Контрольная по геометрии погорелов 9 класс: контрольные работы по геометрии 9 класс по учебнику А.В. Погорелова

Геометрия Погорелов Контрольная К-1 | Частная школа. 9 класс

Геометрия Погорелов Контрольная К-1 (4 варианта). Контрольная работа № 1 по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы». Цитаты из пособия использованы в учебных целях.

Контрольная работа К-1 по геометрии
9 класс (УМК Погорелов)

Текстовая версия заданий (транскрипт):

К-1. Вариант 1

1. В треугольнике АВС через точку К, принадлежащую стороне АВ, проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая сторону АС в точке М. а) Докажите, что ΔАВС ∼ ΔАКМ. б) Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АКМ равен 15 см, а отношение сторон АК : АВ = 1 : 3.
2. Хорда АВ, равная 8 см, отсекает от окружности с центром в точке О дугу в 90°. Через концы хорды проведены диаметры АС и BD. а) Определите вид четырехугольника ABCD. б) Найдите длины диагоналей и неизвестных сторон четырехугольника.

К-1. Вариант 2

1. В трапеции ABCD (BC II AD) О — точка пересечения диагоналей, а) Докажите, что ΔBOC ∼ ΔDOA. б) Найдите ВС, если AD = 12 см, ВО : OD = 1 : 2.
2. Из точки А окружности с центром в точке О проведены взаимно перпендикулярные равные хорды АВ и АС. а) Определите вид треугольников АОВ и АВС. б) Вычислите стороны треугольника АВС, если хорды АВ и АС удалены от центра на расстояние 4 см.

К-1. Вариант 3

1. В треугольнике АВС через точку М, принадлежащую стороне АС, проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая ВС в точке N. а) Докажите, что ΔABC ∼ ΔMNC. б) Найдите стороны треугольника АВС, если стороны треугольника MNC равны 4 см, 6 см, 7 см и точка М делит сторону АС в отношении 1 : 1.
2. Дана окружность радиуса 1 дм. Тремя точками она разделена в отношении 1:2:3. Точки последовательно соединены хордами, а) Определите вид полученного треугольника. б) Вычислите длины хорд.

К-1. Вариант 4

1. В трапеции ABCD (BC II AD) О — точка пересечения диагоналей, а) Докажите, что ΔСОВ ∼ ΔAOD. б) Найдите диагональ BD, если ВС = 6 см, AD = 9 см, ВО = 4 см.
2. В окружности диаметры АС и BD пересекаются под углом 60°. а) Определите вид треугольника АОВ, четырехугольника ABCD. б) Найдите периметр четырехугольника ABCD, если радиус окружности равен 4 см.

ОТВЕТЫ на контрольную работу К-1

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии (Погорелов)

Вы смотрели: Геометрия Погорелов Контрольная К-1 (4 варианта). Контрольная работа по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы».

Геометрия Погорелов Контрольная К-2 | Частная школа. 9 класс

Геометрия Погорелов Контрольная К-2 (4 варианта). Контрольная работа № 2 по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы». Цитаты из пособия использованы в учебных целях.

Контрольная работа К-2 по геометрии
9 класс (УМК Погорелов)

Текстовая версия заданий (транскрипт):

К-2*. Вариант 1

1. В равнобедренном треугольнике один из углов тупой, одна сторона равна 14 см, а другая — 8 см. а) Чему равно основание этого треугольника? б) Найдите угол при основании.
2. В параллелограмме ABCD диагональ АС делит угол А на углы в 30° и 50°. Меньшая сторона равна 4 см. а) Назовите меньшую сторону параллелограмма. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите длины большей стороны и диагоналей.

К-2. Вариант 2

1. В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 80°, меньшая сторона равна 6 см. а) Назовите меньшую сторону треугольника. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите среднюю сторону.
2. В трапеции ABCD (ВС II AD) диагональ АС с основанием AD образует угол 25°, DC = 4 см, AD = 7 см. а) Вычислите углы треугольника ACD. б) Найдите диагональ АС.

К-2. Вариант 3

1. В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см. а) Определите, какой из углов наименьший и какой наибольший. б) Вычислите наибольший угол треугольника АВС.
2. В параллелограмме ABCD диагонали, равные 10 см и 14 см, пересекаются под углом 70°. а) Вычислите периметр параллелограмма, б) Найдите углы параллелограмма.

К-2. Вариант 4

1. В треугольнике АВС ∠А = 80°, ∠В = 70°. Большая сторона равна 5 см. а) Назовите наибольшую и наименьшую стороны треугольника. (Ответ обоснуйте.) б) Вычислите наименьшую сторону.
2. В параллелограмме ABCD диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются под углом 100°. а) Вычислите периметр параллелограмма. б) Найдите углы параллелограмма.

