Функции нескольких переменных контрольная работа: Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»

Функция нескольких переменных

Методические указания к выполнению контрольной работы

В соответствии с учебным планом студенты-заочники I курса всех технических специальностей во II семестре выполняют две письменные контрольные работы по курсу «Высшая математика».

Задания в контрольных работах составлены в тридцати вариантах. Выбор варианта определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента. Приступая к выполнению контрольной работы, необходимо ознакомиться с соответствующими разделами программы курса и методическими указаниями, изучить литературу. Далее следует предварительно наметить схему решения задачи.

Требования к выполнению контрольной работы.

1.Контрольная работа должна быть выполнена и представлена в установленные сроки.

2.В начале работы должен быть указан номер варианта работы.

3.Задачи нужно решать в том порядке, в каком они даны в задании.

4.Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие. Необходимо отделить решение задачи от ее условия некоторым интервалом. В том случае, если задача имеет общую формулировку, ее условие следует переписывать, заменяя общие данные конкретными, соответствующими номеру варианта.

5.Решение задачи следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями. Задачи, к которым даны ответы без развернутых расчетов, пояснений и кратких выводов, будут считаться нерешенными.

6.Выполненная контрольная работа должна быть оформлена аккуратно, написана разборчиво, чисто, без помарок и зачеркиваний. Запрещается произвольно сокращать слова (допускаются лишь общепринятые сокращения).

7.В конце работы следует привести список использованной литературы (автор, название учебника, главы, параграфа, страницы). Работа должна быть подписана студентом с указанием даты ее выполнения.

8.При удовлетворительном выполнении работа оценивается “допущена к защите”. К собеседованию студент обязан учесть все замечания рецензента и, не переписывая работу, внести в нее необходимые исправления и дополнения. После успешного прохождения собеседования студент получает зачет по работе и допускается к экзамену. Студенты, не получившие зачета по предусмотренным учебным планом работам, к экзаменам не допускаются.

На обложку контрольной работы необходимо наклеить бланк установленного образца и разборчиво заполнить все имеющиеся там реквизиты, отсутствие которых может задержать отправку проверенной работы. Указывайте индекс вашего предприятия связи, разборчиво пишите свою фамилию.

Если студент не может самостоятельно выполнить контрольную работу или какую-то ее часть, следует обратиться к ведущему преподавателю за консультацией. В письменном запросе надо точно указать, что именно непонятно и какая литература использована при написании работы.

дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Задание: Построение поверхности — графика функции двух переменных — в программе Microsoft Excel.

Цель: формирование умения составлять таблицу значений для функции двух переменных и строить её график, используя возможности программы Microsoft Excel.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

32.1. Дайте определение функции двух переменных. Что называют областью определения такой функции? Что называют графиком функции двух переменных? Какова геометрическая интерпретация графика функции двух переменных?

32.2.Задайте аналитически (с помощью формулы) функцию двух переменных , область определения которой . Используя возможности программы Microsoft Excel, составьте и заполните таблицу значений функции , где переменные и принимают значения от -1 до 1 с шагом 0,2. Постройте соответствующий график.

32.3. Найдите и изобразите область определения функции двух переменных:

Методические указания но выполнению работы:

Зависимость переменной от пары значений переменных и , при которой каждой паре значений переменных и , принадлежащей некоторому множеству пар , сопоставляется по определённому правилу единственное значение переменной , называется функцией двух переменных, определенной на множестве со значениями в .

Множество пар значений, которые могут принимать независимые переменные и (значение функции при этом является числом), называется областью определения функции двух переменных.

Графиком функции , определенной в области , называется множество точек трехмерного пространства, у которых принадлежит и .

Как правило, график функции двух действительных переменных представляет собой некоторую поверхность в пространстве. Для её построения в программе Microsoft Excel рекомендуем использовать следующий алгоритм:

1. В программе Microsoft Excel составьте таблицу, где в строку заносите значение переменной , в столбец — значения . По условию задачи и принимают значения от -1 до 1 с шагом 0,2:

2. Заполните ячейки таблицы значениями функции .

3. Используя мастер диаграмм, постройте соответствующую функции поверхность. Используйте правильные подписи числовых значений по осям и .

4. Оформите Вашу работу по образцу:

Если при выполнении работы у Вас возникают сложности, обратитесь к разбору примера 1.

Постройте график функции .

Решение:

1. Составим в программе Microsoft Excel таблицу значений функций .

Для этого в ячейки поместим значения переменной от -1 до 1 с шагом 0,2.

В ячейки поместим значения переменной от -1 до 1 с шагом 0,2.

Остальные ячейки должны содержать формулы для нахождения значений функции .

Например, формула в ячейке имеет вид: .

Можно использовать возможность таблиц подстановки!

2. Используя мастер диаграмм, выберем тип диаграммы «поверхность», в качестве диапазона данных взяв диапазон ячеек .

Необходимо изменить подписи по осям и , использовав вкладку «Конструктор», пункт «Выбрать данные».

График функции будет иметь следующий вид:

Не правда ли, очень напоминает седло?

И у Вас обязательно получится что-то интересное! Экспериментируйте! Желаем успеха!

Для различных функций двух переменных область определения имеет разный вид. Она может представлять собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченную одной или несколькими непрерывными линиями — границами области. Возможен случай, когда какая — то из границ превращается в одну точку.

Найдите и изобразите область определения функции , зная, что и длины сторон прямоугольника, a — его площадь.

Найдите и изобразите область определения функции , зная, что и длины сторон прямоугольника, a — его площадь.

Решение:

С учетом геометрического смысла функции, её область определения представляет собой множество точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют системе Таким
образом, — множество точек плоскости
первой координатой четверти за исключением точек осей координат (рис.1).

Ответ: — множество точек плоскости первой координатой четверти за исключением точек осей координат.

Найдите и изобразите область определения функции
.

Решение:

Функция глобально представляет собой корень чётной степени, поэтому область её определения будем находить, учитывая, что подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, .

Изобразим область определения функции в прямоугольной декартовой системе координат. Для этого рассмотрим уравнение , преобразуем его к виду: . Данное уравнение является каноническим уравнением эллипса. Собственно по каноническому уравнению эллипса найдём большую и малую полуоси: , откуда . Построим эллипс в прямоугольной декартовой системе координат.

Эллипс разбивает множество точек плоскости на два подмножества: множество точек внутри эллипса и вне его. Определим, какое из них геометрически реализует область определения функции. Для этого возьмём произвольную точку, например, внутри эллипса (0;0) и подставим её координаты в неравенство: . Получим: — верное неравенство.

Таким образом, (0;0) принадлежит области определения функции, а это означает, что область определения функции изображается множеством точек координатной плоскости внутри эллипса , включая точки эллипса (поскольку неравенство — нестрогое) (рис. 2).

Ответ: — множество точек.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных

Задание: Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных.

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы второго порядка функций нескольких переменных.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

34.1. Выучите определение частной производной второго порядка функции. Выясните, сколько частных производных второго порядка существует для функции двух переменных. Проанализируйте, есть ли среди них равные. Выясните, в чём заключается смысл теоремы Шварца для нахождения смешанных частных производных.

34.2. Найдите частные производные второго порядка функции:

34.3. Найдите все частные производные третьего порядка функции .

34.4. Выучите определение дифференциала второго порядка функции нескольких переменных и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

34.5. Найдите дифференциал второго порядка функции:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частные производные и функции двух действительных переменных называют частными производными первого порядка. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Функция двух действительных переменных имеет четыре частных производных второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

— частная производная второго порядка функции по переменной ;

— частная производная второго порядка функции по переменной ;

— частная производная второго порядка функции по переменным и ;

— частная производная второго порядка функции по переменным и .

Рассматривая частные производные от частных производных второго порядка, получим всевозможные частные производные третьего порядка. Например, и т.д.

Частные производные произвольного (высшего) порядка определяются аналогично.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, .

Для нахождения смешанных частных производных одного порядка функции нескольких переменных, отличающихся лишь порядком дифференцирования, удобно использовать теорему Шварца.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, смешанные производные второго порядка функции двух переменных равны: .

Найдите частные производные второго порядка функции .

Решение:

Для функции двух переменных существуют четыре частные производные второго порядка: и . Но по теореме Шварца, смешанные производные второго порядка функции равны: . Значит, ограничимся поиском одной смешанной производной, например, . Сначала найдем частные производные первого порядка функции:

Найдем как частную производную по переменной от :

Найдем как частную производную по переменной от :

Найдем как частную производную по переменной от :

По теореме Шварца, .

Ответ: , .

Полный дифференциал функции называют полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от первого дифференциала:

Аналогично можно определить дифференциалы соответственно третьего, четвертого, -го порядков.

Для нахождения дифференциала второго порядка функции используется формула:

Найдите дифференциал второго порядка функции .

Решение:

Для нахождения дифференциала второго порядка функции будем использовать формулу . Все частные производные второго порядка функции были получены нами в примере 5: . Подставим их в формулу дифференциала функции второго порядка: . Окончательно получим: .

Ответ: .

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Интегралы и функции нескольких переменных

Методические указания по теме

» Интегралы и функции нескольких переменных»

авторов Абрамовой И. М., Андросенко О.С., Кузиной Т.Т.

________________________________________________________________________

3.Функции нескольких переменных.

3.1.Определение. Способы изображения линий уровня

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1,x2,…,xn) из некоторого множества Χ соответствует одно значение переменной величины Z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных Z=f(x1,x2,…,xn).

Переменные x1, x2,…xn называются независимыми переменными (аргументами), Z- зависимой переменной (функцией). Множество Χ называют областью определения функции.

В экономических приложениях широко используются линейные и нелинейные функции n переменных.

Примеры

1. Функция Z=a0+a1x1+…+anxn, где а1,а2,…аn- числа, называется линейной функцией нескольких переменных, если n=2, то Z=a0+a1x1+a2x- линейная функция двух переменных. Функции [pic 1] [pic 2], [pic 3] являются нелинейными.
2. Функция [pic 4]представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД), где Z-величина общественного продукта, x1- затраты труда, x2- объем производственных фондов.
3. Функция [pic 5] выражает величину вклада через x2 лет при ставке x1%.

Для упрощения записи ограничимся случаем функций двух переменных, Однако все дальнейшее справедливо если число переменных равно трем, четырем и т. д., функцию двух переменных будем обозначать z=f(x,y).

Графиком функции f двух переменных x и y называется множество точек (x,y,z) трехмерного пространства таких, что z=f(x,y).График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве, а область определения Χ есть подмножество координатной плоскости 0x y.

Для изучения поведения функции двух переменных используют понятие линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z=f(x, y) называется множество точек плоскости, таких что во всех этих точках значение функции z=f(x, y) одно и то же и равно с. Число с называется уровнем.

Уравнение семейства линий уровня

                                                        z=c или f(x, y)=c                    (3.1)

Пример 18. Построить линии уровня функции z=x2+y2+2x.

Решение: Уравнение линий уровня z=c или x2+y2+2x=c. Приведем к виду [pic 6]. Это уравнение окружности с центром в т(-1;0) и радиусом [pic 7] (рис. 4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z=c. Точка (-1;0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению z=1.

[pic 8]

Рис.4

3.2.Частные производные и градиент.

Пусть z=f(x, y) – функция двух переменных. Первая производная функции f(x, y) по переменной x, при фиксированной переменной y называется (первой) частной производной функции f(x, y) по переменной x, символически записывают так:        

                            [pic 9],                         (3.2)

Аналогично определяется (первая) частная производная функции f(x, y) по переменной y:

                               [pic 10]                       (3.3)

При нахождении частной производной [pic 11]надо считать постоянной переменную x. При этом сохраняются все известные правила дифференцирования.

Пример 19. Найти частные производные а) [pic 12]  б) [pic 13]

Решение:

а)     [pic 14]

[pic 15]

б) При фиксированном y имеем показательную функцию         [pic 16]

При фиксированном x имеем степенную функцию [pic 17].

Упорядоченная пара частных производных [pic 18] функции Z=f(x, y) двух переменных обозначается символом [pic 19]или [pic 20]и называется градиентом функции Z=f(x, y) двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор.

Читать реферат по математике: «Функции нескольких переменных в экономических задачах» Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Функция «чтения» служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент кадровой политики и образования

ФГОУ ВПО Ижевская ГСХА

кафедра высшей математики

Реферат по высшей математике

Функции нескольких переменных в экономических задачах

Выполнил: студентка 914 группы

Харина Светлана Анатольевна

Проверил: ст. преподаватель

Иванова И.А.

Ижевск 2007

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Введение

Использование функций нескольких переменных — широко применяемый для экономического анализа математический метод. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике очень часто требуется найти оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных.

Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (например, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора).

Справочный материал

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

Производственной функцией называется зависимость результата производственной деятельности — выпуска продукции и от обусловивших его факторов — затрат ресурсов x1, x2, …, xn. Производственная функция может быть задана как в натуральных, так и в денежных единицах. В последнем случае она представляет собой доход oт использования ресурсов.

Производственная функция К(х, у) = Ах ау βназывается функцией Ко6ба—Дугласа. Параметры α и β представляют собой частные эластичности выпуска продукции по отношению к затратам труда х и капитала у.

Функция

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Обозначение: $z=f(x,y)$.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Замечание 1

Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:

Определение 2

Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ — это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$.

Обозначение: $z’_{x} ,\, \, f’_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x} $.

Замечание 2

По определению частной производной имеем:

Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:

Готовые работы на аналогичную тему

Определение 3

Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ — это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$.

Обозначение: $z’_{y} ,\, \, f’_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y} $.

Замечание 3

По определению частной производной имеем:

Отметим, что правила вычисления частной производной от заданной функции совпадают с правилами вычисления производных от функции одной переменной. Однако при вычислении частной производной необходимо помнить о том, по какой переменной ищется частная производная.

Пример 1

Определить частные производные заданной функции:

Определение 4

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Определение 5

Если для каждой совокупности $(x,y,z,…,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,…,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,…,t)$.

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:

• $\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $;

• $…$ ;

• $\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,.{2} )’_{t} =2t$ (по переменной $t$).

  13.8: Оптимизация функций нескольких переменных

  Чтобы разработать общий метод классификации поведения функции двух переменных в ее критических точках, нам нужно начать с классификации поведения квадратичных полиномиальных функций двух переменных в их критических точках. критические точки.

  Чтобы понять, почему это поможет нам, предположим, что квадратичная аппроксимация функции двух переменных (ее многочлен Тейлора 2-й степени) разделяет те же первую и вторую частицу, что и функция, которую она аппроксимирует в выбранной точке касания (или центральной точке ).Поскольку совместное использование одних и тех же вторых частичных элементов означает, что две поверхности будут иметь одинаковую вогнутость (или кривизну) в критической точке, это приводит к тому, что эти поверхности квадратичной аппроксимации имеют то же поведение, что и функция \ (z = f (x, y) \) что они приближаются в точке касания. Другими словами, если исходная функция имеет относительный максимум в этой точке, то будет и квадратичное приближение. 2 \), поэтому это параболоид, который открывается своей вершиной (точкой минимума) в критической точке \ ((3, -5) \).Мы можем утверждать, что он имеет абсолютное минимальное значение \ (- 14 \) в точке \ ((3, -5) \), поскольку мы добавляем квадраты членов к \ (- 14 \) и, таким образом, не можем получить значение меньше чем \ (- 14 \) для любых значений \ (x \) и \ (y \), в то время как мы действительно получаем это минимальное значение \ (- 14 \) в точке вершины \ ((3, -5) \).

  г. Установив частички \ (f \) равными \ (0 \), мы получим: \ [\ begin {align *} \ text {Set} \ quad f_x (x, y) & = -6x -6 = 0 & \ implies x & = -1 \\ \ text {and} \ quad f_y (x, y) & = -2y + 12 = 0 & \ implies y & = 6 \ end {align *} \] Получаем один критический точка с координатами \ ((-1, 6) \).2 \ end {align *} \] Обратите внимание, что эта функция является эллиптическим параболоидом, который открывается вниз своей вершиной (точкой максимума) в критической точке \ ((-1, 6) \). Мы можем утверждать, что он имеет абсолютное максимальное значение \ (51 \) в точке \ ((-1, 6) \), поскольку мы вычитаем квадратные члены из \ (51 \) и, таким образом, не можем получить значение больше, чем \ (51 \) для любых значений \ (x \) и \ (y \), в то время как мы действительно получаем это минимальное значение \ (51 \) в точке вершины \ ((-1, 6) \).

  г. Установив частички \ (f \) равными \ (0 \), мы получим: \ [\ begin {align *} \ text {Set} \ quad f_x (x, y) & = 2x + 8 = 0 & \ подразумевает x & = -4 \\ \ text {и} \ quad f_y (x, y) & = -4y + 16 = 0 & \ подразумевает y & = 4 \ end {align *} \] Это дает нам критическую точку с координатами \ ((-4, 4) \).2 \), поэтому в критической точке он имеет седловую точку. То есть \ (f \) имеет седловую точку в \ ((-4, 4, 16) \).

  г. Установив частички \ (f \) равными \ (0 \), мы получим: \ [\ begin {align *} \ text {Set} \ quad f_x (x, y) & = 2x + 6y = 0 & \ \ \ text {and} \ quad f_y (x, y) & = 6x + 2y = 0 & \ подразумевает y & = -3x \ end {align *} \] Подставляя \ (- 3x \) в первое уравнение для \ (y \) дает нам \ [\ begin {align *} 2x + 6 (-3x) & = 0 \\ -16x & = 0 \\ x & = 0 \ end {align *} \] Поскольку \ (y = -3x \), мы имеем \ (y = -3 (0) = 0 \), поэтому критической точкой \ (f \) является \ ((0,0) \).2 \]

  Теперь нам нужно заполнить квадрат этого квадратичного многочлена от двух переменных, чтобы узнать, как мы можем классифицировать поведение этой функции в этой критической точке. 2 \) (т.2 \ end {align *} \]

  Эта формула называется Second Partials Test , и ее можно использовать для классификации поведения любой функции в ее критических точках, пока там существуют ее вторые частичные компоненты и пока значение этого дискриминанта не равно нулю.

  14.1: Функции нескольких переменных

  Нашим первым шагом является объяснение того, что такое функция нескольких переменных, начиная с функций двух независимых переменных. Этот шаг включает в себя определение области и диапазона таких функций и обучение их построению в виде графиков.Мы также исследуем способы связать графики функций в трех измерениях с графиками более знакомых плоских функций.

  Функции двух переменных

  Определение функции двух переменных очень похоже на определение функции одной переменной. Основное отличие состоит в том, что вместо отображения значений одной переменной в значения другой переменной мы сопоставляем упорядоченные пары переменных с другой переменной. 2} \)

Решение

а.2 \). Чтобы определить диапазон, сначала выберите значение z . Нам нужно найти решение уравнения \ (f (x, y) = z, \) или \ (3x − 5y + 2 = z. \). Одно такое решение можно получить, сначала положив \ (y = 0 \ ), что дает уравнение \ (3x + 2 = z \). Решением этого уравнения является \ (x = \ dfrac {z − 2} {3} \), что дает упорядоченную пару \ (\ left (\ dfrac {z − 2} {3}, 0 \ right) \) как решение уравнения \ (f (x, y) = z \) для любого значения \ (z \). Следовательно, диапазон функции — это все действительные числа или \ (R \).

г.2≤4 \), граница которого имеет окружность радиуса \ (2 \). Диапазон равен \ ([0,6]. \)

.

Графические функции двух переменных

Предположим, мы хотим построить график функции \ (z = (x, y). \) Эта функция имеет две независимые переменные (\ (x \) и \ (y \)) и одну зависимую переменную \ ((z) \) . При построении графика функции \ (y = f (x) \) одной переменной мы используем декартову плоскость. Мы можем построить график любой упорядоченной пары \ ((x, y) \) на плоскости, и каждая точка на плоскости имеет связанную с ней упорядоченную пару \ ((x, y) \).С функцией двух переменных каждая упорядоченная пара \ ((x, y) \) в области определения функции отображается в действительное число \ (z \). Следовательно, график функции \ (f \) состоит из упорядоченных троек \ ((x, y, z) \). График функции \ (z = (x, y) \) двух переменных называется поверхностью.

Чтобы более полно понять концепцию построения набора упорядоченных троек для получения поверхности в трехмерном пространстве, представьте плоскую систему координат \ ((x, y) \). Тогда каждая точка в области определения функции f имеет уникальное значение z , связанное с ней.2, \ nonumber \]

, где \ (x \) — количество гаек, проданных в месяц (в тысячах), а \ (y \) — количество болтов, проданных за месяц (в тысячах). Прибыль измеряется тысячами долларов. Нарисуйте график этой функции.

Решение

Эта функция является полиномиальной функцией от двух переменных. 2 = 16 -Z.\ end {align *} \]

Поскольку \ (z <16, \), мы знаем, что \ (16 − z> 0, \), поэтому предыдущее уравнение описывает круг с радиусом \ (\ sqrt {16 − z} \) с центром в точке \ (( 3,2) \). Следовательно. диапазон \ (f (x, y) \) равен \ (\ {z∈ \ mathbb {R} | z≤16 \}. \) График \ (f (x, y) \) также является параболоид, и этот параболоид указывает вниз, как показано.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): График данной функции двух переменных также является параболоидом.

Кривые уровня

Если туристы идут по пересеченным тропам, они могут использовать топографическую карту, которая показывает, насколько круто меняются маршруты.Топографическая карта содержит изогнутые линии, называемые контурными линиями. Каждая горизонтальная линия соответствует точкам на карте, имеющим одинаковую высоту (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)). Линия уровня функции двух переменных \ (f (x, y) \) полностью аналогична контурной линии на топографической карте.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): (а) Топографическая карта Башни Дьявола, Вайоминг. Линии, расположенные близко друг к другу, указывают на очень крутой рельеф. (б) Перспективное фото Башни Дьявола показывает, насколько круты ее стены.2 = 5. \]

Это уравнение описывает круг с центром в начале координат и радиусом \ (\ sqrt {5} \). Использование значений c между \ (0 \) и \ (3 \) дает другие круги, также с центром в начале координат. Если \ (c = 3 \), то круг имеет радиус \ (0 \), поэтому он состоит исключительно из начала координат. На рисунке \ (\ PageIndex {7} \) показан график линий уровня этой функции, соответствующих \ (c = 0,1,2, \) и \ (3 \). Обратите внимание, что в предыдущем выводе возможно, что мы ввели дополнительные решения, возведя обе части в квадрат.2 = 25, \), который представляет собой окружность радиуса \ (5 \) с центром в точке \ ((3, −1). \)

Другой полезный инструмент для понимания графика функции двух переменных называется вертикальной кривой. Кривые уровня всегда отображаются в плоскости \ (xy-plane \), но, как следует из их названия, вертикальные кривые отображаются в плоскостях \ (xz- \) или \ (yz- \). 2 \).Вертикальная трасса функции может быть либо набором точек, который решает уравнение \ (f (a, y) = z \) для данной константы \ (x = a \), либо \ (f (x, b ) = z \) для данной константы \ (y = b. \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск вертикальных следов

Найдите вертикальные следы для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \), соответствующей \ (x = — \ dfrac {π} {4}, 0, \) и \ (\ dfrac { π} {4} \) и \ (y = — \ dfrac {π} {4}, 0 \) и \ (\ dfrac {π} {4} \).

Решение

Сначала задайте \ (x = — \ dfrac {π} {4} \) в уравнении \ (z = \ sin x \ cos y: \)

\ (z = \ sin (- \ dfrac {π} {4}) \ cos y = — \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} ≈ −0.7071 \ cos y. \)

Это описывает косинусный граф на плоскости \ (x = — \ dfrac {π} {4} \). Остальные значения z показаны в следующей таблице.

Вертикальные следы, параллельные \ (xz-Plane \) для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \)

\ (с \)	Вертикальный след для \ (x = c \)
\ (- \ dfrac {π} {4} \)	\ (z = — \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} \)
0	\ (г = 0 \)
\ (\ dfrac {π} {4} \)	\ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ cos y} {2} \)

Подобным образом мы можем подставить \ (значения y \) в уравнение \ (f (x, y) \), чтобы получить следы в \ (yz-plane, \), как указано в следующая таблица.

Вертикальные следы, параллельные \ (yz-плоскости \) для функции \ (f (x, y) = \ sin x \ cos y \)

\ (г \)	Вертикальный след для \ (y = d \)
\ (\ dfrac {π} {4} \)	\ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ sin x} {2} \)
0	\ (г = \ грех х \)
\ (- \ dfrac {π} {4} \)	\ (z = \ dfrac {\ sqrt {2} \ sin x} {2} \)

Три следа в \ (xz-плоскости \) являются косинусоидальными функциями; три следа в \ (yz-плоскости \) являются синусоидальными функциями.2 \). Эта функция описывает параболу, раскрывающуюся вниз в плоскости \ (y = 3 \).

Функции двух переменных могут создавать поразительные поверхности. На рисунке \ (\ PageIndex {11} \) показаны два примера.

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Примеры поверхностей, представляющих функции двух переменных: (а) комбинация степенной функции и синусоидальной функции и (б) комбинация тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций.

Функции более двух переменных

До сих пор мы рассматривали только функции двух переменных.2) \ sin t− (3x + 5y) \ cos t. \]

В первой функции \ ((x, y, z) \) представляет точку в пространстве, а функция \ (f \) сопоставляет каждую точку в пространстве с четвертой величиной, такой как температура или скорость ветра. Во второй функции \ ((x, y) \) может представлять точку на плоскости, а \ (t \) может представлять время. Функция может сопоставлять точку на плоскости с третьей величиной (например, давлением) в данный момент времени \ (t \). Метод поиска области определения функции более двух переменных аналогичен методу для функций одной или двух переменных.2−4 \} \ nonumber \]

Функции двух переменных имеют кривые уровня, которые показаны как кривые на \ (xy-плоскости. \). Однако, когда функция имеет три переменных, кривые становятся поверхностями, поэтому мы можем определить поверхности уровня для функций трех переменных.

Определение: ровная поверхность функции трех переменных

Для функции \ (f (x, y, z) \) и числа \ (c \) в диапазоне \ (f \) поверхность уровня функции трех переменных определяется как множество точек, удовлетворяющих уравнению \ (f (x, y, z) = c.2 = 16 \) описывает сферу радиуса \ (4 \) с центром в точке \ ((1, −2,3). \)

Первый производный тест для функций нескольких переменных в JSTOR

Информация о журнале

The Monthly публикует статьи, а также заметки и другие статьи о математике и профессии. Его читатели охватывают широкий спектр математических интересов и включают профессиональных математиков, а также студентов-математиков на всех университетских уровнях.Авторам предлагается присылать статьи и заметки, которые знакомят с интересными математическими идеями широкую аудиторию читателей журнала. Читатели Monthly ожидают высокого уровня изложения; они ожидают, что статьи будут информировать, стимулировать, бросать вызов, просвещать и даже развлекать. Ежемесячные статьи предназначены для чтения, просмотра и обсуждения, а не для архивирования. Статьи могут быть изложением старых или новых результатов, историческими или биографическими очерками, размышлениями или окончательными трактовками, обширными разработками или исследованиями одного приложения.Новизна и общность гораздо менее важны, чем ясность изложения и широкая привлекательность. Приветствуются соответствующие рисунки, схемы и фотографии. Примечания короткие, четкие и, возможно, неформальные. Часто они представляют собой жемчужины, обеспечивающие новое доказательство старой теоремы, новое изложение знакомой темы или живое обсуждение одного вопроса.

Информация об издателе

Основываясь на двухвековом опыте, Taylor & Francis за последние два десятилетия быстро выросла и стала ведущим международным академическим издателем.Группа издает более 800 журналов и более 1800 новых книг каждый год, охватывающих широкий спектр предметных областей и включая журнальные оттиски Routledge, Carfax, Spon Press, Psychology Press, Martin Dunitz и Taylor & Francis. Тейлор и Фрэнсис полностью привержены делу. на публикацию и распространение научной информации высочайшего качества, и сегодня это остается первоочередной задачей.

Глава 7 Функции двух или более переменных

Введение

‘’ Если я видел дальше, чем другие люди, то это потому, что я стоял на плечах гигантов.’’

Исаак Ньютон (1642-1727)

«Если я не видел так далеко, как другие, то это потому, что гиганты стояли у меня на плечах».

Хэл Абельсон (1947-)

В этой главе мы собираемся изучить действительные функции двух переменных, то есть функции \ (f: {\ mathbb R} \ times {\ mathbb R} \ rightarrow {\ mathbb R} \), связанные с каждой парой действительных число \ ((x, y) \) действительное число \ (y = f (x, y) \). В следующем семестре мы рассмотрим концепции предела и непрерывности.В этой главе мы рассмотрим производные, чтобы понять градиент на поверхностях, а также найти максимумы и минимумы в двух измерениях.

Начнем с нескольких примеров.

Пример 7.1 Простейшим примером поверхности является плоскость, которая является линейной функцией: \ [ z = ax + by + c, \ quad a, b, c \ in {\ mathbf R}. \] В примере ниже \ (z = 3x + 4y + 5/2 \).

Пример 7.2 Предположим, мы хотим описать высоту над уровнем моря каждой точки на поверхности горы.2), \] куда \ (D = [- a, a] \ times [-b, b] \ times [-c, c] \). Очевидно, что визуализировать такие функции сложно, и это умение находить хороший способ визуализировать информацию.

Пример 7.4 Что, если мы хотим также отслеживать, как температура изменяется со временем? Что ж, просто добавьте еще одну переменную \ (t \) для времени и опишите температуру как функцию как положения в пространстве, так и времени: \ [ f: D \ longrightarrow {\ mathbb R}, \ qquad T = f (t, x, y, z).2) \ ехр (-2t), \] с \ (D = [0, \ infty) \ times [-a, a] \ times [-b, b] \ times [-c, c] \).

Частные производные

Если мы представим себя на склоне горы, мы знаем, что склон может быть разным в разных направлениях. Вот так нам, лыжникам, удается медленно спускаться по очень крутым склонам, двигаясь по склону. Мы можем понять, как много вещей меняется в соответствии с определенной линией. На следующем изображении с сайта Mathsinsight.org https://mathinsight.org/

Мы смотрим на изменения в функции \ (f (x, y) \), если мы зафиксируем \ (y = b \).2 + 1/4} \). Затем мы можем исследовать скорость изменения \ (f \) вдоль линии \ (y = -0,5 \), дифференцируя \ (g \) по \ (x \).

Определение 7.1 (Частные производные функции двух переменных) Пусть \ (f \) — функция двух переменных \ (x, y \). Частные производные от \ (f \) по \ (x \) и \ (y \) соответственно равны \ [\ begin {eqnarray *} f_x (x, y) & = & \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {f (x + h, y) -f (x, y)} {h}, \\ f_y (x, y) & = & \ lim_ {h \ rightarrow 0} \ frac {f (x, y + h) -f (x, y)} {h}.\ end {eqnarray *} \] Частные производные измеряют скорость изменения \ (f \) по одной переменной.

Нахождение частных производных функции довольно просто, если вы знаете, как брать производные функций с одной переменной. В самом деле, по определению, частная производная, скажем, по \ (x \), является производной функции при фиксированном \ (y \). Процедура проиллюстрирована следующими примерами.

Пример 7.2} +2 \ ехр (2у) = 3. \] когда \ ((x, y) = (1,0) \).

Вот видео с еще несколькими примерами:

Клип YOutube с другими примерами

Частные производные высшего порядка

Опять же, сначала мы рассматриваем только функции двух переменных. Предположим, что \ (f \) является функцией двух переменных \ (x, y \), допускающей первые частные производные в области определения. Поскольку частные производные \ (f_x \) и \ (f_y \) снова являются функциями \ (x \) и \ (y \), они сами могут иметь частные производные \ ((f_x) _x \), \ ((f_x ) _y \), \ ((f_y) _x \) \ ((f_y) _y \).2, & f_ {zz} = 6 \ sin (x) yz. \ end {массив} \] Мы видим, что смешанные производные равны.

Космические кривые

Еще одна ключевая идея многомерной геометрии — это кривые в пространстве. Пространственная кривая является функцией одной переменной (часто мы называем ее \ (t \), потому что нам нравится думать о движении частицы по пути во времени). Например, на картинке ниже мы видим спиральный путь в трех измерениях:

Это кривая \ ((\ cos (t), \ sin (t), t) \), \ (t \ in [0,10] \).

чаще всего у нас

Определение 7.2 (пространственная кривая) Пространственная кривая — это набор точек \ (\ {{\ bf r} (t) = (x (t), y (t), z (t)): t \ in [a , б] \} \). Число \ (t \) называется параметром , а интервал \ ([a, b] \) называется параметрическим интервалом .

Пример 7.9 \ (\ {{\ bf r} (t) = (a_x + b_x t, a_y + b_y t, a_z + b_z t), t \ in [c, d] \} \) — уравнение участок прямой в 3-х измерениях. Если мы напишем \ ({\ bf a} = (a_x, a_y, a_z) \) и \ ({\ bf b} = (b_x, b_y, b_z) \), то мы можем записать векторное уравнение линии в форма \ ({\ bf r} (t) = {\ bf a} + {\ bf b} t, t \ in [c, d] \} \).Вектор направления для линии равен \ ({\ bf b} \).

Пример 7.10 \ (\ {{\ bf r} (t) = (t \ cos t, t \ sin t, t), t \ in [0,3 \ pi] \} \) — кривая на конус.

Что нас часто интересует, так это скорость, с которой частица движется по кривой. Это скажет нам не только его скорость, но и направление. Мы вычисляем скорость (как всегда делали раньше), дифференцируя положение частицы.

Определение 7.3 (скорость) Скорость частицы в позиции \ ({\ bf r} (t) = (x (t), y (t), z (t)) \) в момент времени \ (t \ in [a, b] \) равно \ ({\ bf r} ‘(t) = (x’ (t), y ‘(t), z’ (t)) \).

Отметим, что скорость в момент времени \ (t \) всегда касается кривой в этой точке, поэтому дифференцирование дает нам простой способ вычисления касательных к пространственным кривым. В следующем примере мы видим касательную к предыдущей пространственной кривой в точке \ (t = \ pi \),

Пример 7.11 Предположим, что частица занимает положение \ ({\ bf r} (t) = (t \ cos t, t \ sin t, t) \) в момент времени \ (t \). Вычислите скорость частицы в момент времени \ (t \).

Скорость \ ({\ bf v} (t) = {\ bf r} ‘(t) = (\ cos t — t \ sin t, \ sin t + t \ cos t, 1) \).


Пример 7.12 Предположим, что частица движется по плоскости \ (z (x, y) = ax + by + c \) и имеет положение \ ({\ bf r} (t) = (x, 0, z (x , 0)) \) в момент времени \ (t \). Какая скорость частицы?

Скорость частицы в момент времени \ (t \) равна \ ({\ bf v} (t) = {\ bf r} ‘(t) = (1,0, a) \). Этот вектор параллелен плоскости. Аналогично, \ ((0,1, b) \) также параллельно плоскости. Таким образом, мы можем написать уравнение вектора для плоскости \ [ {\ bf r} (\ lambda, \ mu) = (0,0, c) + \ lambda (1,0, a) + \ mu (0,1, b), \ quad \ lambda, \ mu \ in {\ mathbb R}.\]

Проверьте себя

Это сложный вопрос, и у вас все будет хорошо, если вы научитесь отвечать на все части. В частности, есть некоторые вещи, которые вам не сказали, как делать в модуле. Посмотрите, сможете ли вы сами узнать, как это сделать (например, найти угол между векторами).

Правила цепочки

Вы знакомы с цепным правилом для вычисления производной композиции функций одной переменной.Для двух функций \ (f (x) \) и \ (g (t) \), если \ (g \) дифференцируема в некотором \ (t \) и \ (f \) дифференцируема в \ (x = g (t) \), то производная сложной функции \ (f (g (t)) \) задается цепным правилом : \ [ \ frac {d} {dt} (f (g (t))) = f ‘(g (t)) g’ (t). \ tag {7.1} \] Это можно переписать с помощью other, что полезно в нашем контексте. Поскольку \ (f \) является функцией \ (x \), которая является функцией \ (t \) (по закону, заданному \ (g \)), мы можем записать (7.1) как \ [ \ frac {df} {dt} = \ frac {d f} {d x} \ frac {d x} {d t} \ quad \ text {означать} \ quad \ frac {df} {dt} (x (t)) = \ frac {d f} {d x} (x (t)) \ frac {d x} {d t} (t).\ tag {7.2} \]

Здесь вы познакомитесь с обобщениями цепного правила для функций нескольких переменных. Для начала давайте рассмотрим пример, вернувшись к нашей двумерной функции, описывающей высоту горы.

Пример 7.13 Пусть \ (z = f (x, y) \) будет функцией, описывающей высоту горы над уровнем моря, как в Примере 7.2. Предположим, мы идем по тропе, поднимающейся на гору, и положение тропы как функция времени на плоскости \ (xy \) (на карте) определяется выражением \ [ x = u (t) \ quad \ text {и} \ quad y = v (t).\] Мы называем это параметрическими уравнениями следа на карте плоскости \ (xy \) относительно параметра \ (t \), который здесь представляет временную переменную. 2} = t.\] Следовательно, довольно просто в этом случае мы получаем \ (\ frac {dz} {dt} = 1 \) и вертикальная скорость постоянна.

Читая этот пример, вы могли понять, что мы можем думать о нескольких композициях функций. Здесь мы просто рассмотрим два случая:

• композиция функций одной переменной с функцией нескольких переменных: \ [ z = f (u (t), v (t)), \]
• композиция функций нескольких переменных с функцией нескольких переменных \ [ z = f (u (s, t), v (s, t)).2 \) и \ (x = u (t), y = v (t) \) — дифференцируемые функции от \ (t \), диапазон которых содержится в \ (U \) (так что всякий раз, когда \ ((x, y ) \ в U \)), то композиционная функция дифференцируема в \ (t \) и \ [ \ frac {dz} {dt} = {\ partial z \ over \ partial x} \ frac {dx} {dt} + {\ partial z \ over \ partial y} \ frac {dy} {dt}. \ tag {7.3} \]
  Proof: Следующее в неофициальном обосновании, но передает идею. Начнем с \ [\ begin {eqnarray *} {z (t + h) -z (t) \ над h} & = & {f (x (t + h), y (t + h)) — f (x (t), y (t)) \ над h} \\ & = & \ left ({f (x (t + h), y (t + h)) — f (x (t), y (t + h)) \ over h} \ right) \\ && \ quad + \ left ({f (x (t), y (t + h)) — f (x (t), y (t)) \ over h} \ right) \\ & = & \ left ({f (x (t + h), y (t + h)) — f (x (t), y (t + h)) \ над x (t + h) -x (t )} \ right) \ left ({x (t + h) -x (t) \ over h} \ right) \\ && \ quad + \ left ({f (x (t), y (t + h)) — f (x (t), y (t)) \ над y (t + h) -y (t)} \ справа) \ слева ({y (t + h) -y (t) \ over h} \ right).2 (2 \ pi t) -2 \ pi (1-t) \ cos (2 \ pi t) \ sin (2 \ pi t) = 1. \] Итак, вертикальная скорость постоянна, как в примере ~ 7.14.

  В следующей теореме мы имеем более сложное цепное правило, когда функции \ (x \) и \ (y \) также зависят от двух переменных. Это типично для ситуации, когда мы производим замену переменной (например, на полярные координаты \ (x = r \ cos \ theta \), \ (y = r \ sin \ theta \)), и мы хотим изучить изменения в функция по этим переменным.

  Теорема 7.2 \) и \ (x = u (s, t), y = v (s, t) \) — дифференцируемые функции от \ (s \) и \ (t \), диапазон которых содержится в \ (U \) (так что всякий раз, когда \ ((x, y) \ in U \)). Тогда композиционная функция допускает первые частные производные в \ (s \), \ (t \) и \ [\ begin {eqnarray *} {\ partial z \ over \ partial s} & = & {\ partial z \ over \ partial x} {\ partial x \ over \ partial s} + {\ partial z \ over \ partial y} {\ partial y \ over \ partial s}, \\ {\ partial z \ over \ partial t} & = & {\ partial z \ over \ partial x} {\ partial x \ over \ partial t} + {\ partial z \ over \ partial y} {\ partial y \ over \ partial t}.\ tag {7.4} \ end {eqnarray *} \]

  Доказательство: Это простое следствие цепного правила I, примененного к частным производным от \ (z = f (x, y) \) по \ (s \) и \ (t \).

  Обратите внимание, что (7.4) можно переписать в матричной форме следующим образом: \ [ \ left [\ begin {array} {c} {\ partial z \ over \ partial s} \\ {\ partial z \ over \ partial t} \ end {массив} \ right] = \ left [ \ begin {array} {cc} {\ partial x \ over \ partial s} & {\ partial y \ over \ partial s} \\ {\ partial x \ over \ partial t} & {\ partial y \ over \ partial t} \\ \ end {массив} \ right] \ left [\ begin {array} {c} {\ partial z \ over \ partial x} \\ {\ partial z \ over \ partial y} \ end {массив} \Правильно ].\] Матрица в (7.4) называется матрицей Якоби преобразования \ ((s, t) \ rightarrow (x (s, t), y (s, t)) \).

  Пример 7.16 Вычислить матрицу Якоби преобразования полярных переменных в декартовы.

  Замена полярных переменных на декартовы координаты определяется выражением \ [ Икс (г, \ theta) = r \ cos (\ theta), \ quad y (r, \ theta) = r \ sin (\ theta). \] Якобиан преобразования \ ((r, \ theta) \ rightarrow (x (r, \ theta), y (r, \ theta)) \) задается формулой \ [ \левый [ \ begin {array} {cc} {\ partial x \ over \ partial r} & {\ partial y \ over \ partial r} \\ {\ partial x \ over \ partial \ theta} & {\ partial y \ over \ partial \ theta} \\ \ end {массив} \Правильно ] знак равно \левый [ \ begin {array} {cc} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ -r \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\ \ end {массив} \Правильно ] \]

  Иногда, когда, скажем, \ (y \) является функцией \ (x \) и их взаимосвязь задана неявно, можно вычислить скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \) , то есть получить \ (\ displaystyle \ frac {dy} {dx} \), не обнаружив сначала явной зависимости \ (y \) от \ (x \).Этот метод называется неявным дифференцированием и может быть легко выведен с помощью правила цепочки.

  Теорема 7.3 (Неявное дифференцирование) Если \ (z = u (x, y) \) непрерывно дифференцируемо и \ (y \) — непрерывно дифференцируемая функция от \ (x \), которая удовлетворяет уравнению \ (u ( x, y (x)) = 0 \), то во всех точках \ (z \), где \ ({\ partial z \ over \ partial y} \ neq 0 \), \ [ \ frac {d y} {d x} = — {{\ partial z \ over \ partial x} \ over {\ partial z \ over \ partial y}}.\ tag {7.5} \]

  Доказательство: Доказательство основано на использовании цепного правила (7.3). Чтобы использовать цепное правило, мы вводим новую переменную \ (t \) и устанавливаем \ (x = t \) таким образом, чтобы \ [ z = u (x (t), y (t)) \ quad \ text {with} \ quad x = t \ quad \ text {и} \ quad y = y (t). \] Теперь, поскольку \ (z = u (x (t), y (t)) = 0 \) для всех \ (t \) по условию, мы имеем \ (dz / dt = 0 \). Кроме того, \ (dx / dt = 1 \) и \ (dy / dt = dy / dx \). Используя это выражение в @ref (eq: chainrule1}, мы получаем: \ [ \ displaystyle 0 = {\ partial z \ over \ partial x} + {\ partial z \ over \ partial y} \ frac {dy} {dx}.2} \).

  функций более двух переменных

  Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

  Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

  Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

  Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

  Вы должны включить следующее:

  Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

  Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

  Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
  101 S. Hanley Rd, Suite 300
  St. Louis, MO 63105
  

  Или заполните форму ниже:

  % PDF-1.4 % 5 0 obj > эндобдж 8 0 объект (Функции нескольких переменных) эндобдж 9 0 объект > эндобдж 12 0 объект (Вступление) эндобдж 13 0 объект > эндобдж 16 0 объект (Поверхности) эндобдж 17 0 объект > эндобдж 20 0 объект (Контуры и кривые уровня) эндобдж 21 0 объект > эндобдж 24 0 объект (Частные производные) эндобдж 25 0 объект > эндобдж 28 0 объект (Высшие частные производные) эндобдж 29 0 объект > эндобдж 32 0 объект (Дифференцируемые функции) эндобдж 33 0 объект > эндобдж 36 0 объект (Ошибки и приближения) эндобдж 37 0 объект > эндобдж 40 0 объект (Космические кривые) эндобдж 41 0 объект > эндобдж 44 0 объект (Векторнозначные функции) эндобдж 45 0 объект > эндобдж 48 0 объект (Цепное правило) эндобдж 49 0 объект > эндобдж 52 0 объект (Векторы градиента и производные по направлениям) эндобдж 53 0 объект > эндобдж 56 0 объект (Градиент и вектор градиента) эндобдж 57 0 объект > эндобдж 60 0 объект (Направленные производные) эндобдж 61 0 объект > эндобдж 64 0 объект (Направления наиболее быстрого увеличения и уменьшения) эндобдж 65 0 объект > эндобдж 68 0 объект (Кривые уровня и градиент) эндобдж 69 0 объект > эндобдж 72 0 объект (Касательные плоскости к поверхностям) эндобдж 73 0 объект > эндобдж 76 0 объект (Экстремальные значения и седловая точка) эндобдж 77 0 объект > эндобдж 80 0 объект (Максимумы и минимумы: критические точки) эндобдж 81 0 объект > эндобдж 84 0 объект (Классификация критических точек) эндобдж 85 0 объект > эндобдж 88 0 объект (Наличие максимумов и минимумов) эндобдж 89 0 объект > эндобдж 92 0 объект (Кратные интегралы) эндобдж 93 0 объект > эндобдж 96 0 объект (Одна переменная) эндобдж 97 0 объект > эндобдж 100 0 объект (Определение двойного интеграла) эндобдж 101 0 объект > эндобдж 104 0 объект (Свойства двойных интегралов) эндобдж 105 0 объект > эндобдж 108 0 объект (Интерпретации двойных интегралов) эндобдж 109 0 объект > эндобдж 112 0 объект (Двойные интегралы по прямоугольным областям) эндобдж 113 0 объект > эндобдж 116 0 объект (Двойные интегралы по непрямоугольным областям) эндобдж 117 0 объект > эндобдж 120 0 объект (Изменение порядка интеграции) эндобдж 121 0 объект > эндобдж 124 0 объект (Тройные интегралы) эндобдж 125 0 объект > эндобдж 128 0 объект> транслировать x [IwFWpnsb9d $ / 28 $ L (! Hʯ @ 7

  Math 206 (Multivariable Calculus): старые экзамены | Математика

  Срок	Дата	Инструктор	Темы	Текстовые разделы	Решения
  W14	07.02.14	Нельсон	функций двух и трех переменных, графики, поверхности, контурные диаграммы, пределы, непрерывность, векторы, скалярные произведения, перекрестные произведения	(Н-Н) 12.1-12,6, 13,1-13,4	да
  W14	14.03.14	Нельсон	частные производные, локальная линейность, градиенты, производные по направлениям, цепное правило, частные производные второго порядка, дифференцируемость, критические точки, оптимизация	(В-В) 14,1-14,8, 15,1-15,2	да
  F13	27.09.13	Нельсон	функций двух и трех переменных, графики, поверхности, контурные диаграммы, пределы, непрерывность, векторы, скалярные произведения	(Н-Н) 12.1-12,6, 13,1-13,3	да
  F13	01.11.13	Нельсон	перекрестные произведения, частные производные, локальная линейность, градиенты, производные по направлениям, цепное правило, частные производные второго порядка, дифференцируемость	(В-В) 13,4, 14,1-14,8	да
  F13	13.12.13	Нельсон	Финал: все экзамены 27.09 и 01.11 плюс критические точки, оптимизация, множители Лагранжа, двойные интегралы, повторные интегралы, параметризованные кривые, движение, векторные поля, линейные интегралы	(Н-Н) 12.1-12.6, 13.1-13.4, 14.1-14.8, 15.1-15.3, 16.1-16.2, 17.1-17.3, 18.1-18.2	да
  W13	01.02.13	Вайс	векторов, линий, плоскостей, поверхностей, параметризации, точечных и перекрестных произведений, пределов, кривых уровня, дифференциации	(Барр) 1,1-1,3, 1,5-1,9, 3,1-3,2, 3,4-3,5	да
  F12	05.10.12	Вайс	векторов, линий, плоскостей, поверхностей, параметризации, систем координат, точечных и перекрестных произведений, пределов, кривых уровня, дифференциации	(Барр) 1.1-1.9, 3.1-3.2, 3.4-3.6	да
  F12	09.11.12	Вайс	производные по направлению, div, grad, curl, локальные экстремумы, оптимизация	(Барр) 3,1–3,2, 3,4–3,6, 4,1–4,2, 4,4–4,5	да
  F12	11.12.12	Вайс	Финал: все экзамены 10/05 и 11/09 плюс пути, длина дуги, линейные интегралы, двойные интегралы, тройные интегралы, площадь поверхности, поверхностные интегралы, замена переменных, фундаментальная теорема для интегралов по путям, теорема Грина, теорема Стокса	(Барр) 1.1-1.9, 3.1-3.2, 3.4-3.6, 4.1-4.2, 4.4-4.5, 5.1-5.8, 6.1-6.2, 6.4	да
  W12	10.02.12	Нельсон	функций двух переменных, квадратичных поверхностей, векторов, точечного произведения, проекций, перекрестного произведения, линий, плоскостей, векторнозначных функций	(Барр) 1,1-1,3, 1,5-1,9	да
  W12	14.03.12	Нельсон	графики, наборы уровней, векторные поля, пределы, непрерывность, частные производные, полная производная, правило цепочки, градиент, производная по направлению	(Барр) 1.10, 3.1-3.2, 3.4-3.6, 4.1	да
  W12	13.04.12	Нельсон	Финал: все экзамены 10 февраля и 14 марта плюс локальные экстремумы, пути, длина дуги, линейные интегралы, двойные интегралы, фундаментальная теорема для интегралов по путям, теорема Грина	(Барр) 1.1-1.3, 1.5-1.10, 3.1-3.2, 3.4-3.6, 4.1-4.2, 4.4, 5.1-5.3, 6.1-6.2	да
  F11	07.10.11	Нельсон	функций двух переменных, квадратичных поверхностей, векторов, точечного произведения, проекций, перекрестного произведения, линий, плоскостей, векторных функций, производных и движения	(Барр) 1.1-1,3, 1,5-1,10	да
  F11	11.11.11	Нельсон	графики, наборы уровней, векторные поля, пределы, непрерывность, частные производные, полная производная, правило цепочки, градиент, производная по направлению, дивергенция, завиток	(Барр) 3,1, 3,2, 3,4–3,6, 4,1–4,2	да
  F11	13.12.11	Нельсон	Финал: все экзамены 10/07 и 11/11 плюс локальные экстремумы, пути, длина дуги, линейные интегралы, двойные интегралы, фундаментальная теорема для интегралов по путям, теорема Грина	(Барр) 1.n, квадратичные поверхности, точечные и перекрестные произведения и приложения, плоскости, линии, параметризация траектории и скорость; наборы уровней, лимиты, частные производные	(Барр) 1,1-1,3, 1,5-1,10, 3,1, 3,2, 3,4	да
  W11	18.03.11	Росс	(экзамен 2) частные производные, цепное правило, градиент, производная по направлению, многочлены Тейлора, использование Maple для поиска и оценки частных производных в совокупности многочленов Тейлора до третьей степени, локальных максимальных, минимальных и седловых точек, проверка второй производной	(Барр) 3.n, квадратичные поверхности, точечные и перекрестные произведения и приложения, плоскости, линии, параметризация траектории и скорость	(барр) 1,1-1,10	да
  F10	12.11.10	Росс	(экзамен 2) наборы уровней, пределы, частные производные, якобиан, полная производная, правило цепочки, градиент, производная по направлению, дивергенция, завиток, многочлены Тейлора, локальные экстремумы	(Барр) 3,1, 3,2, 3,4–3,6, 4,1–4,4	да
  F10	16.12.10	Росс	(Заключительный экзамен) все экзамены 10/08 и 11/12 плюс пути, длина дуги, линейные интегралы, двойные интегралы, поверхностные интегралы, фундаментальная теорема для интегралов по путям, теорема Грина, теорема о расходимости, теорема Стокса	(Барр) 1.1-1,10, 3,1, 3,2, 3,4-3,6, 4,1-4,4, 5,1-5,3, 5,5, 5,6, 900 85 6,1-6,4	да
  W10	05.02.10	Хейнс	векторов, линий, плоскостей, поверхностей, исчисление векторнозначных функций, точечных и перекрестных произведений, открытых и замкнутых множеств, линейных преобразований, квадратичных форм, пределов, непрерывности, частных производных	(Барр) 1,1-1,10, 2,1-2,5, 3,1-3,4	нет
  W10	12.03.10	Хейнс	производных, правило цепи, градиент, дивергенция, ротор, теорема Тейлора, локальных экстремумов, пути, длина дуги, линейные интегралы, двойные интегралы, тройные интегралы	(Барр) 3.5-3.6, 4.1-4.4, 5.1-5.4	нет
  W10	15.04.10	Хейнс	Финал: все экзамены от 02/05 и 03/12 плюс площадь поверхности, поверхностные интегралы, интегралов по путям, замена переменных, теорема Грина, теорема о расходимости, теорема Стокса	(Барр) 1.1-1.10, 2.1-2.5, 3.1-3.6, 4.1-4.4, 5.1-5.8, 6.1-6.4	нет
  F09	09.10.09	Салерно	векторов, линий, плоскостей, поверхностей, исчисление векторнозначных функций, точечных и перекрестных произведений, открытых и замкнутых множеств, линейных преобразований, квадратичных форм, пределов (верхняя ссылка в классе, а нижняя ссылка — на дом)	(Барр) 1. No related posts. Leave a Reply Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт