Контрольная по геометрии 11 класс вектора: Контрольные работы по геометрии 11 класс Атанасян Л.С.

11 класс Контрольная работа по теме « Векторы в пространстве» вариант 2
Часть 1
1. Какому из указанных векторов равен вектор 13 EMBED Equation.3 1415(3; 1;2)?
А) 13 EMBED Equation.3 1415(2; 3; 1) Б) 13 EMBED Equation.3 1415(3;1;2) В) 13 EMBED Equation.3 1415(1;2;3) Г) 13 EMBED Equation.3 1415(1;3;2)
2. Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(-3;-2; -1), В(-1; 2; 3), С(0; -1; -2)
А) 13 EMBED Equation.3 1415(0; -5; -7) Б) 13 EMBED Equation.3 1415 (-2; 1; 3) В) 13 EMBED Equation.3 1415 (-3; 1; 2)
Г) 13 EMBED Equation. 3 1415 (2; -1; -3) Д) 13 EMBED Equation.3 1415(0; 5; 7)
3. При каких значениях n векторы 13 EMBED Equation.3 1415(2; 1; n) и 13 EMBED Equation.3 1415(n; 1; n) перпендикулярны?
А) ни при каких; Б) при n=-1; В) при n=1; Г) при n=13 EMBED Equation.3 14151.
Часть 2
При каких значениях n и m векторы 13 EMBED Equation.3 1415(-1; 4; -2) и 13 EMBED Equation.3 1415(-3; m; n) коллинеарны?
Дан треугольник АВС: А(0;1;-1), В(1;-1;2) и С(3;1;0). Найти косинус угла А треугольника АВС
Разложите вектор 13 EMBED Equation.3 1415(1; 4; 3) по векторам 13 EMBED Equation.3 1415(1; -1; 0), 13 EMBED Equation.3 1415(0; 1; 1) и
13 EMBED Equation.3 1415(1; 0; -1)
Часть 3
Вычислите длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415- 213 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415= 2, 13 EMBED Equation.3 1415=1, а угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равен 600 .

11 класс. Векторы в пространстве вариант 3
Часть 1
1. Вычислите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если А(2;3;1), В(1;0;2)
А) 13 EMBED Equation.3 1415(1;3;-1) Б) 13 EMBED Equation

Тест Векторы в пространстве (11 класс) по геометрии

Сложность: знаток.Последний раз тест пройден 21 час назад.

1. Вопрос 1 из 10

   Зная координаты точек A(-12, 7, -3) и B(-10, -2, -2) найдите значение вектора AB

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 69% ответили правильно
   • 69% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Следующий вопросОтветить

2. Вопрос 2 из 10

   При каком значении n векторы a(4;2n;-1), b(-1;1;n) перпендикулярны?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 63% ответили правильно
   • 63% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

3. Вопрос 3 из 10

   Векторы a, b, c единичной длины образуют попарно углы 60°. Найдите угол между векторами a и b-c

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 65% ответили правильно
   • 65% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

4. Вопрос 4 из 10

   Даны три точки A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найдите на оси z такую точку D(0;0;c), чтобы векторы AB и CD были перпендикулярны

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 72% ответили правильно
   • 72% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

5. Вопрос 5 из 10

   Найдите D(x,y,z), если сумма векторов AB и CD равна нулю. A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1)

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 56% ответили правильно
   • 56% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

6. Вопрос 6 из 10

   При каком значении n векторы a(2;-1;3), b(1;3;n) перпендикулярны?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 64% ответили правильно
   • 64% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

7. Вопрос 7 из 10

   Дан вектор а(1;2;3), найдите коллинеарный ему вектор с началом в точке А(1;1;1) и В на плоскости xy

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы ответили лучше 51% участников
   • 49% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

8. Вопрос 8 из 10

   Даны три точки A(1;0;1), B(-1;1;2), C(0;2;-1). Найдите точку D(x;y;z), если векторы AB и CD равны

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 60% ответили правильно
   • 60% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

9. Вопрос 9 из 10

   При каком значении n векторы a(n;-2;1), b(n;-n;1) перпендикулярны?

   • Правильный ответ
   • Неправильный ответ
   • Вы и еще 67% ответили правильно
   • 67% ответили правильно на этот вопрос

   В вопросе ошибка?

   Ответить

10. Вопрос 10 из 10

    Заданы два вектора в пространстве a(0;1;1), b(-2;0;1). Найдите их векторное произведение

    • Правильный ответ
    • Неправильный ответ
    • Вы ответили лучше 59% участников
    • 41% ответили правильно на этот вопрос

    В вопросе ошибка?

    Ответить

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Рейтинг теста

Средняя оценка: 3.5. Всего получено оценок: 192.

А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

Скалярное произведение векторов. Геометрия, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Скалярное произведение векторов, если дан угол Сложность: лёгкое	1
2.	Скалярное произведение векторов, данных в координатах Сложность: лёгкое	1
3.	Скалярное произведение векторов Сложность: среднее	3
4.	Перпендикулярные векторы Сложность: среднее	3
5.	Перпендикулярность векторов Сложность: среднее	3
6.	Угол между векторами Сложность: среднее	3
7.	Косинус угла между векторами Сложность: среднее	4
8.	Определение угла между векторами в кубе Сложность: среднее	4
9.	Косинус угла треугольника Сложность: среднее	5
10.	Угол между прямыми в кубе Сложность: сложное	5
11.	Угол между прямой и плоскостью Сложность: сложное	5

Вычитание и умножение векторов | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 11 класс> Физика> Скаляры и векторы

Вычитание и умножение векторов

Вычитание векторов

Вычитание вектора определяется как добавление одного вектора к отрицательному значению другого. Вычитание вектора \ (\ vec A \; \ text {from} \; \ vec B \) означает сложение вектора \ (- \ vec A \; \ text {with} \; \ vec B \). Мы можем проанализировать вычитание вектора, как показано на рисунке.{-1} (\ frac {B \ sin \ theta} {A — B \ cos \ theta}) $$

Вычитание векторов не подчиняется законам коммутативности и ассоциативности.

Разрешение векторов

Процесс разбиения одного вектора на множество компонентов называется разрешением векторов. Вектор может иметь несколько компонентных векторов.

Предположим, что вектор \ (\ vec A \) показан на рисунке. Компонента \ (\ vec A \) вдоль направления OX есть OQ.В POQ

$$ \ cos \ alpha = \ frac {OQ} {OP} = \ frac {OQ} {A} $$

$$ OQ = A \ cos \ alpha $$

Аналогично компонент вдоль OX’-направления есть \ (OT = A \ cos \ beta \), где \ (beta \) — угол, образованный с OX-направлением, а вдоль OX » — направление \ (OT = A \ cos \ alpha \ )

Прямоугольные компоненты вектора

Когда вектор разрешается \ (\ vec A \) на перпендикулярные направления, тогда составляющие векторы \ (\ vec A \) называются прямоугольными компонентами вектора. 2} $$

Делящее уравнение (i) и (ii) )

$$ \ tan \ theta = \ frac {A_x} {A_y} $$

Векторное умножение

Скалярное произведение: Оно определяется как произведение величины одного вектора на скалярную составляющую. другого вектора в направлении первого вектора.o (A \ neq 0, B = 0) \)

Векторное произведение: Если произведение двух векторов является векторной величиной, то такая операция называется векторным произведением.

Пусть два вектора \ (\ vec A и \ vec B \) наклонены под углом друг к другу, как показано на рисунке.

$$ \ vec A \ times \ vec B = AB \ sin \ theta \, \ widehat n $$

Где \ (\ widehat n \) — единичный вектор в направлении, перпендикулярном плоскости \ (\ vec A и \ vec B \), а крутящий момент, возникающий из-за силы, — это произведение силы и перпендикулярного расстояния.o = 0 \)

Геометрическая интерпретация Cross Product

Рассмотрим два вектора \ (\ vec A \, и \, \ vec B \), представленные по величине и направлению как \ (\ vec OZ \, и \, \ vec OX \). Завершим параллелограмм OXYZ и опустим перпендикуляр из X в точке N.

$$ \ vec A \ times \ vec B = AB \ sin \ theta $$

$$ \ text {Площадь параллелограмма OXYZ} = \ text {(основание)} \ times \ text {(расстояние по перпендикуляру)} $$

$$ = (OZ) \ times (XN) $$

$$ = (OZ) (OX \ sin \ theta) $$

$$ = (A) (B \ sin \ theta) $$

$$ = AB \ sin \ theta $$

То есть площадь параллелограмма равна величине векторного произведения двух векторов, которые представлены двумя смежными сторонами параллелограмма.

