические интегралы отличаются от обратных триггерных интегралов. Обратные триггерные интегралы — это те, что мы делали раньше! Следует также отметить, что многие первообразные в этом разделе требуют, чтобы вы также знали производные триггерных функций. Поэтому убедитесь, что вы хорошо их знаете, прежде чем отвечать на эти вопросы. Если вы не очень разбираетесь в них, рекомендуем посмотреть эту ссылку, чтобы попрактиковаться!

Что такое первообразная от secx?

Есть несколько способов сделать это, но лучше всего использовать ярлык.Для этого ярлыка нам нужно знать, какова производная от sec. Если вы не знаете, что это такое, вы можете обратиться по этой ссылке.

https://socratic.org/questions/what-is-derivatives-of-y-sec-x

Эта ссылка дает пошаговое решение для производной от sec.

Во-первых, давайте настроим наш интеграл для первообразной secx.

Уравнение 7: Первообразная от secx pt. 1

Далее мы собираемся умножить подынтегральное выражение на secx + tanx / secx + tanx. 2?

Я снова покажу 2 метода.2. Теперь давайте посмотрим на другие взаимные функции.

Что такое первообразная cscx?

Вы можете попробовать использовать метод, предполагающий возврат с использованием производных, но это может оказаться для вас немного трудным. Вместо этого я собираюсь использовать аналогичный прием, который я использовал ранее для интеграла от secx. Настроив интеграл cscx имеем:

Уравнение 10: первообразная cscx pt. 1

Мы собираемся умножить подынтегральное выражение на cscx + cotx / cscx + cotx.2 пт. 8

, который является интегралом cscx. Теперь давайте посмотрим на нашу последнюю обратную функцию cotx.

Что такое первообразная от cotx?

Вы можете подумать, что для получения этого интеграла требуется тот же трюк, что и для получения первообразной от secx и cscx, но на самом деле это другое. Вместо этого при поиске первообразной cotx используется только замена u (очень похожая на первообразную tanx).

Итак, установив наш интеграл, мы имеем:

Уравнение 13: первообразная cotx pt.1

Обратите внимание, что cot x = cos x / sin x, поэтому мы можем изменить наш интеграл на

. Уравнение 13: первообразная cotx pt. 2

Теперь мы можем использовать замену u. Пусть u = sinx. Тогда du = cosx dx, и подставив их, мы получим

Уравнение 13: первообразная cotx pt. 3

Мы видели это много раз, поэтому оценка дает нам

Уравнение 13: первообразная cotx pt. 4

Напомним, что раньше у нас было u = sinx. Таким образом, преобразование u обратно в x приводит к окончательному ответу:

Уравнение 13: первообразная cotx pt.2х.

Подводя итог, мы нашли интеграл от 6 триггерных функций, а также их интегралы, когда каждая из них возведена в квадрат. Существует бесконечное количество триггерных функций, которые мы можем интегрировать. Так что, если вы ищете интеграл, которого не смогли найти в этой статье, предлагаю вам взглянуть на эту ссылку.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions

К сожалению, он не дает вам пошагового решения, но, по крайней мере, вы найдете решение для своего интеграла.Кроме того, есть предметы, которые мы не рассмотрели, например, гиперболические интегралы. Если вас это интересует, вы можете взглянуть на эту диаграмму первообразных в самом низу.

http://math3.org/math/integrals/tableof.htm

Интеграл lnx

Теперь, когда мы закончили интегрирование тригонометрических функций, давайте взглянем на натуральный логарифм. Прежде чем перейти к интегралу натурального логарифма, давайте поговорим о том, что такое ln и что интеграция поможет нам найти.x, затем отразите его на линии y = x, чтобы получить график ln. Следовательно, график lnx будет выглядеть так:

График 1: график lnx

Обратите внимание, что единственное, что мы можем вычислить на этом графике без использования калькулятора, — это ln, равное 1. Мы видим, что ln1 на графике равно 0. Это потому, что мы знаем, что логарифм 1 с любым основанием равен 0.

Натуральное бревно очень интересно, потому что у него есть особые правила. Эти правила включают в себя правило произведения, правило частного и правило мощности.

Для правила произведения мы можем разделить функцию ln на добавление двух функций ln, если внутренняя часть логарифма является произведением двух или более вещей.у) = yln (x)

Эти свойства будут очень полезны при работе с очень сложными функциями ln. Теперь, когда мы очень хорошо знаем ln, давайте попробуем найти первообразную ln x.

Что такое первообразная lnx?

Сначала мы устанавливаем интеграл lnx:

Уравнение 19: первообразная lnx pt. 1

Как интегрировать lnx? Что действительно трудно заметить, так это то, что вам нужно использовать интеграцию по частям. Напомним, что формула интегрирования по частям:

Уравнение 19: первообразная lnx pt.2

Устанавливаем:

Уравнение 19: первообразная lnx pt. 3

Получение u и интеграция dv даст нам:

Уравнение 19: первообразная lnx pt. 4

Если объединить все четыре из них в формулу интегрирования по частям, мы получим:

Уравнение 19: первообразная lnx pt. 5

Обратите внимание, что вычисление интеграла от ln приводит к окончательному ответу:

Уравнение 19: первообразная lnx pt. 6

Обязательно загрузите антидериватную таблицу. Это очень удобно, когда вы учитесь, работаете над заданиями по исчислению или составляете шпаргалку для экзаменов.

MATH 150A: Тест 2

MATH 150A: Тест 2

MATH 150A, Обзор промежуточного теста 2

Темы тестов

4. Применения дифференциации
   1. Максимальные и минимальные значения ( 4,1 )
   2. Теорема о среднем значении ( 4,2 )
   3. Как производные влияют на форму графика ( 4,3 )
   4. Пределы на бесконечности. Горизонтальные асимптоты ( 4,4 )
   5. Сводка построения кривых ( 4.5 )
   6. Проблемы оптимизации ( 4,7 )
   7. Метод Ньютона ( 4,8 )
   8. Первообразные ( 4,9 )
5. Интегралы
   1. Районы и расстояния ( 5,1 )
   2. Определенный интеграл ( 5,2 )
   3. Основная теорема исчисления ( 5,3 )
   4. Неопределенные интегралы и теорема чистого изменения ( 5.4 )
   5. Правило замены ( 5.5 )
6. Приложения интеграции
   1. Зоны между изгибами ( 6,1 )

Важные определения / факты

• Приложения исчисления к построению графиков: критические точки, локальные максимумы / минимумы, точки перегиба, вогнутость вверх / вниз
• Формула метода Ньютона
• Первоначальное. Неопределенный интеграл
• Функция площади; определение определенного интеграла с использованием сумм Римана
• Свойства интегралов: аддитивность, алгебраические операции, неравенства
• Интегралы от четных и нечетных функций
• Основная теорема исчисления, части I и II
• Теорема чистого изменения и приложения к объемам, концентрациям, массы и расстояния (стр.327)
• Правило замены
• Формулы для площади

Список возможных типов проблем

• Нарисовать график функции, найти точки пересечения, асимптоты, критические точки, локальные и глобальные максимумы / минимумы, интервалы увеличение / уменьшение, точки перегиба и интервалы вогнутости вверх / вниз (разделы 4.1-4.5)
• Проблемы Word при оптимизации (раздел 4.7)
• Используйте метод Ньютона, чтобы аппроксимировать решение нелинейное уравнение (раздел 4.8)
• Задача о прямолинейном движении (раздел 4.9). Найти расстояние путешествовал с использованием интегрирования (интеграл с абсолютным значением функция — Раздел 5.4)
• Аппроксимировать интеграл с помощью суммы Римана (левая конечная точка, правила правой конечной или средней точки (Раздел 5.1)
• Найдите значение интеграла, вычислив предел сумм Римана (раздел 5.2)
• Вычислить определенный интеграл, используя элементарную геометрию (площади прямоугольников, треугольников, окружностей (Раздел 5.2)
• Вычислить производную функции, заданной в виде интеграла. с регулируемым верхним или нижним пределом (раздел 5.3)
• Вычислить первообразную (неопределенный интеграл), используя базовый правила или замена
• Вычислить определенный интеграл, используя основные правила или замену
• Нарисуйте область между двумя кривыми и найдите ее площадь (Раздел 6.

  No related posts.