 * Во всех вариантах контрольной работы № 2 предлагается проводить округление величин на каждом шаге выполнения вычислений.

ОТВЕТЫ на контрольную работу

Вернуться к Списку контрольных работ по геометрии (Погорелов)

Вы смотрели: Геометрия Погорелов Контрольная К-2 (4 варианта). Контрольная работа по геометрии в 9 классе с ответами к учебнику А.В. Погорелов «Геометрия 7 — 9 классы».

А.В. Погорелов.2 — 2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.\]

Теорема доказана.

Вопрос 2. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «\(\pm\)» удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак «+» или «-» ?

Ответ. Пусть \(ABC\) — данный треугольник (рис. 263).

Заметим, что \(AC\cdot\cos A\) равно по абсолютной величине проекции \(AD\) стороны \(AC\) на сторону \(AB\) (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак \(AC\cdot\cos A\) зависит от угла \(A\): «+», если угол \(A\) острый, «-«, если угол \(A\) тупой. Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «\(\pm\)» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-«, когда угол острый.

Вопрос 3. Докажите теорему синусов.

Ответ. Теорема 12.2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть \(ABC\) — т

ГДЗ геометрия / Погорелов / контрольные работы / К-1 В1 алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы Ершова, Голобородько

Решение есть!

• 1 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир

• 2 класс
  • Математика
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Информатика
  • Музыка
  • Литература
  • Окружающий мир
  • Технология

ГДЗ ЛОЛ за 7‐9 класс по Геометрии А.В. Погорелов ФГОС

☰

• ГДЗ
• 1 КЛАСС
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Математика
  • Окружающий мир
  • Литература
  • Информатика
  • Музыка
  • Человек и мир
  • Технология
• 2 КЛАСС
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Немецкий язык
  • Математика
  • Окружающий мир
  • Литература
  • Белорусский язык

Геометрия 9 класс Контрольная № 4 с ответами

Контрольная работа № 4 по геометрии в 9 классе «Длина окружности и площадь круга» с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). УМК Атанасян и др. (Просвещение). Поурочное планирование по геометрии для 7 класса (Н.Ф. Гаврилова, ВАКО). Урок 50. Геометрия 9 класс Контрольная № 4 «Длина окружности и площадь круга».

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе (УМК Атанасян)

---

 

Контрольная работа № 4
«Длина окружности и площадь круга»

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме.
Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Мотивация к учебной деятельности. Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.

2. Контрольная работа «Длина окружности и площадь круга»

   I уровень сложности

Вариант 1

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см.
2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6√3 дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.
4. * Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠ВАС = 30°, О — центр окружности (рис. 12.55).

Вариант 2

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.
2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?
3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность.
4. * Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если О — центр окружности с диаметром 10√2 (рис. 12.56).

   II уровень сложности

Вариант 1

1. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 4√3 см.
2. Длина дуги окружности с градусной мерой 120° равна 8π см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если АО = 4 см, ∠AOB = 135° (рис. 12.57).
4. * Периметр правильного четырехугольника, вписанного в окружность, на 16(√2 – 1) см меньше периметра правильного четырехугольника, описанного около этой же окружности. Найдите радиус окружности.

Вариант 2

1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 6√3 см.
2. Длина дуги окружности с градусной мерой 150° равна 10π см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВО = 3 см, ∠AOB = 120° (рис. 12.58).
4. * Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18√5 см больше периметра правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. Найдите радиус окружности.

 

   III уровень сложности

Вариант 1

1. Вписанный в круг квадрат разделил его на пять частей. Найдите отношение площади меньшей из полученных частей к площади большей, если сторона квадрата равна 8.
2. Центр окружности совпадает с вершиной квадрата, а ее радиус равен 60% стороны квадрата. В каком отношении дуга окружности, расположенная внутри квадрата, делит его площадь?
3. Из точки А к окружности с центром О и радиусом, равным 6 см, проведены две касательные АВ и АС, образующие между собой угол в 120°. Найдите периметр и площадь фигуры, ограниченной отрезками АВ и АС и дугой ВС окружности, если центр окружности не содержится во внутренней области полученной фигуры.
4. * Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и √3 равно 1. Найдите площади образовавшихся луночек и общей части кругов.

Вариант 2

1. Вписанный в круг правильный треугольник разделил его на четыре части. Найдите отношение площади большей из полученных частей к площади меньшей, если сторона треугольника равна 4√3.
2. Центр окружности совпадает с вершиной равностороннего треугольника, а ее радиус равен 60% стороны треугольника. В каком отношении дуга окружности, расположенная внутри треугольника, делит его площадь?
3. Из точки А к окружности с центром О и радиусом, равным 8 см, проведены две касательные АВ и АС, образующие между собой угол в 60°. Найдите периметр и площадь фигуры, ограниченной отрезками АВ и АС и дугой ВС окружности, если центр окружности содержится во внутренней области полученной фигуры.
4. * Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 1 равно √3. Найдите площади образовавшихся луночек и общей части кругов.

