Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции 10 класс | Тест по алгебре (10 класс) по теме:
Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции
Вариант 1
№1. Вычислите :
.
№2. Решите уравнение: .
№3. Найдите заданную точку на числовой окружности: , ; -3,5; 240˚,180˚
№4. Известно, что . Вычислите: .
№5. Докажите тождество: .
№6. Вычислите
№7. Упростите выражение:
8٭ Решить систему неравенств: sin t22,
cost>0
Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции
Вариант 2
№1. Вычислите:
№2. Решите уравнение: .
№3 Найдите заданную точку на числовой окружности: , ; -1,5; 340˚,270˚
№4. Известно, что . Вычислите: .
№5. Докажите тождество: .
№6. Вычислите:
№7. Упростите выражение: .
8٭ Решить систему неравенств: sin t ≥- 22,
cost32,
Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции
Вариант 3
- Вычислите: а) ; б) в) г)
- Найдите заданную точку на числовой окружности: , ; -2,5; 140˚,90˚
- Решите уравнение: а) б)
- Докажите тождество
- Докажите, что при всех допустимых значениях выражение
принимает одно и то же значение.
- Известно, что Вычислите:
________________________________________________________________
- Определите знак выражения
______________________________
8٭ Решить систему неравенств: sin t ≥ 22,
cost
Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции
Вариант 4
- Вычислите: а) ; б) в) г)
- Найдите заданную точку на числовой окружности: , — ; 1,5; -340˚,180˚
- Решите уравнение: а) б)
- Докажите тождество
- Докажите, что при всех допустимых значениях выражение
принимает одно и то же значение.
- Известно, что Вычислите:
_________________________________________________________________
- Определите знак выражения
8٭ Решить систему неравенств: sin t ≥ 32,
cost
Контрольная работа по математике (Определение тригонометрических функций) для 10-го класса от контрольные-работы.
рф в 2019 году
рф в 2019 годуОтветы
Ответы к заданиям
(при их наличии) доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!
Статистика и загрузка
Скачать
Если загрузка не началась автоматически, повторите попытку или нажмите сюда!| Просмотров | 221 | 269 | Загрузок |
|---|---|---|---|
| Добавил | Гость | 22.10.2019 | Дата |
| День | Вторник | 21:09 | Время |
Статья 1274: Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях.
Все материалы сайта представлены исключительно в ознакомительных целях.
Источник/автор материала: международный каталог заданий и контрольных работ
Если вы скопируете данный файл, Вы должны незамедлительно удалить его сразу после ознакомления с содержанием.
Любое коммерческое и иное использование, кроме предварительного ознакомления запрещено. Публикация данного документа не преследует никакой коммерческой выгоды. Но такие документы способствуют быстрейшему профессиональному и духовному росту читателей и являются рекламой бумажных и других различных видов изданий таких документов.
Если данный материал нарушает чьи-либо авторские права, то обратитесь на почту
Справочные материалы
Загрузка формул…
Загрузка тестирования…
Обсуждения
Комментарии к заданиям доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!
Тест с ответами: «Тригонометрические функции»
1. В школьном курсе геометрии тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон:
а) прямоугольного треугольника +
б) равностороннего треугольника
в) равнозначного треугольника
2.
Синус:
а) прерывистая функция
б) непрерывная функция +
в) постоянная функция
3. Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется:
б) геометрией
в) тригонометрией +
4. Косинус:
а) непрерывная функция +
б) прерывистая функция
в) частичная функция
5. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) кривые тригонометрические функции
б) главные тригонометрические функции
в) прямые тригонометрические функции +
6. Тангенс имеет:
а) точки срыва
б) точки разрыва +
в) точки разности
7. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) основные тригонометрические функции
б) производимые тригонометрические функции
в) производные тригонометрические функции +
8. Секанс имеет:
б) точки сопряжения
в) точки сближения
9. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) саканс
б) сиканс
в) секанс +
10.
Упростите: 4 : (ctga – tga):
а) tg2a
б) 2tg2a +
в) ctg2a
11. К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
а) косеканс +
б) косиканс
в) косаканс
12. Упростите: 2 : (tga – ctga):
а) ctg2a
б) -tg2a +
в) tg2a
13. Обратная тригонометрическая функция:
а) арксинус +
б) синус
в) косеканс
14.
а)
б)
в)
15. Обратная тригонометрическая функция:
б) косинус
в) секанс
16. Найдите tgа, если tg(π/4 + а) = 3:
а) -1/3
б) 1/2 +
в) -1/2
17. Обычно тригонометрические функции определяются:
а) физически
б) алгебраически
в) геометрически +
18. Найдите ctgа, если tg(π/4 – а) = -5/3:
а) -1/3
б) -1/4 +
в) 1/3
19. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) знаковость
б) расплывчатость
в) чётность +
20. Найдите ctgа, если tg(π/4 + а) = 5/3:
а) -3
б) 4 +
в) 1/4
21. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) периодичность +
б) постоянство
в) прерывистость
22.
а) -2/3
б) 1/3 +
в) 2/3
23. Производная тригонометрическая функция:
а) секанс
б) косинус
в) тангенс +
24. Найдите tgх, если tg(х + у) = 5 и tgу = 1/8:
а) 1/8
б) 3 +
в) 1/2
25. Производная тригонометрическая функция:
а) косеканс
б) синус
в) котангенс +
26. Все тригонометрические функции можно выразить через … половинного угла:
а) синус
б) тангенс +
в) косинус
27. Прямая тригонометрическая функция:
а) синус +
б) тангенс
в) котангенс
28. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) бесконечность
в) непрерывность +
29. Прямая тригонометрическая функция:
а) косинус +
б) тангенс
в) секанс
30. Одно из свойств тригонометрических функций:
а) сложные тождества
б) простейшие тождества +
в) равные тождества
Определение тригонометрических функций — MATH 11022 — KSU
MATH 11022: Определение тригонометрических функций
Функции
Определение тригонометрических функций: Пусть θ — угол в стандартном положении, а
пусть P (x, y) — любая точка (кроме начала координат) на конечной стороне θ.
Пусть расстояние
от начала до точки P. (т.е. r =
√
x 2 + y 2.) Тогда шесть тригонометрических функций θare
✛
✻
❄
0
х
р г
θ
P (x, y) q
«синус» sinθ =
г r
«косинус» cosθ =
х r
«касательная» tanθ =
г х
cscθ = «косеканс»
руб. y
сек θ = «секущая»
руб. х
cotθ = «котангенс»
х y
MEMORIZE Приведенное выше определение должно быть сохранено в памяти.
ПРИМЕЧАНИЯ:
Когда сторона терминала θ лежит на одной оси y, координата x равна нулю. Следовательно, tanθ и secθ не определены.
Когда сторона вывода θ направлена на ось x, их координата равна нулю. Следовательно, cotθ и cscθ не определены.
Пример 1: Найдите значение шести тригонометрических функций угла θifP — точка
на оконечной стороне θ.
(а) P = (- 4, −3) (б) P = (-
√
5, 3)
2 MATH 11022: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Знаки квадрантов тригонометрических функций
Если сторона вывода θ лежит в квадранте I, то все шесть тригонометрических функции от θ положительны.
Если клемма θ лежит в квадранте II, то только sinθ и cscθ положительные.
Если сторона вывода θ лежит в квадранте III, то только tanθ и cotθ положительны.
Если сторона вывода θ лежит в квадранте IV, то только cosθ и secθ положительны.
ЗАПОМНИТЬ Приведенный выше результат необходимо сохранить в памяти.
✛ ✲
✻
❄
Sin All
Tan Cos
«AllSinTanCos»
Пример 2: Без использования калькулятора определить, являются ли следующие значения положительными или отрицательными:
(а) sin 100◦
(б) cos 220 ◦
(в) загар 340 °
(г) sin (- 210 ◦)
(e) cos (- 130 ◦)
(е) желто-коричневый (- 330 ◦)
4 MATH 11022: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Пример 5: Если cosθ = 2 3
и tanθ отрицателен, найдите значение других пяти тригонометрических
функции.
Пример 6: Если tanθ = —
2
9, найдите значение sinθ и cosθ.
Тригонометрические функции — Математическая энциклопедия
Класс элементарных функций синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс. Они обозначаются соответственно: $ \ sin x $,
$ \ cos x $,
$ \ mathop {\ rm tan} x $ (
или $ \ mathop {\ rm tg} x $),
$ \ mathop {\ rm cot} x $ (
или $ \ mathop {\ rm cotan} x $),
$ \ mathop {\ rm sec} х $,
$ \ mathop {\ rm csc} x $ (
или $ \ cosec x $).{2} = 1 $ (
см. рис. а) с начальной точкой $ B = (1, 0) $
и длина $ | \ альфа | $.
Дуга из $ B $
в $ A $
берется против часовой стрелки, если $ \ alpha \ geq 0 $,
и по часовой стрелке, если $ \ alpha <0 $.
Если $ \ alpha = 0 $,
тогда $ A = B $;
если, например, $ \ alpha = (- 7 \ pi) / (2) $,
тогда $ A = (0, 1) $.
$ B $,
$ | BA | = \ альфа>
Рисунок: t094210a
Основные тригонометрические функции синуса и косинуса определены в $ \ alpha $ по формулам
$
\ грех \ альфа = \
у _ \ альфа, \ \
\ соз \ альфа = \
х _ \ альфа.
$$
Остальные тригонометрические функции можно определить по формулам
$ \ mathop {\ rm tan} \ alpha = \ \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} , \ \ \ mathop {\ rm cot} \ alpha = \ \ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha} , $$
$ \ mathop {\ rm sec} \ alpha = { \ frac {1} {\ cos \ alpha} }, \ \ \ mathop {\ rm csc} \ alpha = { \ frac {1} {\ sin \ alpha} }. $$
Все тригонометрические функции периодические. Графики тригонометрических функций представлены на рис.б.
Рисунок: t094210b
Основные свойства тригонометрических функций — область определения, диапазон, четность и участки монотонности — приведены в таблице ниже.
| Функция | Область определения | Диапазон значений | Четность | Раздел монотонности |
| $ \ sin x $ | $ — \ infty | $ [- 1, + 1] $ | Нечетный | $ \ begin {array} {c}
\ textrm {увеличивается для} x \ in ((4n — 1) \ pi / 2, (4n + 1) \ pi / 2) \\
\ textrm {уменьшается для} x \ in ((4n + 1) \ pi / 2, (4n + 3) \ pi / 2)
\ end {массив}
$ | |
| $ \ cos x $ | $ — \ infty | $ [- 1, + 1] $ | Даже | $ \ begin {array} {c}
\ textrm {увеличивается для} x \ in ((2n — 1) \ pi, 2n \ pi) \\
\ textrm {уменьшается для} x \ in (2n \ pi, (2n + | |
тригонометрических функций — Скачать PDF бесплатно
Семестр 2, Раздел 4: Задание 21
Ресурсы: SpringBoard- PreCalculus Интернет-ресурсы: PreCalculus Springboard Text Unit 4 Словарь: идентичность Пифагорейская идентичность Тригонометрическая идентичность Совместная функция Identity Sum and Difference Identities
Дополнительная информация 1. Введение синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и периодический косеканс
Введение синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и периодический косеканс 1. Введение Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс; сокращенно sin, cos, tan, cot, sec и csc соответственно. Это функции одного
Дополнительная информацияОценка тригонометрических функций
MATH 1110 009-09-06 Вычисление тригонометрических функций Замечание.На протяжении всего этого документа помните о соглашении об измерении углов, которое гласит, что если измерение угла отображается без единиц измерения,
Дополнительная информацияGRE Prep: Precalculus
Подготовка к GRE: Precalculus Franklin H.J. Kenter 1 Введение Это примечания для раздела Precalculus к сеансу подготовки к GRE, проведенному в UCSD в августе 2011 г. Эти примечания никоим образом не предназначены для обучения
Дополнительная информацияГрафики полярных уравнений
Графики полярных уравнений В предыдущем разделе мы узнали, как построить график точки с полярными координатами (r, θ).
Теперь мы рассмотрим графическое отображение полярных уравнений. В качестве краткого обзора полярная координата
Функции: кусочно, четно и нечетно.
Функции: кусочно, четно и нечетно. MA161 / MA1161: Расчет семестра 1. Школа математики, статистики и прикладной математики профессора Гётца Пфайффера, NUI, Голуэй, 21–22 сентября 2015 г. Учебные пособия, домашнее задание онлайн.
Дополнительная информацияАЛГЕБРА 2 / ТРИГОНОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Университет штата Нью-Йорк РЕГЛАМЕНТ К ЭКЗАМЕНАМ В старшей школе АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Вторник, 8 января 014 г. с 1:15 до 16:15 с.м., только Имя ученика: Название школы: Имущество
Дополнительная информацияФункции и их графики
Функции и их графики. Функции Все функции, которые вы увидите в этом курсе, будут функциями с действительным знаком в одной переменной.
Функция является действительной, если вход и выход — действительные числа
Решения упражнений, раздел 5.1
Руководство инструктора по решениям, раздел 5.1. Упражнение 1. Решения для упражнений, раздел 5.1. 1. Найдите все числа t такие, что (1 3, t) является точкой на единичной окружности. Чтобы (1 3, t) было точкой на единичной окружности
Дополнительная информацияПериод тригонометрических функций
Период тригонометрических функций На предыдущих уроках мы узнали, как переводить любую первичную тригонометрическую функцию по горизонтали или вертикали и как растягивать по вертикали (изменять амплитуду).В
Дополнительная информацияПрямоугольная тригонометрия
Раздел 6.4 ЦЕЛЬ: Тригонометрия прямоугольного треугольника Понимание определения тригонометрических функций в правом треугольнике otenuse osite side otenuse acent side acent side osite side Дополнительная информация
АЛГЕБРА 2 / ТРИГОНОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Университет штата Нью-Йорк РЕГЛАМЕНТ К ЭКЗАМЕНАМ В СТАРШИХ ШКОЛАХ АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Четверг, 9 января 01:15 9:15 a.
до 13:15, только Имя ученика: Название школы: Собственность
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 КЛАСС
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 [C] Коммуникационная тригонометрия Общий результат: Развивайте тригонометрические рассуждения. A1. Продемонстрируйте понимание углов в стандартном положении, выраженных в градусах и радианах.
Дополнительная информацияТрудные задачи тригонометрии
Решать проблему.Эту проблему очень сложно понять. Посмотрим, сможем ли мы понять это. Обратите внимание, что существует несколько интерпретаций проблемы, и все они неудовлетворительны.
Дополнительная информацияГрафические тригонометрические навыки
Имя Период Дата Показать все работы аккуратно на отдельной бумаге. (Вы можете использовать обе стороны бумаги.
) Проблемы должны быть четко обозначены. Если я не могу найти проблему, я предполагаю, что ее нет, поэтому ИСПОЛЬЗУЙТЕ ШАБЛОН
Семинар по обзору тригонометрии 1
Определения семинара по обзору тригонометра: Пусть P (,) — точка (не начало координат) на конечной стороне угла с мерой θ, а r — расстояние от начала координат до P.Тогда си триггерные функции
Дополнительная информацияa cos x + b sin x = R cos (x α)
a cos x + b sin x = R cos (x α) В этом модуле мы исследуем, как сумма двух тригонометрических функций, например cos x + 4 sin x, может быть выражена как единственная тригонометрическая функция. Имея возможность сделать это
Дополнительная информацияПРАВЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Слово «тригонометрия» можно разбить на части «Треугольник», «Гон» и «Метрия», что означает измерение трех углов или, что эквивалентно, измерение треугольника.
В этом разделе мы будем
Дополнительная информация
1 Концепция картографии
Технический университет Арканзаса MATH 4033: Элементарная современная алгебра Д-р Марсель Б. Финан 1 Концепция отображения Концепция отображения (также известная как функция) важна во всей математике. Мы имеем дело с
Дополнительная информацияРЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Справочники по математике Решение тригонометрических уравнений Стр. 1 из 17 M.K. ДОМАШНЕЕ ОБУЧЕНИЕ Руководства по пересмотру математики Уровень: AS / A Уровень AQA: C2 Edexcel: C2 OCR: C2 OCR MEI: C2 SOLVING TRIGONOMETRIC
Дополнительная информацияТригонометрические функции
Тригонометрические функции 13A Тригонометрия и углы 13-1 Прямоугольная тригонометрия 13- Углы вращения Лаборатория Изучение единичной окружности 13-3 Единичная окружность 13-4 Обратные тригонометрические функции 13B Применение
Дополнительная информацияФАКТОРИНГ УГЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ:
РАЗРАБОТКА УРАВНЕНИЙ УГЛОВ: Для удобства углам, составляющим Стандартное Хип-ядро, присвоены алгебраические имена.
Имена совершенно произвольны и могут варьироваться от ядра к ядру. На
Примеры вопросов перед тестом по математике A. {11, 7} B. {7,0,7} C. {7, 7} D. {11, 11}
Примеры вопросов перед тестом по математике 1. Какие из следующих наборов закрыты для деления? I. {½, 1 ,, 4} II. {-1, 1} III. {-1, 0, 1} A. I только B. II только C. III только D. I и II. Какой из следующих
Дополнительная информацияАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
БЛОК 1: Код блока: QCF Уровень: 4 Кредитная ценность: 15 АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ A / 601/1401 РЕЗУЛЬТАТ — ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Учебное пособие 1 Синусоидальная функция Уметь анализировать и моделировать инженерные ситуации
Дополнительная информацияГРАММ.ГРАФИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
G.
ФУНКЦИИ ГРАФИКА Чтобы быстро понять, как выглядит график функции, очень полезно знать, как определенные простые операции на графике связаны с тем, как функция epression
Краткое содержание курса, MA 113, Весна 2014 Часть A, Функции и ограничения. 1.1 1.2 Функции, домен и диапазоны, A1.1-1.2-Обзор (9 задач)
Краткое содержание курса, MA 113, Весна 2014 Часть A, Функции и ограничения 1.1 1.2 Функции, область определения и диапазоны, A1.1-1.2-Обзор (9 задач) Функции, область определения и диапазон Область и диапазон рациональных и алгебраических
Дополнительная информацияТригонометрия треугольников и круги
Задачи по математике Учащиеся поймут, что тригонометрические функции угла не зависят от размера треугольника, в котором находится угол, а скорее от соотношения сторон
. Дополнительная информацияМетоды интеграции
ГЛАВА 7 Методы интеграции 7.
. Замещающая интеграция, в отличие от дифференциации, — это скорее искусство, чем набор алгоритмов. Многие задачи прикладной математики связаны с интегрированием
SAT Subject Math Level 2 Факты и формулы
Числа, последовательности, множители Целые числа: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Реальные числа: целые числа плюс дроби, десятичные дроби и иррациональные числа (2, 3, π и т. Д. ) Порядок операций: арифметические последовательности: PEMDAS (круглые скобки
Дополнительная информацияОбратные триггерные функции
Обратные триггерные функции c A Math Support Center Capsule Февраль 009 г. Введение Как триггерные функции возникают во многих приложениях, так и обратные триггерные функции.Что может быть самым удивительным, так это то, что
Дополнительная информацияРуководство для углубленного изучения математики
Тема руководства для углубленного изучения математики Нахождение площади треугольника (Ls.
96) с использованием A = ½ bc sin A (использует закон синусов, закон косинусов) Закон косинусов, закон косинусов (Ls. 81, Ls. 72) Поиск площади и периметров АИ-
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН ПО АЛГЕБРЕ I
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН ПО АЛГЕБРЕ I Проходной балл 9 по этому тесту позволяет студенту записаться на геометрию.00 ИЮНЯ ВЫ МОЖЕТЕ ЗАПИСАТЬСЯ НА ЭТОТ ТЕСТ. Решить: 7 = 6 6 6. Решить: =. Одно тайское такси стоит 0,00 доллара плюс 7 центов за
. Дополнительная информацияX На учете в USOE.
Учебник Соответствие основной алгебре штата Юта 2 Название компании и поведение отдельных лиц: Крис МакХью, McHugh Inc. Сертификационный лист был заполнен для указанной выше компании / оценщика и составляет
Дополнительная информацияГлава 5 Тригонометрические функции
2312 test 2, осень 2010, форма B
2312 test 2 Осень 2010 Форма B 1.
Напишите форму пересечения наклона уравнения прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярную данной точке линии: (7, 8) прямая: 9x 45y = 9 2. Вычислите функцию
Решения к упражнениям, раздел 5.1
Руководство инструктора по решениям, раздел 5.1. Упражнение 1. Решения для упражнений, раздел 5.1. 1. Найдите все числа t такие, что (1 3, t) является точкой на единичной окружности. Чтобы (1 3, t) было точкой на единичной окружности
Дополнительная информацияОценка тригонометрических функций
MATH 1110 009-09-06 Вычисление тригонометрических функций Замечание.На протяжении всего этого документа помните о соглашении об измерении углов, которое гласит, что если измерение угла отображается без единиц измерения,
Дополнительная информацияОбратные триггерные функции
Обратные триггерные функции c A Math Support Center Capsule Февраль 009 г.
Введение Как триггерные функции возникают во многих приложениях, так и обратные триггерные функции. Что может быть самым удивительным, так это то, что
Семинар по обзору тригонометрии 1
Определения семинара по обзору тригонометра: Пусть P (,) — точка (не начало координат) на конечной стороне угла с мерой θ, а r — расстояние от начала координат до P.Тогда си триггерные функции
Дополнительная информацияСеместр 2, Раздел 4: Задание 21
Ресурсы: SpringBoard- PreCalculus Интернет-ресурсы: PreCalculus Springboard Text Unit 4 Словарь: идентичность Пифагорейская идентичность Тригонометрическая идентичность Совместная функция Identity Sum and Difference Identities
Дополнительная информацияповерхности, 569-571, 576-577, 578-581 треугольника, 548 Ассоциативное свойство сложения, 12, 331 умножения, 18, 433
Абсолютное значение и арифметика, 730-733 определены, 730 Острый угол, 477 Острый треугольник, 497 Дополнение, 12 Дополнительное ассоциативное свойство, (см.
Коммутативное свойство), переносящее, 11, 92 коммутативное свойство
SAT Subject Math Level 2 Факты и формулы
Числа, последовательности, множители Целые числа :…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Реальные числа: целые числа плюс дроби, десятичные дроби и иррациональные числа (2, 3, π и т. Д.) Порядок операций: Арифметические последовательности: PEMDAS (Круглые скобки
Дополнительная информацияПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 КЛАСС
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ 12 [C] Коммуникационная тригонометрия Общий результат: Развивайте тригонометрические рассуждения. A1. Продемонстрируйте понимание углов в стандартном положении, выраженных в градусах и радианах.
Дополнительная информацияРазмещение в высшем образовании по математике
Типы задач для оценки зачисления в высшее учебное заведение по математике 1.
Целые числа, дроби и десятичные дроби 1.1 Операции с сложением целых чисел с переносом Вычитание с заимствованием Умножение
АЛГЕБРА 2 / ТРИГОНОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Университет штата Нью-Йорк РЕГЛАМЕНТ К ЭКЗАМЕНАМ В СТАРШИХ ШКОЛАХ АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Четверг, 9 января 01:15 9:15 a.до 13:15, только Имя ученика: Название школы: Собственность
Дополнительная информация1. Введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и периодического косеканса.
1. Введение Существует шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс; сокращенно sin, cos, tan, cot, sec и csc соответственно. Это функции одного
Дополнительная информацияАЛГЕБРА 2 / ТРИГОНОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Университет штата Нью-Йорк РЕГЛАМЕНТ К ЭКЗАМЕНАМ В старшей школе АЛГЕБРА / ТРИГОНОМЕТРИЯ Вторник, 8 января 014 г.
с 1:15 до 16:15 с.м., только Имя ученика: Название школы: Имущество
a cos x + b sin x = R cos (x α)
a cos x + b sin x = R cos (x α) В этом модуле мы исследуем, как сумма двух тригонометрических функций, например cos x + 4 sin x, может быть выражена как единственная тригонометрическая функция. Имея возможность сделать это
Дополнительная информацияАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
БЛОК 1: Код блока: QCF Уровень: 4 Кредитная ценность: 15 АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ A / 601/1401 РЕЗУЛЬТАТ — ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Учебное пособие 1 Синусоидальная функция Уметь анализировать и моделировать инженерные ситуации
Дополнительная информацияПримеры тестовых вопросов
математика Колледж Алгебра Геометрия Тригонометрия Образцы тестовых вопросов Руководство для учащихся и родителей.
org / compass Примечание для студентов Добро пожаловать на тест по математике ACT Compass! Вам около
Глава 5 Мастера ресурсов
Chapter Resource Masters Нью-Йорк, Нью-Йорк Колумбус, Огайо-Вудленд-Хиллз, Калифорния Пеория, Иллинойс StudentWorks TM Этот компакт-диск включает в себя все студенческое издание вместе с учебным пособием, Практика,
Дополнительная информацияРаздел 7.1 Решение прямоугольных треугольников
Раздел 7.1 Решение прямоугольных треугольников Обратите внимание, что для большинства задач, которые мы будем решать в классе, потребуется калькулятор. В тестовых задачах используются углы, для которых калькулятор не требуется (например, 30, 45,
Дополнительная информацияТрудные задачи тригонометрии
Решать проблему. Эту проблему очень сложно понять. Посмотрим, сможем ли мы понять это.Обратите внимание, что существует несколько интерпретаций проблемы, и все они неудовлетворительны.
Дополнительная информацияБазовая математика C2. Примечания к редакции
Core Maths C Примечания к редакции Ноябрь 0 Core Maths C Алгебра … Многочлены: + ,,, …. Факторизация … Деление в длину … Теорема остатка … Теорема о множителях … 4 Выбор подходящего множителя .. . 5 Кубические уравнения …
Дополнительная информацияРуководство для углубленного изучения математики
Руководство для углубленного изучения математики Тема Поиск треугольника (Ls.96) с использованием A = ½ bc sin A (использует закон синусов, закон косинусов), закон косинусов, закон косинусов (Ls. 81, Ls. 72). Нахождение области и периметров регулярного числа
Дополнительная информацияТригонометрия треугольников и круги
Задачи по математике Учащиеся поймут, что тригонометрические функции угла не зависят от размера треугольника, в котором находится угол, а скорее от соотношения сторон
. Дополнительная информацияGRE Prep: Precalculus
Подготовка к GRE: Precalculus Franklin H.Дж. Кентер 1 Введение Это примечания для раздела Precalculus для подготовительной сессии GRE, проведенной в UCSD в августе 2011 года. Дополнительная информация
СЛОЖНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Math 307 КОМПЛЕКСНАЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ (В этих примечаниях предполагается, что вы уже знакомы с основными свойствами комплексных чисел.) Мы дадим следующее определение e iθ = cos θ + i sin θ.(1) Эта формула
Дополнительная информацияФункции и их графики
Функции и их графики. Функции Все функции, которые вы увидите в этом курсе, будут функциями с действительным знаком в одной переменной. Функция является действительной, если вход и выход — действительные числа
Дополнительная информацияГрафические тригонометрические навыки
Имя Период Дата Показать все работы аккуратно на отдельной бумаге.(Вы можете использовать обе стороны бумаги.) Проблемы должны быть четко обозначены. Если я не могу найти проблему, я предполагаю, что ее нет, поэтому ИСПОЛЬЗУЙТЕ ШАБЛОН
Дополнительная информацияПрямоугольная тригонометрия
Раздел 6.4 ЦЕЛЬ: Тригонометрия прямоугольного треугольника Понимание определения тригонометрических функций в правом треугольнике otenuse osite side otenuse acent side acent side osite side Дополнительная информация
Графики полярных уравнений
Графики полярных уравнений В предыдущем разделе мы узнали, как построить график точки с полярными координатами (r, θ).Теперь мы рассмотрим графическое отображение полярных уравнений. В качестве краткого обзора полярная координата
Дополнительная информацияПримечания по геометрии ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ
Периметр и площадь Страница 1 из 57 ПЕРИМЕТР И ПЛОЩАДЬ Цели: После завершения этого раздела вы должны уметь делать следующее: Вычислять площадь заданных геометрических фигур. Рассчитываем периметр
Дополнительная информацияПримеры предтестовых вопросов по математике A.{11, 7} B. {7,0,7} C. {7, 7} D. {11, 11}
Примеры вопросов перед тестом по математике 1. Какие из следующих наборов закрыты для деления? I. {½, 1 ,, 4} II. {-1, 1} III. {-1, 0, 1} A. I только B. II только C. III только D. I и II. Какой из следующих
Дополнительная информацияГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ Вопрос 1 (**) 8 см 6 см θ 6 см O На рисунке выше показан круговой сектор O, образующий угол θ радиан в его центре O.Радиус сектора 6 см и длина
Дополнительная информацияТеорема Пифагора: 9. x 2 2
Геометрия Глава 8 — Правые треугольники.7 Примечания к правым s Дано: любые 3 стороны Доказательства: острая, тупая или правая (подсказка: используйте обратную теорему Пифагора) Если (самая длинная сторона) 2> (сторона) 2
Дополнительная информацияПакет обзора формулы MCA
Пакет обзора формул MCA 1 3 4 5 6 7 Математический план MCA-II / BHS Страница 1 из 15 Copyright 005 Клод Паради 8 9 10 1 11 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 30 8 9 План по математике MCA-II / BHS, стр. Из 15
Дополнительная информацияБазовая математика C3.Примечания к редакции
Core Maths C Примечания к редакции Октябрь 0 Core Maths C Алгебраические дроби … Отмена общих множителей … Умножение и деление дробей … Сложение и вычитание дробей … Уравнения … 4 Функции …
Дополнительная информацияРЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Справочники по математике Решение тригонометрических уравнений Страница 1 из 17 М.К. ДОМАШНЕЕ ОБУЧЕНИЕ Руководства по пересмотру математики Уровень: AS / A Уровень AQA: C2 Edexcel: C2 OCR: C2 OCR MEI: C2 SOLVING TRIGONOMETRIC
Дополнительная информацияПРАВЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ТРИГОНОМЕТРИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Слово «тригонометрия» можно разбить на части «Треугольник», «Гон» и «Метрия», что означает измерение трех углов или, что эквивалентно, измерение треугольника.В этом разделе мы будем Дополнительная информация
ОПИСАНИЕ УРОВНЯ МАТЕРИАЛОВ
ОПИСАНИЕ УРОВНЯ МАТЕРИАЛОВ Число Уровень 3 Понимание разряда чисел до тысяч. Номера для заказа до 9999. Округлите числа до ближайшего 10 или 100. Обратите внимание на числовую строку ниже нуля и
. Дополнительная информацияГеометрия и измерения
Студент сможет: Геометрия и измерение 1.Продемонстрировать понимание принципов геометрии и измерения и операций с использованием измерений. Использовать американскую систему измерения для
. Дополнительная информацияМетоды интеграции
ГЛАВА 7 Методы интеграции 7 .. Замещение Интеграция, в отличие от дифференцирования, — это больше искусство, чем набор алгоритмов. Многие задачи прикладной математики связаны с интегрированием
Дополнительная информацияPre Calculus Math 40S: объяснение!
www.math50s.com 7 Часть I Колеса обозрения Один из наиболее распространенных вопросов по применению для построения графиков тригонометрических функций связан с колесами обозрения, поскольку движение всадника вверх и вниз повторяет форму
Дополнительная информацияРаздел 6.1 Измерение угла
Раздел 6.1 Измерение угла Угол AOB состоит из двух лучей R 1 и R 2 с общей вершиной O (см. Рисунки ниже. Мы часто интерпретируем угол как поворот луча R 1 на R 2.В этом случае
рэнд Дополнительная информацияПонимание основного исчисления
Понимание основного исчисления С.К. Чанг Посвящается всем людям, которые помогли мне в моей жизни. i Предисловие Эта книга представляет собой переработанную и расширенную версию конспектов лекций по основам исчисления и другим
Дополнительная информация1.2: Тригонометрические функции острого угла
Рассмотрим прямоугольный треугольник \ (\ треугольник \, ABC \) с прямым углом в \ (C \) и длиной \ (a \), \ (b \), и \ (c \), как на рисунке справа.Для острого угла \ (A \) назовите ножку \ (\ overline {BC} \) его противоположной стороной , а ножку \ (\ overline {AC} \) соседней стороной . Напомним, что гипотенуза треугольника — это сторона \ (\ overline {AB} \). Соотношения сторон прямоугольного треугольника встречаются в практических приложениях достаточно часто, чтобы оправдать их собственные названия, поэтому мы определяем шесть тригонометрических функций из \ (A \) следующим образом:
Таблица 1.2 Шесть тригонометрических функций \ (A \)
Обычно мы будем использовать сокращенные названия функций.Обратите внимание на таблицу 1.2, что пары \ (\ sin A \) и \ (\ csc A \), \ (\ cos A \) и \ (\ sec A \), а также \ (\ tan A \) и \ ( \ cot A \) являются обратными величинами:
Пример 1.5
Для прямоугольного треугольника \ (\ треугольник \, ABC \), показанного справа, найдите значения всех шести тригонометрических функций острых углов \ (A \) и \ (B \).
Решение:
Гипотенуза \ (\ треугольник \, ABC \) имеет длину \ (5 \). Для угла \ (A \) противоположная сторона \ (\ overline {BC} \) имеет длину \ (3 \), а соседняя сторона \ (\ overline {AC} \) имеет длину \ (4 \).Таким образом:
\ [\ nonumber \ sin A ~ = ~ \ dfrac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} ~ = ~ \ dfrac {3} {5} \ qquad \ qquad
\ cos A ~ = ~ \ dfrac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} ~ = ~ \ dfrac {4} {5} \ qquad \ qquad
\ tan A ~ = ~ \ dfrac {\ text {напротив}} {\ text { смежный}} ~ = ~ \ dfrac {3} {4} \]
\ [\ nonumber \ csc A ~ = ~ \ dfrac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} ~ = ~ \ dfrac {5} {3} \ qquad \ qquad
\ sec A ~ = ~ \ dfrac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} ~ = ~ \ dfrac {5} {4} \ qquad \ qquad
\ cot A ~ = ~ \ dfrac {\ text {смежный}} {\ text { напротив}} ~ = ~ \ dfrac {4} {3} \]
Для угла \ (B \) противоположная сторона \ (\ overline {AC} \) имеет длину \ (4 \), а соседняя сторона \ (\ overline {BC} \) имеет длину \ (3 \).Таким образом:
\ [\ sin B ~ = ~ \ dfrac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} ~ = ~ \ dfrac {4} {5} \ qquad \ qquad
\ cos B ~ = ~ \ dfrac { \ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} ~ = ~ \ dfrac {3} {5} \ qquad \ qquad
\ tan B ~ = ~ \ dfrac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный} } ~ = ~ \ dfrac {4} {3} \]
\ [\ csc B ~ = ~ \ dfrac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} ~ = ~ \ dfrac {5} {4} \ qquad \ qquad
\ sec B ~ = ~ \ dfrac { % } ~ = ~ \ dfrac {3} {4} \]
Уведомление в примере 1.5, что мы не указали единицы измерения длины. Это повышает вероятность того, что наши ответы зависели от треугольника определенного физического размера.
Например, предположим, что этот учебник читают два разных студента: один в США, а другой — в Германии. Американский студент считает, что длины \ (3 \), \ (4 \) и \ (5 \) в примере 1.5 измеряются в дюймах, тогда как немецкий студент думает, что они измеряются в сантиметрах. Поскольку \ (1 \) в \ (\ ок \) \ (2.54 \) см ученики используют треугольники разных физических размеров (см. Рисунок 1.2.1 ниже, не в масштабе).
Рисунок 1.2.1: \ (△ ABC ∼ △ A ′ B ′ C ′ \)
Если американский треугольник \ (\ треугольник \, ABC \), а немецкий треугольник — \ (\ треугольник \, A’B’C ‘\), то из рисунка 1.2.1 мы видим, что \ (\ треугольник \, ABC \) подобен \ (\ треугольник \, A’B’C ‘\), следовательно, соответствующие углы равны и отношения соответствующих сторон равны.Фактически, мы знаем это общее отношение: стороны \ (\ треугольник \, ABC \) примерно в \ (2.54 \) раз длиннее, чем соответствующие стороны \ (\ треугольник \, A’B’C ‘\). Итак, когда американский студент вычисляет \ (\ sin A \), а немецкий студент вычисляет \ (\ sin A ‘\), они получают тот же ответ:
\ [\ треугольник \, ABC ~ \ sim ~ \ треугольник \, A’B’C ‘\ quad \ Rightarrow \ quad
\ dfrac {BC} {B’C’} ~ = ~ \ dfrac {AB} {A ‘B’} \ quad \ Rightarrow \ quad
\ dfrac {BC} {AB} ~ = ~ \ dfrac {B’C ‘} {A’B’} \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin A ~ = ~ \ sin А ‘\]
Аналогичным образом, другие значения тригонометрических функций \ (A \) и \ (A ‘\) одинаковы.Фактически, наш аргумент был достаточно общим, чтобы работать с любыми подобными прямоугольными треугольниками. Это приводит нас к следующему выводу:
При вычислении тригонометрических функций острого угла \ (A \) вы можете использовать любой прямоугольный треугольник , который имеет \ (A \) в качестве одного из углов.
Поскольку мы определили тригонометрические функции в терминах отношений сторон, вы можете думать об единицах измерения для этих сторон как о сокращении этих отношений. Это означает, что значения тригонометрических функций являются безразмерными числами .\ circ \; = \; \ dfrac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \; = \;
\ dfrac {\ sqrt {3}} {1} \; = \; \ sqrt {3} \]
Пример 1.8
\ (A \) — острый угол такой, что \ (\ sin A = \ frac {2} {3} \). Найдите значения других тригонометрических функций \ (A \).
Решение:
В общем, рисование прямоугольного треугольника помогает решать задачи этого типа. Причина в том, что тригонометрические функции были определены в терминах отношений сторон прямоугольного треугольника, и вам дана одна такая функция (в данном случае синус) уже в терминах отношения: \ (\ sin \; A = \ frac {2} {3} \).2 ~ = ~ 9 ~ — ~ 4 ~ = ~ 5 \ quad \ Rightarrow \ quad
b ~ = ~ \ sqrt {5} \]
Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника \ (\ треугольник \, ABC \), поэтому имеем:
\ [\ cos \; A \; = \; \ dfrac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \; = \; \ dfrac {\ sqrt {5}} {3} \ qquad
\ tan \; A \; = \; \ dfrac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} \; = \;
\ dfrac {2} {\ sqrt {5}} \ quad \ quad \]
\ [\ csc \; A \; = \; \ dfrac {\ text {hypotenuse}} {\ text {напротив}} \; = \; \ dfrac {3} {2} \ qquad
\ sec \; A \; = \; \ dfrac {\ text {hypotenuse}} {\ text {смежный}} \; = \; \ dfrac {3} {\ sqrt {5}} \ qquad
\ cot \; A \; = \; \ dfrac {\ text {смежный}} {\ text {противоположный}} \; = \; \ dfrac {\ sqrt {5}} {2} \]
Возможно, вы заметили связь между синусом и косинусом, секансом и косекансом, а также тангенсом и котангенсом дополнительных углов в Примере 1.5 и 1.7. Обобщение этих примеров дает нам следующую теорему:
Теорема 1.2 Теорема о функциях
Если \ (A \) и \ (B \) — дополнительные острые углы в прямоугольном треугольнике \ (\ треугольник \, ABC \), то выполняются следующие соотношения:
\ [\ sin \; A ~ = ~ \ cos \; B \ qquad \ qquad \ sec \; A ~ = ~ \ csc \; B \ qquad \ qquad \ tan \; A ~ = ~ \ cot \; B \]
\ [\ sin \; B ~ = ~ \ cos \; A \ qquad \ qquad \ sec \; B ~ = ~ \ csc \; A \ qquad \ qquad \ tan \; B ~ = ~ \ cot \; A \]
Мы говорим, что пары функций \ (\ lbrace \; \ sin, \ cos \; \ rbrace \), \ (\ lbrace \; \ sec, \ csc \; \ rbrace \) и \ (\ lbrace \ ; \ tan, \ cot \; \ rbrace \) являются \ (\ textbf {cofunctions} \).\ circ \), поместите \ (30-60-90 \) прямоугольный треугольник \ (\ треугольник \, ADB \) с катетами длиной \ (\ sqrt {3} \) и \ (1 \) поверх гипотенуза прямоугольного треугольника \ (45-45-90 \) \ (\ треугольник \, ABC \), длина гипотенузы которого равна \ (\ sqrt {3} \), как на рисунке справа. Из рисунка 1.2.2 (а) мы знаем, что длина каждого катета \ (\ треугольника \, ABC \) равна длине гипотенузы, деленной на \ (\ sqrt {2} \). Итак, \ (AC = BC = \ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {2}} = \ sqrt {\ frac {3} {2}} \). Нарисуйте \ (\ overline {DE} \) перпендикулярно \ (\ overline {AC} \) так, чтобы \ (\ треугольник \, ADE \) был прямоугольным треугольником.\ circ \), так как это дополнение к \ (\ angle \, BDF \). Гипотенуза \ (\ overline {BD} \) треугольника \ (\ треугольник \, DFB \) имеет длину \ (1 \), а \ (\ треугольник \, DFB \) является \ (45-45-90 \) правой треугольник, поэтому мы знаем, что \ (DF = FB = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \).
Теперь мы знаем, что \ (\ overline {DE} \ perp \ overline {AC} \) и \ (\ overline {BC} \ perp \ overline {AC} \), поэтому \ (\ overline {FE} \) и \ (\ ov
PPT — 1.4 Определение тригонометрических функций PowerPoint Presentation
1.4 Определение тригонометрических функций OBJ: Найдите значения шести тригонометрических функций угла в стандартном положении
Угол с вершиной в начале координат, начальной стороной по оси x и конечной стороной, содержащей точка P с координатами (x, y) P (x, y) y 5 x -5 -5 5 DEF: Стандартное положение
Выберите любую точку P с координатами (x, y) на стороне терминала из (P не может быть вершиной) P (x, y) y 5 x -5 -5 5 Нарисуйте в стандартном положении.
x2 + y2 = r2 P Q O y 5 x -5 -5 5 Проведите к оси x в точке Q, образуя ∆OPQ. PO = r> 0.
X2 + Y2 = R2 P (Opp) YR (Hyp) (Adj) X SOHCAHTOA SYRCXRTYX Sin = Y OppCsc = RHyp R Hyp Y Opp Cos = XAdjSec = RHyp RHypX Adj Tan = YOppCot = XAdj X Adj YOpp y 5 x -5-5 5 DEF: Тригонометрические функции
y y 5 5 xx -5-5-5-5 5 5 Все учащиеся принимают исчисление SATC Sin All Tan Cos
y y 5 5 xx -5-5-5-5 5 5 EX: 1 • Конечная сторона уголка в стандартном положении проходит через острие (8, 15).Найдите значения шести тригонометрических функций P 35 (8, 15) Sin = Y15 Csc = R17 R 17 Y 15 Cos = X8Sec = R17 R 17 X 8 15 Tan = Y15 Cot = X8 X 8 Y 15 8
y 5 x -5 -5 5 EX 2 • Конечная сторона уголка в стандартном положении проходит через точку (-3, — 4). Найдите значения шести тригонометрических функций .P 36 Sin = Y = -4 Csc = R = 5 R 5Y -4 Cos = X = -3Sec = R = 5 R 5X -3 Tan = Y = -4 = 4Cot = X = -3 3-3 X -3 3 Y -44-4 (-3, -4)
y 5 x -5 -5 5 EX 4 • Найдите значения шести тригонометрических функций для угол 90 .P 39 Sin = Y = 1 Csc = R = 1 R 1Y 1 (0, 1) Cos = X = 0Sec = R = 1 = Ø R 1X 0 Tan = Y = 1 = ØCot = X = 0X 0 Y 1
DEF: Четырехугольные углы ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ШЕСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КВАДРАТ. S
DEF: Конечные углы Углы с одинаковой начальной стороной и той же конечной стороной
y 5 x -5 -5 5 EX: Найдите углы наименьшего возможного размера, совпадающего с следующие углы: 900
y 5 x -5 -5 5 EX: Найдите углы наименьшего возможного котерминала измерения со следующими углами: 900 900 — 720 180
DEF: Квадрантальные углы ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ШЕСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КВАДРА.