Вектор | Примечания, видео, контроль качества и тесты | 10 класс> Математика по выбору> Вектор

Вектор

Произведение векторов

Из-за того, что векторы встречаются в различных физических задачах по-разному, произведение двух векторов \ (\ overrightarrow {a} \) и \ (\ overrightarrow {b} \) определяется двумя следующими способами:

1. скалярное произведение или скалярное произведение \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) (читается как \ (\ overrightarrow a \) точка \ (\ overrightarrow b \))
2. векторное произведение или перекрестное произведение \ (\ overrightarrow a \) × \ (\ overrightarrow b \) (читается как \ (\ overrightarrow a \) cross \ (\ overrightarrow b \)).

Скалярное произведение \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) дает скалярный результат, а перекрестное произведение \ (\ overrightarrow a \) × \ (\ overrightarrow b \) дает векторный результат.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) определяется как произведение величины двух векторов на косинус угла \ (\ theta \) между их направлениями. .

Таким образом, \ (\ overrightarrow a \).\ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | соз \ (\ тета \) = ab соз \ (\ тета \)

где, | \ (\ overrightarrow a \) | = a и | \ (\ overrightarrow b \) | = б.

Сейчас,

Нарисуйте перпендикуляр BM от B до OA.

Здесь,

\ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Сейчас,

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow a. \ Overrightarrow b & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta \\ & = ab cos \ theta \\ & = (OA) (OB) cos \ theta \\ & = OA (OB cos \ theta) \\ & = (OA) (OM) \\ & = (величина \; из \; \ overrightarrow a) (компонент \; of \; \ overrightarrow b \; в \; \; направлении \; из \; \ overrightarrow a) \\ \ end {align *} \)

Итак, очевидно, что скалярное произведение двух векторов эквивалентно произведению величины одного вектора на компонент другого вектора в направлении этого вектора.

Если мы напишем \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \), поворот \ (\ overrightarrow a \) в сторону \ (\ overrightarrow b \) осуществляется против часовой стрелки, а угол \ (\ theta \) считается положительным.

∴ \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = ab cos \ (\ theta \)

Если мы напишем \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \), поворот \ (\ overrightarrow b \) к \ (\ overrightarrow a \) осуществляется по часовой стрелке, а угол \ (\ theta \) считается отрицательным.

∴ \ (\ overrightarrow b \).\ (\ overrightarrow a \) = b a cos (- \ (\ theta \)) = ba cos \ (\ theta \)

Следовательно, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)

Таким образом, скалярное произведение коммутативно.

Рассмотрим две точки A (a ₁ , a ₂ ) и B (b ₁ , b ₂ ) на плоскости. Затем

вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \)

вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \)

Величины \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равны

.

| \ (\ overrightarrow {OA} \) | = OA = a = | \ (\ overrightarrow a \) |

| \ (\ overrightarrow {OB} \) | = OB = b = | \ (\ overrightarrow b \) |

Пусть \ (\ angle \) XOA = β, \ (\ angle \) XOB = α и \ (\ angle \) AOB = θ.Тогда α-β = θ.

Нарисуйте перпендикуляры AM и BN от A и B к оси x. Затем

OM = a ₁ , MA = a ₂ , ON = b ₁ и NB = b ₂ .

Из прямоугольного треугольника OMA,

cosβ = \ (\ frac {OM} {OA} \) = \ (\ frac {a_1} a \) ∴ a ₁ = a cosβ

sinβ = \ (\ frac {MA} {OA} \) = \ (\ frac {a_2} a \) ∴ a ₂ = a sinβ

Аналогично

Из прямоугольного треугольника ОНБ,

b ₁ = b cosα и b ₂ = b sinα

Сейчас,

\ (\ begin {align *} a_1b_1 + a_2b_2 & = a cosβ b cosα + a sinβ sinα \\ & = ab cos (α — β) \\ & = | \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b | cos \ theta ………………. (i) \\ \ end {align *} \)

Но,

По определению скалярного произведения двух векторов \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \),

Сейчас,

Из (i) и (ii),

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ .

Этот результат заставляет нас по-другому определить скалярное произведение двух векторов.

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Тогда скалярное произведение \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) обозначается \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) и определяется как \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \). \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ .

снова,

Из (i),

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂

или cos \ (\ theta \) = \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Этот результат дает нам угол между двумя векторами \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \).

\ (\ theta \) = cos ^-1 \ (\ frac {a_1b_1 + a_2b_2} {| \ overrightarrow a | | \ overrightarrow b |} \)

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов удовлетворяет следующим свойствам:

Пусть \ (\ overrightarrow a \), \ (\ overrightarrow b \) и \ (\ overrightarrow c \) — три вектора.

1. Коммулятивная собственность: \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \)
2. Распределительная собственность: \ (\ overrightarrow a \).(\ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow c \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow c \)
3. Ассоциативное свойство: м \ (\ overrightarrow a \). п \ (\ overrightarrow b \) = mn (\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \))

Перпендикулярные векторы

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ end {pmatrix} \) два вектора.Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) перпендикулярны друг другу, то угол между \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) равен \ (\ theta \) = — 90 °.

Сейчас,

\ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 90 ° = 0

И наоборот,

Пусть \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = 0

Затем,

| \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | соз \ (\ тета \) = 0

или, ab cos \ (\ theta \) = 0

или, cos \ (\ theta \) = 0

∴ \ (\ theta \) = 90 °

Таким образом, если два вектора перпендикулярны друг другу (или ортогональны), их скалярное произведение равно нулю.

Параллельный вектор

Пусть \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) — два вектора. Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, то угол между ними равен 0 ° или 180 °.

Сейчас,

Если \ (\ theta \) = 0 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | соз \ (\ тета \) = ab cos 0 ° = ab

Если \ (\ theta \) = 180 °, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = | \ (\ overrightarrow a \) | | \ (\ overrightarrow b \) | cos \ (\ theta \) = ab cos 180 ° = -ab

Таким образом, два вектора \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) параллельны друг другу, если \ (\ overrightarrow a \).\ (\ overrightarrow b \) = ab или, \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) = -ab.

Длина вектора (Модуль вектора)

Длина вектора (модуль вектора)

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) будет плоским вектором.

Затем \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ end {pmatrix} \) = a ₁ a ₁ + a ₂ a ₂ = a ₁ ² + a ₂ ² = ²

∴ a = \ (\ sqrt {\ overrightarrow a.2} \) + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow {b} \) = a ² + 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b ²
(\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)). ( \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) + 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) = a ² — 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + b ²
(\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \)) ² = (\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \) ). (\ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \)) = \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) — \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \) — 2 \ (\ overrightarrow a \). \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow b \) = a ² — 2 \ (\ overrightarrow a \).2} \) — \ (\ overrightarrow b \) = a ² — b ²

Взаимно перпендикулярный единичный вектор \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \)

Пусть OX и OY — две взаимно перпендикулярные прямые. Тогда единичный вектор вдоль OX и OY, обозначенный \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \), определяется как \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) и \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \).

Сейчас,

\ (\ overrightarrow i \).2} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 1 = 1

\ (\ overrightarrow i \). \ (\ overrightarrow j \) = \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

\ (\ overrightarrow j \). \ (\ overrightarrow i \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \). \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = 0 + 0 = 0

Значение скалярного произведения \ (\ overrightarrow i \) и \ (\ overrightarrow j \) можно запомнить из таблицы, приведенной рядом.

Представление вектора через единичные векторы

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) будет вектором. Его можно записать как

\ (\ overrightarrow a \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin { pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \).

