Контрольная работа делимость натуральных чисел: Контрольная работа по математике в 6 классе на тему:»Делимость натуральных чисел»

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел»

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел» Вариант 1 1. Из чисел 387, 756, 829, 2 148 выпишите те, которые делятся нацело а) на 2; б) на 9. 2. Разложите число 756 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел а) 24 и 54; б)72 и 254. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел а)16 и 32; б)15 и 8; в)16 и 12. 5. Докажите, что числа 272 и 1365 – взаимно простые. 6. Вместо звездочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел» Вариант 2 1. Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело а) на 5; б) на 9. 2. Разложите число 1176 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел а) 27 и 36; б)168 и 252. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел а)11 и 33; б)9 и 10; в)18 и 12. 5. Докажите, что числа 297 и 304 – взаимно простые. 6. Вместо звездочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзину по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг.

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел» Вариант 3 1. Из чисел 675, 522, 563, 6024 выпишите те, которые делятся нацело а) на 2; б) на 9. 2. Разложите число 1260 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел а) 28 и 42; б)63 и 441. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел а)14 и 56; б)11 и 6; в)20 и 15. 5. Докажите, что числа 760 и 693 – взаимно простые. 6. Вместо звездочки в записи 354* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Контрольная работа №1 по теме «Делимость натуральных чисел» Вариант 4 1. Из чисел 945, 603, 485, 5319 выпишите те, которые делятся нацело а) на 5; б) на 9. 2. Разложите число 1764 на простые множители. 3. Найдите наибольший общий делитель чисел а) 24 и 32; б)28 и 420. 4. Найдите наименьшее общее кратное чисел а)12 и 36; б)8 и 15; в)45 и 30. 5. Докажите, что числа 455 и 408 – взаимно простые. 6. Вместо звездочки в записи 927* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи). 7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзину по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг.

Контрольная работа № 1 по теме «Делители натуральных чисел», 5 класс

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

1 вариант

1. Укажите три числа, кратные 8.

2. Укажите все делители числа 36. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7224.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 3;

     в) на 10.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 9.

     а) 38*;

     б) 35*2;

     в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

     а) 84;        б) 126.

6. Запишите число 32 в виде произведения двух множителей  всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

1 вариант

1. Укажите три числа, кратные 8.

2. Укажите все делители числа 36. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7224.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 3;

     в) на 10.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 9.

     а) 38*;

     б) 35*2;

     в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

а) 126; б) 84.

6. Запишите число 32 в виде произведения двух множителей  всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

2 вариант

1. Укажите три числа, кратные 6.

2. Укажите все делители числа 42. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7236.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 9;

     в) на 5.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 3.

     а) 38*;

     б) 35*2;

     в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

     а) 78;      б) 124.

6. Запишите число 36 в виде произведения двух множителей  всеми возможными способами.

Контрольная работа

Делимость натуральных чисел

2 вариант

1. Укажите три числа, кратные 6.

2. Укажите все делители числа 42. Запишите их в порядке возрастания.

3. Даны числа 270, 1918, 4155, 7236.

Выберите те из них, которые делятся:

а) на 2;

б) на 9;

     в) на 5.

4. В записи чисел замените * так, чтобы полученное число делилось на 3.

     а) 38*;

     б) 35*2;

     в) *1382.

5. Разложите на простые множители числа:

     а) 78;      б) 124.

6. Запишите число 36 в виде произведения двух множителей  всеми возможными способами.

Контрольная работа по теме Делимость чисел УМК МЕРЗЛЯК, со спецификацией

Контрольная работа по теме: «Делимость натуральных чисел»

ВАРИАНТ 1

№ 1

Какие из чисел 5, 12, 45, 60, 135, 180, 387, 405, 703, 756, 8290, делятся нацело:

1) на 2; 2) на 3 3) на 5?

№ 2

Разложите число 756 на простые множители.

№ 3

Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 24 и 54 2) 72 и 264.

№ 4

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 16 и 32; 2) 8 и 15; 3) 16 и 12.

_______________________________________________________________ «3»

№ 5

Установите являются ли числа 62 и 95 взаимно простыми.

№ 6

Вместо звездочки в записи числа 152* поставьте такую цифру, что бы полученное число было кратным: 1) 5; 2) 3. (рассмотрите все возможные случаи)

№ 7

Для подарков купили 315 шоколадных и 720 карамельных конфет. Какое наибольшее количество подарков может быть составлено, если в каждом подарке одинаковое количество шоколадных и карамельных конфет?

_____________________________________________________________«4-5»

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

№8*

Какое наименьшее количество солдат маршируют на плацу, если их можно построить в строй по 75 человек в шеренге или в строй по 63 человека в шеренге?

№9*

Найдите значение выражения и выпишите все делители этого числа:

8,9·5,1 + 2,562:4,2.

№10*

Запишите в порядке возрастания все правильные дроби со знаменателем 7, в которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

№11*

Решите уравнение: (63x — 219) : 6 + 66 = 439.

_____________________________________________Дополнительная оценка

Контрольная работа по теме: «Делимость натуральных чисел»

ВАРИАНТ 2

№ 1

Какие из чисел 4, 17, 68, 104, 136, 255, 492, 675, 3258, 7030, делятся нацело:

1) на 2; 2) на 9 3) на 5?

№ 2

Разложите число 780 на простые множители.

№ 3

Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 27 и 36 2) 168 и 252.

№ 4

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 11 и 33; 2) 9 и 10; 3) 18 и 12.

_______________________________________________________________ «3»

№ 5

Установите являются ли числа 64 и 85 взаимно простыми.

№ 6

Вместо звездочки в записи числа 823* поставьте такую цифру, что бы полученное число было кратным: 1) 2; 2) 9. (рассмотрите все возможные случаи)

№ 7

В первой смене в лагере отдыхали 1080 человек, а во вторую — 336 человек. Какое наибольшее количество человек могло быть в отряде, если в обеих сменах в каждом отряде было одинаковое количество человек?

_____________________________________________________________«4-5»

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

№8*

Между двумя населенными пунктами столбы стояли через каждые 200 м. Эти столбы решили заменить, причем так, чтобы расстояние между соседними столбами стало 84 м. Какое наименьшее расстояние может быть между двумя этими пунктами, если первый и последний столбы менять не потребовалось?

№9*

Найдите значение выражения и выпишите все делители этого числа:

5,8·6,8 + 2,632:4,7.

№10*

Запишите в порядке возрастания все неправильные дроби с числителем 6, в которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

№11*

Решите уравнение: (35x + 305) : 9 — 14 = 191.

_____________________________________________Дополнительная оценка

СПЕЦИФИКАЦИЯ

Контрольной работы №1 по математике 6 класс по теме: «Делимость натуральных чисел»

Назначение работы – контроль знаний по теме «Делимость натуральных чисел»

Характеристика структуры и содержания работы

В работу по математике состоящую из двух частей (основной и дополнительной) включены 11 заданий.

В основную часть включено 7 заданий, среди которых:

1) 2 задания с кратким ответом;

2) 5 задания с развернутым ответом.

В дополнительную часть включены 4 задания (№№ 8*, 9*, 10*, 11*) повышенного уровня с развёрнутым ответом.

Дополнительные материалы и оборудование

При проведении контрольной работы разрешается использование линейки

Время выполнения работы.

На выполнение всей работы отводится 45 минут.

Оценка выполнения отдельных заданий и работы в целом.

Все задания основной части работы с кратким ответом оцениваются в 1 балл, задания с развернутым ответом в 2 балла (в зависимости от полноты ответа), задания дополнительной части повышенного уровня оцениваются в 3-4 бала.

Выполнение учащимися работы определяется суммарным баллом, полученным им по результатам выполнения заданий основной части работы. Максимальный балл основной части работы составляет – 22 балла,

На «5» — 20-22 баллов, на «4» — 16-19 баллов, на «3» — 13-15 баллов.

Дополнительно оцениваются №№8*-11*, максимальный балл 13. За дополнительную часть ставится оценка «4» или «5»

На «5» — 8-13 баллов, на «4» — 3-7 баллов.

План работы

План контрольно-измерительной работы по математике для учащихся 6 классов

№ за-да-ния	Проверяемый элемент содержания	Проверяемый вид деятельности	Тип задания (КО- краткий ответ, РО – развернутый ответ)	Уровень сложности задания (базовый, повышенный)	Максимальный балл за выполнение задания
1	Признаки делимости чисел на 2,3,5,9	Умение использовать признаки делимости на практике	КО	Б	3
2	Разложение числа на простые множители	Умение раскладывать число на простые множители	РО	Б	2
3	Наибольший общий делитель	Умение находить НОД	РО	Б	4
4	Наименьшее общее кратное	Умение находить НОК	РО	Б	6
5	Взаимно простые числа	Умение определять взаимно простые числа	РО	Б	2
6	Признаки делимости чисел на 2,3,5,9	Умение решать не стандартные задачи	КО	Б	2
7	Наибольший общий делитель	Умение решать задачи на нахождение НОД	РО	П	3

8*	Наименьшее общее кратное	Умение решать задачи на нахождение НОК	РО	П	3
9*	Делители числа	Умение производить действия с десятичными дробями, находить делители чисел.	РО	П	4
10*	Взаимно простые числа	Понятие правильной и неправильной дроби, сравнение дробей, понятие взаимно простых чисел	РО	П	4
11*	Решение уравнение	Умение решать уравнения	РО	П	2

ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ КАРТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1 ПО ТЕМЕ «ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

№ П/П

ФИО

Признаки делимости чисел на 2,3,5,9

Разложение числа на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Взаимно простые числа

Признаки делимости чисел на 2,3,5,9

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Делители числа

Взаимно простые числа

Решение уравнение

Сумма баллов/ Процент выполнения

Оценка

1 (3 Б)

2 (2Б)

3 (4Б)

4 (6Б)

5 (2Б)

6 (2Б)

7 (3Б)

8*(3Б)

9*(4Б)

10*(4Б)

11*(2Б)

ПРОЦЕНТЫ

На «5» — 20-22 баллов, на «4» — 16-19 баллов, на «3» — 13-15 баллов.

За дополнительную часть ставится оценка «4» или «5»

На «5» — 8-13 баллов, на «4» — 3-7 баллов.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/374623-kontrolnaja-rabota-po-teme-delimost-chisel-um

Разработка контрольной работы по теме: «Делимость натуральных чисел»

Просмотр содержимого документа
«Разработка контрольной работы по теме: «Делимость натуральных чисел»»

Контрольная работа «Делимость натуральных чисел»

Вариант № 1.

1. Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1368, 2121, 2178, 4356, 5635, 7221, 8484 выберите:

1) числа, кратные 5; 3) числа, кратные 9;

2) числа, кратные 2; 4) числа, кратные 3.

2. В число 810* вставьте вместо * цифру так, чтобы:

1) число делилось на 5, но не делилось на 2;

2) число не делилось ни на 5, ни на 2.

3. Разложите число 1056 на простые множители

4. Найдите НОД (126;240) и НОД(18;24) методом разложения чисел на простые множители.

5. Найдите НОК(140;42) и НОК(14;21) двумя способами.

6. Расстояние между муравьями 30см. Скорости этих муравьев 5см/с и 3см/с. Какое расстояние будет между ними через 3 секунды, если они ползут навстречу друг другу?

Контрольная работа «Делимость натуральных чисел»

Вариант № 2.

1. Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1264, 2528, 6320, 9354, 3012, 5481, 9360 выберите:

1) числа, кратные 5; 3) числа, кратные 9;

2) числа, кратные 2; 4) числа, кратные 3.

2. В число 302* вставьте вместо * цифру так, чтобы:

1) число делилось на 2, но не делилось на 5;

2) число делилось и на 2, и на 5.

3. Разложите число 2772 на простые множители.

4. Найдите НОД (210;135) и НОД(16;36) методом разложения чисел на простые множители.

5. Найдите НОК(126;90) и НОК(16;24) двумя способами.

6. Расстояние между двумя аэродромами 300км, где находятся два самолета. Скорости этих самолетов 700км/ч и 500км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа после взлета, если они летят в противоположных направлениях?

Контрольная работа № 1 Делимость натуральных чисел 6 класс

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа № 1 Делимость натуральных чисел 6 класс»

Контрольная работа № 1

Делимость натуральных чисел

Вариант 1

1. Из чисел 387, 756, 829, 2148 выпишите те, которые делятся нацело :

1. На 2; 2) на 9.

2. Разложите число 756 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел :

1)24 и 54; 2) 72 и 264.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел :

1)16 и 32; 2)15 и 8; 3)16 и 12.

5. Докажите, что числа 272 и 1365 взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 152* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 ( рассмотрите все возможные случаи).

7. Петя расставил книги поровну на 12 полках, а потом переставил их, тоже поровну, на 8 полок. Сколько книг было у Пети, если известно, что их было больше 100, но меньше 140?

Вариант 2

1. Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело :

1. На 5; 2) на 9.

2. Разложите число 1176 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел :

1)27 и 36; 2) 168 и 252.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел :

1)11 и 33; 2)9 и 10; 3)18 и 12.

5. Докажите, что числа 297 и 304 взаимно простые.

6. Вместо звездочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 ( рассмотрите все возможные случаи).

7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

тест по математике в 6 классе по теме «делимость чисел» | Тест по математике (6 класс):

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение «Булыкская СОШ»

«Использование тестовых технологий на уроке математики»

     Каждый старшеклассник на сегодняшний день сталкивается с необходимостью сдачи экзаменов в форме ЕГЭ с использованием технологии централизованного тестирования. Для этого требуется тщательная и плодотворная подготовка всех участников образовательного процесса.

     Тестирование не может полностью заменить обычные формы проверки знаний. Но основное их достоинство – это простота и скорость, а также то, что тесты воспринимаются большинством учащихся как своеобразная игра. Тем самым снимается страх, стресс и т.д.. использование тестовых заданий на уроках математики предполагает:

• Более рационально использовать время урока;
• Охватить большой объем содержания;
• Быстро установить обратную связь с учащимися и определить результаты усвоения материала;
• Сосредоточить внимание на пробелах в знаниях и умениях, и внести в них коррективы;
• Такая проверка дисциплинирует учащихся, индивидуализирует работу с учащимися;
• Саморазвивает учащихся, повышает интерес к предмету.

     Тестовые задания должны быть краткими и прочитав их, ученик должен сразу определить, знает он ответ, или нет. Надо стремиться к тому, чтобы на обдумывание одного задания затрачивалось не более двух минут.

     Суть каждого тестового задания должна отражать только данный предмет.важно учитывать значимость материала, его научную достоверность, соответствие содержания теста уровню современного понимания мира.

Тесты по теме «Делимость чисел» в 6 классе.

Пояснительная записка.

     Содержание  тестовых заданий предусматривает воспроизведение, применение, понимание учебного материала. Тестовая форма ориентирует на нетрудоемкие задания и не требует от учащихся записей действий или рассуждений,, ведущих к ответу. Она позволяет сократить время на проведение работы и на проверку учителем, а также расширить тематику заданий. Важно отметить, что традиционные контрольные и самостоятельные работы не отвергаются, так как имеют свои положительные особенности, основная из которых – возможно проверить ход решения задачи, рассуждения учащегося.

     Методические рекомендации:

     Данный набор тестов состоит из трех видов заданий, различающихся по форме и способу предъявления их учащимися.

     В заданиях первого типа вида (Т-1) требуется установить пропущенный текст – слова, выражения, числа, знаки сравнения, которые заменены многоточием, при этом должно получиться истинное  утверждение или правильная формулировка определения, правила. Учащиеся в качестве «ответов» записывают то, что по их мнению восполняет пропущенное.

   Тестовые задания второго вида (Т-2)  предлагают набор истинных и ложных утверждений; учащиеся должны установить, какие из них истинны, какие ложны, и заполнить «таблицу результатов», отмечая «1» верные утверждения, «0» — неверные:

Утверждение	1-е	2-е	3-е	4-е	И т.д.
Верно-неверно	1	0	0	1

     Тестовые задания третьего вида (Т-3) – это тесты с выбором правильного ответа из числа предложенных. Если нет специальных указаний об особенностях теста, то среди ответов для выбора имеется один (и только один) верный, что должно быть известно школьникам заранее. Вообще можно применять тесты с выбором ответа, в которых среди ответов нет верных, о чем учащиеся, выполняющие тест, становятся в известность. Для фиксации результатов выбора ответов целесообразно использовать так называемые «перфокарты»:

Класс _______	Фамилия, имя _______________
Задание	Вариант ответа
	а	б	в	г
1		*
2	*
3				*
4		*
И т.д.

Ответ, который учащиеся считают верным, он отмечает знаком «*» против верного номера.

     Последний пункт «г» рекомендуется использовать для записи ответов, отсутствующих среди  предложенных для выбора. Если тесты первого и второго видов рассчитаны на устное выполнение задания, то тест с выбором ответов не исключает заданий, требующих письменных действий на черновиках.

     Различия применяемых видов тестов связаны с характером деятельности по выполнению заданий, отражающих важные проявления результатов обучения. Первый вид тестов направлен на воспроизведение и непосредственное применение определений терминов, свойств; второй вид требует анализа утверждений, составляющих основу логической структуры курса; третий вид предусматривает применение учебного материала для решения практических и теоретических задач. Кроме того тест с выбором ответов связан с деятельностью в ситуации выбора приемлемого и отклонения неприемлемого, с чем каждый человек встречается на каждом шагу. Таким образом, предлагаемые тесты способствуют развитию умственной деятельности на математическом материале.

     Данные проверочные работы предполагают в наличии задания различного уровня, каждому школьнику предоставляется возможность проявить сполна свою математическую подготовку от минимально- обязательной до высокой.

     Время, отводимое на выполнение теста, устанавливается самим учителем, но при занижении темпа работы усиливается нарушение порядка со стороны учащихся (подсказки, списывание). Работа по выполнению тестов требует от учащихся определенного напряжения, на это обычно отводиться 15-3- минут. Тест с выбором ответов можно проводить как обычная контрольная работа, когда никаких ответов не дается.

     Перед работой по тестам Т-2 и Т-3 учащимся сообщается следующая установка: если при рассмотрении заданий какое-либо из них вызывает затруднения, то это задание можно пропустить и перейти к следующему; порядок выполнения заданий не учитывается. Текст с заданиями по тесту заканчивается оценочной таблицей. (это нужно только учителю)

Т-1

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.

Вариант 1

1. Остаток от деления 1000 на 11 равен______________________________________________________
2. Делителем натурального числа n называют натуральное число______________________________________________________
3. Числа 24; 12; 10 кратны числу ____________________________________________________________
4. Наименьшим кратным любого натурального числа является ____________________________________________________________
5. Если натуральное число кратно 2, то следующее за ним в натуральном ряду число_____________________________________________________________________________________________________________________
6. Четное число, кратное 5, оканчивается цифрой______________________________________________________
7. Чтобы запись  4**258  стала числом, кратным 3, достаточно вместо «*» поставить цифры_____________________________________________
8. Натуральное число ___________________________________________ __________________________________________называется простым.
9. Три числа 2; 5; и ______________________________ взаимно простые.
10. Наименьшее общее кратное двух чисел не меньше ____________________________________________________________
11. Если знаменатель обыкновенной  дроби является делителем числителя, то эта дробь представляет собой _______________________________________________________ число.
12. Сумма нескольких натуральных чисел _____________________________________________________________среднему арифметическому этих чисел, если оно является натуральным числом.
13. Наибольший общий делитель чисел 124; 120 равен ____________________________________________________________
14. Сумма двух простых чисел, каждое из которых больше двух, всегда ____________________________________________________________.

Оценочная таблица.

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Балл	1	1	1	1	1	1	2	1	1	2	2	2	2	3

Т-1

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, правила.

Вариант 2

1. Неполное частное от деления  1233 на 12 равно __________________________________________________________
2. Натуральное число, которое делится без остатка на натуральное число m , называют _________________________________________________
3. Если множители разложений двух натуральных чисел на простые множители одинаковы, то _____________________________________________________________
4. Натуральное число делится без остатка на 10, если _____________________________________________________________
5. Наименьшее из чисел, кратное 3 и не делящееся на 5, равно________________________________________________________
6. Наименьшее общее кратное чисел 13; 15; 10 равно _____________________________________________________________
7. Нечетное число, кратное 5 , оканчивается цифрой______________________________________________________
8. Натуральное число _____________________________________________________________называется составным.
9. Натуральные числа 22; 15; 8; 10  являются _____________________________________________________________
10. Общим делителем чисел 12;  20;  36  являются числа ______________________________________________________________(перечислить все)
11. Наименьшим числом, делителями которого служат числа 5; 15; 45; является число _____________________________________________
12. Число делителей 30 равно ___________________________________________________________
13. Наибольший общий делитель 16 и 20 служит ____________________________________________________________
14. Если различные числа имеют общие делители, то наименьшее общее кратное (больше, меньше, равно)_________________________________________________________произведения этих чисел.

Оценочная таблица.

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Балл	1	1	2	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3

КР-01 В-2 Математика 6 Мерзляк

КР-01 В-2 Математика 6 Мерзляк — это контрольная работа по математике в 6 классе № 1 «Делимость натуральных чисел» в 2-х вариантах из пособия для учащихся «Математика. Дидактические материалы. 6 класс ФГОС» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир, изд-во «Вентана-Граф»), а также решения и ОТВЕТЫ на нее (нет в пособии).

Цитаты из вышеуказанного учебного пособия использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ).

---

 

Математика 6 класс (УМК Мерзляк)

Контрольная работа № 1. Вариант 2

 

КР-01 В-2 «Делимость натуральных чисел» (транскрипт заданий)

1. Из чисел 135, 240, 594, 3 251 выпишите те, которые делятся нацело: 1) на 5; 2) на 9.
2. Разложите число 1 584 на простые множители.
3. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 36 и 63; 2) 180 и 312.
4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: 1)15 и 30; 2) 8 и 35; 3) 10 и 16.
5. Докажите, что числа 945 и 208 – взаимно простые.
6. Вместо звёздочки в записи 2 38* поставьте такую цифру, чтобы полученное число было кратно 3 (рассмотрите все возможные случаи).
7. Катя собирает фигурки лошадок. Их можно расставить поровну на 9 полках, а можно, тоже поровну, – на 15 полках. Сколько фигурок у Кати, если известно, что их больше 110, но меньше 140?

---

 

Ответы на контрольную работу

КР-01. Вариант 2. ОТВЕТЫ:

№1.   1) на 5:  135, 240             2) на 9:   135, 594
№2.   1584 = 2×2×2×2×3×3×11 = 2⁴×3²×11
№3.   1) НОД (36; 63) = 3×3 = 9          2) НОД (180; 312) = 2×2×3 = 12
№4.   1) НОК (3; 6) = 6      2) НОК (28; 9) = 252         3) НОК (10; 16) = 2⁴×5 = 80
№5.   НОД (945; 208) = 1. Нет общих делителей => 945 и 208 — взаимно простые.
№6.   2382, 2385, 2388
№7.   НОК (9; 15) = 45.     45×3=135.     110<135<140.    Ответ: 135 фигурок.

Смотреть РЕШЕНИЯ заданий контрольной работы

Ответы на контрольную работу 1 Вариант 2. Математика 6 класс. УМК Мерзляк и др.

Ответы на контрольную работу 1 Вариант 2. Математика 6 класс. УМК Мерзляк и др.

 

---

КР-01 В-2 Математика 6 класс — Контрольная работа № 1 «Делимость натуральных чисел» (по УМК Мерзляк и др.): задания, решения и ответы на нее. Перейти к другому варианту этой контрольной: КР-01 Вариант 1

Вернуться к Списку контрольных работ по математике в 6 классе (Мерзляк).

тестов на делимость

тестов на делимость

Тесты на делимость

Как упоминалось в предыдущих сеансах, компьютерная безопасность зависит от больших значений, которые трудно факторизовать. Итак, людям, которые пытаются взломать коды шифрования, нужны эффективные методы определения множителей больших чисел. Такие методы доступны только в особых случаях.

На этом занятии мы рассмотрим несколько основных частных случаев, чтобы определить, является ли значение фактором другого значения.Например, при упрощении дробей мы хотели бы быстро определить, является ли значение множителем как числителя, так и знаменателя. Как мы можем быстро определить, является ли число множителем другого числа?

Попробуйте решить эту проблему. Какое из приведенных ниже чисел является множителем 123 456?

2 3 4 5 6 9 10

При использовании факторных деревьев для поиска разложений чисел на простые множители важно уметь быстро находить множители.Тесты на делимость позволяют быстро находить множители чисел. Знание тестов на делимость избавляет нас от необходимости пытаться делить на каждый возможный фактор, чтобы увидеть, работает это или нет. Вы, наверное, уже знаете несколько тестов на делимость. Вот наиболее часто используемые.

Тесты делимости для 2, 5 и 10

Целое число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8. Обоснование для трехзначного числа.

Целое число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.Обоснование трехзначной цифры.

Целое число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна 0. Обоснование для трехзначного числа.

Пример:

Используя эти тесты, мы видим, что 123 456 делится на 2, потому что его последняя цифра равна 6. Мы также можем видеть, что 123 456 — это , а не , делимое на 5 или 10, потому что его последняя цифра не равна 0 или 5.

Проверка делимости для 4

Целое число делится на 4 тогда и только тогда, когда его последние две цифры делятся на 4. Обоснование для трехзначного числа.

Пример:

Этот тест говорит, что для проверки, делится ли 123,456 на 4, нам нужно только проверить, делится ли 56 на 4. Поскольку 56 = 14 · 4, мы знаем, что 56 делится на 4; следовательно, 123,456 также делится на 4.

Тесты делимости для 3 и 9

Целое число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Обоснование для трехзначного числа.

Целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Обоснование для трехзначного числа.

Пример:

Чтобы использовать этот тест, чтобы проверить, делится ли 123 456 на 3 или 9, мы берем цифры 123 456 и находим их сумму. Мы получаем 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Поскольку 21 = 7 · 3, мы видим, что сумма цифр делится на 3, и поэтому мы также знаем, что 123,456 делится на 3.

Мы также видим, что, поскольку 21 — это сумма цифр, а 21 — это , а не , делимое на 9, мы знаем, что число 123,456 также является , а не , делимым на 9.

Проверка делимости для 6

Целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится как на 2, так и на 3.

Это прямо следует из того, что мы изучили о простых факторизациях. Мы знаем, что факторизация 6 на простые множители равна 2 · 3. Если разложение на простые множители целого числа включает простые числа 2 и 3, то мы знаем, что это число имеет множитель 6. И если число имеет коэффициент 6, он должен делиться на 6.

Пример: мы уже показали, что число 123 456 делится как на 2, так и на 3, поэтому согласно этому правилу число 123 456 также должно делиться на 6.

Какие из приведенных ниже чисел являются делителями (делителями) 34 971? Используйте правила делимости, чтобы решить. Сделайте , а не , чтобы понять это.

2, 3, 4, 5, 6, 9, 10

Решение:

Последняя цифра 34 971 — «1». Итак, мы знаем, что 34 971 не делится на 2, 5 или 10.

Тот факт, что 34 971 не делится на 2, также говорит нам, что оно не делится ни на 4, ни на 6 (потому что нам нужен коэффициент 2 для любого из них).

Это оставляет нам только 3 и 9 в качестве возможных делителей (делителей) 34 971. Оба этих теста на делимость требуют, чтобы мы смотрели на сумму цифр, поэтому мы суммируем цифры 34 971 и получаем 3 + 4 + 9 + 7 + 1 = 24. Сумма 24 делится на 3, но не на 9. Таким образом, мы заключаем, что 34 971 делится на 3, но не на 9.

Это означает, что единственное число в приведенном выше списке, которое является множителем (делителем) 34 971, — это 3, и мы должны были выбрать только цифру 3.

Шутка или цитата

Когда сможешь, посчитай.

Сэр Фрэнсис Гальтон (1822-1911)

В J.R. Newman (ed.), The World of Mathematics , New York, Simon and Schuster, 1956

A История и руководство пользователя

Метод, который Блез Паскаль представил в De Numeris Multiplicibus , прост и эффективен. Он доступен любому, кто имеет базовые знания в арифметике (и интересуется математическими открытиями), но его можно использовать для проверки делимости каждого положительного целого числа. 0 (8) \) \ (\ Equiv 2 (2) +3 (8) +1 (7) +5 (5) +4 (4) +6 (2) + 2 (1) +3 (7) +1 (8) \) , \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 119 \) \ (\ Equiv 2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 1 + 1 \ cdot 9 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 14.{n-1} a_ {n-1} + \ cdots + b \ cdot a_1 + a_0 \).

Проверки делимости для любого положительного целого числа \ (d \) могут быть разработаны аналогичным образом путем построения таблиц остатков, которые получаются при делении степеней \ (10 ​​\) на \ (d. \). В [29] Маккафри отметил, что такие таблицы можно найти систематически, разделив \ (d \) на \ (1 \) (вручную) и отслеживая остатки по пути. Далее он заметил, что, поскольку алгоритм деления обеспечивает только \ (d \) возможных остатков (от \ (0 \) до \ (d-1 \)) при делении на \ (d, \), этот процесс должен в конечном итоге привести к повторяющемуся циклу.i \ Equiv r_ {i- (k-j + 1)} \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d) \) для каждого \ (i> k. \)) Мы ссылаемся на это список остатков как список делимости для \ (d. \). Другие списки делимости для \ (d \) могут быть сгенерированы заменой любого \ (r_i \) на целое число, которое конгруэнтно \ (r_i \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d). \) Таким образом, \ (\ {5, 4, 6, 2, 3, 1 \} \) и \ (\ {- 2, -3, — 1, 2, 3, 1 \} \) оба списка делимости для \ (7. \)

Некоторые из наших наиболее известных тестов на делимость можно описать как тесты Паскаля, которые эффективно объясняются предоставлением связанного списка делимости.i \ Equiv 1 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {9}). \) Ясно, что тесты Паскаля на делимость существуют для любого положительного целого числа. Списки делимости, которые объясняют некоторые из наших наиболее известных тестов делимости как тесты Паскаля, представлены в таблице ниже:

\ (2 \)	\ (3 \)	\ (4 \)	\ (5 \)	\ (6 \)	\ (8 \)	\ (10 ​​\)	\ (11 \)
\ (\ {0 | 1 \} \)	\ (\ {1 \} \)	\ (\ {0 | 2,1 \} \)	\ (\ {0 | 1 \} \)	\ (\ {4 | 1 \} \)	\ (\ {0 | 4,2,1 \} \)	\ (\ {0 | 1 \} \)	\ (\ {- 1,1 \} \)

Как разработать свой собственный тест Паскаля для делителя \ (d \) : Вычислить остатки (\ (r_0, \) \ (r_1, \) \ (r_2, \) и т. Д.\ prime, \) при желании.

Пример 2.1. Предположим, что для делителя \ (110. \) требуется проверка делимости Паскаля. Деление \ (1 \) на \ (110 \) (вручную) дает остатки \ (r_0 = 1, \) \ (r_1 = 10, \) и \ (r_3 = 100 \). Поскольку \ (r_4 = 10, \), оставшиеся остатки будут многократно циклически перемещаться между \ (10 ​​\) и \ (100; \), таким образом, список делимости для \ (110 \) будет \ (\ {100,10 | 1 \ }. \) Поскольку \ (100 \ Equiv -10 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {110}), \), то \ (\ {- 10,10 | 1 \} \) также является списком делимости \ (110.\) Следовательно, мы можем проверить, делится ли \ (7408170 \) на \ (110 \), отметив, что

\ [- 10 (7) +10 (4) + (- 10) (0) +10 (8) + (- 10) (1) +10 (7) +1 (0) = 110. \]

Поскольку \ (110 \) явно делится на \ (110, \), поэтому \ (7408170. \)

2.2. Паскаль-тесты с изменением базового стиля

Паскаль использовал базовое представление чисел \ (10 ​​\) при описании своего метода проверки на делимость. Однако ясно, что его тест работает в любой базе (см. [16] для обсуждения баз с \ (2 \) по \ (9 \) и [43] для примера в базе \ (30 \)).В [27] Жозеф-Луи Лагранж (1736-1813) заметил, что если число выражается в любом основании \ (d + 1, \), его остаток от деления на \ (d \) равен остатку, полученному при делении сумма его цифр на \ (d. \). Это просто расширение правила делимости для \ (9 \) (для чисел, выраженных в базе \ (10 ​​\)), которое обсуждалось выше. Он также работает для любого делителя \ (d \) (для чисел, выраженных в базе \ (d + 1 \)), точно так же, как он работает для \ (3 \) в базе \ (10. \). Забавно отметить что в базе \ (61, \) проверка суммы цифр применяется к делителям \ (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 \) и \ (60 \)!

Конечно, для большинства вычислений с изменением базы требуется, по крайней мере, столько же шагов, сколько при обычном делении.Таким образом, тесты делимости с изменением базового стиля обычно нецелесообразны. Мы действительно отмечаем, что недавняя статья Сэнди Ганцелла предлагает предложения, которые могут упростить вычисления с заменой базы для небольших кратных \ (10, \), тем самым обеспечивая полезные тесты Pascal в стиле смены базы для конкретных случаев [17].

Как разработать свой собственный Pascal-тест стиля смены основы для делителя \ (d \) : Выразите число \ (N \) в базе \ (b + 1 \), где \ (b \) делится на \ (d. \). Тогда \ (N \) делится на \ (d \) тогда и только тогда, когда сумма цифр \ (N \) делится на \ (d.\)

Пример 2.2 (из [17]). Поскольку \ (21506 \) (в базе \ (10 ​​\)) равно \ ([13 \, 17 \, 26] _ {40} \) (в базе \ (40 \)), мы имеем, что \ ( 13 + 17 + 26 = 56 \) сравнимо с \ (21506 \) по модулю каждого из \ (3, 13, \) и \ (39. \)

.

Метод Паскаля (в базе \ (10 ​​\)) неоднократно переоткрывался многими авторами (см., Например, [20], [29], [8], [28], [4] и [11]). . Некоторые авторы (см. [32] и [35]) опубликовали тесты на делимость, которые разработаны путем применения незначительной модификации к подходу Паскаля.3 \ cdot 542 + 178 \) \ (\ Equiv 1 \ cdot 287 + (- 1) \ cdot 542 + 1 \ cdot 178 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= -77, \)

, который явно делится на \ (7. \) Таким образом, \ (287,542,178 \) также делится на \ (7 \). «Разбивая» число на группы по три цифры в каждой (начиная справа) и поочередно добавляя и вычитая полученные трехзначные числа (крайнее левое из них может иметь менее трех цифр), мы получаем новое число, которое является конгруэнтно нашему исходному числу \ (({\ rm {mod}} \, \, 7).2 \ cdot 421 + 78 \) \ (\ Equiv 5 \ cdot 2875 + 1 \ cdot 421+ 1 \ cdot 78 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) \ (= 15295. \)

Затем, разбивая блоки \ (3 \), как мы делали ранее, мы видим, что \ (15295 \ эквив -15 + 295 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \). Это равно \ (280, \), что явно делится на \ (7. \)

.

Тест Талмуда на делимость числа \ (N \) на \ (7 \) — это тест Паскаля, который использует два блока потенциально неравной длины.Крайний правый блок состоит из двух последних цифр \ (N \), а крайний левый блок состоит из оставшихся цифр. Записывая \ (N \) как \ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0], \), тест Талмуда утверждает, что \ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0] \) является делится на \ (7 \) тогда и только тогда, когда \ (2 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \) делится на \ (7 \), поскольку \ (100 \ Equiv 2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \) и

\ ([a_n a_ {n-1} \ cdots a_1 a_0] \)	\ (= 100 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \)
	\ (\ Equiv 2 \ cdot [a_n a_ {n-1} \ cdots a_3 a_2] + [a_1 a_0] \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7).\)

Этот и все тесты типа Паскаля можно многократно применять по желанию. Многократное применение теста Талмуда к \ (287,542,178 \) дает следующую последовательность чисел:

\ [287,542,178 \ rightarrow 5,750,920 \ rightarrow 115,038 \ rightarrow 2338 \ rightarrow 84. \]

Так как \ (84 \) делится на \ (7, \), то и \ (287,542,178 \) делится на \ (287,542,178 \).

Разработка собственного теста Паскаля в стиле фрагментов для делителя \ (d \) : Начните с принятия решения о том, как вы хотите разбить целые числа для тестирования.4 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {49}) \). Следовательно, мы можем проверить, делится ли \ (322351 \) на \ (49 \), отметив, что

\ [4 (32) +2 (23) + 51 = 128 + 46 + 51 = 225. \]

Повторение теста с \ (225 \) дает \ (2 (2) + 25 = 29 \), которое явно не делится на \ (49. \). Следовательно, \ (322351 \) также не делится на \ (49 . \) Однако заметим, что \ (29 \) — это остаток, полученный при делении \ (322351 \) на \ (49. \). И снова причина этого «совпадения» полностью объясняется теоремой 1.1.

2.2 \ cdot 1 + 3 \ cdot 6 + 8 \) как \ (3 \ cdot (3 \ cdot 1 + 6) +8 \) и соответствующим образом интерпретируя это вложенное выражение, мы получаем новый стиль теста Паскаля, который появляется в [14] и [19]. Мы решили назвать это стилем «поток слева» из-за способа выполнения теста: начиная с самого внутреннего выражения в скобках выше, мы умножаем первую (крайнюю левую) цифру \ (168 \) на \ (3 \) и сложите вторую цифру (\ (3 \ cdot 1 + 6 = 9 \)). Затем умножьте этот результат на \ (3 \) и добавьте третью цифру (\ (3 \ cdot 9 + 8 = 35 \)).Так как \ (35 \) делится на \ (7, \), то и \ (168. \) делится на \ (168. \). Очевидно, что эта процедура может стать громоздкой для чисел с большим количеством цифр. Однако процесс значительно упрощается путем преобразования каждого вычисления по пути в меньший \ (({\ rm {mod}} \, \, 7) \) эквивалент. Проверка \ (287,542,178 \) (снова!) На делимость на \ (7 \) с использованием подхода потока слева дает следующую последовательность промежуточных \ (({\ rm {mod}} \, \, 7) \) расчеты (начиная с \ (3 \ cdot 2 + 8 \ Equiv 0 \)):

\ [0 \ rightarrow 0 \ rightarrow 5 \ rightarrow 5 \ rightarrow 3 \ rightarrow 3 \ rightarrow 2 \ rightarrow 0.\]

Итак, \ (287,542,178 \ Equiv 0 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \).

Интересно отметить, что этот стиль проверки Паскаля на делимость «поток слева» был известен еще до того, как Паскаль родился. Согласно Леонарду Юджину Диксону (1874-1954) [10], Пьер Форкадель включил приведенный выше критерий делимости на \ (7 \) в L’Arithmeticqve de P. Forcadel de Beziers в 1556 году.

Теперь мы покажем, как поток слева может быть объединен с фрагментированием для разработки более мощных тестов на делимость.2 \ cdot 287+ (-1) \ cdot 542 + 178 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7). \)

Это можно переписать как \ (- 1 \ cdot (-1 \ cdot 287 + 542) + 178, \), иллюстрирующее, как тест Паскаля в стиле «поток слева» может быть объединен со стилем фрагментов. i \, \, ({\ rm {mod}} \, \, d) \).i \), чтобы этот тест имел какую-либо практическую ценность.

Пример 2.4. Заметив, что \ (100 \ Equiv -2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {17}), \), мы начинаем проверку \ (84592 \) на делимость на \ (17 \) на сначала разбейте его на группы по два (начиная справа). Мы умножаем крайний левый кусок на \ (- 2 \) и добавляем следующий кусок; затем умножьте результат на \ (- 2 \) и добавьте последний кусок:

\ [- 2 (8) + 45 = 29 \ rightarrow -2 (29) + 92 = 34. \]

В качестве альтернативы, если бы мы узнали, что \ (45 \ эквив 11 \) и \ (92 \ эквив 7 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {17}), \), то приведенная выше последовательность промежуточных расчетов было бы несколько упрощено:

\ [- 2 (8) +11 \ Equiv -5 \ rightarrow -2 (-5) + 7 = 17 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 17).\]

Делится ли \ (102 \) на \ (17 \)? Использование только что описанного теста дает ответ почти сразу: \ (- 2 \), умноженное на первую цифру плюс число, образованное двумя последними цифрами, дает \ (0, \) кратное \ (17. \). дальше. Обратите внимание, что \ (1003 \) также делится на \ (17, \) и что \ (- 3 \), умноженное на первую цифру (из \ (1003 \)), плюс число, образованное последними тремя цифрами, также дает \ (0. \) Предлагает ли это другое правило делимости для \ (17 \)? Давайте проверим \ (84592 \), умножив \ (- 3 \) на \ (84 \) и прибавив \ (592.1 + 7 \)) кратно \ (17, \), мы могли бы разбить числа на группы по \ (1 \) и использовать \ (- 7 \) в качестве кратного числа для альтернативного стиля потока слева. Тест Паскаля для \ (17. \) Аналогично, мы можем использовать \ (- 3 \) и \ (- 9 \) в качестве кратных, определяющих тесты стиля потока слева для \ (13 \) и \ (19 ,\) соответственно. Кроме того, \ (- 11 \) может использоваться в качестве множественного числа, определяющего проверку потока слева для \ (111 \) (с использованием фрагментов \ (2 \) цифр), а также для \ (3 \) и \ (37 \) (которые являются факторами \ (111 \)).

Все это поднимает очень естественный вопрос: если мы можем получить критерий делимости потока слева для \ (19 \), отметив, что \ (- 9 \) умножает первую (крайнюю левую) цифру \ (19 , \) плюс вторая цифра, равно \ (0, \), мы могли бы также получить тест на поток из- для \ (91 \), распознав, что \ (- 9 \) умноженное на последнее цифра \ (91, \) плюс предыдущая цифра равна \ (0 \)? Мы ответим на этот вопрос позже, но мы надеемся, что вы сможете изучить его самостоятельно, прежде чем читать дальше.

2.5. Паскаль в стиле прыжка слева

В 1859 году Фрэнсис Элефанти предложил любопытный тест в [15], чтобы определить, что \ (71491 \) делится на \ (7 \): Усеките первую цифру (\ (7 \)) и вычтите ее из цифры на три разряда. справа (\ (9 \)). (Как мы увидим, \ (7 \) на самом деле нужно вычесть из \ (149 \).) Оставьте все остальные цифры такими, какими они были. Это дает \ (1421. \). Повторяя процесс, \ (421 \) минус \ (1 \) дает \ (420. \) Поскольку \ (420 \) явно делится на \ (7, \), Elefanti утверждал, что \ (71491 \) тоже.3 \) и напомнил, что \ (1000 \) конгруэнтно \ (- 1 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {7}) \). Это не совпадение. Действительно, мы можем использовать тот факт, что \ (100 \) конгруэнтно \ (2 \, \, ({\ rm {mod}} \, \, 7) \), чтобы выдвинуть гипотезу аналогичного теста: умножьте первую цифру \ (71491 \) на \ (2 \) и прибавляем результат к \ (14. \). После усечения первой цифры это дает \ (2891. \) Удвоение \ (2 \) и прибавление к \ (89 \) дает \ (931. \) Наконец, \ (2 (9) + 31 = 49 \), что кратно \ (7. \)

Leap-from-the-left — это просто замаскированный тест Паскаля в стиле фрагментов.{ni} [a_ {n-1} \ cdots (a_ {ni} + ka_n)] + [a_ {ni-1} \ cdots a_1 a_0] \, \, ({\ rm {mod}} \, \, {d}) \) \ (= [a_ {n-1} a_ {n-2} \ cdots a_ {n-i + 1} (a_ {n-i} + ka_n) a_ {n-i-1} \ cdots a_1 a_0]. \)

Обратите внимание, что если \ (a_ {n-i} + ka_n \ ge 10, \) цифры слева от \ (a_ {n-i} + ka_n \) в приведенных выше строках могут измениться из-за «переносов».

Разработка собственного теста Паскаля в стиле «прыжок слева» для делителя \ (d \) : Пусть \ (i \) обозначает размер «прыжка», который вы хотите использовать.\ prime \) делится на \ (d \).

Искусство решения проблем

Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применяются только для base-10 — другие базы имеют свои собственные, разные версии этих правил.

Видео о делимости

https://youtu.be/bIipw2XSMgU

Основы

Правило делимости на 2 и степени 2

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на.Таким образом, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его цифра единиц делится на 2, то есть если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.

Доказательство

Правило делимости на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что , а не , работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 сам по себе не делится на 27.

Доказательство

Правило делимости на 5 и степени 5

Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень 5.

Доказательство

Правило делимости для 7

Правило 1: Разделите числа на трехзначные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда делится на 7.

Доказательство

Правило 2: усеките последнюю цифру, удвойте эту цифру и вычтите ее из остальной части числа (или наоборот).делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.

Доказательство

Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это только говорит вам, делится ли он, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и прибавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы оно стало равным нулю. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба приемлемы; я использую первый). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. В целом работает с числами, которые взаимно просты с основанием (и отлично работает в двоичном формате).Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!

Правило делимости 10 и степени 10

Если число является степенью 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которые должны стоять в конце числа, чтобы оно делилось на эту степень 10.

Пример: Чтобы число делилось на 1 000 000, в конце должно быть 6 нулей, потому что.

Правило делимости для 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда чередующаяся сумма цифр делится на 11.

Доказательство

Общее правило для композитов

Число делится на, где разложение на простые множители равно, если число делится на каждое из.

Пример

Для примера мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.

Разложение 36 на простые множители. Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы увидеть, делится ли оно на 36.

• Поскольку последние две цифры, 44, числа делятся на 4, то же самое и все число.
• Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.

Таким образом, число делится как на 4, так и на 9 и должен делиться на 36.

Продвинутый

Общее правило для простых чисел

Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 для делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда последняя цифра усекается, умножая это на и вычитание его из оставшегося числа дает нам результат, делимый на.Правило делимости 2 на 7 говорит, что для,. Правило делимости 11 эквивалентно выбору. Правило делимости 3 эквивалентно выбору. Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется на, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости числа 13: мы могли бы умножить на 9 и вычесть, а не умножать на 4 и складывать.

Правило делимости для 13

Правило 1. Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делится на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как со вторым правилом делимости для 7.

Доказательство

Правило 2: Разделите числа на трехзначные числа справа (). Альтернативная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда делится на 13.

Доказательство

Правило делимости для 17

Усечь последнюю цифру, умножить ее на 5 и вычесть из оставшегося первого числа.Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Процесс можно повторить для любого числа.

Доказательство

Правило делимости для 19

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 2 и прибавить к оставшемуся начальному числу. Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 29

Обрезать последнюю цифру, умножить ее на 3 и прибавить к оставшемуся начальному числу.Число делится тогда и только тогда, когда результат делится. Это также можно повторить для больших чисел.

Доказательство

Правило делимости для 49

Почему 49? Для вынимания надоедливости из корня.

Можно использовать до 23:00. Округлите до ближайших 50, позвоните по нему, вычтите исходное число, позвоните по этому номеру. Если, он делится на 49.

Примеры:

49. Округлить:. Разница: . ? Да!

1501. Округлить вверх:. Разница: . ? Нет!

1470.Округлять: . Разница: . ? Да!

Доказательство

Проблемы

ресурсов

Книги

Классы

См. Также

(PDF) НОВЫЙ АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

4 NE CME TTIN AL P1A ND M EH M ET ZEK I SA RI KAYA 2

Следовательно, 39325 можно разделить на 11.

Для p = 13, выбирая t = 3 и n = 13t + 1

10 =

13: 3 + 1

10 = 4:

Следствие 3.Если мы выберем p = 13 в теореме 1, ::: a5a4a3a2a12Z, то

::: a5a4a3a2a10 (mod 13), ::: a5a4a3a2a1 + 4: a10 (mod 13)

истинно.

Пример 3. Можно ли число 68653 разделить на 13? Или 13 — это фактор 68653?

68653 6865 + 4: 36877 687 + 4: 7715

71 + 4: 591 9 + 4: 113 0 (мод 13):

Следовательно, 68653 может делится на 13.

Следствие 4. Теперь для всех нечетных целочисленных выводов по теореме 1 ::: a5a4a3a2a1 = xis

integer. Тогда

ptn = pt + 1

10 x0 (mod p) ::: a4a3a2 + n: a10 (mod p)

3; 31x0 (mod 3), ::: a4a3a2 + 1 : a10 (mod 3)

7; 75 (тест Чики) x0 (mod 7), ::: a4a3a2 + 5: a1 ::: a4a3a22: a10 (mod 7)

9; 11x0 (mod 9), ::: a4a3a2 + 1: a10 (mod 9)

11; 910 x0 (mod 11), ::: a4a3a2 + 10: a1 ::: a4a3a2 1: a10 (mod 11)

13; 34x0 (mod 13), ::: a4a3a2 + 4: a10 (mod 13)

17; 712 x0 (mod 17),: :: a4a3a2 + 12: a1 ::: a4a3a25: a10 (mod 17)

19; 12x0 (mod 19), ::: a4a3a2 + 2: a10 (mod 19)

23; 37x0 (mod 23), ::: a4a3a2 + 7: a10 (mod 23)

27; 719 x0 (mod 27), ::: a4a3a2 + 19: a1 ::: a4a3a2 8: a10 (mod 27)

29; 13x0 (mod 29), ::: a4a3a2 + 3: a10 (mod 29)

31; 928 x0 (mod 31),: :: a4a3a2 + 28: a1 ::: a4a3a23: a10 (mod 31)

37; 726 x0 (mod 37), ::: a4a3a2 + 26: a1 ::: a4a3a211 : a10 (mod 37)

41; 937 x0 (mod 41), ::: a4a3a2 + 37: a1 ::: a4a3a24: a10 (mod 41)

43; 313 x 0 (mod 43),: :: a4a3a2 + 13: a10 (mod 43)

47; 733 x0 (mod 47), ::: a4a3a2 + 33: a1 ::: a4a3a214: a10 (mod 47)

49; 15x0 (mod 49), ::: a4a3a2 + 5: a10 (mod 49)

51; 946 x0 (mod 51), ::: a4a3a2 + 46: a1 ::: a4a3a25: a10 (mod 51)

53; 316 x0 (mod 53), ::: a4a3a2 + 16: a 0 (mod 53)

57; 740 x0 (mod 57) , ::: a4a3a2 + 40: a1 ::: a4a3a217: a10 (mod 57)

59; 16x0 (mod 59), ::: a4a3a2 + 6: a10 (mod 59)

61; 955 x0 (mod 61), ::: a4a3a2 + 55: a1 ::: a4a3a26: a10 (mod 61)

67; 747 x0 (mod 67),: :: a4a3a2 + 47: a1 ::: a4a3a220: a10 (mod 67)

71 9 64 x0 (mod 71), ::: a4a3a2 + 64: a1 ::: a4a3a27 : a10 (mo d 71)

73 3 22 x0 (mod 73), ::: a4a3a2 + 22: a10 (mo d 73)

79 1 8x0 (mod 79),: :: a4a3a2 + 8: a10 (mo d 79)

81 9 73 x0 (mod 81), ::: a4a3a2 + 73: a1 ::: a4a3a28: a10 (mo d 81 )

83 3 25 x0 (мод 83), ::: a4a3a2 + 25: a10 (mo d 83)

.

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

.

верно.

Ментальная математика | SOA

Пол Рамирес

В этом отрывке из Mental Math авторы рассматривают правила делимости и обсуждают Правило 70 и Правило 110:
Проверка на делимость:

Мы заканчиваем эту главу кратким обсуждением того, как определить, является ли одно число множителем другого числа.Умение находить множители числа помогает нам упростить задачи деления и может ускорить выполнение многих задач умножения. Это также будет очень полезным инструментом, когда мы перейдем к расширенному умножению, так как вы часто будете искать способы разложить на множители двух-, трех- или даже пятизначное число в середине задачи умножения. Очень удобно иметь возможность быстро разложить эти числа на множители. Кроме того, я считаю, что некоторые правила просто прекрасны.

Проверить, делится ли число на 2, несложно.Все, что вам нужно сделать, это проверить, четная ли последняя цифра. Если последняя цифра 2, 4, 6, 8 или 0, все число делится на 2.

Чтобы проверить, делится ли число на 4, проверьте, делится ли двузначное число в конце на 4. Число 57 852 кратно 4, потому что 52 = 13 × 4. Число 69 346 не делится на 4 потому что 46 не кратно 4. Причина, по которой это работает, заключается в том, что 4 равномерно делится на 100 и, следовательно, на любое кратное 100. Таким образом, поскольку 4 делится на 57 800, а 4 делится на 52, мы знаем, что 4 равномерно делится на их сумма 57 852 руб.

Аналогично, поскольку 8 делится на 1000, для проверки делимости на 8 проверьте последние три цифры числа. Для числа 14 918 разделите 8 на 918. Поскольку в результате остается остаток (918 ÷ 8 = 114), число не делится на 8. Вы также могли заметить это, заметив, что 18 (последние две цифры 14 918 ) не делится на 4, а поскольку 14 918 не делится на 4, оно также не может делиться на 8.

Когда дело доходит до делимости на 3, вот классное правило, которое легко запомнить: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 — независимо от того, сколько цифр в числе.Чтобы проверить, делится ли 57 852 на 3, просто добавьте 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27. Поскольку 27 делится на 3, мы знаем, что 57 852 делится на 3. То же самое удивительное правило справедливо и для делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр кратна 9. Следовательно, 57 852 кратно 9, а 31 416, что в сумме равно 15, нет. Причина, по которой это работает, основана на том факте, что числа 1, 10, 100, 1000, 10 000 и т. Д. Все на 1 больше, чем кратное 9.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно четно и делится на 3, поэтому легко проверить делимость на 6.

Еще проще установить, делится ли число на 5. Любое число, независимо от его размера, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.

Установить делимость на 11 почти так же просто, как определить делимость на 3 или 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда вы получаете либо 0, либо кратное 11, когда вы поочередно вычитаете и складываете цифры числа. Например, 73 958 не делится на 11, так как 7 — 3 + 9 — 5 + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8 — 4 + 9 — 2 = 11 и 7 — 3 + 1. — 9 + 4 = 0.Причина, по которой это работает, основана, как и правило для троек и девяток, на том факте, что числа 1, 100, 10000 и 1000000 на 1 больше, чем кратное 11, тогда как числа 10, 1000, 100000 и т. Д. на 1 меньше числа, кратного 11.

Проверка делимости на 7 немного сложнее. Если вы добавляете или вычитаете число, кратное 7, к числу, которое вы тестируете, и полученное число кратно 7, то тест будет положительным. Я всегда добавляю или вычитаю число, кратное 7, чтобы полученная сумма или разница заканчивались на 0.Например, чтобы проверить число 5292, я вычитаю 42 (кратное 7) и получаю 5250. Затем я избавляюсь от 0 в конце (поскольку деление на десять не влияет на делимость на семь), в результате остается 525 . Затем я повторяю процесс, добавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удаляю 0, у меня остается 56, которые, как я знаю, кратны 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.

Этот метод работает не только для семерок, но и для любых нечетных чисел, не оканчивающихся на 5.Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычтите 4 × 13 = 52 из 8792, чтобы получить 8740. Если отбросить 0, получится 874. Затем прибавьте 2 × 13 = 26, чтобы получить 900. Удаление двух нулей. у вас 9, что явно не делится на 13. Следовательно, 8792 не делится на 13.

Некоторые «интересные» расчеты

Наконец, мы кратко упомянем некоторые практические проблемы, связанные с процентами, с точки зрения наблюдения за ростом ваших инвестиций и выплаты денег, которые вы должны.

Мы начнем со знаменитого Правила 70, которое приблизительно сообщает вам, сколько времени нужно вашим деньгам, чтобы удвоиться: Чтобы найти количество лет, которое потребуется для того, чтобы ваши деньги удвоились, разделите число 70 на процентную ставку.

Предположим, вы нашли инвестицию, которая обещает вам выплату 5% годовых. Поскольку 70 ÷ 5 = 14, то ваши деньги удвоятся примерно за 14 лет. Например, если вы вложили 1000 долларов в сберегательный счет, на который выплачивались эти проценты, то через 14 лет на нем будет 1000 долларов (1.05) 14 = 1979,93 доллара. Правило 70 указывает на то, что при процентной ставке 7%, чтобы ваши деньги удвоились, потребуется около 10 лет. Действительно, если вы инвестируете 1000 долларов по годовой процентной ставке, через десять лет у вас будет 1000 долларов (1,07) 10 = 1967,15 долларов. При норме 2% Правило 70 гласит, что для удвоения потребуется около 35 лет, как показано ниже:

1000 долларов США (1,02) 35 = 1999,88 долларов США

Похожий метод называется правилом 110 , которое указывает, сколько времени нужно, чтобы ваши деньги утроились.Например, при ставке 5%, поскольку 110 ÷ 5 = 22, потребуется около 22 лет, чтобы превратить 1000 долларов в 3000 долларов. Это подтверждается расчетом $ 1000 (1,05) 22 = 2925,26 $. Правило 70 и Правило 110 основаны на свойствах числа e = 2,71828… и «натуральных логарифмах» (изучаемых в предварительном исчислении), но, к счастью, нам это не нужно.

Из «Секретов ментальной математики: Руководство по математическим вычислениям и удивительным математическим трюкам» Артура Бенджамина и Майкла Шермера, авторское право © 2006 Артур Бенджамин и Майкл Шермер.Используется с разрешения Three Rivers Press, подразделения Random House, Inc. Использование этого материала третьими лицами за пределами данной публикации запрещено. Заинтересованные стороны должны обратиться за разрешением напрямую в Random House, Inc.

Пол Рамирес, FSA, MAAA, является старшим актуарным юристом Allstate Benefits. С ним можно связаться по адресу [email protected]

.

Шлюз

Veuillez réessayer dans quelques instants.Si le problème persiste, veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный en anglais seulement).

Телефон :		780-427-5318
		(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопье:		780-427-1179
Adresse de Courriel:		cshelpdesk @ gov.ab.ca

Правила делимости для 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число a делится на число b, если остаток a \ div b равен нулю (0). Например, 15, разделенное на 3, равно 5, что означает, что его остаток равен нулю. Затем мы говорим, что 15 делится на 3.

В нашем другом уроке мы обсуждали правила делимости для 7, 11 и 12.На этот раз мы рассмотрим правила или тесты делимости для 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 и 10 . Поверьте, вы сможете выучить их очень быстро, потому что вы можете не знать, что у вас уже есть базовое и интуитивное понимание этого. Например, очевидно, что все четные числа делятся на 2. Это в значительной степени правило делимости для 2 . Цель этого урока по правилам делимости — формализовать то, что вы уже знаете.

Правила делимости помогают нам определить, делится ли одно число на другое без прохождения фактического процесса деления, такого как метод деления в столбик. Если рассматриваемые числа достаточно малы численно, нам может не понадобиться использовать правила для проверки делимости. Однако для чисел, значения которых достаточно велики, мы хотим иметь некоторые правила, которые служили бы «ярлыками», чтобы помочь нам выяснить, действительно ли они делятся друг на друга.

---

Правила делимости для чисел 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10

Число делится на 2, если последняя цифра числа 0, 2, 4, 6 или 8.

Пример 1. Делится ли число 246 на 2?

Решение: Поскольку последняя цифра числа 246 заканчивается на 6, это означает, что оно делится на 2.

---

Пример 2: Какое из чисел 100, 514, 309 и 768 делится на 2?

Решение: если мы исследуем все четыре числа, только число 309 не оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Мы можем сделать вывод, что все числа выше, кроме 309, делятся на 2.

---

Число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Пример 1. Делится ли число 111 на 3?

Решение: Давайте сложим цифры числа 111. У нас есть 1 + 1 + 1 = 3. Так как сумма цифр делится на 3, то число 111 также делится на 3.

---

Пример 2. Какое из двух чисел 522 и 713 делится на 3?

Решение: сумма цифр 522 (5 + 2 + 2 = 9) равна 9, что делится на 3. Таким образом, 522 делится на 3. Однако в числе 713 сумма цифр 11 равна явно не делится на 3, поэтому 713 не делится на 3.Следовательно, только 522 делится на 3.

---

Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4.

Пример 1: Единственное число в приведенном ниже наборе делится на 4?

{945, 736, 118, 429}

Решение: Обратите внимание на последние две цифры четырех чисел в наборе. Обратите внимание, что 736 — единственное число, в котором две последние цифры (36) делятся на 4. Мы можем заключить, что 736 — единственное число в наборе, которое делится на 4.

---

Пример 2: Верно или Неверно. Число 5,554 делится на 4.

Решение: Последние две цифры числа 5,554 равны 54, что не делится на 4. Это означает, что данное число НЕ делится на 4, поэтому ответ будет ложным .

---

Число делится на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5.

Пример 1: множественный выбор. Какое число делится на 5.

A) 68

B) 71

C) 20

D) 44

Решение: Чтобы число делилось на 5, последняя цифра номера должна быть 0 или 5.Перебирая варианты, можно сказать, что только число 20 делится на 5, поэтому ответ — вариант C .

---

Пример 2: Выберите все числа, которые делятся на 5.

A) 27

B) 105

C) 556

D) 343

E) 600

Решение: И 105, и 600 делятся на 5, потому что они либо оканчиваются на 0, либо на 5. Таким образом, варианты B и E являются правильными ответами.

---

Число делится на 6, если число делится как на 2, так и на 3.

Пример 1. Делится ли число 255 на 6?

Решение: чтобы число 255 делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3. Давайте сначала проверим, делится ли оно на 2. Обратите внимание, что 255 не является четным числом (любое число, оканчивающееся на 0, 2, 4 , 6 или 8), что делает его неделимым 2. Нет необходимости в дополнительной проверке. Теперь мы можем сделать вывод, что это число не делится на 6. Ответ: NO .

---

Пример 2: Делится ли число 4,608 на 6?

Решение: число является четным, поэтому оно делится на 2. Теперь проверим, делится ли оно на 3. Давайте сделаем это, сложив все цифры 4608, что составляет 4 + 6+ 0 + 8 = 18. Очевидно, что сумма цифр делится на 3, потому что 18 ÷ 3 = 6. Поскольку число 4,608 делится и на 2, и на 3, оно также должно делиться на 6. Ответ: ДА .

---

Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Пример 1. Делится ли число 1764 на 9?

Решение: чтобы число делилось на 9, сумма его цифр также должна делиться на 9. Для числа 1,764 мы получаем 1 + 7 + 6 + 4 = 18. Поскольку сумма цифр равна 18 и делится на 9, поэтому 1764 должно делиться на 9.

---

Пример 2: Выберите все числа, которые делятся на 9.

A) 7,065

B) 3,512

C) 8,874

D) 22,778

E) 48,069

Решение: Давайте сложим цифры каждого числа и проверим, делится ли его сумма на 9.

• Для 7 065, 7 + 0 + 6 + 5 = 18, что делится на 9.
• Для 3512, 3 + 5 + 1 + 2 = 11, что составляет НЕ , делимое на 9.
• Для 8 874, 8 + 8 + 7 + 4 = 27, что делится на 9.
• Для 22,778, 2 + 2 + 7 + 7 + 8 = 26, что составляет НЕ , делимое на 9.

  No related posts.