Контрольная работа действия над матрицами: Контрольная работа на тему: «Действия над матрицами»

Содержание

«Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений»

Вариант 21

Выполнить действия над матрицами А и В

Найти:

Сумму матриц A и B;
Разность матриц A и B;
Произведение матрицы A и В на число k;
Произведение матриц A и B;
Произведение матриц A и Е;
Транспонированную матрицу А^Т и В^Т;
Обратную матрицу А^-1 и В^-1.

Решить систему уравнений, используя три подхода: с помощью обратной матрицы, формул Крамера и метода Гаусса

Решить систему уравнений, используя метод Гаусса

ФГБОУ ВПО «ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Экономика и управление на предприятии»

Контрольная работа №1 Тема: «Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений»

Вариант 22

Выполнить действия над матрицами А и В

Найти:

Сумму матриц A и B;
Разность матриц A и B;
Произведение матрицы A и В на число k;
Произведение матриц A и B;
Произведение матриц A и Е;
Транспонированную матрицу А^Т и В^Т;
Обратную матрицу А^-1 и В^-1.

Решить систему уравнений, используя три подхода: с помощью обратной матрицы, формул Крамера и метода Гаусса

Решить систему уравнений, используя метод Гаусса

ФГБОУ ВПО «ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Экономика и управление на предприятии»

Контрольная работа №1 Тема: «Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений»

Вариант 23

Выполнить действия над матрицами А и В

Найти:

Сумму матриц A и B;
Разность матриц A и B;
Произведение матрицы A и В на число k;
Произведение матриц A и B;
Произведение матриц A и Е;
Транспонированную матрицу А
Т и В^Т;
Обратную матрицу А^-1 и В^-1.

Решить систему уравнений, используя три подхода: с помощью обратной матрицы, формул Крамера и метода Гаусса

Решить систему уравнений, используя метод Гаусса

ФГБОУ ВПО «ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Экономика и управление на предприятии»

Контрольная работа №1 Тема: «Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений»

Вариант 24

Выполнить действия над матрицами
А и В

Найти:

Сумму матриц A и B;
Разность матриц A и B;
Произведение матрицы A и В на число k;
Произведение матриц A и B;
Произведение матриц A и Е;
Транспонированную матрицу А^Т и В^Т;
Обратную матрицу А^-1 и В^-1.

Решить систему уравнений, используя три подхода: с помощью обратной матрицы, формул Крамера и метода Гаусса

Решить систему уравнений, используя метод Гаусса

Действия над матрицами

Даны матрицы:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$; 2) $A=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$; 3) $A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)$.

Найти произведение матриц: 1) $A\cdot B$; 2) $A\cdot B$, $B\cdot A$; 3) $A\cdot B$.

Решение:

1) $\begin{array}{l} {A\cdot B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {3} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2\cdot 1+(-1)\cdot 0} & {2\cdot 2+(-1)\cdot 1} & {2\cdot 1+(-1)\cdot 1} \\ {3\cdot 1+1\cdot 0} & {3\cdot 2+1\cdot 1} & {3\cdot 1+1\cdot 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2+0} & {4-1} & {2-1} \\ {3+0} & {6+1} & {3+1} \end{array}\right)=} \\ {=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {3} & {1} \\ {3} & {7} & {4} \end{array}\right)} \end{array}$

2) Операцию умножения матриц $A\cdot B$ выполнить нельзя, так как число столбцов в матрице А (1) не совпадает с числом строк в матрице В (2).

$B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 2} \\ {0\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {1+0+2} \\ {0+0+2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right)$

(при умножении на вектор-столбец получаем вектор-столбец)

3) $\begin{array}{l} {A\cdot B=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {3\cdot 1+(-2)\cdot 0} & {3\cdot 2+(-2)\cdot 1} & {3\cdot 1+(-2)\cdot 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {3+0} & {6-2} & {3-2} \end{array}\right)=} \\ {=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {4} & {1} \end{array}\right)} \end{array}$

(при умножении вектор-строки получаем вектор-строку)

Матрицы, системы уравнений, операции над векторами

[pic 1]

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Кафедра математики

Контрольная работа №1.

по математике

на тему: матрицы, системы уравнений, операции над векторами

Выполнил: Студент группы

Проверил: Преподаватель

г. Павлодар. 2019 год.

Вариант №1.

Задача 1. Вычислить определитель четвертого порядка 2 способами

а) разложив его по [pic 4]ой строке;

б) разложив его по [pic 5]ому столбцу

[pic 6]

Решение:

а) Чтобы вычислить определитель разложив его по i- ой строке, будем использовать формулу:

׀А׀ = а21А21 + а22А22 + а23А23 + а24А24, так как i = 2.

׀А׀ = = -2× (-1)2+1× +[pic 7][pic 8]

+1× (-1)2+2× +4× (-1)2+3× +[pic 9][pic 10]

+1× (-1)2+4× =2× (-146)+1× 11+(-4) ×23+1× 41= [pic 11]

=-292+11-92+41= -332.

б) Чтобы вычислить определитель разложив его по j- ому столбцу, будем использовать формулу:

׀А׀ = а13А13 + а23А23 + а33А33 + а43А43, так как j = 3.

׀А׀ = = 3× (-1)3+1× +4× (-1)3+2× +[pic 12][pic 13][pic 14]

+5× (-1)3+3× -1× (-1)3+4× =[pic 15][pic 16]

= 3× (-17)+(-4) × 23+5× (-32)+1× (-29)= -51-92-160-29= -332.

Ответ: а) = -332; б) = -332.

Задание 2. Даны матрицы А и В

Найти:

1) Матрицу [pic 17]

2) Матрицу [pic 18]

3) Матрицу [pic 19]

4) Матрицу [pic 20], обратную матрице [pic 21]

5) Найти произведение [pic 22]

[pic 23]и [pic 24]

Решение:

1) Найдем матрицу [pic 25]

+(-3)=[pic 26][pic 27]

== ;[pic 28][pic 29]

2) Матрицу [pic 30]

D=[pic 31]

[pic 32]

=;[pic 33]

3) Матрицу [pic 34]

M= =[pic 35][pic 36]

[pic 37]

=;[pic 38]

4) Матрицу [pic 39], обратную матрице [pic 40]

Найдем матрицу А-1 обратную матрице А по формуле:

[pic 41]

Определитель матрицы А равен:

׀А׀ = 1×3×3+0×1×4+2×(-2)×(-1)-4×3×2-(-1)×1×1-3×(-2)×[pic 42]

×0=-10;

Так как определитель матрицы [pic 43], обратная матрица [pic 44] существует.

Найдем алгебраические дополнения АТ:

АТ1,1= (-1)1+1=(3×3-1×(-1))=10;[pic 45]

АТ1,2= (-1)1+2=(0×3-2×(-1))=-2;[pic 46]

АТ1,3= (-1)1+3=(0×1-2×3)=-6;[pic 47]

АТ2,1= (-1)2+1=(-2×3-1×4)=10;[pic 48]

АТ2,2= (-1)2+2=(1×3-2×4)=-5;[pic 49]

АТ2,3= (-1)2+3=(1×1-2×(-2))=-5;[pic 50]

АТ3,1= (-1)3+1=(-2×(-1)-3×4)=-10;[pic 51]

АТ3,2= (-1)3+2=(1×(-1)-0×4)=1;[pic 52]

АТ3,3= (-1)3+3=(1×3-0×(-2))=3;[pic 53]

Составим обратную матрицу:

А-1== А-1.[pic 54][pic 55]

5) Найти произведение [pic 56]

А-1× А=×[pic 57][pic 58]

[pic 59]

==.[pic 60][pic 61]

Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры.

1.1. Найти значение матричного многочлена , если , , .

1.2. Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу): .

1.3. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства .

1.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса: .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

Матрицы и действия над ними

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей размера m ´ n; здесь m – число строк, n – число столбцов.

Числа (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.

Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядка n.

Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .

Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если , то .

Очевидно, что .

Действия над матрицами

Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

А = В, если = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

А + В = С, если + = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).

Пример 1

Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.

Пример 2

Матрица называется противоположнойматрице А.

Умножение матриц.

Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.

Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:

С = А · В , где С есть матрица размера m ´ p,

если , где (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,p).

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.

Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.

Пример 3

Произведение двух матриц НЕподчиняется переместительному (коммутативному) закону

в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.

В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.

Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

А Е = Е А = А.

Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.

Пример 4

Найти значение матричного многочлена , если , , .

Решение

Определители 2-го и 3-го порядков

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а₁₁, а₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а₂₁, а₁₂ – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

Элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ – расположены на главной диагонали, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ – на побочной диагонали.

Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Элементы линейной алгебры.

Лекция 1. Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Произведение матриц

Лекция 1. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.

1.1 Основные понятия

Определение 1. Числовой mn матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Обозначение: А = , В =

Для любого элемента матрицы превый индекс i – номер строки, второй индекс j – номер столбца.

mn – порядок матрицы (размер)

Определение 2. Если число строк матрицы равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной матрицей n— го порядка.

Определение 3. Если число строк матрицы не равно числу столбцов (mn), то матрица называется прямоугольной.

Например, матрица А = — квадратная матрица втотого порядка (содержит две строки и два столбца).

Матрица В = — прямоугольная матрица порядка 32 (содержит три строки и два столбца)

Рассмотрим квадратную матрицу n – го порядка:

А =

Определение 4. Диагональ, содержащую элементы , называют главной диагональю, а диагональ, содержащую элементы , называют побочной (вспомогательной)

Определение 5. Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Например, А = , В =

Определение 6. Если в диагональной матрице все элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей.

Например, Е = — единичная матрица 3 – го порядка

Определение 7. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Например, А = — нулевая матрица 2 – го порядка.

Определение 8. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый порядок и их соответствующие элементы равны.

Определение 9. Если в матрице типа mn, имеющей вид А = переставить строки со столбцами, то получим матрицу типа nm, котрорю называют транспонированной и обозначают:

А^Т =

Например, В = , В^Т =

Действия над матрицами

Определение 10. Суммой двух матриц А и В одного порядка называется матрица, обозначаемая А+В, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Например, А = и В =

А + В = + = =

Аналогично определяется разность двух матриц.

Например, А = и В =

А — В = — = =

Определение 11. Произведение матрицы А на число k называется матрица, обозначаемая kA, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k.

Например, А =

-5А=-5==

Рассмотрим матрицу А порядка mn и матрицу В порядка nk, то есть число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк во второй матрице.

Определение 12. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица АВ порядка mk, у которой каждый элемент равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.

Получение элемента с схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, но АВ ВА.

Например, А = , В = . Найти АВ и ВА, если существуют.

Произведение АВ не определено, так как число столбцов матрицы А (3 столбца) не равно числу строк матрицы В (2 строки).

Произведение ВА определено, так как число столбцов матрицы В (2 столбца) равно числу строк матрицы А (2 строки).

В
А=

Задания.

Выполнить действия с матрицами:

Ответ:

П
роверка в Mathcad:

Выполнить действия с матрицами:

Ответ:

Проверка в Mathcad:

Тест прогрессивных матриц Равена | Наука изменения поведения

Выявлено

Тест прогрессивных матриц Равена — это поведенческое задание, которое измеряет подвижный интеллект путем тестирования невербальных аналитических способностей людей.Было показано, что более высокий подвижный интеллект, частично измеренный с помощью этого теста, связан с более низким уровнем инфицирования ВИЧ, что потенциально влияет на поведение, связанное со здоровьем (Rindermann & Meisenberg, 2009). Более высокие баллы также связаны с более низкой вероятностью в конечном итоге стать курильщиком (Seltzer & Oechsli, 1985). Таким образом, аналитический интеллект определяется как потенциальный механизм изменения поведения.

[+] PMCID, PUBMED ID или CITATION

Текстовое цитирование : Карпентер, П.А., Джаст М. А. и Шелл П. (1990). Что измеряет один тест интеллекта: теоретическое описание обработки в тесте прогрессивных матриц Равена. Психологический обзор, 97 (3), 404-431.

Цитирование текста : Риндерманн, Х., Мейзенберг, Г. (2009). Актуальность образования и интеллекта на национальном уровне для здоровья: случай ВИЧ и СПИДа. Интеллект, 37, 383-395.

Цитата по тексту : Зельцер, К. К., & Оксли, Ф. У. (1985). Психосоциальные характеристики курильщиков-подростков до того, как они начали курить: свидетельства самоотбора. Журнал клинической эпидемиологии, 38 (1), 17-26.

Матрицы Raven Стандартные прогрессивные матрицы Raven

Среди нескольких тестов на IQ (коэффициент интеллекта), стандартные прогрессивные матрицы Raven ™ широко используются для исследований и прикладных целей.К 5 годам большинство детей в Америке проходят какой-то тест на умственные способности, поэтому вам нужно, чтобы ваш ребенок был знаком с материалом, который будет охвачен, и ему будет комфортно.

Вы можете спросить себя: «Что такое тест матриц Ворона?»

Во-первых, вы хотите научить и приобщить ребенка к навыкам работы с фигурными матрицами.

Матрицы фигур Вопросы созданы для того, чтобы растянуть логические мускулы учащегося, вынуждая его изучить сложную серию фигур и посмотреть, как они развиваются и подходят друг другу. Учащиеся учатся заполнять фигуры, что помогает при изучении других школьных предметов, таких как лексика, математика и геометрия.

Как проходит тест?

В тесте «Матрицы Ворона» студенту будет предложено найти недостающий образец в серии. В этом тесте вопросы будут становиться все труднее для ребенка, что требует большей когнитивной способности кодировать и анализировать вопросы.

Каков формат теста матриц Ворона?

Матрицы Ворона — невербальный групповой тест.
Обычно это тест из 60 пунктов, используемый для измерения абстрактного мышления и рассматриваемый как невербальная оценка подвижного интеллекта.
Многие шаблоны представлены в виде матрицы 6 × 6, 4 × 4, 3 × 3 или 2 × 2, что и дало тесту свое название.
Все вопросы о прогрессивных способах Raven состоят из визуального геометрического дизайна с отсутствующим элементом.
Тестируемому дается от шести до восьми вариантов на выбор и заполнить недостающий фрагмент.

Как выглядит тест?

Матрицы представлены в 3-х различных формах для испытуемых с разным уровнем подготовки:

1) Цветные прогрессивные матрицы Это простейшая из прогрессивных матриц Raven ™.Он предназначен для детей младшего возраста (от 5 до 11 лет), пожилых людей и людей с проблемами в обучении, они представлены на цветном фоне, чтобы сделать их более визуально стимулирующими. Самые сложные предметы — черно-белые. Есть 36 вопросов. Проведение теста занимает от 15 до 30 минут.

2) Стандартные прогрессивные матрицы Они сложнее цветных прогрессивных матриц. Он предназначен для детей и подростков в возрасте от 6 до 16 лет. Он состоит из 5 наборов по 12 заданий в каждом (всего 60 вопросов), каждый из которых становится все сложнее.Это черное и белое. Проведение теста занимает 40–45 минут.

3) Расширенные прогрессивные матрицы — это самые сложные из прогрессивных матриц Raven ™. Этот набор содержит 48 предметов — набор из 12 и еще один набор из 36. Они черно-белые и становятся все сложнее по мере прохождения наборов. Это для взрослых и подростков с развитым интеллектом. Проведение теста занимает от 40 до 60 минут.

Вот несколько практических вопросов, которые помогут вашему ученику начать работу.

Чтобы узнать больше, вы можете найти их здесь, на TestingMom.com.

Что будет дальше в прогрессии внизу, основанной на прогрессии, показанной вверху?

Посмотрите на прямоугольники поперек строк и вверх и вниз по столбцам. Вы видите, как они связаны друг с другом? Сможете ли вы найти ответ в пустом поле, чтобы рисунки внутри строк и столбцов следовали шаблону?

С трудом справлялся ли ваш ребенок с одним из этих примеров практических вопросов? Ответы ниже.

(Ответы: образец: 1-й слева, E, 4-й слева Практика: 3-й слева (сложите первые два вместе, чтобы получилось третье), C (каждый раз добавляется одно очко))

«Делайте все, что в ваших силах, пока не узнаете лучше. Тогда, когда ты знаешь лучше, делай лучше! » ~ Майя Анджелоу

Дополнительную информацию можно найти здесь:

Стандартные прогрессивные матрицы Raven ™

Что такое тест матриц Ворона?

Подготовка к тесту на лучший метод для матриц воронов

Практические вопросы по матрицам воронов

Как оцениваются результаты теста «Матрицы воронов»?

Для получения дополнительной информации вы можете перейти сюда, на TestingMom.com.

Raven’s Standard Progressive Matrices ™ являются товарными знаками и / или зарегистрированными товарными знаками компании Pearson Education, Inc или ее аффилированных лиц или их лицензиаров. TestingMom.com не является аффилированным лицом и не связано с Pearson Education, Inc или ее аффилированными лицами («Pearson»). Pearson не спонсирует и не поддерживает какие-либо продукты TestingMom.com, а также продукты или услуги TestingMom.com, которые не были проверены, сертифицированы или одобрены Pearson. TestingMom использует товарные знаки, относящиеся к определенным поставщикам тестов.com только в номинальных целях, и такие товарные знаки являются исключительной собственностью соответствующих владельцев.

Frontiers | Подготовка к экзамену в фигурных матрицах Тесты: сосредоточьтесь на сложных правилах

Введение

В этом исследовании рассматривается вопрос о том, как подготовка к тесту влияет на производительность тестов с фигурами матриц. В этой связи исследуется особое влияние знания о простых и сложных правилах.

Фигурные матрицы являются очень распространенным форматом заданий, используемым для оценки рассуждений, и считаются одним из лучших индикаторов общего интеллекта (Marshalek et al., 1983; Carpenter et al., 1990; Jensen, 1998; см. Также Gignac, 2015). ). Интеллект связан с множеством важных переменных повседневной жизни (Brand, 1987; Neisser et al., 1996; Gottfredson, 1997, 2004; Jensen, 1998). Показатели интеллекта особенно полезны для прогнозирования образовательного (Roth et al., 2015) и профессионального успеха (Schmidt and Hunter, 1998) и поэтому часто являются частью тестов с высокими ставками для отбора студентов и персонала.Поскольку результаты теста имеют большое значение для жизни респондентов, подготовка к тесту — это вопрос, который необходимо учитывать (Buchmann et al., 2010). Предыдущие исследования показывают, что подготовка к экзаменам может привести к значительному увеличению количества баллов (Kulik et al., 1984; Hausknecht et al., 2007; Scharfen et al., 2018), что не отражает изменений в способностях (te Nijenhuis et al., 2007; Estrada et al., 2015), что может негативно повлиять на валидность теста. Еще одна проблема, связанная с объективностью тестирования, заключается в том, что материалы для подготовки к тесту часто бывают дорогими и, следовательно, недоступны для респондентов с ограниченными финансовыми возможностями.Поэтому необходимо более глубокое понимание влияния подготовки к экзаменам на результаты респондентов. В контексте тестов с фигуральными матрицами подготовка к тесту заключается в обучении респондентов правилам, которые обычно используются для построения заданий (Loesche et al., 2015; Schneider et al., 2020).

На рисунке 1 показан пример элемента матрицы, используемого в текущем исследовании. Стержень предмета находится в верхней половине рисунка 1. Он состоит из матрицы 3 × 3, заполненной геометрическими символами.Элементы подчиняются определенным правилам в строках матрицы. В случае примера на рисунке 1 элементы первой и второй ячейки строки суммируются в третьей ячейке строки. Последняя ячейка в правой нижней ячейке матрицы остается пустой. Задача респондентов — заполнить эту ячейку символами, логически завершающими матрицу. Мы использовали формат ответа без отвлекающих факторов (см. Becker et al., 2015), который можно найти в нижней половине рисунка 1. Он состоит из 20 символов, из которых респонденты должны выбрать те отдельные символы, которые вместе образуют правильное решение.В случае примера на рисунке 1 правильным решением будут четыре символа в первой строке формата ответа. Мы решили выбрать формат без отвлекающих факторов, потому что хотели анализировать результаты на уровне единых правил. При использовании формата ответа на основе отвлекающего фактора обычно можно только определить, правильно ли решен вопрос в целом. Кроме того, было продемонстрировано, что конструктивная валидность тестов с фигуральными матрицами выше, когда используется формат ответа без отвлекающих факторов (наиболее вероятно, из-за предотвращения стратегий исключения ответа; см.Арендаси и Соммер, 2013; Беккер и др., 2016). Поэтому мы утверждаем, что обобщаемость выше при использовании форматов ответов без отвлекающих факторов.

Рисунок 1. Фигурный элемент матрицы.

На рисунке 2 показаны четыре правила, использованные в данном исследовании. Они были выбраны потому, что они широко используются, а также потому, что несколько исследований показывают, что сложность элементов матрицы определяется этими правилами (например, Embretson, 1995; Hornke et al., 2000; Arendasy and Sommer, 2005; Freund et al., 2008; Беккер и др., 2016). Кроме того, сложение и вычитание считаются более легкими, чем сложение и пересечение отдельных элементов (см. Vodegel Matzen et al., 1994; Embretson, 1998; Preckel and Thiemann, 2003; Arendasy et al., 2016; Krieger et al., 2019). .

Рисунок 2. Правила, использованные в данном исследовании.

Предыдущее исследование показало, что подготовка к экзаменам может повысить тестовые баллы респондентов (для обзора см. Arendasy et al., 2016).Что касается фигурных матриц, Loesche et al. (2015) и Schneider et al. (2020) продемонстрировали, что респонденты показывают лучшие результаты, когда их учат всем правилам, используемым в тесте. Недостатком этих исследований является то, что не было экспериментальных условий, в которых изучались бы только некоторые правила. Таким образом, невозможно было проанализировать влияние подготовки к тесту по единым правилам.

Цель этого исследования — определить, какой вклад в улучшение теста вносит обучение простым (сложение, вычитание) и сложным правилам (сложение отдельных элементов, пересечение).Кроме того, мы хотели изучить возможные эффекты передачи между знаниями, касающимися правил, которые не были изучены. Мы сделали это, разделив респондентов на четыре группы, которые не прошли обучение ни по одному из правил (без обучающей группы), только по сложению и вычитанию (группа простых правил), только по пересечению и сложению одного элемента (группа сложных правил) или по всем четырем. правила (полная тренировочная группа). Исходя из результатов предыдущих исследований, мы ожидали, что обучение правилам в целом повысит эффективность тестов.На более дифференцированном уровне мы ожидали, что обучение простым правилам менее эффективно, чем обучение сложным правилам, в то время как обучение всем правилам должно быть наиболее эффективным (h2. Отсутствие обучающей группы <группа простых правил <группа сложных правил <полная группа обучения ). Что касается эффектов переноса между правилами, мы ожидали, что, помимо явных знаний о конкретных правилах, подготовка к тесту может также привести к более глубокому пониманию общих принципов теста (например,g., что есть правила, которые влияют на определенные символы). Следовательно, респонденты в группе простых правил должны - по сравнению с группой без обучения - показывать лучшие результаты в сложных правилах, хотя их им не учили (h3. Выполнение сложных правил: группа простых правил> группа без обучения). Точно так же респонденты в группе сложных правил должны показать лучшие результаты в простых правилах, чем респонденты в группе без обучения (h4. Выполнение простых правил: группа сложных правил> группа без обучения).

Материалы и методы

Процедура и участники

участникам были предложены ссылки через электронную почту или социальные сети (например, Whatsapp, Instagram). В обмен на участие участники могли получить индивидуальный отзыв об их результатах в тесте и / или выиграть один из 49 подарочных сертификатов на 10 евро в лотерее. Ссылка привела участников на веб-сайт, на котором проводился тест. Первоначально участники должны были дать информированное согласие и заполнить демографическую анкету.Затем они получили общую инструкцию, как решать матричный тест. Чтобы лучше познакомиться с основой элемента и форматом ответа без отвлекающих факторов, им был предоставлен простой пример элемента, следуя правилу ротации, которое не использовалось в реальном тесте. После общей инструкции участники были случайным образом распределены по четырем условиям лечения. Участники группы без обучения начали тест без какой-либо дополнительной информации. Перед началом теста участники группы простых правил получили информацию о сложении и вычитании правил, участники группы сложных правил по пересечению и сложению отдельных элементов и участники полной группы обучения по всем четырем правилам (см.переведенная версия тренинга в Электронном дополнительном материале; ESM).

Всего приступили к тесту 299 респондентов. Однако 12 респондентов (4%) пришлось исключить, поскольку они не заполнили все вопросы. Окончательная выборка составила n = 287 респондентов (63,2% женщин, 0,7% разнородных, 36,1% мужчин). Средний возраст составил M = 26,30 лет (SD = 10,20; 18≤ возраст ≤62). Подавляющее большинство (88%) имели A-level (немецкий Abitur) или высшее образование.Семьдесят четыре (25,78%) участника были отнесены к группе без обучения, 68 (23,69%) к группе простых правил, 78 (27,18%) к группе сложных правил и 67 (23,33%) к полной группе обучения.

Тест фигурных матриц

Поскольку мы хотели проанализировать результаты тестирования на уровне отдельных правил, мы использовали фигуральные матрицы с форматом ответов без отвлекающих факторов (см. Becker et al., 2015). Правило считалось правильно решенным, если соответствующие символы выбирались из формата ответа.

В соответствии с общепринятой практикой, матричный тест проводился как тест мощности. Тем не менее, чтобы обеспечить экономию времени и гарантировать, что каждый респондент имеет возможность поработать над каждым вопросом, мы установили ограничение по времени в 90 секунд на каждое задание. Этот временной предел был определен на основе времени ответа в более раннем исследовании (Becker et al., 2015). В этом исследовании респонденты ответили значительно меньше 90 секунд, даже когда не было указано никаких ограничений по времени.

Всего построено 26 объектов. Правила, используемые в предметах, можно найти в дополнительной таблице 1 дополнительных материалов.Каждая возможная перестановка четырех правил была реализована хотя бы один раз. Для обеспечения сопоставимости каждое из правил использовалось 19 раз, в результате чего на протяжении всего теста было использовано 76 правил. Внутренняя согласованность была значительно высокой во всей выборке (α = 0,98), а также в четырех подгруппах (0,97≤α ≤0,99).

Статистическая процедура

Все статистические анализы проводились с использованием R 4.0.3 (R Core Team, 2020). Чтобы убедиться, что различия между результатами в разных тренировочных группах не связаны с различиями в факторной структуре, мы сначала оценили инвариантность измерений, вычислив серию мультигрупповых подтверждающих факторных анализов (MGCFA).Для проведения многогруппового анализа элементы были суммированы в три пакета со сравнимыми средними факторными нагрузками, которые были основаны на результатах исследовательского факторного анализа. Следуя рекомендациям Хиршфельда и фон Брахеля (2014), мы вычислили четыре модели, в которых ограничения равенства применялись к количеству скрытых переменных и их нагрузкам на индикаторы (конфигурационная модель), величине факторных нагрузок (модель слабой инвариантности). , факторные нагрузки и пересечения (модель сильной инвариантности) и факторные нагрузки, пересечения, а также остатки (модель строгой инвариантности).Сильная инвариантность (обозначенная незначительными критериями различия χ ² между первыми тремя моделями) особенно важна при сравнении скрытых корреляций между группами (Chen, 2008).

Перед проверкой гипотез мы проверили медианное значение ( Mdn ), межквартильный диапазон (IQR), асимметрию и эксцесс распределения результатов теста в различных группах обучения и правил, а также в группе в целом. Кроме того, мы использовали тест Шапиро-Уилка для оценки нормальности данных и тест Флигнера-Киллина для оценки однородности дисперсии между условиями лечения.Поскольку параметры распределения частично указывали на отклонение от нормального, а тест Шапиро-Уилка и тест Флиннера-Киллина были значимыми (см. Раздел «Результаты»), мы использовали непараметрическую статистику и вычислили ранговый анализ статистика типа дисперсии (ATS; Erceg-Hurn, Mirosevich, 2008) с использованием пакета nparLD (Noguchi et al., 2012). Мы провели ATS 4 × 2 (фактор обучения между предметами: группа без тренировок, группа простых правил, группа сложных правил, группа сложных правил, группа простых правил).полная тренировочная группа) (фактор внутрипредметных правил: простые правила против сложных). Следуя рекомендациям Brunner et al. (2002) знаменатель степеней свободы был установлен на бесконечность, поскольку использование конечных степеней свободы знаменателя может привести к более высокой ошибке типа I (см. Bathke et al., 2009). Зависимой переменной был процент правил, правильно решенных в тесте. h2 оценивали, вычисляя F -тест для межгруппового фактора и сравнивая условия лечения в попарных апостериорных тестах .Чтобы количественно оценить размер этого эффекта, мы вычислили ранговую меру размера эффекта Cliff’s d (Cliff, 1993), используя пакет effsize (Torchiano, 2020). Чтобы проверить h3 и h4, мы вычислили относительные эффекты лечения (RTE) (см. Brunner et al., 2019) для сложных правил в группе простых правил и группы без обучения, а также для простых правил в группе сложных правил и группа без обучения. RTE можно рассчитать как частное от среднего ранга каждой группы и общего числа рангов, которое составило 574 (две точки данных для каждого из наших 287 участников).Следуя Field and Iles (2016) и используя доверительные интервалы вокруг RTE, мы рассматривали перекрытие, меньшее половины длины средней допустимой погрешности (MOE), как индикатор существенной разницы между RTE. Кроме того, мы вычислили размер эффекта, подобного Коэну ( d _RTE), вычитая два RTE друг из друга и разделив их на объединенное стандартное отклонение.

Результаты

Выходные данные моделей MGCFA, включая все факторные нагрузки и сравнения моделей, сообщаются в ESM.Ни один из тестов различия χ ² между различными моделями MGCFA не был значимым [конфигурационное против слабого: Δχ ² (6) = 4,38, p = 0,62; слабый против сильного: Δχ ² (6) = 8,40, p = 0,21; сильный против строгого: Δχ ² (9) = 14,76, p = 0,10]. Учитывая этот факт, различия между результатами в разных тренировочных группах нельзя отнести к разным факторным структурам теста.

Параметры распределения результатов теста в различных группах обучения и правил, а также во всей группе частично указывают на отклонение от нормального (см. Таблицу 1).Тест Шапиро-Уилка показал, что данные не были нормально распределены по группам [ W (287) = 0,72; p <0,01]. Значимый тест Флигнера-Киллина [χ ² (5, 287) = 63,95; p <0,01] указали на различные различия в подгруппах.

Таблица 1. Медианы и межквартильные диапазоны (IQR) правильно решенных правил в зависимости от каждого правила и обучающей группы.

Что касается h2, то основной эффект межсубъектного фактора был значительным [F _ATS (2.97, ∞) = 7,11; p <0,01]. В таблице 1 показаны медианные значения процента правил, решенных в каждой группе, а также соответствующие IQR. Можно заметить, что группа сложных правил ( Mdn = 0,95) показала лучшие результаты, за ней следовала группа полного обучения ( Mdn = 0,92), в то время как группа простых правил ( Mdn = 0,88) и группа без обучения ( Mdn = 0.88) решено меньше правил. Попарные апостериорные тесты показали, что полная тренировочная группа показала существенные отличия от сложной тренировочной группы [t _A _TS (1) = 5.28, p = 0,02, Клиффа d = -0,23], но нет значимых различий с группой без тренировки [t _ATS (1) = 3,50, p = 0,06, Клифф d = −0,19], и группа легкого обучения [t _ATS (1) = 2,52, p = 0,11, Cliff’s d = −0,17]. Группа с трудным обучением значительно отличалась от группы с легким обучением [t _ATS (1) = 15,38, p <0.01, d Клиффа = -0,38] и группа без обучения [t _ATS (1) = 17,72, p <0,01, d Клиффа = -0,39]. Разница между группой с легким обучением и группой без тренировки не была значимой [t _ATS (1) = 0,08, p = 0,77, Cliff’s d = -0,04].

На рис. 3 показаны RTE и соответствующие 95% доверительные интервалы для простых и сложных правил в четырех группах. Что касается h3, можно видеть, что RTE сложных правил в группе обучения простым правилам не отличается существенно от RTE сложных правил в группе без обучения (RTE = 0.40 против RTE = 0,39). Поскольку перекрытие (0,12) было больше половины длины средней MOE (0,5 × MOE = 0,06, d _RTE = 0,02), разница не была значимой. Что касается h4, RTE простых правил в группе обучения сложным правилам было существенно больше, чем RTE простых правил в группе без обучения (RTE = 0,63 против RTE = 0,46). При перекрытии (<0,01) меньше половины длины средней MOE (0,5 × MOE = 0,05, d _RTE = 0.79), эта разница была значительной.

Рис. 3. Относительный эффект лечения (RTE) и 95% доверительный интервал между группами обучения и правилами.

Обсуждение

Наша цель состояла в том, чтобы изучить влияние краткого обучения правилам на производительность в тесте фигуральных матриц. В дополнение к предыдущим исследованиям, в которых учитывалась только разница между группами, которые не проходили обучение или тренировку по всем правилам, мы хотели определить конкретный вклад тренировки для простых или сложных правил и возможные эффекты переноса между ними.

Что касается h2, результаты показывают, что тип обучения существенно повлиял на выполнение теста. Однако, вопреки нашим первоначальным предположениям, группа, обучающая сложным правилам, показала лучшие результаты, чем все другие группы. Особенно примечательно то, что они даже превзошли всю тренировочную группу, которая прошла более обширную подготовку с упором на сложные и легкие правила. Тот факт, что группа по обучению простым правилам не показала лучших результатов, чем группа без обучения, заставляет нас предположить, что знания, касающиеся простых правил, имеют лишь незначительное влияние на процесс решения.Объяснение вывода о том, что группа, обучающая сложным правилам, показала лучшие результаты, чем полная обучающая группа, поэтому может заключаться в том, что респонденты, получающие информацию по всем четырем правилам, уделяют меньше внимания сложным правилам и, следовательно, получают меньшую прибыль, чем респонденты, которые получают только информацию по сложным правилам. .

Что касается h3, мы не обнаружили эффекта перехода от простых правил к сложным. Поэтому маловероятно, что респонденты извлекут пользу из знания общих принципов теста.Интересно, что оценка h4 показала, что респонденты в группе обучения сложным правилам решали значительно более простые правила, чем группа без обучения. Поскольку h3 не был подтвержден, интерпретация этого открытия как эффекта переноса маловероятна. Напротив, эти результаты снова предполагают, что знание сложных правил оказывает более сильное влияние на процесс решения, чем знание простых правил. Обучение сложным правилам облегчило бы весь процесс решения более сильно, чем обучение простым правилам.В свою очередь, это привело бы к лучшему выполнению группы обучения сложным правилам как по сложным, так и по легким правилам.

Ограничением настоящего исследования является то, что образец имел довольно высокую и однородную способность. Мы не ожидали этого, поскольку предыдущие исследования, проведенные с сопоставимыми тестами на сопоставимых выборках (например, Becker et al., 2015, 2016), показали более низкую среднюю производительность теста и более высокую дисперсию. Несмотря на это ограничение, мы можем утверждать, что между респондентами все еще существует значительная вариативность, о чем свидетельствует ширина IQR результатов теста.Учитывая тот факт, что мы использовали непараметрические тесты, которые корректируют асимметрию данных, и что мы обнаружили значительную величину эффекта, мы можем сделать вывод, что наши результаты довольно надежны. Тем не менее, влияние простых правил на процесс решения могло быть ослаблено тем фактом, что у всех респондентов уже были достаточно хорошие предпосылки для решения простых правил. Имея это в виду, было бы преждевременно делать вывод о том, что обучение простым правилам обычно не влияет на результативность теста.Вместо этого, как всегда, было бы важно концептуально воспроизвести это исследование с улучшенным дизайном. В таком исследовании следует использовать более разнообразную по способностям респондентов выборку. Респонденты с низкими способностями действительно могут извлечь выгоду из обучения простым правилам, в то время как мы ожидаем, что результаты для респондентов с высокими способностями покажут ту же закономерность, что и в текущем исследовании.

Рецензент поднял интересный вопрос, может ли обучение по-разному влиять на задания с использованием различных комбинаций простых и сложных правил.Недавнее исследование (Krieger et al., 2019) нашей исследовательской группы посвящено аналогичной проблеме. Мы выяснили, что различия в производительности между элементами с одним и несколькими правилами в основном обусловлены разными требованиями к фильтрации (т. Е. Возможностью сосредоточиться на символах, относящихся к определенному правилу, и игнорировать другие). Мы ожидаем, что наше обучение не влияет на фильтрующую способность. Таким образом, наша гипотеза заключается в том, что нет различного влияния тренировки на различия в производительности между заданиями с простыми правилами и заданиями с простыми и сложными правилами.Конечно, было бы необходимо подтвердить это предположение эмпирическим исследованием. К сожалению, в наше исследование было включено только шесть пунктов с двумя правилами, которые, кроме того, показали сильные потолочные эффекты. Следовательно, текущий набор данных не подходит для более глубокого изучения этого вопроса. Тем не менее, исследование, специально разработанное для оценки возможных различий во влиянии тренировок на задания с различными комбинациями простых и сложных правил, было бы интересным делом для будущих исследований.

Взятые вместе, наши результаты показывают, что эффекты обучения правилам, используемым в тестах с фигуральными матрицами, более дифференцированы, чем предполагают результаты предыдущих исследований. Хотя мы могли бы сделать вывод, что обучение правилам положительно влияет на производительность в тестах с фигуральными матрицами, мы, тем не менее, также будем утверждать, что в будущих исследованиях следует проанализировать, какие респонденты (с высокими или низкими способностями) выиграют от какого типа обучения (сложные или простые правила). Соответствующие результаты можно использовать для разработки индивидуальных тренингов, которые позволят различным типам респондентов полностью раскрыть свой потенциал в тесте.Это, в свою очередь, возможно, нивелирует различия, связанные с подготовкой к тесту, чтобы устранить негативное влияние подготовки к тесту на валидность и справедливость теста, которые были упомянуты во «Введении».

Заявление о доступности данных

Наборы данных, представленные в этом исследовании, можно найти в онлайн-репозиториях. Имена репозитория / репозиториев и номера доступа можно найти ниже: https://osf.io/nc3us/.

Заявление об этике

Этическая экспертиза и одобрение не требовалось для исследования участников-людей в соответствии с местным законодательством и требованиями учреждения.Пациенты / участники предоставили письменное информированное согласие на участие в этом исследовании.

Авторские взносы

KK, JL, EK и NB: разработали концепцию исследования, собрали выборку, провели статистический анализ и написали рукопись. МК: разработал тестовую среду, отредактировал и утвердил рукопись. ФС: отредактировал и утвердил рукопись. Все авторы внесли свой вклад в статью и одобрили представленную версию.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что исследование проводилось при отсутствии каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

Авторы благодарят Катарину Шерер за ее вклад на ранних этапах проекта.

Дополнительные материалы

Дополнительные материалы к этой статье можно найти в Интернете по адресу: https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fpsyg.2021.619440/full#supplementary-material

Список литературы

Арендаси, М., Соммер, М. (2005). Влияние различных типов перцептивных манипуляций на размерность автоматически генерируемых фигуральных матриц. Интеллект 33, 307–324. DOI: 10.1016 / j.intell.2005.02.002