Контрольная работа геометрия 8 класс параллелограмм: Контрольная работа по геометрии 8 класс по теме параллелограмм и его виды

Контрольная работа по геометрии 8 класс по теме параллелограмм и его виды

І вариант 1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ ВD так, что СВD = АDВ, АВD = СDВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. 2. Одна из сторон прямоугольника в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35º. Найти углы ромба. 4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раза. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см. 5. Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см. 6. Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

ІІ вариант 1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС так, что АСВ = САD, АСD = САВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. 2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой, а его периметр равен 50 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 50º. Найти углы ромба. 4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Отрезок ВЕ больше отрезка ЕС в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 12 см. 5. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В опущены высоты ВЕ и ВF на стороны AD и DC соответственно. Угол ЕВF равен 30º. Найдите периметр ромба, если ВЕ = 6 см. 6. Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма АВСD и пересекает стороны ВС и АD в точках М и К соответственно. Докажите, что четырехугольник АМСК – параллелограмм.

І вариант 1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ ВD так, что СВD = АDВ, АВD = СDВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. 2. Одна из сторон прямоугольника в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35º. Найти углы ромба. 4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раза. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см. 5. Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см. 6. Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

ІІ вариант 1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС так, что АСВ = САD, АСD = САВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. 2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой, а его периметр равен 50 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 50º. Найти углы ромба. 4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Отрезок ВЕ больше отрезка ЕС в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 12 см. 5. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В опущены высоты ВЕ и ВF на стороны AD и DC соответственно. Угол ЕВF равен 30º. Найдите периметр ромба, если ВЕ = 6 см. 6. Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма АВСD и пересекает стороны ВС и АD в точках М и К соответственно. Докажите, что четырехугольник АМСК – параллелограмм.

Геометрия 8 Мерзляк Контрольная 1 с ответами

Контрольная работа № 1 по геометрии в 8 классе с ответами по УМК Мерзляк и др. Тема контрольной: Параллелограмм и его виды. Цитаты из пособия «Геометрия: дидактические материалы 8 класс / Мерзляк, Полонский, Рабинович и др.  / М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям. Геометрия 8 Мерзляк Контрольная 1 + ответы.

Контрольная работа № 1 по геометрии
8 класс УМК Мерзляк и др.

КР-1. Вариант 1 (транскрипт заданий)

1. Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.
2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, АВ = 9 см, АС = 16 см. Найдите периметр треугольника COD.
3. Один из углов ромба равен 72°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.
4. На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки Е и F так, что ∠BCE = ∠DAF (точка Е лежит между точками В и F). Докажите, что СЕ = AF.
5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Отрезок BE больше отрезка ЕС в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 12 см.
6. Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма ABCD и пересекает стороны ВС и AD в точках М и К соответственно. Докажите, что четырёхугольник АМСК — параллелограмм.

КР-1. Вариант 2 (транскрипт заданий)

1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.
2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, AD = 14 см, BD = 18 см. Найдите периметр треугольника ВОС.
3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 68°. Найдите углы ромба.
4. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Р и К так, что АР = СК (точка Р лежит между точками А и К). Докажите, что ∠ADP = ∠CBK.
5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см.
6. Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке Е, пересекает его стороны АВ и CD в точках М и К соответственно, причём ME = КЕ. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

---

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу № 1

КР-01. Вариант 1.

№ 1. Ответ: 9 см, 15 см.
№ 2. Ответ: 25 см.
№ 3. Ответ: 36° и 54°.
№ 5. Р = 42 см.

КР-01. Вариант 2.

№ 1. Ответ: 3 см, 15 см.
№ 2. Ответ: 32 см.
№ 3. Ответ: 136° и 44°.
№ 5. Р = 32 см.

 

---

Вы смотрели: Контрольная работа № 1 по геометрии в 8 классе с ответами по УМК Мерзляк и др. Тема контрольной: Параллелограмм и его виды. Цитаты из пособия «Геометрия: дидактические материалы 8 класс / Мерзляк, Полонский, Рабинович и др.  / М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям. Геометрия 8 Мерзляк Контрольная 1 + ответы.

Вернуться к списку контрольных работ по геометрии 8 класс (Мерзляк)

Контрольная работа по геометрии «Параллелограмм и его виды» (8 класс)

І вариант

1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ ВD так, что СВD = АDВ, АВD = СDВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.

2. Одна из сторон прямоугольника в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35º. Найти углы ромба.

4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раза. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см.

5. Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см.

6. Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

 

ІІ вариант

1. В четырехугольнике АВСD проведена диагональ АС так, что АСВ = САD, АСD = САВ. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.

2. Одна из сторон прямоугольника на 5 см больше другой, а его периметр равен 50 см. Найдите стороны прямоугольника.

3. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 50º. Найти углы ромба.

4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Отрезок ВЕ больше отрезка ЕС в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 12 см.

5. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В опущены высоты ВЕ и ВF на стороны AD и DC соответственно. Угол ЕВF равен 30º. Найдите периметр ромба, если ВЕ = 6 см.

6. Прямая проходит через середину диагонали АС параллелограмма АВСD и пересекает стороны ВС и АD в точках М и К соответственно. Докажите, что четырехугольник АМСК – параллелограмм.

Обобщающий урок по теме «параллелограмм и его виды» (8 класс геометрия)

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК

по теме

«ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО ВИДЫ».

(8 КЛАСС, ГЕОМЕТРИЯ)

Учитель математики Денисова Л.В.

ХОД УРОКА.

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ (Слайд 1-2)

Мы с вами закончили изучать большую тему: «Параллелограмм и его виды».Сегодня мы повторим и обобщим все, что знаем по этой теме. В тетрадях число, классная работа и тема урока «Параллелограмм и его виды». Попробуйте сформулировать цели сегодняшнего урока. ( Дети проговаривают, а учитель записывает на доске.) Итак, цели нашего урока следующие:

1.Повторить все изученные определения по этой теме;

2.Вспомнить свойства изученных фигур;

3.Использовать полученные знания для решения задач.

2. Повторение изученных определений и свойств.

   1. Игра « Да-нет». ( фронтальная работа с классом)

Учитель загадывает по очереди одну из изученных фигур (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм). Ученики пытаются найти ответ, задавая вопросы. На эти вопросы учитель отвечает только словами: «да», «нет». Если вопрос задается некорректно или учитель не хочет давать ответ из дидактических соображений, тогда он отказывается от ответа заранее установленным жестом. Например:

№	Вопросы детей	Ответы
1.	Это четырехугольник?	Да
2.	В нем диагонали равны?	Нет
3.	В нем все углы равны?	Нет
4.	Диагонали в этой фигуре перпендикулярны?	Да
5.	Это ромб?	Да

2. Математический диктант. (Слайды 3-4)

Записать название фигуры с указанным свойством.

(Если свойство выполняется у параллелограмма, то не следует

в ответе перечислять еще и его виды.)

• Диагонали, пересекаясь, делят друг друга пополам у…

• Диагонали равны у…

• Углы, прилежащие к одной стороне, равны у…

• Диагонали перпендикулярны у…

• Диагонали делят углы пополам у …

• Противолежащие углы равны у …

• Все углы равны у…

• Диагонали равны и перпендикулярны у …

• Равноугольный параллелограмм – это …

• Равносторонний прямоугольник – это …

• Равносторонний параллелограмм – это …

• Равноугольный ромб – это …

• Равноугольный и равносторонний четырехугольник – это…

После написания диктанта, взаимопроверка.

Меняются тетрадями с соседом. За 12-13

правильных ответов выставляют «5», за 10-11-«4», за 8-9-«3».

3. Решение задач.

Решить задачи по готовым чертежам. ( Слайды 5-8)

К доске по одному вызываются желающие для решения задач.

Первая и вторая задачи решаются устно, а следующие две –

письменно.

1)ABCD- прямоугольник, AF= FD = 3 см,

периметр прямоугольника. (18 см)

2)ABCD – ромб,

3) ∆ ABC-прямоугольный и равнобедренный,

треугольник вписан квадрат MNPK, AC=12 см, найти сторону

квадрата. (4 см)

4)В прямоугольнике ABCD на диагональ АС опущен перпендикуляр

ВК,

4. Самостоятельная работа. (Слайд 9)

Дети выбирают самостоятельно одну из двух задач.

На отметку «4»:

Стороны параллелограмма пропорциональны числам

3 и 7.Найдите меньшую сторону, если периметр параллелограмма равен 18 см.

Или на «5»:

Один из углов ромба равен 120⁰, а его меньшая диагональ равна 4,5 см. Найдите периметр ромба.

3. Итоги урока.

• Удалось ли нам сегодня достичь поставленных целей?

• Что понравилось на уроке?

• Что запомнилось больше всего?

IV. Домашнее задание.

Параллелограмм

(переход к области параллелограмма или периметру параллелограмма)

Параллелограмм — это плоская форма, противоположные стороны которой параллельны и равны по длине.


| и || показать равные стороны

	Противоположные стороны параллельны
	Противоположные стороны равны по длине
	Противоположные углы равны (углы «а» совпадают, а углы «б» такие же)
	Углы «a» и «b» в сумме составляют 180 °, поэтому они являются дополнительными углами.

Играть с параллелограммом:

ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это все Параллелограммы!

Пример:

Параллелограмм , в котором все углы прямые, это прямоугольник

!

Площадь параллелограмма

Площадь равна основанию , умноженному на высоту : Площадь = b × h ( h находится под прямым углом к ​​ b )

Пример: Параллелограмм имеет основание 6 м и высоту 3 м. Какова его площадь?

Площадь = 6 м × 3 м = 18 м ²

Периметр параллелограмма

Периметр — это расстояние по краям.

Периметр в 2 раза больше (длина основания + стороны) : Периметр = 2 (ш + с)

Пример: у параллелограмма основание 12 см и длина стороны 6 см. Каков его периметр?

Периметр = 2 × (12 см + 6 см) = 2 × 18 см = 36 см

Диагонали параллелограмма

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Другими словами, диагонали пересекаются на полпути.

Внутри любой четырехугольник

А в любом четырехугольнике есть параллелограмм.

Извините, эта страница не была найдена на Quibblo

Найдите тесты

Фильтровать результаты по: Ищи: Опросы
Обзоры
Вопросы
Набранные викторины
Личностные викторины


Искать в: заглавие
Теги
Вопросы
Ответы
ПОИСК

Найди истории

Фильтровать результаты по: Ищи: Истории от одного автора
Групповые истории
Цепные истории
Искать в: заглавие


Теги
ПОИСК

Поиск пользователей

Фильтровать результаты по:

Возраст: из: 181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889293949596979899 кому: 181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889

293949596979899

Пол: мужской женский

Расстояние:

В: 52575100 миль

почтового индекса:

ПОИСК

Найдите площадь параллелограмма, образованного векторами

В этом разделе вы узнаете, как найти площадь параллелограмма, образованного векторами.


Практические задачи


Задача 1:


Найдите площадь параллелограмма, две соседние стороны которого определяются векторами i вектор + 2j вектор + 3k вектор и 3i вектор — 2j вектор + k вектор.

Решение:

Пусть вектор = i вектор + 2j вектор + 3k вектор

b вектор = 3i вектор — 2j вектор + k вектор.

Векторная площадь параллелограмма = вектор a x вектор b

= i [2 + 6] — j [1-9] + k [-2-6]

= 8i + 8j — 8k

= √8 ² + 8 ² + (-8) ²

= √ (64 + 64 + 64)

= √192

= 8√3 квадратных единиц

Задача 2:

Найдите площадь треугольника, вершины которого равны A (3, — 1 , 2), B (1, — 1, — 3) и C (4, — 3, 1).

Решение:

Вектор A = (3i — j + 2k) вектор

Вектор B = (i — j — 3k) вектор

Вектор C = (4i — 3j + k) вектор


Вектор AB = -2i вектор -5k вектор

AC вектор = i вектор — 2j вектор — k вектор

= i [0-10] -j [2 + 5] + k [4-0]

= -10i + 7j-4k

Площадь треугольника = (1/2) | вектор AB x вектор AC |

= (1/2) √ (-10) ² + 7 ² + (-4) ²

= (1/2) √ (100 + 49 + 16)

= (1 / 2) √165

Итак, площадь данного треугольника составляет (1/2) √165 квадратных единиц.

Задача 3:

Если вектор, вектор b, вектор c являются векторами положения вершин A, B, C треугольника ABC, покажите, что площадь треугольника ABC равна (1/2) | a × b + b × c + c × a | вектор. Также выведите условие коллинеарности точек A, B и C.

Решение:

Пусть вектор OA = вектор

Вектор OB = вектор b

Вектор OC = вектор c

Площадь треугольника ABC = (1/2) | вектор AB x вектор AC |

= (1/2) | (OB — OA) x (OC — OA) |

= (1/2) | (b — a) x (c — a) |

= (1/2) | (b x c — b x a — a x c + a x a) |

= (1/2) | (b x c + a x b + c x a + 0 вектор) |

= (1/2) | a x b + b x c + c x a |

Если точки A, B и C лежат на одной прямой, то

Площадь треугольника ABC = 0

(1/2) | a x b + b x c + c x a | = 0

| a x b + b x c + c x a | = 0

a x b + b x c + c x a = 0

Итак, необходимое условие:

a x b + b x c + c x a = 0

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.


Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM


Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Алгебраные задачи со словами

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариации

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

Word по типам ngles

Дополнительные и дополнительные угловые проблемы со словами

Двойные проблемы со словами

Тригонометрические проблемы со словами

Процентные проблемы со словами

Проблемы со словами о прибылях и убытках

Разметка и разметка Проблемы со словами

Проблемы со словами с десятичными числами

Проблемы со словами с дробями

Проблемы со словами в смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами с линейными неравенствами

Соотношение и пропорции Задачи со словами

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами на постоянной скорости

Проблемы со словами на средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

Графики рациональных функций

Графики рациональных функций с отверстиями


Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с помощью long di видение

л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4


Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3


Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Когда параллелограмм является ромбом?

Когда параллелограмм является ромбом?

Я думаю о параллелограмме, диагонали которого перпендикулярны.Назовите этот параллелограмм.

Если вы догадались, что это квадрат, значит, вы не очень хорошо прочитали заголовок этого раздела. Это ромб! Хорошая вещь в работе с параллелограммами заключается в том, что диагонали создают множество треугольников, которые просто просят быть доказанными конгруэнтными. На рисунке 16.6 параллелограмм ABCD имеет перпендикулярные диагонали. Конгруэнтные треугольники пытаются общаться с вами. Слушай внимательно.

Рисунок 16.6 Параллелограмм ABCD с ¯AC ⊥ ¯BD.

• Теорема 16.6 : Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, параллелограмм представляет собой ромб.

Давайте сразу перейдем к плану игры. Вы знаете, что ¯AC ⊥ ¯BD, поэтому m∠AMB = 90º и m∠CMB = 90º. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, вы знаете, что ¯AM ~ = ¯MC. Рефлексивное свойство ~ = позволяет писать ¯BM ~ = ¯BM. Согласно постулату SAS, вы знаете, что ΔAMB ~ = ΔCMB. Благодаря CPOCTAC вы знаете, что ¯AB ~ = ¯BC. Поскольку ¯AB ~ = ¯BC и ¯AB ~ = ¯BC являются смежными сторонами, у вас есть параллелограмм с совпадающими смежными сторонами, a.k.a. ромб.

	Заявления	Причины
1.	Параллелограмм ABCD имеет ¯AC ⊥ ¯BD	Дано
2.	AMB и ∠CMB правильные	Определение ⊥
3.	m∠AMB = 90º и m∠CMB = 90º	Определение прямого угла
4.	∠AMB ~ = ∠CMB	Определение ~ =
5.	¯AM ~ = ¯MC	Теорема 15,6
6.	¯BM ~ = ¯BM	Отражательное свойство ~ =
7.	ΔAMB ~ = ΔCMB	Постулат SAS
8.	¯AB ~ = ¯BC	CPOCTAC
9.	Параллелограмм ABCD представляет собой ромб	Определение ромба

Теперь давайте получим небольшую хитрость. Предположим, у вас есть прямоугольник ABCD.Найдите середины каждой из сторон прямоугольника и последовательно соедините их вместе, чтобы сформировать четырехугольник MNOP, как показано на рисунке 16.7. Какой четырехугольник получается?

Рис. 16.7 Прямоугольник ABCD, середины каждой стороны которого последовательно соединены вместе, образуя четырехугольник MNOP.

На картинке он похож на параллелограмм. Однако вы должны быть осторожны, потому что внешний вид обманчив. Также похоже, что диагонали вновь созданного четырехугольника перпендикулярны.Если рисунок точный, у вас может возникнуть соблазн сделать вывод, что четырехугольник — это ромб. Давайте это докажем.

• Теорема 16.7 : Если середины сторон прямоугольника соединены по порядку, полученный четырехугольник представляет собой ромб.

Для этого вам нужен серьезный план игры. Поскольку M, N, O и P являются серединами ¯AB, ¯BC, ¯CD и ¯AD, вы знаете, что ¯BN ~ = ¯NC ~ = ¯AP ~ = ¯PD и ¯AM ~ = ¯MB ~ = ¯OD ~ = ¯CO. Поскольку вы имеете дело с прямоугольником, вы знаете, что m∠A = 90º, m∠B = 90º, m∠C = 90º и m∠D = 90º.Итак, согласно Постулату САС, ΔPAM ~ = ΔNBM ~ = ΔPDO ~ = ΔNCO. Применение принципа CPOCTAC ¯MN ~ = ¯MP ~ = ¯PO ~ = ¯NO. Итак, противоположные стороны равны, а четырехугольник MNOP — параллелограмм. Кроме того, смежные стороны совпадают, поэтому параллелограмм MNOP представляет собой ромб.

	Утверждения	Причины
1.	Прямоугольник ABCD, середины каждой стороны которого последовательно соединены вместе, образуя четырехугольник MNOP	Дано
2.	¯BC ~ = ¯NC, ¯AP ~ = ¯PD и ¯OD ~ = ¯CO	Определение средней точки
3.	¯AB ~ = ¯CD и ¯BC ~ = ¯AD	Теорема 15.4
4.	BN = 1 / 2 BC, AP = 1 / 2 AD, AM = 1 / 2 AB и CO = 1 / 2 CD	Теорема 9.1
5.	BN = NC = AP = PD и AM = MB = OD = CO	Замена (шаги 2, 3, 4)
6.	¯BN ~ = ¯NC ~ = ¯AP ~ = ¯PD и ¯AM ~ = ¯MB ~ = ¯OD ~ = ¯CO	Определение ~ =
7.	m∠A = 90º . m∠B = 90º, m∠C = 90º и m∠D = 90º	Определение прямоугольника
8.	ΔPAM ~ = ΔNBM ~ = ΔPDO ~ = ΔNCO	Постулат SAS
9.	¯MN ~ = ¯MP ~ = ¯PO ~ = ¯NO	CPOCTAC
10.	Четырехугольник MNOP является параллелограммом	Теорема 16.2
11.	Четырехугольник MNOP — это ромб	Определение ромба

Выдержка из Полное руководство идиота по геометрии © 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право воспроизведения полностью или частично в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476.Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия

Параллелограмм. Свойства параллелограмма.
Знаки параллелограмма. Прямоугольник. Ромб.
кв. Трапеция. Равнобедренная трапеция.
Средняя линия трапеции и треугольника.

Параллелограмм (ABCD, рис.32) — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются основаниями , расстояние между ними называется высотой (BE, рис.32).

Свойства параллелограмма.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы параллелограмма равны (A = С, В = D).

3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения на две
(AO = OC, BO = OD).

4. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырех сторон :
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Знаки параллелограмма.

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны равны два на два (AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы равны два на два ( А = C, B = D).

3. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD, AB || CD).

4. Диагонали делятся в точке пересечения на две (AO = OC, BO = OD).

Прямоугольник.

Если один из углов параллелограмма прямой, то все углы прямые (почему?). Этот параллелограмм называется прямоугольником (рис.33).

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника одновременно являются его высотой.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагональной длины равен сумме квадратов длин его сторон (см. Выше теорему Пифагора):

AC² = AD² + DC².

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом (рис.34).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC BD) и разделяют его углы на два (DCA = BCA, ABD = CBD и т. Д.).

Квадрат представляет собой параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами (рис.35). Квадрат — это частный случай прямоугольника и ромба. одновременно; Итак, у него есть все вышеупомянутые свойства.

Трапеция представляет собой четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны (рис.36).

Здесь AD || г. до н.э. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие (AB и CD) боковыми сторонами. Расстояние между базами (BM) — высота . Отрезок EF, соединяющий средние точки E и F боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельно им: EF || AD и EF || ДО Н.Э.
Трапеция с равными боковыми сторонами (AB = CD) называется равнобедренной трапецией . В равнобедренной трапеции углы по каждому основанию равны (A = D, B = C). Параллелограмм можно рассматривать как частный случай трапеции.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон треугольника.

No related posts.