 

3. Рефлексия учебной деятельности

В конце урока учитель раздает на каждую парту ответы на задачи контрольной работы.
Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

   Ответы на контрольную I уровня сложности

---

 

   Ответы на контрольную II уровня сложности

---

 

   Ответы на контрольную III уровня сложности

---

Вы смотрели: Геометрия 9 класс Контрольная № 4. Поурочное планирование по геометрии для 9 класса. УМК Атанасян (Просвещение). Урок 50. Контрольная работа по геометрии «Длина окружности и площадь круга» + ОТВЕТЫ.

Смотреть Список всех контрольных по геометрии в 9 классе по УМК Атанасян.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования в 9 классе.

Примечания для координатной геометрии класса 9 Скачать PDF

Важность координатной геометрии класса 9 Примечания и концепции изменения

Создание примечаний к редакции для класса 9 поможет вам интерпретировать все, что вы читаете, своими словами, чтобы вы поняли класс 9 понятий лучше. Были времена, когда ученики 9-х классов читали всю страницу безучастно, даже не понимая ни единого слова, но если вы сделаете заметок для стандартного экзамена 9, тогда ваш мозг попытается выжать смысл из каждого написанного вами предложения, что очень много. полезно для студентов.В заметках о редакции всегда фиксируется вся информация, которую вы узнали. Эти заметки во время экзамена будут действовать как готовые рекомендации для рассмотрения. Этот метод не только помогает сэкономить силы и время учащихся во время экзамена 9 класса, но также помогает им вспомнить все, что они изучали, за меньшее время. Заметки о пересмотре для класса 9 также помогли ученикам запомнить то, что они изучали, потому что они могли прочитать каждое предложение строка за строкой и подготовить заметки.

Преимущества Примечания для координатной геометрии класса 9

a) Поможет вам своевременно пересмотреть все важные концепции перед школьными экзаменами в 9 классе

b) Краткие заметки по каждой главе, данной в последнем классе 9 книг по координатной геометрии помогут вам выучить и повторить все основные концепции прямо у дверей экзаменационного зала.

c) Примечания, предоставленные Studiestoday.com, были подготовлены специально для студентов, сдающих экзамен Class 9 2020, чтобы они могли получить лучший результат на предстоящем экзамене Class 9

d) Вы почувствуете себя комфортно, потому что вы пересмотрели все важные темы Coordinate Geometry , и вам не придется носить с собой всю книгу на экзамене

e) Загрузите все заметки в формате PDF для Class 9 Coordinate Geometry и будьте уверены, что вы охватили все

Приведенные выше примечания помогут вам преуспеть на экзаменах.Вы всегда должны пересматривать концепции и примечания по координатной геометрии для класса 9 перед экзаменами, они помогут вам подвести итоги всех важных тем, и вы сможете получить более высокие оценки. Вы также можете щелкнуть ниже, чтобы загрузить решенные последние образцы работ, контрольные работы за прошлый год (за последние 10 лет) в формате pdf для печати, имитирующие онлайн-тесты, последние книги для класса 9, основанные на учебной программе и руководящих принципах, выпущенных CBSE NCERT KVS. Учебный материал подготовлен опытными преподавателями ведущих школ и институтов Индии и доступен для бесплатного скачивания в формате pdf.

Треугольник | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 9 класс> Обязательная математика> Геометрия

тип углов

Отрезок линии : Определенная часть прямой линии называется отрезком прямой. Имеет фиксированное измерение.

Изогнутая линия : Линия, соединяющая две фиксированные точки без фиксированного направления, называется изогнутой линией.

Параллельные линии : Любые две или более двух прямых линий, которые пересекаются друг с другом после продолжения, или длина перпендикулярного расстояния между ними всегда равна, являются параллельными линиями.

Угол : Когда любые две прямые или отрезки пересекаются в одной точке, они образуют угол, который называется углом.

Связь между парой углов

1. Смежные углы
Пара углов, имеющих одинаковую вершину и общую сторону, называется смежными углами. Если внешние стороны обоих углов лежат на прямой, их сумма равна двум прямым углам.

2.Вертикально противоположные углы
Когда два прямых отрезка пересекаются в точке, пара углов, образованных друг напротив друга, называется вертикально противоположными углами.

Классификация треугольников по сторонам

1. Равносторонние треугольники

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника составляет 60 ^o . Итак, равносторонний треугольник еще называют равносторонним i.Все внутренние углы также совпадают друг с другом и составляют 60 ^o каждый. Это правильные многоугольники.

2. Равнобедренный треугольник

Треугольник, у которого (как минимум) две стороны равны, называется равнобедренным треугольником. Углы основания равнобедренного треугольника равны. Следовательно, равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. В \ (\ треугольник \) ABC, ∠B = ∠C ∴ \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

3.Скаленовый треугольник

Треугольник, все три стороны которого не равны, называется разносторонним треугольником. В \ (\ треугольнике \) XYZ нет равных сторон. ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — разносторонний треугольник.

Классификация треугольников по углам

1. Остроугольный треугольник: Треугольник, все углы которого являются острыми углами (менее 90 ^o ), называется остроугольным треугольником. На данном рисунке все углы меньше 90 ^o , поэтому это остроугольный треугольник.

2. Треугольник с тупым углом: Треугольник, один угол которого тупой (больше 90 ^o ), называется треугольником с тупым углом. На данном рисунке ∠Y составляет 120 ^o (больше 90 ^o ) ∴ \ (\ треугольник \) XYZ — это треугольник с тупым углом.

3. Прямоугольный треугольник: Треугольник, у которого один угол является прямым (90 ^o ), называется прямоугольным треугольником. В \ (\ треугольник \) ABC B = 90 ^o , поэтому \ (\ треугольник \) ABC — прямоугольный треугольник.

Свойства треугольников

• Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам или 180.
• Внешний угол, образованный стороной треугольника, равен сумме двух несмежных внутренних углов.
• Сумма любых двух сторон большего угла треугольника длиннее противоположной стороны меньшего угла.
• Углы основания равнобедренного треугольника равны
• Все углы равностороннего треугольника равны.

Треугольники — это трехсторонние замкнутые фигуры, у которых есть три прямые стороны, соединенные в трех вершинах, и три угла, заключенные внутри фигуры в вершинах. Существует несколько типов треугольников в зависимости от длины его сторон и углов, которые они содержат. Многие не знают, что треугольник — это многоугольник с тремя сторонами.

Аксиомы и постулаты

Axoims

Аксиома — это самоочевидная истина, которая хорошо установлена, принята без споров или вопросов.Некоторые из аксиом представлены в следующей таблице с их условиями:

Axoims	Conditons
Равенство сложения	Когда равные количества добавляются к обеим сторонам равных количеств, сумма также равна. например, если a = b, то a + c = b + c
Равенство вычитания	Когда равные количества вычитаются из обеих частей равных величин, разница также становится равной. например если a = b, то a-c = b-c
Равенство умножения	Когда равные количества умножаются на одинаковое количество, продукт также становится равным. например если a = b, то a * c = b * c
Равенство деления	Когда равные количества делятся на одинаковое количество, частное также становится равным. например если a = b, то a / c = b / c
Аксиома равенства	Когда два отдельных количества равны количеству, они также равны друг другу. Если a = c и b = c, то a = c
Аксиома целиком	Целое количество всегда равно сумме всех его частей, а целое количество всегда больше, чем каждая из его частей. например AD = AB + BC + CD и AD> AB или AD> BC или AD> CD
Аксиома подстановки	Количество может быть заменено другим равным количеством. Это не меняет окончательного результата. Если a = b, то ax + c можно выразить как bx + c.

Постулаты

Утверждение, которое считается истинным без доказательства, называется постулатом. Постулаты — это основная структура, из которой выводятся леммы и теоремы.Некоторые из постулатов, которые нам нужны в нашей геометрии, перечислены ниже.

1. Есть только одна прямая линия, которую можно провести между любыми двумя точками.

2. Через точку можно провести бесконечное количество прямых.

3. В строке ровно не менее двух точек.

4. Через любые три неколлинеарные точки существует ровно одна плоскость.

5. Биссектрисой данного угла может быть только одна линия.

6. Прямая линия может быть построена с любой стороны до бесконечности.

7. Через одну точку проходит только линия, параллельная первой линии.

8. Длина перпендикуляра означает расстояние между точкой и линией.

Свойства углов при пересечении двух параллельных прямых поперечной линией:

рисунок

Нарисуем как минимум две параллельные прямые AB и XY. Трансверсальная прямая CD пересекает AB в точке E и XY в точке F. Мы можем установить следующие соотношения между образующимися углами:

a) Альтернативные углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то образованные таким образом альтернативные углы равны.∴ ∠AEF = ∠EFY и ∠BEF = ∠EFX

b) Соответствующие углы равны: Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то соответствующие углы, образованные таким образом, равны.

∴ ∠AED = ∠EFX, ∠AEF = ∠XFC

∠DEB = ∠EFY, ∠BEF = ∠YFC

c) Сумма совпадающих внутренних углов равна 180 ^o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма образованных таким образом совместных внутренних углов составляет 180 ^o .

∴ ∠AEF + ∠EFX = 180 ^или

∠BEF + ∠EFY = 180 ^или

d) Сумма со-внешних углов составляет 180 ^o : Если две параллельные прямые пересекаются поперечной линией, то сумма сонаправленных углов, образованных таким образом, составляет 180 ^o .

∴ AED + ∠XEC = 180 ^o и ∠DEB + ∠YEC = 180 ^o

Теорема 1: Сумма углов любого треугольника равна двум прямым углам.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разной ориентации.И назовите их \ (\ треугольник \) ABC каждый. (Нарисуйте треугольники таким образом, чтобы каждый угол можно было измерить с помощью транспортира.)

Шаг 2: Измерьте каждый угол этих трех треугольников с помощью транспортира и заполните следующую таблицу.

Фиг.	∠A	∠Б	∠C	Результаты
(я)				∠A + ∠B + ∠C =
(ii)				∠A + ∠B + ∠C =
(iii)				∠A + ∠B + ∠C =

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ∠ABC, ∠BCA и ∠BAC — три угла треугольника ABC.

Для доказательства: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180 ^o

Построение: проведем прямую линию, параллельную BC, через A.

Проба:

S.N.	Выписки	Причины
1	∠XAB = ∠ABC	XY \ (\ parallel \) BC и являются альтернативными углами.
2	∠YAC = ∠ACB	XY \ (\ parallel \) BC и являются альтернативными углами.
3	∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = ∠XAY	Согласно аксиоме целого части.
4	∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠XAY	Из утверждений (1), (2) и (3).
5	∠XAY = 180 0	Прямой угол составляет 180 o (два прямых угла)
6	∴ ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180 o или 2 прямых угла.	Подставляем значение ∠XAY в утверждение (4).

Доказано

Теорема 2: Внешний угол, образованный продолжением стороны треугольника, равен сумме двух других несмежных углов.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуем три треугольника разного размера в разной ориентации. Произведите от BC до D на каждой фигуре. На каждом рисунке ∠ACD — это внешний угол, а ∠A и ∠B — два несмежных угла внутри треугольника.

Шаг 2: Измерьте размер внешнего угла и двух других несмежных углов на каждом рисунке и заполните таблицу.

Фиг.	Внешний угол ∠ACD	∠A	∠Б	Результаты
(я)
(ii)
(iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: ABC — это треугольник, сторона BC которого продолжается до D, так что ∠ACD — это внешний угол.

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Проба:

S.N.	Заявление	Причины
1	∠ACD + ∠BCA = 180 o	Сумма смежных углов прямой равна 180 o .
2	ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180 o	Сумма углов в треугольнике равна 180 o .
3	∠ACD + ∠BCA = ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC	Из утверждений (1) и (2).
4	∠ACD = ∠ABC + ∠BAC	Отмена ∠BCA на обеих сторонах утверждения (3).

Доказано
Альтернативный метод:

Дано: ABC — это треугольник, сторона BC которого продолжается до D, так что ∠ACD во внешнем угле.

Доказать: ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

Конструкция: проведем CE параллельно BA.

Проба:

S.N.	Выписки	Результаты
1	∠ACD = ∠ACE + ∠DCE	Аксиома целиком.
2	∠DCE = ∠ABC	CE \ (\ parallel \) BA — соответствующие углы.
3	∠ACE = ∠BAC	CE \ (\ parallel \) BA — альтернативные углы.
4	∠ACD = ∠BAC + ∠ABC	Из утверждений (1), (2) и (3).

Доказано

Проверка свойств равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны. Треугольник симметричен, так как две стороны равны, следовательно, он обладает разными свойствами. Например, углы основания равнобедренного треугольника равны. Этот вид свойств доказывается здесь как теоретическое доказательство, которое требует соблюдения условий конгруэнтности треугольников.Перед этим мы кратко обсудим различные условия конгруэнтности треугольников.

Соответствие треугольников

У треугольника 3 стороны и 3 угла. Два треугольника равны, если 3 части (из 6 частей) одного треугольника равны 3 соответствующим частям другого треугольника

согласно следующим условиям. Мы принимаем эти условия за аксиомы.

i) S.S.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если три стороны треугольника равны трем соответствующим сторонам другого треугольника под S.Аксиома С.С.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) AB = MN (S)

б) BC = NO (S)

c) AC = MO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [S.S.S. аксиома]

Соответствующие части конгруэнтных треугольников также равны. т.е. A = ∠M, ∠B = ∠N и ∠C = ∠O.

ii) S.A.S. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если две стороны и угол, образованный ими треугольника, равны соответственно соответствующим сторонам и углу другого треугольника при S.В КАЧЕСТВЕ. аксиома.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) PQR,

а) AB = PQ (S)

б) ∠B = ∠Q (A)

c) BC = QR (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC = \ (\ треугольник \) PQR [S.A.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠R и ∠A = ∠P [соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AC = PR [Соответствующие стороны равных треугольников]

iii) A.S.A. аксиома:

Два из называются конгруэнтными, если два угла и их смежная сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника под A.Аксиома С.А.

В \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

а) ∠B = ∠E (A)

б) BC = EF (S)

в) ∠C = ∠F (A)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [A.S.A. аксиома]

Теперь, AC = DF и AB = DE

[Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

∠A = ∠D [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

iv) R.H.S. аксиома:

Два прямоугольных треугольника называются конгруэнтными, если гипотенуза и одна из оставшихся сторон обоих треугольников соответственно равны относительно R.H.S. аксиома.

Прямоугольный \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) MNO,

а) ∠B = ∠N (R)

б) AC = MO (H)

c) BC = NO (S)

∴ \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) MNO [R.H.S. аксиома]

Теперь ∠C = ∠O и ∠A = ∠M [Соответствующие углы конгруэнтных треугольников]

AB = MN [Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников]

v) S.A.A. аксиома:

Два треугольника называются конгруэнтными, если два угла и сторона одного треугольника соответственно равны соответствующим углам и стороне другого треугольника согласно S.А.А. аксиома. Эта аксиома может быть проверена с помощью A.S.A. аксиома.

Здесь,

а) ∠A = ∠D [дано]

б) ∠B = ∠E [дано]

c) ∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F [Сумма углов любого треугольника равна 180 ^o ]

d) ∠C = ∠F [Из (a), (b) и (c)]

Теперь в \ (\ треугольник \) ABC и \ (\ треугольник \) DEF,

e) ∠B = ∠F (A) [Учитывая]

f) BC = EF (S) [Учитывая]

г) ∠C = ∠F (A) [Из (d)]

ч) \ (\ треугольник \) ABC ≅ \ (\ треугольник \) DEF [A.Аксиома С.А.]

Итак, AB = DE и AC = DF [Соответствующие стороны равных треугольников]

Равнобедренный треугольник

Теорема 3:

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC разной формы и размера в разной ориентации, где AB = AC.

Шаг 2: Измерьте углы, противоположные равным сторонам каждого треугольника, и сведите их в таблицу. Рисунок

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.

Доказать: ∠ABC = ∠ACB

Построение: проведем AD⊥BC из вершины A.

Проба:

S.N.	Заявление	Причины
1.	В \ (\ треугольник \) ABD и \ (\ треугольник \) ACD
i)	∠ADB = ∠ADC (R)	Оба угла прямые.
ii)	AB = AC (H)	Дано
iii)	AD = AD (S)	Общая сторона
2.	∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD	По аксиоме RHS.
3.	∠ABD = ∠ACD , т.е. ABC = ∠ACB	Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Теорема 4: преобразование теоремы 3

Экспериментальная проверка:

Шаг 1. Нарисуйте три отрезка BC разной длины в разных положениях.

Шаг 2: Рисуются равные размеры углов в точках B и C на каждом отрезке линии. Отметьте точки как A, где пересекаются стороны этих углов. Теперь сформированы три \ (\ треугольник \) ABC.

Шаг 3: Измерьте длину каждой стороны, противоположной равным углам в каждом треугольнике (т. Е. AB и AC), и сведите их в таблицу.

рисунок

Вывод:

Теоретическое доказательство:

Дано: В \ (\ треугольник \) ABC базовые углы равны i.е. ∠B = ∠C.

Чтобы доказать: AB = AC, \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.

Строительство: Из вершины A проведем AD⊥BC.

Проба:

S.N.	Заявление	Причины
1.	В \ (\ треугольник \) ABD и \ (\ треугольник \) ACD
i)	AD = AD (S)	Общая сторона
ii)	∠ADB = ∠ADC (А)	По конструкции AD⊥BC оба угла равны.
iii)	∠ABD = ∠ACD (А)	Дано
2.	∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD	Автор: S.A.A. аксиома.
3.	AB = AC , т.е. \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник.	Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Теорема 5:

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC с разными положениями и размерами так, чтобы AB = AC в каждом треугольнике.

Шаг 2: Проведите биссектрису угла при вершине ∠A в каждом треугольнике. Биссектриса пересекает BC в D.

.

Шаг 3: Измерьте длины BD и DC, а также углы ADB и ADC, затем сведите их в таблицу.

Рисунок	БД	постоянного тока	Результат	∠ADB	∠ADC	Результат
i)
ii)
iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.AD — биссектриса BAC.

Доказать: AD⊥BC и BD = DC.

Проба:

S.N.	Заявление	Причины
1.	В \ (\ треугольник \) АБР и \ (\ треугольник \) АКД
i)	AB = AC (S)	Дано
ii)	∠BAD = ∠CAD (A)	Дано
iii)	AD = AD (S)	Общая сторона
2.	∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD	S.A.S. аксиома
3.	∠ADB = ∠ADC	Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.
4.	AD⊥BC	Равные смежные углы в линейной паре означают, что линия перпендикулярна.
5.	BD = DC	Соответствующие стороны конгруэнтных треугольников равны.
6.	AD — средний перпендикуляр к BC.	Из ведомостей 4 и 5.

Доказано

Теорема 6: Обратное к теореме 5

Экспериментальная проверка:

Шаг 1. Нарисуйте три равнобедренных треугольника ABC с разными положениями и размером в разных положениях так, чтобы AB = AC в каждом треугольнике.

Шаг 2: Отметьте середину BC в D. Соедините A и D в каждом треугольнике.

Шаг 3: Измерьте ADB, ∠ADC, ∠BAD и ∠CAD и сведите их в таблицу ниже:

Рисунок	∠ADB	∠ADC	Результат	∠БАД	∠DAC	Результат
i)
ii)
iii)

Заключение:

Теоретическое доказательство:

Дано: \ (\ треугольник \) ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC.

AD соединяет вершину A и середину D основания BC.

Доказать: AD⊥BC и ∠BAD = ∠CAD.

S.N.	Выписки	Причины
1.	В \ (\ треугольник \) АБР и \ (\ треугольник \) АКД
i)	AB = AC (S)	Дано
ii)	AD = AD (S)	Общая сторона
iii)	BD = DC (S)	Дано
2.	∴ \ (\ треугольник \) ABD ≅ \ (\ треугольник \) ACD	Автор: S.S.S. аксиома
3.	∠ADB = ∠ADC	Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.
4.	AD⊥ BC	Каждый угол смежных углов в линейной паре равен 90 0 .
5.	∠BAD = ∠CAD	Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны.

Доказано

Соотношение сторон и углов треугольника:

Эксперимент № 1: Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три треугольника ABC с разными положениями и размерами в разной ориентации.

Шаг 2: Измерьте все три стороны каждого треугольника и заполните таблицу.

Рисунок	AB	BC	CA	AB + BC	BC + CA	AB + CA	Результат
i)
ii)
iii)

Вывод: сумма двух сторон треугольника больше, чем третья сторона.

Эксперимент № 2: В любом треугольнике угол, противоположный длинной стороне, больше, чем угол, противоположный более короткой стороне.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Три треугольника ABC с разным положением и разным размером и разной ориентацией нарисованы таким образом, что BC — самый длинный, а CA — самая короткая сторона в каждом треугольнике.

Шаг 2: Измеряют угол, противоположный большей стороне BC (т.е. B), и заносят в таблицу:

Рисунок	Угол напротив ∠A (BC)	Угол напротив ∠B (CA)	Результат
i)
ii)
iii)

Заключение: В любом треугольнике сторона, противоположная большему углу, длиннее, чем сторона, противоположная меньшему углу.

Эксперимент № 4: Среди всех отрезков прямой до заданной линии от точки за ее пределами перпендикуляр является самой короткой линией.

Экспериментальная проверка:

Шаг 1: Рисуются три отрезка прямой линии XY разной длины в разной ориентации. За пределами каждого отрезка берется точка P. Три отрезка PA, PB, PC и перпендикулярная линия PM проведены от P до XY.

Шаг 2: Измерьте длину каждого линейного сегмента PA, PB, PC и PM.Затем сведите их в таблицу ниже:

Рисунок	PA	ПБ	ПК	PM
i
ii
iii

Заключение: среди всех отрезков прямой линии до данной линии, образующих точку за ее пределами, перпендикуляр является самой короткой линией.

Эксперимент № 5: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Шаг 1: Нарисуйте три прямоугольных треугольника разных размеров.

Шаг 2: Заполните данную таблицу.

Рисунок	AB	BC	CA	AB 2	BC 2	CA 2	AB 2 + BC 2	Результаты
i)
ii)
iii)

Вывод: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его основания и перпендикуляра.

Эксперимент № 5 известен как теорема Пифагора. Около 2500 лет назад Пифагор был греческим математиком. Он изобрел факт о прямоугольном треугольнике, который получил название теоремы Пифагора. Эта теорема используется во всех других областях математики, а не только в геометрии.

формул аналитической геометрии

ФОРМУЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

На этой странице формулы аналитической геометрии мы увидим список формул, которые используются в теме аналитической геометрии.

Название темы

Формула

Формула раздела (внутри)	Формула для поиска точки, которая разделяет отрезок AB внутри в соотношении m: n:
Формула раздела (внешний)	Формула, которая используется для нахождения точки, которая делит отрезок AB снаружи в соотношении m: n, определяется как

	Площадь треугольника, если даны три вершины треугольника. 1 ⁄ 2 {x 1 (y 2 -y 3 ) + x 2 (y 3 -y 1 ) + x 3 (y 1 -y 2 )}
Площадь четырехугольника	Площадь четырехугольника, если даны четыре вершины четырехугольника.
	1 ⁄ 2 {(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) — (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x 1 y 4 )}
Центроид треугольника
	У треугольника три медианы, и они совпадают в точке O, эта точка называется центроидом треугольника. На следующей диаграмме O — это центр тяжести треугольника ABC. Теперь давайте посмотрим на формулу. = (x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3
Середина отрезка	Средняя точка — это точка, которая находится точно в середине отрезка прямой, соединяющего две точки (x1, y1) и (x2, y2)
	(x ₁ + x ₂) / 2, (y ₁ + y ₂) / 2
Уклон линии	Угол тета между прямой линией и положительным направлением ось X при измерении против часовой стрелки называется углом наклона.Тангенс угла наклона называется уклоном. или градиент линии.
	m = tan θ m = (y2 — y1) / (x2 — x1) m = — коэффициент при x / коэффициент y y = mx + b м, уклон
Уравнение прямой	Линейное уравнение или уравнение первой степени по x и y представляет собой прямую линию.Уравнение прямой выполняется по координатам каждой точки, лежащей на прямой, а не по любая другая точка вне прямой линии.
	Форма пересечения наклона: y = m x + b Здесь m = наклон и b = точка пересечения по оси y
	Двухточечная форма: (y-y ₁ ) / (y ₂-y ₁) = (x-x ₁) / (x ₂-x 3)
	Точка — Форма уклона: (y-y1) = m (x-x1)
	Форма перехвата: (X / a) + (Y / b) = 1
Расстояние по перпендикуляру точка и линия
	Длина перпендикуляра от точки (x₁, y₁) к прямой ax + by + c = 0 составляет d = | (ax₁ + by₁ + c) / va² + b² |
Расстояние между двумя параллельными линиями	Расстояние между двумя параллельными прямыми a x + b y + c₁ = 0 и a x + b y + c₂ = 0 d = | ( c₁ — c₂) / va² + b² |
Угол между двумя линиями
	θ = tan-¹ | (m₁ — m₂) / (1 + m₁ m₂) |
Уравнение окружности	(x-h) ² + (y-k) ² = r²
Уравнение окружности с двумя концами диаметра	(x-x₁) (x-x₂) + (y-y₁) (y-y₂) = 0
Общее уравнение окружности	x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
Длина касательной	√ (x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c)
Состояние касания двух окружностей снаружи	c ₁c ₂ = r₁ + r₂
Состояние внутреннего касания двух окружностей	C₁ C₂ = r₁ — r₂
Круги ортогональные	2 g₁g₂ + 2f₁f₂ = c₁ + c₂

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

v4formath @ gmail.com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами на HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

  seine_simp = st_simplify (seine, dTolerance = 2000) # 2000 м  

  размер объекта (невод)
#> 18096 байт
объект.размер (seine_simp)
#> 9112 байтов  

  us_states2163 = st_transform (us_states, 2163)  

  us_states_simp1 = st_simplify (us_states2163, dTolerance = 100000) # 100 км  

  # доля баллов для сохранения (0-1; по умолчанию 0.05)
us_states2163 $ AREA = as.numeric (us_states2163 $ AREA)
us_states_simp2 = rmapshaper :: ms_simplify (us_states2163, keep = 0,01,
                                          keep_shapes = ИСТИНА)  

  nz_centroid = st_centroid (nz)
seine_centroid = st_centroid (seine)  

  nz_pos = st_point_on_surface (nz)
seine_pos = st_point_on_surface (невод)  

  seine_buff_5km = st_buffer (seine, dist = 5000)
seine_buff_50km = st_buffer (seine, dist = 50000)  

  nz_shift = nz_sfc + c (0, 100000)  

  nz_centroid_sfc = st_centroid (nz_sfc)
nz_scale = (nz_sfc - nz_centroid_sfc) * 0.5 + nz_centroid_sfc  

  вращение = функция (а) {
  r = a * pi / 180 # градусы в радианы
  матрица (c (cos (r), sin (r), -sin (r), cos (r)), nrow = 2, ncol = 2)
}  

  nz_rotate = (nz_sfc - nz_centroid_sfc) * поворот (30) + nz_centroid_sfc  

  nz_scale_sf = st_set_geometry (nz, nz_scale)  

  b = st_sfc (st_point (c (0, 1)), st_point (c (1, 1))) # создать 2 точки
b = st_buffer (b, dist = 1) # конвертировать точки в круги
участок (б)
text (x = c (-0.5, 1.5), y = 1, labels = c ("x", "y")) # добавить текст  

  x = b [1]
y = b [2]
x_and_y = st_intersection (x, y)
участок (б)
plot (x_and_y, col = "lightgrey", add = TRUE) # цвет области пересечения