Атанасян. Геометрия 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы / Иченская (Просвещение)
Переплет | мягкий |
ISBN | 978-5-09-074199-6 |
Количество томов | 1 |
Формат | 70×90/16 (170×215 мм) |
Количество страниц | 48 |
Год издания | 2021 |
Серия | Математика и информатика |
Просвещение | |
Автор | Иченская М. А. |
Возрастная категория | |
Раздел | Геометрия |
Тип издания | |
Язык | русский |
Описание к товару: «Иченская.
Геометpия 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы. УМК Атанасян Л.С.»Данное пособие предлагает самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 9 классов, составленные в соответствии с учебником Л.С. Атанасяна.
Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ
Серия: Математика и информатика
Вы можете получить более полную информацию о товаре «Атанасян. Геометрия 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы / Иченская (Просвещение)«, относящуюся к серии: Математика и информатика, издательства Просвещение, ISBN: 978-5-09-074199-6, автора/авторов: Иченская М.А., если напишите нам в форме обратной связи.
Контрольные работы по геометрии 9 класс | Методическая разработка (геометрия, 9 класс) по теме:
Контрольные работы
по геометрии
9 класс
Контрольная работа №1.
Вариант 1.
- Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные:
а) +3; б) 2-.
2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что ВК=КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и =.
- В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4*. В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор через векторы = =.
Контрольная работа №1.
Вариант 2.
- Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы, равные:
а) +; б) 3-.
2. На стороне СD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP=PD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и =.
3.В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание
7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4*. В треугольнике MNK О – точка пересечения медиан, = =, =k·(+).
Контрольная работа №2.
Вариант 1.
- Найдите координаты и длину вектора, если
= -+, , .
- Даны координаты вершин треугольника АВС : А(-6;1), В(2;4), С(2;-2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины А.
- Окружность задана уравнением +=9. Напишите уравнение прямой, проходящей через её центр и параллельной оси ординат.
Контрольная работа №2.
Вариант 2.
- Найдите координаты и длину вектора, если
= , , .
- Даны координаты вершин четырёхугольника АВСD :
А(-6;1), В(0;5), С(6;-4)? D(0;-8). Докажите, что АВСD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
- Окружность задана уравнением +=16. Напишите уравнение прямой, проходящей через её центр и параллельной оси абсцисс.
Контрольная работа №3.
Вариант 1.
- Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А (-1;3).
- Решите треугольник АВС, если см.
- Найдите косинус угла М треугольника KLM, если
К (1;7), L(-2;4), M (2;0).
Контрольная работа №3.
Вариант 2.
- Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В (3;3).
- Решите треугольник ВСD, если
ВС= см.
- Найдите косинус угла A треугольника ABC, если
A (3;9), B(0;6), C (4;2).
Контрольная работа №4 .
Вариант 1.
- Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.
- Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72.
- Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если её градусная мера равна 150°.
Контрольная работа №4 .
Вариант 2.
- Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
- Найдите длину окружности, если площадь вписанного в неё правильного шестиугольника равна 72.
- Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см.
Контрольная работа №5.
Вариант 1.
- Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей боковую
сторону АВ.
2. Две окружности с центрами и , радиусы которых равны, пересекаются в точках M и N. Через точку М проведена прямая, параллельная и пересекающая окружность с центром в точке D. Используя параллельный перенос, докажите, что четырёхугольник MD является параллелограммом.
Контрольная работа №5.
Вариант 2.
- Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно точки, являющейся серединой боковой
стороны CD.
- Дан шестиугольник . Его стороны и , и , и попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали , , данного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Итоговая контрольная работа.
Вариант 1.
Часть 1.
1.Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 5,9,15 верно?
а) треугольник остроугольный;
б) треугольник тупоугольный;
в) треугольник прямоугольный;
г) такого треугольника не существует.
2.Если одна из сторон треугольника на 3 см меньше другой, высота делит третью сторону на отрезки 5 см и 10 см, то периметр треугольника равен:
а) 25 см; б) 40 см; в) 32 см; г) 20 см.
3.Если один из углов ромба равен 60°, а диагональ, проведённая из вершины этого угла, равна4 см, то периметр ромба равен:
а) 16 см; б) 8 см; в) 12 см; г) 24 см.
4.Величина одного из углов треугольника равна 20°. Найдите величину острого угла между биссектрисами двух других углов треугольника.
а) 84°; б) 92°; в) 80°; г) 87°.
5.В треугольнике АВС сторона а=7, сторона b=8, сторона с=5. Вычислите угол А.
а) 120°; б) 45°; в) 30°; г) 60°.
Часть 2.
1.В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей против основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.
2.В треугольнике ВСЕ .
3.Найдите площадь треугольника КМР, если сторона КР равна 5, медиана РО равна 3,
4.Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 5.
5. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС, касается катетов АС и ВС соответственно в точках Е и D. Найдите величину угла АВС (в градусах), если известно, что АЕ=1, ВD=3.
Итоговая контрольная работа.
Вариант 2.
Часть 1.
1.Какое утверждение относительно треугольника со сторонами 12,9,15 верно?
а) треугольник остроугольный;
б) треугольник тупоугольный;
в) треугольник прямоугольный;
г) такого треугольника не существует.
2.Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см, площадь первого треугольника равна 8 , то площадь второго треугольника равна:
а) 5 ; б) 40 в) 60 ; г) 20 .
3.Если в равнобедренном треугольнике длина основания равна 12 см, а его периметр равен 32 см , то радиус окружности, вписанной в треугольник, равен::
а) 4 см; б) 3 см; в) 6 см; г) 5 см.
4.В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника.
а)12 см и 16 см; б)7 см и 11 см; в) 10 см и 13 см; г) 8 см и 15 см.
5.Стороны прямоугольника равны a и k. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
а) ; б) ; в) ; г) .
Часть 2.
1.Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК:ВК=5:8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.
2.Около треугольника АВС описана окружность. Медиана треугольника АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ=18, МК=8, ВК=10.
3.Найдите основание равнобедренного треугольника , если угол при основании равен 30°, а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии 2 от основания.
4.Пусть М – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором стороны АВ, АD, и ВС равны между собой. Найдите угол СМD (в градусах), если известно, что DМ=МС, а угол САВ не равен углу DBA.
5.На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найдите квадрат расстояния от вершины А до центра окружности, если АD=, а угол АВС равен 120°.
Атанасян контрольные работы 9 класс
Самостоятельные и контрольные работы даны в виде разрезных карточек. Решебник по геометрии для 9 класса зив можно скачать бесплатно на нашем. Поурочное планирование к учебнику геометрия 8 класс атанасян. Контрольные работы к учебнику атанасяна. Габриелян 9 класс гдз скачать гдз 3 класс моро русский гдз ответ решебник ру. 79 классы рабочие программы по учебникам. Основная школа контрольные работы по геометрии 9 класс. Решебник по геометрии для 9 класса атанасян рабочая тетрадь можно скачать бесплатно на. Книга контрольные работы по геометрии. 2012 математика тесты. Актуальность темы дипломной работы по внутрихозяйственному землеустройству. Все домашние работы к самостоятельным и контрольным работам. Русский язык cборник заданий для подготовки к гиа 9 класс рыбченкова. Теоретическая контрольная работа помогающая выявить уровень. Ресурс контрольная работа по теме метод координат n 186047. Контрольные и проверочные работы. Ssmail ученик вопрос на голоcовании 2 года назад. Химия 9 класс решебник ответы на домашние контрольные работы. Гдз геометрия к учебнику атанасян самостоятельные и контрольные работы.
Треугольника равен 45 см а одна из его сторон больше другой на 9 см. Решебник по геометрии 79 класс автор атанасян решебник по русскому. Атанасяна и других геометрия. Задачникпрактикум для 9 класса к учебнику. Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся комментарии и рекомендации по решению задач главы vii. Химия 9 класс решебник ответы на домашние контрольные работы. Решебник по геометрии 9 класс атанасян списывать ответы на контрольных работах. 79 классы рабочая программа рабочие тетради дидактические материалы. Все домашние работы к самостоятельным и контрольным работам. Азейбаржанская кухня реферат. Контрольные работы по геометрии. Фото пользователя наталья сергеевна наумова. В 9 классе используется авторская программа атанасян. Гдз и решебник для учебника гдз по геометрии 79 класс атанасян. Габриелян 9 класс гдз скачать гдз 3 класс моро русский гдз ответ решебник ру. Геометрия для 79 классов средней. Контрольных работ 5 часов которые распределены по разделам следующим образом метод координат 2 часа соотношение между сторонами.
Атанасяна и других геометрия. Гдз и решебник для учебника гдз по геометрии 79 класс атанасян. Задачникпрактикум для 9 класса к учебнику. Скачать бесплатно физика. Все готовые домашние задания решебники к учебникам за 9 класс. Контрольные работы тесты диктанты по геометрии 9 класс. Контрольные работы по геометрии. Поурочное планирование к учебнику геометрия 8 класс атанасян. 79 классы рабочая программа рабочие тетради дидактические материалы самостоятельные и контрольные работы тематические. Миллениум онлайн решебник 11 класс гдз по геометрии атанасян бутузов. Азовское море реферат. Пособие для учителей атанасян. Габриелян 9 класс гдз скачать гдз 3 класс моро русский гдз ответ решебник ру. 9 класс к учебнику разумовской. Контрольные работы по геометрии 7 класс. Творческие работы учеников 39. Домашняя работа по геометрии за 7 класс к учебникам геометрия. Методические разработки учителей. Атанасян 9 решебник обществознание 10 класс решебник онлайн босова. Решебник по геометрии 9 класс атанасян списывать ответы на контрольных работах.
▶▷▶ контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян
▶▷▶ контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасянИнтерфейс | Русский/Английский |
Тип лицензия | Free |
Кол-во просмотров | 257 |
Кол-во загрузок | 132 раз |
Обновление: | 30-11-2018 |
контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольные работы по геометрии 9 класс ( Атанасян ) infourokru/kontrolnie-raboti-po-geometrii-klass Cached Скачать: Контрольные работы по геометрии 9 класс Атанасян Контрольная работа №2 Метод координат Примерные контрольные работы по геометрии по УМК ЛС infourokru/primernie-kontrolnie-raboti-po Cached Примерные контрольные работы по геометрии по УМК ЛС Атанасян и других для 7 – 9 , 10 -11 классов Геометрия в 7 классе, контрольные работы по Атанасяну за 1, 2 mathematics-testscom/algebra-7-klass-novoe/ Cached Скачать: Контрольные работы по геометрии за 7 класс , Атанасян (pdf) Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине «Интеграл» Контрольные Работы За 9 Класс По Геометрии Атанасян — Image Results More Контрольные Работы За 9 Класс По Геометрии Атанасян images ГДЗ по геометрии 7‐ 9 класс самостоятельные и контрольные gdzfm Геометрия ГДЗ по геометрии 7‐ 9 класс самостоятельные и контрольные работы , авторы: , Иченская МА, Просвещение 2017 год ГДЗ к учебнику по геометрии за 7- 9 классы Атанасян ЛС Методическая разработка (геометрия, 9 класс ) по теме nsportalru/shkola/geometriya/library/2012/06/10/ Cached Контрольные работы по геометрии 9 класс Контрольная работа №1 Решебник самостоятельные и контрольные работы по Геометрии за gitemme/reshebnik/7class/geometria/ Cached Решебник (ГДЗ) самостоятельные и контрольные работы по Геометрии за 7‐ 9 класс Иченская МА ГДЗ 7 класс Геометрия самостоятельные и контрольные работы Иченская Контрольные работы по геометрии в 9 классе по учебнику multiurokru/files/kontrol-nyie-raboty-po Cached Контрольные работы по геометрии в 9 классе по учебнику атанасян лс Контрольная работа №1 Контрольные по геометрии в 10 класс по Атанасян за 1, 2, 3, 4 mathematics-testscom/algebra-10-klass/ Cached Скачать: Контрольные работы по геометрии для 10 класса (pdf) Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С Решебник по геометрии за 7‐ 9 класс самостоятельные и gdzguru Геометрия ГДЗ к учебнику по геометрии за 7- 9 классы Атанасян ЛС можно скачать здесь ГДЗ: Онлайн готовые домашние задания самостоятельные и контрольные работы по геометрии за 7‐ 9 класс , автор Самостоятельные и контрольные работы геометрия 7- 9 класс uchebnik-tetradcom/matematika-uchebniki-rabochie-tetra Cached Выберите нужную страницу с уроками, заданиями (задачами) и упражнениями из самостоятельных и контрольных работ по геометрии за 7- 9 класс — Иченская к учебнику Атанасян Онлайн книгу удобно Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 30,700 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™
- способное помочь в достижении такого результата — самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 9 класса
- девятиклассники будут более уверены
- изучаемым в 9 классе
составлены в 4 вариантах к учебнику ЛС Атанасян Скрыть 4 ГДЗ по геометрии 9 класс самостоятельные eurokiorg › …9_klass…raboty-po-geometrii…atanasyan… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей Читать ещё ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей вызывают задания по геометрии Проводя регулярный самостоятельный контроль своих знаний в течение года
( 9 класс ) урокрф › library/sbornik…rabot_po_geometrii…klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник Контрольных рабор по геометрии 9 класс Пояснительная записка Контрольные работы содержат задания на воспроизведение (40%)
- 2 mathematics-testscom/algebra-7-klass-novoe/ Cached Скачать: Контрольные работы по геометрии за 7 класс
- 10 -11 классов Геометрия в 7 классе
- 2 mathematics-testscom/algebra-7-klass-novoe/ Cached Скачать: Контрольные работы по геометрии за 7 класс
контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян — Все результаты Контрольные работы по геометрии 9 класс авторов Л С Атанасян › Геометрия 12 авг 2017 г — ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ « Об образовании в Российской Федерации» педагогическая Контрольные работы по геометрии 9 класс (Атанасян ЛС) › Геометрия 25 февр 2018 г — Cкачать: Контрольные работы по геометрии 9 класс Атанасян ЛС Инфоурок › Геометрия › Другие методич материалы › Контрольные работы по Возможность оплаты курса за счёт Вашей организации Контрольные работы Геометрия — 9 Атанасян ЛС — Инфоурок › Геометрия 25 окт 2017 г — Атанасян ЛС Возможность оплаты курса за счёт Вашей организации • Дипломы Контрольные работы по геометрии для 9 класса Контрольные работы по геометрии 9 класс — Социальная сеть 10 июн 2012 г — Мною разработаны контрольные работы по геометрии для 9 Пособие для учителей общеобразоват учреждений/ЛС Атанасян ,ВФБутузов и др по геометрии 9 класс Контрольная работа №1 Вариант 1 Геометрия 9 класс Контрольные работы Мельникова НБ Контрольная работа №4 38 Начальные сведения из стереометрии Контрольная работа М 5 48 Итоговая работа за курс 9 класса Контрольная «Геометрия 9 класс Контрольные работы к учебнику Л С Интересные рецензии пользователей на книгу Геометрия 9 класс Контрольные работы к учебнику Л С Атанасяна и др ФГОС Наталия Мельникова: Рейтинг: 0 За эту рецензию пользователь получил бонус Для наглядности Контрольные работы по геометрии 9 класс К учебнику ЛС 66,00 ₽ — В наличии Купить книгу « Контрольные работы по геометрии 9 класс К учебнику ЛС Атанасяна » Геометрия 7- 9 классы » ФГОС» (Мельникова НБ) в Контрольные работы по геометрии 9 класс к учебнику АК › › 9 класс › Геометрия Контрольные работы по геометрии 9 класс к учебнику АКАтанасяна и др Контрольные работы по геометрии 9 класс УМК ЛС Атанасян uchitelyacom//55296-kontrolnye-raboty-po-geometrii-9-klass-umk-ls-atanasyanhtml Скачать Контрольные работы по геометрии 9 класс УМК ЛС Атанасян Геометрия 9 класс Контрольные работы К учебнику Л С — Ozon Похожие В книжном интернет-магазине OZON можно купить учебник Геометрия 9 класс теме дается набор заданий для подготовки к контрольной работе ГДЗ, Ответы по Геометрии 9 класс Дидактические материалы Зив 23 дек 2014 г — Готовые Домашние Задания, Решебник по Геометрии 9 класс Дидактические ГДЗ Геометрия 9 класс Контрольные работы К-1 Геометрия 7-9 класс самостоятельные и контрольные работы Автор › › Геометрия › самостоятельные и контрольные работы Иченская ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 7‐ 9 класс Иченская работы по геометрии 7- 9 класс Иченская МА(к учебнику Атанасян ), Картинки по запросу контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян «id»:»ON3eiGMZoUAlDM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:296,»ou»:» «,»ow»:200,»pt»:»staticmy-shopru/product/2/238/2375258jpg»,»rh»:»my-shopru»,»rid»:»-TCPl8nQHMiivM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»My-shopru»,»th»:102,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQLiGYBXkFkhciEOiOEyx4zs_WnwKF8R-3QgXUgOF9s8CzJP9NUb2EcxA»,»tw»:69 «id»:»ZYB0Hzmlm7uygM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:60,»oh»:870,»ou»:» «,»ow»:568,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/005/203/thu»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»LXiAaDKUNHyq-M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:103,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQChvLDcqzgKlQ_KvAVwo98oB1o57Y9XIpsnYCN0c_EYKIzI5nVB_bD1As»,»tw»:67 «id»:»lae8_aIDJ6it8M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:59,»oh»:213,»ou»:» «,»ow»:137,»pt»:»ambookvoru/wa-data/public/shop/products/26/13/132″,»rh»:»ambookvoru»,»rid»:»Xp5LOZeB6H9rWM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Книжная гавань»,»th»:102,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRsolJQBM4QMYnB3lt3-wiATc6d_E1LkReVieBXdC5CG3juu6gSLWWijw»,»tw»:65 «id»:»-5JF-bKSHSAQ2M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:57,»oh»:243,»ou»:» «,»ow»:150,»pt»:»wwwbookvoedru/files/1377/24/85/10jpg»,»rh»:»bookvoedru»,»rid»:»GRrXBpmVCu9cZM»,»rt»:0,»ru»:» \u003d407346″,»sc»:1,»st»:»Буквоед»,»th»:106,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRgHjZxaJGaL7yS9UWUmvAcP4E0HkUWETyhzZU2_1lBc0S25FGq1sS0og»,»tw»:65 «id»:»PHCPYcigSuEwUM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:71,»oh»:256,»ou»:» «,»ow»:195,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/004/459/mid»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»zuefHolP2jEDhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:96,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcTb65c3IISXVbSxhJW6BU8E0ayGwjq-SkFZbJSkRQXupYSg7SX_G65gug»,»tw»:73 «id»:»_mkZ2TVhUVOCgM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:73,»oh»:390,»ou»:» «,»ow»:306,»pt»:»gdzru/coverpng»,»rh»:»gdzru»,»rid»:»Zaae0W_N9V9g5M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»GDZru»,»th»:94,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSHVj94UTZVNS4-fYx-gPm6uwFSrHEmIn-nwAeEpN3MQvYMj-N0pg1lxog»,»tw»:74 «id»:»BK0yq7Tx_Qh-_M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:63,»oh»:256,»ou»:» «,»ow»:176,»pt»:»cdneurokiorg/system/books/covers/000/002/249/mid»,»rh»:»eurokiorg»,»rid»:»zuefHolP2jEDhM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQO9PLg32gS5bGjS0Jw_vm19LOGJunag16T5scMaakcL9RXyb2vecYBkw»,»tw»:69 «cr»:9,»ct»:3,»id»:»ouGPX2CnMVF9SM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:127,»oh»:175,»ou»:» «,»ow»:600,»pt»:»ds04infourokru/uploads/ex/045b/000a649a-a5fd2052″,»rh»:»infourokru»,»rid»:»7NtctqJUbHp_QM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Инфоурок»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQAXUTk8XJSvngyNao2hXa9Ld4qV6EcrZaKs7mssEtqEickKSKh08FSkDg»,»tw»:309 Другие картинки по запросу «контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты ГДЗ 775 номер геометрия 7‐9 класс ЛС Атанасян, ВФ Бутузов › ГДЗ › 7 класс › Геометрия › Атанасян ЛС › 775 Подробное решение номер 775 по геометрии для учащихся 7‐ 9 класса , авторов ЛС Атанасян , ВФ Бутузов, СБ Кадомцев Геометрия Самостоятельные и контрольные работы 9 класс › › Математика, Алгебра, Геометрия Оно ориентировано на учебник « Геометрия 7– 9 классы » авторов Л С и контрольные работы 9 класс Линия УМК: Геометрия Атанасян ЛС И др ГДЗ по Геометрии за 7‐9 класс самостоятельные и контрольные › › самостоятельные и контрольные работы Иченская ГДЗ по геометрии 7‐ 9 класс самостоятельные и контрольные работы Иченская МА ГДЗ к учебнику по геометрии за 7- 9 классы Атанасян ЛС Решебник (ГДЗ) дидактические материалы по геометрии 9 класс Зив › ГДЗ › 9 класс › Геометрия › БГ Зив Похожие Подробные решения контрольных и самостоятельных работ к дидактическим материалам по геометрии , автор БГ Зив, издательство Просвещение ГДЗ по геометрии 9 класс Атанасян › Геометрия › 9 класс Похожие Решебник по геометрии за 9 класс авторы Атанасян издательство Просвещение Самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс [PDF] Файл — Средняя общеобразовательная школа № 54 30astr-s54edusiteru/sveden/files/42d5d905-3f04-430d-90b7-6363170dd889pdf щеобразоват учреждений ЛС Атанасян , ВФ Бутузов, СБ Ка- домцев и др — 18-е изд Контрольные работы по геометрии : 9 класс : к учебнику ЛС Атанасяна вектора на число; • координаты середины и длина отрезка, за — Контрольная работа по геометрии 9 класс «Векторы» Все для 23 окт 2016 г — Данная работа составлена по учебнику Атанасян 7- 9 класс , для учащихся Контрольная работа геометрия понятие вектора 9 класс docx с привязкой к координатам, выйдите немного за пределы программы Атанасян Геометрия 7-9 классы Самостоятельные и ambookvoru//atanasyan-geometriya-79-klass-samostoyatelnye-i-kontrolnye-raboty Самостоятельные и контрольные работы / Иченская (Просвещение) всего за 167 руб Описание к товару: » Атанасян Геометрия 7- 9 классы ГДЗ по геометрии для 9 класс от Путина Похожие Геометрия 9 класс рабочая тетрадь Атанасян Геометрия 9 Геометрия 7- 9 классы самостоятельные и контрольные работы Иченская МА Геометрия Рабочая программа по геометрии, 9 класс, УМК: Атанасян ЛС Похожие 12 февр 2016 г — Программы по Геометрии для 9 класса по УМК Атанасян ЛС, Бутузов Кр №5 Итоговая контрольная работа за курс геометрии 9 класс Дидактический материал — Сайт учителя математики Збицкой Похожие Контрольные работы ориентированы на учебник » Геометрия , 7-9″ (ЛС Атанасян , ВФ Бутузов, СБ Кадомцев и др) 9 класс Алгебра Отправлено 11 Дидактические материалы по геометрии 9 класс Зив БГ — ГДЗ domashkasu/gdz/klass9/geometry/9-geometry-ziv Похожие Зив БГ Геометрия за 9 класс — ГДЗ Класс, 9 Учебник, Зив БГ Подробнее, Дидактические материалы по геометрии 9 класс Зив Контрольная работа Геометрия | Контрольные, тесты — ЗАВУЧинфо wwwzavuchru/methodlib/204/?pg=2 Похожие Разработаны контрольные работы по всем темам разного уровня Раздел: Геометрия — Контрольные, тесты 11 класс УМК Атанасян ЛС и др по геометрии за 4 четверть 8 класса к учебнику » Геометрия 7- 9 » Атанасян ЛС в Геометрия Атанасяна 9 класс — Школьный гид Состав УМК « Геометрия » 9 класс Атанасяна ЛС и др тесты, самостоятельные и контрольные работы (7- 9 классы ), методические Геометрия Рабочая тетрадь 9 класс Атанасян Л С, Бутузов В Ф, Глазков Ю А и др Геометрия в 7 классе, контрольные работы по Атанасяну за 1, 2, 3 Рейтинг: 4 — 59 голосов 4 апр 2017 г — Интерактивный тренажер по геометрии для 7, 8 и 9 классов к учебнику Контрольная работа №1 на тему: «Прямая на плоскости Углы» Геометрия 9 класс — InternetUrok Видеоуроки, тесты и тренажёры по Геометрия за 9 класс по школьной программе Используйте конспект уроков раздела « Геометрия 9 класс » для закрепления полученных знаний Измерительные работы · Решение задач по Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания › Предметы › Геометрия Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Геометрия , 9 класс Задания составлены профессиональными педагогами ЯКласс ▷ контрольная работа по геометрии 10 класс атанасян решебник wwwzstelceu//kontrolnaia-rabota-po-geometrii-10-klass-atanasian-reshebnikxml 6 нояб 2018 г — контрольная работа по геометрии 10 класс атанасян решебник по геометрии за 7‐ 9 класс ЛС Атанасян , ВФ gdzguru › Геометрия ГДЗ [DOC] Геометрия 7-9 классы wwweduportal44ru/ostrov/Adischevo/DocLib30/геометрия%207-9%20классdoc Похожие Из общего количества часов на тематические контрольные работы отводится 5 часов условием положительной аттестации ученика за курс основной школы Атанасян ЛС Геометрия Рабочая тетрадь для 9 класса Решебник для 9 класса по Геометрии на Гитем ми Решебник от Гитем для 9 класса по Геометрии не оставит в беде и поможет в решении Геометрия рабочая тетрадь ЛС Атанасян 9 класс Геометрия самостоятельные и контрольные работы Иченская МА 7- 9 класс Геометрия 7-11 классы: развернутое тематическое планирование Салова Т А — 2014 9 КЛАСС Рабочая программа учебного курса по геометрии для 9 класса составлена на 7– 9 классы : учеб для общеобразоват учреждений / Л С Атанасян [и др] проводится в 9 классе в форме итоговой контрольной работы Номер 1015 Геометрия 7 9 класс Атанасян — YouTube ▶ 4:53 22 апр 2014 г — Добавлено пользователем Алексей Подлесов Номер 1015 Геометрия 7 9 класс Атанасян Published on Apr 21, 2014 Решение задания из учебника по геометрии для 7, 8, 9 класса ГДЗ к сборнику Ершовой, Голобородько — math-helperru Математика Вводный курс: Учебное пособие Вечтомов Евгений Михайлович , Широков Дмитрий Владимирович — 2014 Атанасян Л С Геометрия 7– 9 классы : Учебник для общеобразовательных Практические занятия и контрольные работы : Учебное пособие – Киров: Геометрія 10 клас Профільний рівень: Розробки уроків — Перевести эту страницу Т Л Корнієнко , В І Фіготіна А С Атанасян , В Ф Бутузов, С Б Кадомцев и др В Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10–11 классов 9 Роганін О М Геометрія 10 клас Академічний рівень: Комплексний зошит для контролю знань Контрольная работа по теме «Метод координат» 9класс, геометрия wwwopenclassru/node/83859 Похожие 24 дек 2009 г — Главная страница 7 Login Контрольная работа по теме «Метод координат» 9класс , геометрия , Атанасян ЛС Класс(ы): 9 класс Предмет(ы): Геометрия Целевая аудитория: Учитель (преподаватель) Пояснения к фильтрации результатов Мы скрыли некоторые результаты, которые очень похожи на уже представленные выше (46) Показать скрытые результаты Вместе с контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян часто ищут контрольные работы по геометрии 9 класс атанасян скачать бесплатно гдз контрольная работа по геометрии 9 класс атанасян готовые контрольные работы по геометрии 9 класс контрольная работа по геометрии 9 класс ответы атанасян контрольная работа по геометрии 9 класс атанасян решение контрольные работы по геометрии 9 класс мельникова ответы итоговая контрольная работа по геометрии 9 класс ответы контрольная работа по геометрии 9 класс векторы Ссылки в нижнем колонтитуле Россия — Подробнее… Справка Отправить отзыв Конфиденциальность Условия Аккаунт Поиск Карты YouTube Play Новости Почта Контакты Диск Календарь Google+ Переводчик Фото Ещё Документы Blogger Hangouts Google Keep Подборки Другие сервисы Google
Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Контрольные работы по геометрии 9 класс ( Атанасян ) infourokru › kontrolnie…geometrii-klass-atanasyan… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Инфоурок › Математика › Рабочие программы › Контрольные работы по геометрии 9 класс ( Атанасян ) Контрольная работа № 7 Итоговая по курсу геометрии (7- 9 классы ) Читать ещё Инфоурок › Математика › Рабочие программы › Контрольные работы по геометрии 9 класс ( Атанасян ) Контрольные работы по геометрии 9 класс ( Атанасян ) библиотека материалов Контрольная работа №1 Векторы Контрольная работа №1 Векторы Вариант 1 Вариант 2 Контрольная работа № 7 Итоговая по курсу геометрии (7- 9 классы ) Контрольная работа № 7 Итоговая по курсу геометрии (7- 9 классы ) Вариант 1 Вариант 2 Скрыть 2 Контрольные работы по геометрии в 9 классе по multiurokru › files…raboty-po…v-9-klassie-pohtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольные работы По геометрии В 9 классе По учебнику атанасян лс 3 Материал по геометрии ( 9 класс ) по теме: Контрольные nsportalru › Школа › Геометрия › …raboty-po-geometrii-9-kl Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Мною разработаны контрольные работы по геометрии для 9 класса по учебнику ЛС Атанасяна Использованная литература: Изучение геометрии в 7- 9 классах Пособие для учителей общеобразоват учреждений/ЛС Читать ещё Мною разработаны контрольные работы по геометрии для 9 класса по учебнику ЛС Атанасяна Использованная литература: Изучение геометрии в 7- 9 классах Пособие для учителей общеобразоват учреждений/ЛС Контрольная работа по геометрии 9 класс «Радианная мера угла» в контрольной работе представлено 4 различных варианта Пособие предназначено для учителей старших классов , которые ведут преподавание курса геометрии по учебнику ЛС Атанасяна » Геометрия 10-11″ издательства «Просвещение» Демоверсии контрольных работ по геометрии , 9 класс Контрольные работы , демоверсии которых представлены, составлены в 4 вариантах к учебнику ЛС Атанасян Скрыть 4 ГДЗ по геометрии 9 класс самостоятельные eurokiorg › …9_klass…raboty-po-geometrii…atanasyan… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей Читать ещё ГДЗ самостоятельные и контрольные работы по геометрии 9 класс Иченская Просвещение Для планомерной и эффективной подготовки к сдаче итоговой аттестации в 9 -м классе (ОГЭ по математике) важно глубоко и полно проработать все темы входящих в экзамен дисциплин Особенно много трудностей вызывают задания по геометрии Проводя регулярный самостоятельный контроль своих знаний в течение года, девятиклассники будут более уверены, успешно подготовятся к испытанию Хорошее учебное пособие, способное помочь в достижении такого результата — самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 9 класса , р Скрыть 5 Контрольные работы по геометрии 9 класс УМК uchitelyacom › …po-geometrii-9-klass…atanasyanhtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте по геометрии 9 класс , УМК ЛС Атанасян Учитель математики высшей категории Молодых Елена 2 Геометрия Самостоятельные и контрольные работы 7 – 9 классы Читать ещё по геометрии 9 класс , УМК ЛС Атанасян Учитель математики высшей категории Молодых Елена 2 Геометрия Самостоятельные и контрольные работы 7 – 9 классы : пособие для учителей общеобразовательных учреждений / М А Иченская Скрыть 6 Геометрия 9 класс Контрольные работы Мельникова allengorg › d/math/math2204htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Оно содержит проверочные работы по всем темам, изучаемым в 9 классе , и ориентировано на учебник ЛС Атанасяна и др » Геометрия 7- 9 классы «, рекомендованный Министерством образования и науки Российской Федерации и включенный в Федеральный перечень учебников Читать ещё Оно содержит проверочные работы по всем темам, изучаемым в 9 классе , и ориентировано на учебник ЛС Атанасяна и др » Геометрия 7- 9 классы «, рекомендованный Министерством образования и науки Российской Федерации и включенный в Федеральный перечень учебников Каждая проверочная работа дается в четырех вариантах Кроме того, по каждой теме дается набор заданий для подготовки к контрольной работе Каждый вариант включает задания трех видов: с выбором ответа, с кратким ответом и с развернутым ответом, что соответствует формам заданий , используемым в настоящее время в экзаменационных раб Скрыть 7 Контрольные работы по геометрии 9 класс Атанасян learn-portalru › …raboty…geometrii…klass/atanasjan Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольные работы на темы: Векторы Контрольные работы по геометрии для 9 класса по учебнику Атанасян ЛС Читать ещё Контрольные работы на темы: Векторы Метод координат Контрольные работы по геометрии для 9 класса по учебнику Атанасян ЛС © 2014 — 2015 «Образовательный портал» Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала Скрыть 8 Сборник контрольных работ по геометрии , ( 9 класс ) урокрф › library/sbornik…rabot_po_geometrii…klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сборник Контрольных рабор по геометрии 9 класс Пояснительная записка Контрольные работы содержат задания на воспроизведение (40%), применение (40%) и интеграцию (20%) предметных знаний Читать ещё Сборник Контрольных рабор по геометрии 9 класс Пояснительная записка Контрольные работы содержат задания на воспроизведение (40%), применение (40%) и интеграцию (20%) предметных знаний Содержательная матрица дает возможность учителю провести качественный анализ контрольной работы и спланировать коррекционную работу индивидуально для каждого ученика Предложение содержательной матрицы и критериев оценивания дает возможность учащимся планировать свою учебную деятельность для достижения более качественных результатов и впоследствии ее коррекцию Контрольная работа №1 9 класс Тема: «Векторы на плоскости» Цель: проверить уровень усвоения ГОСО Скрыть 9 Контрольные работы за 9 класс по геометрии Атанасян — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольные работы за 9 класс по геометрии Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 10 Контрольные работы по геометрии 9 класс easyenru › …9_klass/kontrolnye_raboty_po_geometrii… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Архив содержит четыре контрольные работы по темам, изучаемым в 9 классе по учебнику ЛС Атанасян и др По кнопке ниже вы можете скачать Контрольные работы по геометрии 9 класс категории Математика 9 класс бесплатно Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие Читать ещё Архив содержит четыре контрольные работы по темам, изучаемым в 9 классе по учебнику ЛС Атанасян и др Геометрия 7- 9 (Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Просвещение,2014), а так же итоговую контрольную работу Каждая контрольная работа дается в двух вариантах Все контрольные работы состоят из двух частей — обязательной и дополнительной Все задания оцениваются традиционно по пятибальной системе © Молодых Елена Николаевна По кнопке ниже вы можете скачать Контрольные работы по геометрии 9 класс категории Математика 9 класс бесплатно Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие материалы на нашем сайте Документ является конспект Скрыть Контрольные работы по геометрии 9 класс matematika-proru › tests…the-geometry…grade-9html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольные работы по геометрии для 9 класса дают возможность контролировать качество усвоения В 9 классе происходит дальнейшее усвоение знаний по геометрии , основанное на базе материала, изученного в 7 и 8 классах Успех процесса обучения геометрии в немалой степени зависит от Читать ещё Контрольные работы по геометрии для 9 класса дают возможность контролировать качество усвоения учебного материала В 9 классе происходит дальнейшее усвоение знаний по геометрии , основанное на базе материала, изученного в 7 и 8 классах Успех процесса обучения геометрии в немалой степени зависит от правильно организованного контроля знаний и умений учащихся Основная цель проводимых мною контрольных работ по геометрии состоит в следующем: Выявить уровень овладения учащимися знаниями и умениями, предусмотренными программой по геометрии в 9 классе ; На основании полученных результатов спланировать работу по коррекции знаний учащихся Скрыть Вместе с « контрольные работы за 9 класс по геометрии атанасян » ищут: контрольная работа курсовые работы заказать контрольные работы готовые контрольные работы контрольная контрольная работа по математике готовые контрольные работы для студентов заочников бесплатно контрольная работа по математике 6 класс контрольная работа по алгебре 7 класс контрольная работа по математике 5 класс 1 2 3 4 5 дальше Браузер Все новые вкладки с анимированным фоном 0+ Скачать
ГДЗ по Геометрии за 7‐9 класс Л.
С. Атанасян, В.Ф. Бутузовавторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдин.
Издательство: Просвещение 2016 год.
Как у вас обстоят дела с геометрией? Ищете качественную помощь, или наоборот считаете, что вы так хорошо знаете этот предмет, что помощь вам попросту не нужна? В любом случае рекомендуем вам рассмотреть возможность использования
- выполнять домашнее задание любой сложности за считанные минуты;
- перепроверять самостоятельно выполненное задание на наличие ошибок и опечаток, чтобы избежать плохих оценок;
- готовиться к контрольным работам и экзаменам;
- учиться самостоятельности, ведь теперь при возникших сложностях не придется бежать за помощью к родителям или учителям, верные ответы всегда под рукой;
- изучать любую тему в домашних условиях, для этого достаточно лишь ознакомиться с теорией, а после уделить время практической части из этого же раздела.
Такая полезная книга позволит школьнику не просто освободить время для более интересных занятий, но также значительно улучшить свои знания и выйти на новый уровень обучения.
Также онлайн-решебник по алгебре от автора: Атанасян Л.С. станет просто незаменим для родителей, которые предпочитают контролировать успехи своего ребенка. Теперь, даже неважно помните ли вы уроки по математике, или изучали ли ее вообще. Благодаря подробным, грамотным и проверенным по нормам ФГОС ответам родитель сможет объяснить любую тему, достаточно только открыть ГДЗ и прочесть данные в них объяснения.
Книга с ответами находится в онлайн-доступе, а значит, вам не придется носить с собой бумажный вариант, достаточно просто иметь под рукой мобильный телефон с выходом в интернет. Такая возможность позволит брать правильные решения с собой на уроке и решать не только домашние задания, но и контрольные на отлично. Если учитель задал решить в тетрадке какой-то пример, а вы не понимаете принципы выполнения, но и двойку схлопотать не хотите, то просто ГДЗ на нужной странице и перепишите правильный вариант, а уже в свободное время займитесь разбором непонятной для вас темы.
ГДЗ Геометрия 7 класс рабочая тетрадь Атанасян можно посмотреть тут.
ГДЗ Геометрия 8 класс рабочая тетрадь Атанасян можно посмотреть тут.
ГДЗ Геометрия 9 класс рабочая тетрадь Атанасян можно посмотреть тут.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно посмотреть тут.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 8 класс Зив Б.Г. можно посмотреть тут.
ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 9 класс Зив Б.Г. можно посмотреть тут.
ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии за 7-9 классы Иченская М.А. можно посмотреть тут.
ГДЗ к контрольным и самостоятельным работам по алгебре и геометрии за 9 класс Журавлев С. Г. можно посмотреть тут.
ГДЗ к тетради контрольных тестовых работ по геометрии за 7 класс Парфентьева О.Н. можно посмотреть тут.
ГДЗ к тетради контрольных тестовых работ по геометрии за 8 класс Стокоз В.И. можно посмотреть тут.
ГДЗ к тетради контрольных тестовых работ по геометрии за 9 класс Покатаева Г.В. можно посмотреть тут.
ПОЛОСА: 7-8 Область: Геометрия. Почему эта область является приоритетной для профессионального развития последовательность из 8-го класса в старшую школу. Геометрия — это смена.
- Дом
- Документы
- ПОЛОСА УРОВНЯ: 7-8 Область: Геометрия. Почему эта область является приоритетной для профессионального развития последовательность из 8-го класса в старшую школу.
344 x 292429 x 357514 x 422599 x 487
TRANSCRIPT
- Slide 1
- GRADE BAND: 7-8 Domain: Geometry
- Slide 2
- Почему этот домен является приоритетным для последовательного профессионального развития от 8 класса до старшей школы геометрия — это переход от прежних государственных стандартов к обычным базовым стандартам. Студентов просят понять, как использовать перевод, вращение, преобразование. ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВОЗМОЖНО ОДНО ИЗ САМЫХ БОЛЬШИХ ОТЛИЧИЙ ОТ ПРЕДЫДУЩИХ СТАНДАРТОВ / ОБУЧЕНИЯ К ОБЩЕМУ ЯДНУ (ИЗМЕНЕНИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ, УЧИТЕЛЕЙ, И ПРЕПОДАВАТЕЛИ УЧИТЕЛЕЙ).ПРОБЛЕМЫ ВКЛЮЧАЮТ ВНИМАНИЕ К ТОЧНОСТИ И ЯЗЫКУ.
- Slide 3
- Ключевые стандарты в этой области, на которых PD должна сосредоточиться Q: Какие темы существуют в разных штатах в отношении потребностей PD? В: Как слова на бумаге передают необходимую педагогику? В: Какая подготовка по ПД требуется (для тех, кто занимается ПД учителям)? В: Какой опыт нужно дать учителям для развития фундаментальных знаний? (прогрессии, задания, видео / динамические иллюстрации, студенческие работы, комментарии, связывающие их вместе). Опишите эффекты расширений, переводов… длина / углы внимания. Трансформационный подход к области сходства, в которой существует огромная потребность в разных государствах. 8.G.6. Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обратного
- Slide 4
- Существующие ресурсы, которые поддерживают эти области и стандарты Некоторые материалы в рамках текущего полевого тестирования (материалы для видеокассет «Learning and Teaching Geometry») Fositing Geometric Thinking (Driscoll)
- Slide 5
- Области и стандарты, которые нуждаются в новых ресурсах, которые необходимы PD для создания видения математических классов (видео или другие средства наблюдения за происходящим). Кроме того, они должны испытать это на себе.Руководство о том, что означает доказательство (объяснение, доказательство, обоснование) в средней школе (примеры). В: Что учителя должны понимать в геометрии нового? Какие возможности есть у учителей думать о точности? Как они возвращают новые знания в свои классы? 8.EE 6. Используйте похожие треугольники, чтобы объяснить, почему угол наклона m одинаков между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости … 8.G.5 …. угловой критерий сходства треугольников
Готовое домашнее задание для 8 класса
Готовое домашнее задание помогает учащимся и родителям быстрее справляться с домашним заданием на конкретных примерах.Сайт ГДЗ: https://gdz.life/
Фото: Зеленый хамелеон | UnsplashГЕОМЕТРИЯ
Наш портал ждет вас ГДЗ геометрия 8 класс Атанасян 2014 и Погорелов 2014. Полные решения с пояснениями и ссылкой на правила. Лучший ответ на упражнение, которое выбирают пользователи! После непродолжительной регистрации сервис доступен всем без платных подписок и рекламы.
Коллекция GDZ от решающей геометрии 8 класс
Для многих восьмиклассников быстрый доступ с планшета, смартфона или компьютера к онлайн-решению геометрии — не прихоть, а необходимость.С каждым днем все больше домашних заданий, а учебный материал не успевает усвоить. Итак, в 8 классе по геометрии они должны выучить:
- все о четырехугольнике и его свойствах;
- теория подобия треугольников;
- знание круга, его видов и размеров;
- материал о векторах и их практическом применении.
В учебниках также есть раздел с повторением учебного материала за прошедший год.
Зачем нужен ГДЗ класс геометрии 8?
Сайт создан для того, чтобы школьники сократили время на выполнение домашних заданий, сэкономили семейный бюджет на репетитора и начали самостоятельно готовиться к итоговой аттестации 9 класса. Часть материала 8-го класса по геометрии может быть отражена в тестах.
Использование базы данных ответов ресурса совершенно бесплатно, а желаемый ответ на поставленную задачу легко найти в специальном окне с номером задачи. Нажмите на кнопку нужного упражнения и сравните алгоритм своего ответа с лучшим ответом портала.Эту же опцию могут использовать родители, чтобы проверить, правильно ли их ребенок выполнил задания.
Физика (Перышкина)
ГДЗ по физике 8 класс Порышкина 2013 — это все задания для конкретного учебника, собранные в одном месте. Онлайн-сервис с упражнениями из мануала доступен сразу после регистрации на сайте без рекламы и платных услуг! Все ответы публикуются с пояснениями и подробным анализом.
Сборник государственных исследований решебников по физике 8 класса
Физика — важная дисциплина школьного курса.Предмет, имеющий большую практическую ценность в повседневной жизни и на технических специальностях, трудно изучать. Чтобы разобраться в теме, необходимо применить на практике и повторить пройденный материал.
В 8-м классе ученики в течение учебного года:
- они узнают, что конвекция, теплопроводность и излучение являются тепловыми явлениями;
- знакомиться с агрегатными состояниями вещества;
- будет изучать электромагнитные явления и их измерения;
- они поймут, что такое световые явления, познакомятся с их двойственностью.
Для усвоения и откладывания знаний, полученных на уроке физики, потребуется время и практика. Наш сервис поможет в этом.
Если можно просто списать ГДЗ, то объяснить это на уроке не получится. На нашем портале пользователи делятся готовыми решениями для учебника, комментируют их, вместе выбирают лучший ответ и помогают другу разобраться в новом материале.
Онлайн-решатель физики доступен на базе компьютера, планшета или смартфона.Данные уроки можно проводить уже в перерыве или в любой удобный момент, не откладывая до вечера!
Найти нужную страницу тоже просто. Нажмите на номер упражнения и откроется готовый алгоритм решения задачи. После согласования полученного ответа и правильного решения вы можете выбрать лучший ответ, добавить свое решение и повысить свой рейтинг в системе ответов.
Общественные науки
Готовые домашние задания по обществознанию ищите здесь: Государственная Дума по обществознанию для 8 класса (Л.Н. Боголюбов)
Русский язык
ГДЗ по русскому языку 8 класса к учебнику Тростенцова, Ладыжинского, Дейкина 2014 представляет собой полный сборник выполненных заданий по одному из основных предметов 8 класса. Сайт доступен онлайн с любого устройства. Единственный портал с домашними заданиями без платной подписки и рекламы!
Сборник ГДЗ от решебников на русском языке 8 класса
Восьмиклассники продолжают изучать тонкости родного языка.В течение учебного года они будут повторять знания прошлых лет, будут освещены следующие темы:
- Синтаксис простых предложений и словосочетаний.
- Первичные и вторичные участники предложения. Их особенности.
- Познакомятся с одно- и двухчастными, а также сложными предложениями.
- Изучите более глубокие предложения с прямой и косвенной речью.
- Они будут продолжать изучать стили речи и особенности их использования в письменной форме.
Похвально, если подросток разбирается в этих деталях самостоятельно и быстро. Что делать, если усвоить материал не так-то просто? Связаться с репетитором? Лучше остаться с помощью онлайн-помощника каждого ученика!
Вот дети:
- Они смогут сравнить свои ответы на упражнения в учебнике с ответами других пользователей;
- Выберите лучший ответ. Обычно он сопровождается подробным анализом и комментариями;
- Найдите правильный ответ за пару минут с помощью интеллектуальной поисковой системы и самостоятельно разберитесь в упражнениях и правилах, которые остаются непонятными.
Русскоязычная секция для 8 класса также оснащена несколькими вариантами рефератов и изложения по всем темам этого учебного года. В них можно черпать вдохновение. Благодаря порталу каждый родитель сможет контролировать изучение русского языка вместе с ребенком.
Вторая средняя линия трапеции — презентация. Средняя линия трапеции
Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.AK = KS BE = CE KE — средняя линия ABC Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. A BC K N E AH = HB KE = CE NOT — средняя линия ABC A B C K E Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий у трапеции?
Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: ABC, MK — средняя линия Доказательство: Так как по условию MK — средняя линия, то AM = MB = ½ AB, SK = KV = ½ BC, Итак, VM AB VK VS 1 2 V — общий для ABC и MVK, что означает, что ABC и MVK схожи по второму критерию сходства, следовательно, VMK = A, что означает MK AS. Докажите: MK AS, MK = ½ AS MK AS 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, то есть MK = ½ AS.
Решить проблему F R N? А Б
Доказательство: Нарисуем А 1 В 1 А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, BB 1 — средние средние, BA 1 = CA 1, AB 1 = CB 1, т.е. А 1 В 1 — средняя линия. Следовательно, A 1 B 1 AB, следовательно, 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники AOB и A 1 OB 1 подобны в двух углах.Это означает, что их стороны пропорциональны: AO VO AB A1OA1O B1OV1O A1B1A1B1 По свойству средней линии треугольника AB = 2 A 1 B 1, т.е.
Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК — трапеция МР — средняя линия Доказательство: МР AK, МР ВС МР = Доказательство: О Провести прямую ME AK через точку M, доказать, что ME пройдет через R.T.K. ABSK — это трапеция, затем BC AK и, следовательно, BC ME AK Поскольку MR — средняя линия, то AM = MV, KR = CP E Следовательно, MR лежит на ME, что означает MR AK, MR VS. Проведем ВК. Согласно теореме Фалеса, O — это середина VK, что означает, что MO — средняя линия ABK, OP — средняя линия VKM, т. Е. В точке P.
Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Средняя линия (8 класс)
Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника. Определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. то есть: КМ ║ АС КМ = ½ АС A B C K M
Устно решить задачу: A B C K M 7 см Дано: M K — средн. Поиск линии: AC?
Работаем попарно:
Решим задачу: Дано: MN — ср. прямая Найти: P ∆ ABC M N A B C 3 4 3, 5
Работа в парах:
Средняя линия трапеции
Напомним: трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD — стороны
Средняя линия трапеции.Определение: средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. A D B C M N MN — средняя линия трапеции ABCD
Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме. то есть: M N ║BC║A D M N = ½ (ВС + А D) M N A D B C
Устно решить: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?
Устно попарно решить: Дано: AB = 16 см; CD = 18 см; M N = 15 см. Найти: P ABCD =? M N A D B C
Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции 5 см.Найдите основания трапеции, если известно, что нижнее основание в 1,5 раза больше верхнего. Решение: ADBC 5 см Пусть BC = X см, затем AD = 1,5X см BC + AD = 10 см X + 1,5X = 10 X = 4 Итак: BC = 4 см AD = 6 см
СПАСИБО ЗА УРОК !! !
Презентацию разработала Лугвина Наталья Анатольевна Лугвина, учитель математики СОШ № 467 г. Санкт-Петербурга, Колпинский район
По теме: методические разработки, презентации и заметки
Урок обобщения и закрепления знания по теме «Средняя линия треугольника.Средняя линия трапеции »в 8 классе с использованием ИКТ ….
Рабочая тетрадь — это индивидуальное творческое задание ученика, предполагающее самостоятельную работу с текстом по теме« Трапеция. Средняя линия трапеции », применение знаний при решении задач. …
резюме других презентаций« Построение правильных многоугольников »-? = 60?.? 180. Геометрия.? =. П. П — 2. Работа выполнена учителем математики МОУ «Гимназия №11» Лисицыной Е.Ф.
«Теорема Фалеса» — теорема Фалеса.В честь Фалеса названа геометрическая теорема. Астрономия. Проведем прямую ЕF через точку В2, параллельную прямой А1А3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца в небесной сфере. Презентация по геометрии ученицы 9 «А» класса Полина Сорогина. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма A1A2 = FB2, A2A3 = B2E. Фалес широко известен как геометр. А поскольку A1A2 = A2A3, то FB2 = B2E.
«Разложение вектора на два неколлинеарных» — Пусть p коллинеарно b.Доказательство: разложение вектора на два неколлинеарных вектора. Доказательство. Пусть a и b неколлинеарные векторы. Лемма: если векторы a и b коллинеарны и a? 0, то существует такой номер k, что b = ka. Докажем, что любой вектор p можно разложить на векторы a и b. Уровень геометрии 9. Тогда p = yb, где y — некоторое число.
«Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Строим правильный пятиугольник 1 способ. МОУ гимназия №56 г. Томск-2007.Правильные многоугольники.
«Симметрия фигур» — Линия а называется осью симметрии фигуры. D. Одна форма получается из другой преобразованием. Оглавление. Обратное преобразование движения — это тоже движение. А1. Выполнил: Пантюков Е.А. Существует много разных типов симметрии. M1. Преобразование форм.
«Симметрия относительно прямой» — фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Симметрия в природе. Савченко Миша, 9Б класс. Угол.Кто изображен на исходном фото? Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Постройте отрезок A1B1 симметрично отрезку AB относительно прямой. Сколько осей симметрии у каждой фигуры? Прямоугольник.
«Урок по трапеции» — В прямоугольной трапеции с основанием 5 см. и 17см., а меньшая сторона 10см. Учитель подводит итог, задавая вопросы: Кто набрал 5, 4, 3 балла? В каждом случае сформулируйте доказанную теорему. Решение проблемы.Как рассчитать площадь трапеции? Какие элементы плоских форм используются в формулах площади?
«Задачи для теоремы Пифагора» — №21 Находка: Х. №18 Находка: Х. №27 Находка: X. Задачи по готовым чертежам («Теорема Пифагора»). №23 Находка: Х. №25 Находка: Х. №26 Находка: Х. №13 Находка: Х. №20 Находка: Х. №19 Находка: Х. №14 Находка: Х. Вы выполнили все предложенные задачи. №29 Находка: Х. №28 Находка: Х. №30 Находка: Х. №22 Находка: Х.
Теорема Фалеса — Фалес широко известен как геометр.Астрономия. Милетский материалист. Проведем прямую ЕF через точку В2, параллельную прямой А1А3. Равенство треугольников влечет равенство сторон В1В2 = В2В3. Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца в небесной сфере. Треугольники B2B1F и B2B1E равны во втором знаке равенства треугольников.
«Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Решение: Устная работа: Ответы на задания по рисункам: Проверка домашнего задания.Тема урока: Теорема о синусах. Теорема синуса:
«Урок теоремы Пифагора» — Определите тип треугольника: познакомьтесь с теоремой. Доказательство теоремы. Разогреть. Теорема Пифагора. И вы найдете лестницу длиной 125 футов. План урока: Историческая справка. Показ картинок. Решение простейших задач. Рассчитайте высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Определяем вид четырехугольника КМНП.
«Теорема Пифагора 8 класс» — ЦИФРЫ.Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник a, b, катет c — гипотенуза. Высота. Доказательство Бхаскари. Открытия пифагорейцев в математике. Дано: прямоугольный треугольник, a, b — катеты, c — гипотенуза. Докажите: c2 = a2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.
Тема «Средняя линия трапеции» — одна из важных тем курса геометрии. Эта фигура довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные по этой теме, часто встречаются на выпускных экзаменах и аттестационных работах.Знания по этой теме также могут пригодиться при обучении в средних и высших учебных заведениях.
Хотя в теме заявлена фигура трапеция, но рассмотрение данной темы может проходить при изучении темы «Векторы» и «Использование векторов при решении задач». Вы можете понять это, посмотрев слайд презентации.
Здесь автор определяет среднюю линию как отрезок линии, соединяющий середины сторон. Причем здесь также отмечается, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме.Именно в ходе доказательства этого утверждения вам пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов согласно рисунку, который показан в качестве иллюстрации условия, получаем равенства. У этих равенств одна и та же левая сторона, и это средняя линия трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, мы получаем большое выражение в правой части равенства.
слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)
Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях получается сложение противоположных векторов, в результате чего получается ноль.Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащих основания. Разделив это равенство на 2, получим, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основания. Теперь сравниваются векторы. Оказывается, все эти векторы направлены в одну сторону. Это означает, что знаки векторов можно смело опускать. А потом оказывается, что самая средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
Презентация состоит из одного слайда, содержащего много информации. Здесь дается определение средней линии трапеции и указывается ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Итак, здесь теорема доказывается с использованием знания концепции векторов и действий на них.
Преподаватель может дополнить эту презентацию своими примерами и заданиями, но все, что требуется для среднего уровня знаний по этому предмету, опубликовано здесь.Более того, таким образом автор оставил учителю возможность пофантазировать, доработать то, что он сам хотел бы, чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке. Не забывайте о настроении на само занятие. Тогда с помощью данной презентации вы точно сможете добиться желаемого результата.
Изменены следствия теоремы. Теоремы Чевы и Менелы
Класс: 9
Задачи урока:
- обобщать, расширять и систематизировать знания и умения студентов; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивает логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у студентов уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в команде.
Цели урока:
- Образовательные: повторяют теоремы Менелая и Чевы; применяйте их при решении проблем.
- Развивающие: учат выдвигать гипотезы и умело отстаивать свое мнение доказательствами; проверьте умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Образовательные: повысить интерес к предмету и подготовить к более сложным задачам.
Тип урока: урок по обобщению и систематизации знаний.
Оборудование: карточки для коллективной работы на уроке по данной теме, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, компьютер, мультимедийный проектор, экран.
На занятиях
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель разъясняет тему и цель урока.
Этап II. Обновление базовых знаний и навыков (10 мин.)
Учитель: На уроке мы вспоминаем теоремы Менелая и Чевы, чтобы успешно переходить к решению задач.Давайте вместе с вами посмотрим на экран. Для какой теоремы дана эта цифра? (Теорема Менелая). Постарайтесь четко сформулировать теорему.
Рисунок 1
Пусть точка A 1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка C 1 — на стороне AB, точка B 1 — на продолжении стороны AC за точку C. Точки A 1, B 1 и C 1 лежат на одной прямой, если и только если равенство выполняется
Учитель: Давайте вместе посмотрим на следующий рисунок. Сформулируйте теорему для этого рисунка.
Изображение 2Линия AD пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника BMC.
По теореме Менелая
Линия MB пересекает две стороны и является продолжением третьей стороны треугольника ADC.
По теореме Менелая
Учитель: Какой теореме соответствует цифра? (Теорема Чевы). Сформулируйте теорему.
Рисунок 3Пусть в треугольнике ABC точка A 1 лежит на стороне BC, точка B 1 — на стороне AC, точка C 1 — на стороне AB.Отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство
III этап. Решаю задачи. (22 мин.)
Класс делится на 3 команды, каждая из которых получает карточку с двумя разными задачами. Дается время на решение, затем на экране отображается … По готовым чертежам задач представители команд поочередно объясняют свое решение. Каждое объяснение сопровождается обсуждением, ответами на вопросы и проверкой правильности решения на экране.В обсуждении принимают участие все члены команды. Чем активнее команда, тем выше ее оценивают при подведении итогов.
Карточка 1.
1. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны AC за точку A берется точка M так, что MA = AC. Прямая MN пересекает сторону AB в точке F. Найдите отношение
2. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 4По условию задачи MA = AC, NC = 3BN.Пусть MA = AC = b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника ABC и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Рисунок 5Пусть AM 1, BM 2, CM 3 — медианы треугольника ABC. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что
Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки AM 1, BM 2 и CM 3 пересекаются в одной точке.
У нас:
Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Карточка 2.
1. На стороне PQ треугольника PQR берется точка N, а на стороне PR — точка L, и NQ = LR. Пересечение отрезков QL и NR делит QL в соотношении m: n, считая от точки Q. Найдите
2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 6По условию NQ = LR, Пусть NA = LR = a, QF = km, LF = kn.Линия NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Фиг.7Покажем, что
Тогда по теореме Шевы (обратной) AL 1, BL 2, CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника
Почленно умножая полученные равенства, получаем
Для биссектрис треугольника выполняется равенство Чевы, следовательно, они пересекаются в одной точке.
Карточка 3.
1. В треугольнике ABC AD — это медиана, точка O — это середина медианы. Прямой BO пересекает сторону AC в точке K. В каком соотношении точка K делит AC, считая от точки A?
2. Докажите, что если окружность вписана в треугольник, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение 1
Рисунок 8Пусть BD = DC = a, AO = OD = m.Линия BK пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АЦП.
По теореме Менелая
Ответ:
Проба 2
Фиг.9Пусть A 1, B 1 и C 1 — точки касания вписанной окружности треугольника ABC. Чтобы доказать, что отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы:
Используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.
Равенство Чевы выполняется, что означает, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Этап IV. Решение задач (самостоятельная работа) (8 мин.)
Учитель: Работа команд окончена и теперь мы приступим к самостоятельной работе над индивидуальными карточками по 2 вариантам.
Материалы к уроку для самостоятельной работы студентов
Вариант 1. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB берется точка K, деля эта сторона в соотношении AK: BK = 2: 3, а на стороне AC — точка. L, деля AC в соотношении AL: LC = 5: 3.Точка Q пересечения прямых SK и BL удалена от прямой AB на некоторое расстояние. Найдите длину стороны AB. (Ответ: 4.)
Вариант 2. Точка K берется на стороне переменного тока в треугольнике ABC. AK = 1, KC = 3. Со стороны AB берется точка L. AL: LВ = 2: 3, Q — точка пересечения прямых BK и CL. Найти длину высоты треугольника ABC, выпавшего из вершины B. (ответ: 1.5.)
Работы переданы учителю для сверки.
Этап V. Подведение итогов (2 мин.)
Ошибки проанализированы, оригинальные ответы и комментарии отмечены. Подведены итоги работы каждой команды и выставлены оценки.
Этап VI. Домашнее задание (1 мин.)
Домашнее задание состоит из задач № 11, 12 с. 289-290, № 10, с. 301.
Заключительное слово преподавателя (1 мин.).
Сегодня вы услышали друг друга по математике со стороны и оценили свои способности. В будущем мы будем применять такие обсуждения, чтобы лучше понять предмет.Аргументы на уроке дружили с фактами, а теория — с практикой. Спасибо вам всем.
Литература:
- Ткачук В.В. Математика для поступающего. — М .: МЦНМО, 2005. .
А.В. Шевкин
№ ФМС 2007
Теоремы Чевы и Менелая на экзамене
Подробная статья «Вокруг теорем Шевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ.Он адресован учителям математики и старшеклассникам, которые заинтересованы в хороших знаниях математики. Вы можете вернуться к нему, если хотите разобраться в проблеме более подробно. В этой заметке мы предоставим краткую информацию из указанной статьи и проанализируем решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.
Теорема Чевы
Дан треугольник ABC и на его сторонах AB , BC и AC отмечены точки C 1, A 1 и B 1 соответственно (рис.1).
a) Если сегменты AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, то
б) Если равенство (1) верно, то отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке.
На рисунке 1 показан случай, когда отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы также верна в случае внешней точки, когда одна из точек НО 1, B 1 или ИЗ 1 принадлежит стороне треугольника, а две другие принадлежат продолжениям треугольника. стороны треугольника.В этом случае точка пересечения отрезков AA 1, BB 1 и CC 1 лежит вне треугольника (рис. 2).
Как вспомнить равноправие Чевы?
Обратим внимание на технику запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении пересечения вершин треугольника ABC , начиная с точки A … Из точки A идем в точку B , встречаем точку ОТ 1, записываем дробь
… Далее из точки IN идем в точку ОТ , встречаем точку НО 1, записываем дробь
… Наконец, из точки ИЗ переходим в точку НО , встречаем точку IN 1, записываем дробь
… В случае внешней точка, порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» сегмента находятся за пределами своих сегментов.В таких случаях говорят, что точка разделяет сегмент внешне.Обратите внимание, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называется cheviana .
Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Для доказательства теоремы Чевы необходимо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже методов, а также доказать утверждение б).Доказательство утверждения б) проводится после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки аналогичны.
Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с использованием теоремы о пропорциональном отрезке
Пусть три чевиана A A 1, B B 1 и C C 1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC .
Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) на отношения отрезков, лежащих на одной прямой.
Через точку IN проведите прямую, параллельную шевиане SS . Прямой AA 1 пересекает построенную линию в точке M , и прямая, проходящая через точку C и параллель AA 1, — в точке T … Через точки НО и ОТ проведем прямые, параллельные шевианам BB . Они пересекут линию VM в точках N и R соответственно (рис.3).
P по теореме о пропорциональных отрезках, имеем:
, г.
и
.Тогда равенства
.
В параллелограммах ZСTM и ZCRB отрезки TM , CZ и ВR равны противоположным сторонам параллелограмма. Следовательно,
и верно равенство.
При доказательстве утверждения б) мы используем следующее утверждение. Рис.3
Лемма 1. Если точки ОТ 1 и ОТ 2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) способом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.
Докажем лемму для случая, когда точки ИЗ 1 и ИЗ 2 делят отрезок AB внутренне одинаково:
.Доказательства. Из равенства
следуют равенства
и
… Последнее из них выполняется только при условии, что ИЗ 1 B и ИЗ 2 B равны, то есть при условии, что точки ИЗ 1 и ИЗ 2 совпадают.Доказательство леммы для случая, когда точки ОТ 1 и ОТ 2 делят отрезок AB внешне, проводится аналогично.
Доказательство утверждения б) теоремы Чевы
Пусть теперь выполняется равенство (1). Докажем, что отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке.
Пусть шевианы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке Z , проведите отрезок через эту точку CC 2 ( ОТ 2 лежит на отрезке AB ).Тогда на основании утверждения а) получаем правильное равенство
. (2)
И Сравнивая равенства (1) и (2), мы заключаем, что
, то есть точки ОТ 1 и ОТ 2 делят сегмент AB в том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки ИЗ 1 и ИЗ 2 совпадают. Это означает, что сегменты AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке, как требуется.Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит от того, в какой точке и в каком направлении пересекаются вершины треугольника.
Упражнение 1. Найдите длину сегмента НО N на рисунке 4, где показаны длины других сегментов.
Ответ. 8.
Задача 2. Chevians AM , BN , CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC … Найдите отношение
, если
,
… Фиг.4Ответ.
.P Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи. Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) на отношения отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Пусть прямые A A 1, B B 1, C C 1 пересекаются в точке O внутри треугольника ABC (рис.5). Через верхний треугольник ОТ ABC проведите прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми линиями A A 1, B B 1 обозначим соответственно A 2, В 2.
Из подобия двух пар треугольников CB 2 B 1 и ABB 1, BAA 1 и CA 2 A 1, рис.пять
имеем равенства
, г.
. (3)Из подобия треугольников BC 1 O и B 2 CO , A ОТ 1 O и A 2 CO имеем равенства
, из которых следует, что. (4)
P Умножая равенства (3) и (4), получаем равенство (1).
Утверждение а) теоремы Чевы доказано.
Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с использованием площадей для внутренней точки.Это изложено в книге А.Г. Мякишева и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде задач 3 и 4 .
Задача 3. Соотношение площадей двух треугольников с общей вершиной и оснований, лежащих на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.
Задача 4. Докажите, что если
, то
и
… Рис. 6Пусть отрезки AA 1, BB 1 и CC 1 пересекаются в точке Z (рис.6), затем
, г.
. (5)И из равенств (5) и второго оператора присваивания 4 следует, что
или
… Аналогично получаем, что
и
… Умножая последние три равенства, получаем:,
, т.е. равенство (1) выполняется, как и требуется.
Утверждение а) теоремы Чевы доказано.
Задача 15. Пусть Чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разделят его на 6 треугольников, площади которых равны S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6 (рис.7). Докажи это. Рис.7
Задача 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади остальных треугольников показаны на рисунке 8).
Ответ. 15.
Задача 7. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника НО NO равна 10 и
,
(рис.9).Ответ. 30.
Задача 8. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника НО BC равна 88 и,
(рис.9).Раствор R. Так как, то обозначим
,
… как , то обозначим
,
… Из теоремы Чевы следует, что
, а затем
… Если
, то
(рис. 10). У нас есть три неизвестных величины ( x , y и S ), поэтому, чтобы найти S , составим три уравнения.Как
, тогда
= 88. Начиная с
, затем
, откуда
… Как
, затем
.Итак,
откуда
… Рис.10Назначение 9 . В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и B C .
,
. P AL и CK … Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC .Ответ. 1,75.
T Теорема Менелая
Дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CB отмечены точки B 1 и A 1 соответственно, а на продолжении стороны AB точка обозначена C 1 (рис. 11).
а) Если точки НО 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой, то
.(6)
б) Если выполняется равенство (7), то точки НО 1, B 1 и FROM 1 коллинеарны. Рис.11
Как помнить о равенстве Менелая?
Способ запоминания равенства (6) такой же, как и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении пересечения вершин треугольника ABC — сверху вниз, проходя через точки разделения (внутренние или внешние).
Задача 10. Докажите, что запись равенства (6) из любой вершины треугольника в любом направлении дает тот же результат.
Чтобы доказать теорему Менелая, необходимо доказать утверждение a) любым из предложенных ниже методов, а также доказать утверждение b). Доказательство утверждения б) проводится после первого способа доказательства утверждения а).
Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональном отрезке
I путь. а) Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения длин отрезков в равенстве (6) на отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой.
Пусть точки НО 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l , параллельную прямой НО 1 B 1, она пересекает прямую AB в точке M (рис.12).
R
есть. 12По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и
.Тогда равенства верны
.Доказательство утверждения б) теоремы Менелая
Теперь пусть равенство (6) выполнено, докажем, что точки НО 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Пусть прямые AB и НО 1 B 1 пересекаются в точке ОТ 2 (рис.13).
Поскольку точки НО 1 B 1 и ИЗ 2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая
. (7)Сравнивая равенства (6) и (7), получаем
, откуда следует, что равенства, г.
, г.
.Последнее равенство верно только при условии
, т.е. если точки ИЗ 1 и ИЗ 2 совпадают.Утверждение б) теоремы Менелая доказано.Рис.13
Доказательство утверждения а) с использованием подобия треугольников
Идея доказательства состоит в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) на отношения длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Пусть точки НО 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Из точек A , B и C проведите перпендикуляры AA 0, B B 0 и SS 0 к этой прямой (рис.14).
R
есть. четырнадцатьИз подобия трех пар треугольников AA 0 B 1 и CC 0 B 1, CC 0 A 1 и BB 0 A 1, C 1 B 0 B и C 1 A 0 A (под двумя углами) имеем правильные равенства
, г.
, г.
,умножая их, получаем:
.
Утверждение а) теоремы Менелая доказано.
Доказательство утверждения а) с использованием областей
Идея доказательства состоит в замене отношения длин отрезков из равенства (7) на отношение площадей треугольников.
Пусть точки НО 1, B 1 и ИЗ 1 лежат на одной прямой. Соедините точки C и C одну. Обозначим площади треугольников S 1, S 2, S 3, S 4, S 5 (рис.15).
Тогда равенства
, г.
, г.
. (8)Умножая равенства (8), получаем:
Утверждение а) теоремы Менелая доказано.
R
есть. пятнадцатьТочно так же, как теорема Чевы остается в силе, если точка пересечения хевианов находится вне треугольника, теорема Менелая остается в силе, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.
Доказательство утверждения а) для внешних точек
P секущая устье пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. Е. Пересекает продолжения сторон AB , BC и AC в точках C 1, A 1 и B 1 соответственно, и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).
По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и.
Тогда равенства верны
Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис.16
Обратите внимание, что приведенное выше доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну — во внешней.
Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично приведенному выше доказательству.
Задания 11. В треугольнике ABC точек НО 1, IN 1 лежат соответственно на сторонах Sun и A ОТ . P — точка пересечения отрезков AA 1 и BB 1 .
, г.
… Найдите отношение
.Решение. Обозначим
,
, г.
, г.
(рис.17). По теореме Менелая для треугольника BC IN 1 и секущей PA 1 запишем правильное равенство:,
откуда следует, что
… Рис.17
Ответ. .
Задания 12 (МГУ, заочная подготовка). В треугольнике ABC , площадь 6, сбоку AB точка взята TO , разделяет эту сторону относительно
и на стороне AS — точка L , деление AS во взаимосвязи
… Точка P пересечений прямых SC и IN L удален от прямой AB на расстоянии 1.5. Найдите длину стороны AB.Решение. От точек R и ОТ опускаем перпендикуляры PR и CM на прямой AB … Обозначим
,
, г.
, г.
(рис.18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL мы записываем правильное равенство:
, откуда получаем
,
… Рис восемнадцатьИз подобия треугольников TO MC и TO RP (под двумя углами) получаем, что
, откуда следует, что
.Теперь, зная длину высоты, удерживаемой на стороне AB треугольника ABC , и площадь этого треугольника, мы вычисляем длину стороны:
.Ответ. 4.
Задания 13. Три круга с центрами НО , IN , ОТ , , чьи радиусы связаны как
, касаются друг друга снаружи в точках X , Y , Z , как показано на рисунке 19.Отрезки AX и BY пересекаются в точке O . В каком отношении, считая от точки B , участок CZ делит отрезок НА ?Решение. Обозначим
,
, г.
(рис.19). Как и
, тогда, согласно утверждению b) теоремы Чевы, отрезки НО , X , BY и ОТ , Z пересекаются в одной точке — точке O … Затем сегмент CZ делит сегмент BY в соотношении
… Давайте найдем это отношение. Рис девятнадцатьПо теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем:
, откуда следует, что
.Ответ. .
Задание 14 (ЕГЭ-2016).
Точки IN 1 и ОТ AS и AB треугольник ABC , кроме того AB 1: B 1 ОТ =
= AS 1: ИЗ 1 B … Прямой BB 1 и SS 1 пересекаются в точке О.а) Докажите, что линия АО пополам сбоку ВС.
AB 1 OC 1 на площадь треугольника ABC , если известно, что AB 1: B 1 ОТ = 1: 4.
Решение. а) Пусть прямая АО пересекает сторону BC в точке A 1 (рис.20). По теореме Шевы имеем:
. (9)
As AB 1: B 1 ИЗ = AS 1: ИЗ 1 B , то равенство (9) означает, что
, то есть CA 1 = НО 1 B , как требуется. Рис двадцатьб) Пусть площадь треугольника AB 1 O равно S . Как AB 1: B 1 ИЗ CB 1 O равна 4 S , а площадь треугольника AOC равно 5 S … Тогда площадь треугольника AOB также равно 5 S , поскольку треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO , а их вершины B и C равноудалены от прямой AO … При этом площадь треугольника AOC 1 равна S , as AS 1: ИЗ 1 B = 1: 4. Тогда площадь треугольника ABB 1 равна 6 S … Поскольку AB 1: B 1 ОТ = 1: 4, то площадь треугольника CB 1 O равна 24 S , а площадь треугольника ABC равно 30 S … Теперь находим отношение площадей четырехугольника AB 1 OC 1 (2 S ) на площадь треугольника ABC (30 S ), он равен 1:15.
Ответ. 1:15.
Задание 15 (ЕГЭ-2016).
Точки IN 1 и FROM 1 лежат по бокам соответственно AS и AB треугольник ABC , кроме того AB 1: B 1 FROM =
= AS 1: ИЗ 1 B … Прямой BB 1 и SS 1 пересекаются в точке О.а) Докажите, что линия АО пополам сбоку вс.
б) Найдите отношение площади четырехугольника AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что AB 1: B 1 ОТ = 1: 3.
Ответ. 1:10.
Z adania 1 6 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка ОТ … Биссектриса BL ABC с фундаментом Sun BLD с фундаментом BD .
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cos
ABC DL, т.е. треугольник BD точка взята ИЗ … Биссектриса BL равнобедренный треугольник ABC с основанием Солнце является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с фундаментом BD .а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что cos ABC =.В каком отношении прямая DL разделяет сторону AB ?
Ответ. 4:21.
Литература
1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечательные точки и линии треугольника. М .: Математика, 2006, № 17.
.2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. (Серия «Библиотека« Математическое образование »»). М .: МЦНМО, 2002. — 32 с.
3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику для 8-х классов: Учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Кадомцев и др. — М .: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.
4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая. М .: Квант, 1990, № 3. С. 56–59.
5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М .: Квант, 1976, № 11. С. 22–30.
6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии треугольника. М .: Математика, 2006, № 1.
.7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.
8.Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А.Волькевич, И. Высоцкий и другие; изд. И.В. Ященко. — М .: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.
— Что общего между теоремой Менелая и лекарствами?
— О них все знают, но никто не говорит.
Типичный разговор со студентомЭто крутая теорема, которая поможет вам в тот момент, когда кажется, что ничего вам не поможет. На уроке мы сформулируем саму теорему, рассмотрим несколько вариантов ее использования, а на десерт вас ждет серьезное домашнее задание… Идти!
Во-первых, формулировка. Пожалуй, я приведу не самую «красивую» версию теоремы, но наиболее понятную и удобную.
Теорема Менелая. Рассмотрим произвольный треугольник $ ABC $ и некоторую прямую $ l $, которая пересекает две стороны нашего треугольника внутри и одну на его продолжении. Обозначим точки пересечения $ M $, $ N $ и $ K $:
Треугольник $ ABC $ и секанс $ l $
Тогда верно следующее соотношение:
\ [\ frac (AM) (MB) \ cdot \ frac (BN) (NC) \ cdot \ frac (CK) (KA) = 1 \]
Хочу отметить: не надо втискивать буквы в эту злую формулу! Теперь я расскажу вам алгоритм, по которому вы всегда можете восстановить все три дроби на лету.Даже на экзамене в стрессе. Даже если в 3 часа ночи сидишь на геометрии и вообще ничего не понимаешь. 🙂
Схема простая:
- Рисуем треугольник и секущую. Например, как показано в теореме. Обозначим вершины и точки несколькими буквами. Это может быть произвольный треугольник $ ABC $ и прямая с точками $ M $, $ N $, $ K $ или что-то другое — это не точка.
- Накладываем ручку (карандаш, маркер, гусиное перо) в любую вершину треугольника и начинаем обход сторон этого треугольника с обязательным заходом в точки пересечения с прямой … Например, если сначала перейти от точки $ A $ к точке $ B $, то мы получим сегменты: $ AM $ и $ MB $, затем $ BN $ и $ NC $, а затем (внимание!) $ CK $ и $ KA $ … Поскольку точка $ K $ лежит на продолжении стороны $ AC $, то при переходе от $ C $ к $ A $ придется временно покинуть треугольник.
- А теперь просто делим соседние сегменты друг на друга ровно в том порядке, в котором мы их получили при обходе: $ AM / MB $, $ BN / NC $, $ CK / KA $ — получаем три дроби, произведение что даст нам один…
На чертеже это будет выглядеть так:
Простая схема, позволяющая восстановить формулу товарища МенелаяИ еще пара замечаний. Точнее, это даже не комментарии, а ответы на типовые вопросы:
- Что произойдет, если прямая $ l $ пройдет через вершину треугольника? Ответ — ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.
- Что произойдет, если вы выберете для старта другую вершину или пойдете другим путем? Ответ: будет так же.Последовательность дробей просто изменится.
Думаю, с формулировкой разобрались. Посмотрим, как вся эта игра используется для решения сложных геометрических задач.
Зачем вам все это?
Предупреждение. Чрезмерное применение теоремы Менелая для решения планиметрических задач может нанести непоправимый вред вашей психике, поскольку эта теорема значительно ускоряет вычисления и заставляет вспомнить другие важные факты из школьного курса геометрии.
Доказательства
Не буду это доказывать. 🙂
Хорошо, я докажу:
Теперь осталось сравнить два полученных значения для сегмента $ CT $:
\ [\ frac (AM \ cdot BN \ cdot CK) (BM \ cdot CN \ cdot AK) = 1; \]
\ [\ frac (AM) (BM) \ cdot \ frac (BN) (CN) \ cdot \ frac (CK) (AK) = 1; \]
Вот и все. Осталось только «прочесать» эту формулу, правильно разместив буквы внутри отрезков — и формула готова.:)
Математика — 10 класс Мендель Виктор Васильевич, декан факультета естествознания, математики и информационных технологий Дальневосточного государственного экономического университета ТЕОРЕМЫ ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ Особое место в планиметрии занимают две замечательные теоремы: теорема Чевы и теорема Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии в средней школе, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто немного больше интересуется математикой, чем это возможно в школьной программе.Чем интересны эти теоремы? Во-первых, отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода: — один основан на определении базовой конструкции (например: треугольник — круг; треугольник — секущая; треугольник — три прямые. проходящий через его вершины и пересекающийся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т. д.), а второй — метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).Итак, теоремы Менелая и Шевы относятся к числу наиболее распространенных построений: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересекаются некоторой прямой (секущей), вторая имеет дело с треугольником и тремя линиями, проходящими через через его вершины, пересекающиеся в одной точке. Теорема Менелая Эта теорема, соблюдая (вместе с обратными) соотношениями, показывает отрезки, схему, соединяющую вершины треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.На рисунках показаны два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором — продолжение всех трех сторон треугольника. Теорема 1. (Менелай). Пусть ABC пересекает прямая, которая не параллельна стороне AB и пересекает две ее стороны AC и BC соответственно в точках B1 и A1, а прямая AB в точке C1, тогда AB1 CA1 BC1 1. B1C A1B C1 A Теорема 2.(обратная теореме Менелая). Пусть в треугольнике ABC точки A1, B1, C1 принадлежат прямым BC, AC, AB соответственно, тогда если AB1 CA1 BC1 1 B1C A1B C1 A, то точки A1, B1, C1 лежать на одной прямой. Доказательство первой теоремы можно провести следующим образом: перпендикуляры из всех вершин треугольника опускаются на секущую. В результате получились три пары одинаковых прямоугольных треугольников. Соотношения отрезков, фигурирующие в формулировке теоремы, заменяются соотношениями перпендикуляров, соответствующих им по подобию.Получается, что каждый отрезок — перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих соотношений будет равно единице. Обратная теорема доказывается от противного. Предполагается, что в условиях теоремы 2 точки A1, B1, C1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая A1B1 пересекает сторону AB в точке C2, отличной от точки C1. В этом случае в силу теоремы 1 для точек A1, B1, C2 будет выполнено то же соотношение, что и для точек A1, B1, C1.Отсюда следует, что точки C1 и C2 будут делить отрезок AB в одинаковом соотношении. Тогда эти точки совпадут — мы получили противоречие. Рассмотрим примеры приложений теоремы Менелая. Пример 1. Докажите, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в соотношении 2: 1, считая от вершины. Решение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABMb и прямой McM (C): AM c BM M bC 1. M c B MM b CA Первая дробь в этом произведении, очевидно, равна 1, а третье второе отношение равно 1.Следовательно, 2 2: 1, как и положено. Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B1, так что точка C является серединой отрезка AB1. Этот секанс делит сторону AB пополам. Найдите, в каком отношении он разделяет сторону BC? Решение. Запишем для треугольника и секущую произведение трех отношений из теоремы Менелая: AB1 CA1 BC1 B 1. B1C A1B C1 A Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье — 1, 2, поэтому второе отношение равно 2, т.е.е. То есть секущая делит сторону BC в соотношении 2: 1. Мы встретимся со следующим примером применения теоремы Менелая, когда рассмотрим доказательство теоремы Шевы. Теорема Чевы Большинство замечательных точек треугольника можно получить с помощью следующей процедуры. Пусть существует какое-то правило, по которому мы можем выбрать некоторую точку A1 на стороне BC (или ее продолжении) треугольника ABC (например, выбрать середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B1, C1 на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середины сторон).Если правило выбора выполнено успешно, то прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке) . Я хотел бы иметь какой-то общий метод, который позволяет по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекаются ли соответствующие тройки прямых в одной точке или нет. Универсальное условие, которое «закрыло» эту проблему, было найдено в 1678 году итальянским инженером Джованни Чева.Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах (или их продолжениях), называются шевианами, если они пересекаются в одной точке. Есть два варианта расположения чевианов. В одном варианте осуществления точка пересечения является внутренней, а концы шевианов лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного шевиана лежит сбоку, а два других имеют концы на продолжениях сторон (см. Рисунки).Теорема 3. (Прямая теорема Шевы) В произвольном треугольнике ABC на сторонах BC, CA, AB или их продолжениях выбираются точки A1, B1, C1 соответственно так, что прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в некоторой общей точке. точка, то BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1. Доказательство: существует несколько оригинальных доказательств теоремы Шевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Впервые запишем связь теоремы Менелая для треугольника ABB1 и секущей CC1 (обозначим точку пересечения хевианов через Z): AC1 BZ B1C 1, C1B ZB1 CA и второй раз для треугольника B1BC и секущая AA1: B1Z BA1 CA 1.ZB A1C AB1 Умножая эти два соотношения и делая необходимые сокращения, получаем соотношение, содержащееся в формулировке теоремы. Теорема 4. (обратная теорема Чевы). Если для точек A1, B1 и C1, выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжений, выполняется условие Чева: BA1 CB1 AC1 1 CA1 AB1 BC1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Доказательство этой теоремы проводится от противного, как и доказательство теоремы Менелая.Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы. Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Решение. Рассмотрим отношение AC1 BA1 CB1 C1B A1C B1 A для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе есть равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, соотношение Чевы выполняется, следовательно, по обратной теореме медианы пересекаются в одной точке.Задания для самостоятельного решения Предлагаемые здесь задания — это тест №1 для учеников 9 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию о себе: 1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий, 9 класс, математический) 2. Почтовый индекс, адрес проживания, e-mail (если есть), телефон ( дом или мобильный) 3. Данные о школе (например: МБОУ №1, Бикин) 4. Фамилия, имя учителя математики (например: учитель математики Петрова М.И.) Рекомендуется решить не менее четырех задач.М 9.1.1. Может ли секущая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длины: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут идти в другом порядке. M 9.1.2. Могут ли внутренние шевианы треугольника делить его стороны на отрезки: а) 3, 3, 5, 7,10, 14; в) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Если такие варианты возможны, приведите примеры. Сегменты могут идти в другом порядке. Подсказка: придумывая примеры, не забывайте проверять неравенство треугольника.M 9.1.3. Используя обратную теорему, докажите, что: а) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; б) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, в которых эти стороны касаются вписанной окружности, пересекаются в одной точке. Направления: а) запомните, в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону; б) использовать то свойство, что отрезки двух касательных, проведенных из одной точки в определенную окружность, равны. М 9.1.4. Завершите доказательство теоремы Менелая, начатое в первой части статьи.M 9.1.5. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, используя обратную теорему Чевы. М 9.1.6. Докажите теорему Симпсона: из произвольной точки M, взятой на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, перпендикуляры опускаются на стороны или продолжения сторон треугольника, докажите, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. Подсказка: используйте обратную теорему Менелая. Попробуйте выразить длину отрезков линии, используемых во взаимосвязях, через длины перпендикуляров, проведенных к их точке M.Также полезно запомнить свойства углов вписанного четырехугольника.
В курсе геометрии есть теоремы, которые в школе недостаточно подробно изучаются, но которые могут быть полезны при решении самых сложных задач ОГЭ и ЕГЭ. К ним относится, например, теорема Менелая. Традиционно ее изучают в классах с углубленным изучением математики в 8-м классе, а в обычную учебную программу (по учебнику Атанасяна) теорема Менелая входит в учебники 10-11 классов.
Между тем, результат изучения интернет-ресурсов, где упоминается теорема Менелая, показывает, что обычно она формулируется не полностью, а потому неточно, и не приводятся все случаи ее использования, а также доказательство обратной теоремы. Цель этой статьи — понять, что такое теорема Менелая, как и почему она используется, а также поделиться методикой преподавания этой теоремы в индивидуальном порядке со студентами.
Рассмотрим типичную проблему (Задание № 26, ОГЭ), встречающуюся на экзаменах в различных вариантах, которые различаются только числами в условии.
Само решение проблемы несложное — вы можете ознакомиться с ним ниже. В этой статье нас в основном интересует немного другой момент, который часто опускается, понимается как самоочевидный, как очевидный. Но очевидное — это то, что можно доказать. И это можно доказать разными способами — обычно это доказывают исключительно с помощью подобия, — но это можно сделать и с помощью теоремы Менелая.
Из условия следует, что, поскольку углы у нижнего основания трапеции в сумме составляют 90 °, то, если удлинить стороны, получится прямоугольный треугольник… Далее из полученной точки пересечения продолжений боковых сторон проводится отрезок, проходящий через средние точки оснований. Почему этот отрезок проходит через все эти три точки? Обычно в найденных в Интернете решениях проблемы об этом не говорится ни слова. Нет даже ссылки на теорему о четырех точках трапеции, не говоря уже о доказательстве этого утверждения. Между тем, это можно доказать с помощью теоремы Менелая, которая является условием того, что три точки принадлежат одной прямой.Формулировки теоремы Менелая
Пора сформулировать теорему. Следует отметить, что в разных учебниках и учебных пособиях встречаются довольно разные его формулировки, хотя суть остается неизменной. В учебнике Атанасяна и соавт. Для 10-11 классов дана следующая формулировка теоремы Менелая, назовем ее «вектор»:В учебнике «Геометрия 10-11 классы» Александрова и др., А также в учебнике тех же авторов. «Геометрия.8-й класс «, дается несколько другая формулировка теоремы Менелая, и она одинакова для 10-11 и 8-го классов:
Здесь нужно отметить три момента.
Примечание 1. На экзаменах нет задач, которые необходимо сдать. решаться только с помощью векторов, для которых используется ровно «минус один». Поэтому для практического использования наиболее удобная формулировка является, по сути, следствием теоремы для отрезков (это вторая формулировка, выделенная жирным шрифтом Мы ограничимся им для дальнейшего изучения теоремы Менелая, так как наша цель — научиться применять ее для решения задач.
Примечание 2. Несмотря на то, что во всех учебниках также четко прописан случай, когда все три точки A 1, B 1 и C 1 могут лежать на продолжениях сторон треугольника (или на прямых, содержащих стороны треугольника ), на нескольких обучающих сайтах в Интернете сформулирован только случай, когда две точки лежат на двух сторонах, а третья лежит на продолжении третьей стороны. Вряд ли это может быть оправдано тем фактом, что на экзаменах встречаются только проблемы первого типа, а проблемы не могут встречаться, когда все эти точки лежат на продолжении трех сторон.
Примечание 3. Обратная теорема, т.е. условие, что три точки лежат на одной прямой, обычно вообще не рассматривается, и некоторые преподаватели даже советуют (???) иметь дело только с прямой теоремой, а не рассматривать обратную теорема. Между тем доказательство обратного утверждения достаточно поучительно и позволяет доказать утверждения, аналогичные приведенным в решении задачи 1. Опыт доказательства обратной теоремы, несомненно, принесет студенту ощутимую пользу при решении задач.Рисунки и шаблоны
Чтобы научить студента видеть теорему Менелая в задачах и использовать ее в решениях, важно обращать внимание на изображения и шаблоны в записи теоремы для конкретного случая. А поскольку сама теорема находится в «чистом» виде, т.е. не окружена другими отрезками, стороны разных фигур в задачах обычно не встречаются, то целесообразнее показывать теорему на конкретных задачах. А если в качестве объяснения показывать картинки, то сделайте их многомерными.При этом выделите одним цветом (например, красным) прямую, образованную тремя точками, а синим — отрезки треугольника, участвующие в записи теоремы Менелая. При этом те элементы, которые не участвуют, остаются черными:
На первый взгляд может показаться, что формулировка теоремы довольно сложна и не всегда ясна; потому что здесь задействованы три фракции. Ведь если у ученика недостаточно опыта, то он легко может ошибиться в письменной форме и, как следствие, неправильно решить задачу.И здесь иногда начинаются проблемы. Дело в том, что учебники обычно не акцентируют внимание на том, как «сделать обходной путь» при написании теоремы. О законах написания самой теоремы ничего не сказано. Поэтому некоторые репетиторы даже рисуют разные стрелки, в каком порядке записывать формулу. И они предлагают студентам строго следовать этим рекомендациям. Отчасти это правильно, но гораздо важнее понять суть теоремы, чем записывать ее чисто механически, используя «правило обхода» и стрелки.
На самом деле важно только понимать логику «обхода», и она настолько точна, что невозможно ошибиться при написании формулы. В обоих случаях а) и б) запишем формулу треугольника AMC.
Для начала определим для себя три точки — вершины треугольника. У нас есть эти точки A, M, C. Затем мы определяем точки, лежащие на пересекающейся прямой (красная линия), это B, P, K. Начинаем «движение» с вершины треугольника, например, с точка C.От этой точки «идем» к точке, которая образована пересечением, например, стороны AC и пересекающейся прямой — у нас есть эта точка K. Записываем в числитель первой дроби — SC. Далее от точки K «идем» до оставшейся точки на прямой AC — в точку A. В знаменателе первой дроби пишем — KA. Поскольку точка A также принадлежит прямой AM, то же самое проделываем с отрезками на прямой AM. И здесь снова начинаем сверху, затем «идем» до точки на пересекающейся прямой, после чего переходим к вершине M.«Оказавшись» на прямой BC, мы делаем то же самое с отрезками на этой прямой. Из M мы, естественно, «идем» в B, после чего возвращаемся в C. Этот «объезд» можно делать как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Важно только понять правило обхода — от вершины к точке на прямой и от точки на прямой к другой вершине. Так обычно объясняют правило написания произведения дробей. Результат:
Обратите внимание на то, что весь «обход» отражен в записи и для удобства показан стрелками.
Однако результирующая запись может быть получена без выполнения какого-либо «обхода». После того, как точки — вершины треугольника (A, M, C) и точки — лежащие на пересекающейся прямой (B, P, K) выписаны, они также записывают тройки букв, обозначающих точки, лежащие на каждой из три строки. В наших случаях это I) B, M, C; II) A, P, M и III) A, C, K. После этого правильную левую часть формулы можно записать, даже не глядя на рисунок, и в любом порядке.Нам достаточно из каждой тройки букв написать правильные дроби, подчиняющиеся правилу — условно «средние» буквы — это точки пересекающейся прямой (красная). Условно «крайние» буквы — это точки вершин треугольника (синие). При написании формулы таким образом вам нужно только убедиться, что любая «синяя» буква (вершина треугольника) попадет и в числитель, и в знаменатель один раз. Например.
Этот метод особенно полезен для случаев типа b), а также для самотестирования.Теорема Менелая. Доказательство
Есть несколько разных способов доказать теорему Менелая. Иногда это доказывается с помощью подобия треугольников, для которых из точки M проводится отрезок, параллельный AC (как на этом чертеже). Другие проводят дополнительную прямую линию, не параллельную пересекающейся линии, а затем прямыми линиями, параллельными пересекающейся линии, они, кажется, «проецируют» все необходимые отрезки на эту линию и, используя обобщение теоремы Фалеса (т.е., теорема о пропорциональных отрезках), вывести формулу. Однако, возможно, самый простой способ доказательства получается, если провести из точки M прямую линию, параллельную пересечению. Докажем таким образом теорему Менелая.
Дано: Треугольник ABC. Линия PK пересекает стороны треугольника и продолжение стороны MC в точке B.
Докажите, что равенство выполняется:
Доказательства. Нарисуйте луч MM 1 параллельно BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки, которые входят в обозначения формулы теоремы Менелая.В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае — в точке C. Умножим левую и правую части этих уравнений:
Теорема доказана.
Теорема доказывается аналогично для случая б).
Из точки C проведите отрезок CC 1, параллельный линии BK. Запишем отношения, в которых участвуют отрезки, которые входят в обозначения формулы теоремы Менелая. В одном случае рассмотрим прямые, пересекающиеся в точке A, а в другом случае — в точке M.Поскольку теорема Фалеса ничего не говорит о расположении отрезков на двух пересекающихся прямых, отрезки могут располагаться по разные стороны от точки M. Следовательно,
Теорема доказана.Теперь докажем обратную теорему.
Дано:
Докажите, что точки B, P, K лежат на одной прямой.
Доказательства. Пусть прямая BP пересекает AC в некоторой точке K 2, которая не совпадает с точкой K. Поскольку BP — прямая, содержащая точку K 2, для нее верна только что доказанная теорема Менелая.Следовательно, для нее мы будем писать
. Однако мы только что доказали, что
. Отсюда следует, что точки K и K 2 совпадают, поскольку они имеют одинаковую сторону AC.
Для случая б) теорема доказывается аналогично.Решение проблем с использованием теоремы Менелая
Во-первых, давайте вернемся к проблеме 1 и решим ее. Прочитаем еще раз. Сделаем рисунок:
Дана трапеция ABCD. ST — средняя линия трапеции, то есть одно из заданных расстояний.Углы A и D в сумме составляют 90 °. Продолжим стороны AB и CD и на их пересечении получим точку K. Точку K соединим с точкой N — серединой BC. Теперь докажем, что точка P, являющаяся серединой основания AD, также принадлежит прямой KN. Рассмотрим последовательно треугольники ABD и ACD. Линия КП пересекает две стороны каждого треугольника. Предположим, что прямая KN пересекает базу AD в некоторой точке X. По теореме Менелая:
Поскольку треугольник AKD прямоугольный, точка P, которая является серединой гипотенузы AD, равноудалена от A, D и K.Точно так же точка N равноудалена от точек B, C и K. Отсюда одна база равна 36, а другая — 2.
Решение. Рассмотрим треугольник BCD. Его пересекает луч AX, где X — точка пересечения этого луча с продолжением стороны BC. По теореме Менелая:
Подставляя (1) в (2), получаем:Решение. Обозначим буквами S 1, S 2, S 3 и S 4 площади треугольников AOB, AOM, BOK и четырехугольника MOKC соответственно.
Поскольку BM — медиана, то S ABM = S BMC.
Следовательно, S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Поскольку нам нужно найти соотношение площадей S 1 и S 4, мы разделим обе части уравнения на S 4:
Подставим эти значения в формула (1): Из треугольника BMC с секущей AK по теореме Менелая имеем: Из треугольника AKC с секущей BM по теореме Менелая имеем: Все необходимые отношения выражаются через k, и теперь вы можете заменить их в выражение (2):
Решение этой проблемы с помощью теоремы Менелая обсуждается на странице.Примечание репетитора по математике. Применение теоремы Менелая в этой задаче — тот самый случай, когда этот метод позволяет существенно сэкономить время на экзамене. Эта задача предложена в демо-версии вступительного экзамена в 9-й лицей НИУ ВШЭ (2019).
© Репетитор по математике в Москве, Александр Анатольевич, 8-968-423-9589.
Решайте сами
1) Задача попроще. На медиане BD треугольника ABC отмечается точка M, так что BM: MD = m: n.Прямая AM пересекает сторону BC в точке K.
Найдите отношение BK: KC.
2) Задача посложнее. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке P, а диагональ BD — в точке T. Известно, что AB: AD = k (0 3) Задача № 26 OGE. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
Совет репетитора по математике. В Интернете есть решение такой проблемы с помощью дополнительного построения и затем либо подобия, либо нахождения областей, и только после этого стороны треугольника.Те. оба эти метода требуют дополнительной конструкции. Однако решение такой задачи с использованием свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует дополнительных построений. Это намного проще и рациональнее.Доманд за спелые столицы VII. Solo segni eccellenti con GDZ
I bambini moderni affrontano regolarmente situazioni quando sorgono alcuni problemi con i compiti. Le cause di tali circostanze Possono essere piuttosto разнообразный — pigrizia, malattia, disattenzione.Soprattutto spesso accade con la geometria, che ha molti esercizi insprensibili. Nel caso in cui sia sorto i problemi, poi gli studenti delle scuole superiori — iniziano a cercare febbrilmente le opzioni per la risoluzione di tali difficoltà. В эффетти, качество может быть использовано с паренти, ами, туторанти, и квалификацией на уровне GDZ. che sono fatti da Professionisti che non acceptono errori.
Grazie al rapido sviluppo delle tecnologie Internet, ora c’è имеет большие возможности для trovare le attività richieste utilizzando una piattaforma specializzata.La cosa Principale — это ответственность за то, чтобы рассмотреть доминанту конечного результата d / s alta qualità E sono stati complete compresi. Naturalmente, это необходимо для того, чтобы опубликовать данные в Интернете, которые помогут вам стабилизировать ситуацию. Solo su tali risorse contiene informazioni sui compiti di alta qualità da utilizzare quando sarà обязательно.
La Presentazione di Reshebnik sarà una scelta razionale per le single situazioni. Более того, существует большая компетенция в реализации, геометрических фигур для учеников от 7 до 9 классов .Добавлено для самоучителя — Атанасян и Бутузов . Сарай в высокой степени проверяет быстрые изменения и рисунки на этой странице в Интернете и представляет собой верное представление о созерцании и образовании для единого аргумента. Pertanto, gli scolari e i loro genitori spesso la usano.
L’amministrazione portale altamente qualificata ha gravemente curato il materiale da scrivere в единой доступной и всеобъемлющей форме. Nel caso in cui vengano pubblicati nuovi libri, ci sono непосредственный ответ на новые числа.Этот статус находится в категории «Ассикураси» в режиме абстрактного ассистента, который посещает множество посетителей портала.
Важное значение имеет сложное звучание в студии со всей базой дисциплины, если необходимо, чтобы она была подготовлена к согласию. Non è обязательно ritardare, porta a consguenze estremamente sgradevoli. Этот веб-сайт онлайн-сара в Grado di Servire, как luogo eccellente dove, может быть riconciliare la correttezza delle prestazioni dei numeri che gli insgnanti hanno imstato.Già molti adolescenti lo usano e lasciato sulle sue molte buone risposte. Это не сорбент, грациозный лей, c’è una meravigliosa, доступная для рисования на высшем уровне и Cercare prestazioni accademiche migliori в scuola.
GDZ Geometry Grado 7 Carole da Lavoro Atanasyan può essere scaricato.
GDZ Geometry 8 Classe Workbook Atanasyan può scaricare
Per sezione della matematica, che riassume e studia strutture e relazioni spaziali, è chiamata geometria.È moderno scuola russa C’è una Divisione della matematica. E, se la prima scienza è lo studio delle formule ed esempi, questo argomento è complex dalla presenza di figure complesse e semplici, nonché i calcoli dei loro diversi indicatori.
Usa GDZ su Geometry 7-9 Bisogne di classe Atanasyan con cautela e tutta la responseabilità, in modo da non violare il process of apprendimento naturale e non dare allo studente un’opportunità degradante per svolgere costantemente risposte da Reshebnik.
GDZ Atanasyan обеспечивает единственное применение в присутствии родителя и единственное использование для проверки составления кода для всех приложений, основанных на умозаключении, испытания на предмет материального мастерства. Risponde anche alla geometria for il Grado 7, l’autore di Atanasyan aiuta a preparare il controllo or il lavoro indipendente.
Sul fesser, viene Presentata la versione online dell’Atanasyan Reshebnaya, che consente di risparmiare spazio sul computer e utilizza GDZ da remoto.Электронный тестовый текст имеет разделы и числовые атрибуты: вы можете быстро изменить свое решение и получить его, сделав подробный отчет о методах рисования из GDZ. RESHEBNIK aiuta il bambino a imparare meglio application le formule e rafforzare le loro conoscenze.
Геометрия — это научная фигура, которая совпадает с позицией, обратной и далекими измерениями, в контактах и связях с другими людьми. Самая важная вещь, не имеющая отношения к этому корсу, определяется этим аргументом и вкладом в каждый элемент геометрической науки GDZ sulla geometria for 7-9 classi (Автор: L.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев). Agevolirà notevolmente la vita di uno scolaro. L’indennità соответствует всем требованиям ГЭФ и программам Secondo la geometria della Principale education generale.
Книга содержит геометрическую информацию, основанную на треугольниках, четырехугольниках и параллельных линиях. La relazione tra i lati e gli angoli del triangolo è studiato, i Concetti di tali figure sono formati, le formule per trovare l’area dei poligoni vengono studiate, vengono Thinkrati gli element della trigonometria, vengono Thinkrati Coordinati e vettori.Lo Schoolboy демонстрирует создание современных компетентных дизайнов, определяет и параметры детских и испанских статей, приобретает специальные навыки, связывает видение и воображение.
Solo segni eccellenti con GDZ
Для всех трудностей, которые нужно выполнить, если вы хотите, чтобы они были нарисованы и решены. Aggiunge azioni passo-passo dei compiti matematici con chiarimenti, con l’aiuto di cui uno scolaro sarà in grado di:
- È meglio imparare e ricordare l’argomento studiato;
- eseguire rapidamente ed efficientemente i compiti;
- препарата в современном эффективном способе для независимого и эффективного лечения.
Режим онлайн доступен в любое время и легко в использовании: нажмите на номер телефона и верните правильные решения. Вы можете использовать ручной компьютер на любом смартфоне или планшете с главным доступом к Интернету.
L’insegnante di matematica può Thinkrare un » .
Attraverso Решебник с геометрическим рисунком для 7-9 классов Атанасяна Огни гениторе сара в высоком разрешении и наставником, основанным на названии игры, и инсиме, который позволяет составить более сложный результат.
GDZ al libro di testo sulla geometria può essere scaricato 8a class Atanasyan.
GDZ Geometry Grado 7 Workbook Workbook Atanasyan può scaricare.
GDZ Geometry 8 Class Workbook Atanasyan può essere scaricato.
ГДЗ Геометрия 9 класс Рабочая тетрадь Атанасян può скачать
Per sezione della matematica, che riassume e studia strutture e relazioni spaziali, è chiamata geometria.È nella moderna scuola russa che la matematica è separata. E, se la prima scienza è lo studio delle formule ed esempi, questo argomento è complex dalla presenza di figure complesse e semplici, nonché i calcoli dei loro diversi indicatori.
Usa GDZ su Geometry 7-9 Bisogne di classe Atanasyan con cautela e tutta la responseabilità, in modo da non violare il process of apprendimento naturale e non dare allo studente un’opportunità degradante per svolgere costantemente risposte da Reshebnik.
GDZ Atanasyan достаточно использовать одно приложение в присутствии родителей и использовать его самостоятельно для управления составлением, отсылкой к каждому приложению, основанному на понимании, проверке материалов на основе данных. Не пропустите геометрию для Grado 7 L’autore di Atanasyan aiuta и подготовьте контроль над независимым именем.
Sul fesser, viene Presentata la versione online dell’Atanasyan Reshebnaya, che consente di risparmiare spazio sul computer e utilizza GDZ da remoto.Электронный тестовый текст имеет разделы и числовые атрибуты: вы можете быстро изменить свое решение и получить его, сделав подробный отчет о методах рисования из GDZ. RESHEBNIK aiuta il bambino a imparare meglio application le formule e rafforzare le loro conoscenze.
.