Контрольная по геометрии погорелов 9 класс: контрольные работы по геометрии 9 класс по учебнику А.В. Погорелова

Содержание

Геометрия Погорелов Контрольная К-1 | Частная школа. 9 класс

Геометрия Погорелов Контрольная К-1 (4 варианта). Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы». Цитаты из пособия использованы в учебных целях.

Контрольная работа К-1 по геометрии
9 класс (УМК Погорелов)

Текстовая версия заданий (транскрипт):

К-1. Вариант 1
  1. В треугольнике АВС через точку К, принадлежащую стороне АВ, проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точке М. а) Докажите, что ΔАВС ∼ ΔАКМ. б) Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АКМ равен 15 см, а отношение сторон АК : АВ = 1 : 3.
  2. Хорда АВ, равная 8 см, отсекает от окружности с центром в точке О дугу в 90°. Через концы хорды проведены диаметры АС и BD. а) Определите вид четырехугольника ABCD. б) Найдите длины диагоналей и неизвестных сторон четырехугольника.
К-1. Вариант 2
  1. В трапеции ABCD (BC II AD) О — точка пересечения диагоналей, а) Докажите, что ΔBOC ∼ ΔDOA. б) Найдите ВС, если AD = 12 см, ВО : OD = 1 : 2.
  2. Из точки А окружности с центром в точке О проведены взаимно перпендикулярные равные хорды АВ и АС. а) Определите вид треугольников АОВ и АВС. б) Вычислите стороны треугольника АВС, если хорды АВ и АС удалены от центра на расстояние 4 см.
К-1. Вариант 3
  1. В треугольнике АВС через точку М, принадлежащую стороне АС, проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая ВС в точке N. а) Докажите, что ΔABC ∼ ΔMNC. б) Найдите стороны треугольника АВС, если стороны треугольника MNC равны 4 см, 6 см, 7 см и точка М делит сторону АС в отношении 1 : 1.
  2. Дана окружность радиуса 1 дм. Тремя точками она разделена в отношении 1:2:3. Точки последовательно соединены хордами, а) Определите вид полученного треугольника. б) Вычислите длины хорд.
К-1. Вариант 4
  1. В трапеции ABCD (BC II AD) О — точка пересечения диагоналей, а) Докажите, что ΔСОВ ∼ ΔAOD. б) Найдите диагональ BD, если ВС = 6 см, AD = 9 см, ВО = 4 см.
  2. В окружности диаметры АС и BD пересекаются под углом 60°. а) Определите вид треугольника АОВ, четырехугольника ABCD. б) Найдите периметр четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 4 см.

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу К-1

 


 

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии (Погорелов)

 

Вы смотрели: Геометрия Погорелов Контрольная К-1 (4 варианта). Контрольная работа по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы».

Геометрия Погорелов Контрольная К-2 | Частная школа. 9 класс

Геометрия Погорелов Контрольная К-2 (4 варианта). Контрольная работа № 2 по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы». Цитаты из пособия использованы в учебных целях.

Контрольная работа К-2 по геометрии
9 класс (УМК Погорелов)

Текстовая версия заданий (транскрипт):

К-2*. Вариант 1
  1. В равнобедренном треугольнике один из углов тупой, одна сторона равна 14 см, а другая — 8 см. а) Чему равно основание этого треугольника? б) Найдите угол при основании.
  2. В параллелограмме ABCD диагональ АС делит угол А на углы в 30° и 50°. Меньшая сторона равна 4 см. а) Назовите меньшую сторону параллелограмма. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите длины большей стороны и диагоналей.
К-2. Вариант 2
  1. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 80°, меньшая сторона равна 6 см. а) Назовите меньшую сторону треугольника. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите среднюю сторону.
  2. В трапеции ABCD (ВС II AD) диагональ АС с основанием AD образует угол 25°, DC = 4 см, AD = 7 см. а) Вычислите углы треугольника ACD. б) Найдите диагональ АС.
К-2. Вариант 3
  1. В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. а) Определите, какой из углов наименьший и какой наибольший. б) Вычислите наибольший угол треугольника АВС.
  2. В параллелограмме ABCD диагонали, равные 10 см и 14 см, пересекаются под углом 70°. а) Вычислите периметр параллелограмма, б) Найдите углы параллелограмма.
К-2. Вариант 4
  1. В треугольнике АВС ∠А = 80°, ∠В = 70°. Большая сторона равна 5 см. а) Назовите наибольшую и наименьшую стороны треугольника. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите наименьшую сторону.
  2. В параллелограмме ABCD диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются под углом 100°. а) Вычислите периметр параллелограмма. б) Найдите углы параллелограмма.
 * Во всех вариантах контрольной работы № 2 предлагается проводить округление величин на каждом шаге выполнения вычислений.

 


 

ОТВЕТЫ на контрольную работу

 


 

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии (Погорелов)

 

Вы смотрели: Геометрия Погорелов Контрольная К-2 (4 варианта). Контрольная работа по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы».

А.В. Погорелов.2 — 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.\]

Теорема доказана.

Вопрос 2. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «\(\pm\)» удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак «+» или «-» ?

Ответ. Пусть \(ABC\) — данный треугольник (рис. 263).

Заметим, что \(AC\cdot\cos A\) равно по абсолютной величине проекции \(AD\) стороны \(AC\) на сторону \(AB\) (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак \(AC\cdot\cos A\) зависит от угла \(A\): «+», если угол \(A\) острый, «-«, если угол \(A\) тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «\(\pm\)» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-«, когда угол острый.

Вопрос 3. Докажите теорему синусов.

Ответ. Теорема 12.2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть \(ABC\) — т

ГДЗ геометрия / Погорелов / контрольные работы / К-1 В1 алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы Ершова, Голобородько

Решение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Технология

ГДЗ ЛОЛ за 7‐9 класс по Геометрии А.В. Погорелов ФГОС

  • ГДЗ
  • 1 КЛАСС
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Математика
    • Окружающий мир
    • Литература
    • Информатика
    • Музыка
    • Человек и мир
    • Технология
  • 2 КЛАСС
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Математика
    • Окружающий мир
    • Литература
    • Белорусский язык

Геометрия 9 класс Контрольная № 4 с ответами

Контрольная работа № 4 по геометрии в 9 классе «Длина окружности и площадь круга» с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 7 класса (Н.Ф. Гаврилова, ВАКО). Урок 50. Геометрия 9 класс Контрольная № 4 «Длина окружности и площадь круга».

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе (УМК Атанасян)


 

Контрольная работа № 4
«Длина окружности и площадь круга»

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

2. Контрольная работа «Длина окружности и площадь круга»

   I уровень сложности

Вариант 1

  1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.
  2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
  3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.
  4. * Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠ВАС = 30°, О — центр окружности (рис. 12.55).

Вариант 2

  1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.
  2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
  3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность.
  4. * Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если О — центр окружности с диаметром 10√2 (рис. 12.56).
   II уровень сложности

Вариант 1

  1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 4√3 см.
  2. Длина дуги окружности с градусной мерой 120° равна 8π см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
  3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если АО = 4 см, ∠AOB = 135° (рис. 12.57).
  4. * Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, на 16(√2 – 1) см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой же окружности. Найдите радиус окружности.

Вариант 2

  1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 6√3 см.
  2. Длина дуги окружности с градусной мерой 150° равна 10π см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
  3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВО = 3 см, ∠AOB = 120° (рис. 12.58).
  4. * Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18√5 см больше периметра правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. Найдите радиус окружности.

 

   IIуровень сложности

Вариант 1

  1. Вписанный в круг квадрат разделил его на пять частей. Найдите отношение площади меньшей из полученных частей к площади большей, если сторона квадрата равна 8.
  2. Центр окружности совпадает с вершиной квадрата, а ее радиус равен 60% стороны квадрата. В каком отношении дуга окружности, расположенная внутри квадрата, делит его площадь?
  3. Из точки А к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, проведены две касательные АВ и АС, образующие между собой угол в 120°. Найдите периметр и площадь фигуры, ограниченной отрезками АВ и АС и дугой ВС окружности, если центр окружности не содержится во внутренней области полученной фигуры.
  4. * Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и √3 равно 1. Найдите площади образовавшихся луночек и общей части кругов.