Аналогично

Если \ (\ overrightarrow a \) = nx + y \ (\ overrightarrow j \), то:

\ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) = x \ (\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + y \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ 0 \\ \ end {pmatrix} \) + \ (\ begin {pmatrix} 0 \\ y \\ \ end {pmatrix} \) = \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \)

Следовательно, любой вектор плоскости \ (\ begin {pmatrix} x \\ y \\ \ end {pmatrix} \) может быть представлен как x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) и наоборот.

Векторные операции в единицах векторов

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) и \ (\ overrightarrow b \) = b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \)

1. Сложение векторов:
   \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) + b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \) = (a ₁ + b ₁ ) \ (\ overrightarrow i \) + (a ₂ + b ₂ ) \ (\ overrightarrow j \)
2. Вычитание векторов:
   \ (\ overrightarrow a \) — \ (\ overrightarrow b \) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) — (b ₁ \ (\ overrightarrow i \) + b ₂ \ (\ overrightarrow j \)) = a ₁ \ (\ overrightarrow i \) + a ₂ \ (\ overrightarrow j \) — b ₁ \ (\ overrightarrow i \) — b ₂ \ (\ overrightarrow j \)
3. Скалярное произведение векторов:
   \ (\ overrightarrow a.\ overrightarrow b = (a_1 \ overrightarrow i + a_2 \ overrightarrow j). (b_1 \ overrightarrow i + b_2 \ overrightarrow j) = a_1b_1 \ overrightarrow i. \ overrightarrow i + a_1b_2 \ overrightarrow i. \ overrightarrow j + a_2b_1 \ overrightarrow j. \ overrightarrow i + a_2b_2 \ overrightarrow j. \ overrightarrow j = a_1b_1 + 0 + 0 + a + 2b_2 = a_1b_1 + a_2b_2 \)

Величина и направление вектора в единичных векторах

Пусть \ (\ overrightarrow a \) = x \ (\ overrightarrow i \) + y \ (\ overrightarrow j \) будет вектором.2}} \)

Векторная геометрия

Теорема 1: (Формула средней точки)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) — вектор положения двух точек A и B соответственно, а M — средняя точка отрезка AB, то вектор положения M равен \ (\ гидроразрыв 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)).

Проба:

Пусть AB — отрезок прямой, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть M — средняя точка отрезка AB.

Затем,

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 \ overrightarrow {AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac 12 (\ overrightarrow {OB} — \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac 12 (\ overrightarrow b — \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {2 \ overrightarrow a + \ overrightarrow b — \ overrightarrow a} {2} \\ & = \ frac 12 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b) \\ \ end {align *} \)

∴ Вектор положения M = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)) Доказано

Теорема 2: (Формула раздела для внутреннего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) — вектор положения двух точек A и B соответственно, а точка M делит сегмент AB внутри в соотношении m: n, то вектор положения M — это \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \).

Проба:

Пусть AB — отрезок прямой, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка M делит AB внутри в соотношении m: n.

Затем,

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OM} & = \ overrightarrow {OA} + \ overrightarrow {AM} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac {m} {m + n} \ overrightarrow { AB} \\ & = \ overrightarrow {OA} + \ frac m {m + n} (\ overrightarrow {OB} — \ overrightarrow {OA}) \\ & = \ overrightarrow a + \ frac m {m + n} ( — \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {m \ overrightarrow a + n \ overrightarrow a + m \ overrightarrow b — m \ overrightarrow a} {m + n} \\ & = \ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \\ \ end {align *} \)

∴ Вектор положения M = \ (\ frac {m \ overrightarrow b + n \ overrightarrow a} {m + n} \) Доказано

Теорема 3: (Формула раздела для внешнего деления)

Если \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \) — вектор положения двух точек A и B соответственно, а точка P делит линейный сегмент AB снаружи в соотношении m: n, то вектор положения P — это \ (\ frac {m \ overrightarrow b — n \ overrightarrow a} {m — n} \).

Проба:

Пусть AB — отрезок прямой, а O — начало координат.

Здесь,

Вектор положения A = \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

Вектор положения B = \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть точка P делит AB внешне в соотношении m: n.

Затем,

\ (\ frac {AP} {BP} \) = \ (\ frac mn \)

∴ п \ (\ overrightarrow {AP} \) = m \ (\ overrightarrow {BP} \)

или, n (\ (\ overrightarrow {OP} \) — \ (\ overrightarrow {OA} \)) = m (\ (\ overrightarrow {OP} \) — \ (\ overrightarrow {OB} \))

или, n \ (\ overrightarrow {OP} \) — n \ (\ overrightarrow {OA} \) = m \ (\ overrightarrow {OP} \) — m \ (\ overrightarrow {OB} \)

или, m \ (\ overrightarrow {OB} \) — n \ (\ overrightarrow {OA} \) = m \ (\ overrightarrow {OP} \) — n \ (\ overrightarrow {OP} \)

или, m \ (\ overrightarrow b \) — n \ (\ overrightarrow a \) = (m — n) \ (\ overrightarrow {OP} \)

∴ \ (\ overrightarrow {OP} \) = \ (\ frac {m \ overrightarrow b — n \ overrightarrow a} {m — n} \)

Итак, вектор положения P = \ (\ frac {m \ overrightarrow b — n \ overrightarrow a} {m — n} \) Доказано

Теорема 4:

Отрезок, соединяющий середину двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и составляет половину ее.

Проба:

Пусть ABC — треугольник, а P и Q — середины сторон AB и AC соответственно.

Здесь,

\ (\ overrightarrow {PA} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BA} \)

\ (\ overrightarrow {AQ} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {AC} \)

Затем,

\ (\ overrightarrow {PA} \) + \ (\ overrightarrow {AQ} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BA} \) + \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow { AC} \)

∴ \ (\ overrightarrow {PQ} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow {BA} \) + \ (\ overrightarrow {AC} \))

и.е. \ (\ overrightarrow {PQ} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BC} \)

Очевидно, \ (\ overrightarrow {PQ} \) // \ (\ overrightarrow {BC} \) Доказано

Теорема 5:

Вектор положения центроида треугольника задается как \ (\ overrightarrow g \) = \ (\ frac 13 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \) + \ (\ overrightarrow c \)), где \ (\ overrightarrow a \), \ (\ overrightarrow b \) и \ (\ overrightarrow c \) — векторы положения вершин, а \ (\ overrightarrow g \) — вектор положения центроида .

Проба:

Пусть ABC — треугольник, а O — начало координат.

Лет,

\ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \)

\ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

\ (\ overrightarrow {OC} \) = \ (\ overrightarrow c \)

Пусть D будет серединой AC.

По теореме о средней точке

\ (\ overrightarrow {OD} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow c \))

Пусть G — центр тяжести треугольника ABC.

Тогда G делит BD внутри в соотношении 2: 1.

Затем,

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {OG} & = \ frac {2 \ overrightarrow {OD} + 1 \ overrightarrow {OB}} {2 + 1} \\ & = \ frac {2 × \ frac 12 \ overrightarrow a + \ overrightarrow c + \ overrightarrow b} {3} \\ & = \ frac 13 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c) \\ \ end {align *} \)

∴ Вектор положения G (\ (\ overrightarrow g \)) = \ (\ frac 13 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b + \ overrightarrow c) \) Доказано

Теорема 6:

Медиана основания равнобедренного треугольника перпендикулярна основанию.

ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC, а AM — медиана основания BC. Проба:

Пусть \ (\ overrightarrow {AB} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {AC} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Затем,

| \ (\ overrightarrow a \) | = | \ (\ overrightarrow b \) | или a = b

Сейчас,

\ (\ overrightarrow {AM} \) = \ (\ overrightarrow {AB} \) + \ (\ overrightarrow {BM} \) = \ (\ overrightarrow {AB} \) + \ (\ frac 12 \) \ ( \ overrightarrow {BC} \)

\ (\ overrightarrow {BC} \) = \ (\ overrightarrow {BA} \) + \ (\ overrightarrow {AC} \) = — \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)

\ (\ begin {align *} \ следовательно \ overrightarrow {AM} & = \ overrightarrow a + \ frac 12 (\ overrightarrow b — \ overrightarrow a) \\ & = \ frac {\ overrightarrow a + \ overrightarrow b — \ overrightarrow c} 2 \\ & = \ frac 12 (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b) \\ \ end {align *} \)

Сейчас,

\ (\ begin {align *} \ overrightarrow {AM}.2) \\ & = 0 \\ \ end {align *} \)

∴ AM⊥ BC Доказано

Теорема 7:

Фигура, образованная соединением середин соседних сторон четырехугольника, представляет собой параллелограмм.

Проба:

Пусть ABCD — четырехугольник, а P, Q, R и S — середины AB, BC, CD и DA соответственно. Присоединяйтесь к BD.

Затем,

\ (\ overrightarrow {BA} \) + \ (\ overrightarrow {AD} \) = \ (\ overrightarrow {BD} \)

2 \ (\ overrightarrow {PA} \) + 2 \ (\ overrightarrow {AS} \) = \ (\ overrightarrow {BD} \)

\ (\ overrightarrow {PA} \) + \ (\ overrightarrow {AS} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BD} \)

∴ \ (\ overrightarrow {PS} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BD} \)

Очевидно, \ (\ overrightarrow {PS} \) // \ (\ overrightarrow {BD} \)

снова,

\ (\ overrightarrow {BC} \) + \ (\ overrightarrow {CD} \) = \ (\ overrightarrow {BD} \)

2 \ (\ overrightarrow {QC} \) + 2 \ (\ overrightarrow {CR} \) = \ (\ overrightarrow {BD} \)

\ (\ overrightarrow {QC} \) + \ (\ overrightarrow {CR} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BD} \)

∴ \ (\ overrightarrow {QC} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BD} \)

Очевидно, \ (\ overrightarrow {QR} \) // \ (\ overrightarrow {BD} \)

\ (\ overrightarrow {PS} \) = \ (\ overrightarrow {QR} \), \ (\ overrightarrow {PS} \) // \ (\ overrightarrow {QR} \)

Аналогично

\ (\ overrightarrow {PQ} \) = \ (\ overrightarrow {SR} \), \ (\ overrightarrow {PQ} \) // \ (\ overrightarrow {SR} \)

Следовательно, PQRS — параллелограмм.

Теорема 8:

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Проба:

Пусть OACB — параллелограмм, а O — начало координат.

Пусть \ (\ overrightarrow {OA} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Пусть M — средняя точка AB.

Затем,

\ (\ overrightarrow {OM} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \))……………………………………… (i)

Также,

\ (\ overrightarrow {OC} \) = \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \), параллелограммом сложения векторов.

Пусть N будет средней точкой OC.

Затем,

\ (\ overrightarrow {ON} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {OC} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \ )) …………………………………….. (ii)

Из (i) и (ii), M и N имеют одинаковый вектор положения.Итак, M и N — одинаковые точки.

Следовательно, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Теорема 9:

Диагонали прямоугольника равны.

Проба:

Пусть ABCD — прямоугольник, а AC и BD — диагонали.

Затем,

\ (\ overrightarrow {AB} \) = \ (\ overrightarrow {DC} \), \ (\ overrightarrow {AD} \) = \ (\ overrightarrow {BC} \), \ (\ angle A \) = \ (\ угол B \) = \ (\ угол C \) = \ (\ угол D \) = 90 ° (\ (\ overrightarrow {AB} \).2 \)

BD ² = BA ² + 0 + AD ²

BD ² = AB ² + BC ² …………………………….. … (i)

Из (i) и (ii),

AC ² = BD ²

∴ AC = BD

Значит, диагонали прямоугольника равны.

Теорема 10:

Диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом.

Проба:

Пусть ABCD — ромб, а AC и BD — диагонали.

Очевидно,

\ (\ overrightarrow {AO} \) = \ (\ overrightarrow {OC} \) и \ (\ overrightarrow {BO} \) = \ (\ overrightarrow {OD} \)

Сейчас,

Докажем, что,

\ (\ overrightarrow {AO} \) ⊥ \ (\ overrightarrow {BO} \)

Пусть \ (\ overrightarrow {AB} \) = \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow {AD} \) = \ (\ overrightarrow b \)

Затем,

\ (\ overrightarrow {AC} \) = \ (\ overrightarrow {AB} \) + \ (\ overrightarrow {BC} \) = \ (\ overrightarrow {AB} \) + \ (\ overrightarrow {AD} \) = \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \)

\ (\ overrightarrow {AO} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {AC} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \ ))………………………… (i)

снова,

\ (\ overrightarrow {BD} \) = \ (\ overrightarrow {BA} \) + \ (\ overrightarrow {AD} \) = — \ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \) = \ ( \ overrightarrow b \) — \ (\ overrightarrow a \)

\ (\ overrightarrow {BO} \) = \ (\ frac 12 \) \ (\ overrightarrow {BD} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow b \) — \ (\ overrightarrow a \ )) ………………………… (ii)

Из (ii) и (ii),

\ (\ overrightarrow {AO} \). \ (\ Overrightarrow {BO} \) = \ (\ frac 12 \) (\ (\ overrightarrow a \) + \ (\ overrightarrow b \).2 \)) = \ (\ frac 14 \) (b ² — a ² ) = 0

Следовательно, диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом.

Теорема 11:

Угол в полукруге — это прямой угол.

Проба:

Пусть O — центр окружности, а AB — диаметр. \ (\ angle \) ACB — угол в полукруге. Присоединяйтесь к OC.

Сейчас,

\ (\ overrightarrow {AC} \) = \ (\ overrightarrow {AO} \) + \ (\ overrightarrow {OC} \)………………………… (i)

\ (\ overrightarrow {CB} \) = \ (\ overrightarrow {CO} \) + \ (\ overrightarrow {OB} \) = \ (\ overrightarrow {CO} \) + \ (\ overrightarrow {AO} \)

\ (\ overrightarrow {CB} \) = \ (\ overrightarrow {AO} — \ overrightarrow {OC} \) . 2 \) + 2 \ (\ overrightarrow {OA} \).2} 4 \)

∴ OM = \ (\ frac 12 \) AC

Также,

AM = MC = \ (\ frac 12 \) AC

∴ AM = MC =

OM

Следовательно, середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.

векторов и векторной геометрии 12 класс Математика 7.2 | Решения

1.

(i)

Солн:

D — средняя точка BC.

Из ABD, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {DB}}} $

Опять же, из треугольника ACD,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {DC}}} $

Добавление, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + ($ \ overrightarrow {{\ rm {DB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {DC}}} $).

Поскольку, $ \ overrightarrow {{\ rm {DB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {DC}}} $ равны по величине, но противоположны по направлению, поэтому

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {DB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {DC}}} $ = 0.

Итак, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $.

(ii)

Солн:

AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD.

От, $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {BD}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {BA}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ = — $ \ overrightarrow { {\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}}

долларов

(AD = BC, AD // BC).

Теперь $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BD}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{ \ rm {BC}}} $ + (- $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $) = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {BC }}} $.

$ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ — $ \ overrightarrow {{\ rm {BD}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = (- $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $) = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}} } $.

2.

(i)

Солн:

Пусть в правильном шестиугольнике ABCDEF $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ {\ rm {\ vec a}} $ и $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ {\ rm {\ vec b}}

долларов США

От, $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ {\ rm { \ vec a}} $ + $ {\ rm {\ vec b}} $.

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ = 2. $ \ Overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = 2 $ {\ rm {\ vec b}} $.

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {CD}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {CA}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ = — $ \ overrightarrow { {\ rm {AC}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}}

долларов

= $ — \ left ({{\ rm {\ vec a}} + {\ rm {\ vec b}}} \ right) + 2 {\ rm {\ vec b}} $ = $ {\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} $.

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {DE}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {BA}}} $ = $ — \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = — $ {\ rm {\ vec a}}

долларов США

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {EF}}} $ = $ \ frac {1} {2} $$ \ overrightarrow {{\ rm {DA}}} $ = $ \ frac {1} {2} $ (- 2 $ {\ rm {\ vec b}} $) = $ — {\ rm {\ vec b}} $.

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {FA}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {DC}}} $ = $ — \ overrightarrow {{\ rm {CD}}} $ = $ — \ left ({{\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}}} \ right) $ = $ {\ rm {\ vec a}} — {\ rm {\ vec b}} $.

(ii)
Солн:

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{ \ rm {AE}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AF}}}

долларов

= ($ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AE}}} $) + ($ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {CD}}} $) + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $.

= $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $

= 3 $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ = 3 (2 $ \ overrightarrow {{\ rm {AO}}} $) = 6 $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $

3.

(i)

Солн:

В $ \ Delta $ ABC пусть $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} {\ rm {\:}} $ = $ {\ rm {\ vec a}} $ и $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ {\ rm {\ vec b}} $.

Затем,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ {\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} $.

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BD}}} $ = $ \ overrightarrow {{ \ rm {AB}}} $ + $ \ frac {1} {2} \ overrightarrow {{\ rm {BC}}}

долларов

= $ {\ rm {\ vec a}} $ + $ \ frac {1} {2} $ ($ {\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} $) = $ \ frac {1} {2} $ ($ {\ rm {\ vec b}} + {\ rm {\ vec a}} $).

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {BE}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {CE}}} $ = $ \ overrightarrow {{ \ rm {BC}}} $ + $ \ frac {1} {2} $$ \ overrightarrow {{\ rm {CA}}} $.

= $ {\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} — \ frac {1} {2} {\ rm {\ vec b}} $ = $ \ frac {1} {2 } $$ {\ rm {\ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} $.

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {CF}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {CA}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {AF}}} $ = $ \ overrightarrow {{ \ rm {CA}}} $ + $ \ frac {1} {2} $$ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ — {\ rm {\ vec b}} $ + $ \ frac { 1} {2} {\ rm {\ vec a}} $ = $ \ frac {1} {2} $$ {\ rm {\ vec a}} — {\ rm {\ vec b}} $.

Теперь $ \ overrightarrow {{\ rm {AD}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {BE}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {CF}}} $ = $ \ frac {1 } {2} $$ \ left ({{\ rm {\ vec b}} + {\ rm {\ vec a}}} \ right) $ + $ \ frac {1} {2} $$ {\ rm { \ vec b}} — {\ rm {\ vec a}} $ + $ \ frac {1} {2} $$ {\ rm {\ vec a}} $ — $ {\ rm {\ vec b}} $ = 0.

(ii)

Солн:

G — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Итак, GA = GC, GB = GD,

От треугольника OAC,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $. (G — средняя точка AC.)

Опять из треугольника OBD,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $.
(G — средняя точка BD).

Добавление, $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OD}} } $ = 4. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $.

4.

(i)

Солн:

Пусть O будет началом. Тогда

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = (2, -1, -3), $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = (4,2,3) и $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = (6,3,4).

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = (4,2,3) — (2, -1, -3)

= (4 — 2,2 + 1,3 + 3) = (2,3,6).

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {AC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = (6,3,4) — (2, -1, -3)

= (6 — 2,3 + 1,4 + 3) = (4,4,7).

И, $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = (6,3,4) — (4,2,3) = (2,1,1).

AB = $ \ left | {\ overrightarrow {{\ rm {AB}}}} \ right | $ = | (2,3,6) | = $ \ sqrt {4 + 9 + 36} $ = 7.

AC = $ \ left | {\ overrightarrow {{\ rm {AC}}}} \ right | $ = | (4,4,7) | = $ \ sqrt {16 + 16 + 49} $ = 9.

г. до н.э. = $ \ left | {\ overrightarrow {{\ rm {BC}}}} \ right | $ = | (2,1,1) | = $ \ sqrt {4 + 1 + 1} $ = $ \ sqrt 6 $.

(ii)

Солн:

Пусть A, B и C — три точки с векторами позиций 7 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 10 $ {\ rm {\ vec k}} $, $ — {\ rm {\ vec i}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}} $ и $ — 4 {\ rm {\ vec i}} $ + 9 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}} $ соответственно.

Если O — начало отсчета, то

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = 7 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 10 $ {\ rm {\ vec k}} $,

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = $ — {\ rm {\ vec i}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}} $

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} = — 4 {\ rm {\ vec i}} $ + 9 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}} $.

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = $ (- {\ rm { \ vec i}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}}) — \ left ({7 {\ rm {\ vec j}} + 10 { \ rm {\ vec k}}} \ right) $ = $ — {\ rm {\ vec i}} — {\ rm {\ vec j}} — 4 {\ rm {\ vec k}} $.

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = $ (- 4 {\ rm {\ vec i}} $ + 9 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec k}}) — \ left ({- {\ rm {\ vec i}} + 6 {\ rm {\ vec j \:}} + 6 {\ rm {\ vec k}}} \ right) $ = $ — 3 {\ rm {\ vec i}} + 3 {\ rm {\ vec j} } $.

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {CA}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = (7 $ {\ rm { \ vec j}} $ + 10 $ {\ rm {\ vec k}}) — \ left ({- 4 {\ rm {\ vec i}} + 9 {\ rm {\ vec j \:}} + 6 {\ rm {\ vec k}}} \ right) $ = $ — 4 {\ rm {\ vec i}} — 2 {\ rm {\ vec j}} $ + $ 4 {\ rm {\ vec k}} $.2} $ = 18 + 18 = 36 = (6) ² = CA ² .

Итак, ABC — прямоугольный треугольник.

Итак, A, B и C из вершин прямоугольного равнобедренного треугольника.

5.

а.

Солн:

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {OP}}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} + 3 {\ rm {\ vec j}} — 7 {\ rm {\ vec k}} $ и $ \ overrightarrow {{\ rm {OQ}}} $ = $ 5 {\ rm {\ vec i}} — 2 {\ rm {\ vec j}} + 4 {\ rm {\ vec k}} $

. 2}} $ = $ 9 \ sqrt 2 $.

Или, $ \ widehat {{\ rm {PQ}}} $ = $ \ frac {{\ overrightarrow {{\ rm {PQ}}}}} {{\ left | {\ overrightarrow {{\ rm {PQ}}}} \ right |}} $ = $ \ frac {{4 {\ rm {\ vec i}} — 5 {\ rm {\ vec j}} + 11 {\ rm {\ vec k}}}} {{9 \ sqrt 2}} $ = $ \ frac {4} {{9 \ sqrt 2}} {\ rm {\ vec i}} $ — $ \ frac {5} {{9 \ sqrt 2}} {\ rm {\ vec j}} $ + $ \ frac {{11}} {{9 \ sqrt 2}} {\ rm {\ vec k}} $.

Таким образом, постоянными токами PQ являются $ \ frac {4} {{9 \ sqrt 2}}, — \ frac {5} {{9 \ sqrt 2}}, \ frac {{11}} {{9 \ sqrt 2}} $.

г.

Солн:

Или, $ {\ rm {\ vec b}} $ = (-2,4, -3).

Итак, 2 $ {\ rm {\ vec b}} $ = (-4,8, -6).

(i)

$ {\ rm {\ vec a}} — 2 {\ rm {\ vec b}} + {\ rm {\ vec c}} $ = (3, -1, -4) — (-4,8, -6) + (-5,7, -1).

= (3 + 4-5, — 1-8 + 7, — 4 + 6-1) = (2, -2,1).

(ii) $ \ left | {{\ rm {\ vec a}} — 2 {\ rm {\ vec b}} + {\ rm {\ vec c}}} \ right | $ = $ \ sqrt {4 + 4 + 1} $ = 3

(iii) Единичный вектор = $ \ frac {{2, — 2,1}} {3} $ = $ \ left ({\ frac {2} {3}, — \ frac {2} {3}, \ frac {1} {3}} \ right) $.

(iv) Требуемый d.c’s = $ \ frac {2} {3} $, $ — \ frac {2} {3} $, $ \ frac {1} {3} $.

6.

Солн:

Или, $ \ frac {{{\ rm {BD}}}} {{{\ rm {DC}}}} = \ frac {{\ rm {m}}} {{\ rm {n}}} $ .

Или n. $ \ Overrightarrow {{\ rm {BD}}} $ = m. $ \ Overrightarrow {{\ rm {DC}}} $.

Или, n ($ \ overrightarrow {- {\ rm {OB}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $) = m ($ \ overrightarrow {- {\ rm {OD}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $)

Или, $ — {\ rm {n}} $.$ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ + n. $ \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = -m. $ \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ + m. $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $.

Или m. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ + n. $ \ Overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = n. $ {\ Rm { \:}} \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ + m. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $

Или (m + n) $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = n. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OB} }} $ + m. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $.

Итак, $ \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = $ \ frac {{{\ rm {n}}.\ overrightarrow {{\ rm {OB}}} + {\ rm {m}}. \ overrightarrow {{\ rm {OC}}}}} {{{\ rm {m}} + {\ rm {n}} }} $.

7.

(i)

Солн:

Пусть $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = (1, -2,3), $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = (2,3, -4) и $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = (0, -7,10).

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = (2,3, -4 ) — (1, -2,3) = (1,5, -7).

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = (0, -7,10 ) — (2,3, -4) = (-2, -10,14).

Итак, $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = — 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $.

Итак, BC и AB параллельны. Но B — общая точка, поэтому A, B и C лежат на одной прямой.

(ii)

Солн:

Пусть $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} + 2 {\ rm {\ vec j}} + 4 {\ rm {\ vec k}} $, $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} = $$ 2 {\ rm {\ vec i}} + 5 {\ rm {\ vec j}} — {\ rm {\ vec k}} $ = и $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = $ 3 {\ rm {\ vec i}} + 8 {\ rm {\ vec j}} — 6 {\ rm {\ vec k}} $

Или: $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ = $ 2 {\ rm {\ vec i}} + 5 {\ rm {\ vec j}} — {\ rm {\ vec k}} — \ left ({{\ rm {\ vec i}} + 2 {\ rm {\ vec j}} + 4 {\ rm {\ vec k}}} \ right) $ = $ {\ rm {\ vec i}} + 3 {\ rm {\ vec j}} — 5 {\ rm {\ vec k}} $

Или, $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} — \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ = $ 3 {\ rm {\ vec i}} + 8 {\ rm {\ vec j}} — 6 {\ rm {\ vec k}} — \ left ({2 {\ rm {\ vec i}} + 5 {\ rm {\ vec j}) } — {\ rm {\ vec k}}} \ right) $ = $ {\ rm {\ vec i}} + 3 {\ rm {\ vec j}} — 5 {\ rm {\ vec k}} $

Итак, $ \ overrightarrow {{\ rm {AB}}} $ = $ \ overrightarrow {{\ rm {BC}}} $.

Итак, A, B и C коллинеарны.

(б)

Солн:

Заданных векторов:

Или, $ {\ rm {\ vec a}} $ = 3 $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ — $ {\ rm {\ vec k}} $

А, $ {\ rm {\ vec b}} $ = λ $ {\ rm {\ vec i}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 4 $ {\ rm {\ vec k }} $

Так как $ {\ rm {\ vec a \:}} $ и $ {\ rm {\ vec b}} $ коллинеарны, поэтому

Или, $ {\ rm {\ vec a}} $ = l. $ {\ Rm {\: \ vec b}} $, где l — скаляр.

Или, 3 $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ — $ {\ rm {\ vec k}} $ = l (λ $ {\ rm {\ vec i}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec j}} $ + 4 $ {\ rm {\ vec k}} $).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых членах, получаем,

Или, 3 = l.λ… (i)

Или, 1 = — 4l… (ii)

А — 1 = 4л… (iii)

Итак, из (ii) и (iii) l = $ — \ frac {1} {4} $.

Таким образом, из (i) 3 = $ — \ frac {1} {4} $. λ à λ = — 12.

8.

(i)

Солн:

Пусть $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ = $ {\ rm {\ vec a}} $ — 2 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 3 $ {\ rm { \ vec c}} $, $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $ = $ — 2 {\ rm {\ vec a}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec c}} $ и $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = $ — {\ rm {\ vec b}} $ + 2 $ {\ rm {\ vec c}}

долларов США

Если три вектора копланарны,

Или $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = x.$ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ + y. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $. …. (I)

Где x и y — скаляры,

Или, $ — {\ rm {\ vec b}} $ + 2 $ {\ rm {\ vec c}} $ = x $ \ left ({{\ rm {\ vec a}} — 2 {\ rm { \ vec b}} + 3 {\ rm {\ vec c}}} \ right) $ + y $ \ left ({- 2 {\ rm {\ vec a}} + 3 {\ rm {\ vec b}} — 4 {\ rm {\ vec c}}} \ right) $

Или, $ — {\ rm {\ vec b}} $ + 2 $ {\ rm {\ vec c}} $ = (x — 2y) $ {\ rm {\ vec a}} $. + (-2x + 3y). $ {\ Rm {\ vec b}} $ + (3x — 4y). $ {\ Rm {\ vec c}} $.

Уравнение коэфф.подобных терминов,

Или, x — 2y = 0… (ii)

Или, — 2x + 3y = — 1… (iii)

Или, 3x — 4y = 2…. (Iv).

Решение (ii) и (iii), x = 2, y = 1.

Или, x = 2, y = 1 также удовлетворяют уравнению (iv).

От (i) $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = 2. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ +. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}}

долларов

Следовательно, данные векторы компланарны.

(ii)

Солн:

Пусть $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ = $ {\ rm {\ vec a}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 5 $ {\ rm { \ vec c}} $, $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $ = $ {\ rm {\ vec a}} $ — 2 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec c}} $ и $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = $ — 2 {\ rm {\ vec a}} + 3 {\ rm {\ vec b}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec c}}

$

Если три вектора копланарны,

Или $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = x.$ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ + y. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $. …. (I)

Или, — 2 $ {\ rm {\ vec a}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec c}} $ = x ($ {\ rm { \ vec a}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 5 $ {\ rm {\ vec c}} $) + y ($ {\ rm {\ vec a}} $ — 2 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec c}} $).

Или, — 2 $ {\ rm {\ vec a}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 4 $ {\ rm {\ vec c}} $ = (x + y). $ {\ rm {\: \ vec a}} $ + (- 3x — 2y). $ {\ rm {\: \ vec b}} $ + (5x + 3y). $ {\ rm {\: \ vec c }} $.

Или, x + y = — 2…. (Ii)

Или, -3x — 2y = 3… (iii)

Или, 5x + 3y = — 4….. (iv).

Решение (ii) amd (iii),

Или, x = 1, y = — 3.

Или, x = 1, y = — 3 также удовлетворяют уравнению (iv),

От (i), $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} — 3 \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $.

Следовательно, векторы компланарны.

(iii).

Солн:

Пусть $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ = $ — {\ rm {\ vec a}} $ + 4 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec c}} $, $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $ = 2.$ {\ rm {\ vec a}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 5 $ {\ rm {\ vec c}} $ и $ \ overrightarrow {{{\ rm {r} } _3}} $ = $ 2 {\ rm {\ vec a}} + 7 {\ rm {\ vec b}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec c}} $.

Если три вектора копланарны,

Или: $ \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = x. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} $ + y. $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $. …. (I)

Или 2 $ {\ rm {\ vec a}} $ + 7 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec c}} $ = x ($ — {\ rm { \ vec a}} $ + 4 $ {\ rm {\ vec b}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec c}} $) + y ($ 2 {\ rm {\ vec a}} $ — 3 $ {\ rm {\ vec b}} $ — 5 $ {\ rm {\ vec c}} $).

Или, (-x + 2y). $ {\ Rm {\: \ vec a}} $ + (4x — 3y) $ {\ rm {\: \ vec b}} $ + (3x — 5y). $ {\ rm {\: \ vec c}}

долларов США

Или, — x + 2y = 2…. (Ii)

Или, 4x — 3y = y… (iii)

Или, 3x — 5y = — 3… .. (iv).

Решение (ii) amd (iii),

Или, x = 4, y = 3.

Или, x = 4, y = 3 также удовлетворяют уравнению (iv),

От (i), $ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 3}} $ = 4. $ \ Overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 1}} + 3 \ overrightarrow {{{\ rm {r}} _ 2}} $.

Следовательно, векторы компланарны.

9.

а.

Солн:

Пусть, $ {\ rm {\ vec r}} $ = l. $ {\ Rm {\ vec a}} $ + m. $ {\ Rm {\ vec b}} $…. (I)

Или, (4,7) = l (5, -4) + m (-2,5)

Или, (4,7) = (5l — 2m, -4l + 5m).

Таким образом, 5l — 2m = 4…. (Ii)

А — 4л + 5м = 7… (iii)

Решая (ii) и (iii), получаем

l = 2, m = 3.

Таким образом, из (i) требуемого соотношения, $ {\ rm {\ vec r}} $ = 2 $ {\ rm {\ vec a}} $ + 3 $ {\ rm {\ vec b}} $.

г.

Солн:

Пусть, $ {\ rm {\ vec a}} $ = x. $ {\ Rm {\ vec b}} $ + y. $ {\ Rm {\ vec c}} $…. (I)

Или 2 $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ = x ($ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j }} $) + y ($ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec j}} $).

Или 2 $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ = (x + y). $ {\ Rm {\ vec i}} $ + (x — y ). $ {\ rm {\: \ vec j}} $.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых членах,

x + y = 2…. (I)

и x –y = 1… (i).

Решая (i) и (ii), получаем

x = $ \ frac {3} {2} $, y = $ \ frac {1} {2} $.

10.

а.

Солн:

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec k}} $ = (1,0,1), $ {\ rm {\ vec b}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ = (1,1,0)

И $ {\ rm {\ vec c}} $ = — $ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec k}} $ = (-1,0, -1).

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = x. $ {\ Rm {\: \ vec b}} $ + y. $ {\ Rm {\: \ vec c}} $… .. (i ).

Или, (1,0,1) = x (1,1,0) + y (-1,0, -1) = (x — y, x, -y)

Итак, x — y — 1….(ii)

Или, x = 0…. (Iii)

А — y = 1…. (Iv)

Из (iii) и (iv) имеем,

Или, x = 0, y = — 1.

Эти значения x = 0, y = 1 также удовлетворяют,

x — y = 1, т.е. 0 — 1 = — 1, т.е. — 1 = — 1.

Поскольку, y = — 1 ≠ 0, значит, данные векторы линейно зависимы.

г.

Солн:

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = $ 2 {\ rm {\ vec i}} $ +3 $ {\ rm {\ vec j}} $$ + {\ rm {\:}} 4 { \ rm {\ vec k}} $ = (2,3,4), $ {\ rm {\ vec b}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec j }} $ + $ {\ rm {\:}} 2 {\ rm {\ vec k}} $ = (1, -1,2)

И $ {\ rm {\ vec c}} $ = 5 $ {\ rm {\ vec i}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec j}} $ + $ {\ rm {\:}} 8 {\ rm {\ vec k}} $ = (5,6.8)

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = x. $ {\ Rm {\: \ vec b}} $ + y. $ {\ Rm {\: \ vec c}} $… .. (i ).

Или, (2,3,4) = x (1, -1,2) + y (5,6,8)

Итак, (2,3,4) = (x + 5y, — x + 6y, 2x + 8y).

Итак, x + 5y = 2… (ii)

Или, — x + 6y = 3…. (Iii)

Или, 2x + 8y = 4…. (Iv).

Решая (ii) и (iii), имеем y = $ \ frac {5} {{11}} $ и x = $ — \ frac {3} {{11}} $.

Эти значения x и y не удовлетворяют (iv),

Т.е. 2. $ \ left ({- \ frac {3} {{11}}} \ right) + 8 \ left ({\ frac {5} {{11}}} \ right) $ = 4.

то есть $ \ frac {{- 5 + 40}} {{11}} $ à 4 à 34 = 44, что неверно,

Следовательно, x и y не удовлетворяют (i), поэтому данные векторы независимы.

Векторы и векторная геометрия 12 класс Математика |

Векторная и векторная геометрия

Физические величины, характеризующиеся как величиной, так и направлением, называются векторными величинами.

Например, ускорение, импульс и т. 2}} $

Типы векторов

Нулевые векторы:

Если модуль вектора равен нулю и начальная точка вектора совпадает с конечной точкой.Обозначается он 0⃗. Направление такого вектора неопределенно.

Единичный вектор:

Вектор, имеющий величину единичной длины, называется единичным вектором. Предположим, что если OA⃗ — вектор, имеющий величину OA, тогда единичный вектор обозначен $ \ widehat {{\ rm {OA}}} $ в направлении вектора OA⃗ и имеет величину, равную 1.

Вектор положения:

Если O берется за начало отсчета, а A — любая произвольная точка в пространстве, то вектор OA⃗ называется вектором положения точки.Вектор положения обозначает положение точки в трехмерной декартовой системе относительно начала координат.

Совместные инициалы векторов:

Векторы, которые имеют одинаковую начальную точку, называются ко-начальными векторами.

Векторы AB⃗ и AC⃗ называются ко-начальными векторами, поскольку они имеют одну и ту же начальную точку A.

Как и отличия от векторов:

Векторы, имеющие одинаковое направление, называются одинаковыми векторами и векторами, имеющими противоположные направления w.r.t. друг друга называются непохожими векторами.

Копланарные векторы:

Три или более вектора, лежащих в одной плоскости или параллельно одной плоскости, называются копланарными векторами.

Коллинеарные векторы:

Известно, что векторы, лежащие на одних и тех же параллельных прямых, являются коллинеарными векторами.

Равные векторы:

Два или более вектора считаются равными векторами, если их величина и направление одинаковы.

Эти два вектора, как показано, являются равными векторами, поскольку они имеют одинаковое направление и величину.

Вектор смещения :

Если точка смещается из положения A в положение B, то смещение AB представляет собой вектор AB, который известен как вектор смещения.

Негатив вектора :

Если два вектора одинаковы по величине, но точно противоположны по направлению, то оба вектора отрицательны друг относительно друга.

Линейная комбинация векторов

Если r ⃗ — линейные комбинации наборов векторов a ⃗, b⃗, c⃗, то это можно записать как

r⃗ = xa⃗ + yb⃗ + zc⃗ + t⃗v, где x, y, z …… .t — скаляры

Линейно зависимые и независимые векторы

Если существует соотношение xa⃗ + yb⃗ + zc⃗ + t⃗v = 0 такое, что хотя бы один из скаляров не равен нулю, то набор векторов sa ⃗, b⃗, c⃗ называется линейно зависимыми векторами

Если существует соотношение xa⃗ + yb⃗ + zc⃗ + t⃗v = 0 такое, что все скаляры x, y, z …….равны нулю, то набор векторов sa ⃗, b⃗, c⃗ называется линейно независимыми векторами

Пример 1

Найдите $ {\ rm {\ vec a}} $ + $ {\ rm {\ vec b}} $, $ {\ rm {\ vec a}} $ — $ {\ rm {\ vec b}} $, $ — \ frac {1} {3} {\ rm {\ vec b}}

долларов США

Солн:

(i)

$ {\ rm {\ vec a}} $ + $ {\ rm {\ vec b}} $ = (0,0) + (1,2) = (0 + 1,0 + 2) = (1, 2).

$ {\ rm {\ vec a}} $ — $ {\ rm {\ vec b}} $ = (0,0) — (1,2) = (0 — 1,0 — 2) = (-1 , -2).

2 $ {\ rm {\ vec a}} $ = 2 (0,0) = (0,0).

Или, $ — \ frac {1} {3} {\ rm {\ vec b}} $ = $ — \ frac {1} {3} $ (1,2) = $ \ left ({- \ frac { 1} {3}, — \ frac {2} {3}} \ right) $.

Пример 2

ABCD — это параллелограмм G — это точка пересечения диагоналей, и если O — любая точка, покажите, что

$ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = 4. $ {\ Rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $.

Солн:

G — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Итак, GA = GC, GB = GD,

От треугольника OAC,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $. (G — это средняя точка AC.)

Опять из треугольника OBD,

Или $ \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} $ + $ \ overrightarrow {{\ rm {OD}}} $ = 2 $ \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $.
(G — средняя точка BD).

Добавление, $ \ overrightarrow {{\ rm {OA}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OB}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OC}}} + \ overrightarrow {{\ rm {OD}} } $ = 4.$ {\ rm {\:}} \ overrightarrow {{\ rm {OG}}} $.

Пример 3

Проверить, являются ли векторы линейно зависимыми или независимыми

$ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec k}} $ и $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $

Солн:

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec k}} $ = (1,0,1), $ {\ rm {\ vec b}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ + $ {\ rm {\ vec j}} $ = (1,1,0)

И $ {\ rm {\ vec c}} $ = — $ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec k}} $ = (-1,0, -1).

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = x. $ {\ Rm {\: \ vec b}} $ + y. $ {\ Rm {\: \ vec c}} $… .. (i ).

Или, (1,0,1) = x (1,1,0) + y (-1,0, -1) = (x — y, x, -y)

Итак, x — y — 1…. (Ii)

Или, x = 0…. (Iii)

А — y = 1…. (Iv)

Из (iii) и (iv) имеем,

Или, x = 0, y = — 1.

Эти значения x = 0, y = 1 также удовлетворяют,

x — y = 1, т.е. 0 — 1 = — 1, т.е. — 1 = — 1.

Поскольку, y = — 1 ≠ 0, значит, данные векторы линейно зависимы.

г. $ 2 {\ rm {\ vec i}} $ +3 $ {\ rm {\ vec j}} $$ + {\ rm {\:}} 4 {\ rm {\ vec k}} $ и $ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec j}} $ + $ {\ rm {\:}} 2 {\ rm {\ vec k}}

долларов

Солн:

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = $ 2 {\ rm {\ vec i}} $ +3 $ {\ rm {\ vec j}} $$ + {\ rm {\:}} 4 { \ rm {\ vec k}} $ = (2,3,4), $ {\ rm {\ vec b}} $ = $ {\ rm {\ vec i}} $ — $ {\ rm {\ vec j }} $ + $ {\ rm {\:}} 2 {\ rm {\ vec k}} $ = (1, -1,2)

И $ {\ rm {\ vec c}} $ = 5 $ {\ rm {\ vec i}} $ + 6 $ {\ rm {\ vec j}} $ + $ {\ rm {\:}} 8 {\ rm {\ vec k}} $ = (5,6.8)

Пусть $ {\ rm {\ vec a}} $ = x. $ {\ Rm {\: \ vec b}} $ + y. $ {\ Rm {\: \ vec c}} $… .. (i ).

Или, (2,3,4) = x (1, -1,2) + y (5,6,8)

Итак, (2,3,4) = (x + 5y, — x + 6y, 2x + 8y).

Итак, x + 5y = 2… (ii)

Или, — x + 6y = 3…. (Iii)

Или, 2x + 8y = 4…. (Iv).

Решая (ii) и (iii), имеем y = $ \ frac {5} {{11}} $ и x = $ — \ frac {3} {{11}} $.

Эти значения x и y не удовлетворяют (iv),

Т.е. 2. $ \ left ({- \ frac {3} {{11}}} \ right) + 8 \ left ({\ frac {5} {{11}}} \ right) $ = 4.

то есть $ \ frac {{- 5 + 40}} {{11}} $ à 4 à 34 = 44, что неверно,

Следовательно, x и y не удовлетворяют (i), поэтому данные векторы независимы.

Прямые, лучи и углы — бесплатный урок геометрии с упражнениями

На этом уроке геометрии для четвертого класса изучаются определения линии, луча, угла, острого угла, прямого угла и тупого угла. Мы также изучаем, как размер угла определяется ТОЛЬКО тем, насколько он «раскрылся» по сравнению со всем кругом.Урок содержит множество разнообразных упражнений для студентов.

А Это точка A. Точки называются заглавными буквами. Когда две точки соединены прямой строка, получаем строку сегмент .Мы называем эту линию отрезком AB или отрезком прямой. AB (обратите внимание на бар наверху). Стороны треугольника являются отрезками прямых.

Строка не имеет начальной или конечной точки. Представьте, что это продолжается бесконечно в обоих направлениях. Мы можем проиллюстрировать это маленькими стрелками на обоих концах. Мы можем назвать линию, используя две точки на ней.Это строка EF или строка (обратите внимание на стрелки). Или мы можем назвать строку строчной буквой: это строка с .

Луч начинается в точке и продолжается прочь до бесконечности. Мы можем показать , что, нарисовав стрелка на одном конце луча. Подумайте о солнечных лучах: они начинаются с солнце и продолжаться бесконечно. Мы можем назвать луч, используя его начальную точку и еще одну точку, которая это на луч: это луч QP или луч (Обратите внимание одна стрелка).Или мы можем назвать луч строчной буквой: это луч r .

Что такое угол? Много людей думаю, что угол — это какая-то наклонная линия . Но в геометрии угол состоит из двух лучей, которые имеют та же начальная точка . Это точка называется вершиной , а два луча называются стороны из угол. Чтобы назвать угол, мы используем три точки, перечисляя вершину посередине. Это угол DEF или ∠DEF. Мы можем использовать символ ∠ для угла.

1. Напишите, является ли каждая фигура линией, лучом, отрезком или угол, и назовите его.

Решения NCERT для класса 12 по математике Глава 11 в формате PDF на 2020-2021 годы.

Решения NCERT для класса 12 по математике Глава 11

11 Решения

Решения NCERT для класса 12 по математике Глава 11 приведены ниже для бесплатной загрузки в формате PDF.Присоединяйтесь к дискуссионному форуму, чтобы задать свои сомнения относительно правления NIOS и CBSE. Загрузите последнюю версию NCERT Books 2020-2021 в соответствии с текущей программой CBSE.

• Глава 11 Решения в PDF

Важные вопросы прошлых лет

1. Найдите декартово и векторное уравнения для прямой, проходящей через точку (-2, 4, -5) и параллельную в строку, заданную формулой (x + 3) / 3 = (y-4) / 5 = (8-z) / — 6. [Образец статьи CBSE, 2017 г.]
2.Если векторы p = ai + j + k, q = i + bj + k и r = i + j + ck копланарны, то для a, b, c ≠ 1 покажите, что 1 / (1-a) + 1 / (1-b) + 1 / (1-c) = 1. [CBSE Sample Paper 2017]
3. Плоскость пересекает оси координат в A, B и C, так что центр тяжести треугольника ABC является точкой (α, β, γ). Покажите, что уравнение плоскости имеет вид x / α + y / β + z / γ = 3. [Образец статьи CBSE 2017]
4. Определите наклонные линии. Используя только векторный подход, найдите кратчайшее расстояние между следующими двумя наклонными линиями: r = (8 + 3m) i — (9 + 16m) j + (10 + 7m) k и r = 15i + 29j + 5k + n (3i + 8j — 5k).[CBSE Sample Paper 2017]
5. Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A (1, 2, –1) и параллельной прямой 5x — 25 = 14 — 7y = 35z. [Дели, 2017]

Вопросы из материалов доски

1. Найдите векторное и декартовы уравнения для прямой, проходящей через (1, 2, –4) и перпендикулярной двум прямым (x — 8) / 3 = ( y + 19) / — 16 = (z — 10) / 7 и (x — 15) / 3 = (y — 29) / 8 = (z — 5) / — 5. [Дели, 2017]
2. Найдите векторное уравнение плоскости, которая находится на расстоянии 5 единиц от начала координат, и ее нормальный вектор равен 2i — 3j + 6k.[Delhi 2016]
3. Покажите, что векторы a, b и c компланарны, если a + b + c и c + a компланарны. [Delhi 2016]
4. Найдите координату точки P, в которой прямая, проходящая через A (3, — 4, –5) и B (2, –3, 1), пересекает плоскость, проходящую через три точки L (2, 2 , 1), M (3, 0, 1) и N (4, –1, 0). Также найдите соотношение, в котором P делит отрезок AB. [Delhi 2016]
5. Найдите уравнение плоскости через линию пересечения плоскостей x + y + z = 1 и 2x + 3y + 4z = 5, которая перпендикулярна плоскости x — y + z = 0.Затем найдите расстояние полученной таким образом плоскости от точки A (1, 3, 6). [Дели 2015C]

Важные вопросы по 12-й математике Глава 11

Какая связь между направляющими косинусами прямой?

Если l, m, n — направляющие косинусы прямой, то l² + m² + n² = 1

Что подразумевается под коэффициентами направления прямой?

Коэффициенты направления линии — это числа, которые пропорциональны направляющим косинусам линии.

No related posts.

Leave a Reply

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сайт

Класс:	12
Тема:	Математика
Глава 11: