Контрольная работа 10 класс решение тригонометрических уравнений: Контрольная работа по алгебре 10 класс по теме: «Решение тригонометрических уравнений»

Содержание

Тест по алгебре (10 класс) на тему: Контрольная работа по теме » Тригонометрические уравнения»

Контрольная работа  №4

Тригонометрические уравнения

Вариант 1

А1. Решите уравнение :  а) ;        б)  .

А2. Решите уравнение :    а)   ;      б)   .        

В1. Решите уравнение  

В2. Решите уравнение  

С1. Решите уравнение  

Нормы оценок:   «3»  — любые 3А,   «4»  — 2А + 1В, «5»  — 3А + 2В или   2А + 1В +1С.  

____________________________________________________________________

Контрольная работа  №4

Тригонометрические уравнения

Вариант 2

А1. Решите уравнение :  а) ;        б)  .

А2. Решите уравнение :    а)   ;      б)   .        

В1. Решите уравнение  

В2. Решите уравнение  

С1. Решите уравнение  

Нормы оценок:   «3»  — любые 3А,   «4»  — 2А + 1В, «5»  — 3А + 2В или   2А + 1В +1С.  

Методическая разработка по математике (10 класс): Проверочная работа по теме: «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Проверочная работа по теме:

 «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Вариант 1

1.  Решить тригонометрические уравнения:

1)                                        

2)  2sin2 x – 5sin x – 7 = 0         

3)   6sin2 x – 11cos x – 10 = 0                  

4)  3sin2 x + 14sin x cos x + 8cos2 x = 0         

2.  Решить тригонометрические неравенства:  

а)   ;     б)  а)  

3.  Решить систему уравнений:    

Вариант 2

1. Решить тригонометрические уравнения:

1)          

2)   3sin2 x – 7sin x + 4 = 0           

3)  12sin2 x + 20cos x – 19 = 0

4)  6sin2 x + 13sin x cos x + 2cos2 x = 0                

2. Решить тригонометрические неравенства:    

а)   ;       б)  

3. Решить систему уравнений:              

Учебно-методический материал по математике (10 класс): Контрольная работа по теме «Решение тригонометрических уравнений» 10 класс Профиль

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Контрольная работа по теме: Тригонометрические функции 10 класс

Контрольная работа  для учащихся 10 класса .Состоит из 4 вариантов….

Итоговая (переводная) контрольная работа по математике за 5 класс гуманитарный профиль

Приблизительная контрольная работа в формате ГИА за 5 класс…

Итоговая контрольная работа по органической химии (10 класс профиль)

Контрольная работа составлена в форме теста и состоит из трёх  частей (по типу ЕГ/): с одним правильным ответом, с выбором нескольких правильных ответов и со свободным ответом. Она расчитана на о…

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения» расчитана на 2 часа. В ней есть задания базового уровня сложности, которые составлены в виде теста, и задания повышенного уровня сложности, пр…

Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции»

Контрольная работа по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме «Тригонометрические функции». 2 варианта…

Контрольная работа по теме «Тригонометрические формулы».

Контрольная работа содержит пять обязательных заданий и дополнительное (№6) по теме «Тригонометрические формулы» для 10 класса….

Контрольная работа по химии для 10 класса (профиль) №1 по темам «Строение и классификация органических соединений», «Химические реакции в органической химии»

Контрольная работа предназначена для обучающихся профильного 10 класса. Включает демоверсию и два варианта заданий. Контрольная работа выявляет уровень знаний по следующим темам:1. Теория химического …

Контрольная работа «Тригонометрические уравнения и неравенства» (УМК Алимов); 10 класс — Оценка знаний учащихся — Математика, алгебра, геометрия

Методическая разработка

10 класс (УМК Алимов)

контрольная работа «Тригонометрические уравнения и неравенства»

Автор: Мелихова Анна Геннадьевна

ГБОУ центр образования № 671 Петродворцового района Санкт-Петербурга

учитель математики

Разработка предназначена для тематического контроля. 16 вариантов позволяют также использовать материал для отработки навыков решения данного типа уравнений и неравенств в 10 классе, либо для итогового повторения и подготовки к ЕГЭ.

В работе представлены основные виды простейших тригонометрических уравнений и неравенств, а также уравнения, сводящиеся к квадратным, и решаемые разложением на множители.

Материал рассчитан на учащихся с уровнем математической подготовки не выше среднего.

Все задания разработаны самостоятельно на основе изучаемого в данной теме материала.

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

1 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

2 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

3 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

4 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

5 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

6 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

7 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

8 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

9 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

10 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

а)

б)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

11 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р.

10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

12 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

а)

б)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

13 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

14 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

15 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

К.р. 10 класс

Тригонометрические уравнения и неравенства

16 вариант

1. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решите неравенства

а) б)

Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему: Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Тригонометрические уравнения.

№1. Решите уравнение:

1)                   2)                      3)                         4)

№2. Решите уравнение:  

1)                    2)                        3)                       4)

№3. Решите уравнение:

1)            2)      3)                     4)

№4. Решите уравнение:

1)                2)       3)                         4)

№5. Решите уравнение:

1)                            2)                3)                        4)

№6. Решите уравнение:

1)             2)       3)                4)

№7. Решите уравнение:  и укажите его решение , принадлежащее отрезку

1) 60º                                       2) 30º                                  3) 120º                                         4) 0º

№8. Решите уравнение:

1)    2)   3)   4)

№9. Решите уравнение:

1)                   2)           3)              4)

№10. Решите уравнение:

1)             2)           3)               4)

№11. Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах)

1) 12                                          2) 15                                        3) 30                                      4) 45

№12. Найдите в градусах наибольший отрицательный корень уравнения

1) -60                                        2) -45                                        3) -30                                     4) -15

№13. Решите уравнение:

1)      2)      3)      4)

Тригонометрические уравнения.

№1. Найдите количество корней уравнения , если .

№2. Найдите значение , если  является решением уравнения , принадлежащим интервалу .

№3. Найдите количество корней уравнения  на .

№4. Найдите количество положительных корней уравнения  меньших 3.

№5. Сколько раз функция  принимает значение 5 на промежутке ?

№6. Решите уравнение:  В ответе укажите количество всех решений, принадлежащих промежутку .

№7. Сколько корней имеет уравнение ?

№8. Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько: а) ;

                                                                                                                         б) .

№9. Решите уравнения: а) ;  б) ; в)

Тригонометрические уравнения.

№1. Найдите количество корней уравнения , если .

№2. Найдите значение , если  является решением уравнения , принадлежащим интервалу .

№3. Найдите количество корней уравнения  на .

№4. Найдите количество положительных корней уравнения  меньших 3.

№5. Сколько раз функция  принимает значение 5 на промежутке ?

№6. Решите уравнение:  В ответе укажите количество всех решений, принадлежащих промежутку .

№7. Сколько корней имеет уравнение ?

№8. Найдите корень уравнения или сумму корней, если их несколько: а) ;

                                                                                                                         б) .

№9. Решите уравнения: а) ;  б) ; в)    

   

Тригонометрических уравнений и их решений — Учебный материал для IIT JEE

  

Тригонометрическое уравнение

Уравнение, включающее одно или несколько тригонометрических отношений неизвестных углов, называется тригонометрическим уравнением.Тригонометрическое уравнение можно записать как Q 1 (sin θ, cos θ, tan θ, cot θ, sec θ, cosec θ) = Q 2 (sin θ, cos θ, tan θ, cot θ, sec θ , cosec θ), где Q 1 и Q 2 - рациональные функции.

Пример: Рассмотрим уравнение cos 2 x - 4 sin x = 1.

Это тригонометрическое уравнение, а не тождество, поскольку оно не выполняется для всех значений x, например уравнение не выполняется при (2n + 1) π / 4.

Решение тригонометрического уравнения:

Все возможные значения неизвестного, которые удовлетворяют данному уравнению, называются решением данного уравнения.

Для полного решения должны быть получены «все возможные значения», удовлетворяющие уравнению.

Когда мы пытаемся решить тригонометрическое уравнение, мы пытаемся найти все наборы значений θ, которые удовлетворяют данному уравнению. Иногда в простых уравнениях и когда легко нарисовать график уравнения, можно найти решение, просто просмотрев график.



 

Период функции:

Функция f (x) называется периодической, если существует T> 0 такое, что f (x + T) = f (x) для всех x в области определения f (x). Если T - наименьшее положительное действительное число такое, что f (x + T) = f (x), то оно называется периодом f (x).

Тригонометрические функции, такие как sin, cos и tan, являются периодическими функциями.

Иллюстрация: Мы пытаемся найти решения уравнения sin θ = 0, отличные от θ = 0.Глядя на уравнение, можно сразу прийти к выводу, что θ = 0 - единственное решение. Но в случае тригонометрических уравнений важно исключить все возможности, чтобы найти правильное решение.

Пусть OX будет начальной строкой

Пусть ∠POX = θ и OP = r

от ΔPOL,

sin θ = PL / OP = y / r.

Теперь sin θ = 0

⇒ y / r = 0; ⇒ у = 0.

Это возможно, только если OP совпадает с OX или OX ’.

Когда OP совпадает с OX, θ = 0, ± 2π, ± 4π и ± 6π ……… (1)

И когда OP совпадает с OX ’, θ = ± π, ± 3π, ± 5π ……… (2)

Таким образом, из (1) и (2) следует, что при sin θ = 0

θ = nπ, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

Мы называем θ = nπ общим решением тригонометрического уравнения sin θ = 0, потому что для всех значений n это решение удовлетворяет данному уравнению.

Иллюстрация: Общее решение cos θ = 0

cos θ = 0 ⇒ x = π / 2.

Это возможно только тогда, когда OP совпадает с OY или OY ’

Когда OP совпадает с OY,

θ = π / 2, 5π / 2, 9π / 2 или, -3π / 2, -7π / 2 .. ……… (1)

, когда OP совпадает с OY ’

θ = -3π / 2, -7π / 2 или, -π / 2, -5π / 2 ………… (2)

Таким образом, из (1) и (2) следует, что общее решение cos θ = 0 есть θ (2n + 1) π / 2, где n = 0, ± 1, ± 2 ………

Подробнее о тригонометрических уравнениях см. В видео ниже:

Общее решение уравнения sin θ = k.

Мы знаем, что когда sin θ = k, k должно быть таким, что –1 ≤ k ≤ 1

Всегда можно найти α ∈ [–π / 2, π / 2]

Поскольку sin (-π) / 2 = -1 & sin π / 2 = 1, так что sin θ = k, т.е. α = sin-1k

, т.е. sin θ = sin α, α ∈ [–π / 2, π / 2]

⇒ грех θ - грех α = 0

⇒ 2 sin {(θ - α) / 2} cos {θ + α) / 2} = 0

из приведенного выше уравнения, либо sin {(θ - α) / 2) = 0

и, следовательно, ((θ - α) / 2) = целое кратное π

∴ θ - α = 2nπ

и.е. θ = 2nπ + α

θ = 2nπ + (–1) 2n α, где n = 0, ± 1, ± 2… (1)

или, cos {(θ + α) / 2} = 0

, т.е. {(θ + α) / 2} = любое нечетное кратное π / 2

, т.е. {(θ + α) / 2} = (2n + 1) π / 2

, т.е. θ = (2n + 1) π - α

⇒ θ = (2n +1) π + (–1) 2n + 1 α… (2)

Из (1) и (2) заключаем, что

θ = nπ + (–1) n α, где n - целое кратное, является общим решением уравнения sin θ = k

Тригонометрические уравнения и их общие решения:

Тригонометрическое уравнение

Общее решение

грех θ = 0

Тогда θ = nπ

cos θ = 0

θ = (nπ + π / 2)

тангенс угла θ = 0

θ = nπ

грех θ = 1

θ = (2nπ + π / 2) = (4n + 1) π / 2

cos θ = 1

θ = 2nπ

грех θ = грех α

θ = nπ + (-1) nα, где α ∈ [-π / 2, π / 2]

cos θ = cos α

θ = 2nπ ± α, где α ∈ (0, π]

tan θ = tan α

θ = nπ + α, где α ∈ (-π / 2, π / 2]

sin2 θ = sin2 α

θ = nπ ± α

cos2 θ = cos2 α

θ = nπ ± α

tan2 θ = tan2 α

θ = nπ ± α

Если предполагается, что α является наименьшим положительным значением θ, которое удовлетворяет двум данным тригонометрическим уравнениям, то общее значение θ будет 2nπ + α.

Иллюстрация: Найдите общее решение уравнения sin θ = 1/2

Решение: Мы знаем, что sin θ = 1/2 = sin π / 6.

Итак, общее решение данного уравнения: θ = nπ + (–1) nπ / 6, n ∈ 0, ± 1, ± 2

Иллюстрация: Решите уравнение sin 6x + sin 4x = 0.

Решение: Применение формул для суммы синусов, т.е.

грех А + грех В = грех (А + В) / 2. cos (A-B) / 2, имеем

sin 5x cos x = 0 ……… (1)

Если «x» является решением уравнения, то верно хотя бы одно из следующих уравнений:

sin 5x = 0 или cos x = 0 ……… (2)

И наоборот, если x является решением одного из уравнений (2), то это также решение уравнения (1).Таким образом, уравнение (1) эквивалентно уравнению (2). Решения уравнения (2) даются как

x = nπ / 5, x = (2n + 1) π / 2, где n = 0, ± 1, ± 2 ……

Все эти значения x и только эти значения являются решениями исходного уравнения.

Иллюстрация: Найдите наиболее общее значение θ, где sin θ = — √3 / 2 и tan θ = √3.

Решение: Знаки имеют большое значение в случае тригонометрических функций. Студенты обычно склонны упоминать общие решения sin и tan θ, что неверно, поскольку это не дает нам полного решения.

sin θ отрицателен в 3-м и 4-м квадрантах, а tan θ положителен в 1-м и 3-м квадрантах.

Таким образом, обычным является 3-й квадрант, и при θ = 4π / 3 удовлетворяются оба.

∴ Общее решение — 2nπ + 4π / 3.

Это потому, что в интервале [0, 2π] оно выполняется только при 4π / 3. Снова в [2π, 4π] это выполняется при 2π + 4π / 3 и так далее.

Следовательно, общее решение уравнения равно 2nπ + 4π / 3.

Иллюстрация: Найдите общее решение для cos 3θ = sin 2θ.

Решение: Эту проблему можно решить двумя способами.

Метод 1: Мы можем записать данное уравнение как

cos 3θ = cos (π / 2 — 2θ)

⇒ 3θ = 2nπ + (π / 2 — 2θ), где n = 0, ± 1, ± 2 ……

или 5θ = 2nπ + π / 2, а также θ = 2nπ — π / 2

или θ = (4n + 1) π / 10 и

θ = (4n – 1) π / 2, где n ∈ I …… (A)

Метод 2: sin 2θ = sin (π / 2 — 3θ)

2θ = nπ + (–1) n (π / 2 — 3θ).

Случай I: Когда n четное, n = 2m, где m = 0, ± 1, ± 2 ……

2θ = 2mπ + π / 2 — 3θ

θ = (4m + 1) π / 10, где m ∈ I ……. (В)

Случай II: Если n нечетное, n = (2m + 1)

2θ = (2m + 1) π — (π / 2 — 3θ)

θ = — (4m + 1) π / 2, где m = 0, ± 1, ± 2 …… (B)

Примечание: Без сомнения, решения, полученные обоими методами для нечетных значений n, различны, но, как показано на диаграмме ниже, вы можете видеть, что все возможные значения θ могут быть получены обоими данными решениями:

из B

от A

для m = 0, θ = — π / 2,

для n = 0, θ = — π / 2

для m = 1, θ = — 5π / 2,

для n = 1, θ = + 3π / 2

для m = 2, θ = — 9π / 2,

для n = 2, θ = + 7π / 2

для m = –1, θ = — 3π / 2,

для m = –1, θ = — 5π / 2

для m = –2, θ = 7π / 2

для m = –2, θ = — 9π / 2

Общее решение sin 2 θ = k, где k ∈ [0, 1]

Учитывая, что sin 2 θ = k, k ∈ [0, 1]

Мы можем найти такое α, что

⇒ sin 2 θ = sin 2 α, где α = sin -1 √k

и.е. (грех θ — грех α) (грех θ + грех α) = 0

либо sin θ — sin α = 0

θ = nπ + (–1) n α, где n = 0, ± 1, ± 2 ……… (1)

или, sin θ + sin α = 0

sin θ = — sin α

θ = nπ — (–1) n α, где n = 0, ± 1, ± 2 …… .. (2)

Из (1) и (2) получаем общее решение уравнения для данного

θ = nπ ± α, где n = 0, ± 1, ± 2 …… и α = sin -1 √k

Иллюстрация: Решите уравнение 7tan 2 θ — 9 = 3 секунды 2 θ

Решение: Дано, 7tan 2 θ — 9 = 3 сек 2 θ

или, 7tan 2 θ — 9 = 3 (1 + tan 2 θ)
или, 4tan 2 θ = 12
или, tan 2 θ = 3
или, tan 2 θ = (tan π / 3) 2
⇒ θ = nπ + π / 3, где n = 0, ± 1, ± 2 …………

Примечание : Мы не можем определить уникальный метод решения тригонометрических уравнений.В каждом случае успех решения тригонометрического уравнения зависит, в частности, от знания и умения применять тригонометрические формулы, а также от практики решения задач. Многие тригонометрические формулы являются истинными равенствами для всех значений переменных, входящих в них.

Иллюстрация: Решите уравнение: cos θ = 0
Решение: Мы можем решить его и получить две формы
cos θ = 0 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

cos θ = cos π / 2 ⇒ θ = 2nπ + π / 2
или θ = (4n + 1) π / 2.

Важно: Следующие советы и шаги помогут вам систематически решать тригонометрические уравнения.

1. Попытайтесь сократить уравнение в терминах одного единственного тригонометрического отношения, предпочтительно sin θ или cos θ.
Если у нас есть выбор преобразовать задачу в синус или косинус, тогда форма косинуса удобнее по сравнению с формой синуса. Это связано с тем, что в общем решении синуса нам придется иметь дело с (–1) n , что неудобно по сравнению с рассмотрением +, полученного в форме косинуса.
2. Факторизуйте полином в терминах этих отношений.
3. Чтобы LHS был равен нулю, решите для каждого фактора. И запишите общее решение для каждого фактора на основе стандартных результатов, полученных ранее в этом разделе.

например sin θ — k 1 = 0 ⇒ θ = nπ + (–1) n sin -1 k 1

cos θ — k 2 = 0 ⇒ θ = 2nπ + cos –1 k 2 .

Внимание: Вы должны проверить, что k 1 , k 2 ∈ [–1, 1].Не пишите вслепую, как есть, потому что будет абсурдно, если они не принадлежат [–1, 1].

Иллюстрация: Решите уравнение 5sin θ — 2 cos 2 θ — 1 = 0

Решение: Дано, 5 sin θ — 2 cos 2 θ — 1 = 0

или, 5 sin θ — 2 (1 — sin 2 θ) — 1 = 0
или, 2 sin 2 θ + 5 sin θ — 3 = 0
или, (sin θ + 3) (2 sin θ — 1) = 0
∴ sin θ = -3 или sin θ = ½

Сначала рассмотрим случай, когда sin θ = -3.

Но этот случай невозможен, так как диапазон синуса [-1, 1].

Когда sin θ = ½

Тогда sin θ = sin π / 6.

⇒ θ = nπ + (–1) n π / 6, где n = 0, ± 1, ± 2 ………

Примечание: Никогда не делите на любое выражение, равное нулю. например Если данное уравнение (sin θ — cos θ) (A) = (B), где A и B обозначают тригонометрические уравнения, то вы можете разделить на (sin θ — cos θ) только тогда, когда θ ≠ nπ + π / 4

Иллюстрация: Решите уравнение tan θ + sec θ = √3

Решение: tan θ + сек θ = √3 …… (1)

Тогда (sin θ) / (cos θ) + 1 / (cos θ) = √3 …… (2)

или, cos (θ + π / 6) = cos π / 3

Общее решение θ + π / 6 = 2nπ ± π / 3, n ∈ I

Принимая положительный знак, θ + π / 6 = 2nπ + π / 3

⇒ θ = 2nπ + π / 6

Принимая отрицательный знак, θ + π / 6 = 2nπ — π / 3

⇒ θ = 2nπ — π / 2

и.е. θ = (4n — 1) π / 2.

Но полученное решение является правильным, только если, cos θ ≠ 0, иначе (2) не определено.

то есть θ ≠ нечетное кратное π / 2

⇒ θ ≠ (4n — 1) π / 2.

Следовательно, общее решение будет θ = 2nπ + π / 6, только если n = 0, ± 1, ± 2 ……

Примечание: Домен уравнения не должен изменяться. В случае его изменения необходимо внести необходимые изменения в общее решение.

Иллюстрация: Решите уравнение tan 5θ = tan 3θ

Решение: Теперь tan 5θ = tan 3θ

⇒ 5θ = nπ + 3θ

или, 2θ = nπ

θ = nπ / 2, где n = 0, ± 1, ± 2 ……

положить n = 0 дает θ = 0, исходное уравнение выполнено

полагая n = 1, получаем θ = π / 2, уравнение принимает вид tan 5π / 2 = tan 3π / 2.

Уравнение не определено для нечетного числа, кратного π / 2.

Отсюда заключаем, что θ = 2nπ, где n = 0, ± 1, ± 2 ………

Некоторые ключевые моменты, на которые следует обратить внимание:

1. Если в уравнении участвует tan θ или sec θ, θ нечетное кратное π / 2.

2. Если в уравнении участвует cot θ или cosec θ, θ ≠ кратно π или 0.

Тригонометрия полна формул, и студентам рекомендуется изучить все тригонометрические формулы, включая основы тригонометрии, чтобы оставаться конкурентоспособными на экзаменах JEE и других инженерных экзаменах.Студенты должны практиковать различные задачи тригонометрии, основанные на тригонометрических соотношениях и основах тригонометрии, чтобы познакомиться с темой.

Вы можете сослаться на некоторые из связанных ресурсов, перечисленных ниже:

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Тригонометрия , включая учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также дополнительные учебные материалы по математике можно найти здесь .


Особенности курса

  • 731 Видеолекция
  • Примечания к редакции
  • Документы за предыдущий год
  • Интеллектуальная карта
  • Планировщик учебы
  • Решения NCERT
  • Обсуждение Форум
  • Тестовая бумага с видео-решением

.

Как найти общее решение тригонометрических уравнений?

Как найти общее решение тригонометрических уравнений?

Тригонометрические уравнения

Определение:
Уравнение, включающее одно или несколько тригонометрических соотношений неизвестного угла, называется тригонометрическим уравнением.


Тригонометрическое уравнение отличается от тригонометрических тождеств. Идентичность выполняется для каждого значения неизвестного угла e.g ., cos 2 x = 1 — sin 2 x истинно ∀ x ∈ R, в то время как тригонометрическое уравнение удовлетворяется для некоторых конкретных значений неизвестного угла.

(1) Корни тригонометрического уравнения: Значение неизвестного угла (переменная величина), которое удовлетворяет данному уравнению, называется корнем уравнения, например, ., Cos θ = ½, корень равен θ = 60 ° или θ = 300 °, потому что уравнение будет выполнено, если мы положим θ = 60 ° или θ = 300 °.

(2) Решение тригонометрических уравнений: Значение неизвестного угла, которое удовлетворяет тригонометрическому уравнению, называется его решением.
Поскольку все тригонометрические отношения периодичны по своей природе, обычно тригонометрическое уравнение имеет более одного решения или бесконечное число решений. Существует три основных типа решений:

  1. Частное решение: Конкретное значение неизвестного угла, удовлетворяющее уравнению.
  2. Главное решение: Наименьшее числовое значение неизвестного угла, удовлетворяющее уравнению (Наименьшее численное частное решение).
  3. Общее решение: Полный набор значений неизвестного угла, удовлетворяющий уравнению.Он содержит все частные решения, а также основные решения.

Тригонометрические уравнения и их общее решение

900 61
Тригонометрическое уравнение Общее решение
sin θ = 0 θ = nπ
cos θ = 0 θ = nπ + π / 2
tan θ = 0 θ = nπ
sin θ = 1 θ = 2nπ + π / 2
cos θ = 1 θ = 2nπ
sin θ = sin α θ = nπ + (−1) n α
cos θ = cos α θ = 2nπ ± α
tan θ = tan α θ = nπ ± α
sin 2 θ = sin 2 α θ = nπ ± α
tan 2 θ = tan 2 α θ = nπ ± α
cos 2 θ = cos 2 α θ = nπ ± α
sin θ = sin α
cos θ = cos α
θ = nπ + α
sin θ = sin α
tan θ = tan α
θ = nπ + α
tan θ = tg α
cos θ = cos α
θ = nπ + α

Общее решение вида a cos θ + b sin θ = c

Метод нахождения главного значения

Предположим, мы должны найти главное значение sin θ = −½, удовлетворяющее уравнению.
Поскольку sin θ отрицательный, θ будет в квадранте 3 rd или 4 th . Мы можем подойти к 3-му или 4-му квадранту с двух сторон. Если мы возьмем направление против часовой стрелки, числовое значение угла будет больше π. Если подойти к нему по часовой стрелке, угол будет численно меньше π. За главное значение мы должны взять численно наименьший угол. Итак, для главного значения.

(1) Если угол находится в 1-м или 2-м квадранте, мы должны выбрать направление против часовой стрелки, а если угол находится в квадранте 3 rd или 4 th , мы должны выбрать направление по часовой стрелке.
(2) Главное значение никогда численно не превышает π.
(3) Главное значение всегда находится в первом круге (т.е. в первом повороте). По вышеуказанным критериям θ будет -π / 6 или -5π / 6. Между этими двумя -π / 6 имеет наименьшее числовое значение. Следовательно, −π / 6 является главным значением θ, удовлетворяющим уравнению sin θ = −½.
Из приведенного выше обсуждения метод нахождения главного значения можно резюмировать следующим образом:
  1. Сначала нарисуйте тригонометрический круг и отметьте квадрант, в котором может находиться угол.
  2. Выберите направление против часовой стрелки для квадрантов 1 и 2 и выберите направление по часовой стрелке для квадрантов 3 и 4 .
  3. Найдите угол при первом повороте.
  4. Выберите численно наименьший угол. Найденный таким образом угол будет главным значением.
  5. В случае, если два угла, один с положительным знаком, а другой с отрицательным знаком, соответствуют численно наименьшему углу, тогда принято выбирать угол с положительным знаком в качестве главного значения.

Тригонометрические уравнения Проблемы с решениями

1.


Решение:

2.

Решение:

3.

Решение:

4.

Решение:

5.

Решение:

6.

Решение:

7.

Решение:

8.

Решение:

9.

Решение:

Основные тригонометрические уравнения :

Когда вас попросят решить 2x — 1 = 0, мы можем легко получить 2x = 1 и x = as ответ.
Когда просят решить 2 sin x — 1 = 0, мы действуем аналогичным образом. Сначала мы смотрим на sin x как на переменную уравнения и решаем, как и в первом примере.
2 sin x — 1 = 0
2 sin x = 1
sin x = 1/2

Знаки и квадранты :

Решения тригонометрических уравнений также можно найти, исследуя знак триггера значение и определение подходящего квадранта (ов) для этого значения.

.

Система тригонометрических уравнений — Учебный материал для IIT JEE

 

В предыдущих разделах мы уже узнали, как решать тригонометрические уравнения с одной переменной.Но вы, должно быть, видели в газетах прошлого года различные вопросы, касающиеся более чем одной переменной. Есть несколько стандартных шаблонов вопросов по тригонометрическим уравнениям с более чем одной переменной, которые всегда задаются на большинстве конкурсных экзаменов.

Когда вы освоитесь и получите прочный фундамент тригонометрических уравнений с одной переменной, эта тема не будет для вас очень сложной. Хотя не существует установленного способа решения всех проблем, но, пройдя различные возможные пути, вы наверняка сможете справиться с проблемами IIT JEE.

Пожалуйста, ознакомьтесь с перечисленными ниже приемами и стандартными действиями по устранению таких проблем. С большинством проблем можно справиться с помощью этих советов:

(1) Если возможно, сократите уравнение в терминах любой переменной, предпочтительно x. Затем решите уравнение, как раньше, в случае одной переменной.

(2) Попытайтесь вывести линейные / алгебраические одновременные уравнения из данных тригонометрических уравнений и решить их как совместные алгебраические уравнения.

(3) Иногда от вас могут потребоваться некоторые замены. Было бы полезно, если бы в системе было всего две тригонометрические функции.


Иллюстрация: Решите для общих x, y,

sin (x - y) = 2 sin x sin y, где x и y - два острых угла прямоугольного треугольника.

Решение: Поскольку дано, что x и y представляют собой два острых угла прямоугольного треугольника, поэтому мы делаем замену y = π / 2 - x в первом уравнении и преобразуем его следующим образом: -

sin (2x - π / 2) = 2 sin x sin (π / 2 - x)

⇒ - sin (π / 2 - 2x) = 2sin x cos x

⇒ –cos 2x = sin 2x

⇒ tan 2x = –1 = tan (-π / 4)

⇒ 2x = n π - π / 4, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

или, x = nπ / 2 - π / 8, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

y = nπ / 2 - 5π / 8, где n = 0, ± 1, ± 2, ………

Следовательно, решение равно {nπ / 2 + π / 8, 5π / 8 - πn / 2}.


Иллюстрация: Учитывая, что sin x (cos y + 2sin y) - cos x (2cos y - sin y) = 0, найдите значение tan (x + y).

Решение: sin x (cos y + 2sin y) - cos x (2cos y - sin y) = 0

Уберем скобки:

sin x * cos y + 2sin x * sin y - 2cos x * cos y + cos x * sin y = 0

Переставьте термины:

sin x * cos y + cos x * sin y - 2cos x * cos y + 2sin x * sin y = 0

Фактор -2 из 3-го и 4-го семестра:

sin x * cos y + cos x * sin y - 2 (cos x * cos y - sin x * sin y) = 0

Используйте тождество sin (A + B) = sin A * cos B + cos A * sin B, чтобы переписать первые два члена:

sin (x + y) - 2 (cos x * cos y - sin x * sin y) = 0

Используйте тождество cos (A + B) = cos A * cos B - sinA * sin B, чтобы переписать два члена в круглых скобках.Следовательно, уравнение сводится к
грех (х + у) - 2 * соз (х + у) = 0

Разделить на cos (x + y)

{sin (x + y)} / {cos (x + y)} - {2 * cos (x + y)} / {cos (x + y)} = 0

Используя тождество tan A = sin A / cos A, чтобы переписать начальные члены и после упрощения, мы получаем

загар (x + y) - 2 = 0

, что дает tan (x + y) = 2.

Посмотрите это видео, чтобы получить дополнительную информацию


Иллюстрация: Решите систему уравнений

sin 2 x + sin 2 y = 1/2.

х - у = 4π / 3

Решение: Преобразуем первое уравнение системы -

.

1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 (1 - cos 2y) = ½

cos 2x + cos 2y = 1 и

2 cos (x + y). Cos (x - y) = 1

Отсюда ясно, что система -

cos (x + y) cos (x - y) = 1/2 …… (1)

х - у = 4π / 3 …… (2)

имеет то же решение, что и исходная система, т.е.е. системы эквивалентны.

Итак, из уравнений (1) и (2) имеем

cos (x + y) cos (4π / 3) = 1/2 или cos (x + y) = –1

х + у = 2nπ ± π

Следовательно, у нас есть два линейных уравнения относительно x и y

х + у = 2n π ± π, n ∈ I

х - у = 4π / 3

x = nπ + 2π / 3 ± π / 2 …… (а)

Принимая знак + ve (а)

х = (п +7/6) π

= kπ, k = (n +7/6) и y = kπ - 4π / 3

Принимая отрицательный знак (а)

х = nπ + π / 6

y = nπ + π / 6-4π / 3

= п π - 7π / 6.

Общее решение системы уравнений дается выражениями (kπ, kπ - 4π / 3) и (nπ + π / 6, nπ -7π / 2), где k = n + 7/6, n ∈ I

Итак, это решения исходной системы.

Примечание: В предыдущих примерах мы записали отношения между неизвестными x, и набор решений системы был выражен только одним интегральным параметром, например n, k и т. д. Но в практических приложениях нам иногда может потребоваться выразить общее решение в терминах двух интегральных параметров при решении системы уравнений с двумя переменными.

Часто вы обнаружите, что введение новой переменной эффективно помогает уравнению. Введение новых переменных может применяться в тех случаях, когда система содержит только две тригонометрические функции, или может быть приведена к такому виду. Давайте посмотрим на иллюстрацию.

Иллюстрация: Решите систему

sin x + cos y = 1 ……… (1)
cos 2x - cos 2y = 1 ……… (2)
Решение: Мы можем преобразовать уравнение (2), положив cos 2x = 1 - 2sin 2 x и cos 2y = 2 cos 2 y –1
cos 2x - cos 2y = 1 - 2 sin 2 x + 1 - 2 cos 2 y = 1
⇒ sin 2 x + cos 2 y = 1/2
и, следовательно, наша система -
sin x + cos y = 1 ……… (3)
sin 2 x + cos 2 y = 1/2 ……… (4)
что эквивалентно исходной системе.
Для простоты положим sin x = y, cos y = v [note → u ∈ [–1, 1] и v ∈ [–1, 1] и, следовательно,
u + v = 1 ………… (5)
u 2 + v 2 = 1/2 ………… (6)

, решая (5) и (6), получаем,

u = грех x = 1/2

v = cos y = ½

Следовательно, общее решение данной системы уравнений дается

x = mπ + (–1) m π / 6, m ∈ I

y = 2nπ + π / 3, n ∈ I

Решение различных пар, образованных из этих значений x и y, является в точности набором всех решений исходной системы.

Примечание: Как мы можем решить уравнение, если члены на двух сторонах (левая и правая) уравнения имеют разную природу, например тригонометрический и алгебраический?

Задачи этого типа могут быть решены с помощью метода неравенства. Этот метод используется для проверки того, имеет ли уравнение какое-либо реальное решение или нет, рекомендуется выполнить следующие шаги.

Шаг I: Пусть y = каждая сторона уравнения, т.е.разбейте уравнение на две части.

Шаг II: Найдите неравенство для y, взяв левую часть уравнения, а также правую часть уравнения. Если существует какое-либо значение y, удовлетворяющее обоим неравенствам, тогда будет реальное решение, в противном случае реального решения не будет.


Иллюстрация: Покажите, что уравнение

2 cos 2 (x / 2) sin 2 x = x 2 + x -2 для 0

Решение: Это проблема, при которой LHS находится в тригонометрической форме, а RHS - в алгебраической форме. Поэтому воспользуемся методом неравенства.

Пусть y = 2 cos 2 (x / 2) sin 2 x ……… (1)

и y = x 2 + x -2 ……… (2)

из (1), y = 2 cos 2 x / 2 sin 2 x

= (1 + cos x) sin 2 x

= (число <2) × (число <1)

<2 [? для 0

и.е. у <2 ……… (3)

из (2), y = x 2 + x -2

A.M. > Г.

(x 2 + x -2 ) / 2 ≥ √ (x 2 .x -2 )

x 2 + x 2 > 2

т.е. y> 2 ……… (4)

Ни одно значение y не может быть получено одновременно, удовлетворяющее (3) и (4), поскольку y не может быть больше или меньше 2 одновременно.

⇒ реального решения уравнения не существует.

Примечание: Некоторые проблемы можно решить с помощью графиков. Номер точки пересечения равен номеру решения.

Иллюстрация: Найдите количество корней уравнения tan x = x + 1 между –π / 2 и 2 π.

Решение: Опять же, это проблема тригонометрической формы на LHS и алгебраической формы на RHS.

Это можно решить, построив график

Пусть y = tan x

у = х + 1


Количество точек пересечения равно двум, что означает, что количество решений равно 2.
Примечание: на обеих иллюстрациях мы использовали два разных способа решения. Мы выбираем графический метод, если отслеживать легче, в противном случае мы выбираем метод неравенства.

Обзор важных моментов

Поскольку тригонометрические функции являются периодическими функциями, решения тригонометрических уравнений могут быть обобщены с помощью периодичности тригонометрических функций. Решение, состоящее из всех возможных решений тригонометрического уравнения, называется его общим решением.

Мы используем следующие формулы для решения тригонометрических уравнений:

  • sin θ = sinα и cosθ = cosα ⇒ θ = 2nπ + α

  • sinθ = 0 ⇒ θ = nπ

  • cosθ = 0 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

  • tanθ = 0 ⇒ θ = nπ

  • sinθ = sinα ⇒ θ = nπ + (–1) nα, где α ∈ [–π / 2, π / 2]

  • cosθ = cosα ⇒ θ = 2nπ ± α, где α ∈ [0, π]

  • tanθ = tanα ⇒ θ = nπ + α, где α ∈ (–π / 2, π / 2)

  • sin2θ = sin2α, cos2θ = cos2α, tan2θ = tan2α ⇒ θ = nπ ± α

  • sinθ = 1 ⇒ θ = (4n + 1) π / 2

  • sinθ = –1 ⇒ θ = (4n — 1) π / 2

  • sinθ = –1 ⇒ θ = (2n + 1) π / 2

  • | sinθ | = 1 ⇒ θ = 2nπ

  • cosθ = 1 ⇒ θ = (2n + 1) π

  • | cosθ | = 1 ⇒ θ = nπ

Примечание: Повсюду в этой главе n принимается как целое число, если не указано иное.

Необходимо дать общее решение, если только решение не требуется в указанном интервале или диапазоне.

За главное значение угла принимается

α. Численно наименьший угол называется главным значением.

Примечания:

При решении тригонометрического уравнения следует избегать возведения уравнения в квадрат на любом этапе, насколько это возможно, и, если это неизбежно, проверьте решение на предмет посторонних значений.

Никогда не отменяйте термины, содержащие неизвестные термины с двух сторон, которые есть в продукте.Это может привести к потере подлинного решения.

Иногда решение уравнения может привести к более чем одному множеству решений. Эти наборы решений могут быть непересекающимися, перекрываться или накладываться друг на друга. Если наборы решений перекрываются, мы пытаемся переписать решение таким образом, чтобы общие решения включались только в один из наборов решений. Если одно из набора решений оказывается подмножеством другого, чем мы опускаем подмножество из окончательного набора решений.

Иллюстрация: Число решений пары уравнений 2 sin2θ — cos 2θ = 0 и 2cos2θ — 3 sin θ = 0 в интервале [0, 2π] равно

(а) 0

(б) 1

(в) 2

(г) 4

Решение: Учитывая первое уравнение 2 sin2θ — cos 2θ = 0

Это дает sin2θ = ¼

Также второе уравнение: 2cos2θ — 3 sin θ = 0

Следовательно, это означает 2cos2θ = 3 sin θ.

, что дает sin θ = 1/2.

Следовательно, два решения существуют в интервале [0, 2π].

Связанные ресурсы

Чтобы узнать больше, купите учебные материалы по Тригонометрия , включая учебные заметки, заметки о пересмотре, видеолекции, решенные вопросы за предыдущий год и т. Д. Также просмотрите дополнительные учебные материалы по математике здесь .


Особенности курса

  • 731 Видео-лекции
  • Примечания к редакции
  • Документы за предыдущий год
  • Интеллектуальная карта
  • Планировщик учебы
  • Решения NCERT
  • Обсуждение Форум
  • Тестовая бумага с видео-решением

.
Leave a Reply

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *