ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° гСомСтрия 10 класс атанасян: Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-мСтодичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (10 класс) ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10, 11 класса ΠΊ УМК Π›. Π‘. Атанасяна ΠΈ Π΄Ρ€.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎ-мСтодичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (10 класс) ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅: ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10, 11 класса ΠΊ УМК Π›. Π‘. Атанасяна ΠΈ Π΄Ρ€.

1 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ОснованиС Β AD Β Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Β ABCDΒ  Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Β Π² плоскости Ξ±. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’Β ΠΈ Π‘Β ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π•Β ΠΈ F соотвСтствСнно.

Π°) Каково Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямых Π•FΒ ΠΈ АВ?

Π±) Π§Π΅ΠΌΡƒ Β Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β ΡƒΠ³ΠΎΠ» Β ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ  прямыми Β Π•FΒ ΠΈ АВ,  Ссли АВБ = 150Β°? ΠŸΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅.

2. Π”Π°Π½ пространствСнный Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCD, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ АБ ΠΈ BD Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ сторон этого Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° соСдинСны ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

Π°) Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ рисунок ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅.

Π±) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±.

2 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ АВБ и АDC Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… плоскостях ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ сторону АБ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Р – сСрСдина стороны AD, Π° K – сСрСдина стороны DC.

Π°) Каково Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямых Π KΒ ΠΈ АВ?

Π±) Π§Π΅ΠΌΡƒ Β Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β ΡƒΠ³ΠΎΠ» Β ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ  прямыми Β Π K Β ΠΈ  АВ,  Ссли АВБ = 40Β° ΠΈ  ВБА = 80Β°? ΠŸΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅.

2. Π”Π°Π½  пространствСнный Β Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ  АВБD,  М  ΠΈ Β N  –  сСрСдины  сторон  АВ Β ΠΈ  ВБ соотвСтствСнно; Β Π• CD, K DA, DEΒ : ECΒ = 1 : 2, DKΒ : KAΒ = 1 : 2.

Π°) Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ рисунок ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅.

Π±) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ MNEKΒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ трапСция.

1 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ aΒ ΠΈ bΒ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях Ξ± ΠΈ Ξ². ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ эти прямыС Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ:

Π°) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ;

Π±) ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ?

Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ рисунок для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ случая.

2. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ О, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями Ξ± ΠΈ Ξ², ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ прямыС lΒ ΠΈΒ m. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ l пСрСсСкаСт плоскости Ξ± ΠΈ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1Β ΠΈ А2 соотвСтствСнно, прямая m – Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π’1Β ΠΈ Π’2. НайдитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° А2Π’2, Ссли А1Π’1Β = 12 см, Π’1О : ΠžΠ’2Β = 3 : 4.

3. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDA1B1C1D1Β ΠΈ постройтС Π΅Π³ΠΎ сСчСниС ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M, NΒ ΠΈ K, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ сСрСдинами Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ АВ, Π’Π‘Β ΠΈ DD1.

2 Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ a ΠΈ b Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ плоскостях Ξ± ΠΈ Ξ². ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ эти прямыС Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ:

Π°) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ;

Π±) ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ?

Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ рисунок для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ случая.

2. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  О, Β Π½Π΅ Β Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Β ΠΌΠ΅

Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, (10 класс)

Π‘Π‘ΠžΠ ΠΠ˜Πš

ΠšΠžΠΠ’Π ΠžΠ›Π¬ΠΠ«Π₯ Π ΠΠ‘ΠžΠ  ПО Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜

10 класс

ΠŸΠΎΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ записка

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ содСрТат задания Π½Π° воспроизвСдСниС (40%), ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (40%) ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ (20%) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ. ВСматичСскиС ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ усвоСния учащимися стандартов Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ провСсти качСствСнный Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈ ΡΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅Π² оцСнивания Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ учащимся ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свою ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΡƒΡŽ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для достиТСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ качСствСнных Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ впослСдствии Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–1 10 класс.

Π’Π΅ΠΌΠ°: «Аксиомы ΠΈ ΠΈΡ… слСдствия».

ЦСль: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ усвоСния Π“ΠžΠ‘Πž:

— знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ аксиомы стСрСомСтрии ΠΈ ΠΈΡ… слСдствия;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ рисунки ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Β 

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1.ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… плоскости ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой?

2.ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± ΠΏΠΎ прямой b. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая a пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ b. Π“Π΄Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°

b ?

3.ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ a, b ΠΈ c, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, проходят Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти прямыС, взятыС ΠΏΠΎ Π΄Π²Π΅.

4.Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B ΠΈ прямая CD Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Каково Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых CD ΠΈ AB ?

5.Π”Π²Π΅ сосСдниС Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости Ξ±. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² этой ΠΆΠ΅ плоскости.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ξ± ΠΈ Ξ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ прямой

Π° . ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ b лСТащая Π² плоскости Ξ², пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А. Π“Π΄Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А ?

2.ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ AB ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘ ΠΈ D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС AB ΠΈ CD ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ.

3.ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ξ± ΠΈ Ξ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ прямой AB. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ξ² ΠΈ Ξ³ ΠΏΠΎ прямой BC, Π° плоскости Ξ± ΠΈ Ξ³ ΠΏΠΎ прямой АБ. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A, B, C Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой.

4.Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΈ Π’. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ C ΠΈ D, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B, C, D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости.

5.Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° АВ ΠΈ диагональ BD ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости Ξ±. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Π‘ этого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² этой ΠΆΠ΅ плоскости.

Β 

РаспрСдСлСниС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΡŽ слоТности

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

линия

Воспроиз-Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅-Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тСкстС

Аксиомы стСрСомСтрии

β„–1,2

β„–3,4

Β 

80%

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ свойства

Β Β 

β„–5

20 %

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ

40 %

40 %

20 %

100 %

БпСцификация Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания

β„–

задания

Π₯арактСристика задания

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ элСмСнты

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ провСряСмо-Π³ΠΎ элСмСнта

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹-ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ задания

1

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ аксиом.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обоснования.

1 Π±Π°Π»Π»

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

1 Π±Π°Π»Π»

2

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ аксиом.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обоснования.

1 Π±Π°Π»Π»

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

1 Π±Π°Π»Π»

3

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ аксиом.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обоснования.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

4

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ аксиом.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обоснования.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

5

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ аксиом.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ обоснования.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания:

1-10 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«2Β»

11-15 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«3Β»

16-19 Π±Π°Π»Π»Π° – Β«4Β»

20-21 Π±Π°Π»Π» – Β«5Β»


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 


Β 

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–2 10 класс.

Π’Π΅ΠΌΠ°: Β«ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых, прямой ΠΈ плоскости, плоскостСй».

ЦСль: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ усвоСния Π“ΠžΠ‘Πž:

— знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ опрСдСлСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямой ΠΈ плоскости, плоскостСй;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ рисунки ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Β 

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B, C, D Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямыС AB ΠΈ CD:

Π°) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ; ;Π±) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ

Π²) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ.

2. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону AD Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD

ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ  BCA =  CAD.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ BC ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ξ±.

3.ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ABCD ΠΈ трапСция BEFC Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M ΠΈ N сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² BE ΠΈ FC соотвСтствСнно.

Π°) Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ MN ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ AD

Π±) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ MN, Ссли AD=10 см, EF=6 см.

4. На сторонС AD ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А1 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ DA1=4 см. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ АБ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А1 ΠΈ пСрСсСкаСт сторону CD Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π‘1.

Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² C1DA1 ΠΈ ABC

Π±) НайдитС АБ, Ссли Π’Π‘=10 см, А1Π‘1=6см.

5. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± пСрСсСкаСт стороны ΡƒΠ³Π»Π° ВАБ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2. НайдитС А2Π’2 ΠΈ АА2, Ссли А1Π’1=18, АА1=24, АА2=⅔А1А2.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, B, C, D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямыС AB ΠΈ CD:

Π°) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ; Π±) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ;

Π²) Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ.

2.Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону AD Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD

ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

 ABC +  DAB = 180ΒΊ .Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ BC ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ξ±.

3. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ BEC ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABCD Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ M ΠΈ N сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² BE ΠΈ EC соотвСтствСнно.

Π°) Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AD ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ MN

Π±) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ AD, Ссли MN=5 см.

4. На сторонС Π’Π‘ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π‘1 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π‘1Π’=3 см.ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ АБ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π‘1 ΠΈ пСрСсСкаСт сторону АВ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А1.

Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ADΠ‘ ΠΈ C1Π’A1

Π±) НайдитС АD, Ссли А1Π‘1=4 см, АБ=12см.

5. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± пСрСсСкаСт стороны ΡƒΠ³Π»Π° ВАБ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2. НайдитС АА2 ΠΈ АВ2, Ссли А1А2=2, А1А=12, АВ1=5.

Β 

РаспрСдСлСниС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΡŽ слоТности

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

линия

Воспроиз-Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅-Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тСкстС

РасполоТСниС прямых Π² пространствС

β„–1

β„– 3

Β 

40%

РасполоТСниС прямой ΠΈ плоскости

β„–2

β„– 4

Β 

40%

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости

Β Β 

β„– 5

20%

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ

40 %

40 %

20 %

100 %

БпСцификация Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания

β„–

задания

Π₯арактСристика задания

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ элСмСнты

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ провСряСмо-Π³ΠΎ элСмСнта

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹-ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ задания

1

РасполоТСниС прямых Π² пространствС.

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ опрСдСлСния.

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

ЛогичСскоС обоснованиС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

2

РасполоТСниС прямой ΠΈ плоскости.

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямой ΠΈ плоскости.

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

3

РасполоТСниС прямых Π² пространствС.

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямых.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Бвойство срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

4

РасполоТСниС прямой ΠΈ плоскости.

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Бвойства прямой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости.

1 Π±Π°Π»Π»

ПодобиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

1 Π±Π°Π»Π»

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

5

Бвойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй.

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

ПодобиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

2 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

2 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания:

1-10 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«2Β»

11-15 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«3Β»

16-19 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«4Β»

20-21 Π±Π°Π»Π» – Β«5Β»

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–3 10 класс.

Π’Π΅ΠΌΠ°: Β«ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй».

ЦСль: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ усвоСния Π“ΠžΠ‘Πž:

— знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ свойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй;

— знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ свойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ проСктирования;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Β 

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ А ΠΈ Π‘ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС А1Π‘ ΠΈ Π‘1Π‘ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² плоскости ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй А1АВ ΠΈ Π‘1Π‘D.

2. Основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плоскости. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ этой плоскости? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅.

3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ABCD, зная ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ А, Π’ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ О, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, Π’1 ΠΈ О1.

4. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Π° ΠΈ b ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2 соотвСтствСнно.

Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ А1Π’1 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ А2Π’2 Π±) НайдитС А2А1Π’1, Ссли А1А2Π’2=140α΄Ό

5. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± пСрСсСкаСт стороны ΡƒΠ³Π»Π° ВАБ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2. НайдитС А2Π’2 ΠΈ АА2, Ссли А1Π’1=18, АА1=24, АА2=⅔А1А2.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ А ΠΈ Π‘ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС А1Π‘ ΠΈ Π‘1Π‘ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² плоскости ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй

А1АD и C1CB.

2. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плоскости. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ этой плоскости? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅.

3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ, зная ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ А ΠΈ сСрСдины К, М сторон АВ ΠΈ Π’Π‘, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А1, К1 ΠΈ М1.

4. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Π° ΠΈ b ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2 соотвСтствСнно.

Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ А1Π’1 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ А2Π’2 Π±) НайдитС В1Π’2А2, Ссли В1А1А2=50α΄Ό

5. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± пСрСсСкаСт стороны ΡƒΠ³Π»Π° ВАБ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1 ΠΈ Π’1, Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А2 ΠΈ Π’2. НайдитС АА2 ΠΈ АВ2, Ссли А1А2=2, А1А=12, АВ1=5.

Β 

РаспрСдСлСниС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΡŽ слоТности

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

линия

Воспроиз-Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅-Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅

ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² тСкстС

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости

β„–1,2

β„–4

β„–5

80%

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

Β 

β„–3

Β 

20%

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ

40 %

40 %

20 %

100 %

БпСцификация Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания

β„– задания

Π₯арактСристика задания

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ элСмСнты

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ провСряСмо-Π³ΠΎ элСмСнта

Π‘Π°Π»Π» Π·Π° Π²Ρ‹-ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ задания

1

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ плоскостСй

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ плоскостСй

1 Π±Π°Π»Π»

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Π±Π°Π»Π»

2

ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ плоскостСй

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ плоскостСй

1 Π±Π°Π»Π»

3 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

2 Π±Π°Π»Π»Π°

3

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ проСктирования

3 Π±Π°Π»Π»Π°

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ построСния

1 Π±Π°Π»Π»

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Π±Π°Π»Π»

4

Бвойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Π±Π°Π»Π»

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй

1 Π±Π°Π»Π»

Бвойство ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

1 Π±Π°Π»Π»

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

2 Π±Π°Π»Π»Π°

5

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ свойства

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

2 Π±Π°Π»Π»Π°

5 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ²

ПодобиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

2 Π±Π°Π»Π»Π°

ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 Π±Π°Π»Π»

ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ оцСнивания:

1-10 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«2Β»

11-15 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«3Β»

16-19 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² – Β«4Β»

20-21 Π±Π°Π»Π» – Β«5Β»

Β 

Β 

Β 

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–4 10 класс.

Π’Π΅ΠΌΠ°: Β«ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых, прямой ΠΈ плоскости».

ЦСль: ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ усвоСния Π“ΠžΠ‘Πž:

— знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ свойства пСрпСндикулярных прямых, прямой ΠΈ плоскости;

-знания ΠΈ умСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… пСрпСндикулярах;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ;

— ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Β 

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚.

1. Π”Π°Π½ΠΎ: АВ β”΄ Ξ±, CD β”΄ Ξ±, AB=CD.ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD.

2. Π”Π°Π½ ΠΊΡƒΠ± ABCDA1B1C1D1. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ: AD β”΄ (DCC1).

3. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S ΠΊ плоскости Ξ± ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10 класса

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10 класса ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ нСсколько Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΡƒ Атанасян, ГСомСтрия для 10-11 классов. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ ΠΊ вопросам. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅Β ΠΏΠΎ 8 вопросов. ВсСго 9 ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ.

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ содСрТимого Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
Β«ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10 класса Β»

Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

10 класс

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΠ»Π°: ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

Π“ΠΠŸΠžΠ£ МО Β«ΠœΡƒΡ€ΠΌΠ°Π½ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π΄ΠΆ экономики ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉΒ»

ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π° Алёна НиколаСвна, Π³. ΠœΡƒΡ€ΠΌΠ°Π½ΡΠΊ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–1.

Аксиомы стСрСомСтрии ΠΈ слСдствия ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сСрСдина Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости?

  2. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ плоскости ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ прямой?

  3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости KMN. НазовитС ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ пСрСсСчСния плоскостСй AMN ΠΈ AKM.

  4. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ АВ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ AD ΠΈ Π’Π‘ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’. Бколько Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±?

  5. Π’ пространствС Π΄Π°Π½Ρ‹ прямая ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ… провСсти?

  6. *Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой?

  7. *ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ прямыС ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости?

  8. *Π’Ρ€ΠΈ прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ провСсти ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… прямых.

Бколько Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… плоскостСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти? РассмотритС всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ случаи.

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

АМ

Ρ‚Ρ€ΠΈ

ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ

Π½Π΅Ρ‚

Π΄Π°

Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–2.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Π² пространствС.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ прямая, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ этой плоскости?

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой Π° ΠΈ плоскости Ξ±, Ссли:

a || b ΠΈ прямая b пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±.

  1. Π”Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² ΠΈ прямыС Π°, b, с. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… прямых ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° плоскости Ξ². НазовитС эту ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Ссли:

Π° || с , прямыС b ΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° прямая с Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ².

  1. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ прямая Π² пространствС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ?

  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой Π° ΠΈ плоскости Ξ±, Ссли Π² плоскости Ξ± Π½Π΅ сущСствуСт прямой, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π°.

  3. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹?

  4. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямыС AB ΠΈ CD Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли прямыС AD ΠΈ BC ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ?

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ

Π°

Π΄Π°

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

Π½Π΅Ρ‚

Π΄Π°

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–3.

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых Π² пространствС

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π΄Π²Π΅ прямыС Π² пространствС Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² пространствС Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌ?

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых a ΠΈ b , Ссли прямая Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±, Π° прямая b пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π½Π° прямой Π°.

  4. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ l пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’. НазовитС ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ с l ΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ сторону Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

  5. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ Π½Π° плоскости, Π² пространствС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈ Π½Π° плоскости, ΠΈ Π² пространствС Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

«Если Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прямыС Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ?

  2. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π² пространствС Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° с соотвСтствСнно ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ?

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· случаСв Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ располоТСния прямых a ΠΈ b Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½, Ссли прямая Π° пСрСсСкаСтся с с, Π° b||с.

Π½Π΅Ρ‚

Π½Π΅Ρ‚

ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ

АБ

Π½Π° плоскости

Π΄Π°

Π΄Π°

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–4.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй.

ВСтраэдр ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая, лСТащая Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плоскости?

  2. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° тСтраэдра Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых?

  3. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости Ξ± ΠΈ Ξ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ³ ΠΏΠΎ прямым a ΠΈ b соотвСтствСнно. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых a ΠΈ b .

  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ сСчСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдины Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Ρ‘Π±Π΅Ρ€.

  5. Π”Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А Π²Π½Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π² пространствС ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ всС прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ проходящиС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Как располоТСна эта Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ плоскости Ξ±?

  6. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прямая, Ρ‚ΠΎ эти прямыС ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ?

  7. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π² тСтраэдрС DABC Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ DBC ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ DA?

  8. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ³ пСрСсСкаСт ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости Ξ± ΠΈ Ξ² ΠΏΠΎ прямым a ΠΈ b соотвСтствСнно. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ с скрСщиваСтся с прямой b . Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· случаСв Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ располоТСния прямых Π° ΠΈ с Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½.

  9. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π² пространствС ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ сСрСдины всСх ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² с ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°ΠΌΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых. Как располоТСна эта Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ прямым?

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ

плоскости – ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ – Ξ±

Π½Π΅Ρ‚

Π½Π΅Ρ‚

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ прямым

,

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–5.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ прямыС, пСрпСндикулярныС ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ прямая, пСрпСндикулярная ΠΊ плоскости, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² этой плоскости?

  3. Π”Π°Π½Ρ‹ прямыС a ΠΈ b ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми, Ссли a Ξ±, b || Ξ±.

  4. ОА – прямая, пСрпСндикулярная ΠΊ плоскости равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ. НазовитС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ ОБ.

  5. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярными ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости?

  6. Π”Π°Π½Ρ‹ прямыС a, b, c ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ срСди Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… прямых ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, Ссли a Ξ±, b || Ξ±, с Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±.

  7. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ a Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±, Ξ±. Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ вмСсто пропусков обозначСния a, b ΠΈΠ»ΠΈ Ξ± Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ:

«Если прямая пСрпСндикулярна ΠΊ …, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° пСрпСндикулярна ΠΊ … ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° …»

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

90Β°

ΠžΠ’

Π½Π΅Ρ‚

Π°

Ξ± – a — b

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–6.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅.

Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° пСрпСндикуляра мСньшС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этой ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌ?

  3. SA – пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ, Ссли SB Π’Π‘.

  4. SA – пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБD. НазовитС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S Π΄ΠΎ прямой Π‘D.

  5. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону Π’Π‘ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ±. АО – пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости Ξ±. НазовитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ АБ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ξ±.

  6. *Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ любой прямой ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости Π΄ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости?

  7. *ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ прямыС, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ с Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ?

  8. * SA – пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ. НазовитС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ сторону Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли SΠ‘ Π’Π‘.

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

прямоуг.

SD

ΡƒΠ³ΠΎΠ» АБО

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

АВ

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–7.

Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая прямая, лСТащая Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… пСрпСндикулярных плоскостСй, пСрпСндикулярна ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ диагональ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ мСньшС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Ρ‘Π±Π΅Ρ€?

  3. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ Ξ± ΠΈ Ξ² пСрпСндикулярны. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π° Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости Ξ±. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой Π° ΠΈ плоскости Ξ±, Ссли Π° Ξ².

  4. РавносторонниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ АВБ ΠΈ АDΠ‘ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. М – сСрСдина АБ. НазовитС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

  5. *Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ пСрСсСчСния плоскостСй, Ρ‚ΠΎ эти плоскости пСрпСндикулярны?

  6. *ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ сСчСниС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, пСрпСндикулярной ΠΊ основаниям, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ?

  7. *DА – пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ. НазовитС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями АВБ ΠΈ DΠ’Π‘, Ссли АВ – Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ.

Π½Π΅Ρ‚

Π½Π΅Ρ‚

Π° ||Ξ±

Π’ΠœD

Π½Π΅Ρ‚

Π½Π΅Ρ‚

DБА

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–8.

ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания любой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях?

  2. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°?

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ количСство сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π² основании, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сСмь Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ€ΠΎΠΌΠ±, трапСция), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся сСчСниСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, Ссли это сСчСниС ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ основания ΠΈ пСрСсСкаСт Π΄Π²Π΅ стороны Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π³ΠΎ основания.

  5. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярными ΠΊ плоскости основания?

  6. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΉ?

  7. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΅Ρ‘ основания?

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

5

трапСция

Π½Π΅Ρ‚

Π΄Π°

Π½Π΅Ρ‚

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–9.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. ДСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π² пространствС

  1. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹?

  2. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых?

  3. Π’ тСтраэдрС DАВБ Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ суммС .

  4. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° АВБD ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О. НайдитС число ΠΈΠ· равСнства .

  5. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых АВ ΠΈ Π‘D, Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ сонаправлСны.

  6. SО – высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SАВБD. НайдитС число 𝝀 ΠΈΠ· равСнства .

  7. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых АВ ΠΈ Π‘D, Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.

Π½Π΅Ρ‚

Π½Π΅Ρ‚

0,5

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

-0,5

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° использовался ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Атанасян, 10-11ΠΊΠ»., ГСомСтрия.

Π“Π”Π— ΠΊ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΡƒ Атанасяна / ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ / КА-1 А1 гСомСтрия 10 класс ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π•Ρ€ΡˆΠΎΠ²Π°, Π“ΠΎΠ»ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΡŒΠΊΠΎ

РСшСниС Π΅ΡΡ‚ΡŒ!
  • 1 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • Английский язык
    • Русский язык
    • ΠœΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°
    • Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°
    • ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΡ€
  • 2 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • Английский язык
    • Русский язык
    • НСмСцкий язык
    • Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • ΠœΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°
    • Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°
    • ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΡ€
    • ВСхнология
  • 3 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • Английский язык
    • Русский язык
    • НСмСцкий язык
    • Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • ΠœΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°
    • Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°
    • ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΡ€
    • ΠšΠ°Π·Π°Ρ…ΡΠΊΠΈΠΉ язык
  • 4 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
    • Английский язык
    • Русский язы

ГСомСтрия 10-ΠΉ класс — ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°

ГСомСтрия 10-ΠΉ класс.

Π£Π§Π•Π‘ΠΠ˜Πš:

Атанасян Π›.Π‘., Π‘ΡƒΡ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ² Π’.Π€., ΠšΠ°Π΄ΠΎΠΌΡ†Π΅Π² Π‘.Π‘., КисСлСва Π›.Π‘., Позняк Π­.Π“.

β€œΠ“Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ 10 — 11”

(М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1992 ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ издания)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡƒΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

(2 часа Π² нСдСлю, всСго 68 часов)

Π’Π΅ΠΌΠ°

Кол-Π²ΠΎ часов

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ (измСнСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ)

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2Ρ‡.)

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй (19Ρ‡.)

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых, прямой ΠΈ плоскости. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

3

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„–1.

1

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых Π² пространствС. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя прямыми. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

3

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

1

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–1.

1

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

3

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„–2.

1

ВСтраэдр ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄.

5

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–2.

1

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй (16Ρ‡.)

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости.

4

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

4

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„–3.

1

Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

4

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

2

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–3.

1

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ (16Ρ‡.)

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

4

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

5

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.

2

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„–4.

1

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

3

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–4.

1

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² пространствС (11Ρ‡.)

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² пространствС.

2

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

2

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

3

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„–5.

1

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

2

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„–5.

1

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4Ρ‡.)

ΠšΠžΠΠ’Π ΠžΠ›Π¬ΠΠ«Π•, Π‘ΠΠœΠžΠ‘Π’Π―Π’Π•Π›Π¬ΠΠ«Π• Π ΠΠ‘ΠžΠ’Π« И ЗАЧЕВЫ

Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―

10-ΠΉ ΠšΠ›ΠΠ‘Π‘

Π“Π»Π°Π²Π° I. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 1

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Задания β„– 23, 28 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Задания β„– 24, 27 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„– 1

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Ρƒ

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1

1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ аксиомы А1 β€” А3, Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΒ­Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… смысл.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямой ΠΈ плоскости.

3. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ B ΠΈ Π‘ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AΠ’Π‘ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости , Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° А Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² этой плоскости. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° прямой АБ ΠΈ пСрСсСкаСт сторону АВ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ AM:MB =3 : 4. Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая Π° пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ . Π±) НайдитС сторону AC, Ссли Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М Π΄ΠΎ плоскости Ρ€Π°Π²Π½Π° 7 см.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2

1. ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС случаи Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ располо­ТСния прямой ΠΈ плоскости.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅Β­ΡΡ прямыС.

3. На сторонах АВ ΠΈ АБ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AΠ’Π‘ взяты соотвСтствСнно Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π  ΠΈ T; Π Π’ = 4 см, АР : Π Π’ =1 : 3. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π  ΠΈ T ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Π’Π‘. Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π Π’ ΠΈ Π’Π‘ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π±) НайдитС ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π’Π‘.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 2

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 45 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 46 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 1

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ сторон CD ΠΈ BD Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BCD Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости , Π° сторона Π’Π‘ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² этой плоскости: Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая Π’Π‘ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой.

3. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ КМ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° сторонС Π’Π‘ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости AΠ’Π‘. ВыяснитС Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых КМ ΠΈ AΠ’ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ссли AΠ’Π‘ = 110Β°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π‘Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ сторон CD ΠΈ АВ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΒ­ΠΌΠ° ABCD Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² плоскости , Π° сторона Π’Π‘ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² этой плоскости. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая AD ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

3. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ КМ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° сторонС Π’Π‘ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AΠ’Π‘ ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости АВБ.ВыяснитС Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямых КМ ΠΈ АВ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ссли АВБ = 105Β°.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 3

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ АВ, AC, AD Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К, М, N β€” соотвСтствСнно ΠΈΡ… сСрСдины, Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ плоскости BCD ΠΈ KMN ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π±) НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Β­ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BCD, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° KMN Ρ€Π°Π²Π½Π° 36 ΠΌ2.

2. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 63 (Π°) ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π’Ρ€ΠΈ прямыС, проходящиС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А, Π’ ΠΈ Π‘, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ β€” Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… AΒ­1, B1, C1.Π°) Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ АВБ ΠΈ A1B1C1ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹, Π±) НайдитС АВ : А1Π’1, Ссли МБ =CC1.

2. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ β„– 63 (Π±) ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„– 2

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Ρƒ

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1

1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΒ­Ρ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй.

3. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Β­Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΒ­ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ , ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ плоскости АВБ, соотвСт­ствСнно Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… А1, B1 ΠΈ Π‘Β­1 НайдитС стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° A1B1C1, Ссли АВ = 5 см, АБ = 4 см, ВАБ = 60Β°.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2

1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅ всС случаи Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ распо­лоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… прямых.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями.

3. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΠžΠ’ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ABCD, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми АО ΠΈ CD, Ссли ΠžΠΠ’ = 130Β°.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 2

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π’ тСтраэдрС ABCD Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М, К ΠΈ Π β€” сСрСдины Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ АВ, BD ΠΈ Π’Π‘. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ МКР ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° плоскости ACD, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° МКР, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ACD Ρ€Π°Π²Π½Π° 48 см2.

2. Π”Π°Π½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDA1B1C1D1. ΠŸΠΎΒ­ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ сСчСниС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° АВ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎ плоскости ACC1.

3. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая, лСТащая Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй, ΠΏΠ°Β­Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ плоскости? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ обоснуйтС.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π’ тСтраэдрС ABCD Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М, К ΠΈ Π β€” сСрСдины Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ AD, BD ΠΈ DC. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ МКР ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° плоскости ABΠ‘, ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AΠ’Π‘, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° МКР Ρ€Π°Π²Π½Π° 48 см2.

2. Π”Π°Π½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDA1B1C1D1. ΠŸΠΎΒ­ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ сСчСниС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° AΠ’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎ плоскости DBB1.

3. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π° ΠΈ b располоТСны соотвСтствСнно Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях ΠΈ . Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти прямыС Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ обоснуйтС.

Π“Π»Π°Π²Π° II. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊΒ§ 2

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 141, 149, 158 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 198, 154, 157 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„– 3

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Ρƒ

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1

1. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ отрСхпСрпСндикулярах.

3. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° расстояниС 5 см ΠΎΡ‚ плоскости, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ этой плоскости Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Β­Π½Ρ‹Π΅ AΠ’ ΠΈ AΠ‘ ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 30Β° ΠΊ плоскости. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π’Π‘ = 10 см.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2

1. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ пСрпСндикуляр ΠΈ наклонная, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊ плоскости, основаниС пСрпСндикуляра, основаниС ΠΈ проСк­ция Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ пСр­пСндикулярности прямой ΠΈ плоскости.

3. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ А ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AΠ’Π‘ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° прямая AM, пСрпСндикулярная ΠΊ Π΅Π³ΠΎ плоскости. НайдитС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М Π΄ΠΎ стороны Π’Π‘, Ссли АВ = 4 см, AM = 2 см.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 3

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 171, 189 (Π°), 193 (Π±), 196 (Π°) ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 172, 189 (Π±), 193 (Π°), 196 (Π±) ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 3

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ К Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° МКР ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° прямая KN, пСрпСндикулярная ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ KN = 15см, МК = КР = 10 см, МР = 12 см. НайдитС расстоя­ниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ N Π΄ΠΎ прямой МР.

2.Π”Π°Π½ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDAΒ­1B1C1D1. НайдитС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» B1ADB, Ссли AΠ‘ = 6ΠΌ,AΠ’1 = 4 ΠΌ, ABCD β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π‘ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ­Π±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ CDE ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° прямая Π‘A, пСрпСндикулярная ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΒ­ΠΊΠ°. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π‘A = 35 Π΄ΠΌ, CD = 12 Π΄ΠΌ. НайдитС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π΄ΠΎ прямой DE.

2. Π”Π°Π½ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDAΒ­1B1C1D1. НайдитС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ADCA1,

Ссли AБ=13 см, DC =5 см, AA1 = 12 см.

Π“Π»Π°Π²Π° III. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 1

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ОснованиС прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ β€” Ρ€ΠΎΠΌΠ± со сто­роной 12 см ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°. МСньшая диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 13 см. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ: Π°) Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹; Π±) ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹; Π²) диагонального сСчСния, содСрТащСго ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ диагональ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

ОснованиС прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ β€” Ρ€ΠΎΠΌΠ± с мСньшСй диагональю 5 см ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 120Β°. МСньшая диа­гональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ: Π°) Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹; Π±) ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхностипризмы; Π²) диагонального сСчСния, содСрТащСго ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ диагональ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 2

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 250, 257 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 251, 258 ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°.

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„– 4

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Ρƒ

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1

1. Какая ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° называСтся: Π°) прямой, Π±) Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ, Π²) ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ?

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдины Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, пСрпСндикулярна ΠΊ Π½ΠΈΠΌ. НайдитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ сСрСдины ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΒ­Π²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, Ссли Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ тСтраэдра Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 ΠΌ.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2

1. КакиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ симмСтричными ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΒ­Π³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ симмСтрии.

2. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

3. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 4

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ОснованиСм прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ABCDAΒ­1B1C1D1являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ABCD со сторонами 6 Π΄ΠΌ ΠΈ 12 Π΄ΠΌ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 60Β°. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ B1D ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² 30Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрх­ности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

2. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 45Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. ОснованиСм прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ABCD AΒ­1B1C1D1являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ABCD со сторонами 4 см ΠΈ 4 см ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 30Β°. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ AC1 ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрх­ности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.

2. Высота основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 45Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π“Π»Π°Π²Π° IV. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² пространствС

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 2

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 335 (Π²), 336 (Π±), 337 (Π²), 339 (Π±), 351 (Π°), 382 (Π°, Π²).

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 335 (Π³), 336 (Π²), 337 (Π±), 339 (Π°), 351 (Π±), 382 (Π±, Π³).

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΊ Β§ 3

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 358 (Π±), 382 (Π°, Π³), 388 (Π±), 393 (Π°).

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

Задания β„– 358 (Π²), 382 (Π±, Π²), 388 (Π°), 393 (Π±).

Π—Π°Ρ‡Π΅Ρ‚ β„– 5

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Ρƒ

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1

1. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° слоТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ откладываСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

2. Π”Π°Π½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDA1B1C1D1, . НайдитС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ суммС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ .

3. Π”Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ABCD ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O пространства. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2

1. Π§Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ? Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

2. УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: .

3. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ простран­ства А, Π’, Π‘ ΠΈD. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° β„– 5

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π”Π°Π½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ABCDA1B1C1D1. Π£ΠΊΠ°Β­ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ…

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ: Π°) , Π±) .

2. Π”Π°Π½ тСтраэдр DABC. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М β€” сСрСдина Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Π’Π‘, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° N—сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° DM.

Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ .

3. Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π΅ ABCDA1B1C1D1 ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABD ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π .

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ .

II Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚

1. Π”Π°Π½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ABCDA1B1C1D1. Π£ΠΊΠ°Β­ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π² Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ: Π°) , Π±) .

2. Π”Π°Π½ тСтраэдр DABC. ΠœΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΈΠΊΠ° BDC ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π , Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Πšβ€”

сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АР. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ .

3. Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π΅ ABCDA1B1C1D1 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ B1D1, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π’1О :OD1 = 2 : 1. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ .

УстныС упраТнСния ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ 10-ΠΉ класс.

Π‘Π΅Π½Ρ‚ΡΠ±Ρ€ΡŒ

1. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 ΠΈ 8 см.

ВычислстС Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ. 10 см

2. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2, 3 ΠΈ 5 см.

ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 30 см3

3. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 см. ВычислитС сумму Π΄Π»ΠΈΠ½ всСх Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΊΡƒΠ±Π°. 24 см

4. Как называСтся гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ

ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°? ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ сСрСдину

5. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 12 ΠΈ 10 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 120 см2

6. ОснованиС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 6 см, высота — 4 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 12 см2

7. Бколько Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°? Один

8. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ относятся ΠΊΠ°ΠΊ 1 : 2. Как

относится мСньший ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅? 1:2

9. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 см, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΒ­ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 50 см2

10. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ большСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 36 см. ВычислитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€

ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΒ­ΠΊΠ°, Ссли коэффициСнт подобия Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3. 12 см

11. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 4 см. ВычислитС

радиус описанной окруТности. 2,5 см

12. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 72Β°.

ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅. 36Β°

13. Бколько градусов составляСт ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагоналями Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°? 90Β°

14. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 100 см, боковая

сторона Π΅Π³ΠΎ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС основа­ния. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ стороны

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°? 20, 40 ΠΈ 40 см

15. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 16 см. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 64 см3

16. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности ΠΊ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ?

17. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ выходят Ρ‚Ρ€ΠΈ Π»ΡƒΡ‡Π°. Бколько ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти плоскостСй,

Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π²Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Π»ΠΈ плоскости? 1 ΠΈΠ»ΠΈ 3

18. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А(2; 1). Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’, симмСтричной

ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΒ­Π½Π°Ρ‚. Π’(- 2; -1)

19. Бколько осСй симмСтрии ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ? БСсчислСнноС мноТСство

20. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 9 ΠΈ 12 см. ВычислитС синус мСньшСго ΡƒΠ³Π»Π°. 0,6

21. Для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ sin A ? А 30ΠΎ

22. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°? 540Β°

23. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ большая боковая сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см,

Π° основания β€” 2 ΠΈ 8 см. ВычислитС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ сторону. 8 см

24. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 ΠΈ 8 см. ВычислитС сторону Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 5 см

25. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 см. ВычислитС ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±Π°. 24 см2

26. ОснованиС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 12 см, Π° высо­та — 4 см.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 48 см2

27. Бколько прямых Π² пространствС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ,

Ссли каТдая ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ? 3

28. Бколько плоскостСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ? БСсчислСнноС мноТСство

29. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямая ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ лишь Π΄Π²Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ? НСт

30. Π”Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.

Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ эти Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ? НС всСгда

ΠžΠΊΡ‚ΡΠ±Ρ€ΡŒ

1. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2 см. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 8 см3

2. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 120 см2, Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° 8 см. ВычислитС

Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 15 см

3. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см, ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ 6 см.

ВычислитС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚. 8 см

4. Как измСнится ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ссли радиус Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°? УвСличится

Π² 4 Ρ€Π°Π·Π°

5. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ плоскости ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ? НСт

6. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° относятся ΠΊΠ°ΠΊ 5 : 4 ; 3, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ

Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 см. ВычислитС стороны ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 25, 20 ΠΈ 15 см

7. Высота Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° мСньшС основания, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ

Ρ€Π°Π²Π½Π° 36 см2. ВычислитС высоту Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 6 см

8. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 10 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 150Β°.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 40 см2

9. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости А(- 2; 4) ΠΈ B(4; 2). ВычислитС

ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB. (1; 3)

10. Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ прямая Ρƒ = x — 1 с осью абсцисс? 45Β°

11. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии находятся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А(- 3; 1) ΠΈ B(5; I)? 8 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

12. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ расстояниС прямой Ρƒ — 4 = 0 Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹

13. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 40o. Вы­числитС Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. 70 ΠΈ 110o

14. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М(5; 2). Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Β­ΠΊΠΈ K, симмСтричной

ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. К(- 5; 2)

15. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Бколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ…, Ссли Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ плоскости? 4

16. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 см. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. 54 см2

17. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 100 см2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. 20 см

18. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ = 4 см, = 2 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 60Β°. ВычислитС

скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². 4

19. МоТно Π»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… прямых Π² пространствС

провСсти Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, которая Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Π»Π° Π±Ρ‹ с Π½ΠΈΠΌΠΈ Π² этой

плоскости? Π”Π°

20. Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 20 см, Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° состав­ляСт 40% Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 160 см2

21. Π£Π³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 3:4:5. Вычисли­тС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 45o, 60oΠΈ 75Β°

22. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 65 см, Π° основаниС Π½Π°

5 см большС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны. ВычислитС сто­роны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 20, 20 ΠΈ 25 см

23. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 ΠΈ 10 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 30 см2

24. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Β­ΠΊΠ°ΡŽΡ‚

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС Π° ΠΈ b Π½Π΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

плоскости с Π½ΠΈΠΌΠΈ? Π”Π°

25. Π”Π²Π΅ силы 6 ΠΈ 8 Н ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΒ­ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ прямым

ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. ВычислитС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ силу. 10Н

26. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π° ΠΈ b Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ эти прямыС

Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ? Π”Π°

27. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ

радиусом 4 см. x2 + Ρƒ2 = 16

28. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. ВычислитС

наимСньший ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. 600

29. НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния прямых x + y = 2 ΠΈ x – y = 2. (2; 0)

30. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 45 см2. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ сторона Π΅Π³ΠΎ

Ρ€Π°Π²Π½Π° 15 см, Π° сходствСнная сторона ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π°

5 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 5 см2

ΠΠΎΡΠ±Ρ€ΡŒ

1.Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3, 4 ΠΈ 5 см.

ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 60 см3

2. Радиус окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2 см. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΒ­Π½Ρƒ окруТности. 4 см

3. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 5 ΠΈ 12 см. ВычислитС

Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ. 13 см

4. ОснованиС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Β­Π½ΠΎ 6 см, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅

стороны — ΠΏΠΎ 5 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 12см2

5. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 150 см2, Π° Π΄Π»ΠΈΒ­Π½Π° 25 см. ВычислитС

ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 6 см

6. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ плоскости, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ прямой? Π”Π°

7. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° D Π²Π½Π΅ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡Β­ΠΊΠΈ A, Π’, Π‘. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΈΠΊ ABCD? НСт

8. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° A пСрСсСчСны двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми Π’Π‘ ΠΈ B1C1,

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ АВ = 8 см, Π’Π’1 = 4 см ΠΈ АБ = 12 см. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π‘Π‘1 6см

9. Для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² А Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΈΠΊΠ΅ cos A ? 60Β° А

10. Π”Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° с соотвСтствСнно ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сто­ронами относятся,

ΠΊΠ°ΠΊ 4:5. ВычислитС эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹. 80Β° ΠΈ 100Β°

11. Π£Π³ΠΎΠ» Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30Β°, Π° высота 10 см. Вычис­литС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 200 см2

12. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ большая боковая сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см, Π°

основания 4 ΠΈ 10 см. Вычис­литС ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ сторону. 8 см

13. ΠŸΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ прямая Ρƒ = x — 2 Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А(4; 2)? Π”Π°

14. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии Π½Π° плоскости находятся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А(2; — 2) ΠΈ B(2; 6)? 8 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

15. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° плоскости прямая, которая пСрСсСкаСт ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ·

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, пСрСсСка­Ст ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ это справСдливо

для простран­ства? НСт

16. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 24 см2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 8 см3

17. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой? НСт

18. ВсСгда Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π½Π΅ этой

прямой? НС всСгда

19. Бколько Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° Π½Π΅Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°? 1

20. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 6 Π΄ΠΌ. Вычис­литС радиус описанного ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. 5 Π΄ΠΌ

21. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ l ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° плоскости Π°. БущСствуСт Π»ΠΈ Π½Π° плоскости Π° прямая,

Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ l? Π”Π°

22. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А(2; 4). Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΒ­Π½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’, симмСтричной

ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси абс­цисс. Π’(2; — 4)

23. Π’Ρ€ΠΈ плоскости ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ. Бколь­ко получится Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ

пСрСсСчСния? 3

24. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»Π° находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ окруТности, Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сторон Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹ 50Β° ΠΈ 100Β°. ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ». 75Β°

25. Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 5:7. ВычислитС эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹. 75o ΠΈ 100o

26. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности Ρ…2 + Ρƒ2 = 16. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии находятся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

окруТности ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚? 4

27. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ находится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М(6; — 8)? 10

28. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 60 ΠΈ 80 см. ВычислитС сторону Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 50 см

29. Бколько сторон Ρƒ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° 540Β°? 5

30. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 16 см, Π° сторона Π΅Π³ΠΎ

Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см. ВычислитС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ стороны. ΠΏΠΎ 5 см ΠΈΠ»ΠΈ 6 ΠΈ 4 см

Π”Π΅ΠΊΠ°Π±Ρ€ΡŒ

1. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 180 см2 , Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° 15 см. ВычислитС

ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 12см

2. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 Π΄ΠΌ. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 27 Π΄ΠΌ3

3. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Β­Π½Π° 5 Π΄ΠΌ, Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ 4 Π΄ΠΌ.

ВычислитС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚. 3 Π΄ΠΌ

4. Π”Π²Π΅ окруТности Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. КакиС Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠΈ

ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ эти окруТности, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ концСнтричСскиС ΠΈ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅

Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹? Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΈ внСшний

5. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π° для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

S =

6. ВычислитС вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ссли ΠΎΠ½ опираСтся Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ окруТности. 60Β°

7. Один ΠΈΠ· Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ…

ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 100Β°. НайдитС Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 80o ΠΈ 40Β°

8. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 12 см. На ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΡ… пСрСсСчСния Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρƒ? 4 ΠΈ 8 см

9. ВычислитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ окруТ­ностСй, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…

Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ касаниС, Ссли ΠΈΡ… радиу­сы Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 7 ΠΈ 4 см. 3 см

10. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ AΠ’Π‘ сторона АВ Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см, Π° сторона АБ Ρ€Π°Π²Π½Π° 15 см.

Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ биссСкт­риса ΡƒΠ³Π»Π° А Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ сторону Π’Π‘? 4 : 5

11. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния пря­мой Ρƒ = 0,5Ρ… + 2 с осью

ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. (0; 2)

12. Π”Π²Π΅ плоскости ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ l пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ .

ВсСгда Π»ΠΈ прямая l пСрСсСчСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ? НСт

13. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ||(3; 2) ΠΈ ||(2; — 3)? Π”Π°

14. НайдитС гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пространства, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚

Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А ΠΈ Π’. [ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСр­пСндикулярная АВ, проходящая Ρ‡Π΅Β­Ρ€Π΅Π· сСрСдину ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ]

15. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 36 см 2. ВычислитС радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. 6 см

16. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ l Π½Π΅ пСрпСндикулярна плоскости . МоТно Π»ΠΈ Π½Π° плоскости

Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, которая Π±ΡƒΒ­Π΄Π΅Ρ‚ пСрпСндикулярна прямой l? МоТно

17. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 30 см2, Π΅Π΅ срСдняя линия Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см.

ВычислитС высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. 5 см

18. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ || = 6 см, || = 5 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΒ­Π΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 45Β°. ВычислитС

скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΒ­Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². 15

19. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 Π΄ΠΌ. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ

ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ. 4 см2

20. ЯвляСтся Π»ΠΈ диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° осью cΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ? НСт

21. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (12; ,4) ΠΈ (6; Ρƒ) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρƒ. 2

22. Π”Π²Π΅ прямыС Π° ΠΈ b ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ плоскости . ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ прямыС

Π° ΠΈ b? НСт

23. Бколько прямых, пСрпСндикулярных Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти

ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π½Π° этой прямой? БСсчислСнноС мноТСство

24. Бколько плоскостСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚

Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой? БСсчислСн­ноС мноТСство

25. Π‘ΠΈΠ»Ρ‹ 9 Н ΠΈ 12 Н Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ прямым

ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. ВычислитС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ силу. 15 Н

26. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Β­Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ? Π”Π°

27. ВычислитС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΒ­ΠΊΠ°, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅

Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ основании. 45 o, 45 o ΠΈ 90Β°

28. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° пСрСсСкаСт Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности ΠΏΠΎΠ΄ пря­ным ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°

ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ 3 ΠΈ 12 см. Вычис­литС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹. 12 см

29. Радиусы Π΄Π²ΡƒΡ… окруТностСй Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 3 см, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ внСшнСй

ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см. Вы­числитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ

окруТностСй. 13 см

30. БиссСктриса ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ сторону ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ,

Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60 см. ВычислитС стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 10 ΠΈ 20 см

Π―Π½Π²Π°Ρ€ΡŒ

1. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 8 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 16 см2

2. НайдитС гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ про­странства, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚

всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ окруТнос­ти. [ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΊ плоскости окруТности, прохо­дящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·

Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности]

3. Основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6 ΠΈ 14 см, Π° высота 10 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. 100 см3

4. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ плоскости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ проходят Ρ‡Π΅Β­Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅

прямыС, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ? Π”Π°

5. ΠšΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 15 см ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ плоскостям,

расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 12 см. ВычислитС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°

Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. 9 см

6. Радиус окруТности 3 Π΄ΠΌ. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ок­руТности. 6 Π΄ΠΌ

7. ОснованиС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Β­Π½ΠΎ 8 см, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны –

ΠΏΠΎ 5 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 12 см2

8. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, Π‘ ΠΈ D Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямыС АВ ΠΈ CD

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ? НСт

9. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 30 ΠΈ 40 см. ВычислитС радиус

описанной окруТности. 25 см

10. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° AD ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Β­Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ плоскости , Π° сторона

Π’Π‘ отстоит ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Π½Π° 12 см. ВычислитС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния

Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π΄ΠΎ плоскости . 6 см

11. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 9 см2

12. Π’ΠΎ сколько Ρ€Π°Π· ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ радиуса? Π’ 2 Ρ€Π°Π·

13. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости А(6; 1) ΠΈ Π’(2; 3). НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ. Π‘(4; 2)

14. Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ прямая Ρƒ = Ρ… с осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚? 60Β°

15. ЯвляСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ

симмСтрии? Π”Π°

16. ВычислитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния пря­мых Ρ… + Ρƒ = 5 ΠΈ Ρ… — Ρƒ = 1. (3; 2)

17. ВычислитС вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ссли ΠΎΠ½ опираСт­ся Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. 90Β°

18. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 54 Π΄ΠΌ2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 27 Π΄ΠΌ3

19. НазовитС гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ€Π°Π²Β­Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ…

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй? ΠŸΠ°Β­Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

20. ΠšΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 10 см Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см. ВычислитС расстояниС

ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями. 8 см

22. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 160 ΠΈ 120 см. Вычис­литС сторону Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 100 см

23. На Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π΅ силы 12 Н ΠΈ 5 Н, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΡ…

направлСниями прямой. Вычис­литС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ силу. 13 Н

24. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 60 см2, Π° основаниС 15 см. ВычислитС

высоту ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π½Π° основаниС. 4 см

25. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К( — 3; 2). Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М симмСтричной

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ К ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. М(3; — 2)

26. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π° ΠΈ b ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ плоскостям. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ прямыС

Π° ΠΈ b Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Ρ‹? Π”Π°

27. Как измСнится ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли измСрСния ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π²Π°

Ρ€Π°Π·Π°? Π£ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ Π² 4 Ρ€Π°Π·Π°

28. Π’ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 2 : 3. ВычислитС эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹. 72Β°, 108Β°

29. Радиусы Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 4 см. Π˜Ρ… ΠΎΠ±Β­Ρ‰ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅

Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикуляр­ны. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ этих ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…. По 7 см

30. Π”Π²Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ дСлится Ρ‚ΠΎΡ‡Β­ΠΊΠΎΠΉ пСрСсСчСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ

6 см ΠΈ 2 см. Один ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Β­Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 см. ВычислитС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ

Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρƒ. 7 см

Π€Π΅Π²Ρ€Π°Π»ΡŒ

1. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A, Π’, Π‘ ΠΈ D Π’Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

прямой. ΠœΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости? Π”Π°

2. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4 см. ВыислитС объСм ΠΊΡƒΠ±Π°. 64 см3

3. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 13 см, Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ 5 см.

ВычислитС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚. 12 см

4. ΠšΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Β­Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Π½Π° расстояниС

10 ΠΈ 20 см. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ рас­стоянии находится сСрСдина этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°? 15 см

5. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии находится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΎΡ‚

Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ 10 см? 5 см

6. БиссСктриса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ сторону ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. МСньшая

сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см. Вы­числитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 36 см

7. Π”Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° с соотвСтствСнно ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сто­ронами относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 7 : 2.

ВычислитС эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹. 140Β° ΠΈ 40Β°

8. ΠŸΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ прямая Ρƒ = 2Ρ… — 3 Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А(2; 3)? НСт

9. Бколько осСй симмСтрии Ρƒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°? 2

10. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡŒ, дСлятся ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. МоТно Π»ΠΈ

ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΒ­Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΌ? Π”Π°

11. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А(2; 1) ΠΈ Π’(8; 2). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° АВ. (6;1)

12. Из ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π² 200Β° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСсСчСния.

Под ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Β­ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ эти ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅? 20Β°

13. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 10 см стягиваСт Π΄ΡƒΠ³Ρƒ Π² 60Β°. Вы­числитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ окруТности. 20 см

14. ЯвляСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ

Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ симмСтрии? НСт

15. Π’ пространствС располоТСна трапСция. Π§Π΅ΠΌ являСтся Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

проСкция Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ? ВрапСция ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ

16. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 16 см2. ВычислитС ра­диус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. 4 см

17. Какая линия прСдставляСт мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ…Ρƒ = 0 Π½Π° плоскости? Оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

18. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° пСрСсСкаСт Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности ΠΏΠΎΠ΄ пря­мым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ

Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ 4 ΠΈ 9 см. Вычисли­тС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹. 12 см

19. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ прямыС 2Ρ… — Ρƒ = 1 ΠΈ 4x — 2Ρƒ = 1? Π”Π°

20. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»Π° находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ окруТности, Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ

ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сторон Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹ 40Β° ΠΈ 80Β°. ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ». 60Β°

21. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ 12 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 60Β°. ВычислитС

ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 72 см2

22. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ || = 5 см, || = 10 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π° ΠΈ b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30Β°.

ВычислитС скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Β­Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². 25

23. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ высоты. ВычислитС

наимСньший ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ высота­ми. 60Β°

24. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° относятся, ΠΊΠ°ΠΊ 2 : 3. Бколько ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²

составляСт большая сторона ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°? 30%

25. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° 24 см.

ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·Β­ΠΊΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. 60Β°

26. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ABC стороны АВ ΠΈ АБ соотвСт­ствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 20 ΠΈ 30 см.

Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ бис­сСктриса ΡƒΠ³Π»Π° А Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ сторону Π’Π‘? 2 : 3

27. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости, Π·Π°Β­Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнством Ρ…Ρƒ = 4. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°

28. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΊ окруТности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½Π°Ρ ΠΈ сСкущая, равная 12 см.

Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ сСку­щСй Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3 см. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. 6 cΠΌ

29. ВычислитС объСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Β­ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Ссли Π΅Π³ΠΎ измСрСния

Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 5, 4 ΠΈ 3 см. 60 см 3

30. Π”Π²Π΅ прямыС 2Ρ… – Ρƒ = 4 ΠΈ 2Ρ… + Ρƒ = 8 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚Β­ΡΡ. ВычислитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния этих прямых. (3; 2)

ΠœΠ°Ρ€Ρ‚

1. Основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 4 ΠΈ 12 см, Π° высота 10 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ

Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. 80 см2

2. Радиус окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 см. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΒ­Π½Ρƒ окруТности. 8 см

3. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Β­Π½Ρ‹ 5, 6 ΠΈ 7 Π΄ΠΌ. ВычислитС

Сго объСм.. 210 дм3

4. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ АВ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘, D Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ

Π»ΠΈ прямыС АB ΠΈ CD? НС всСгда

5. ОснованиС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 10 см, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны –

ΠΏΠΎ 13 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 60 см2

6. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 15 см. ВычислитС

Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ. 17 см

7. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ сСчСни­См ΠΊΡƒΠ±Π°? Π”Π°

8. Для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² А Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΒ­ΠΊΠ΅ ctg А 1? 45Β° А

9. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΅Π³ΠΎ сторонами

Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 30Β° ΠΈ 90Β°. ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ». 30Β°

10. НазовитС гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плос­кости Ρ…2 + Ρƒ2 4. ΠšΡ€ΡƒΠ³ с R = 2

11. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ 6 см. На ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅

ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ биссСктриса ΡƒΠ³Π»Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚? 5 ΠΈ 3 см

12. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ АВБ соs А = . Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» А? 60Β°

13. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости А(- 1; 1) ΠΈ B(5; 3). ВычислитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB. (2; 2)

14. Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Ρƒ = — 3Ρ… + 6. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

пСрСсСчСния прямой с осью абс­цисс. (2; 0)

15. Бколько осСй симмСтрии Ρƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°? БСсконСчноС мноТСство

16. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 362 Π΄ΠΌ. Вычисли­тС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ

Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, стороны ΠΊΠΎΒ­Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. 9 Π΄ΠΌ2

17. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² зависимости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ссли Π΅Π³ΠΎ стороны

Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 4, 6 ΠΈ 8 см. Π’ΡƒΠΏΠΎΒ­ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

18. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии находятся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A(7; 5) ΠΈ B(3; 2)? 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†

19. Π”Π²Π΅ силы 8 Н ΠΈ 15 Н ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ прямым

ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. ВычислитС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΒ­ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ силу. 17 Н

20. ВычислитС объСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΒ­ΠΏΠ΅Π΄Π°, Ссли Π΅Π³ΠΎ измСрСния

Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 6, 3 ΠΈ 2 см. 36 см2

21. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 96 см2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 64 см3

22. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10 ΠΈ 12 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 30Β°.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Β­Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 60 см2

23. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ || = 4 см, || = 5 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ 60Β°. ВычислитС

скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². 10

24. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 5, 6 ΠΈ 7 см. ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²

зависимости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². ΠžΡΒ­Ρ‚Ρ€ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

25. Радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, описанного ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΒ­Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5 см,

Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6 см. Вы­числитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 24 см2

26. НазовитС Π½Π° плоскости гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ нСравСнством

Ρ…2 — 5Ρ… + 6 0. Полоса Π½Π° плоскости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямыми Ρ… = 2, Ρ… = 3

27. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 30 см ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. ВычислитС

ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. 15 см

28. ВычислитС ΡƒΠ³ΠΎΠ», вписанный Π² Π΄ΡƒΠ³Ρƒ, которая составляСт 5/12 окруТности. 75Β°

29. НазовитС гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плос­кости | Ρƒ | = 3. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ y = 3 ΠΈ y = -3

30. Π”Π²Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π° дСлится Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ 3 ΠΈ 12 см.

Один ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹ Ρ€Π°Β­Π²Π΅Π½ 4 см. ВычислитС Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρƒ. 13 см

ΠΠΏΡ€Π΅Π»ΡŒ

1. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2, 3 ΠΈ 4 Π΄ΠΌ. ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²

зависимости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π’ΡƒΒ­ΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

2. ВычислитС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ отно­сятся ΠΊΠ°ΠΊ 1 : 2 : 3. 30Β°, 60Β°, 90Β°

3. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 20 Π΄ΠΌ, Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° 25 Π΄ΠΌ.

ВычислитС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚. 15 Π΄ΠΌ

4. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 9 Π΄ΠΌ2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 27 Π΄ΠΌ3

5. Радиус окруТности 6 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. 36 см2

6. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΒ­ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 40Β°. ВычислитС

ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании. 70Β°

7. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π² 20 см ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. ВычислитС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. 10 см

8. Π£ Π΄Π²ΡƒΡ… связанных ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π΅Ρ€Π΅Π½ имССт­ся 60 Π·ΡƒΠ±Ρ†ΠΎΠ² ΠΈ 20 Π·ΡƒΠ±Ρ†ΠΎΠ².

На сколько градусов повСр­нСтся большая ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ, Ссли мСньшая сдСлаСт

ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚? 120Β°

9. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 25 Π΄ΠΌ2. ВычислитС

Π΅Π³ΠΎ сторону. 10 Π΄ΠΌ

10. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности радиуса 6 см с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅

ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Ρ…2 + Ρƒ2 = 36

11. Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° АВ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ Ρ€Π°Π²Π½Π° 20 см, Π°

ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ АБ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 12 см. На ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ биссСктриса ΡƒΠ³Π»Π° А Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ

ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚? 6 ΠΈ 10 см

12. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ на­ходится Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А(12; 5)? 13 см

13. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А(- 2; — 1) ΠΈ B(7; 1). Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΒ­Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . (9; 2)

14. Π”ΡƒΠ³Π° содСрТит 160Β°. Под ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π΅Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π°? 100Β°

15. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² сСчСнии ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ? Π”Π°

16. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 24 см2, Π° высота 4 см. ВычислитС ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ

линию Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. 6 см

17. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «прямая пСрпСнди­кулярна плоскости, Ссли

ΠΎΠ½Π° пСрпСндикулярна Π΄Π²ΡƒΠΌ сторонам Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π² этой

плоскости»? НС всСгда

18. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π° ΠΈ радиус. НайдитС

ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. 60Β°

19. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ плоскости Π½Π° 2 ΠΈ

8 см. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ расстоянии находится сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ плоскости? 3 см

20. Π’ равностороннСм Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ биссСктрисы. ВычислитС

наимСньший ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ биссСктрисами. 60Β°

21. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 8 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ eΠ΅ сторонами Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 150Β°.

ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π°. 32 см2

22. Один ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° составляСт 25% Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. ВычислитС

ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 36ΠΎ ΠΈ 144Β°

23. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° пСрСсСкаСт Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ

Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ 2 ΠΈ 4,5 см. ВычислитС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹. 6 см

24. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБ АВ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6 см, сторона АБ Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см. Π’

ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ биссСктриса ΡƒΠ³Π»Π° А Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ сторону Π’Π‘? 3 : 5

25. НазовитС мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ…2 — 4 = 0.

ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Ρ… = 2 ΠΈ Ρ… = -2

26. Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ прямая 2Ρ… — 2Ρƒ = 5 с ось абсцисс? 45Β°

27. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ АВБ cos А = — 0,5. Вычисли ΡƒΠ³ΠΎΠ» А. 120Β°

28. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ прямыС 3x — Ρƒ = 3 ΠΈ 6Ρ… — 2Ρƒ = 3? Π”Π°

29. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см2, Π°

Π΅Π³ΠΎ объСм 36 см3. ВычислитС высоту ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. 3 см

30. Бколько осСй симмСтрии Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°? 4

Май

1. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 см2. ВычислитС Π΅Π³ΠΎ объСм. 8 см3

2. Π”Π»ΠΈΠ½Π° окруТности Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 см. ВычислитС радиус окруТности. 5 см

3. ОснованиС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Β­Π½ΠΎ 24 см, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅

стороны — ΠΏΠΎ 13 см. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. 60 см2

4. Π”ΡƒΠ³Π° содСрТит 100Β°. Под ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ этой Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π½Π° Π΅Π΅ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Π°? 130Β°

5. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3, 5 ΠΈ 8 Π΄ΠΌ. ВычислитС

Сго объСм. 120 дм3

6. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 30 ΠΈ 40 Π΄ΠΌ. ВычислитС

Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ. 50 Π΄ΠΌ

7. Π”Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ А(2; 1; 3) ΠΈ Π’(5; 4; 3). НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

. (3;3;0)

8. ВычислитС расстояниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А(4; 4; — 2) Π΄ΠΎ Π½Π°Β­Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. 6

9. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (3; 1; 1) ΠΈ (1; 2; — 5)? Π”Π°

10. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ sin A = 0,6. ВычислитС tg A. 3/4

11. ВычислитС вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Π½Π° Π΄ΡƒΠ³Ρƒ, которая составляСт

Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ окруТности. 45Β°

12. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° пСрСсСкаСт ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ окруТности ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°

ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ 2 ΠΈ 8 см. Вычис­литС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ…ΠΎΡ€Π΄Ρ‹. 8 см

13. ΠšΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ 20 см, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ плоскостям.

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ проСкция ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β°. ВычислитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ

плоскостями. 10см

14. Радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, описанного ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 10 см,

Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 16 см. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ синус мСньшСго ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°? 0,6

15. Основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 12 см, Π° Π΅Π΅ высота 5 см. ВычислитС

ΠΏΠ»ΠΎΒ­Ρ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. 50 см2

16. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° пСрпСндикулярС ΠΊ плоско­сти ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Π½Π°

расстояниС 12 см, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ этой ΠΆΠ΅ плоскости ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π°

ΠΎΡ‚ основа­ния пСрпСндикуляра Π½Π° 5 см. ВычислитС расстояниС AM. 13 см

17. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А(0; 5; 0) плоскости 2Ρ… + Ρƒ — z — 5 = 0? Π”Π°

18. ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (4; 4; 2) ΠΈ (2; 2; 1)? Π”Π°

19. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ плоскости 2Ρ… + 4Ρƒ + 6z — 12 = 0 ΠΈ Ρ… + 2Ρƒ + 3z — 3 = 0? Π”Π°

20. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ М(4; 1; 2) ΠΈ

пСрпСндикулярной Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ (1; 3; 2). x + 3Ρƒ + 2z — 11 = 0

21. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 15 ΠΈ 6 см, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

1500. ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Β­Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. 45 см2

22. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ

ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ? НСт

23. Один ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 20 Π΄ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅Β­ΠΆΠΈΡ‚ плоскости. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ

ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π² 30Β°. На ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ высотС ΠΎΡ‚ плоскости находится

Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°? 10 Π΄ΠΌ

24. Π”Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (2; 3; 4) ΠΈ (1; 4; 2). ВычислитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . (3; 7; 6)

25. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 60 см2. Π•Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΒ­ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ составляСт ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β° с

ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ . ВычислитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ . 30см2

26. Π’ пространствС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°

Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ? ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ

27. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сфСры с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Β­Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ

радиусом 4 см. Ρ…2 + Ρƒ2 + z2 = 16

28. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М(1; 2; 2). ВычислитС расстояниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°

ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. 3

29. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ плоскости 2Ρ… — 5Ρƒ + z + 4 = 0 ΠΈ 3x + 2y + 4z — 1 = 0? Π”Π°

30. Как измСнится объСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Β­Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Ссли измСрСния

ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°? УвСличится Π² 8 Ρ€Π°Π·

ВСсты ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для 10-Π³ΠΎ класса ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½