Контрольная работа « Матрицы и определители» для студентов 1 курса
Контрольная работа
«Матрицы и определители»
1). Дано: A,B. Найти:
1
а) 3A+B
б) AB
в)A -1
г)A -1A
2).Найти def A: а) методом треугольников;
б) приведением к каноническому виду
1). Дано: A,B. Найти:
2
а) -2A-B
б) BA
в)B -1
г) B -1B
2).Найти def A: а) приведением к каноническому виду;
б) методом треугольников;
1). Дано: A,B. Найти:
а) 3B+A
б) BA
в)B -1
г)BB -1
2).Найти∆B: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
4
а) 3A+B
б) AB
в)A -1
г)A -1A
2).Найти def B: а) методом треугольников;
б) приведением к каноническому виду
1). Дано: A,B. Найти:
5
а) 2A+B
б) AB
в)B -1
г) BB -1
2).Найти def A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду;
Контрольная работа № 1
1). Дано: A,B. Найти:
6
а) 3B-A
б) AB
в)A -1
г) AA -1
2).Найти ∆B: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
7
а) 2B+3A
б) BA
в)A -1
г)A -1A
2).Найти∆B: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
8
а) 3B-A
б) AB
г)A -1A
2).Найти def B: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
9
а) 3B-A
б) AB
в)B -1
г) B -1B
2).Найти ∆ A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду;
1). Дано: A,B. Найти:
10
а) 2B+2A
б) BA
в)A -1
г) AA -1
2).Найти ∆A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
Контрольная работа № 1
1). Дано: A,B. Найти:
11
а) 2B-A
б) BA
в)B -1
г)B -1B
2).Найти def B: а) методом треугольников;
б) приведением к каноническому виду
1). Дано: A,B. Найти:
12
а) 2B+A
б) AB
в)A -1
г)A -1A
2).Найти ∆ B: а) приведением к треугольному виду;
б) методом треугольников;
1). Дано: A,B. Найти:
13
а) 3A+B
б) AB
в)A -1
г) A -1A
2).Найти def B: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
14
а) 2B+3A
б) BA
в)B -1
г)B -1B
2).Найти ∆A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
15
а) 3A+B
б) BA
в)B -1
2).Найти │A│: а) методом треугольников;
б) приведением к каноническому виду
Контрольная работа № 1
1). Дано: A,B. Найти:
16
а) 2A+B
б) AB
в)A -1
г) AA -1
2).Найти def A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду;
1). Дано: A,B. Найти:
17
а) 3A-B
б) AB
в)B -1
г) BB -1
2).Найти ∆A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду
1). Дано: A,B. Найти:
18
а) A+2B
б) AB
в)B -1
г) B -1B
2).Найти def A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду;
1). Дано: A,B. Найти:
19
а) B+3A
б) AB
в)B -1
г) BB -1
2).Найти def B: а) методом треугольников;
б) приведением к каноническому виду
1). Дано: A,B. Найти:
20
а) 2A-B
б) AB
в)A -1
г) A -1A
2).Найти def A: а) методом треугольников;
б) приведением к треугольному виду;
Контрольная работа № 1
Контрольная Работа Матрицы И Определители 1 Курс – Telegraph
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Контрольная Работа Матрицы И Определители 1 Курс
В Интернете Я ндекс нашёл 40 млн ответов
Реально низкие цены! Оптом бери со скидкой! Быстрая доставка по всей России!
дербеневская набережная, д. 7к23, офис 1Б
Рейтинг магазина на Маркете 3 из 5
Большой выбор модулей и датчиков для Arduino
указания к выполнению контрольных заданий по дисциплине «Высшая математика» / Е.С
Методические указания составлены в соответствии с учебной программой курса «Высшая математика»
Свойства определителя . 1 . Определитель матрицы A равен определителю…
Методические указания по выполнению контрольной работы и варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения 4 курса по дисциплине УСТРОЙСТВО ДВИГАТЕЛЯ. по специальности 190631…
Итоговая контрольная работа 1 курса СПО.
Примерный вариант контрольной работы №1 . Задание 1 по разделу «Линейная алгебра». 1 . Вычислить линейную комбинацию матриц А и В
detA — определитель матрицы А; — присоединенная матрица , составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А
Цель курса — изучение матриц , определителей и систем линейных уравнений, а также углубление полученных знаний по векторной алгебре.
Учебное пособие включает три контрольные работы , посвя-щенные матрицам, системам линейных уравнений и векторам.
Контрольная работа включает 5 заданий (см. образец варианта контрольной работы ниже). По результатам выставляются оценка по пятибалльной шкале.: оценка «3», если правильно решены любые три задания , оценка «4», если правильно решены любые четыре заданий…
Свойства определителя . 1 . Определитель матрицы А равен определителю транспонированной. матрицы А Т : det А = det А Т
обратной к матрице А и обозначается А~1 . Каждая квадратная матрица с определителем , не равным нулю имеет обратную матрицу и…
2)Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы . 3)Определитель матрицы равен сумме элементов строки определителя на их алгебраические.
Найдём определитель матрицы , применяя правило треугольников. Определитель матрицы D(А) = -64 ¹ 0, т.е. матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует. Найдём алгебраические дополнения Аij элементов матрицы и составляем из них присоединённую…
Элементы линейной алгебры Контрольная работа . Задача 1 . Даны две матрицы.
Требуется: 1 ) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной…
оформления контрольных работ , представлена программа курса.
1 . Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдель-ной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.
литель матрицы А, существует единственная обратная матрица.
Матрицы и определители. Практикум. Самара 2014. Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского
ВВЕДЕНИЕ Предлагаемый практикум по высшей математике «Матрицы и определители » предназначен для студентов-бакалавров 1 курса…
Контрольная работа по теме: Контрольная по математике Матрица.
Матрицы и определители . №1. Два различных по качеству вида растительного масла продаются в трех магазинах.
Понятие определителя матрицы, математические и алгоритмические основы его расчета, функциональные модели
Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Размещение рекламы
+ 375 (17) 336-91-01
Хостинг: HOSTER.BY
Поиск реализован на основе Яндекс.XML
Контрольная работа по теме » Матрицы и определители » тест
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 | Задача 4. Вычислить определитель
Тест » Матрицы и определители » скачать
Контрольная работа : Контрольная № 1 по Линейной… — Studrb.ru
Методические указания и контрольная работа № 1
Отзыв Оппонента На Диссертацию Требования
Отчет По Производственной Практике Лаборанта
Небольшое Сочинение Дубровский
Теории Психологии Реферат
Контрольные Работы По Курсу Алгебры 7 Класс
Кафедра высшей математики
Окунева Галина Леонидовна
Ссылки лекционных и практических занятий в онлайн формате ссылка
График сдачи зачетов скачать
Контрольная работа №2 для 2 курса Тема: «Случайные величины» скачать
Контрольная работа №3 для 2 курса Тема.»Элементы статистики» скачать
ТМ, МТ,ЭК- 1 курс. Темы.»Определенный интеграл». «Дифференциальные уравнения». скачать Тема «Числовые ряды» скачать
РГЗ №1. «Определенный интеграл» скачать
РГЗ №2. «Дифференциальные уравнения» скачать
РГЗ №3 «Числовые ряды» скачать
РГЗ №4 «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» скачать
РГЗ №5 «Двойные интегралы» скачать
РГЗ №1 для 1 курса студентов экономических направлений «Матрицы и системы линейных уравнений» скачать
РГЗ №1 для 1 курса групп ТМ,ЖД,МТ «Векторная алгебра» скачать
РГЗ №2 для 1 курса групп ТМ,ЖД,МТ «Кривые второго порядка» скачать
РГЗ №3 для 1 курса «Пределы» скачать
РГЗ №4 для 1 курса «Производные, исследования функции» скачать
Контрольная работа №1 для групп ТМ,МТ,ЖД-2 курс скачать
Контрольная работа №2 для групп ТМ,МТ,ЖД-2 курс скачать
Контрольная работа №3 для групп ЭА-191 скачать
Контрольная работа №1 для 2 курса групп ЭК,ТМ,МТ «Случайные события» скачать
Контрольная работа №1 для 1 курса «Производные и их приложения» скачать
Контрольная работа для группы ЭА-191 «ТФКП» скачать
Конспекты лекций по линейной алгебре
Лекция 1: «Определители» скачать
Лекция 2: «Матрицы» скачать
Лекция 3: «Решение систем линейных алгебраических уравнений» скачать
Лекция 4: «Использование матриц, определителей и систем уравнений в экономике» скачать
Лекция 5: «Векторы» скачать
Лекция 6: «N-мерный вектор» скачать
Лекция 7: «Линейные операторы» скачать
Лекция 8: «Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости» скачать
Лекция 9: «Прямая в пространстве» скачать
Лекция 10: «Прямая и проскость в пространстве» скачать
Лекция 11: «Кривые второго порядка» скачать
Вопросы к экзамену
Вопросы к зачету по математике 1 курс 1 семестр ЖД СКАЧАТЬ
Вопросы к экзамену по математике 1 курс 2 семестр ЖД СКАЧАТЬ
Вопросы к зачету по математике 2 курс 3 семестр ЖД-21 СКАЧАТЬ СКАЧАТЬ
Вопросы к экзамену по математике 2 курс 4 семестр ЖД СКАЧАТЬ
Вопросы к зачету по математике 1 курс 1 семестр ТМ СКАЧАТЬ
Вопросы к экзамену по математике 1 курс 2 семестр ТМ СКАЧАТЬ
Вопросы к экзамену по математике 2 курс 3 семестр ТМ СКАЧАТЬ
Пример экзаменационного билета по линейной алгебре (практическая часть) СКАЧАТЬ
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения, обучающимся по направлению среднего профессионального образования. | Методическая разработка по математике на тему:
Департамент образования ЯНАО
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Ямало-Ненецкого автономного округа
«Ямальский многопрофильный колледж»
СЕРИЯ
«Для студентов и преподавателей»
Методические указания и контрольные задания
по математике
для студентов заочной формы обучения
г. Салехард 2015 год
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математика» предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающимся по направлению среднего профессионального образования.
Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении контрольной работы по дисциплине «Математика». Настоящие методические указания содержат контрольные задания по математике, которые позволят студентам закрепить теорию по наиболее сложным разделам курса и направлены на формирование профессиональных компетенций.
Составитель: Атавова Р.Ш., преподаватель ГБПОУ ЯНАО «ЯМК»
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка | 3 | |
Содержание программы | 4 | |
Теоретический материал | 6 | |
Задание №1 | 16 | |
Задание №2 | 16 | |
Задание №3 | 18 | |
Задание №4 | 19 | |
Задание №5 | 19 | |
Задание №6 | 20 | |
Учебно-методическое и информационное обеспечение | 21 |
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: чтение учебников, использование Интернет-ресурсов, решение задач, выполнение контрольных заданий. В случае возникновения затруднений при самостоятельном изучении материала, студент может обратиться к преподавателю математики для получения устной консультации.
При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:
1. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, курс, специальность.
2. Задачи следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо полностью переписать ее условие.
3. Ход решения каждой задачи студент обязан оформить аккуратно, в полном соответствии с порядком решения типичной задачи, приведенной в данных методических указаниях.
4. Решение задач геометрического содержания должно сопровождаться чертежами, выполненными аккуратно, с указанием осей координат и единиц масштаба.
5. На каждой странице тетради необходимо оставлять поля шириной 3-4 см для замечаний преподавателя.
6. Контрольная работа выполняется самостоятельно.
7. В случае незачета по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные ошибки и предоставить работу на повторную проверку.
8. Студент выполняет тот вариант, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра в соответствии с таблицей.
Номер варианта | Номера заданий | |||||
№1 | №2 | №3 | №4 | №5 | №6 | |
1 | 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 |
2 | 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 |
3 | 3 | 13 | 23 | 33 | 43 | 53 |
4 | 4 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 |
5 | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 |
6 | 6 | 16 | 26 | 36 | 46 | 56 |
7 | 7 | 17 | 27 | 37 | 47 | 57 |
8 | 8 | 18 | 28 | 38 | 48 | 58 |
9 | 9 | 19 | 29 | 39 | 49 | 59 |
10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
Матрицы. Виды и свойства матриц. Правила действия над ними. Определители второго и третьего порядков и их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Разложение определителя по элементам ряда.
Практическое занятие: Решение систем линейных уравнений в матричной форме, методами Крамера и Гаусса.
Раздел 2. Элементы математического анализа.
Тема 2.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции.
Функция одной независимой переменной. Предел функции. Свойства пределов. Теоремы о пределах функции. Непрерывные функции и их свойства.
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Сходящаяся последовательность. Число е.
Практическое занятие: Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности.
Тема 2.2 Дифференциальное исчисление.
Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной, ее физический и геометрический смысл.
Правила нахождения производных. Правила и формулы дифференцирования. Теоремы дифференцирования. Производные элементарных функций.
Применение производных к исследованию функций. Нахождение экстремума. Наибольшее и наименьшее значение. Дифференциал функции. Приближенные
вычисления.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Вогнутость кривой. Точки перегиба.
Правило нахождения точек перегиба. Дифференциал функции как главная часть ее приращения. Основные свойства дифференциала.
Практическое занятие: Вычисление производных элементарных функций в заданных точках. Применение производной к исследованию функции и построению графика.
Тема 2. 3 Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл. Понятие первообразной данной функции. Свойства неопределенного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции. Его принципиальное отличие от неопределенного интеграла.
Формула Ньютона- Лейбница. Теорема о среднем. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Использование определенного интеграла для решения задач прикладного характера. Применение определенного интеграла к вычислению площадей и объемов.
Практическое занятие: Вычисление интегралов. Решение задач на приложения интеграла. Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Тема 2.4 Дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение I порядка.
Решение задач на составление дифференциальных уравнений. Линейные однородные уравнения. Второго порядка с постоянными коэффициентами.
Практическое занятие: Решение дифференциальных уравнений.
Теоретический материал
- Линейная алгебра
Матрицей размером m×n называется совокупность m·и n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов.
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В. В общем виде матрицу размером m×n записывают так
А=
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.
Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной.
Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.
Матрица, у которой всего одна строка А=( …), называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например, 0=(0 0 … 0), 0=
Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E.
E=
Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом:a11a22–a12a21. Определитель обозначается символом D или |А|или det A.
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
.
Пример: Вычислить определитель третьего порядка.
- D==2–3+(–4)=
= 2·(0·1–(–2)·2) – 3(1·1– (–2)·(–2)) –4 (1·2–0·(–1))=8+3–8=3
Сложение матриц.
Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу
А+В= + =
Сложение матриц на примере матриц 3×3
+=
— матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах)
!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т.е. одинаковое число строк и столбцов)
Пример: Найти сумму матриц:
- + =.
- + — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
- +=.
- + =.
Транспонирование.
Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).
A= B=
Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.
Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.
Пример: Найти матрицу транспонированную данной.
а) A=,
б) B=, .
Умножение матрицы на число.
Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу
k·А = = k·=
Пример: = .
Умножение матриц.
Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:
· =
Пример: Найти произведение AB, если А= и В = .
с11= 3×1 +1×2 + 1×1 = 6 с21= 2×1 + 1×2 + 2×1 = 6 с31= 1× 1 + 2×2 + 3×1 = 8
с12= 3×1 + 1×(-1) + 1×0 = 2 с22=2×1 + 1×(-1) + 2×0 = 1 с32=2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1
с13= 3×(-1) + 1×1 + 1×1 = -1 с23= 2×(-1) + 1×1 + 2×1 = 1 с23= 1×(-1) + 2×1 + 3×1 =4
С=
!!! Матрицы не перестановочны друг с другом, т.е.A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.
Обратная матрица
Обратной А–1 по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство A·A-1 = A-1·A = E. (Е – единичная матрица).
Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:
- Находят определитель матрицы А
- Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записывают новую матрицу
- Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют)
- Умножают полученную матрицу на
Пример: Найти обратную матрицу для А= и выполнить проверку.
- Вычисляем D = = 4 – 1 + 4 = 20 ≠ 0. следовательно, обратная матрица существует.
- Найдем присоединенную матрицу A*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:
А11=(–1) 1+1 = 7, А21=(–1) 2+1 = – 1, А31=(–1) 3+1 = – 5,
А12=(–1) 1+2 = – 12, А22=(–1) 2+2 = 16, А32=(–1) 3+2 = 0,
А13=(–1) 1+3 = 1, А23=(–1) 2+3 = –3, А33=(–1) 3+3 = 5.
- Составим новую матрицу A*= и транспонируем
AТ=
- Найдем по формуле обратную матрицу:
A-1 = =
Проверка A·A-1 =· = = Е.
Простейшие матричные уравнения и их решение.
Пусть дана система уравнений
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
А = .
Свободные члены и неизвестные запишем в виде матриц-столбцов
В = , X = .
Тогда матричным уравнением называется уравнение вида А·Х = В.
План решения матричных уравнений:
- Найти обратную матрицу А–1
- Найти произведение обратной матрицы А–1 на столбец свободных членов В,
т.е. А–1·В
- Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Пример: Решить матричное уравнение .
Составим матричное уравнение А·Х = В: А = , X = , В =
- Найдем обратную матрицу А–1
Вычислим определитель
D==3 – (–1) +0 = 3·(4+1)+1·(– 8–2) =5 ≠0
Запишем все алгебраические дополнения:
А11=(–1) 1+1 = 5, А21=(–1) 2+1 = 4, А31=(–1) 3+1 = – 1,
А12=(–1) 1+2 = 10, А22=(–1) 2+2 = 12, А32=(–1) 3+2 = – 3,
А13=(–1) 1+3 = 0, А23=(–1) 2+3 = 1, А33=(–1)3+3 =5.
Запишем новую матрицу и транспонируем:
А* = , АТ=
Запишем обратную матрицу: A-1 = =
- Х = · = =
- Итак, , т.е. х1=2, х2=1, х3=3.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Теорема: Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой ≠ 0, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:
.
Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов – матрицу-столбец В, т.е.
А = , В = .
Если в определителе системы заменить столбцы коэффициентов при неизвестных на столбец свободных членов, то получим:
Dх = , Dу = , Dz =
Тогда для решения системы запишется так:
X= , У = , Z = .
Пример: Решить систему уравнений
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных А = и из свободных членов В = .
Вычислим определитель системы
D = = 3– 2+ 1 =25 ≠0
Вычислим определители при неизвестных:
Dх = = 3– 2+ 1 =25
Dу = = 3– 3+ 1 = – 25
Dz = = 3– 2+ 3 = 50
Найдем значения X= = = 1, У = = = – 1, Z = = = 2.
Ответ: (1; –1; 2)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Суть метода — последовательное исключение неизвестных. С помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.
Пример
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму.
Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.
1. Проведём следующие действия: первую строку так и перепишем
Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3
Из строки № 3 вычтем строку № 1. Получим:
2. Проведём следующие действия:
Строку № 2 умножим на -1
Из строки № 3 вычтем строку № 2. Получим:
3. Проведѐм следующие действия:
Строку № 3 умножим на -1
Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 и запишем вторую строку
Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 и запишем первую строку. Получим:
4. Проведѐм следующие действия:
Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2. Получим:
В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение: х1= –4, х2= –13, х3 = 11.
- Предел функции.
Вычисление предела функции. Пусть f(x) и ϕ(x) – функции, для которых существуют пределы при x→ (x→∞):
Сформулируем основные теоремы о пределах:
- Функция не может иметь более одного предела.
- Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, т.е.
,
Правила раскрытия неопределенностей: и
Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы можно было сократить.
Правило раскрытия неопределенности . Чтобы раскрыть неопределенность надо числитель и знаменатель дроби сократить на самую большую степень х в знаменателе.
- Определение производной функции
Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при ∆х стремящемся к нулю.
Основные правила дифференцирования
(f + g) ‘ = f ‘ + g ‘
(f − g) ‘ = f ‘ − g ‘
(f · g) ‘ = f’ ·g + g’·f
Формулы дифференцирования
Пример: Найти значение производной функции у = sin (4x – ) в точке х0 =
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:
у′ = (sin (4x – ))′ = (4x – )′·cos(4x – ) = 4 cos(4x – )
у′ () = 4 cos(4· – ) = 4 cos = 4· = 2. Ответ: 2
Пример: y = x3 – 3×2 + 5x + 2. Найти значение производной функции при y ‘(–1).
Найдем производную данной функции: y ‘ = 3×2 – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ:14.
Пример: Найти производную данной функции y = ln x · cos x.
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y ‘ = (ln x) ‘ cos x + ln x (cos x) ‘ =1/x∙cos x – ln x · sin x.
Пример: Найти производную данной функции y = .
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y′ = = .
Определение дифференциала функции
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у’ = f’΄(x). Придадим х приращение Δх, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Δy обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение при стремлении Δх к нулю стремится к производной у’, а разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом есть величина бесконечно малая, то величина — у’ стремится к нулю вместе с Δх. Предыдущее равенство можно записать в форме Δy= у’ Δx+α Δx, где α – стремится к нулю вместе с Δх.
Обозначив αΔх = β , мы видим, что при бесконечно малом Δх переменная β также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Δх, так как
= 0.
Таким образом, величина β есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δх. Это означает, что при весьма малых Δх величина β во много раз меньше, чем Δх. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы.
Таким образом, при малых Δх величиной β = α Δх часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой Δy = f ‘(x) Δx.
Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у = f(х) в точке х, соответствующим приращению Δх, называется произведение производной f ‘(х), вычисленной в точке х, на Δх.
Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом, dу = у ‘Δх или df(x) =f ‘(х) Δх.
Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных – точки х и приращения Δх.
Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике – это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Δу – приращение функции ее дифференциалом dy.
- Определение первообразной функции
Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F/(х) = f (х). (Для краткости при нахождении первообразных промежуток на котором задана функция, обычно не указывается).
Теорема: Если F(х) одна из первообразных для функции f (х) на заданном промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х) + С, где С – любое число.
Для нахождения общего вида первообразной можно воспользоваться таблицей:
Функция f (х) | к (постоянная) | хп, п ≠-1 | sin x | cos x | |||
Множество её первообразных F(х) | кх+С | — cos x+C | sin x+C | tg x+C | -ctg x+C |
Примеры:
- Показать, что функция F(х) является первообразной функции f(х) на всей числовой прямой:
а) F(х)=, f(х)=х6; б) F(х)=4х3-х+1, f(х)= 12х2-1.
а) F’(х)=’==х6=f(х). б) F’(х)= (4х3)’-х’+1’=12х2-1=f(х).
- Найти одну из первообразных для функции f(х)= х12+3.
Используя таблицу первообразных получим F(х)=+3х+С= +3х+С.
- Для функции f(х)=х+5 найти такую первообразную, график которой проходит через точку А(2;5).
Все первообразные функции f(х)=х+5 находят по таблице F(х)=+5х+С. Найдем число С, такое, чтобы график функции проходил через точку А. Подставляя вместо х=2, F(х)=5, получаем 5=+5·2+С. Следовательно С= 5-14=-9. Значит F(х)=+5х-9.
Определение неопределённого интеграла
Пусть f(x) — функция, заданная на объединении интервалов вещественной оси. Набор всех первообразных для f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается ∫f(x)dx. Операция нахождения неопределённого интеграла по заданной функции f(x) называется интегрированием этой функции; найти неопределённый интеграл означает проинтегрировать данную функцию. Функция f(x), записанная после знака интеграла (или, как часто говорят, под знаком интеграла), называется подынтегральной функцией.
Согласно доказанным выше теоремам о виде первообразных, неопределённый интеграл от функции f(x) состоит из функций вида F(х)+С, где F(х) — какая-либо фиксированная первообразная для f(x), а С- величина, постоянная на каждом из непересекающихся интервалов, на которых задана функция f(x). Поэтому можно написать такую формулу: ∫f(x)dx= F(х)+С.
Итак, для того чтобы доказать равенство ∫f(x)dx= F(х)+С, достаточно проверить, что F(х) — первообразная для f(x), то есть что F′(х)= f(x).
Таблица неопределённых интегралов
1. | 9. | ||
2. | 10. | ||
3. | , ≠ – 1 | 11. | |
4. | 12. | ||
5. | 13. | ||
6. | 14. | ||
7. | 15. | ||
8. | 16. |
Определение определённого интеграла
Для вычисления определенных интегралов от непрерывных функций с конечными пределами необходимо, пользуясь известными методами интегрирования, получить первообразную от интегрируемой функции и, применяя формулу Ньютона-Лейбница , найти разность значений первообразной при подстановке вместо переменной верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Задание № 1
Решение типовых примеров рассмотрено в теоретическом материале*
В задачах 1-10 решить системы уравнений
а) матричным способом
б) методом Крамера
в) методом Гаусса
Вариант 1
б)
в)
Вариант 2
б)
в)
Вариант 3
б)
в)
Вариант 4
б)
в)
Вариант 5
a
б)
в)
Вариант 6
a
б)
в)
Вариант 7
a
б)
в)
Вариант 8
a
б)
в)
Вариант 9
a
б)
в)
Вариант 10
a
б)
в)
Задание № 2
В задачах 11-20 вычислить пределы функции:
11. a) ; б) ; в) .
12. a) ; б) ; в) .
13. a) ; б) ; в) .
14. a) ; б) ; в) .
15. a) ; б) ; в) .
16. a) ; б) ; в) .
17. a) ; б) ; в) .
18. a) ; б) ; в) .
19. a) ; б) ; в) .
20. a) ; б) ; в) .
Решение типовых примеров
Вычислить пределы:
№ 1.
Для нахождения предела данной функции заменим аргумент х его предельным значением (выполним непосредственную подстановку):
=4·3 – 32+8=12 – 9 + 8=11
№2. = .
Непосредственная подстановка приводит к неопределенности типа .
Чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель х-2.
Числитель – квадратный трехчлен разложим на множители:
2х2 + х – 10 = 0
D = (1)2 – 4·2· (– 10) = 1+80=81 (Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка)
= = 9
x1 = = = 2. х2 = = =
2х2 + х – 10 =2 (х-2)(х+)
= = = = . Ответ: .
№2.
Сначала мы смотрим на числитель и находим х в старшей степени. Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим х в старшей степени. Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
= = (Разделим числитель и знаменатель на х2) = = = = . Ответ: .
Задание № 3
В задачах 21-30 исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) Найти область определения функции;
2) Найти производную функции;
3) Найти точки экстремума;
4) Определить промежутки монотонности функции;
5) Найти точки перегиба функции;
6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;
7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;
21. у=2х3–9х2+12х-5
22. у= х3–6 х2+9х +1
23. у=х3–3х2–9х+1
24. у=х3+3х2–9х–10
25. у=х3+6х2+9х+2
26. у=2х3–3х2–12х+5
27. у=2х3+3х2–12х-8
28. у=2х3+9х2+12х+7
29. у=2х3–15х2+36х–32
30. у=2х3–15х2+24х+4
Решение типового примера
Пример: Исследовать и построить график функции у = х4 – х2.
1°. Область определения функции — интервал (–∞,∞). Точек разрыва нет.
2°. Здесь f(–x)=f(x), так как х входит только в четных степенях. Следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси Оу.
3°. Чтобы определить точки пересечения графика с осью ординат, полагаем х = 0, тогда у = 0. Значит, кривая пересекает ось Оу в точке (0; 0).
Чтобы определить точки пересечения графика с осью абсцисс, полагаем у=0:
х4 –х2 =0; х4–6х2=0; x2(x2–6)=0. Отсюда х2=0, x1,2=0, т.е. две точки пересечения слились в одну точку касания; кривая в точке (0; 0) касается оси Ох. Далее, имеем х2–6=0, т.е. х3,4=≈±2,45. Итак, в начале координат О(0; 0) кривая пересекает ось Оу и касается оси Ох, а в точках А (–2,45; 0) и В (2,45; 0) пересекает ось Ох.
4°. Найдем критические точки функции:
y’=x3–3x; x3–3x=0; х(х2–3)=0; х1=0; х2,3=± ≈±1,7. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (–∞; ), (, 0), (0, ), (, ∞).
5°. Исследуем критические точки с помощью второй производной.
Находим у» = 3х2 – 3. При х = 0 получим у»х=0=–3, т.е. уmax=0, и, значит, О(0; 0) — точка максимума. Далее при х= имеем = 6, т.е. ymin=()4– ()2= –2,25. Таким образом, D (; –2,25) — точка минимума, а вследствие симметрии минимум достигается также в точке С(-; –2,25). Составим таблицу:
х | (–∞;–) | – | (–; 0) | 0 | (0;) | (; ∞) | |
у’ | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
у | ymin =–2,25 | уmax=0 | ymin =–2,25 |
6°. Имеем у»=3(x2–1) = 0, 3(х–1)(х+1) = 0, х1,2=±1. Точки х=–1 и х=1 разбивают область определения функции на интервалы (–∞,–1), (–1,1) и (1,∞). В интервалах (–∞,–1) и (1,∞) имеем у»>0, т.е. здесь кривая вогнута, а в интервале (–1,1) имеем у»х= –1 и х= 1 получаем точки перегиба Е и F, ординаты которых одинаковы: у(–1) = у(1)= –1,25.
Составим таблицу:
х | (–∞,–1) | –1 | (-1; 1) | 1 | (1; ∞) |
у» | + | 0 | – | 0 | + |
у | Вогнута | Точка перегиба (–1; –1,25) | Выпукла | Точка перегиба (1; 1,25) | Вогнута |
7°. График изображен на рисунке.
Задание № 4
В задачах 31-40 вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
31. а) ; б).
32. а) ; б).
33. а) ; б).
34. а) ; б).
35. а) ; б).
36. а); б).
37. а); б).
38. а) ; б).
39. а) ; б).
40. а) ; б).
Решение типового примера
1) Найти неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием.
= + = + 8x + C.
.
Сделаем замену переменной: x² = t. Тогда . Следовательно,
.
Задание № 5
В задачах 41-50 вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями:
41. у = х2, у = 49.
42. у = х3, у = 8.
43. у = х2+1, х = – 2, х = 2.
44. у = х2, у = 64.
45. у = х+2, х = 2, х = 4.
46. у = х3+1, у = 9.
47. у = х2+1, у = 9.
48. у = 2х, х = 1, х = 2.
49. у = х3+1, у = 28.
50. у = х2+2, у = 27
Решение типового примера.
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4 — х² и у=0.
у = 4 – х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз, вершина (0;4)
у= 0 — ось абсцисс. Найдём точки пересечения параболы с осью х: ;
Найдем S = == – (4·(–2) – ) = – (–) = = =10(кв.ед).
Ответ: 10 кв.ед.
Задание № 6
В задачах 51-60 найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка:
51. .
52..
53..
54..
55.
56..
57.
58..
59..
60. .
Решение типового примера
Найти частное решение дифференцированного уравнения первого порядка .
Это дифференцированное уравнение с разделяющимися переменными.
Производим разделение переменных:
ydy = 2×2 dx
Интегрируя обе части равенства, получаем:
=
= + C
y2 =
Используя начальное условие, вычислим, соответствующее ему значение постоянного С:
22 = ; 2C = 4; C = 2
Поэтому частное решение исходного дифференцированного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид: y2 = .
Учебно-методическое и информационное обеспечение
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Основные источники:
- Лисичкин В. Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд.стер.- СПб.: Издательство «Лань», 2011.
Дополнительные источники:
- Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. «Алгебра и начала анализа (10-11 кл.)». — М.: Просвещение, 2007.
- Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Сборник задач по высшей математики»: учебник для студ.учреждений сред. проф. образования – М.: Академия, 2010.
- Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики»: учебник для студ.учреждений сред. проф. образования – М.: Академия, 2008.
Контрольная работа №1 системы линейных уравнений тема 1 системы линейных уравнений
ТЕМА 1. Системы линейных уравнений.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задача 1. Вычислить определитель .
Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой:
Ответ: 0.
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Решим систему матричным способом, для этого вычислим обратную матрицу , где — алгебраические дополнения к элементам матрицы.
— матрица невырожденная.
Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:
. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .
Запишем и вычислим вспомогательные определители
Тогда
Ответ:
Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.
Таким образом, система равносильна системе
Находим
Ответ: , ,
При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.
Задача 3. Выполнить действия:
Решение. Выполним решение по действиям.
=
.
.
Ответ: .
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Если , , то произведением матрицы называется матрица , такая, что , где .
Пример:
Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).
Произведение определено.
Контрольная работа №1.
Вариант 1
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 2
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 3
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 4
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 5
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 6
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 7
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 8
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 9
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 10
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 11
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 12
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 13
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 14
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 15
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 16
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 17
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 18
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 19
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 20
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 21
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 22
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 23
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 24
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 25
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 26
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 27
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 28
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 29
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Вариант 30
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа по высшей математике. для студентов, обучающихся на заочном отделении
для студентов, обучающихся на заочном отделении
по специальности «психология»
1 семестр 1 курс
Вариант 6
- Дана матрица А= . Найти
- Вычислите определитель:
- Найдите матрицу, обратную матрице А. Проверьте полученный ответ:А=
- Решите матричное уравнение: Х =
- Дана матрица А= . Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.
6. Как изменится произведение АВматриц А и В, если в матрице Впоменять местами
i-ю и j-ю строки ?
7. Как изменится обратная матрица , если в матрице А поменять местами i-ю и j-ю
строки?
8. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
9. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
10. Решите систему уравнений методом обратной матрицы:
Контрольная работа по высшей математике
для студентов, обучающихся на заочном отделении
по специальности «психология»
1 семестр 1 курс
Вариант 7
- Дана матрица А= . Найти
- Вычислите определитель:
- Найдите матрицу, обратную матрице А. Проверьте полученный ответ:А=
- Решите матричное уравнение: Х =
- Дана матрица А= . Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.
6. Как изменится произведение АВматриц А и В, если в матрице Апоменять местами
i-й и j-й столбцы ?
7. Как изменится обратная матрица , если матрицу А транспонировать ?
8. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
9. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
10. Решите систему уравнений методом обратной матрицы:
Контрольная работа по высшей математике
для студентов, обучающихся на заочном отделении
по специальности «психология»
1 семестр 1 курс
Вариант 8
- Дана матрица А= . Найти
- Вычислите определитель:
- Найдите матрицу, обратную матрице А. Проверьте полученный ответ:А=
- Решите матричное уравнение:Х =
- Дана матрица А= . Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.
6. Как изменится произведение АВматриц А и В, если матрицу Атранспонировать?
7. Как изменится обратная матрица , если в матрице А i-ю строку умножить на k 0 ?
8. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
9. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
10. Решите систему уравнений методом обратной матрицы:
Контрольная работа по высшей математике
для студентов, обучающихся на заочном отделении
по специальности «психология»
1 семестр 1 курс
Вариант 9
- Дана матрица А= . Найти
- Вычислите определитель:
- Найдите матрицу, обратную матрице А. Проверьте полученный ответ:А=
- Решите матричное уравнение: Х =
- Дана матрица А= . Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.
6. Как изменится произведение АВматриц А и В, если матрицу В транспонировать?
7. Как изменится обратная матрица , если в матрице А j-й столбец умножить на k 0 ?
8. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
9. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:
10. Решите систему уравнений методом обратной матрицы:
Санкт-Петербургский университет управления и экономики
Санкт-Петербургский университет управления и экономики
Кафедра «Информационных технологий и математики»
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания
к контрольным работам для студентов
Заочной формы обучения
Санкт-Петербург
Одобрено на заседании кафедры «Прикладная информатика и математика» протокол №____ от ___________2015 г.
Линейная алгебра. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочного отделения. –
Сборник содержит задачи контрольных работ по линейной алгебре для студентов заочного отделения направлений всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПб УУЭ.
Составители:
к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская
к.э.н. Т.А. Черняк
Рецензент:
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Требования к оформлению контрольных работ
2. Формирование исходных данных к задачам
3. Рекомендуемая литература
4. Контрольная работа № 1. Линейная алгебра
5. Контрольная работа № 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
6. Краткое содержание курса
Требования к оформлению контрольных работ
1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.
2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.
3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение.
4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
Формирование исходных данных к задачам
Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.
Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.
Числовые значения параметров т и п определяются по двум последним цифрам личного шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п – из таблицы 2. Числа т и п следует подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра т)
Таблица 2 (выбор параметра п )
Например, если шифр студента 1604 – 037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 2. Полученные т = 4 и п = 2 подставляются в условия всех задач контрольной работы студента.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2006.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.
3. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.
4. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2. – М.: Наука, 1988.
6. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003.
7. Практикум по высшей математике для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2004.
Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры.
1.1. Найти значение матричного многочлена , если , , .
1.2. Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу): .
1.3. Найти матрицу обратную к матрице и проверить выполнение равенства .
1.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса: .
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
Матрицы и действия над ними
Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей размера m ´ n; здесь m – число строк, n – число столбцов.
Числа (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс i означает номер строки, второй j – номер столбца.
Если число строк и столбцов матрицы одинаковое , то матрица называется квадратной, порядка n.
Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается символом О, например .
Прямоугольная матрица, в которой каждая строка заменена столбцом с тем же номером, называется транспонированной по отношению к данной матрице, обозначается . Например, если , то .
Очевидно, что .
Действия над матрицами
Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.
А = В, если = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).
Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.
А + В = С, если + = (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n).
Пример 1
.
Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.
Пример 2
Матрица называется противоположнойматрице А.
Умножение матриц.
Пусть дана матрица А размера m ´ n и матрица В размера n ´ p.
Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:
С = А · В , где С есть матрица размера m ´ p,
,
если , где (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,p).
Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.
Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.
Пример 3
Произведение двух матриц НЕподчиняется переместительному (коммутативному) закону
,
в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.
В частных случаях, когда матрицы называются перестановочными.
Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем
А Е = Е А = А.
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.
Пример 4
Найти значение матричного многочлена , если , , .
Решение
.
Пример 3
Вычислить определитель по правилу треугольника: .
Решение
Свойства определителей
Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.
Рассмотрим определитель:
.
Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .
Пример 4
Минор элемента а12: .
Определение. Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения Аij.
Пример 5
Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
Пример 6
Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:
.
Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.
Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).
Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.
Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.
Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.
Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:
.
Свойство 9.Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.
Пример 7
Вычислим определитель:
,
при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.
Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
По определению
А · = · А = Е.
Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.
Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле
,
где — определитель матрицы А, — союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица
,
для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица
.
Пример
Для матрицы найти обратную.
Решение
Обратную матрицу находим по формуле
.
Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:
.
Тогда обратная матрица имеет вид
.
Пример 1
Решить систему матричным методом.
Решение
Матрица этой системы
,
обратная матрица имеет вид
Применяя формулу , получим
Следовательно, , , .
Пример 2
Решить систему по формулам Крамера.
Решение
Формулы Крамера: . Вычислим определители:
,
, тогда
, , .
Итак, , , .
Ранг матрицы
Пусть дана матрица .
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.
Очевидно, – меньшее из чисел m и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.
Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:
1. Вычеркивание нулевой строки.
2. Умножение какой либо строки на число.
3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.
4. Перестановка двух столбцов или двух строк.
Теорема 1.Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Пример 3
Найти ранг матрицы .
Решение
~ ~
На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.
Метод Гаусса решения СЛАУр
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУр)
Поставим задачу: исследовать данную систему, т.е. выяснить, не решая ее, совместна она или несовместна, а если совместна, то определенна она или неопределенна.
На все эти вопросы отвечает теорема Кронекера — Капелли.
Пусть дана матрица системы .
Рассмотрим расширеннуюматрицу системы
.
Теорема Кронекера – Капелли.
СЛАУр совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы:
или .
Замечание
Если и , где n – число неизвестных, то система определенна; если , то система неопределенна, если же , то система несовместна.
Метод Гаусса решения СЛАУр состоит в следующем.
1. Выписывают расширенную матрицу системы
и с помощью элементарных преобразований приводят ее к трапециевидному виду.
2. Применяя теорему Кронекера – Капелли, исследуют систему, получая один из случаев:
– система совместна и определенна,
– система совместна и неопределенна,
– система несовместна.
Трапециевидная форма расширенной матрицы С в каждом из этих случаев имеет вид:
1) С ~ , ,
следовательно, система определенна, имеет единственное решение,
2) С ~ ,
следовательно, система неопределенна, имеет бесконечное множество решений,
3) если какая-либо строка матрицы С имеет вид , то система несовместна (решений нет).
3. Для решения системы, если оно существует, следует записать новую систему, отвечающую полученной трапециевидной матрице, которая является более простой по сравнению с исходной и решить ее (обратный ход).
Пример 4
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
Составим расширенную матрицу и проведем над ней эквивалентные преобразования для определения и .
~ ~
~ ,
Таким образом, , следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система совместна и определенна.
Составим систему, соответствующую последней матрице, эквивалентную исходной:
Þ .
Таким образом, .
Пример 5
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
~ ~
Так как , следовательно, система совместна и неопределенна (имеет бесчисленное множество решений).
Последней матрице соответствует система:
Þ
где и – произвольные параметры.
Пример 6
Исследовать и решить СЛАУр:
Решение
~ ~
Так как , то система несовместна (решений нет).
Пример 7
Исследовать и решить СЛАУр: .
Решение
Таким образом, .
Прямая на плоскости
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Уравнение вида
называется уравнением прямой с угловым коэффициентов, здесь , — угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох, b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Пусть даны две точки прямой и . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид
.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, определяемом угловым коэффициентом k , имеет вид
.
Пример
Даны вершины треугольника . Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
3) координату точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;
5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6) площадь треугольника.
Решение
1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Подставив координаты точек , получим
— общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом , .
2) Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны (рис.1):
, т.е. , . Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим — общее уравнение прямой СЕ.
3) Точка М делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Таким образом, ее координаты можно найти по формулам:
.
В нашем случае
,
откуда .
4) Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой из уравнения . Найдем угловой коэффициент прямой АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки и :
— уравнение АС.
Угловой коэффициент прямой АС равен , тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых , получим
— уравнение высоты.
Длину высоты можно найти, как расстояние от точки до прямой АС по формуле . В нашем случае уравнение прямой АС: , следовательно,
.
5) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямой АВ равен , следовательно,
—
— уравнение искомой прямой.
6) Площадь треугольника находится по формуле: , в нашем случае
.
у А(4;6)
Е
В(-4;0) М
0 1 х
С(-1;-4)
Рис. 1
Пример
Даны вершины треугольной пирамиды Найти:
1) угол между ребрами и ;
2) площадь грани ;
3) объем пирамиды ;
4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;
5) угол между ребром и гранью ;
6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Решение
2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора , тогда площадь треугольника находим по формуле
.
Найдем векторное произведение векторов
модуль векторного произведения равен
,
откуда находим площадь треугольника
3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле
,
так как выше найдены координаты векторов
,
подставим координаты векторов в формулу, получим
.
4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на грань применим формулу
,
откуда находим
5) Уравнение прямой находим по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки :
.
Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение плоскости, проходящей через три точки
.
Подставим координаты точек в уравнение, получим
,
,
,
или
.
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле
,
в нашем случае
.
6) Общее уравнение плоскости :
,
нормальный вектор плоскости .
Уравнение высоты : .
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .
В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид
Краткое содержание (программа) курса
Элементы линейной алгебры
Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.Система m линейных уравнений с n неизвестными.
Санкт-Петербургский университет управления и экономики
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Решение систем линейных уравнений с использованием матриц
Если нужно, просмотрите матрицы , матричные операции со строками и решение систем линейных уравнений перед прочтением этой страницы.
В матричный метод решения систем линейных уравнений — это просто метод устранения в маскировке. При использовании матриц запись становится немного проще.
Предположим, у вас есть система линейных уравнений, например:
{ 3 Икс + 4 у знак равно 5 2 Икс — у знак равно 7
Первый шаг — преобразовать это в матрицу.Убедитесь, что все уравнения имеют стандартную форму ( А Икс + B у знак равно C ) , и используйте коэффициенты каждого уравнения для формирования каждой строки матрицы. Это может помочь вам разделить правый столбец пунктирной линией.
[ 3 4 2 — 1 | 5 7 ]
Далее мы используем матричные операции со строками изменить 2 × 2 матрицу слева на единичная матрица .Во-первых, мы хотим получить ноль в строке 1 , Столбец 2 . Итак, добавляем 4 раз Строка 2 грести 1 .
[ 11 0 2 — 1 | 33 7 ] → добавлен ( 4 × Строка 2 ) к Строка 1
Далее мы хотим 1 в верхнем левом углу.
[ 1 0 2 — 1 | 3 7 ] → разделенный Строка 1 по 11
Теперь нам нужен ноль в нижнем левом углу.
[ 1 0 0 — 1 | 3 1 ] → добавлен ( — 2 × Строка 1 ) к Строка 2
Наконец, мы хотим 1 в строке 2 , Столбец 2 .
[ 1 0 0 1 | 3 — 1 ] → умноженный Строка 2 по — 1
Теперь, когда у нас есть 2 × 2 Единичная матрица слева, мы можем считать решения из правого столбца:
Икс знак равно 3 у знак равно — 1
Тот же метод можно использовать для п линейные уравнения в п неизвестные; в этом случае вы создадите п × ( п — 1 ) матрица и используйте операции со строками матрицы, чтобы получить тождество п × п матрица слева.
Важная заметка: Если уравнения, представленные исходной матрицей, представляют собой параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо существует бесконечно много решений системы.
MATRIX ОБУЧЕНИЕ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫМ НАВЫКАМ ДОШКОЛЬНИКОВ С АУТИЗМОМ
J Appl Behav Anal. 2010 Winter; 43 (4): 635–652.
Дженнифер Зарконе, редактор Action
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОГАЙО
Переписку по этой статье следует направлять Джуде Б.Акс, который сейчас работает в Департаменте образования, Колледж Симмонс, Бостон, Массачусетс, 02115 (электронная почта: [email protected]).Поступило 6 января 2009 г .; Принято 28 января 2010 г.
Copyright Society for the Experimental Analysis of Behavior, Inc. Эта статья цитируется в других статьях в PMC.Abstract
Матричное обучение — это генеративный подход к обучению, при котором слова выстраиваются в матрицу так, что одни многословные фразы обучаются, а другие появляются без прямого обучения.Мы научили 4 дошкольников с аутизмом следовать инструкциям по выполнению комбинаций действие-изображение (например, обвести перец, подчеркнуть оленя). Каждая матрица содержала 6 действий по одной оси и 6 изображений по другой оси. Мы использовали подсказки по принципу «от максимального к минимальному» для обучения инструкций по диагонали каждой матрицы и исследовали необученные комбинации. У 2 участников нетренированный ответ проявился после минимального количества тренировок. Остальным 2 участникам потребовалось дополнительное обучение, прежде чем возникли нетренированные комбинации.В конце исследования 3 из 4 участников выполнили обученные действия с заранее известными картинками, буквами и цифрами. Это исследование показало, что матричное обучение — это эффективный подход к обучению языку и грамотности детей с аутизмом.
Ключевые слова: идентификация букв, матричное обучение, идентификация числа, идентификация изображения, рекомбинативное обобщение
Дети с аутизмом часто обнаруживают задержки в овладении языком (Eikeseth & Hayward, 2009; Rapin, 2006) и навыками грамотности (Mirenda, 2003).Образовательные подходы к повышению уровня владения языком часто включают прямое обучение репертуара слушателя и говорящего (Lovaas, 1987; Sundberg & Partington, 1998). Что касается грамотности, у многих детей с аутизмом наблюдается задержка в чтении и основных навыках готовности, используемых для максимизации академических достижений, таких как письмо (Katims & Pierce, 1995; Nation, Clarke, Wright & Williams, 2006). В соответствии с Законом «Ни одного отстающего ребенка» (2001 г.), согласно которому учащиеся с аутизмом соответствуют стандартам на уровне их класса, исследователи должны продолжать поиск эффективных методов обучения грамоте учащихся с аутизмом (Yell, Drasgow, & Lowrey, 2005).Один из подходов состоит в том, чтобы нацеливаться на поведение чтения и письма, которое предшествует развитию грамотности, такое как просмотр книг, слушание, как другие читают книги, построение историй из картинок и писем, рисование и письмо (Koppenhaver & Erickson, 2003; Teale & Sulzby, 1986 ). Хотя большая часть этого исследования была сосредоточена на подростках с аутизмом, Дентон и Уэст (2002) обнаружили, что дети дошкольного возраста с навыками именования букв и знанием букв лучше справлялись с показателями фонологической осведомленности и чтения слов в первом классе, чем дети без знания букв.Однако очевидно, что существует нехватка исследований методов обучения грамоте маленьких детей с аутизмом.
Хотя вмешательства, направленные на развитие языковых навыков и навыков грамотности у детей с аутизмом, оказались эффективными, образовательным программам сложно охватить все индивидуальные навыки, необходимые для детей с задержкой речевого развития, чтобы соответствовать стандартам их сверстников (Mackay, Kotlarchyk , & Stromer, 1997). Одним из методов решения этой проблемы является генеративное обучение, которое позволяет преподавателям напрямую обучать одному набору навыков, чтобы другие возникали без прямого обучения (Johnson & Layng, 1992; Layng, Twyman & Stikeleather, 2004; Rehfeldt & Barnes-Holmes, 2009 ; Сидман, 1994).Матричное обучение, одна из форм генеративного обучения, использовалось для обучения слушателей навыкам и обозначению многокомпонентными фразами, например, для обучения обозначению комбинаций цвета и объекта у детей с умственной отсталостью (Goldstein & Mousetis, 1989; Karlan et al., 1982; Remington, Watson, & Light, 1990; Striefel et al., 1978). Например, матрица 2 × 2 может быть расположена с двумя цветами на одной оси и двумя объектами на другой оси, в результате чего получается четыре комбинации цвета и объекта. Если две из четырех комбинаций отработаны, две другие могут появиться без прямого обучения.Например, если ребенка учат маркировать «красная машина» и «синяя лодка», ответы «синяя машина» и «красная лодка» могут возникнуть без непосредственного обучения. Гольдштейн (1983a) назвал этот результат рекомбинативным обобщением , потому что составляющие обученных комбинаций выстраиваются в новые комбинации на основе требований окружающей среды. Размещение целей в матрице и обучение по диагонали матрицы обеспечивает эффективное обучение, поскольку навыки приобретаются без прямого обучения.
Goldstein, Angelo и Mousetis (1987) оценивали матричное обучение трех человек с тяжелой умственной отсталостью. Они были нацелены на маркировку и следование инструкциям, а также расположили известные и неизвестные слова в матрицах. В подматрицах с известными словами Goldstein et al. обучил одной комбинации и исследовал нетренированные комбинации. Как только участники соответствовали критерию успеваемости с известными словами, тренировка начиналась с неизвестных слов. Все правильные ответы во время зондов получили подкрепление, а корректирующая обратная связь не была предоставлена.Результаты показали, что обучение одной комбинации известных слов легко приводило к появлению новых комбинаций с известными словами. Результаты также показали, что обучение одной комбинации с ранее неизвестными словами дает правильную реакцию на другие неизвестные словосочетания. Goldstein et al. отметили, что от 94% до 98% обучения было необученным.
Два исследования изучали матричное обучение детей с аутизмом. Кинни, Ведора и Стромер (2003) учили генеративную орфографию с помощью видеомоделирования девочке первого класса.В видеоролике взрослый смоделировал написание слова на большом листе бумаги с видеороликами в качестве награды. На этапе 1 участник научился писать 15 слов с помощью видеомоделирования. Фаза 2 показала, что у нее не было рекомбинантного обобщения, основанного на словах, выученных в Фазе 1. В Фазе 3 ее научили писать пять слов и четыре других слова без обучения. На этапе 4 ее научили писать девять слов и выучили 18 слов, комбинируя начальные согласные и окончания слов. Это исследование расширило исследования по матричному обучению и видеомоделированию для обучения генеративному правописанию ребенка с аутизмом.
В другом исследовании Дофин, Кинни и Стромер (2004) использовали графики активности на основе видео и матричное обучение, чтобы научить социодраматической игре трехлетнего мальчика с аутистическим спектром и синдромом дефицита внимания и гиперактивности. На этапе 1 участника учили следить за расписанием действий на основе видео, произносить фразы из четырех слов (например, «Динозавр, хочешь бежать?») И выполнять комбинации «объект – действие» (например, «Медведь укусил», «Кролик выпьет») по диагоналям матриц 3 × 3.Десять сеансов подсказки от максимального к минимальному оказались эффективными в создании 21 из 28 новых фраз и четырех из шести новых действий. В последующей фазе обучение новым комбинациям объект-действие было похоже на первую фазу, но Dauphin et al. тестировал ответы, используя изображения, а не видео. Участник выполнил большинство нетренированных комбинаций.
Целью настоящего исследования было расширить литературу двумя способами, во-первых, оценить матричное обучение детей с аутизмом (Dauphin et al., 2004; Kinney et al., 2003) и, во-вторых, расширить исследование, чтобы сосредоточить внимание на начальных навыках письма и распознавания букв и цифр. Кроме того, если в большинстве предыдущих исследований матричного обучения использовались подсказки от наименьшего к наибольшему, то в текущем исследовании для содействия обучению без ошибок использовались подсказки от наибольшего к наименьшему (Massey & Wheeler, 2000; Touchette & Howard, 1984).
МЕТОД
Участники
Мы набрали детей дошкольного возраста с диагнозом аутизм; значительные задержки в выполнении инструкций, навыков письма, идентификации изображений и маркировки; и мягкое или не вызывающее поведение.Участвовали четверо детей (от 4 до 5 лет). Все четверо могли делать простые запросы, определять буквы и числа до 20. Мэтт был белым мальчиком с полным IQ 91 баллом по пересмотренной международной шкале достижений Лейтера (Leiter-R; Roid & Miller, 1995). Согласно опроснику развития Battelle (BDI; Newborg, Stock, Wnek, Guidubaldi, & Svinicki, 1994), его возраст составлял от 21 до 22 месяцев в поддоменах восприимчивого, экспрессивного и тотального общения. Во время исследования он говорил предложениями из одного или двух слов по запросу.Он проявлял задержки с ответом на приветствия и свое имя, по очереди со сверстниками, нахождение предметов и изображений и ответы на вопросы типа «да – нет». Рекс был мальчиком европеоидной расы, чей полный IQ по шкале Leiter-R составлял 106 баллов. По шкале BDI он набрал от 30 до 31 месяца в субтесте рецептивного общения, 43 месяца в субтесте экспрессивного общения и 36. месяцев на общий подтест общения. Он говорил сложными предложениями, но проявлял задержки в разговоре и прагматические аспекты языка.Во время исследования его индивидуальные цели образовательной программы заключались в том, чтобы улучшить его навыки распознавания и классификации, навыки предварительной записи и другие мелкой моторики, а также навыки разговора.
Трей был афроамериканским мальчиком с полным IQ 81. Согласно BDI, его возрастные эквиваленты составляли от 21 до 22 месяцев, 14 месяцев и 16 месяцев в поддоменах восприимчивого, экспрессивного и общего общения, соответственно. Он говорил предложениями из одного или двух слов, когда его подсказывали, и часто нуждался в напоминаниях, чтобы выполнить простые инструкции.Когда ему давали инструкции, нарушающие распорядок, он часто скулил и плакал. На момент исследования образовательные цели Трея включали просьбу о помощи, выполнение одно- или двухступенчатых устных указаний, запрос подкрепления и отслеживание писем. Нина была белой девушкой с полным IQ в 82 балла. Она набрала в возрастном эквиваленте 17–18 месяцев, 27 месяцев и 22 месяца по рецептивному, экспрессивному и общему субдоменам BDI соответственно. Она говорила предложениями из пяти слов и была эхолической.Ее образовательные цели состояли в том, чтобы выполнять письменные задания (например, делать формы, начертить буквы), запрашивать подкрепления, по очереди со взрослыми, использовать график с картинками для плавных переходов и следовать одношаговым словесным указаниям.
Условия и материалы
Исследование проводилось в частном инклюзивном дошкольном учреждении для детей с расстройствами аутистического спектра. Мы проводили занятия в небольшой приватной комнате в школе (8 м на 5 м). Экспериментатор сидел с каждым участником за маленьким столиком рядом с видеокамерой.Материалы: чашка с посудой (карандаш, маркер, марка, ножницы, ручка), таймер, игрушки (книги, сенсорные игрушки, машинки, пузыри, воздушные шары) и три типа пробных листов (21,6 см на 28 см с цветным рисунком). фотографии размером 3 см на 3 см). Типы пробных листов включали (а) изображения в первичных матрицах (шесть целевых фотографий и шесть отвлекающих фотографий, расположенных в три ряда), (б) ранее известные изображения (шесть фотографий, расположенных в два ряда) и (в) ранее известные буквы. и цифры (16 букв и цифр крупным шрифтом, расположенных в четыре ряда).Мы подготовили по три версии каждого типа листов, чтобы варьировать порядок изображений для каждого испытания. Фотографии, использованные при обучении (см. Ниже), были того же размера и стиля, что и фотографии на тестовых листах.
Зависимая переменная
Зависимая переменная представляла собой процент правильных инструкций, следующих за каждым сеансом зондирования, определяемый как выполнение действия с изображением, буквой или числом, совпадающим с произнесенными экспериментатором словами (например, подчеркните перец, отметьте олень) в течение 5 с после инструкции.Следование инструкциям далее определялось как обучение по диагонали и недиагональное обучение. Обученное по диагонали относится к ответам, которые были либо нацелены на обучение (т. Е. По диагонали матрицы), либо непосредственно обучены (т. Е. Если было обучено больше ячеек, чем по диагонали). Недиагональный нетренированный относится к ответам, которые не были нацелены на обучение (то есть не по диагонали), или к ответам, которые никогда не обучались (то есть, если были обучены другие клетки, кроме тех, которые находятся на диагонали).
Соглашение между наблюдателями
Экспериментатор обучал аспирантов специальному обучению и прикладному анализу поведения по определению и измерению зависимой переменной. Наблюдатели независимо оценили инструкции, следующие из видеозаписей по фазам и уровням в 29%, 30%, 31% и 30% сеансов для Мэтта, Рекса, Трея и Нины, соответственно. Согласие между наблюдателями в тестах выполнения действий с ранее известными изображениями, буквами и цифрами было измерено в 50%, 25% и 75% сеансов для Мэтта, Рекса и Трея, соответственно (эти исследования не проводились с Ниной).Согласие определялось как оба наблюдателя, оценивающие ответ как правильный или неправильный, а диагонально обученные или недиагональные нетренированные. Согласие между наблюдателями рассчитывалось путем деления количества соглашений на сумму соглашений и разногласий и преобразования отношения в процент. Среднее согласие было 100% для Мэтта и Трея. Среднее согласие для Rex составило 100% на исходной и поддерживающей фазах и 86% (диапазон от 0% до 100%) на тренировочной фазе. Среднее согласие для Нины составило 100% на исходном уровне и на поддерживающем уровне и 99% (диапазон от 92% до 100%) на этапе обучения.В исследованиях действий с ранее известными изображениями, буквами и цифрами согласие было 100% для Трея и Рекса и 94% для Мэтта.
Конструкция
Была использована конструкция с несколькими зондами для разных типов поведения (Cooper, Heron, & Heward, 2007). Для каждого участника было четыре уровня дизайна нескольких зондов, соответствующих четырем подматрицам в матрице, предназначенной для каждого участника (). То есть жирные линии в отдельных подматрицах с 1 по 4 назначены уровням с 1 по 4 в схеме с несколькими датчиками.Этими тремя этапами были базовый уровень, обучение и техническое обслуживание. Сеанс зондирования происходил каждый раз, когда экспериментатор встречался с участником. В базовом состоянии и при обслуживании произошел только сеанс зондирования. Во время обучения тренировочная сессия следовала за сессией зондирования, в которой экспериментатор тренировал клетки по диагонали матрицы в соответствии с конструкцией с несколькими зондами.
Матрица действий – картинок, используемая для Мэтта, Трея и Нины. Жирные линии разделяют каждую подматрицу, и каждая подматрица была назначена на уровень в конструкции с несколькими датчиками.
Следующие критерии были применены к дизайну: После базового уровня обучение происходило, если ответ был менее чем на 90% правильным на диагональных обученных инструкциях в зонде. После того, как производительность одной проверки диагональных обученных инструкций была на 90% или выше, мы провели проверку недиагональных необученных инструкций. После трех сеансов с 90% правильных или выше по диагональным обученным инструкциям и на 50% или выше по недиагональным нетренированным инструкциям мы провели серию базовых сеансов в следующей подматрице, чтобы убедиться, что ответы участников были стабильными.После трех последовательных сессий с 90% правильных или выше диагональных инструкций и менее 50% правильных по недиагональным необученным инструкциям мы обучили новую ячейку из подматрицы. Первоначально мы выбрали новую ячейку случайным образом. Если несколько дополнительных ячеек были обучены и нетренированный ответ по-прежнему не превышал критерия, мы выбирали новые ячейки для обучения, основываясь на высокой вероятности того, что они будут способствовать выполнению необученных инструкций. Например, в подматрице 2 (), если мы обучили три ячейки с помощью действия «поставить крестик» и обучили только одну ячейку с помощью «выделения», мы обучили новую ячейку «выделение».Мы исследовали две другие матрицы 6 × 6 в начале и в конце исследования. Одна матрица содержала те же действия, что и первичная матрица с ранее известными изображениями (например, животные и продукты питания). Другая матрица содержала те же действия, что и первичная матрица, со случайно выбранными, ранее известными буквами и цифрами (S, V, P, 4, 7, 9).
Процедура
Экспериментатор встречался с каждым участником один или два раза в день, 5 дней в неделю, по 10–30 минут на каждую встречу.
Предварительная оценка
Мы провели неформальные интервью с учителями участников для определения потенциальных подкреплений и целевых навыков.Потенциальными подкреплениями были восторженные похвалы, книги и предпочтительные игрушки. Доступ к этим элементам в течение 20-40 секунд использовался для усиления соответствия и правильной реакции во время предварительной оценки, разминки, проверки и обучения.
Мы провели пять 15-минутных сессий предварительной оценки в течение 5 дней с каждым участником, чтобы определить действия, картинки, буквы и числа для использования в исследовании. Во-первых, экспериментатор проверил 13 действий, представив букву А на листе бумаги и чашке с посудой и сказав: «[действие] на А» (напр.g., «обведите A», «проштампуйте A»). Во-вторых, экспериментатор проверил 30 изображений, предъявив несколько листов бумаги с 12 различными случайно расположенными изображениями на каждом листе и спросив каждого участника: «Где [рисунок]?» В-третьих, экспериментатор проверял восприимчивое различение букв и цифр, представляя одновременно четыре буквы или цифры и предлагая участнику выбрать букву или цифру (например, «указать на 3»). Мы проверили все буквы и цифры до 20. Правильные и неправильные ответы не вызывали обратной связи.Если участник не отвечал в течение 5 с, экспериментатор повторял инструкцию. Если участник не ответил в течение следующих 5 секунд, экспериментатор делал нейтральное утверждение (например, «хорошо») и давал следующую инструкцию. После каждых четырех-шести испытаний экспериментатор предъявлял известные инструкции (например, «хлопайте в ладоши», «дотроньтесь до головы»), и соответствие давало возможность выбрать предпочтительные предметы (например, книги, игрушки).
Критерий предварительной оценки для выявления неизвестных действий был нулевым из трех правильных испытаний.Критерий идентификации неизвестных изображений: ноль из трех правильных презентаций или менее 20% правильных по крайней мере из шести презентаций. Критерий определения отвлекающих картинок был 75% правильных или менее по крайней мере в четырех презентациях или 0% правильных в двух презентациях. Критерий определения известных картинок, букв и цифр был 100% правильным как минимум в трех презентациях. В результате этой предварительной оценки было идентифицировано пять наборов целей: неизвестные действия, неизвестные изображения, изображения, отвлекающие внимание (должны быть представлены на листах первичного зонда с изображениями целей), известные изображения (должны быть проверены в матрице в начале и конце таблицы). исследование), а также известные буквы и цифры (должны быть проверены в матрице в начале и в конце исследования).- первичная матрица, используемая Мэттом, Треем и Ниной. Основываясь на его выступлениях на предварительных оценках, матрица Рекса «поставила солнце» и «поставила галочку» вместо «штампа» и «круга». Кроме того, на фотографиях Рекса были «лук», «якорь», «картофель», «салат», «степлер» и «шпинат».
Зонды
Сеанс зондирования происходил первым во время каждой встречи с участником. Каждый сеанс зондирования начинался с разминки, во время которой экспериментатор давал от двух до трех известных инструкций (например,, «Коснуться носа», «хлопнуть в ладоши»), и соответствие привело к выбору предпочтительного предмета или выбора предпочтительных предметов. В каждом пробном исследовании экспериментатор предъявлял лист бумаги с шестью целевыми изображениями из матрицы, шестью изображениями, отвлекающими внимание, и чашкой с посудой. Экспериментатор использовал три варианта пробных листов, так что порядок изображений был разным для каждого испытания. Порядок инструкций также был случайным, но диагональные обученные инструкции выполнялись раньше недиагональных необученных инструкций.После разминки экспериментатор представил каждую инструкцию по выполнению комбинации действие – картинка в форме «приготовься, [действие] [картинка]» с преувеличенными и удлиненными перегибами на действии и картинке. Правильные ответы привели к выбору предпочтительных предметов. Неправильные ответы привели к представлению следующего испытания без обратной связи. Если по прошествии 5 с ответа не было, экспериментатор повторял инструкцию. Если в течение следующих 5 с ответа не было, экспериментатор давал следующую инструкцию.После четырех-шести последовательных неправильных ответов или отсутствия ответов экспериментатор представил от двух до трех известных инструкций (например, «коснуться головы», «топнуть ногами») и предпочтительный пункт в зависимости от соблюдения.
Обучение
На этапе обучения сеанс обучения сразу же следовал за сеансом проверки. Каждое тренировочное занятие длилось от 11 до 13 минут и состояло из 20-40 попыток. Обучающее испытание состояло из представления изображений, посуды, инструкций, подсказок, предоставления участнику возможности ответить, подкрепления правильных ответов и повторного представления инструкций и подсказок в зависимости от ошибок (более подробная информация ниже).Каждое занятие начиналось с того, что экспериментатор предъявлял от двух до трех известных инструкций (например, «потрогать живот», «коснуться ушей») и выбора предпочтительных пунктов в зависимости от соблюдения. Каждое тренировочное испытание начиналось с предъявления чашки с посудой, изображения или картинок и инструкции «приготовься, [действие] [объект]» с удлиненными и преувеличенными интонациями действия и изображения. При обучении новой комбинации действие-изображение экспериментатор показывал только картинку и давал модель и физические подсказки для выполнения действия.В соответствии со следующими семью шагами экспериментатор постепенно добавлял отвлекающие факторы и блеклые подсказки. Для перехода к следующему шагу требовалось четыре правильных ответа на каждом шаге. На шаге 1 экспериментатор показал только картинку, представил инструкцию, смоделировал ответ, повторно представил инструкцию и физически руководил ответом. Шаг 2 был таким же, но экспериментатор не представил физических подсказок. На шаге 3 экспериментатор представил изображение, отвлекающее внимание, с целевым изображением.Шаг 4 был таким же, как Шаг 3, но экспериментатор использовал только подсказку точки. На шаге 5 экспериментатор добавил второго отвлекающего фактора и не использовал подсказку точки. Экспериментатор использовал шаг 6 только тогда, когда участник изучал две новые инструкции, как в подматрицах 1 и 2. На этом шаге экспериментатор представил два новых изображения с одним изображением, отвлекающим внимание, и поочередно переключался между двумя целевыми инструкциями. На шаге 7 экспериментатор представил тестовый лист (т. Е. 12 изображений), и обучение происходило с двумя целевыми инструкциями.Сеанс обучения закончился, когда участник правильно отреагировал на новые комбинации действия и изображения в Шаге 7 или по прошествии 13 минут.
Во время тренировок экспериментатор подкреплял все подсказанные и неподтвержденные ответы. Если на любом этапе участник не ответил в течение 5 секунд или выполнил неправильный ответ, экспериментатор немедленно повторно представил инструкцию и представил подсказку с предыдущего шага последовательности (например, подсказку модели после ошибки с подсказкой точки). ).Правильный ответ с подсказкой после ошибки был усилен на шагах с 1 по 3. На шагах с 4 по 7 экспериментатор не подкреплял правильный ответ с подсказкой после ошибки. Экспериментатор повторно представил инструкцию без подсказки, а затем закрепил правильный ответ. После того, как участник прошел шаги с 1 по 7 для конкретной комбинации действия и изображения, последующие учебные занятия немного изменились. Во-первых, все тренировочные испытания проводились с тестовым листом (т.е., было представлено 12 картинок). Во-вторых, если участник неверно выполнил конкретную инструкцию в сеансе исследования, экспериментатор представил подсказку модели в первом испытании для этой инструкции.
Мы внесли изменения в процедуры для Рекса, Трея и Нины. Для Рекса общие процедуры определения треугольников и солнц оказались неэффективными. Мы разместили точки на натренированных изображениях, чтобы Рекс мог соединиться, и, дав правильный ответ, мы уменьшили интенсивность точек в двух фазах за два сеанса.Мы сделали три модификации для Трея. Во-первых, Трей сопротивлялся физическим подсказкам, и они не использовались. Во-вторых, из-за того, что его подчеркивание было слишком длинным, мы поместили точки под изображениями, чтобы он мог соединить их. В-третьих, когда ему дали необученный инструктаж, он потянулся за правильной посудой, а затем указал на правильную картинку. Когда он потянулся за посудой в зондах сеансов 46–48, экспериментатор указал на нее и сказал: «Да, [действие] [изображение]».
Мы сделали семь изменений для Нины: три в процедурах исправления ошибок, три в разделении компонентов инструкций и одно в обратной связи для правильных ответов.Эти семь модификаций добавлялись и удалялись во время тренировок, когда экспериментатор пытался подчинить свою реакцию стимулам, руководствуясь инструкциями. Во-первых, на занятиях 8 и 9 экспериментатор представил известные инструкции (например, «дайте мне пять», «коснитесь своей головы») между подсказанными, правильными, неподтвержденными ответами и непредсказуемыми, правильными, усиленными ответами. Во-вторых, на занятиях 8, 10, 11, 40, 43, 44, 45, 48, 49 и 54 экспериментатор представил тренировочные опыты с той же картиной, но разными действиями в быстрой чередовании без подкрепления, пока Нина не подтвердила два разных действия. в двух последовательных испытаниях.В-третьих, на занятиях 10, 22, 44 и 45 экспериментатор спросил: «С кем вы [действуете]?» и подкрепление зависело от выбора посуды, которая соответствовала действию. В-четвертых, на занятиях 11, 38 и 44 экспериментатор давал Нине описательную обратную связь после правильного выполнения (например, «правильно, ты топнул оленя»). В-пятых, в сеансах 12, 45, 46 и 47 экспериментатор разделял инструкции в соответствии с этой процедурой: экспериментатор произносил действие, Нина выбирала посуду, экспериментатор произносил название картинки, а Нина выполняла комбинацию действия и изображения. .В-шестых, на занятиях 38, 40 и 43 экспериментатор не подкреплял подсказанные ответы после ошибок, а затем повторно представил инструкцию с доставленным предпочтительным предметом в зависимости от правильного ответа. В-седьмых, в сеансах с 55 по 58 экспериментатор представил изображение автомобиля (ранее известного) в одиночку и подсказал и усилил четыре действия из подматриц 1 и 2 с автомобилем.
Процедурная целостность
Для измерения процедурной целостности, правильно реализованные шаги обучения были определены как следование набору сценариев в соответствии с шагами с 1 по 7 в Процедуре.Например, на шаге 1 (ниже) экспериментатор представил картинку в одиночку, дал инструкцию, смоделировал реакцию действия, сказал «сделай это», представил чистую картинку и инструкцию, физически руководил ответом, хвалил и давал подкрепление, зависящее от правильного ответа. Наблюдатели также измерили правильно выполненные шаги в зонде, определяемом как экспериментатор, следующий сценарию для проведения сеансов зонда. Это включало выполнение инструкций по разминке, представление тестового листа с правильными инструкциями, закрепление правильных ответов и представление известных инструкций после четырех-шести неправильных ответов.Второй наблюдатель независимо измерил целостность процедур обучения и проверки в 22–24% случайно выбранных сеансов проверки и обучения среди участников. Целостность рассчитывалась путем деления правильно выполненных шагов на сумму правильно и неправильно выполненных шагов и преобразования отношения в процент. Средняя честность составила 95% для Мэтта и 99% для Рекса, Трея и Нины (диапазон для участников от 91% до 100%). Средняя целостность выполнения процедур проверки, как описано, составила 94% (диапазон от 94% до 100%) по участникам, фазам и подматрицам, за исключением среднего значения целостности 50% (диапазон от 0% до 100%) для подматрицы. 3 дрессировки Рекса.Эта оценка в 0% была получена, когда наблюдатели измерили только два ответа за сеанс, и по этим двум ответам возникли разногласия.
Социальная значимость
После исследования данные о социальной значимости были собраны у семи респондентов: учителя Рекса, учителя Нины, логопеда участников, директора школы, матерей Мэтта и Рекса и воспитательницы детского сада. Экспериментатор объяснил процедуры и результаты исследования, и респонденты смотрели 1-2-минутные видеоклипы с зондами в начале и в конце исследования, а также процедуры обучения.Респонденты заполнили анкету с семью вопросами, задавая вопросы о процедурах с использованием 7-балльной шкалы Лайкерта (например, насколько вам нравятся процедуры обучения? Насколько вы уверены, что эти процедуры будут эффективными? матричное обучение?). В семи дополнительных вопросах респондентам предлагалось оценить свое согласие с утверждениями о результатах по 7-балльной шкале Лайкерта (например, учащийся освоил языковые навыки, учащийся приобрел предакадемические навыки, учащийся более подготовлен к детскому саду, стратегии обучения были более эффективными. чем типичные стратегии обучения, основываясь на результатах, я бы рекомендовал стратегии обучения).Мы также задавали открытые вопросы относительно сильных и слабых сторон процедур и результатов. Респонденты оценили процедуры в среднем на 5,9 и результаты на 6,1, где 1 было не согласен или неприемлемо и 7 было полностью согласен или приемлемо . Часто упоминавшееся беспокойство вызывало переносимость процедур обучения и матричной стратегии из индивидуальной обстановки в классную ситуацию.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Данные для правильного выполнения инструкций в датчиках отображаются в сквозном.Мэтт был правильным на 0% на исходном уровне в подматрице (S) 1 и почти на 50% правильным в S2 – S4 (). Обучение неизменно давало 100% правильного ответа на диагональные обученные инструкции и от 70% до 100% правильных ответов на недиагональные необученные инструкции. Поддержание ответа составляло от 80% до 100%, за исключением двух проверок недиагональных нетренированных инструкций в S1 с 50% правильностью. Результаты для Rex () были аналогичны результатам Мэтта. Базовый уровень отклика Rex был равен или близок к 0% в S1 и S2, 0% для диагональных инструкций в S3 и S4 и около 50% для недиагональных инструкций в S3 и S4.Ему потребовалось на несколько тренировок больше, чем Мэтту, чтобы соответствовать критериям S1 и S2. Техническое обслуживание было на 100% правильным во всех сеансах, кроме одного.
Процент Мэтта правильных диагональных обученных и недиагональных необученных инструкций, следующих по 36 инструкциям в матрице.
Процент Рекса правильных диагональных обученных и недиагональных необученных инструкций, следующих по 36 инструкциям в матрице.
Процент Нины правильных диагональных обученных и недиагональных необученных инструкций, следующих по 36 инструкциям в матрице.Вертикальные пунктирные линии показывают, что была обучена новая ячейка. Звездочки указывают, когда были внесены изменения в процедуру.
Трей был правильным на 0% на исходном уровне в S1 и S2 (). Он прошел обучение по всем четырем инструкциям от S1 и на 0% правильно выполнял недиагональные необученные инструкции. На этапе S2 он соответствовал критериям двух диагональных инструкций, но его поведение не было обобщающим, поэтому он был обучен дополнительной инструкции («выделите оленя», представленного пунктирной линией на графике).После соответствия критерию этих трех инструкций была применена третья модификация процедуры (т. Е. Указание на правильную посуду и высказывание «да, [действие] [изображение]»). Это привело к первоначальному снижению, а затем увеличению правильного ответа на обученные инструкции (занятия с 46 по 51). После того, как 10 инструкций прошли обучение в рамках модификации (четыре были усилены только один раз), две необученные инструкции были на 100% правильными. После этих выступлений количество правильных ответов Трея на все инструкции в S3 и S4 увеличилось до 80–100% без обучения.Ответ поддерживался на уровне от 70% до 100% правильных.
Процент Трея правильных диагональных обученных и недиагональных необученных инструкций, следующих по 36 инструкциям в матрице. Вертикальные пунктирные линии показывают, что была обучена новая ячейка. Звездочка указывает, когда была внесена модификация процедуры.
Для Нины исходный ответ был правильным на 0% в S1 и S2 (). Она следовала одной необученной инструкции после тренировки по трем инструкциям в S1. В S2 она соответствовала критериям пяти обученных инструкций, и неподготовленный ответ был правильным на 20-50%.В S2 не соблюден критерий перехода к новой подматрице. Поскольку нетренированный ответ в S1 не поддерживался, он был повторно обучен с последующим 100% правильным ответом на все инструкции в S1 в условиях обслуживания. Ответ в S3 и S4 оставался правильным на уровне 0%, за исключением последнего зонда в S4.
В двух дополнительных матрицах действий 6 × 6 с ранее известными изображениями и действиями с ранее известными буквами и цифрами Мэтт, Рекс и Трей были правильными на 0% до обучения.В конце исследования Мэтт, Рекс и Трей были правильными на 83%, 97% и 94% в тестах действий с ранее известными картинками и на 92%, 94% и 89% верных в тестах действий с буквы и цифры соответственно. Мы не проводили исследования с Ниной, потому что она не заполнила первичную матрицу.
Что касается общего обучения, Мэтт и Рекс были обучены непосредственно шести инструкциям (т. Е. По диагонали) и были проверены на 102 необученных инструкциях. Мэтт правильно ответил на 93 необученных инструкции.Это составляет 94% обучения без прямого обучения и 91% правильных ответов по необученным инструкциям (). Рекс правильно выполнил 99 необученных инструкций, что составляет 94% обучения без прямого обучения и 97% правильно по необученным инструкциям. Трей прошел обучение по 14 инструкциям и выполнил 89 инструкций без прямого обучения. Это составляет 86% обучения без прямого обучения и 95% правильных ответов по необученным инструкциям.
Таблица 1
Правильный обученный и нетренированный ответ, процент обучения без прямого обучения и процент правильного ответа на нетренированных клетках
ОБСУЖДЕНИЕ
Размещение действий, картинок, букв и цифр в матрицах и обучение подмножества действий – картинок инструкции неизменно приводили к необученным инструкциям трех из четырех дошкольников с аутизмом.Эти результаты согласуются с предыдущими исследованиями, которые продемонстрировали рекомбинантное обобщение с последующими инструкциями (Goldstein et al., 1987; Goldstein & Brown, 1989; Goldstein & Mousetis, 1989; Mineo & Goldstein, 1990; Nigam, Schlosser, & Lloyd, 2006; Striefel. et al., 1978), маркировка (Dauphin et al., 2004; Goldstein, 1983b; Karlan et al., 1982; Light, Watson, & Remington, 1990; Remington et al., 1990), чтение (de Souza et al. ., 2009; Mueller, Olmi, & Saunders, 2000; Saunders, O’Donnell, Vaidya, & Williams, 2003) и правописание (de Rose, de Souza, & Hanna, 1996; Hanna, de Souza, de Rose, & Fonseca, 2004; Melchiori, de Souza, & de Rose, 2000).Результаты расширяют литературу, демонстрируя рекомбинативное обобщение с дошкольниками с аутизмом, а также нацеливаясь на навыки письма и выбора картинок. Поскольку участники продемонстрировали навыки письма новыми способами с использованием букв и цифр, полученные результаты пополнили относительно небольшой объем литературы по обучению грамоте детей с аутизмом (Koppenhaver & Erickson, 2003; Teale & Sulzby, 1986).
Самым большим преимуществом матричного обучения является его эффективность, которая достигается в первую очередь за счет обучения только по диагонали матрицы.Гольдштейн (1983a) рекомендовал тренироваться не только по диагонали, когда отдельные компоненты неизвестны. Эта рекомендация не была подтверждена данными Мэтта и Рекса, поскольку эти два участника прошли обучение только по диагонали. Тем не менее, рекомендация была поддержана данными Трея и Нины, поскольку этим участникам требовалось обучение не только по диагонали, прежде чем возникнет необученный ответ. Для Мэтта, Рекса и Трея 94%, 94% и 86% обучения происходили без прямого обучения, соответственно.Эти результаты согласуются с Goldstein (1983b), Goldstein et al. (1987) и Goldstein and Mousetis (1989), в которых на неподготовленные ответы приходилось 56–75%, 94–98% и 95–98% обучения, соответственно.
Следование необученной инструкции может быть объяснено с точки зрения установления управления стимулом каждого компонента инструкции над ответом. Два компонента инструкции осуществляли управление в определенном порядке следующим образом: часть действия инструкции вызвала выбор определенного прибора, часть изображения инструкции вызвала выбор определенного изображения и часть действия инструкции вызвал производство определенного действия.После того, как управление стимулом было установлено с помощью обученных инструкций, термины в инструкции могут быть заменены другими обученными терминами для управления новой реакцией на действие-изображение. Мэтт и Рекс относительно легко попали под контроль инструкций с новыми комбинациями, в то время как Трею и Нине потребовалось обширное обучение новым расположениям терминов в инструкции для осуществления контроля. Матричное обучение может быть эффективным для получения обобщенных результатов, разделяя особенности с общим кейс-программированием (Stokes & Baer, 1977), техникой воздействия на человека всех типов стимулов, встречающихся в обстановке обобщения.Диагональная тренировка обеспечивает воздействие на все стимулы, встречающиеся в обобщающих пробах.
Непонятно, почему четыре участника по-разному отреагировали на матричное обучение. Одним из ограничений исследования было отсутствие данных предварительной оценки способности каждого ребенка выполнять двухэтапные инструкции; Эта информация может идентифицировать отвечающих и не ответивших на обучающие инструкции, состоящие из двух частей. Как ни странно, Рекс охотно выполнял сложные инструкции, а Мэтту, Трею и Нине часто требовалось множество подсказок, чтобы выполнить одношаговые инструкции.Когда ему давали необученные инструкции, Трей демонстрировал жесткую реакцию: он часто брался за письменные принадлежности, но не хватался за них, а затем указывал на картинку. Только после того, как он был обучен методической модификации на множестве примеров, он начал выполнять необученные ответы. Нина не соответствовала критерию необученного ответа в Уровне 2 и не завершила обучение, что является явным ограничением исследования. Ограниченное время в школе не позволяло продолжить обучение. Ошибки Нины часто заключались в выполнении обученного действия с изображением, когда ей предлагали выполнить другое действие с изображением.Например, после правильного ответа на «положить X на ленту» и «выделить лук» (обучено), она выделила лук, когда его попросили «положить X на лук». Ответ оказался в большей степени под контролем части инструкции с изображением, чем части действия, возможно потому, что часть изображения находилась ближе к ответу. Эта проблема обучения похожа на блокировку стимулов (Fields, 1979; Partington, Sundberg, Newhouse, & Spengler, 1994) и избыточную селективность (Dickson, Deutsch, Wang, & Dube, 2006; Lovaas, Koegel, & Schreibman, 1979), в которых ребенок с аутизмом сосредотачивается на нерелевантных характеристиках стимула.Этот шаблон ошибки послужил основанием для процедурных модификаций, когда Нина сначала реагировала на действие (выбирая посуду), а затем реагировала на картинку, а также быстро чередовала испытания с разными действиями с одной и той же картинкой.
Правильная исходная реакция Мэтта, Рекса и Трея была еще одним ограничением исследования, и возможны три источника. Во-первых, на этапах S2, S3 и S4 участники могли выбрать правильную картинку посредством обучения путем исключения (Ferrari, de Rose, & McIlvane, 1993).То есть они могли выбрать изображения, отличные от ранее обученных (например, в S1), и отличные от отвлекающих изображений, которые они правильно выбрали в некоторых предварительных испытаниях. Во-вторых, в то время как в ранних исследованиях Трей указывал на одну и ту же картинку при представлении необученных инструкций, в S3 и S4 он указывал на множество различных картинок, и подкрепление могло облегчить контроль стимула. Условное усиление зондов — одно из возможных ограничений исследования. Матричные исследования обучения были смешанными с точки зрения программирования условного подкрепления в пробах (Goldstein et al., 1987; Hanna et al., 2004; Saunders et al., 2003; Striefel et al., 1978). Striefel et al. утверждал, что усиленное реагирование методом проб и ошибок является жестким условием контроля, более приближенным к естественным условиям, чем условие зонда с исчезновением для правильного реагирования. Третье объяснение базовой реакции заключается в том, что после того, как участники научились правильно реагировать на инструкции в форме «выполнить действие на картинке», тренировка могла привести к тому, что силовые репертуары были слишком слабыми, чтобы их можно было обнаружить в предварительных оценках или предыдущих базовых показателях. зонды.Например, до исследования Трей не мог нарисовать круг, но он мог восприимчиво идентифицировать круг. После обучения рисованию определенных фигур на картинках, он смог нарисовать круг на картинках без прямого обучения.
Дальнейшие исследования должны устранить ограничения и расширить наши знания о матричном обучении. Данные Нины указывают на необходимость изучения методов развития сложного управления вербальными стимулами, и исследования в этой области ограничены. Общие стратегии включают в себя побуждение внутри стимула, в котором каждый компонент вербального стимула является более заметным (Summers, Rincover, & Feldman, 1993; Wolfe & Cuvo, 1978) и требование дифференциальной реакции наблюдения на каждый компонент вербального стимула (Dube & Макилвейн, 1999; Уолпол, Роско и Дьюб, 2007).В этих исследованиях в основном использовались зрительные стимулы, и необходимы дополнительные исследования для применения этих методов к голосовым вербальным стимулам. Исследователи должны оценивать управление вербальным стимулом, манипулируя порядком слов в двухкомпонентных инструкциях, потому что у некоторых учеников ответ может быть ограничен вторым компонентом. Стратегии сокращения исходных ответов в будущих исследованиях по матричной подготовке включают использование более строгих критериев предварительной оценки для неизвестных ответов и отказ от усиления проверенных ответов.Ненужные переменные можно было бы использовать для минимизации обучения во время базового уровня, что позволило бы провести дальнейший анализ свойств управления стимулом при матричном обучении. Что касается других репертуаров, матрицы могут включать буквы и слова с теми же действиями, которые использовались в этом исследовании, а также буквы и слова на вертикальной оси и предлоги на горизонтальной оси (например, «напишите кровать под рамкой», « напишите обувь рядом с полем »). Это можно поменять местами, чтобы участники касались «под кроватью » и «рядом с обувью ».«Матричная тренировка оценивалась исключительно путем следования инструкциям, маркировки и чтения. Его можно экстраполировать на запрос или требование, попросив участников запросить подкрепление с прилагательными (например, «Я хочу красный леденец», «Я хочу синий грузовик»). Репертуары разговорного типа (то есть интравербальные; Скиннер, 1957) можно было проанализировать с помощью матричного тренинга, когда участники отвечали на двухкомпонентные фразы (например, «Что такое красная еда?» «Что такое желтый напиток?»). Наконец, особенно потому, что респонденты интересовались этим при оценке социальной валидности, будущие исследователи должны изучить подготовку учителей и терапевтов по раннему интенсивному поведенческому вмешательству, чтобы упорядочить цели обучения в матрицах, чтобы способствовать эффективному обучению.
Текущее исследование имеет практическое значение как для студентов, так и для учителей. Учащиеся дошкольного возраста, обученные навыкам, полученным в ходе этого исследования, скорее всего, будут подготовлены к рабочим листам начальной школы, например, к тем, которые требуют от учащихся «обвести все пятерки», «поставить треугольник на все четверки» и так далее. Кроме того, респондент, ответивший на вопросник о социальной валидности, предположил, что навыки, рассматриваемые в этом исследовании, важны для стандартизированного тестирования. Обучение маленьких детей навыкам (например,g., письмо, дискриминация), необходимые для прохождения стандартизированного тестирования, могут помочь улучшить репертуар сдачи экзаменов и улучшить результаты тестов. Для учителей матричное обучение предлагает высокоэффективную стратегию обучения, на которой учителя и терапевты должны извлечь выгоду. Учителя и терапевты, работающие с детьми с аутизмом, часто обладают множеством навыков, которые им необходимо использовать. Чтобы помочь детям с аутизмом приобрести языковые навыки и навыки грамотности, необходимые для достижения успеха, необходимо упорядочить навыки в матрицах с двумя или более типами слов, которые преподаются одновременно, и обучение программированию, возникающее без прямого обучения.
Благодарности
Работа основана на докторской диссертации первого автора. Мы благодарим Эшли Кремер, Алейну Хаберлин, Джесси Чанг, Маноэля Родригес-Нето, Ленвуда Гибсона и Рут ДеБар за их помощь в сборе данных. Мы также благодарим Уильяма Хьюарда, Нэнси Ниф, Майкла Кэмерона и анонимных рецензентов за их полезные комментарии к предыдущим черновикам этой статьи.
ССЫЛКИ
- Cooper J.O, Heron T.E, Heward W.L. Прикладной анализ поведения (2-е изд.) Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон; 2007. [Google Scholar]
- Dauphin M, Kinney E.M, Stromer R. Использование расписаний занятий с улучшенными видео и матричного обучения для обучения социодраматической игре ребенка с аутизмом. Журнал позитивных поведенческих вмешательств. 2004; 6: 238–250. [Google Scholar]
- Дентон К., Уэст Дж. Успеваемость детей в детском саду и первом классе по чтению и математике. Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США, Национальный центр статистики образования; 2002. [Google Scholar]
- de Rose J.C, де Соуза Д.Г., Ханна Э.С. Обучение чтению и правописанию: исключение и эквивалентность стимулов. Журнал прикладного анализа поведения. 1996. 29: 451–469. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- de Souza DG, de Rose JC, Faleiros TC, Bortoloti R, Hanna ES, McIlvane WJ Обучение генеративному чтению с помощью рекомбинации минимальных текстовых единиц: наследие вербального поведения для детей в Бразилии. Международный журнал психологии и психологической терапии. 2009; 9: 19–44. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Dickson C.A, Deutsch C.K, Wang S.S, Dube W.V. Сопоставление с выборкой избыточной селективности стимулов у учащихся с ограниченными интеллектуальными возможностями. Американский журнал по умственной отсталости. 2006; 111: 447–453. [PubMed] [Google Scholar]
- Дьюб В.В., Макилвейн У.Д. Снижение избыточной селективности стимулов с помощью невербальных дифференциальных наблюдательных реакций. Журнал прикладного анализа поведения. 1999. 32: 25–33. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Eikeseth S, Hayward D.W. Различение имен объектов и звуков объектов у детей с аутизмом: процедура обучения словесному восприятию.Журнал прикладного анализа поведения. 2009. 42: 807–812. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Феррари К., де Роуз Дж. К., Макилвейн У. Дж. Тренинг по исключению и отбору слухово-зрительных условных отношений. Журнал экспериментальной детской психологии. 1993; 56: 49–63. [PubMed] [Google Scholar]
- Филдс Л. Приобретение контроля над стимулом при введении новых стимулов при угасании. Журнал экспериментального анализа поведения. 1979; 32: 121–127. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Goldstein H.Рекомбинативное обобщение: взаимосвязь между условиями окружающей среды и лингвистическим репертуаром изучающих язык. Анализ и вмешательство в нарушения развития. 1983a; 3: 279–293. [Google Scholar]
- Гольдштейн Х. Обучение генеративных репертуаров в рамках миниатюрных лингвистических систем агент-действие-объект с детьми. Журнал исследований речи и слуха. 1983b; 26: 76–89. [PubMed] [Google Scholar]
- Гольдштейн Х, Анджело Д., Мышетис Л. Освоение и расширение синтаксического репертуара молодыми людьми с тяжелой умственной отсталостью.Исследование нарушений развития. 1987. 8: 549–574. [PubMed] [Google Scholar]
- Goldstein H, Brown W.H. Наблюдательное изучение рецептивной и выразительной речи дошкольниками-инвалидами. Образование и лечение детей. 1989; 12: 5–37. [Google Scholar]
- Goldstein H, Mousetis L. Обобщенное изучение языка детьми с тяжелой умственной отсталостью: эффекты выразительного моделирования сверстников. Журнал прикладного анализа поведения. 1989; 22: 245–259. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Hanna E.S, de Souza D.G., de Rose J.C., Fonseca M. Влияние отложенного сопоставления идентичности сконструированного ответа на написание продиктованных слов. Журнал прикладного анализа поведения. 2004. 37: 223–227. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Johnson K.R, Layng T.V.J. Преодолевая структуралистский барьер: свободное владение грамотностью и счетом. Американский психолог. 1992; 47: 1475–1490. [PubMed] [Google Scholar]
- Карлан Г. Р., Бренн-Уайт Б., Ленц А., Ходур П., Эггер Д., Фрэнкофф Д. Внедрение обобщенного продуктивного использования глагольных словосочетаний и существительных в системе ручного обучения детям с умеренными физическими недостатками.Журнал нарушений речи и слуха. 1982; 47: 31–42. [PubMed] [Google Scholar]
- Катимс Д.С., Пирс П.Л. Среда, богатая грамотностью, и переход маленьких детей с особыми потребностями. Темы специального образования для детей младшего возраста. 1995; 15: 219–234. [Google Scholar]
- Кинни Е.М., Ведора Дж., Стромер Р. Компьютерные видеомодели для обучения генеративному правописанию ребенка с расстройством аутистического спектра. Журнал позитивных поведенческих вмешательств. 2003; 5: 22–29. [Google Scholar]
- Коппенхейвер Д.A, Эриксон К. Естественная развивающаяся грамотность поддерживает дошкольников с аутизмом и серьезными коммуникативными нарушениями. Темы по языковым расстройствам. 2003. 23: 283–292. [Google Scholar]
- Layng T.V.J, Twyman J.S, Stikeleather G. Обучение инженерным открытиям: случайное приведение некоторых предшественников текстового ответа в программе для начинающих читать. Анализ вербального поведения. 2004. 20: 99–109. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Light P, Watson J, Remington B.Помимо единого знака: значение порядка знаков в матричном подходе к обучению продуктивным сочетаниям знаков. Исследование психических отклонений. 1990; 3: 161–178. [Google Scholar]
- Ловаас О.И. Поведенческое лечение и нормальное образовательное и интеллектуальное функционирование у маленьких аутичных детей. Журнал консалтинговой и клинической психологии. 1987; 55: 3–9. [PubMed] [Google Scholar]
- Ловаас О.И., Кегель Р.Л., Шрейбман Л. Сверхселективность стимулов при аутизме: обзор исследований.Психологический бюллетень. 1979; 86: 1236–1254. [PubMed] [Google Scholar]
- Маккей Х.А., Котларчик Б.Дж., Стромер Р. Классы стимулов, последовательности стимулов и генеративное поведение. В: Баер Д.М., Пинкстон Е.М., редакторы. Окружающая среда и поведение. Боулдер, Колорадо: Westview Press; 1997. С. 124–137. (Редакторы) [Google Scholar]
- Massey N.G, Wheeler J.J. Приобретение и обобщение расписаний занятий и их влияния на выполнение задач у маленького ребенка с аутизмом в инклюзивном дошкольном классе.Образование и обучение при умственной отсталости и пороках развития. 2000. 35 ((3)): 326–335. [Google Scholar]
- Melchiori L.E, de Souza D.G, de Rose J.C. Чтение, эквивалентность и рекомбинация единиц: повторение с учениками с разным опытом обучения. Журнал прикладного анализа поведения. 2000; 33: 97–100. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Минео Б.А., Гольдштейн Х. Обобщенное изучение рецептивных и экспрессивных реакций объекта действия у дошкольников с задержкой речи.Журнал нарушений речи и слуха. 1990; 55: 665–678. [PubMed] [Google Scholar]
- Миренда П. «На самом деле он не читает…» Перспективы поддержки развития грамотности у людей с аутизмом. Темы по языковым расстройствам. 2003. 23: 271–282. [Google Scholar]
- Mueller M.M, Olmi D.J, Saunders K.J. Рекомбинативное обобщение внутрислоговых единиц у детей до чтения. Журнал прикладного анализа поведения. 2000; 33: 515–531. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Nation K, Clarke P, Wright B, Williams C.Особенности чтения у детей с расстройством аутистического спектра. Журнал аутизма и нарушений развития. 2006; 36: 911–919. [PubMed] [Google Scholar]
- Ньюборг Дж., Сток Дж. Р., Винек Л., Гвидубальди Дж., Свиницки Дж. Анализ развития Баттелля. Итаска, Иллинойс: Риверсайд; 1994. [Google Scholar]
- Нигам Р., Шлоссер Р. У., Ллойд Л. Л. Совместное использование матричной стратегии и процедуры манд-модели в обучении комбинациям графических символов. AAC: дополнительное и альтернативное общение.2006. 22: 160–177. [PubMed] [Google Scholar]
- Закон 2001 г. «Ни один ребенок не останется без внимания», 20 U.S.C. 70 § 6301 и последующие (2002).
- Partington J.W, Sundberg M.L, Newhouse L, Spengler S.M. Преодоление неспособности аутичного ребенка овладеть репертуаром такта. Журнал прикладного анализа поведения. 1994; 27: 733–734. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Rapin I. Язык и общение: клиническая оценка и дифференциальный диагноз. В: Tuchman R, Rapin I, редакторы. Аутизм: неврологическое расстройство раннего развития мозга.Лондон: Mac Keith Press; 2006. С. 51–67. (Редакторы) [Google Scholar]
- Рехфельдт Р.А., Барнс-Холмс Ю. Созданы приложения для реагирования на взаимоотношения для учащихся с аутизмом и другими нарушениями развития: прогрессивное руководство к изменениям. Окленд, Калифорния: New Harbinger; 2009. [Google Scholar]
- Ремингтон Б., Уотсон Дж., Лайт П. Помимо единого знака: матричный подход к обучению продуктивным сочетаниям знаков. Исследование психических отклонений. 1990; 3: 33–50. [Google Scholar]
- Ройд Г.H, Международная шкала результатов деятельности Миллера Л.Дж. Лейтера — пересмотренная. Вуд Дейл, Иллинойс: Стултинг; 1995. [Google Scholar]
- Сондерс К.Дж., О’Доннелл Дж., Вайдья М., Уильямс Д.К. Рекомбинативное обобщение внутрисложных единиц у нечитающих взрослых с умственной отсталостью. Журнал прикладного анализа поведения. 2003; 36: 95–99. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Сидман М. Эквивалентность стимулов: история исследования. Бостон: Кооператив авторов; 1994. [Google Scholar]
- Скиннер Б.F. Вербальное поведение. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл; 1957. [Google Scholar]
- Стокс Т., Баер Д. Неявная технология обобщения. Журнал прикладного анализа поведения. 1977; 10: 349–367. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Стрифель С., Уэтерби Б., Карлан Г. Развитие обобщенного поведения следования инструкциям у людей с тяжелой умственной отсталостью. В: Мейерс К.Э, редактор. Качество жизни людей с тяжелой и глубокой умственной отсталостью: основы исследования для улучшения.Вашингтон, округ Колумбия: Американская ассоциация психических расстройств; 1978. С. 267–326. (Ред.) [Google Scholar]
- Саммерс Дж. А., Ринковер А., Фельдман М. А. Сравнение внестимульных и внутренних стимулов, побуждающих преподавать предлоговую дискриминацию дошкольников с отклонениями в развитии. Журнал поведенческого образования. 1993; 3: 287–298. [Google Scholar]
- Sundberg M.L, Partington J.W. Обучение языку детей с аутизмом или другими отклонениями в развитии. Плезант Хилл, Калифорния: поведенческие аналитики, Inc; 1998 г.[Google Scholar]
- Тил В.Х., Сульцби Э. Эмерджентная грамотность: письмо и чтение. Норвуд, Нью-Джерси: Ablex; 1986. [Google Scholar]
- Touchette P.E, Howard J.S. Безошибочное обучение: непредвиденные обстоятельства подкрепления и передача управления стимулом при отложенных подсказках. Журнал прикладного анализа поведения. 1984. 17: 175–188. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Уолпол К.В., Роско Е.М., Дьюб В.В. Использование дифференциальной реакции наблюдения для расширения контроля ограниченного стимула.Журнал прикладного анализа поведения. 2007. 40: 707–712. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]
- Wolfe V.F, Cuvo A.J. Влияние внутреннего и дополнительного стимула на распознавание букв умственно отсталыми людьми. Американский журнал умственной отсталости. 1978; 3: 297–303. [PubMed] [Google Scholar]
- Йелл М.Л., Драсгоу Э., Лоури К.А. Ни один ребенок не остался без внимания и студенты с расстройствами аутистического спектра. Сосредоточьтесь на аутизме и других нарушениях развития. 2005. 20: 130–139.[Google Scholar]
(PDF) Использование матричного обучения для развития генеративного языка у детей с аутизмом
, дифференцированное между Матрицей 1 и обобщенной матрицей
после диагонального обучения. Таким образом,
, мы не можем с уверенностью сказать, будет ли обучение
каких-либо трех конкретных целей и зондирование
на предмет появления необученных ответов
столь же эффективным, как размещение целей в матрице
и тренировка диагональных целей.
Феномен рекомбинативной генерализации
, кажется, предлагает клиницистам высокоэффективную стратегию быстрого создания значимых языковых
изменений. Этот тип работы будет служить
для продолжения разработки вмешательств, которые
производят гибкие, генеративные вокальные высказывания для
учащихся с РАС.
ССЫЛКИ
Аккардо, П. Дж., И Капуте, А. Дж. (2005). Шкала Capute:
Когнитивный адаптивный тест / Клиническая лингвистика и слух
Milestone Scale (CAT / CLAMS).Балтимор, Мэриленд:
Брукс.
Американская психиатрическая ассоциация. (2013). Диагностическое и
статистическое руководство по психическим расстройствам (5-е изд.).
Вашингтон, округ Колумбия: Автор.
Axe, J. B., & Sainato, D. M. (2010). Матричная тренировка
допграмотных дошкольников с аутизмом. Журнал
, журнал прикладного анализа поведения, 43, 635–652.
DOI: 10.1901 / jaba.2010.43-635
Браун Р. (1973). Первый язык: ранние стадии.
Лондон, Великобритания: Allen & Unwin.
Купер, Дж. О., Херон, Т. Э., и Хьюард, У. Л. (2007).
Прикладной анализ поведения (2-е изд.). Колумбус, Огайо:
Меррилл.
Эйгсти, И.-М., Беннетто, Л., и Дадлани, М. Б. (2007).
Вне прагматики: морфосинтаксическое развитие
аутизма. Журнал аутизма и нарушений развития,
37, 1007–1023. DOI: 10.1007 / s10803-006-0239-2
Эллиотт, К. Д. (2007). Шкалы дифференциальных способностей (2-е изд.).
Сан-Антонио, Техас: Оценка Харкорта.
Гольдштейн, Х. (1983). Рекомбинативное обобщение: взаимосвязи между условиями окружающей среды и лингвистическим репертуаром изучающих язык
. Анализ и
Вмешательство при нарушениях развития, 3 (4),
279–293. DOI: 10.1016 / 0270-4684 (83)
-2
Goldstein, H., Angelo, D., & Mousetis, L. (1987). Приобретение
и расширение синтаксического репертуара
молодежи с тяжелой умственной отсталостью.Исследования в области развития —
Психические расстройства, 8, 549–574. DOI: 10.1016 / 0891-
4222 (87)
-0
Goldstein, H., & Brown, W.H. (1989). Наблюдательный
Изучение рецептивного и выразительного языка
детей дошкольного возраста с ограниченными возможностями. Образование и лечение —
детей, 12, 5–37.
Goldstein, H., & Mousetis, L. (1989). Обобщенный язык —
, обучение детей с тяжелой умственной отсталостью —
dation: Эффекты экспрессивного моделирования сверстниками.Журнал
прикладного анализа поведения, 22, 245–259.
doi: 10.1901 / jaba.1989.22-245
Ханна, Э. С., де Соуза, Д. Г., де Роуз, Дж. К., &
Фонсека, М. (2004). Влияние отложенного сопоставления идентификаторов
ответов на написание
продиктованных слов. Журнал прикладного анализа поведения, 37,
223–227. DOI: 10.1901 / jaba.2004.37-223
Hübner, M. M. C., Gomes, R. C., & McIlvane, W. J.
(2009).Рекомбинативное обобщение в минимальной вер-
балльной единице обучения чтению для предварительного чтения
детей. Экспериментальный анализ поведения человека
Бюллетень, 27,11–17.
Карлан Г. Р., Бренн-Уайт Б., Ленц А., Ходур П.,
Эггер Д. и Фрэнкофф Д. (1982). Установление обобщенного, продуктивного употребления глагол-существительных словосочетаний в ручной языковой системе
с умеренно умелыми
детьми. Журнал речи и слуха
Disorders, 47, 31–42.DOI: 10.1044 / jshd.4701.31
Колер, К. Т., и Малотт, Р. В. (2014). Матрица обучения
ивербальной генеративности у детей с аутизмом.
Анализ вербального поведения, 30, 170–177. DOI:
10.1007 / s40616-014-0016-9
Лайт, П., Уотсон, Дж. и Ремингтон, Б. (1990). За пределами
единый знак: значение порядка знаков в матричном подходе
к обучению продуктивным знакам
комбинаций. Исследование психических отклонений, 3,
161–178.DOI: 10.1111 / j.1468-3148.1990.tb00034.x
Lord, C., Rutter, M., DiLavore, P. C., & Risi, S. (1999).
График наблюдения при диагностике аутизма: Руководство. Лос
Анхелес, Калифорния: Западные Психологические Службы.
Ловаас, О. И., Кегель, Р. Л., и Шрейбман, Л. (1979).
Сверхселективность стимулов при аутизме: обзор исследований
. Психологический бюллетень, 86, 1236–1254.
doi: 10.1037 // 0033-2909.86.6.1236
Луйстер, Р.Дж., Кадлец, М. Б., Картер, А., и Тагер —
Флусберг, Х. (2008). Оценка и развитие языка
у детей ясельного возраста с расстройствами аутистического спектра.
Журнал аутизма и нарушений развития, 38,
1426–1438. DOI: 10.1007 / s10803-007-0510-1
Mineo, B. A., & Goldstein, H. (1990). Обобщенное обучение —
рецептивных и экспрессивных ответов объекта действия
дошкольниками с задержкой речевого развития. Журнал речи
и нарушения слуха, 55, 665–678.DOI: 10.1044 /
jshd.5504.665
Моди, М., и Белливо, Дж. У. (2013). Нарушения речи и языка
при аутизме: выводы из поведения
и нейровизуализации. Североамериканский журнал медицины
, кино и наука, 5, 157–161. DOI: 10.7156 / v5i3p157
Мюллер, М. М., Олми, Д. Дж., и Сондерс, К. Дж. (2000).
Рекомбинативное обобщение внутрисложных единиц
у детей до чтения. Журнал прикладного поведения
Анализ, 33, 515–531.DOI: 10.1901 / jaba.2000.33-515
Пол Р. (2008). Вмешательства для улучшения общения
при аутизме. Детская и подростковая психиатрическая клиника, 17,
835–856. doi: 10.1016 / j.chc.2008.06.011
SARAH E. FRAMPTON et al.14
Модель в пространстве состояний — MATLAB
Сетка выборки для массивов моделей, заданных как массив структур.
Используйте SamplingGrid для отслеживания значений переменных, связанных с каждой моделью в модельном массиве, включая идентифицированные линейные не зависящие от времени (IDLTI) массивы моделей.
Задайте имена полей структуры в соответствии с именами переменных выборки. Задайте значения поля для значений выборки переменных, связанных с каждой моделью в массиве. Все переменные выборки должны быть числовыми скалярами, и все массивы выборочных значений должны соответствовать размерам массива модели.
Например, вы можете создать массив линейных моделей размером 11 на 1, sysarr , сделав моментальные снимки линейной изменяющейся во времени системы на временах t = 0:10 . Следующий код хранит образцы времени с линейными моделями.
sysarr.SamplingGrid = struct ('time', 0: 10) Точно так же вы можете создать массив модели 6 на 9, M , путем независимой выборки двух переменных, zeta и w . Следующий код отображает значения (дзета, w) на M .
[дзета, w] = ndgrid (<6 значений дзета>, <9 значений w>)
M.SamplingGrid = struct ('zeta', zeta, 'w', w) Когда вы отображаете M , каждая запись в массиве включает соответствующие значения zeta и w .2 + 3,5 с + 25
…
Для массивов моделей, сгенерированных путем линеаризации модели Simulink ® при множественных значениях параметров или рабочих точках, программное обеспечение автоматически заполняет SamplingGrid значениями переменных, которые соответствуют каждой записи в массиве. Например, Simulink
Команды Control Design ™ линеаризуют (Simulink Control Design) и slLinearizer (Simulink Control Design) автоматически заполняют SamplingGrid .
По умолчанию SamplingGrid — это структура без полей.
| Часть C | |||
|---|---|---|---|
| Теория моделей C1.1 | |||
| C1.2 Теоремы Гёделя о неполноте | |||
| C1.3 Аналитическая топология | |||
| C2.1 Алгебры Ли | |||
| C2.2 Гомологическая алгебра | |||
| C2.3 Теория представлений полупростых алгебр Ли | |||
| C2.4 Бесконечные группы | |||
| C2.5 Некоммутативные кольца | |||
| C2.7 Теория категорий | |||
| C3.1 Алгебраическая топология | |||
| C3.2 Геометрическая теория групп | |||
| C3.3 дифференцируемых коллектора | |||
| C3.4 Алгебраическая геометрия | |||
| C3.5 Группы Ли | |||
| C3.7 Эллиптические кривые | |||
| C3.8 Аналитическое число | Аналитическое число .9 Вычислительная алгебраическая топология | ||
| C3.10 Аддитивная и комбинаторная теория чисел | |||
| C3.11 Риманова геометрия | |||
| C4.1 Дополнительный функциональный анализ | |||
| C4.3 Функциональные аналитические методы для PDE | |||
| C4.6 Методы с фиксированной точкой для нелинейных PDE | |||
| C4.8 Комплексный анализ: конформные карты и геометрия | C4.9 Оптимальные уравнения переноса и дифференциальные уравнения в частных производных | ||
| C5.1 Механика твердого тела | |||
| C5.2 Упругость и пластичность | |||
| C5.3 Статистическая механика | |||
| Сети C5.4 | |||
| C5.5 Методы возмущений | |||
| C5.6 Прикладные комплексные переменные | |||
| C5.7 | C5.7 | 9060 Темы в Fluid C5.9 Математическая механическая биология||
| C5.11 Математические науки о Земле | |||
| C5.12 Математическая физиология | |||
| C6.1 Числовая линейная алгебра | |||
| C.2 Непрерывная оптимизация | |||
| C6.3 Аппроксимация функций | |||
| C6.4 Метод конечных элементов для УЧП | |||
| C6.5 Теории глубокого обучения | |||
| C6) | |||
| C7.4 Введение в квантовую информацию | |||
| C7.5 Общая теория относительности I | |||
| C7.6 Общая теория относительности II | |||
| C7.7 Теория случайных матриц | |||
| C8.1 Стохастические дифференциальные уравнения | |||
| C8.2 Стохастический анализ и УЧП | |||
| C8.3 Комбинаторика | |||
| Комбинатор | C | C8.5 Введение в эволюцию Шрамма-Лёвнера | |
| C8.6 Предельные теоремы и большие отклонения в вероятности | |||
| ПЗС-диссертации по математической теме | |||
| ХПК по истории математики | |||
| Введение в LaTeX |
Курсы
Курс охватывает проектирование систем управления с линейной обратной связью, выбираемых из следующих: компенсаторы запаздывания; контроллеры размещения столбов; обратная связь по переменной состояния и наблюдатели; линейно-квадратичное оптимальное управление, стохастические системы, системы с выборочными данными и компьютерное управление; фазовая плоскость и методы описания функций для нелинейных систем.Предварительные требования: EE 3064.
EE 3064 : Управление с обратной связью Этот курс знакомит с анализом и проектированием линейных систем управления с обратной связью; моделирование физических систем, технических характеристик, чувствительности и установившейся ошибки; Тесты на стабильность Рауса-Гурвица и Найквиста; использование методов корневого годографа и частотной характеристики для анализа производительности системы и проектной компенсации (опережение / запаздывание и ПИД-регуляторы) для соответствия техническим характеристикам.Студенты анализируют и проектируют системы управления с помощью математических пакетов в компьютерной лаборатории, работающей через неделю. Курс закладывает основы теории управления с обратной связью для использования в более продвинутых курсах; знакомит с концепциями и практиками проектирования систем управления; и разрабатывает оборудование с пакетами компьютерного проектирования для проектирования и моделирования.
Предварительные требования: EE 3054 (C- или выше) и PH 2023.
EL 5213 : Введение в системную инженерию Этот курс знакомит с основами процесса системной инженерии.Темы: Методология мультидисциплинарных систем, проектирование и анализ сложных систем. Краткая история системной инженерии. Математические модели. Целевые функции и ограничения. Инструменты оптимизации. Темы, которые будут охвачены, включают идентификацию, определение проблемы, синтез, анализ и оценку деятельности на этапах концептуального и предварительного проектирования системы. Анализ решений и теория полезности. Анализ информационных потоков в организациях. Элементы системного менеджмента, включая стили принятия решений, обработку человеческой информации, организационные процессы принятия решений и проектирование информационных систем для планирования и поддержки принятия решений.Основы экономического моделирования и анализа. Разработка требований, расчет стоимости жизненного цикла, планирование и анализ рисков. Применение инструментов автоматизированного системного проектирования (CASE).
EL 5223 : Робототехника на основе датчиков Курс охватывает механизмы роботов, кинематику руки робота (прямая и обратная кинематика), динамику руки робота (формулы Эйлера-Лагранжа, Ньютона-Эйлера и гамильтониана), кинематику и динамику твердого тела с шестью степенями свободы. , кватернион, неголономные системы, планирование траектории, различные датчики и исполнительные механизмы для робототехнических приложений, исполнительные механизмы, силовой и моментный анализ, введение в управление роботизированными манипуляторами.
Необходимые условия: Статус выпускника. Необходимые условия: EE 3064 . Предварительные / Сопутствующие требования: EE 3064.
EE 5253 : Прикладная теория матриц Курс посвящен углубленному введению в теорию и применение линейных операторов и матриц в конечномерном векторном пространстве. Темы: определители, собственные значения и собственные векторы. Теория линейных уравнений. Канонические формы и жорданова каноническая форма. Матричный анализ дифференциальных и разностных уравнений.Разложение по сингулярным числам. Вариационные принципы и теория возмущений. Численные методы.
Необходимые условия: Статус выпускника, MA 2012, MA 2132, MA 2112 и MA 2122.
EL 6213 : Системное моделирование, анализ и проектирование Системное проектирование — это междисциплинарный подход и средство, позволяющее реализовать сложные системы с желаемыми характеристиками. Этот курс знакомит с основными инструментами моделирования, анализа и проектирования сложных инженерных систем.Темы этого курса включают методы моделирования и формальные структуры автоматизированной системной инженерии (CASE), инструменты CASE для решения практических проблем, связанных с системами, количественные методы, включая линейное программирование, базовые графические инструменты, методы разработки архитектуры, стратегии проектирования интерфейсов, методы графического моделирования и основы принятия решений и анализа рисков для системной инженерии. Также будут изучены успешные кейсы системной инженерии.
EL 6223 : Системы управления нелинейными и дискретными данными Введение в нелинейные системы.Анализ фазовой плоскости, нелинейности, линеаризация, предельные циклы и усреднение. Техника устойчивости: описывающая функция, функции Ляпунова, критерий геометрического места Попова и окружности. Анализ и проектирование систем выборочных данных с помощью Z-преобразований и методов переменных состояния. Полуглобальная и глобальная стабилизация нелинейных систем дискретных данных.
Предварительные требования: Статус выпускника и EL 6253.
EL 6233 : Методы оптимизации системы Формулировки задач оптимизации системы.Элементы функционального анализа применительно к оптимизации системы. Локальная и глобальная оптимизация системы с ограничениями и без них. Вариационные методы, вариационное исчисление, итерационные методы линейного, нелинейного и динамического программирования. Примеры и приложения. Алгоритмы множителей Ньютона и Лагранжа, анализ сходимости.
Предварительные требования: Статус выпускника и EL 5253 или EL 6253.
EL 6243 : Теория системы и управление с обратной связью Проектирование систем с одним входом-выходом и многомерных систем в частотной области.Устойчивость взаимосвязанных систем от передаточных функций компонентов. Параметризация стабилизирующих контроллеров. Введение в оптимизацию (дизайн Винера-Хопфа).
Необходимые условия: Статус выпускника и EE 3064.
EL 6253 : Линейные системы Основные концепции системы. Уравнения, описывающие линейные системы с непрерывным и дискретным временем. Анализ во временной области, переменные состояния, матрица переходов и импульсный отклик. Методы преобразования. Системы с переменной во времени.Управляемость, наблюдаемость и устойчивость. Размещение стойки SISO, конструкция наблюдателя. Системы выборочных данных.
Предварительные требования: Статус выпускника и EE 3054 или EL 5253.
EL 7253 : Проектирование в пространстве состояний для линейных систем управления Темы, рассматриваемые в этом курсе, включают канонические формы; цели проектирования системы управления; проектирование системы обратной связи по размещению опоры MIMO; Линейные наблюдатели MIMO; принцип разделения; линейно-квадратичное оптимальное управление; случайные процессы; Фильтры Калмана как оптимальные наблюдатели; теорема отделимости; LQG; Системы выборочных данных; микропроцессорное цифровое управление; робастное управление и проблема сервокомпенсатора.
Предварительные требования: Выпускник и EL 6253.
EL 8233 : Теория оптимального управления Этот курс посвящен проблеме оптимального управления для детерминированных систем с различными ограничениями. Темы: решение как для непрерывных, так и для дискретных систем с использованием принципа максимума и динамического программирования. Особые дуги. Соседние оптимальные решения. Задачи оптимального управления топливом и временем. Вычислительные методы.
Необходимые условия: Статус выпускника, EL 6233 и EL 6253.
EL 8253 : Крупномасштабные системы и децентрализованное управление Этот курс знакомит с анализом и синтезом крупномасштабных систем. Темы: алгоритмы уменьшения порядка системы, устойчивость взаимосвязанных систем, разложение в ряд и сингулярное возмущение. Ляпуновские конструкции. Приложения к транспортным сетям, энергосистемам и транспортным сетям. Децентрализованное управление: децентрализованный фиксированный режим, LQR, частотный функционал стоимости и перекрывающиеся декомпозиции. Устойчивость взаимосвязанных систем и векторный анализ Ляпунова.
Необходимые условия: Статус выпускника и EL 7253 или разрешение преподавателя.
EL 8223 : Прикладное нелинейное управление Устойчивость и стабилизация нелинейных систем; Устойчивость и функции по Ляпунову, устойчивость по входу-выходу и управляющие функции Ляпунова. Дифференциально-геометрические подходы к анализу и управлению нелинейными системами: управляемость, наблюдаемость, линеаризация обратной связи, нормальная форма, обратная динамика, стабилизация, слежение и подавление возмущений.Аналитические подходы: рекурсивный шаг назад, стабильность между входом и состоянием, нелинейные методы малого усиления и пассивность. Конструкции с обратной связью по выходу. Различные примеры приложений для нелинейных систем, включая робототехнические системы и системы связи.
Предварительные требования: Статус выпускника и EL 6253 или EL 7253.
Что такое матрица обучения и зачем она нужна моей компании?
Что такое матрица обучения и зачем она нужна моей компании?
Глядя на процессы в вашей организации и стоящих за ними сотрудников, полезно знать, какими навыками, квалификацией и компетенциями обладают эти люди.
Матрица обучения или навыков отлично подходит для организации этой информации и отображения ее в упорядоченном и легком для чтения виде.
Матрица обучения обычно показывает квалификацию каждого члена вашей рабочей силы и статус квалификации, например, является ли она действительной, истекающей или просроченной. Этот документ станет незаменимым для тех, кто отвечает за управление вашим персоналом. Например, менеджеры по охране труда и технике безопасности, менеджеры по обучению, руководители групп, операционные менеджеры и сотрудники отдела кадров смогут мгновенно обнаружить любые пробелы в обучении или слабые места в навыках.Они будут знать, у кого есть необходимые навыки для выполнения определенных ролей или задач в рамках бизнеса.
С чего начать построение тренировочной матрицы?
Это хорошая возможность определить и определить роли и обязанности в вашем бизнесе. Посмотрите на задачи, которые могут потребоваться вашим сотрудникам, и определите обучение, навыки и знания, которые им потребуются для их безопасного и компетентного выполнения. Возможно, вам придется воспользоваться независимым советом по этому поводу, и на сайте HSE есть несколько полезных советов.Закон и правила могут отличаться в зависимости от страны, в которой вы находитесь, поэтому, если сомневаетесь, проверьте.
Обычно вы указываете имена своих сотрудников в столбце слева на странице, а затем перечисляете обучение / навыки или компетенцию в строке вверху. Посмотрите на каждого человека и проработайте список требований к обучению, записывая, является ли это требованием для их должности или нет. Если есть требование, запишите, имеет ли лицо необходимый сертификат или квалификацию, и, если возможно, дату истечения срока действия.Если есть требование и их сертификат отсутствует, запишите это также.
Каковы преимущества ведения тренировочной матрицы?
По мере того, как ваша тренировочная матрица наполняется данными, вы начнете видеть пробелы, нехватку навыков и даже то, где есть насыщение конкретным навыком.
Эти данные позволят вам обеспечить непрерывность и продуктивность за счет быстрого определения обученных членов вашей рабочей силы для выполнения определенных проектов. Вы будете знать, кого можно повторно задействовать в периоды пика спроса или если человек заболел.В конце концов, все мы люди, и, к сожалению, случаются болезни и периоды отсутствия.
Данные, которые хранятся в вашей матрице, могут помочь вам спланировать график обучения, что, в свою очередь, позволит вам обеспечить достаточное количество сотрудников для покрытия тех, кто не занимается обучением на рабочем месте, и воспользоваться более дешевыми затратами на резервирование блоков. Это также поможет вам спланировать преемственность и повышение квалификации ваших сотрудников. Это помогает сохранять чувство ценности у сотрудников и, в свою очередь, помогает удерживать ключевых игроков в вашей организации.
Знайте, что ваши сотрудники прошли обучение и они проходят обучение. Проактивность и обеспечение того, чтобы ваши сотрудники работали только над теми задачами, которым они должным образом обучены, защищает их и вас.
Каковы риски несоблюдения тренировочной матрицы?
Управление навыками персонала и записями об обучении без матрицы обучения станет логистическим кошмаром даже при небольшом количестве сотрудников. Скорее всего, вы столкнетесь с трудностями при поиске обученного персонала, пропустите даты истечения срока действия сертификатов и потратите гораздо больше на обучение в долгосрочной перспективе.
Вы рискуете, что сотрудники будут выполнять роли, которым они не обучены, или будут использовать просроченную сертификацию. А вот и снежный ком…
Риски включают:
- Увеличение количества несчастных случаев и происшествий на рабочем месте
- Низкая культура безопасности
- Плохое удержание персонала
- Провал аудита
- Утрата контрактов
- Уведомления об улучшениях
- Уведомления о запрете, вынуждающие вас прекратить работу и требующие денег
- Судебное преследование
- Штрафы
- Судебное преследование
- Судебные приговоры
- Гражданские иски
- Утрата репутации
Имеет смысл принять меры, чтобы избежать этих рисков.Защитите свой персонал, защитите свою организацию и защитите себя.
Таблицы v Программное обеспечение
Таблицы
Когда электронные таблицы были впервые представлены, они были большим шагом вперед по сравнению с ручкой и бумагой. Они доступны на большинстве офисных компьютеров и поэтому дешевы в использовании.
Однако, когда мы говорим «дешево в использовании», мы часто не принимаем во внимание стоимость рабочей силы, чтобы поддерживать эти устройства в актуальном состоянии. Если они используются для создания обучающей матрицы, они будут нуждаться в постоянном мониторинге и обновлении.На сегодняшнем загруженном рабочем месте, где часто меняются роли, меняется законодательство и люди приходят и уходят, ваша матрица всегда будет где-то устаревать. В таблицах возможна человеческая ошибка (раньше я вводил данные не в ту ячейку и уверен, что я не один). Из них сложно извлечь информацию и полагаться на пользователя, имеющего хоть какую-то степень в формулах Excel! Контроль версий также сложно контролировать, когда данные необходимо совместно использовать между командами и отделами. И всегда есть страх перед повреждением данных.
Может ли специализированное программное обеспечение предоставить лучшее решение?
Я верю, что может. Специальное программное обеспечение для управления обучением может предоставить вам гораздо более эффективный и интеллектуальный способ сбора, сопоставления и отображения надежных данных. Он предлагает гораздо лучшую безопасность и простоту использования, и часто в нем есть дополнительные инструменты, которые помогут вам быстро найти нужные данные. Это помогает вам проявлять инициативу в достижении и поддержании соответствия тренировкам.
Облачное программное обеспечение
Решения, такие как Moralbox, подходят организациям любого размера и предоставляют пользователям интеллектуальные, эффективные и простые в использовании инструменты для управления соответствием обучению.Уникальные автоматизированные функции, такие как анализ потребностей в обучении и матрица обучения, экономят время и обеспечивают точность и надежность данных.
Легко читаемая интеллектуальная информационная панель дает вам полную информацию и видимость вашего статуса соответствия. Просматривайте информацию, которая вам нужна, чтобы убедиться, что ваши сотрудники соответствуют требованиям к обучению, с первого взгляда.
С еженедельной сводкой по электронной почте и уведомлениями вы можете быть уверены и расслаблены, зная, что вы всегда полностью осведомлены о статусе соответствия вашей организации.Больше не нужно копаться в устаревших таблицах. Больше не нужно беспокоиться о бессонных ночах.
Ваши данные надежно и надежно хранятся в облаке, и к ним можно получить доступ с мобильного устройства на ходу. Делитесь информацией с клиентами и аудиторами, ограничивая конфиденциальные личные данные.
Если у вас есть какие-либо вопросы о настройке матрицы обучения, я буду рад помочь вам начать работу. Напишите мне письмо [email protected], и я свяжусь с вами.
Ознакомьтесь с функциями и преимуществами Moralbox или узнайте о нас больше.