Вариант 2

  1. Вписанный в круг правильный треугольник разделил его на четыре части. Найдите отношение площади большей из полученных частей к площади меньшей, если сторона треугольника равна 4√3.
  2. Центр окружности совпадает с вершиной равностороннего треугольника, а ее радиус равен 60% стороны треугольника. В каком отношении дуга окружности, расположенная внутри треугольника, делит его площадь?
  3. Из точки А к окружности с центром О и радиусом, равным 8 см, проведены две касательные АВ и АС, образующие между собой угол в 60°. Найдите периметр и площадь фигуры, ограниченной отрезками АВ и АС и дугой ВС окружности, если центр окружности содержится во внутренней области полученной фигуры.
  4. * Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 1 равно √3. Найдите площади образовавшихся луночек и общей части кругов.

 

3. Рефлексия учебной деятельности

В конце урока учитель раздает на каждую парту ответы на задачи контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

   Ответы на контрольную I уровня сложности


 

   Ответы на контрольную II уровня сложности


 

   Ответы на контрольную III уровня сложности


Вы смотрели: Геометрия 9 класс Контрольная № 4. Поурочное планирование по геометрии для 9 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 50. Контрольная работа по геометрии «Длина окружности и площадь круга» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе по УМК Атанасян.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования в 9 классе.

Примечания для координатной геометрии класса 9 Скачать PDF

Важность координатной геометрии класса 9 Примечания и концепции изменения

Создание примечаний к редакции для класса 9 поможет вам интерпретировать все, что вы читаете, своими словами, чтобы вы поняли класс 9 понятий лучше. Были времена, когда ученики 9-х классов читали всю страницу безучастно, даже не понимая ни единого слова, но если вы сделаете заметок для стандартного экзамена 9, тогда ваш мозг попытается выжать смысл из каждого написанного вами предложения, что очень много. полезно для студентов.В заметках о редакции всегда фиксируется вся информация, которую вы узнали. Эти заметки во время экзамена будут действовать как готовые рекомендации для рассмотрения. Этот метод не только помогает сэкономить силы и время учащихся во время экзамена 9 класса, но также помогает им вспомнить все, что они изучали, за меньшее время. Заметки о пересмотре для класса 9 также помогли ученикам запомнить то, что они изучали, потому что они могли прочитать каждое предложение строка за строкой и подготовить заметки.

Преимущества Примечания для координатной геометрии класса 9

a) Поможет вам своевременно пересмотреть все важные концепции перед школьными экзаменами в 9 классе

b) Краткие заметки по каждой главе, данной в последнем классе 9 книг по координатной геометрии помогут вам выучить и повторить все основные концепции прямо у дверей экзаменационного зала.

c) Примечания, предоставленные Studiestoday.com, были подготовлены специально для студентов, сдающих экзамен Class 9 2020, чтобы они могли получить лучший результат на предстоящем экзамене Class 9

d) Вы почувствуете себя комфортно, потому что вы пересмотрели все важные темы Coordinate Geometry , и вам не придется носить с собой всю книгу на экзамене

e) Загрузите все заметки в формате PDF для Class 9 Coordinate Geometry и будьте уверены, что вы охватили все

Приведенные выше примечания помогут вам преуспеть на экзаменах.Вы всегда должны пересматривать концепции и примечания по координатной геометрии для класса 9 перед экзаменами, они помогут вам подвести итоги всех важных тем, и вы сможете получить более высокие оценки. Вы также можете щелкнуть ниже, чтобы загрузить решенные последние образцы работ, контрольные работы за прошлый год (за последние 10 лет) в формате pdf для печати, имитирующие онлайн-тесты, последние книги для класса 9, основанные на учебной программе и руководящих принципах, выпущенных CBSE NCERT KVS. Учебный материал подготовлен опытными преподавателями ведущих школ и институтов Индии и доступен для бесплатного скачивания в формате pdf.

Треугольник | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 9 класс> Обязательная математика> Геометрия

тип углов

Отрезок линии : Определенная часть прямой линии называется отрезком прямой. Имеет фиксированное измерение.

Изогнутая линия : Линия, соединяющая две фиксированные точки без фиксированного направления, называется изогнутой линией.

Параллельные линии : Любые две или более двух прямых линий, которые пересекаются друг с другом после продолжения, или длина перпендикулярного расстояния между ними всегда равна, являются параллельными линиями.

Угол : Когда любые две прямые или отрезки пересекаются в одной точке, они образуют угол, который называется углом.

Связь между парой углов

1. Смежные углы
Пара углов, имеющих одинаковую вершину и общую сторону, называется смежными углами. Если внешние стороны обоих углов лежат на прямой, их сумма равна двум прямым углам.

2.Вертикально противоположные углы
Когда два прямых отрезка пересекаются в точке, пара углов, образованных друг напротив друга, называется вертикально противоположными углами.

Классификация треугольников по сторонам

1. Равносторонние треугольники

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника составляет 60 o . Итак, равносторонний треугольник еще называют равносторонним i.Все внутренние углы также совпадают друг с другом и составляют 60 o каждый. Это правильные многоугольники.

2. Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого (как минимум) две стороны равны, называется равнобедренным треугольником. Углы основания равнобедренного треугольника равны. Следовательно, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В \ (\ треугольник \) ABC, ∠B = ∠C ∴ \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

3.Скаленовый треугольник

Треугольник, все три стороны которого не равны, называется разносторонним треугольником. В \ (\ треугольнике \) XYZ нет равных сторон. ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — разносторонний треугольник.

Классификация треугольников по углам

1. Остроугольный треугольник: Треугольник, все углы которого являются острыми углами (менее 90 o ), называется остроугольным треугольником. На данном рисунке все углы меньше 90 o , поэтому это остроугольный треугольник.

2. Треугольник с тупым углом: Треугольник, один угол которого тупой (больше 90 o ), называется треугольником с тупым углом. На данном рисунке ∠Y составляет 120 o (больше 90 o ) ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — это треугольник с тупым углом.

3. Прямоугольный треугольник: Треугольник, у которого один угол является прямым (90 o ), называется прямоугольным треугольником. В \ (\ треугольник \) ABC B = 90 o , поэтому \ (\ треугольник \) ABC — прямоугольный треугольник.

Свойства треугольников

  • Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам или 180.
  • Внешний угол, образованный стороной треугольника, равен сумме двух несмежных внутренних углов.
  • Сумма любых двух сторон большего угла треугольника длиннее противоположной стороны меньшего угла.
  • Углы основания равнобедренного треугольника равны
  • Все углы равностороннего треугольника равны.

Треугольники — это трехсторонние замкнутые фигуры, у которых есть три прямые стороны, соединенные в трех вершинах, и три угла, заключенные внутри фигуры в вершинах. Существует несколько типов треугольников в зависимости от длины его сторон и углов, которые они содержат. Многие не знают, что треугольник — это многоугольник с тремя сторонами.

Аксиомы и постулаты

Axoims

Аксиома — это самоочевидная истина, которая хорошо установлена, принята без споров или вопросов.Некоторые из аксиом представлены в следующей таблице с их условиями:

Axoims Conditons
Равенство сложения

Когда равные количества добавляются к обеим сторонам равных количеств, сумма также равна.

например, если a = b, то a + c = b + c

Равенство вычитания

Когда равные количества вычитаются из обеих частей равных величин, разница также становится равной.

например если a = b, то a-c = b-c

Равенство умножения

Когда равные количества умножаются на одинаковое количество, продукт также становится равным.

например если a = b, то a * c = b * c

Равенство деления

Когда равные количества делятся на одинаковое количество, частное также становится равным.

например если a = b, то a / c = b / c

Аксиома равенства Когда два отдельных количества равны количеству, они также равны друг другу. Если a = c и b = c, то a = c
Аксиома целиком

Целое количество всегда равно сумме всех его частей, а целое количество всегда больше, чем каждая из его частей.

например AD = AB + BC + CD и AD> AB или AD> BC или AD> CD

Аксиома подстановки

Количество может быть заменено другим равным количеством. Это не меняет окончательного результата.

Если a = b, то ax + c можно выразить как bx + c.

Постулаты

Утверждение, которое считается истинным без доказательства, называется постулатом. Постулаты — это основная структура, из которой выводятся леммы и теоремы.Некоторые из постулатов, которые нам нужны в нашей геометрии, перечислены ниже.

1. Есть только одна прямая линия, которую можно провести между любыми двумя точками.

2. Через точку можно провести бесконечное количество прямых.

3. В строке ровно не менее двух точек.

4. Через любые три неколлинеарные точки существует ровно одна плоскость.

5. Биссектрисой данного угла может быть только одна линия.

6. Прямая линия может быть построена с любой стороны до бесконечности.

7. Через одну точку проходит только линия, параллельная первой линии.

8. Длина перпендикуляра означает расстояние между точкой и линией.

Свойства углов при пересечении двух параллельных прямых поперечной линией:
рисунок

Нарисуем как минимум две параллельные прямые AB и XY. Трансверсальная прямая CD пересекает AB в точке E и XY в точке F. Мы можем установить следующие соотношения между образующимися углами:

a) Альтернативные углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то образованные таким образом альтернативные углы равны.∴ ∠AEF = ∠EFY и ∠BEF = ∠EFX

b) Соответствующие углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то соответствующие углы, образованные таким образом, равны.

∴ ∠AED = ∠EFX, ∠AEF = ∠XFC

∠DEB = ∠EFY, ∠BEF = ∠YFC

c) Сумма совпадающих внутренних углов равна 180 o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма образованных таким образом совместных внутренних углов составляет 180 o .

∴ ∠AEF + ∠EFX = 180 или

∠BEF + ∠EFY = 180 или

d) Сумма со-внешних углов составляет 180 o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма сонаправленных углов, образованных таким образом, составляет 180 o .

∴ AED + ∠XEC = 180 o и ∠DEB + ∠YEC = 180 o

Теорема 1: Сумма углов любого треугольника равна двум прямым углам.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разной ориентации.И назовите их \ (\ треугольник \) ABC каждый. (Нарисуйте треугольники таким образом, чтобы каждый угол можно было измерить с помощью транспортира.)

Шаг 2: Измерьте каждый угол этих трех треугольников с помощью транспортира и заполните следующую таблицу.

Фиг. ∠A ∠Б ∠C Результаты
(я) ∠A + ∠B + ∠C =
(ii) ∠A + ∠B + ∠C =
(iii) ∠A + ∠B + ∠C =

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ∠ABC, ∠BCA и ∠BAC — три угла треугольника ABC.

Для доказательства: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180 o

Построение: проведем прямую линию, параллельную BC, через A.

Проба:

S.N. Выписки Причины
1 ∠XAB = ∠ABC XY \ (\ parallel \) BC и являются альтернативными углами.
2 ∠YAC = ∠ACB XY \ (\ parallel \) BC и являются альтернативными углами.
3 ∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = ∠XAY Согласно аксиоме целого части.
4 ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠XAY Из утверждений (1), (2) и (3).
5 ∠XAY = 180 0 Прямой угол составляет 180 o (два прямых угла)
6 ∴ ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180 o или 2 прямых угла. Подставляем значение ∠XAY в утверждение (4).

Доказано

Теорема 2: Внешний угол, образованный продолжением стороны треугольника, равен сумме двух других несмежных углов.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разного размера в разной ориентации. Произведите от BC до D на каждой фигуре. На каждом рисунке ∠ACD — это внешний угол, а ∠A и ∠B — два несмежных угла внутри треугольника.

Шаг 2: Измерьте размер внешнего угла и двух других несмежных углов на каждом рисунке и заполните таблицу.

Фиг. Внешний угол ∠ACD ∠A ∠Б Результаты
(я)
(ii)
(iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ABC — это треугольник, сторона BC которого продолжается до D, так что ∠ACD — это внешний угол.

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Проба:

S.N. Заявление Причины
1 ∠ACD + ∠BCA = 180 o Сумма смежных углов прямой равна 180 o .
2 ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180 o Сумма углов в треугольнике равна 180 o .
3 ∠ACD + ∠BCA = ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC Из утверждений (1) и (2).
4 ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC Отмена ∠BCA на обеих сторонах утверждения (3).

Доказано
Альтернативный метод:

Дано: ABC — это треугольник, сторона BC которого продолжается до D, так что ∠ACD во внешнем угле.

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Конструкция: проведем CE параллельно BA.

Проба:

S.N. Выписки Результаты
1 ∠ACD = ∠ACE + ∠DCE Аксиома целиком.
2 ∠DCE = ∠ABC CE \ (\ parallel \) BA — соответствующие углы.
3 ∠ACE = ∠BAC CE \ (\ parallel \) BA — альтернативные углы.
4 ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC Из утверждений (1), (2) и (3).

Доказано

Проверка свойств равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны. Треугольник симметричен, так как две стороны равны, следовательно, он обладает разными свойствами. Например, углы основания равнобедренного треугольника равны. Этот вид свойств доказывается здесь как теоретическое доказательство, которое требует соблюдения условий конгруэнтности треугольников.Перед этим мы кратко обсудим различные условия конгруэнтности треугольников.

Соответствие треугольников

У треугольника 3 стороны и 3 угла. Два треугольника равны, если 3 части (из 6 частей) одного треугольника равны 3 соответствующим частям другого треугольника

согласно следующим условиям. Мы принимаем эти условия за аксиомы.

i) S.S.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если три стороны треугольника равны трем соответствующим сторонам другого треугольника под S.Аксиома С.С.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) AB = MN (S)

б) BC = NO (S)

c) AC = MO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [S.S.S. аксиома]

Соответствующие части конгруэнтных треугольников также равны. т.е. A = ∠M, ∠B = ∠N и ∠C = ∠O.

ii) S.A.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если две стороны и угол, образованный ими треугольника, равны соответственно соответствующим сторонам и углу другого треугольника при S.В КАЧЕСТВЕ. аксиома.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) PQR,

а) AB = PQ (S)

б) ∠B = ∠Q (A)

c) BC = QR (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC = \ (\ треугольник \) PQR [S.A.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠R и ∠A = ∠P [соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AC = PR [Соответствующие стороны равных треугольников]

iii) A.S.A. аксиома:

Два из называются конгруэнтными, если два угла и их смежная сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника под A.Аксиома С.А.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

а) ∠B = ∠E (A)

б) BC = EF (S)

в) ∠C = ∠F (A)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [A.S.A. аксиома]

Теперь, AC = DF и AB = DE

[Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

∠A = ∠D [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

iv) R.H.S. аксиома:

Два прямоугольных треугольника называются конгруэнтными, если гипотенуза и одна из оставшихся сторон обоих треугольников соответственно равны относительно R.H.S. аксиома.

Прямоугольный \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) ∠B = ∠N (R)

б) AC = MO (H)

c) BC = NO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [R.H.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠O и ∠A = ∠M [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AB = MN [Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

v) S.A.A. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если два угла и сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника согласно S.А.А. аксиома. Эта аксиома может быть проверена с помощью A.S.A. аксиома.

Здесь,

а) ∠A = ∠D [дано]

б) ∠B = ∠E [дано]

c) ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F [Сумма углов любого треугольника равна 180 o ]

d) ∠C = ∠F [Из (a), (b) и (c)]

Теперь в \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

e) ∠B = ∠F (A) [Учитывая]

f) BC = EF (S) [Учитывая]

г) ∠C = ∠F (A) [Из (d)]

ч) \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [A.Аксиома С.А.]

Итак, AB = DE и AC = DF [Соответствующие стороны равных треугольников]

Равнобедренный треугольник

Теорема 3:
Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC разной формы и размера в разной ориентации, где AB = AC.

Шаг 2: Измерьте углы, противоположные равным сторонам каждого треугольника, и сведите их в таблицу. Рисунок

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.

Доказать: ∠ABC = ∠ACB

Построение: проведем AD⊥BC из вершины A.

Проба:

S.N. Заявление Причины
1. В \ (\ треугольник \) ABD и \ (\ треугольник \) ACD
i) ∠ADB = ∠ADC (R) Оба угла прямые.
ii) AB = AC (H) Дано
iii) AD = AD (S) Общая сторона
2. ∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD По аксиоме RHS.
3.

∠ABD = ∠ACD

, т.е. ABC = ∠ACB

Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Теорема 4: преобразование теоремы 3

Экспериментальная проверка:

Шаг 1. Нарисуйте три отрезка BC разной длины в разных положениях.

Шаг 2: Рисуются равные размеры углов в точках B и C на каждом отрезке линии. Отметьте точки как A, где пересекаются стороны этих углов. Теперь сформированы три \ (\ треугольник \) ABC.

Шаг 3: Измерьте длину каждой стороны, противоположной равным углам в каждом треугольнике (т. Е. AB и AC), и сведите их в таблицу.

рисунок

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Дано: В \ (\ треугольник \) ABC базовые углы равны i.е. ∠B = ∠C.

Чтобы доказать: AB = AC, \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

Строительство: Из вершины A проведем AD⊥BC.

Проба:

S.N. Заявление Причины
1. В \ (\ треугольник \) ABD и \ (\ треугольник \) ACD
i) AD = AD (S) Общая сторона
ii) ∠ADB = ∠ADC (А) По конструкции AD⊥BC оба угла равны.
iii) ∠ABD = ∠ACD (А) Дано
2. ∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD Автор: S.A.A. аксиома.
3.

AB = AC

, т.е. \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Теорема 5:

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC с разными положениями и размерами так, чтобы AB = AC в каждом треугольнике.

Шаг 2: Проведите биссектрису угла при вершине ∠A в каждом треугольнике. Биссектриса пересекает BC в D.

.

Шаг 3: Измерьте длины BD и DC, а также углы ADB и ADC, затем сведите их в таблицу.
Рисунок БД постоянного тока Результат ∠ADB ∠ADC Результат
i)
ii)
iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.AD — биссектриса BAC.

Доказать: AD⊥BC и BD = DC.

Проба:

S.N. Заявление Причины
1. В \ (\ треугольник \) АБР и \ (\ треугольник \) АКД
i) AB = AC (S) Дано
ii) ∠BAD = ∠CAD (A) Дано
iii) AD = AD (S) Общая сторона
2. ∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD S.A.S. аксиома
3. ∠ADB = ∠ADC Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.
4. AD⊥BC Равные смежные углы в линейной паре означают, что линия перпендикулярна.
5. BD = DC Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников равны.
6. AD — средний перпендикуляр к BC. Из ведомостей 4 и 5.

Доказано

Теорема 6: Обратное к теореме 5

Экспериментальная проверка:

Шаг 1. Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC с разными положениями и размером в разных положениях так, чтобы AB = AC в каждом треугольнике.

Шаг 2: Отметьте середину BC в D. Соедините A и D в каждом треугольнике.

Шаг 3: Измерьте ADB, ∠ADC, ∠BAD и ∠CAD и сведите их в таблицу ниже:

Рисунок ∠ADB ∠ADC Результат ∠БАД ∠DAC Результат
i)
ii)
iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.

AD соединяет вершину A и середину D основания BC.

Доказать: AD⊥BC и ∠BAD = ∠CAD.

S.N. Выписки Причины
1. В \ (\ треугольник \) АБР и \ (\ треугольник \) АКД
i) AB = AC (S) Дано
ii) AD = AD (S) Общая сторона
iii) BD = DC (S) Дано
2. ∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD Автор: S.S.S. аксиома
3. ∠ADB = ∠ADC Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.
4. AD⊥ BC Каждый угол смежных углов в линейной паре равен 90 0 .
5. ∠BAD = ∠CAD Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Соотношение сторон и углов треугольника:
Эксперимент № 1: Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три треугольника ABC с разными положениями и размерами в разной ориентации.

Шаг 2: Измерьте все три стороны каждого треугольника и заполните таблицу.

Рисунок AB BC CA AB + BC BC + CA AB + CA Результат
i)
ii)
iii)

Вывод: сумма двух сторон треугольника больше, чем третья сторона.

Эксперимент № 2: В любом треугольнике угол, противоположный длинной стороне, больше, чем угол, противоположный более короткой стороне.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Три треугольника ABC с разным положением и разным размером и разной ориентацией нарисованы таким образом, что BC — самый длинный, а CA — самая короткая сторона в каждом треугольнике.

Шаг 2: Измеряют угол, противоположный большей стороне BC (т.е. B), и заносят в таблицу:

Рисунок Угол напротив ∠A (BC) Угол напротив ∠B (CA) Результат
i)
ii)
iii)

Заключение: В любом треугольнике сторона, противоположная большему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу.

Эксперимент № 4: Среди всех отрезков прямой до заданной линии от точки за ее пределами перпендикуляр является самой короткой линией.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три отрезка прямой линии XY разной длины в разной ориентации. За пределами каждого отрезка берется точка P. Три отрезка PA, PB, PC и перпендикулярная линия PM проведены от P до XY.

Шаг 2: Измерьте длину каждого линейного сегмента PA, PB, PC и PM.Затем сведите их в таблицу ниже:

Рисунок PA ПБ ПК PM
i
ii
iii

Заключение: среди всех отрезков прямой линии до данной линии, образующих точку за ее пределами, перпендикуляр является самой короткой линией.

Эксперимент № 5: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Шаг 1: Нарисуйте три прямоугольных треугольника разных размеров.

Шаг 2: Заполните данную таблицу.

Рисунок AB BC CA AB 2 BC 2 CA 2 AB 2 + BC 2 Результаты
i)
ii)
iii)

Вывод: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Эксперимент № 5 известен как теорема Пифагора. Около 2500 лет назад Пифагор был греческим математиком. Он изобрел факт о прямоугольном треугольнике, который получил название теоремы Пифагора. Эта теорема используется во всех других областях математики, а не только в геометрии.

формул аналитической геометрии

ФОРМУЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

На этой странице формулы аналитической геометрии мы увидим список формул, которые используются в теме аналитической геометрии.

Название темы

Формула

Формула раздела (внутри)

Формула для поиска точки, которая разделяет отрезок AB внутри в соотношении m: n:

Формула раздела (внешний)

Формула, которая используется для нахождения точки, которая делит отрезок AB снаружи в соотношении m: n, определяется как

Площадь треугольника, если даны три вершины треугольника.

1 2 {x 1 (y 2 -y 3 ) + x 2 (y 3 -y 1 ) + x 3 (y 1 -y 2 )}

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника, если даны четыре вершины четырехугольника.

1 2 {(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) —
(x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 1 y 4 )}

Центроид треугольника

У треугольника три медианы, и они совпадают в точке O, эта точка называется центроидом треугольника.

На следующей диаграмме O — это центр тяжести треугольника ABC. Теперь давайте посмотрим на формулу.

= (x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3

Середина отрезка

Средняя точка — это точка, которая находится точно в середине отрезка прямой, соединяющего две точки (x1, y1) и (x2, y2)

(x ₁ + x ₂) / 2, (y ₁ + y ₂) / 2

Уклон линии

Угол тета между прямой линией и положительным направлением ось X при измерении против часовой стрелки называется углом наклона.Тангенс угла наклона называется уклоном. или градиент линии.

m = tan θ

m = (y2 — y1) / (x2 — x1)

m = — коэффициент при x / коэффициент y

y = mx + b

м, уклон

Уравнение прямой

Линейное уравнение или уравнение первой степени по x и y представляет собой прямую линию.Уравнение прямой выполняется по координатам каждой точки, лежащей на прямой, а не по любая другая точка вне прямой линии.

Форма пересечения наклона:

y = m x + b

Здесь m = наклон и b = точка пересечения по оси y

Двухточечная форма:

(y-y ) / (y ₂-y ₁) = (x-x ₁) / (x ₂-x 3)

Точка — Форма уклона:

(y-y1) = m (x-x1)

Форма перехвата:

(X / a) + (Y / b) = 1

Расстояние по перпендикуляру точка и линия

Длина перпендикуляра от точки (x₁, y₁) к прямой ax + by + c = 0 составляет

d = | (ax₁ + by₁ + c) / va² + b² |

Расстояние между двумя параллельными линиями

Расстояние между двумя параллельными прямыми

a x + b y + c₁ = 0 и a x + b y + c₂ = 0

d = | ( c₁ — c₂) / va² + b² |

Угол между двумя линиями

θ = tan-¹ | (m₁ — m₂) / (1 + m₁ m₂) |

Уравнение окружности

(x-h) ² + (y-k) ² = r²

Уравнение окружности с двумя концами диаметра

(x-x₁) (x-x₂) + (y-y₁) (y-y₂) = 0

Общее уравнение окружности

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

Длина касательной

√ (x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c)

Состояние касания двух окружностей снаружи

c ₁c ₂ = r₁ + r₂

Состояние внутреннего касания двух окружностей

C₁ C₂ = r₁ — r₂

Круги ортогональные

2 g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

v4formath @ gmail.com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами на HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

7

задачи на слова

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости единицы

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц словесные задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word задачи по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами000000 Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами на дроби

Задачи со словами на смешанные фракции

Одношаговые задачи с уравнениями в словах

Словесные задачи с линейным неравенством 3 Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций0000 Область и диапазон рациональных функций00 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск корня из длинного квадрата видение

L.Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении в степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Контролируемый ожог


2

Контролируемые ожоги, ограниченная степень очага возгорания обода

Декабрь8, 2017 — Контролируемое выжигание лесных угодий помогло ограничить силу одного из крупнейших лесных пожаров Калифорнии, согласно …


Лесной «Дафф» необходимо учитывать при контролируемом сжигании во избежание повреждения деревьев

24 февраля 2020 г. — Многие десятилетия предотвращения и подавления лесных пожаров привели к густому скоплению органических веществ на лесной подстилке во многих регионах США, по словам исследователя, чья новая …


Прерийным растениям нужен огненный роман

Янв.28, 2020 — В новом исследовании исследователи обнаружили, что предписанные и контролируемые экспертами пожары критически важны для успешного воспроизводства растений прерий. Пожары вызывают цветение прерий …


Новые модели лесных пожаров для прогнозирования того, как лесные пожары загорятся в следующие 20 минут

6 сентября 2019 г. — Хотя невозможно предсказать, где именно начнется следующий лесной пожар, новое исследование углубляется в микроскопические детали того, как возникают пожары, чтобы лучше понять, как возникают лесные пожары…


Древние предписанные ожоги могут оживить общины сегодня

27 августа 2019 г. — В сотрудничестве с племенами в Северной Калифорнии исследователи изучили традиционные методы управления пожарами и обнаружили, что эти подходы, если их расширить, могут укрепить культуры и снизить …


Истончение, предписанные ожоги, охраняемые леса во время массивного лесного пожара Карлтонского комплекса

27 февраля 2020 г. — В первом крупном исследовании, проведенном после разрушительного пожара в комплексе Карлтон в 2014 году в северной части центрального Вашингтона, исследователи из Вашингтонского университета и Лесной службы США обнаружили это предыдущее дерево…


Усилия долгих десятилетий возрождают древний дубовый лес

29 октября 2020 г. — Вестал-Гроув в округе Кук, штат Иллинойс, совсем не похожа на неопрятный клубок, заросший крушиной, с которым впервые столкнулись экологи-реставраторы 37 лет назад. Благодаря усилиям преданной команды …


Сосредоточение внимания на тенденциях лесных пожаров недооценивает будущие риски для водной безопасности

29 октября 2018 г. — Резкое увеличение количества лесных пожаров за последние несколько десятилетий привлекло значительное внимание средств массовой информации.Многочисленные заголовки утверждали, что количество лесных пожаров на западе США беспрецедентно. …


Большинство пожаров во Флориде осталось незамеченными

13 сентября 2018 г. — Новое исследование показывает, что распространенные технологии спутниковой съемки сильно занижают количество пожаров во Флориде, обнаруживая только 25 процентов сгоревших …


Жить с риском пожара непросто

3 октября 2019 г. — Исследовательская группа изложила подходы к управлению и политике для более эффективного управления…


Глава 5 Геометрические операции | Геокомпьютеры с R

Введение

В предыдущих трех главах было продемонстрировано, как наборы географических данных структурированы в R (глава 2) и как ими управлять на основе их негеографических атрибутов (глава 3) и пространственных свойств (глава 4). Эта глава расширяет эти навыки. Прочитав его — и попробовав выполнить упражнения в конце — вы должны понимать и контролировать столбец геометрии в объектах sf и географическое положение пикселей, представленных в растрах.

Раздел 5.2 описывает преобразование векторной геометрии с помощью «унарных» и «бинарных» операций. Унарные операции работают изолированно с одной геометрией. Это включает в себя упрощение (линий и многоугольников), создание буферов и центроидов, а также смещение / масштабирование / поворот отдельных геометрий с использованием «аффинных преобразований» (разделы с 5.2.1 по 5.2.4). Бинарные преобразования изменяют одну геометрию на основе формы другой. Это включает в себя обрезку и объединение геометрии, описанное в Разделах 5.2.5 и 5.2.6 соответственно. Преобразование типов (например, из многоугольника в линию) продемонстрировано в Разделе 5.2.7.

Раздел 5.3 описывает геометрические преобразования растровых объектов. Это включает изменение размера и количества нижележащих пикселей и присвоение им новых значений. В нем рассказывается, как изменить разрешение (также называемое агрегированием и дезагрегацией растра), экстент и происхождение растра. Эти операции особенно полезны, если нужно выровнять наборы растровых данных из разных источников.Выровненные растровые объекты имеют взаимно однозначное соответствие между пикселями, что позволяет обрабатывать их с помощью операций алгебры карт, описанных в Разделе 4.3.2. Последний раздел 5.4 связывает векторные и растровые объекты. Он показывает, как значения растра могут быть «замаскированы» и «извлечены» с помощью векторной геометрии. Важно отметить, что в нем показано, как «полигонизировать» растры и «растрировать» векторные наборы данных, что делает две модели данных более взаимозаменяемыми.

Геометрические операции над векторными данными

Этот раздел посвящен операциям, которые каким-либо образом изменяют геометрию векторных ( sf ) объектов.Он более продвинут, чем операции с пространственными данными, представленные в предыдущей главе (в разделе 4.2), потому что здесь мы углубляемся в геометрию: Функции, обсуждаемые в этом разделе, работают с объектами класса sfc в дополнение к объектам класса sf .

Упрощение

Упрощение — это процесс обобщения векторных объектов (линий и многоугольников), обычно для использования в картах меньшего масштаба. Еще одна причина для упрощения объектов — уменьшить объем памяти, дискового пространства и пропускной способности сети, которые они потребляют: может быть целесообразно упростить сложные геометрические формы, прежде чем публиковать их в виде интерактивных карт.Пакет sf предоставляет st_simplify () , которая использует реализацию GEOS алгоритма Дугласа-Пекера для уменьшения количества вершин. st_simplify () использует dTolerance для управления уровнем обобщения в единицах карты (подробности см. В Douglas and Peucker 1973). На рисунке 5.1 показано упрощение геометрии LINESTRING , представляющей реку Сена и притоки. Упрощенная геометрия была создана следующей командой:

  seine_simp = st_simplify (seine, dTolerance = 2000) # 2000 м  

РИСУНОК 5.1: Сравнение исходной и упрощенной геометрии объекта невод.

Результирующий объект seine_simp является копией исходного seine , но с меньшим количеством вершин. Это очевидно: результат визуально проще (рис. 5.1, справа) и потребляет меньше памяти, чем исходный объект, как показано ниже:

  размер объекта (невод)
#> 18096 байт
объект.размер (seine_simp)
#> 9112 байтов  

Упрощение также применимо к полигонам.Это проиллюстрировано с использованием us_states , представляющей прилегающие Соединенные Штаты. Как мы показываем в главе 6, GEOS предполагает, что данные находятся в прогнозируемой CRS, и это может привести к неожиданным результатам при использовании географической CRS. Следовательно, первым шагом является проецирование данных в некоторую адекватную проектируемую CRS, такую ​​как равная площадь Национального атласа США (epsg = 2163) (слева на рисунке 5.2):

  us_states2163 = st_transform (us_states, 2163)  

st_simplify () одинаково хорошо работает с проецируемыми полигонами:

  us_states_simp1 = st_simplify (us_states2163, dTolerance = 100000) # 100 км  

Ограничение st_simplify () состоит в том, что он упрощает объекты для каждой геометрии.Это означает, что «топология» теряется, что приводит к перекрытию и «священным» единицам площади, показанным на рисунке 5.2 (средняя панель). ms_simplify () из rmapshaper предоставляет альтернативу, которая устраняет эту проблему. По умолчанию он использует алгоритм Visvalingam, который преодолевает некоторые ограничения алгоритма Douglas-Peucker (Visvalingam and Whyatt 1993). В следующем фрагменте кода эта функция используется для упрощения us_states2163 . Результат имеет только 1% вершин входа (установлен с использованием аргумента keep ), но его количество объектов остается неизменным, поскольку мы устанавливаем keep_shapes = TRUE :

  # доля баллов для сохранения (0-1; по умолчанию 0.05)
us_states2163 $ AREA = as.numeric (us_states2163 $ AREA)
us_states_simp2 = rmapshaper :: ms_simplify (us_states2163, keep = 0,01,
                                          keep_shapes = ИСТИНА)  

Наконец, визуальное сравнение исходного набора данных и двух упрощенных версий показывает различия между результатами алгоритмов Дугласа-Пекера ( st_simplify ) и Visvalingam ( ms_simplify ) (рисунок 5.2):

РИСУНОК 5.2: Упрощение многоугольника в действии, сравнение исходной геометрии смежных Соединенных Штатов с упрощенными версиями, созданными с помощью функций пакетов sf (в центре) и rmapshaper (справа).

Центроиды

Центроидные операции определяют центр географических объектов. Подобно статистическим измерениям центральной тенденции (включая среднее и медианное определения «среднего»), существует множество способов определить географический центр объекта. Все они создают одноточечные представления более сложных векторных объектов.

Наиболее часто используемая операция центроида — это географический центроид . Этот тип центроида (часто называемый «центроидом») представляет собой центр масс пространственного объекта (представьте себе балансировку пластины на пальце).Географические центроиды имеют множество применений, например, для создания простого точечного представления сложной геометрии или для оценки расстояний между многоугольниками. Их можно вычислить с помощью функции st_centroid () sf , как показано в приведенном ниже коде, который генерирует географические центроиды регионов Новой Зеландии и притоков реки Сены, показанные черными точками на рисунке 5.3.

  nz_centroid = st_centroid (nz)
seine_centroid = st_centroid (seine)  

Иногда географический центроид выходит за границы своих родительских объектов (подумайте о пончике).В таких случаях точка на поверхности операций могут использоваться, чтобы гарантировать, что точка будет находиться в родительском объекте (например, для маркировки нерегулярных многополигональных объектов, таких как островные государства), как показано красными точками на рисунке 5.3. Обратите внимание, что эти красные точки всегда лежат на своих родительских объектах. Они были созданы с помощью st_point_on_surface () следующим образом:

  nz_pos = st_point_on_surface (nz)
seine_pos = st_point_on_surface (невод)  

РИСУНОК 5.3: Центроиды (черные точки) и «точки на поверхности» (красные точки) по регионам Новой Зеландии (слева) и наборам данных Сены (справа).

Существуют и другие типы центроидов, включая центр Чебышева и зрительный центр . Мы не будем рассматривать их здесь, но их можно вычислить с помощью R, как мы увидим в главе 10.

Буферы

Буферы — это многоугольники, представляющие область на заданном расстоянии от геометрического объекта: независимо от того, является ли ввод точкой, линией или многоугольником, на выходе будет многоугольник.В отличие от упрощения (которое часто используется для визуализации и уменьшения размера файла), буферизация обычно используется для анализа географических данных. Сколько точек находится на заданном расстоянии от этой линии? Какие демографические группы находятся в пределах досягаемости этого нового магазина? На такие вопросы можно ответить и визуализировать, создав буферы вокруг интересующих географических объектов.

На рис. 5.4 показаны буферы разного размера (5 и 50 км), окружающие реку Сена и притоки.Эти буферы были созданы с помощью приведенных ниже команд, которые показывают, что для команды st_buffer () требуется как минимум два аргумента: входная геометрия и расстояние, указанное в единицах CRS (в данном случае в метрах):

  seine_buff_5km = st_buffer (seine, dist = 5000)
seine_buff_50km = st_buffer (seine, dist = 50000)  

РИСУНОК 5.4: Буферы вокруг набора данных Сены 5 км (слева) и 50 км (справа). Обратите внимание на цвета, которые отражают тот факт, что для каждого геометрического элемента создается один буфер.

Третий и последний аргумент st_buffer () nQuadSegs , что означает «количество сегментов в квадранте» и по умолчанию установлен на 30 (это означает, что круги, созданные буферами, состоят из \ (4 \ times 30 = 120 \ ) линии). Этот аргумент требуется редко. Необычные случаи, когда это может быть полезно, включают в себя, когда память, потребляемая выводом буферной операции, является серьезной проблемой (в этом случае ее следует уменьшить) или когда требуется очень высокая точность (в этом случае ее следует увеличить).

Аффинные преобразования

Аффинное преобразование — это любое преобразование, которое сохраняет линии и параллелизм. Однако углы или длина не обязательно сохраняются. Аффинные преобразования включают, среди прочего, смещение (перенос), масштабирование и вращение. Кроме того, можно использовать любую их комбинацию. Аффинные преобразования — важная часть геокомпьютинга. Например, смещение необходимо для размещения надписей, масштабирование используется в картограммах несмежных областей (см. Раздел 8.6), и многие аффинные преобразования применяются при перепроецировании или улучшении геометрии, созданной на основе искаженной или неверно спроецированной карты. Пакет sf реализует аффинное преобразование для объектов классов sfg и sfc .

Сдвиг перемещает каждую точку на одинаковое расстояние в единицах карты. Это можно сделать, добавив числовой вектор к векторному объекту. Например, приведенный ниже код сдвигает все координаты y на 100000 метров к северу, но оставляет координаты x нетронутыми (левая панель рисунка 5.5).

  nz_shift = nz_sfc + c (0, 100000)  

Масштабирование увеличивает или уменьшает объекты в несколько раз. Его можно применять как глобально, так и локально. Глобальное масштабирование увеличивает или уменьшает все значения координат по отношению к исходным координатам, сохраняя при этом топологические связи всех геометрий. Это можно сделать путем вычитания или умножения объекта sfg или sfc .

Локальное масштабирование обрабатывает геометрию независимо и требует точек, вокруг которых геометрия будет масштабироваться, например.г., центроиды. В приведенном ниже примере каждая геометрия уменьшается в два раза вокруг центроидов (средняя панель на рис. 5.5). Для этого каждый объект сначала смещается так, чтобы его центр имел координаты 0, 0 ( (nz_sfc - nz_centroid_sfc) ). Далее размеры геометрических фигур уменьшаются вдвое ( * 0,5 ). Наконец, центроид каждого объекта перемещается обратно в координаты входных данных ( + nz_centroid_sfc ).

  nz_centroid_sfc = st_centroid (nz_sfc)
nz_scale = (nz_sfc - nz_centroid_sfc) * 0.5 + nz_centroid_sfc  

Для вращения двумерных координат требуется матрица вращения:

\ [ R = \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & — \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \\ \ end {bmatrix} \]

Он вращает точки по часовой стрелке. Матрица вращения может быть реализована в R как:

  вращение = функция (а) {
  r = a * pi / 180 # градусы в радианы
  матрица (c (cos (r), sin (r), -sin (r), cos (r)), nrow = 2, ncol = 2)
}  

Функция вращения принимает один аргумент a — угол поворота в градусах.Вращение может производиться вокруг выбранных точек, таких как центроиды (правая панель на рис. 5.5). См. Виньетка ("sf3") для получения дополнительных примеров.

  nz_rotate = (nz_sfc - nz_centroid_sfc) * поворот (30) + nz_centroid_sfc  

РИСУНОК 5.5: Иллюстрации аффинных преобразований: сдвиг, масштабирование и поворот.

Наконец, вновь созданные геометрии могут заменить старые с помощью функции st_set_geometry () :

  nz_scale_sf = st_set_geometry (nz, nz_scale)  

Клипса

Пространственное отсечение — это форма пространственного подмножества, которая включает изменения в столбцах геометрии по крайней мере некоторых из затронутых объектов.

Отсечение может применяться только к объектам более сложным, чем точки: линии, многоугольники и их «мульти» эквиваленты. Чтобы проиллюстрировать концепцию, мы начнем с простого примера: два перекрывающихся круга с центром на расстоянии одной единицы друг от друга и радиусом, равным единице (рис. 5.6).

  b = st_sfc (st_point (c (0, 1)), st_point (c (1, 1))) # создать 2 точки
b = st_buffer (b, dist = 1) # конвертировать точки в круги
участок (б)
text (x = c (-0.5, 1.5), y = 1, labels = c ("x", "y")) # добавить текст  

РИСУНОК 5.6: перекрывающиеся круги.

Представьте, что вы хотите выбрать не тот или иной круг, а пространство, охватываемое как x , , так и y . Это можно сделать с помощью функции st_intersection () , проиллюстрированной с помощью объектов с именами x и y , которые представляют собой левую и правую окружности (рисунок 5.7).

  x = b [1]
y = b [2]
x_and_y = st_intersection (x, y)
участок (б)
plot (x_and_y, col = "lightgrey", add = TRUE) # цвет области пересечения  

Расстояние вдоль геометрии

  • Адаптироваться к местности

    Адаптирует скелет персонажа к ландшафту.

  • Адаптивный чернослив

    Удаляет элементы, пытаясь сохранить общий вид.

  • Добавить

    Создает точки или полигоны, или добавляет точки / полигоны к входным данным.

  • Агент

    Создает примитивы агента.

  • Агент Анимация Распаковка

    Извлекает анимацию или клипы движения из примитива агента.

  • Распаковка персонажа агента

    Извлекает остальную геометрию, скелет и анимацию из примитива агента.

  • Агент клип

    Добавляет новые клипы в примитивы агентов.

  • Свойства клипа агента

    Определяет, как должны воспроизводиться анимационные клипы агентов.

  • График переходов клипов агента

    Создает геометрию, описывающую возможные переходы между анимационными клипами.

  • Уровень столкновения агентов

    Создает новый слой агента, подходящий для обнаружения столкновений.

  • Агент настраивает соединения

    Создает точечные атрибуты, определяющие пределы вращения суставов агента.

  • Сеть ограничений агента

    Создает сеть ограничений, чтобы скрепить конечности агента.

  • Кэш определений агентов

    Записывает файлы определения агента на диск.

  • Агент Править

    Редактирует свойства примитивов агентов.

  • Уровень агента

    Добавляет новый слой к примитивам агента.

  • Агент смотреть на

    Регулирует голову агента, чтобы он смотрел на определенный объект или положение.

  • Поза агента из Рига

    Обновляет позу примитива агента из геометрического скелета.

  • Подготовка агента

    Добавляет агентам различные атрибуты общих точек для использования другими узлами скопления людей.

  • Прокси-агент

    Предоставляет простую прокси-геометрию для агента.

  • Агентские отношения

    Создает родительско-дочерние отношения между агентами.

  • Агент Адаптация к местности

    Приспосабливает ноги агентов к местности и предотвращает скольжение ступней.

  • Группа преобразования агента

    Добавляет новые группы преобразований в примитивы агента.

  • Агент Распаковка

    Извлекает геометрию из примитивов агента.

  • Агент Веллум Распаковать

    Извлекает геометрию из примитивов агентов для моделирования Веллума.

  • Агент с буровой установки

    Создает примитив агента из геометрического каркаса.

  • Перегонный куб

    Загружает геометрию из файла архива сцены Alembic (.abc) в геометрическую сеть.

  • Alembic Group

    Создает геометрическую группу для примитивов Alembic.

  • Алембический примитив

    Изменяет внутренние свойства примитивов Alembic.

  • Драйвер вывода Alembic ROP

  • Выровнять

    Выравнивает группу примитивов друг с другом или с дополнительным входом.

  • Собрать

    Очищает серию операций разрыва и создает получившиеся части.

  • Присоединить контрольную геометрию

    Создает управляющую геометрию для установок KineFX на основе SOP.

  • Атрибут Adjust Float

    Изменяет значения атрибутов с плавающей запятой для входящей геометрии.

  • Атрибут Adjust Integer

    Изменяет целочисленные значения атрибутов входящей геометрии.

  • Атрибут Adjust Vector

    Изменяет значения атрибута векторного типа входящей геометрии.

  • Размытие атрибутов

    Размывает (или «расслабляет») точки в сетке или облаке точек.

  • Атрибут Cast

    Изменяет размер / точность, которые Houdini использует для хранения атрибута.

  • Составной атрибут

    Объединяет вершину, точку, примитив и / или подробные атрибуты между двумя или более выборками.

  • Копия атрибута

    Копирует атрибуты между группами вершин, точки или примитивы.

  • Атрибут Создать

    Добавляет или редактирует определенные пользователем атрибуты.

  • Атрибут Удалить

    Удаляет точечные и примитивные атрибуты.

  • Выражение атрибута

    Позволяет простым выражениям VEX изменять атрибуты.

  • Атрибут Fade

    Изменяет точечный атрибут с течением времени.

  • Атрибут из пьес

    Присваивает точкам атрибут, определяющий, какая модель из набора моделей должна быть скопирована / инстансирована в эту точку, случайным образом или на основе различных правил.

  • Атрибут Интерполировать

    Интерполирует атрибуты внутри примитивов или на основе явных весов.

  • Зеркало атрибутов

    Копирует и переворачивает атрибуты с одной стороны плоскости на еще один.

  • Атрибутный шум

    Добавляет или генерирует шум в геометрических атрибутах.

  • Атрибут Paint

    Интерактивное рисование атрибутов точек, например значений цвета или маски деформации, непосредственно на геометрии.

  • Attribute Promote

    Повышает или понижает атрибуты с одного геометрического уровня на другой.

  • Атрибут случайный

    Генерирует случайные значения атрибутов различных распределений.

  • Переназначение атрибутов

    Подгоняет значения атрибута к новому диапазону.

  • Переименовать атрибут

    Переименовывает или удаляет точечные и примитивные атрибуты.

  • Переориентировать атрибут

    Изменяет атрибуты точки на основе различий между двумя моделями.

  • Строка атрибута Править

    Редактирует значения атрибутов строки.

  • Замена атрибутов

    Копирует, перемещает или меняет местами содержимое атрибутов.

  • Перенос атрибутов

    Переносит вершину, точку, примитив и / или атрибуты деталей между двумя моделями.

  • Перенос атрибутов по UV

    Переносит атрибуты между двумя геометриями на основе УФ-близости.

  • Атрибут VOP

    Запускает сеть VOP для изменения геометрических атрибутов.

  • Атрибут Wrangle

    Запускает фрагмент кода VEX для изменения значений атрибутов.

  • Атрибут с карты

    Делает выборку информации карты текстуры для атрибута точки.

  • Атрибут из параметров

    Создает атрибут словаря, заполненный значениями параметров.

  • Атрибут из объема

    Копирует информацию из тома в точечные атрибуты другой кусок геометрии с возможностью переназначения.

  • Испечь ODE

    Преобразует примитивы для решателей ODE и Bullet.

  • Объем выпечки

    Вычисляет значения освещения в примитивах объема

  • Баллистический путь

    Создает траектории баллистических снарядов из входящих точек.

  • Основа

    Обеспечивает операции по перемещению узлов в параметрическом пространстве. NURBS-кривой или поверхности.

  • Изгиб

    Применяет захваты, такие как изгиб, скручивание, конус и сжатие / растяжение.

  • Взрыв

    Удаляет примитивы, точки, ребра или точки останова.

  • Смешать формы

    Вычисляет трехмерную метаморфозу между фигурами с одинаковой топологией.

  • Заблокировать начало

    Начало цикла зацикливания.

  • Заблокировать начало компиляции

    Начало блока компиляции.

  • Конец блока

    Конец / вывод блока зацикливания.

  • Блокировать конец компиляции

    Конец / вывод блока компиляции.

  • Костный захват

    Поддерживает деформацию костей, присваивая костям вес захвата.

  • Bone Capture Biharmonic

    Поддерживает деформацию костей путем назначения весов захвата точкам на основе бигармонических функций на тетраэдрических сетках.

  • Линии захвата костей

    Служебный узел, поддерживающий бигармонический захват костей путем создания линий из костей с подходящими атрибутами.

  • Близость захвата кости

    Поддерживает деформацию костей, присваивая точкам веса захвата в зависимости от расстояния до костей.

  • Деформация костей

    Использует атрибуты захвата, созданные из костей, для деформации геометрии в соответствии с их движением.

  • Костяная связь

    Создает геометрию по умолчанию для объектов Bone.

  • Булево

    Объединяет два полигональных объекта с помощью логических операторов или находит линии пересечения между двумя полигональными объектами.

  • Логический перелом

    Разрушение входной геометрии с использованием режущих поверхностей.

  • Связаны

    Создает ограничивающую рамку, сферу или прямоугольник для входной геометрии.

  • Коробка

    Создает куб или шестигранный прямоугольник.

  • Выпуклость

    Деформирует точки на первом входе с помощью одного или нескольких магнитов. со второго входа.

  • Сеть COP2

    Импортирует 2-мерную геометрию из составной сети.

  • Кеш

    Записывает и кэширует входную геометрию для более быстрого воспроизведения.

  • Крышка

    Закрывает открытые участки плоскими или закругленными крышками.

  • Набор атрибутов захвата

    Преобразует атрибуты массива в один атрибут захвата пары индексов.

  • Распаковать атрибут захвата

    Преобразует один атрибут захвата пары индексов в атрибуты точек и подробных массивов.

  • Захватить правильно

    Регулирует области захвата и вес захвата.

  • Захват слоя краски

    Позволяет рисовать атрибуты захвата непосредственно на геометрии.

  • Зеркало захвата

    Копии захватывают атрибуты из одной половины симметричной модели в другую.

  • Переопределение захвата

    Отменяет веса захвата для отдельных точек.

  • Захватить упакованную геометрию

    Жесткий захват входной упакованной геометрии в каркас SOP.

  • Захват региона

    Поддерживает операции захвата и деформации, создавая объем, внутри которого точки захвачены до кости.

  • Вырезать

    Нарезает, разрезает или извлекает точки или поперечные сечения из примитивный.

  • Цепь

    Повторяет один или несколько геометрических элементов вдоль кривой.

  • Канал

    Считывает образцы данных из чопа и преобразует их в точечные позиции и точечные атрибуты.

  • Смешанные формы персонажей

    Применяет смешанные формы к геометрии персонажа KineFX, используя атрибуты веса на его скелете.

  • Ввод / вывод символов

    Упаковывает сетку персонажа, захват позы и анимацию, сохраняет их на диск и снова загружает.

  • Набор персонажей

    Создает примитив упакованной геометрии из входных данных остальной геометрии, скелета и анимации.

  • Распаковка персонажа

    Извлекает остальную геометрию, скелет и анимацию из упакованного геометрического примитива.

  • Круг

    Создает открытые или замкнутые дуги, окружности и эллипсы.

  • Круг из краев

    Преобразует выбранную геометрию в круг.

  • Глина

    Позволяет деформировать NURBS-грани и NURBS-поверхности, потянув за лежащие прямо на них.

  • Чистый

    Помогает очистить грязные модели.

  • Клип

    Удаляет или группирует геометрию на одной стороне плоскости, или сгибает геометрию вдоль плоскости.

  • Захват ткани

    Снимает имитацию ткани с низким разрешением.

  • Ткань деформации

    Деформирует геометрию, захваченную СОП по захвату ткани.

  • Облако

    Создает объемное представление исходной геометрии.

  • Облачный свет

    Заполняет объем рассеянным светом.

  • Облачный шум

    Применяет шум как облако к объему тумана.

  • Кластер

    Машины низкого уровня для кластеризации точек на основе их положения (или любого векторного атрибута).

  • Кластерные точки

    Узел более высокого уровня для кластеризации точек на основе их положения (или любого векторного атрибута).

  • Источник столкновения

    Создает геометрию и объемы VDB для использования с коллизиями DOP.

  • цвет

    Добавляет атрибуты цвета к геометрии.

  • Расческа

    Отрегулируйте нормали точек поверхности путем рисования.

  • Поза вычислительной машины

    Оценивает множество параметров преобразования и применяет их к входному каркасу.

  • Вычислить преобразование

    Повторно вычисляет преобразования мирового или локального пространства для точек в иерархии.

  • Настроить информацию о клипе

    Редактирует свойства скелетной анимации или анимационного клипа.

  • Соедините соседние части

    Создает линии между соседними частями.

  • Связь

    Создает атрибут с уникальным значением для каждого набора связанных примитивов или точек.

  • Контроль

    Создает простую геометрию для использования в качестве управляющих фигур.

  • Перерабатывать

    Преобразует геометрию из одного типа геометрии в другой.

  • Преобразовать поле высоты

    Преобразует двумерное поле высоты в трехмерный объем VDB, поверхность многоугольника или поверхность супа многоугольника.

  • Преобразовать строку

    Преобразует исходную геометрию в линейные сегменты.

  • Конвертировать мета

    Полигонизирует геометрию метабола.

  • Конвертировать Теты

    Создает ориентированную поверхность сетки тетраэдра.

  • Конвертировать VDB

    Преобразует разреженные тома.

  • Конвертировать точки VDB

    Преобразует облако точек в примитив точек VDB или наоборот.

  • Преобразовать объем

    Преобразует изоповерхность объема в многоугольную поверхность.

  • Выпуклая декомпозиция

    Разбивает исходную геометрию на приблизительно выпуклые сегменты.

  • Копировать штамп

    Создает несколько копий входной геометрии или копирует геометрию на точки второго входа.

  • Копировать и преобразовывать

    Копирует геометрию и применяет преобразования к копиям.

  • Копировать в кривые

    Копирует геометрию из первого входа на кривые второго входа.

  • Копировать в точки

    Копирует геометрию из первого входа в точки второго входа.

  • Складка

    Вручную добавляет или удаляет атрибут веса складки в / из многоугольника края, для использования с Subdivide SOP.

  • Ползать

    Деформирует и анимирует геометрический элемент на поверхности.

  • Поперечное сечение поверхности

    Создает поверхность вокруг поперечных сечений.

  • Источник толпы

    Заполняет группу примитивов агентов.

  • Leave a Reply

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *