Контрольная работа формулы приведения 10 класс: Контрольная работа по теме «Формулы приведения и сложения» для 10 класса

Контрольная работа по теме «Формулы приведения и сложения» для 10 класса

Контрольная работа №1

по теме: «Формулы приведения и формулы сложения»

ВАРИАНТ I

1. Вычислите:

а) sin150º;

б) cos29ºcos16º — sin29ºsin16º;

в) sin240º + cos;

г) ;

д) ctg1ºctg2ºctg3º…ctg88^◦ctg89º

2. Найдите значение трех других тригонометрических функций угла:

cosα= и

3. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Вычислите при данных условиях , если tg=2

_________________________________________________________________________

Контрольная работа №1

по теме: «Формулы приведения и формулы сложения»

ВАРИАНТ II

1. Вычислите:

а) cos240º;

б) sin29ºcos16º +sin16ºcos29º;

в) cos150º + sin;

г) ;

д) tg1ºtg3ºtg5º…tg89º

2. Найдите значение четырех основных тригонометрических функций угла:

sinα=и

3. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Вычислите при данных условиях , если tg=3

Контрольная работа №1

по теме: «Формулы приведения и формулы сложения»

ВАРИАНТ III

1. Вычислите:

а) sin390º;

б) cos76ºcos31º + sin76ºsin31º;

в) sin530º — cos;

г) ;

д) tg88ºtg86ºtg84º…tg2º

2. Найдите значение четырех основных тригонометрических функций угла:

25sin² + 5sin — 12 = 0 и

3. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Вычислите при данных условиях , если сtg=

_____________________________________________________________________________

Контрольная работа №1

по теме: «Формулы приведения и формулы сложения»

ВАРИАНТ IV

1. Вычислите:

а) cos420º;

б) sin76ºcos31º — sin31ºcos76º;

в) cos770º — sin;

г) ;

д) ctg2ºctg4ºctg6º…ctg88º

2. Найдите значение четырех основных тригонометрических функций угла:

25cos² — 5cos — 12 = 0 и

3. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в)

4. Найдите наибольшее значение выражения

5. Вычислите при данных условиях , если tg=

Самостоятельная работа № 1-10 по математике (формулы приведения) для 9-го класса от Сообщества математиков в 2018 году

Ответы

Ответы к заданиям
(при их наличии) доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

Статистика и загрузка

Скачать

Если загрузка не началась автоматически, повторите попытку или нажмите сюда!

Просмотров	455	351	Загрузок
Добавил	Гость	19.04.2019	Дата
День	Пятница	01:18	Время

Статья 1274: Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях.

Все материалы сайта представлены исключительно в ознакомительных целях.

---

Источник/автор материала: Учительская для математиков

---

Если вы скопируете данный файл, Вы должны незамедлительно удалить его сразу после ознакомления с содержанием. Копируя и сохраняя его, Вы принимаете на себя всю ответственность, согласно действующему международному законодательству. Все авторские права на данный файл сохраняются за правообладателем.

Любое коммерческое и иное использование, кроме предварительного ознакомления запрещено. Публикация данного документа не преследует никакой коммерческой выгоды. Но такие документы способствуют быстрейшему профессиональному и духовному росту читателей и являются рекламой бумажных и других различных видов изданий таких документов.

---

Если данный материал нарушает чьи-либо авторские права, то обратитесь на почту [email protected]

Справочные материалы

Загрузка формул…

Загрузка тестирования…

Обсуждения

Комментарии к заданиям доступны
для бесплатного просмотра
только зарегистрированным
пользователям проекта!

Урок 37. формулы приведения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №37. Формулы приведения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы приведения;
• мнемоническое правило для формул приведения;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
• доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
• решение уравнения с использованием формул приведения.

Глоссарий по теме

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Пример: Вычислить и.

Представим число .

Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол . Значит, , .

А так как , то ,

Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол

Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности

Справедливы равенства:

, где , , где

Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В₁ при повороте на угол и в точку В при повороте на угол (рис. 2).

Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности

Запишем в виде: . На единичной окружности точки В₁ и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.

Поэтому , а .

А так как , то , .

Помним, что , тогда , .

Докажем, что для всех углов справедливы формулы:

, .

Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:, подставим известные значения в формулу, получаем:

.

(1)

(2)

Аналогично доказываются формулы:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса

.

Пример: вычислите . Представим , тогда .

Выведем формулы для тангенса, используя его определение

,

Найдём

Получаем формулы для тангенса и котангенса:

, где и , где (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Пример: вычислите .

Преобразуем выражение в скобке

.

Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

В остальных формулах, где в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.

Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.

Для этого придумали мнемоническое правило.

1. Если в левой части присутствуют и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

Если в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.

1. Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии .

Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа и , . (рис. 3)

Рисунок 3 – «правило лошади»

Если аргумент содержал или , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если , кивала вдоль оси Ох – «не менять».

Так же помните: чётные числа вида и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные и т. д. слева от нуля.

Если в выражении перед стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой стрелке, если стоит минус, то против часовой стрелке.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1: упростите выражение .

находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)

Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности

Значит =.

Пример 2: вычислите

Преобразуем выражение в скобке: . находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.

Формулы приведения. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Формулы приведения (синус) Сложность: лёгкое	1
2.	Формулы приведения (косинус) Сложность: лёгкое	2
3.	Формулы приведения (тангенс и котангенс) Сложность: лёгкое	2
4.	Использование формул приведения, синус и косинус тупого угла Сложность: среднее	2
5.	Использование формул приведения Сложность: среднее	1
6.	Нахождение значения выражения (тангенс и котангенс) Сложность: среднее	1
7.	Использование формул приведения для нахождения значения выражения Сложность: сложное	1
8.	Вычисление значения выражения (синус, косинус, тангенс) Сложность: сложное	3
9.	Упрощение выражения Сложность: сложное	1

Формулы приведения в тригонометрии: примеры, таблицы, доказательства

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1.\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Практические примеры использования формул приведения

Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:

• задачи на решение прямоугольного треугольника;
• преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
• стереометрические задачи.

Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.\circ=-\frac{\sqrt 3}2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.

Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`

`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`

`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`

`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.

2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8<sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8<cos \frac {3\pi}10`.

Доказательство формул приведения

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0).  Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно.

А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Геометрия 10 класс Контрольная № 4 с ответами

Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Многогранники» с ответами и решениями (2 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 10 класса (В.А. Яровенко, ВАКО). Урок 55. Геометрия 10 класс Контрольная № 4 «Многогранники».

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе (Атанасян)

---

 

Контрольная работа № 4
«Многогранники»

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

2. Контрольная работа

   I уровень сложности

Вариант 1.

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань — квадрат.

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и найдите площадь этого сечения.

Вариант 2.

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань — квадрат.

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна √6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
а) Найдите боковое ребро пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и АВ параллельно ребру ВС, и найдите площадь этого сечения.

Геометрия 10 класс Контрольная № 4

 

   II уровень сложности

Вариант 1.

1) Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2) Основание пирамиды — правильный треугольник с площадью 9√3 см². Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья — наклонена к ней под углом 30°.
а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через прямую В₁С и середину ребра AD, и найдите площадь этого сечения.

Вариант 2.

1) Основание прямого параллелепипеда — ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая

диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

2) Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 4√2 см. Боковые грани, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом 45°.
а) Найдите длины боковых ребер пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA₁E₁C₁ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DA₁, и найдите площадь этого сечения.

 

   III уровень сложности

Вариант I

1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшее сечение, проходящее через боковое ребро, — квадрат.

2) Основание пирамиды — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер АА₁, В₁С₁ и CD, и найдите площадь этого сечения.

Вариант II

1) Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 13 см. Наименьшее сечение призмы, проходящее через ее боковое ребро, является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.

2) Основание пирамиды — ромб с тупым углом α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота равна Н.

3) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно а. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер А₁В₁, СС₁ и AD, и найдите площадь этого сечения.

   

3. Рефлексия учебной деятельности (Решения и Ответы)

В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

   Решение заданий I уровня сложности.

---

 

 

   Решение заданий II уровня сложности.

---

 

   Решение заданий III уровня сложности.

 

---

Вы смотрели: Геометрия 10 класс Контрольная № 4. Поурочное планирование по геометрии для 10 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 55. Контрольная работа по геометрии «Многогранники» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 10 классе по УМК Атанасян.

 

Формула снижения мощности

Назначение формул уменьшения мощности — написать эквивалентное выражение без показателя степени. Они используются для упрощения вычислений и выводятся с помощью формул двойного угла и половинного угла и тождества Пифагора.

Квадраты	Кубики
Четвертые	Пятые

Пример: Найдите

Шаг 1: запишите sin ⁴ x в виде квадрата

sin ⁴ x = (sin ² x) ²

Шаг 2: используйте правило уменьшения мощности в квадрате для синуса

Шаг 3: замените на

Шаг 4. Упростите

Хотя можно было бы использовать формулу для четвертой степени, гораздо проще записать четвертую степень в квадрате степени, так что формулу двойного угла или половинного угла также не нужно использовать.Формулы уменьшения мощности становятся очень удобными в исчислении, поскольку позволяют избавиться от показателей степени в тригонометрических функциях, чтобы найти меру угла.

Формула работы

Работа — это результат, когда сила действует на объект и перемещает его на некоторое расстояние. Иногда направление движения объекта не совпадает с направлением силы. В этом случае только та составляющая силы, которая действует в направлении движения, вызывает выполнение работы. По этой причине рабочая формула включает косинус угла между силой и расстоянием.Если сила и движение в одном направлении, то угол равен 0 радиан (или 0 °). Косинус нуля равен: cos0 = 1. Единицами работы являются джоули (Дж), где 1 Дж = 1 Н ∙ м = 1 кг ∙ м ² / с ² .

работа = сила x расстояние × косинус (угол между направлением силы и движения)

W = Fd cosθ

Вт = работа (ед. Дж)

k = сила (единицы Н)

d = расстояние ( м )

θ = угол между направлением силы и направлением движения

Вопросы по формуле работы:

1) Трактор вытащил телегу с сеном на расстояние 1000 м .Сила, приложенная к вагону для перемещения на это расстояние, составляла 12 000 Н. Сила действовала в том же направлении, что и движение. Найдите, сколько работы было проделано трактором, чтобы тянуть вагон.

Ответ: Сила и движение были в одном направлении, поэтому угол между ними равен 0 °. Работу можно найти по формуле:

W = Fd cosθ

Вт = Fd cos0

W = Fd (1)

W = (12000 Н) (1000 м )

Вт = 12 000 000 Н ∙ м

Вт = 12000000 Дж

Работа, проделанная трактором по перемещению вагона на заданное расстояние, составила 12 000 000 Дж, что также может быть выражено как мегаджоули: 12.0 M J.

2) Мужчина толкает газонокосилку по своему двору. Усилие, которое он прилагает к ручке газонокосилки, направлено вниз под углом 60,0 ° от горизонтальной плоскости. Эта сила имеет величину 900 Н. Если он толкает газонокосилку 30,0 м , сколько работы было сделано для перемещения газонокосилки?

Ответ: Сила находится под углом 60,0 ° по отношению к движению. Работу можно найти по формуле:

W = Fd cosθ

W = Fd cos60 °

W = Fd (0.5)

W = (900 Н) (30,0 м ) (0,5)

W = 13 500 Н ∙ м

Вт = 13 500 Дж

Работа, проделанная при перемещении газонокосилки на заданное расстояние, составила 13 500 Дж.

Формула уменьшения — объяснение, часто используемые формулы уменьшения и решенные примеры

Формула редукции считается важным методом интегрирования. Интеграция по формулам редукции позволяет решать сложные задачи интеграции.Его можно использовать для тригонометрических функций, степени элементарных функций, произведения двух или более сложных функций и т. Д. Эти функции не могут быть легко интегрированы. Следовательно, чтобы упростить процесс интегрирования, мы можем использовать некоторые формулы редукции для определения решения интегральных задач. Эти формулы редукции помогают нам минимизировать степень интегралов и формулировать интегралы за конечное число шагов.

Некоторые из обычно используемых формул приведения интегралов, включая общие функции, обсуждаются ниже.

Формулы редукции для тригонометрических функций

Здесь мы обсудим некоторые важные формулы редукции для тригонометрических функций.

• ∫ Sinn (y) dy = -sinn-1 (y) cos (y) / n + n-1 / n Sinn-2 (y) dy

• ∫ yn Sinn (y) dy = — yncos (y) + n ∫ yn-1 cos (y) dy

• ∫ yn Cos (y) dy = ynSin (y) — n ∫ yn-1 sin (y) dy

• ∫ tann (y ) dy = — tann-1 (y) / n-1 — ∫ tann-2 (y) dy

• ∫ Sinn (y) dy Cosm (y) dy = sinn + 1 (y) cosm-1 (y ) / n + m + m-1 / n + m ∫ Sinn (y) Cosm-2 (y) dy

Формула редукции для экспоненциальной функции

• ∫ yn emy dy = 1 / mynemy –n / m yn-1 emydy

• ∫ emy / yn dy = emy (n-1) yn-1 + m / n-1 ∫ emx / xn-1 y

• ∫ dy / sinhny = -1 / n sinhn -1 y ch y — (n-1 / n) ∫ sh n-2 y dy

• ∫ Sinhn y dy = -1 / n Sin hn-1 cosh y — n-1 / n ∫ Sinhn-2 y dy

Формула приведения для алгебраических функций

• ∫ yn / ayn + b dy = y / ab / a ∫ dy / ayn + b

• ∫ dy (ay2 + by + C) n = — 2ay- b / (n-1) (b2 — 4ac) (ay2 + by + C) n-1 -2 (2n-3) a / (n-1) (b2 — 4ac) ∫ dy / (ay2 + by + C) n-1, n ≠ 1

• ∫ dy / (y2- a2) n = x / 2 (n-1) a2 (y2 — a2) n-1 — 2n-3 / 2 (n-1) a2 ∫ dy (y2 — a2) n-1, n ≠ 1

• ∫ dy / (y2 + a2) n = x / 2 (n-1) a2 (y2 — a2) n-1 + 2n-3/2 (n-1) a2 ∫ dy (y2 — a2) n-1, n ≠ 1

Формулы приведения для тригонометрических функций

Формула приведения для обратной тригонометрической функции

• ∫ yn arcsin y dy = yn + 1 / n + 1 arcsin y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

• ∫ yn arc cos y dy = yn + 1 / n + 1 arc cos y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

• ∫ yn arctan y dy = yn + 1 / n + 1 arctan y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

Время викторины

1. Найдите \ [\ int_ {0} ^ {π / 2 } \] sin⁶ (x) dx

1. 0

2. π / 8

3. π / 4

4. 15π / 96

2.{π / 2} \] sin10 (x) cos (x) dx

1. 1

2. 0

3. 13π / 1098

4. 21π / 2048

Пример формулы восстановления 7

1. По формуле приведения

In = ∫ sin y dy = 1 / n cos y sinn-1 y + n-1 / n In-2

Вычислить

∫ Sin4 y dy;

Решение:

Использование формулы приведения с n = 4 дает

∫ Sin4 y dy = -1/4 cos y sin3 y + ¾ I2

Нам нужно вычислить I2 = sin2 y dy, где соответствует n = 2

Используя уравнения интегралов, получаем, что

∫ Sin2 y dy = y / 2-1 / 2 sin y cos y + K

Если не объединить все вместе, получим

∫ Sin4 y dy

=-Cos y Sin3 y + ¾ [y / 2 — 1 / sin y cos y + K]

= -1/4 -¼ Cos y Sin3 y + 3 / 8y — cos y sin y + K ‘

= 3/8 y — 1/4 sin (2y) + 1/32 sin 4 (y) + K ‘

Примечание: мы использовали значения K и K’, поскольку значения констант на самом деле различаются.

2. Вычислите интеграл

y⁷ (8 + 3y⁴) ⁸ dy

Решение:

u = 8 + 3y⁴ ￫ du = 12y³dy ￫ y³dy = 1/12 du

Перепишем целое число

Вычислим интеграл

∫ y7 (8 + 3y4) ⁸ dy = ∫ y4y3 (8 + 3y4) 8 dy = ∫ y4

Исчисление I — Работа

Онлайн-заметки Павла

Примечания Быстрая навигация Скачать

• Перейти к
• Примечания
• Проблемы с практикой
• Проблемы с назначением
• Показать / Скрыть
• Показать все решения / шаги / и т. Д.
• Скрыть все решения / шаги / и т. Д.

• Разделы
• Больше проблем с объемом
• Дополнения Введение
• Глава
• Интегралы
• Дополнительно
• Классы
• Алгебра
• Исчисление I
• Исчисление II
• Исчисление III
• Дифференциальные уравнения
• Дополнительно
• Алгебра и триггерный обзор
• Распространенные математические ошибки
• Праймер комплексных чисел
• Как изучать математику
• Шпаргалки и таблицы
• Разное
• Свяжитесь со мной
• Справка и настройка MathJax
• Мои студенты

• Заметки Загрузки
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Practice Problems Загрузок
• Полная книга — Только проблемы
• Полная книга — Решения
• Текущая глава — Только проблемы
• Текущая глава — Решения
• Текущий раздел — Только проблемы
• Текущий раздел — Решения
• Проблемы с назначением Загрузок
• Полная книга
• Текущая глава
• Текущий раздел
• Прочие товары
• Получить URL для загружаемых элементов

• Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
• Показать все решения / шаги и распечатать страницу
• Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу

• Дом
• Классы
• Алгебра
  • Предварительные мероприятия
    • Целые экспоненты
    • Рациональные экспоненты
    • Радикалы

30 математических формул SAT, которые вам нужно знать

Коэффициенты, проценты и статистика

13.{nt} \)

Хорошая новость заключается в том, что \ (P \), \ (r \) и \ (t \) означают в этом уравнении то же самое, что и в простом интересе. \ (N \) представляет, сколько раз начисляются проценты в течение \ (1 \: t \). Например, если проценты начисляются ежеквартально в течение года, тогда \ (n = 4 \).

15. Среднее / Среднее

В математике слова «среднее» и «среднее» — это одно и то же: число, которое вы получите, если возьмете сумму набора и разделите его на количество значений в наборе.Вы также можете думать об этом как о сумме, деленной на количество. Вы должны знать, как рассчитать среднее значение и интерпретировать его. Убедитесь, что понимаете разницу между средним и медианным значением.

16. Случайная выборка

Технически это не формула, но многие задачи SAT, основанные на статистике, больше сосредоточены на интерпретации концепций в контексте, а не на выполнении математических операций. Случайная выборка — это случайный выбор участников для исследования из вашей популяции.Это гарантирует, что ваше исследование репрезентативно для населения.

17. Случайное присвоение

Случайное назначение — это случайное назначение участникам исследования лечения или испытания. Это снижает систематическую ошибку в вашем исследовании и означает, что вы можете приписать причинно-следственную связь лечению. На тесте SAT вас часто спрашивают, что снизит систематическую ошибку или насколько вы можете обобщить результаты для остальной части населения. В этих случаях вам необходимо определить случайную выборку и случайное распределение.

18. Стандартное отклонение

Вам не нужно рассчитывать стандартное отклонение для SAT, но вы будете протестированы по нему концептуально, как при случайной выборке и случайном назначении. Стандартное отклонение — это мера разброса в наборе данных. Более высокое стандартное отклонение означает больший спред, а меньшее стандартное отклонение означает меньший спред. Вам нужно будет знать, как изменения в наборе данных могут повлиять на стандартное отклонение, сделав его больше или меньше.2 \)

Обычно возникает один вопрос, связанный с уравнением круга. В этом уравнении \ ((h, k) \) — координата центра окружности, а \ (r \) — радиус окружности.

Какую роль играет ваш результат SAT в поступлении в школу вашей мечты? Узнайте, рассчитав свои шансы прямо сейчас.

21. Коэффициент синусоиды

Некоторые учащиеся нервничают, когда слышат, что триггер находится на SAT, но чаще всего это проявляется в виде триггерных соотношений.Помните, что для заданного угла в прямоугольном треугольнике значение синуса — это длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы, или противоположной стороны / гипотенузы.

22. Косинусное отношение

Как и в случае с синусом, помните, что такое косинусное отношение: длина смежной стороны, деленная на длину гипотенузы, или смежная / гипотенуза.

23. Коэффициент касания

И последнее, но не менее важное: отношение касательных — это длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны или противоположной / смежной стороны.Некоторые учащиеся находят мнемонический SOH CAH TOA полезным для запоминания тригонометрических соотношений.

24. Градусы в радианы

Хотя наиболее распространенной формой триггера являются базовые отношения, вы можете столкнуться с такими вещами, как единичный круг или более сложная математика. Если вам нужно преобразовать градусы в радианы, умножьте градусы на \ (\ frac {\ pi} {180} \). Если вам нужно преобразовать радианы в градусы, умножьте радианы на \ (\ frac {180} {\ pi} \).

25.2 \)

Теорема Пифагора применяется к прямоугольным треугольникам и позволяет вам найти длину одной из сторон при любой другой длине стороны. \ (a \) и \ (b \) — катеты треугольника, а \ (c \) — гипотенуза.

26. Внутренний угол правильного многоугольника

\ (\ frac {(n-2) 180} {n} \)

SAT, вероятно, будет включать один вопрос с правильным многоугольником, который не является треугольником или квадратом. Правильные многоугольники обладают уникальными и непротиворечивыми свойствами, основанными на их количестве сторон, и знание этих свойств может помочь вам решить эти проблемы.Это уравнение говорит вам, какой градус каждого угла основан на количестве сторон \ (n \).

27. 3-4-5 треугольник

SAT предоставляет вам два специальных прямоугольных треугольника, с которыми вы, возможно, уже знакомы на своем справочном листе, — треугольники 30-60-90 и 45-45-90. Однако 3-4-5 — это особый прямоугольный треугольник со сторонами, которые представляют собой простые целые числа. Этот треугольник часто включается в задачи SAT, особенно в части без калькулятора, так что будьте начеку! Это может избавить вас от необходимости использовать теорему Пифагора.

28. 5-12-13 треугольник

Другой специальный прямоугольный треугольник с целыми числами сторон, треугольник 5-12-13 менее известен и встречается реже, чем 3-4-5. Тем не менее, это помогает быстро решить оставшиеся стороны без теоремы Пифагора, поэтому проверяйте эти числа или их кратные в задачах треугольника.

29. Длина дуги в окружности

\ (длина \: of \: arc = \ frac {central \: angle} {360} \ pi d \)

Хотя вопросы о геометрии не составляют огромной части SAT, вы все равно можете найти вопрос о дугах или секторах в круге.2 \)

Подобно дуге, сектор — это область между двумя радиусами, отходящими от круга, вроде как кусок пирога. Опять же, умножьте меру в градусах на долю \ (360 \) и умножьте ее на уравнение для площади круга, чтобы найти площадь сектора.

Завершение

Перед тем, как вы уйдете, мы собираемся предложить вам бонусный совет: вы можете запомнить идеальные квадраты и идеальные кубики. Это может помочь вам с квадратными уравнениями, которые часто включают квадраты, а кубы часто используются при решении задач с показателями.Их запоминание сократит потребность в математических вычислениях с помощью бумаги для заметок или калькулятора.

Лучший способ запомнить формулы — это попрактиковаться в их использовании. В отличие от вашего школьного теста по математике, где вы знаете, какие темы будут охвачены, SAT просто представит вам вопрос — вам решать, какие формулы применяются. Когда вы попрактикуетесь в использовании формул для решения различных задач, вы сможете быстро определить, какую формулу использовать.

Готовитесь к SAT? Загрузите наше бесплатное руководство с нашими 8 лучшими советами по освоению SAT.

Хотите знать, как ваш результат SAT влияет на ваши шансы на поступление в школы вашей мечты? Наша бесплатная система Chancing Engine не только поможет вам предсказать ваши шансы, но и расскажет, как вы конкурируете с другими кандидатами и какие аспекты вашего профиля нужно улучшить. Зарегистрируйтесь на бесплатную учетную запись CollegeVine сегодня , чтобы получить доступ к нашему движку Chancing Engine и ускорить реализацию стратегии обучения в колледже!

Ознакомьтесь с некоторыми другими нашими статьями по подготовке к математике:

Тест наклона регрессии

В этом уроке описывается, как провести проверку гипотез для определения есть ли значительная линейная зависимость между независимая переменная X и зависимая переменная Y .

Тест фокусируется на наклон из регресс строка

Y = Β ₀ + Β ₁ X

где Β ₀ — постоянная, Β ₁ — наклон (также называемый коэффициентом регрессии), X — значение независимой переменной, а Y — значение зависимой переменной.

Если мы обнаружим, что наклон линии регрессии значительно отличается с нуля, сделаем вывод, что существует значимая связь между независимыми и зависимыми переменными.

Требования к испытаниям

Подход, описанный в этом уроке, применим, когда стандартные требования для простой линейной регрессии выполнены.

• Зависимая переменная Y имеет линейную зависимость к независимой переменной X .
• Для каждого значения X распределение вероятностей Y имеет такое же стандартное отклонение σ.
• Для любого заданного значения X,
  • Значения Y независимы.
  • Значения Y примерно нормально распределены (т.е. симметричный и одномодальный).Маленький перекос это нормально, если размер выборки большой.

Ранее мы описывали как проверить соответствие требованиям регрессии.

Процедура проверки состоит из четырех шагов: (1) сформулируйте гипотезы, (2) составить план анализа, (3) проанализировать данные пробы и (4) интерпретировать результаты.

Выразите гипотезы

Если существует значительная линейная зависимость между независимыми переменная X и зависимая переменная Y , наклон будет , а не равным нулю.

H _o : Β ₁ = 0

H _a : Β ₁ ≠ 0

The нулевая гипотеза утверждает, что наклон равен нулю, и альтернативная гипотеза утверждает, что наклон не равен до нуля.

Составьте план анализа

План анализа описывает как использовать образцы данных для принятия или отклонения нулевого значения гипотеза. В плане должны быть указаны следующие элементы.

• Уровень значимости. Часто исследователи выбирают уровни значимости равно 0,01, 0,05 или 0,10; но любое значение от 0 до 1 можно использовать.
• Метод испытаний. Используйте t-критерий линейной регрессии (описанный в следующий раздел) чтобы определить, отличается ли наклон линии регрессии значительно с нуля.

Анализ данных образца

Используя образцы данных, найдите стандартная ошибка наклона, наклон линии регрессии, степени свободы, статистика теста и P-значение, связанное со статистикой теста.Подход, описанный в этом разделе, проиллюстрирован на образец задачи в конце этого урока.

Интерпретировать результаты

Если результаты выборки маловероятны, дается нулевую гипотезу исследователь отвергает нулевую гипотезу. Обычно это включает сравнение P-значения с уровень значимости, и отклонение нулевой гипотезы, когда значение P меньше, чем уровень значимости.

Проверьте свое понимание

Проблема

Местная коммунальная компания опрашивает 101 случайный выбор клиентов. Для каждого участника опроса компания собирает следующие: годовой счет за электричество (в долларах) и размер дома (в квадратных футах).Результат регрессионного анализа появляется ниже.

Уравнение регрессии: Годовой счет = 0,55 * Размер дома + 15
Предиктор	Coef	SE Coef	т	P
Константа	15	3	5.0	0,00
Домашний размер	0,55	0,24	2,29	0,01

Есть ли значительная линейная зависимость между годовым счетом и домашний размер? Используйте уровень значимости 0,05.

Решение

Решение этой проблемы состоит из четырех шагов: (1) сформулируйте гипотезы, (2) сформулируйте план анализа, (3) анализировать данные образца и (4) интерпретировать результаты.Мы выполняем следующие шаги:

• Сформулируйте гипотезы. Первый шаг — заявить нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза.

  H _o : наклон линии регрессии равен до нуля.

  H _a : наклон линии регрессии равен , а не равно нулю.

  Если соотношение между размером дома и счетом за электричество значительный, наклон будет , а не равным нулю.
• Составьте план анализа . Для этого анализа уровень значимости 0,05. Используя образцы данных, мы будем провести t-тест линейной регрессии чтобы определить, отличается ли наклон линии регрессии значительно с нуля.
• Анализировать данные образца . Чтобы применить линейный регрессионный t-тест для выборки данных, нам требуется стандартная ошибка наклона, наклон регрессии линия, степени свободы, статистика теста t-статистика и P-значение теста статистика.

  Получаем наклон (b ₁ ) и стандартную ошибку (SE) из вывода регрессии.

  б ₁ = 0,55 SE = 0,24

  Вычисляем степени свобода и статистика t-статистики, используя следующие уравнения.

  DF = n — 2 = 101 — 2 = 99

  t = b ₁ / SE = 0.55 / 0,24 = 2,29

  где DF — степени свободы, n — количество наблюдений в выборке, b ₁ — наклон линии регрессии, а SE — стандартная ошибка наклона.

  На основе t statistic test статистика и степеней свободы, определяем P-значение.P-значение — это вероятность того, что статистика t 99 степеней свободы более экстремальны, чем 2,29. Поскольку это двусторонний тест, «более экстремальный» означает более 2,29 или менее -2,29. Мы используем t Калькулятор распределения чтобы найти P (t> 2,29) = 0,0121 и P (t
• Интерпретировать результаты . Поскольку значение P (0,0242) равно меньше уровня значимости (0.05), мы не можем принять нулевая гипотеза.

Примечание: Если вы используете этот подход на экзамене, вы также можете упомянуть что такой подход уместен только тогда, когда стандартные требования для простой линейной регрессии выполнены.

.

No related posts.