Числовая функция контрольная работа 10 класс: Контрольная работа по теме «Числовые функции» 10 класс | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс):

Ответ и объяснение:

Ответ: Вариант C

Пояснение: Скорость по течению = (13 + 4) км / час = 17 км / час.

Время прохождения 68 км вниз по течению = 68/17 часов = 4 часа.

Скорость человека по течению — 15 км / час, по течению — 2,5 км / час. Скорость человека против течения:

Ответ и объяснение:

Ответ: Вариант C

Пояснение: Скорость человека в стоячей воде = (15 — 2,5) км / час = 12.5 км / час.

Скорость человека против течения = (12,5 — 2,5) км / час = 10 км / час.

Лодке, идущей вверх по течению, требуется 8 часов 48 минут, чтобы преодолеть определенное расстояние, и 4 часа, чтобы преодолеть такое же расстояние, идущее вниз по течению. Какое соотношение между скоростью лодки и скоростью течения воды соответственно?

Ответ и объяснение:

Ответ: Вариант C

Пояснение: Пусть скорость человека вверх по течению будет x км / ч, а вниз по течению — y км / ч.

Затем расстояние, пройденное вверх по течению за 8 часов 48 минут = Расстояние, пройденное вниз по течению за 4 часа.

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде составляет 15 км / ч, проходит 30 км вниз по течению и возвращается в общей сложности за 4 часа 30 минут.Скорость ручья (км / час):

Ответ и объяснение:

Ответ: Вариант Б

Пояснение: Пусть скорость потока будет x км / час. Затем

Скорость вниз по течению = (15 + x) км / час,

Скорость вверх по течению = (15 — x) км / час.

За один час лодка проходит 11 км / ч по течению и 5 км / ч против течения.Скорость лодки на стоячей воде (в км / час):

Ответ и объяснение:

Ответ: Вариант C

Пояснение: Скорость в стоячей воде = 1 / 2x (11 + 5) км / ч = 8 км / ч.

Страница 1 | Страница 2 | Page 3

Дополнительные обучающие и развлекательные тесты ниже.

Вопросы или комментарии? Пожалуйста, обсудите ниже.

Тест независимости хи-квадрат на языке R — Easy Guides — Wiki

Критерий независимости хи-квадрат используется для анализа таблицы частот (т. Е. Таблицы соответствия ), сформированной двумя категориальными переменными. Тест хи-квадрат оценивает, существует ли значимая связь между категориями двух переменных.В этой статье описываются основы теста хи-квадрат и приводятся практические примеры с использованием программного обеспечения R .

Формат данных: таблицы непредвиденных обстоятельств

Мы будем использовать домашних задач наборов данных из STHDA: http://www.sthda.com/sthda/RDoc/data/housetasks.txt.

  # Импортировать данные
file_path  

Изображение данных показано ниже:

Анализ соответствия форматов данных

Данные представляют собой таблицу непредвиденных обстоятельств, содержащую 13 домашних задач и их распределение в паре:

• строки разные задачи
Значения
• — частота выполняемых задач:
• от жены только
• или
• муж только
• или совместно

Графическое отображение таблиц соответствия

можно визуализировать с помощью функции balloonplot () [в пакете gplots ]. Эта функция рисует графическую матрицу, где каждая ячейка содержит точку, размер которой отражает относительную величину соответствующего компонента.

Чтобы выполнить приведенный ниже код R, вы должны установить пакет gplots : install.packages («gplots») .

 Библиотека  (gplots)
# 1. преобразовать данные в таблицу
dt  

Тест независимости хи-квадрат в R

Обратите внимание, что суммы строк и столбцов по умолчанию печатаются на нижнем и правом полях соответственно.Эти значения можно скрыть с помощью аргумента show.margins = FALSE .

Также возможно визуализировать таблицу непредвиденных обстоятельств как мозаичный график . Это делается с помощью функции мозаики () из встроенного пакета R garphics :

  библиотека («графика»)
мозаика (dt, тень = ИСТИНА, las = 2,
           main = "housetasks")  

Тест независимости хи-квадрат в R

• Аргумент оттенок используется для раскрашивания графика
• Аргумент las = 2 производит вертикальные метки

Обратите внимание, что поверхность элемента мозаики отражает относительную величину его стоимости.

• Синий цвет указывает на то, что наблюдаемое значение выше ожидаемого значения, если данные были случайными
• Красный цвет указывает, что наблюдаемое значение ниже ожидаемого значения, если данные были случайными

Из этого мозаичного участка видно, что домашние задачи Стирка, Основное блюдо, Ужин и завтрак (синий цвет) в нашем примере в основном выполняются женой.

Существует еще один пакет с именем vcd , который можно использовать для создания мозаичного графика (функция mosaic ()) или ассоциативного графика (функция assoc ()).

  # install.packages ("vcd")
библиотека ("vcd")
# построить только часть таблицы
assoc (head (dt, 5), shade = TRUE, las = 3)  

Тест независимости хи-квадрат в R

Основы теста хи-квадрат

Тест хи-квадрат проверяет, связаны ли строки и столбцы таблицы непредвиденных обстоятельств статистически значимо.

• Нулевая гипотеза (H0) : переменные строки и столбца таблицы непредвиденных обстоятельств независимы.2} {e}} \]
  • o — наблюдаемое значение
  • e — математическое ожидание

  Эта вычисленная статистика хи-квадрат сравнивается с критическим значением (полученным из статистических таблиц) с \ (df = (r — 1) (c — 1) \) степенями свободы и p = 0,05.

  • r — количество строк в таблице непредвиденных обстоятельств
  • c — номер столбца в таблице непредвиденных обстоятельств

  Если вычисленная статистика хи-квадрат больше критического значения, то мы должны сделать вывод, что переменные строки и столбца не являются независимыми друг от друга.Это означает, что они существенно связаны.

  Обратите внимание, что критерий хи-квадрат следует применять только тогда, когда ожидаемая частота любой ячейки составляет не менее 5.

  Вычислить тест хи-квадрат в R

  Статистику хи-квадрат

  можно легко вычислить с помощью функции chisq.test () следующим образом:

    чиск  

   
      Критерий хи-квадрат Пирсона
  данные: домашние задачи
  X-квадрат = 1944,5, df = 36, p-значение  

  В нашем примере переменные строки и столбца статистически значимо связаны ( p-значение = 0).

  Наблюдаемые и ожидаемые подсчеты можно извлечь из результата теста следующим образом:

    # Наблюдаемые подсчеты
  chisq $ наблюдается  

    Жена, меняющая мужа совместно
  Прачечная 156 14 2 4
  Основное блюдо 124 20 5 4
  Ужин 77 11 7 13
  Завтрак 82 36 15 7
  Уборка 53 11 1 57
  Посуда 32 24 4 53
  Покупки 33 23 9 55
  Официальный 12 46 23 15
  За рулем 10 51 75 3
  Финансы 13 13 21 66
  Страхование 8 1 53 77
  Ремонт 0 3160 2
  Праздники 0 1 6 153  

    # Ожидаемое количество
  круглый (chisq $ ожидаемый, 2)  

    Жена, меняющая мужа совместно
  Прачечная 60.55 25,63 38,45 51,37
  Основное блюдо 52,64 22,28 33,42 44,65
  Ужин 37,16 15,73 23,59 31,52
  Завтрак 48,17 20,39 30,58 40,86
  Уборка 41,97 17,77 26,65 35,61
  Посуда 38,88 16,46 24,69 32,98
  Покупки 41,28 17,48 26,22 35,02
  Официальная 33.03 13.98 20.97 28.02
  На автомобиле 47,82 20,24 30,37 40,57
  Финансы 38,88 16,46 24,69 32,98
  Страхование 47,82 20,24 30,37 40,57
  Ремонт 56,77 24.03 36,05 48,16
  Выходные 55,05 23,30 34,95 46,70  

  Характер зависимости между переменными строки и столбца

  Как упоминалось выше, общая статистика хи-квадрат составляет 1944,456196.

  Если вы хотите узнать, какие клетки вносят наибольший вклад в общую оценку хи-квадрат, вам просто нужно вычислить статистику хи-квадрат для каждой ячейки:

  \ [ r = \ frac {o — ​​e} {\ sqrt {e}} \]

  Приведенная выше формула возвращает так называемые остатки Пирсона (r) для каждой ячейки (или стандартизованные остатки)

  Клетки с наивысшими абсолютными стандартизованными остатками вносят наибольший вклад в общую оценку хи-квадрат.

  Остатки

  Пирсона можно легко извлечь из вывода функции chisq.test () :

    раунд (остатки chisq $, 3)  

    Жена, меняющая мужа совместно
  Прачечная 12.266 -2.298 -5.878 -6.609
  Основное блюдо 9,836 -0,484 -4,917 -6,084
  Ужин 6.537 -1.192 -3.416 -3.299
  Завтрак 4,875 3,457 -2,818 -5,297
  Уборка 1,702 -1,606 -4,969 3,585
  Блюда -1,103 1,859 -4.163 3,486
  Покупки -1,289 1,321 -3,362 3,376
  Официальный -3,659 8,563 0,443 -2,459
  Вождение -5,469 6,836 8,100 -5,898
  Финансы -4,150 -0,852 -0,742 5,750
  Страхование -5,758 -4,277 4,107 5,720
  Ремонт -7,534 -4,290 20,646 -6,651
  Праздники -7,419 -4,620 -4,897 15,556  

  Давайте визуализируем остатки Пирсона с помощью пакета corrplot :

    библиотека (корпплот)
  corrplot (chisq $ остатки, is.cor = FALSE)  

  Тест независимости хи-квадрат в R

  Для данной ячейки размер круга пропорционален сумме вклада ячейки.

  Знак стандартизованных остатков также очень важен для интерпретации связи между строками и столбцами, как описано в блоке ниже.

  
  
  1. Положительные остатки отмечены синим цветом. Положительные значения в ячейках указывают на притяжение (положительную связь) между соответствующими переменными строки и столбца. 2} \]
     • r — остаток ячейки

       # Вклад в процентах (%)
     contrib  

       Жена, меняющая мужа совместно
     Прачечная 7.738 0,272 1,777 2,246
     Основное блюдо 4,976 0,012 1,243 1,903
     Ужин 2,197 0,073 0,600 0,560
     Завтрак 1,222 0,615 0,408 1,443
     Уборка 0,149 0,133 1,270 0,661
     Посуда 0,063 0,178 0,891 0,625
     Покупки 0,085 0,090 0,581 0,586
     Официальный 0,688 3,771 0,010 0,311
     Вождение автомобиля 1,538 2,403 3,374 1,789
     Финансы 0,886 0,037 0,028 1,700
     Страхование 1,705 0,941 0,868 1,683
     Ремонт 2.919 0.947 21,921 2,275
     Праздники 2,831 1,098 1,233 12,445  

       # Визуализировать вклад
     corrplot (contrib, is.cor = FALSE)  

     Тест независимости хи-квадрат в R

     Относительный вклад каждой ячейки в общую оценку хи-квадрат дает некоторое представление о характере зависимости между строками и столбцами таблицы непредвиденных обстоятельств.

     Видно, что:

     1. Столбец «Жена» тесно связан с Прачечной, Обедом, Обедом
     2. Столбец «Муж» прочно связан со строкой Ремонт
     3. Столбец вместе часто связан со строкой Праздники

     Из изображения выше видно, что клетки, в наибольшей степени влияющие на хи-квадрат, — это Жена / Прачечная (7.74%), Жена / Основная еда (4,98%), Муж / Ремонт (21,9%), Совместно / Праздники (12,44%).

     Эти ячейки вносят около 47,06% в общую оценку хи-квадрат и, таким образом, составляют большую часть разницы между ожидаемыми и наблюдаемыми значениями.

     Это подтверждает более раннюю визуальную интерпретацию данных. Как указывалось ранее, визуальная интерпретация может быть сложной, если таблица непредвиденных обстоятельств очень велика. В этом случае вклад одной ячейки в общую оценку хи-квадрат становится полезным способом установления характера зависимости.

     Доступ к значениям, возвращаемым функцией chisq.test ()

     Результатом функции chisq.test () является список, содержащий следующие компоненты:

     
     
     • статистика : значение статистики критерия хи-квадрат.
     • параметр : степени свободы
     • p.value : значение p теста
     • наблюдаемое : наблюдаемое количество
     • ожидается : ожидаемое количество

     Формат кода R для использования для получения этих значений следующий:

       # печать p-значения
     chisq $ p.значение
     # печать среднего
     chisq $ оценка  

     информация

     Этот анализ был проведен с использованием программного обеспечения R (версия 3.2.4).

     Регрессия

     с двумя независимыми переменными Майкла Брэнника

     Вопросы

     Напишите уравнение регрессии необработанных баллов с двумя значениями ivs в нем.

     В чем разница в интерпретации весов b в простой регрессии и множественной регрессии?

     Опишите R-квадрат двумя разными способами, то есть используя две различные формулы.Объясните формулы.

     Что произойдет с весами b , если мы добавим в уравнение регрессии новые переменные, которые сильно коррелируют с переменными, уже включенными в уравнение?

     Почему мы указываем бета-веса (стандартизованные веса b )?

     Напишите уравнение регрессии с бета-весами в нем.

     Какие три фактора влияют на стандартную ошибку гири b ?

     Как возможно иметь значимый R-квадрат и незначительные веса b ?

     Линия регрессии

     С одной независимой переменной мы можем записать уравнение регрессии как:

     Где Y — наблюдаемая оценка зависимой переменной, a — точка пересечения, b — наклон, X — наблюдаемая оценка независимой переменной и e — ошибка или остаток.

     Мы можем расширить это на любое количество независимых переменных:

     (3,1)

     Обратите внимание, что у нас есть k независимых переменных и наклон для каждой. У нас все еще есть одна ошибка и один перехват. Мы снова хотим выбрать оценки a и b , чтобы минимизировать сумму квадратов ошибок прогноза. Уравнение прогноза:

     (3,2)

     Найти значения b (наклоны) для k> 2 независимых переменных сложно, и вам действительно нужна матричная алгебра, чтобы увидеть вычисления.Это проще для k = 2 IV, которые мы здесь обсудим. Но основные идеи остаются неизменными независимо от того, сколько у вас независимых переменных. Если вы понимаете значение наклонов с двумя независимыми переменными, у вас, вероятно, все будет хорошо, независимо от того, сколько у вас есть.

     Для случая с одной переменной вычисление b и a было:

     Для случая с двумя переменными:

     и

     На этом этапе вы должны заметить, что все члены из случая одной переменной появляются в регистре двух переменных.В случае двух переменных в уравнении также появляется другая переменная X. Например, X ₂ появляется в уравнении для b ₁ . Обратите внимание, что члены, соответствующие дисперсии обеих переменных X, встречаются в наклонах. Также обратите внимание, что член, соответствующий ковариации X1 и X2 (сумма перекрестных произведений отклонений), также появляется в формуле для наклона.

     Уравнение для a с двумя независимыми переменными:

     Это уравнение является прямым обобщением случая для одной независимой переменной.

     Числовой пример

     Предположим, мы хотим спрогнозировать эффективность работы механиков Chevy на основе результатов теста на механические способности и результатов тестов на основе личностного теста, который измеряет сознательность. (На практике нам понадобится гораздо больше людей, но я хотел уместить это на слайде PowerPoint.)

     Job Perf	Mech Apt	Сов
     Y	Х1	Х2	X1 * Y	X2 * Y	Х1 * Х2
     1	40	25	40	25	1000
     2	45	20	90	40	900
     1	38	30	38	30	1140
     3	50	30	150	90	1500
     2	48	28	96	56	1344
     3	55	30	165	90	1650
     3	53	34	159	102	1802
     4	55	36	220	144	1980
     4	58	32	232	128	1856
     3	40	34	120	102	1360
     5	55	38	275	190	2090
     3	48	28	144	84	1344
     3	45	30	135	90	1350
     2	55	36	110	72	1980
     4	60	34	240	136	2040
     5	60	38	300	190	2280
     5	60	42	300	210	2520
     5	65	38	325	190	2470
     4	50	34	200	136	1700
     3	58	38	174	114	2204
     Y	Х1	Х2	X1 * Y	X2 * Y	Х1 * Х2
     65	1038	655	3513	2219	34510	Сумма
     20	20	20	20	20	20	N
     3.25	51,9	32,75	175,65	110,95	1725,5	M
     1,25	7,58	5,24	84,33	54,73	474,60	SD
     29.75	1091,8	521,75				USS

     Мы можем собрать данные в такую ​​матрицу:

     	л	Х 1	Х 2
     Я	29,75	139.5	90,25
     Х 1	0,77	1091,8	515,5
     Х 2	0,72	0,68	521,75

     Числа в таблице выше соответствуют следующим суммам квадратов, перекрестных произведений и корреляций:

     Теперь мы можем вычислить коэффициенты регрессии:

     Чтобы найти точку перехвата, имеем:

     Следовательно, наше уравнение регрессии:

     Y ‘= -4.10 + .09X1 + .09X2 или

     Job Perf ‘= -4.10 + .09MechApt + .09Сознательность.

     Визуальные представления регрессии

     У нас есть 3 переменных, поэтому у нас есть 3 диаграммы рассеяния, которые показывают их отношения.

     Поскольку мы вычислили уравнение регрессии, мы также можем просмотреть график зависимости Y ‘от Y или фактического значения от прогнозируемого Y.

     Мы можем (как бы) просматривать график в трехмерном пространстве, где двумя предикторами являются оси X и Y, а ось Z является критерием, таким образом:

     Этот график не очень хорошо показывает это, но проблему регрессии можно рассматривать как своего рода проблему поверхности отклика.Какова ожидаемая высота (Z) при каждом значении X и Y? Пример анимации показан в самом верху этой страницы (вращающийся рисунок). Решение этой проблемы линейной регрессией в этой размерности — это плоскость. Пакет plotly в R позволит вам «захватить» трехмерный график и повернуть его с помощью компьютерной мыши. Это позволяет более четко видеть поверхность отклика. Неподвижный вид прогнозируемых результатов механиков Chevy, произведенный Plotly:

     R-квадрат (R ² )

     Так же, как и в простой регрессии, зависимая переменная рассматривается как линейная часть и ошибка.В множественной регрессии с линейной частью связано более одной переменной X. Когда мы запускаем множественную регрессию, мы можем вычислить долю дисперсии из-за регрессии (набор независимых переменных, рассматриваемых вместе). Эта пропорция называется R-квадрат. Мы используем заглавную R, чтобы показать, что это кратное R вместо одной переменной r . Мы также можем вычислить корреляцию между Y и Y ‘и возвести ее в квадрат. Если мы это сделаем, мы также найдем R-квадрат.

     Y	Х1	Х2	Y ‘	Остаток
     2	45	20	1.54	0,46
     1	38	30	1,81	-0,81
     3	50	30	2,84	0,16
     2	48	28	2.50	-0,50
     3	55	30	3,28	-0,28
     3	53	34	3,45	-0,45
     4	55	36	3.80	0,20
     4	58	32	3,71	0,29
     3	40	34	2,33	0,67
     5	55	38	3.98	1,02
     3	48	28	2,50	0,50
     3	45	30	2,41	0,59
     2	55	36	3.80	-1,80
     4	60	34	4,06	-0,06
     5	60	38	4,41	0,59
     5	60	42	4.76	0,24
     5	65	38	4,84	0,16
     4	50	34	3,19	0,80
     3	58	38	4.24	-1,24
     M = 3,25	51,9	32,75	3,25	0
     В = 1,57	57,46	27,46	1,05	0,52
     USS = 29.83			19,95	9,88

     Среднее значение Y равно 3,25, как и среднее значение Y ‘. Среднее значение остатков равно 0. Дисперсия Y составляет 1,57. Дисперсия Y ‘составляет 1,05, а дисперсия остатков составляет 0,52. Вместе дисперсия регрессии (Y ‘) и дисперсия ошибки (e) в сумме составляют дисперсию Y (1,57 = 1,05 + 0,52). R-квадрат равен 1,05 / 1,57 или 0,67. Если мы вычислим корреляцию между Y и Y ‘, мы обнаружим, что R =.82, который в квадрате также является R-квадратом 0,67. (Вспомните диаграмму рассеяния Y и Y ‘). R-квадрат — это доля дисперсии Y из-за множественной регрессии.

     Проверка значимости R ²

     Вы уже видели это однажды, но здесь это снова в новом контексте:

     , который распределяется как F с k и (N-k-1) степенями свободы, когда нулевая гипотеза (что R-квадрат равен нулю в генеральной совокупности) верна.Теперь R ² представляет собой множественную корреляцию, а не единственную корреляцию, которую мы видели в простой регрессии. В нашем последнем примере у нас есть 2 независимые переменные, ² рэндов 0,67 и 20 человек, поэтому

     р <0,01. (F _{, крит.} для альфа = 0,01 составляет около 6).

     Поскольку SStot = SSreg + SSres, мы можем вычислить эквивалентное F, используя суммы квадратов и соответствующую df.

     , что согласуется с нашим предыдущим результатом в пределах ошибки округления.

     Стандартные и нестандартные веса

     С каждой переменной X будет связан один наклон или регрессионный вес. Каждый вес интерпретируется как изменение единицы измерения Y при изменении единицы измерения X, при этом остальные переменные X остаются постоянными. Если мы хотим делать точечные прогнозы (прогнозы фактического значения зависимой переменной) с учетом значений независимых переменных, это те веса, которые нам нужны. Например, если у нас есть средний балл бакалавриата и результаты SAT для человека и мы хотим спрогнозировать его средний балл первокурсника колледжа, нестандартные веса регрессии сделают свою работу.

     Переменные с большим весом b должны говорить нам, что они более важны, потому что Y изменяется для некоторых из них быстрее, чем для других. Проблема с нестандартными или грубыми оценками b весов в этом отношении заключается в том, что они имеют разные единицы измерения и, следовательно, разные стандартные отклонения. Если бы мы измерили X = рост в футах, а не X = рост в дюймах, вес b для футов был бы в 12 раз больше, чем b для дюймов (12 дюймов на фут; в обоих случаях мы интерпретируем b как изменение единицы в Y, когда X изменяется на 1 единицу).Итак, когда мы измеряем разные переменные X в разных единицах, часть размера b относится к единицам измерения, а не к важности как таковой. Итак, что мы можем сделать, так это стандартизировать все переменные (как X, так и Y, каждый X по очереди). Если мы это сделаем, то все переменные будут иметь стандартное значение, равное единице, и связь с переменными X будет легко очевидна по размеру весов b — все будет интерпретировано как количество стандартных отклонений. что Y изменяется, когда каждый X изменяет одно стандартное отклонение.Стандартизированные уклоны называются бета-весами. Это чрезвычайно плохой выбор слов и символов, потому что мы уже использовали бета для обозначения значения популяции b (не вините меня; это часть литературы). Вообще говоря, при множественной регрессии бета будет относиться к стандартным весам регрессии, то есть к оценкам параметров, если не указано иное.

     Уравнения регрессии с бета-весами

     Поскольку мы используем стандартизованные оценки, мы снова попадаем в ситуацию z-значений.Как вы помните из сравнения корреляции и регрессии:

     Но бета означает вес b , когда X и Y находятся в стандартных значениях, поэтому для случая простой регрессии r = beta, и мы имеем:

     Предыдущие формулы, которые я дал для b , состояли из сумм квадратов и перекрестных произведений .

     Но с оценками z мы будем иметь дело со стандартизованными суммами квадратов и перекрестных произведений. Стандартизированная усредненная сумма квадратов — 1

     , а стандартизированная усредненная сумма перекрестных произведений — коэффициент корреляции

     В итоге мы можем оценить бета-веса, используя корреляционную матрицу.При простой регрессии, как вы уже видели, r = beta. С двумя независимыми переменными,

     и

     , где r _y1 — корреляция y с X1, r _y2 — корреляция y с X2, а r ₁₂ — корреляция X1 с X2. Обратите внимание, что две формулы почти идентичны, за исключением порядка первых двух символов в числителе.

     Наша корреляционная матрица выглядит так:

     	Я	Х 1	Х 2
     Я	1
     Х 1	0.77	1
     Х 2	0,72	0,68	1

     Обратите внимание, что существует удивительно большая разница в бета-весах, учитывая величину корреляций.

     Давайте посмотрим на это минутку, сначала на уравнение для бета-версии ₁ . Числитель говорит, что бета ₁ — это корреляция (X ₁ и Y) минус корреляция (X ₂ и Y), умноженная на корреляцию предиктора (X ₁ и X ₂ ).Знаменатель говорит о некотором увеличении числителя в зависимости от размера корреляции между X ₁ и X ₂ . Предположим, что r ₁₂ равно нулю. Тогда r _y2 r ₁₂ равно нулю, а числитель r _y1 . Знаменатель равен 1, поэтому результат будет r _y1 , простая корреляция между X ₁ и Y. Если корреляция между X ₁ и X ₂ равна нулю, бета-вес является простой корреляцией. С другой стороны, если корреляция между X ₁ и X ₂ равна 1.0 бета не определена, потому что мы делим на ноль. Таким образом, наша жизнь становится менее сложной, если корреляция между переменными X равна нулю.

     Расчет R ²

     Как я уже упоминал, один из способов вычислить R ² — это вычислить корреляцию между Y и Y ‘и возвести ее в квадрат. Однако есть и другие способы расчета R ² , и они важны для концептуального понимания того, что происходит при множественной регрессии.Если независимые переменные некоррелированы, то

     Это говорит о том, что R ² , доля дисперсии в зависимой переменной, приходящаяся на обе независимые переменные, равна сумме квадратов корреляций независимых переменных с Y. Это верно только в том случае, если IV ортогональны. (некоррелировано).

     В нашем примере R ² равно 0,67. Корреляции: r _y1 = 0,77 и r _y2 = 0,72. Если возвести в квадрат и сложить, мы получим.77 ² +.72 ² = 0,5929 + 0,5184 = 1,11, что явно слишком велико для R ² , которое ограничено нулем и единицей.

     Если IV коррелированы, то у нас есть общий X и, возможно, общий Y, и мы должны это учитывать. Две общие формулы можно использовать для расчета R ² , когда IV коррелированы.

     Это означает, что нужно умножить стандартизованный наклон (бета-вес) на корреляцию для каждой независимой переменной и сложить для расчета ² RR.Это включает в себя как корреляцию (которая переоценивает общую сумму ² рандов из-за общего Y), так и бета-вес (который недооценивает ² рандов, поскольку он включает только уникальный Y и дисконтирует общий Y). При правильном сочетании они дают правильный R ² . Обратите внимание, что когда r ₁₂ равно нулю, тогда beta ₁ = r _y1 и beta ₂ = r _y2 , так что (beta ₁ ) (r _y1 ) = r ² _y1 , и у нас есть более ранняя формула, где R ² — это сумма квадратов корреляций между X и Y.В нашем примере соответствующие числа (.52) .77 + (.37) .72 = .40 + .27 = 0,67, что согласуется с нашим предыдущим значением ² рэндов.

     Вторая формула, использующая только коэффициенты корреляции, —

     Эта формула говорит, что R ² — это сумма квадратов корреляций между X и Y с поправкой на общий X и общий Y. Обратите внимание, что член справа в числителе и переменная в знаменателе оба содержат r ₁₂ , что является корреляцией между X1 и X2.Обратите внимание, что это уравнение также упрощает простую сумму квадратов корреляций, когда r ₁₂ = 0, то есть когда IV ортогональны. В нашем примере

     , что совпадает с нашим предыдущим значением в пределах ошибки округления.

     Тесты коэффициентов регрессии

     Каждый коэффициент регрессии представляет собой оценку наклона. При наличии более чем одной независимой переменной наклоны относятся к ожидаемому изменению Y, когда X меняет 1 единицу, УПРАВЛЯЯ ДРУГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ X.То есть b ₁ — это изменение Y при изменении единицы измерения X ₁ при сохранении постоянной X ₂ , а b ₂ — это изменение Y при изменении единицы измерения X ₂ при постоянном X ₁ . Мы рассмотрим это более формально после того, как введем частичную корреляцию. Мы хотели бы проверить, имеет ли наклон ( b ) какое-то значение, как правило, равен ли наклон нулю в генеральной совокупности. Для этого мы сравним значение b с его стандартной ошибкой, аналогично тому, что мы сделали для теста t , где мы сравнили разницу в средних значениях со стандартной ошибкой.

     Стандартная ошибка веса b для задачи двух переменных:

     , где s ² _y.12 — дисперсия оценки (дисперсия остатков). Стандартная ошибка веса b зависит от трех факторов. Дисперсия оценки говорит нам о том, насколько далеко точки отклоняются от линии регрессии (среднего квадрата расстояния). Большие ошибки в предсказании означают большую стандартную ошибку. Сумма квадратов IV также имеет значение.Чем больше сумма квадратов (дисперсия) X, тем меньше стандартная ошибка. Ограничение диапазона не только уменьшает размер корреляции, но также увеличивает стандартную ошибку веса b . Также имеет значение корреляция между независимыми переменными. Чем больше корреляция, тем больше стандартная ошибка веса b . Итак, чтобы найти значимые веса b , мы хотим минимизировать корреляцию между предикторами, максимизировать дисперсию предикторов и минимизировать ошибки прогнозирования.

     Учитывайте это при планировании исследования. Если вы этого не сделаете, у вас могут возникнуть проблемы с питанием для теста значимости, и ваша тяжелая работа может не окупиться. Области, в которых прогнозирование плохое, будет труднее показать отношения (очевидно, но именно отсюда возникает дисперсия остатков). Если вы выбираете людей для исследования, убедитесь, что предикторы сильно различаются. Если вы проводите исследование на добровольцах в университете с высокой степенью отбора, у вас будет ограниченный диапазон когнитивных способностей, поэтому будет сложнее показать значительный регрессионный вес для теста когнитивных способностей.Тщательно выбирайте предикторы — если они сильно коррелированы, у вас может быть значительный R-квадрат, но незначительные веса регрессии. Возможно, вы заметили, что размер выборки явно не включен в формулу. Однако сумма квадратов для независимой переменной включена, и это будет увеличивать знаменатель по мере увеличения размера выборки, тем самым уменьшая стандартную ошибку. Таким образом, больший размер выборки, как обычно, приведет к большей мощности.

     Отклонение прогноза

     , а испытание веса b — t -тест с N-k -1 степенями свободы.

     В нашем примере сумма квадратов ошибок составляет 9,79, а df — 20-2-1 или 17. Следовательно, наша дисперсия оценки составляет

     .575871 или .58 после округления. Наши стандартные ошибки:

     и S _b2 = 0,0455, что следует из вычислений, которые идентичны, за исключением значения суммы квадратов для X ₂ вместо X ₁ .

     Чтобы проверить значимость весов b , мы вычисляем статистику t

     .

     В нашем случае т = 0,0864 / 0,0313 или 2,75. Если мы сравним это с распределением t с 17 df , мы обнаружим, что оно значимо (из функции поиска мы находим, что p = 0,0137, что меньше 0,05).

     Для b ₂ , мы вычисляем t = 0,0876 / 0,0455 = 1,926, что имеет значение p , равное 0,0710, что несущественно. Обратите внимание, что корреляция r _y2 равна 0,72, что является очень значимым ( p <.01), но b ₂ не имеет значения.

     Тесты R ² по сравнению с тестами b

     Поскольку веса b являются наклонами для уникальных частей Y (то есть той части Y, которая может быть однозначно отнесена к конкретному X в уравнении регрессии), и потому что корреляции между независимыми переменными увеличивают стандартные ошибки Для гирь b возможно наличие большого и значительного R ² , но в то же время незначительные веса b (как в нашем примере с механикой Chevy).Также возможно найти значительный вес b без значительного R ² . Это может произойти, когда у нас есть много независимых переменных (обычно более 2), все или большинство из которых имеют довольно низкую корреляцию с Y. Если одна из этих переменных имеет большую корреляцию с Y, R ² может быть незначительным, потому что с таким большим количеством IV мы могли бы ожидать увидеть такое большое R ² просто случайно. Если R ² не имеет значения, обычно следует избегать интерпретации значимых весов b .В таких случаях весьма вероятно, что значительный вес b является ошибкой типа I.

     Тестирование инкрементального R ²

     Мы можем протестировать изменение R ² , которое происходит, когда мы добавляем новую переменную в уравнение регрессии. Мы можем начать с 1 переменной и вычислить R ² (или r ² ) для этой переменной. Затем мы можем добавить вторую переменную и вычислить R ² с обеими переменными в нем. Второй ² рандов всегда будет равен или больше первого ² рандов или больше.Если он больше, мы можем спросить, значительно ли он больше. Для этого вычисляем

     , где R ² _L — большее R ² (с большим количеством предикторов), k _L — количество предикторов в большом уравнении, а k _S — количество предикторов в меньшем уравнении. Когда ноль истинно, результат распределяется как F со степенями свободы, равными ( k _L — k _S ) и ( N — k _L -1) .В нашем примере мы знаем, что R ² _y.12 = 0,67 (из более ранних вычислений), а также что r _y1 = 0,77 и r _y2 = 0,72. r ² _y1 = 0,59 и r ² _y2 = 0,52. Теперь мы можем увидеть, увеличивает ли добавление X1 или X2 к уравнению, содержащему другое, R ² в значительной степени. Чтобы увидеть, добавляет ли X1 дисперсию, мы начнем с X2 в уравнении:

     Наше критическое значение F (1,17) равно 4.

     No related posts.