Уравнения Эйлера — Лагранжа. Уравнение эйлера реферат

Реферат Уравнения Эйлера Пуассона

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Утверждение
2 Примеры
3 Многомерные вариации
4 История
5 Доказательство
6 Обобщение на случай с высшими производными

Введение

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом наименьшего действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использовнание уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

1. Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подынтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$ , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$ , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

2. Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $\! (a, c)$ и $\! (b, d)$ . Тогда длина пути $\! y(x)$ , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $\! y(a) = c$ , $\! y(b) = d$ , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

3. Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

В физических приложениях когда $\! L$ является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то

$J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,$

где $x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n$ — независимые координаты, $f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)$ , $f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$ ,

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.$

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

4. История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

5. Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $\! f$ , которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$ , $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$ , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$ . Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$ , то $\! J'(0)=0$ , то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$ , получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

6. Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

Если наложить граничные условия на f и на её производные до порядка n − 1 включительно, а также предположить, что F имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера-Пуассона.

Литература

Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

wreferat.baza-referat.ru

Реферат Уравнения Эйлера

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

1 Теоремы
2 Лемма
3 Уравнения
4 Тождества
5 Формулы
6 Интегралы
7 Константы
8 Прочее

Введение

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера:

1. Теоремы

Теорема Эйлера (теория чисел) — обобщение малой теоремы Ферма.
- Функция Эйлера — количество натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое трёхмерное вращение имеет ось.
Теорема Эйлера (планиметрия) — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
Две теоремы Эйлера, Пентагональная теорема Эйлера (комбинаторика).
Гипотеза Эйлера (теория чисел) — утверждение, что для любого натурального числа n > 2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы (n − 1) n-х степеней других натуральных чисел. Опровергнуто.
Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, ребер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа.

2. Лемма

Лемма Эйлера — свойство однородных функций.

3. Уравнения

Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов, зависящих от неизвестной функции и её производной.
Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
Уравнения Эйлера (механика) (механика твёрдого тела) — описывают вращение твердого тела.
Уравнение Эйлера (гидродинамика) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
Эйлеровы точки либрации (коллинеарные точки).
Уравнение Эйлера — Бернулли — описывает равновесие балки.

4. Тождества

Тождество Эйлера в теории чисел
Тождество Эйлера (комплексный анализ) — частный случай формулы Эйлера, связывающий 5 фундаментальных чисел математики.
Тождество Эйлера (кватернионы), «тождество Эйлера о четырёх квадратах» (алгебра) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
Тождество Эйлера (алгебра многочленов) — соотношение $\sum_{i=1}^{n} x_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i} \equiv k F,$ которое справедливо для любой алгебраической формы (однородного многочлена) $F(x_1,\ldots,x_n)$ степени $k.\,$

5. Формулы

Формула Эйлера (комплексный анализ): eix = cosx + isinx, связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.
Формула Эйлера (кинематика твёрдого тела) — $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times\vec{AB}$ , связывает скорости двух точек твёрдого тела.
Формула Эйлера в геометрии треугольника — выражение для расстояния между инцентром и центром описанной окружности треугольника, см. инцентр.
Формула Эйлера в геометрии четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма, длину медианы треугольника.
Формула Эйлера для суммы первых n членов гармоничного ряда.
Формула Эйлера в теории графов: | V(G) | − | E(G) | + | F(G) | = 2, связывающая количество количество вершин, ребер и граней планарного графа.
Эйлерова характеристика (алгебраическая топология) — топологический инвариант.

6. Интегралы

Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
Интеграл Эйлера — Пуассона (т. н. гауссов интеграл).

7. Константы

Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
Число Эйлера — основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число e.

8. Прочее

Углы Эйлера — обобщённые координаты при вращении вокруг неподвижной точки.
Многочлены Эйлера.
Преобразование Эйлера — интегральное преобразование.
Прямая Эйлера (геометрия треугольника) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
Окружность Эйлера, «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами.
Эйлеров цикл, эйлерова цепь (теория графов) — путь в графе, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. См. также: эйлеров путь, эйлеров граф, полуэйлеров граф.
Эйлеров сплайн — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
Эйлерова сила — в механике, такая сила, которая, при сжимании стержня, вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
Олимпиада им. Леонарда Эйлера — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8 классов. См. Официальный сайт олимпиады им. Эйлера.
Медаль (англ. Euler Medal), с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений (англ. Institute of Combinatorics and its Applications) за достижения в этой области математики.
Золотая медаль имени Леонарда Эйлера Академии наук СССР и Российской академии наук.

скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 13.07.11 07:52:25Похожие рефераты: Уравнения Эйлера-Лагранжа, Уравнения Лагранжа Эйлера, Уравнения Эйлера (механика), Уравнения Эйлера Пуассона, Уравнения Эйлера Лагранжа, Критерий Эйлера, Лемма Эйлера, Метод Эйлера, Прямая Эйлера.

Категории: Объекты названные в честь людей, Списки Математика.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

www.wreferat.baza-referat.ru

Реферат Уравнения Эйлера Пуассона

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Утверждение
2 Примеры
3 Многомерные вариации
4 История
5 Доказательство
6 Обобщение на случай с высшими производными

Введение

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

1. Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

2. Примеры

$L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

3. Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то

$J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,$

где $x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n$ — независимые координаты, $f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)$ , $f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$ ,

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.$

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

4. История

5. Доказательство

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$ . Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$ , то $\! J'(0)=0$ , то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$ , получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

6. Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера-Пуассона.

Литература

Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

www.wreferat.baza-referat.ru

Реферат Уравнение Коши Эйлера

скачать

Реферат на тему:

План:

1 Уравнение порядка n
- 1.1 Подстановка
- 1.2 Пример
2 Уравнение второго порядка
- 2.1 Пример
- 2.2 Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка
- 2.3 Пример

Введение

В математике (дифференциальных уравнениях), уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

1. Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

$\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x)$ .

Его частный случай :

$\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x)$ .

1.1. Подстановка

Подстановка вида $~\ (\alpha x + \beta ) = e^t$ то есть $~\ t = \ln (\alpha x + \beta )$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.Действительно, заметим, что $~\ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1}$ , $~\ t_{xx}''= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}$ и $~\ t_{xxx}'''= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}$ .В соответствии с этим:

$~\ y(t)=y(t(x))$

откуда

$~\ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}$

таким образом

$~\ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)$

Вычислим очередную производную сложной функции

$~\ y_{xx}''(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'= y_{tt}''(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}''= y_{tt}''(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2}$ ,

что приводит к

$~\ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}''(x)=\alpha^2 (y_{tt}''(t)- y_t'(t))$ .

и далее

$~\ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_x'=(y_{tt}''(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx}'')_x'= y_{ttt}'''(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}''(t)2t_x't_{xx}'' + y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' +y_t'(t)t_{xxx}'''=$ $~\ = y_{ttt}'''(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' + y_t'(t)t_{xxx}'''= y_{ttt}'''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} - 3y_{tt}''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} + 2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}$

что, аналогично, приводит к

$~\ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}'''(x)= \alpha^3 (y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_t'(t))$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

1.2. Пример

Дано неоднородное уравнение

$~\ (2x-1)^3y'''(x)+4(2x-1)^2y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1)$ .

Определив подстановку $~\ t=\ln (2x-1)$ ( $~\ (2x-1)=e^t$ ), приходим к уравнению

$~\ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$~\ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4 t$ ,

решение которого имеет вид

$~\ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2$

или в терминах $~\ x$

$~\ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2$

2. Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

$~\ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)$ .

Его частный случай :

$~\ a_2 x^2 y''(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)$ .

Подстановкой $~\ (\alpha x + \beta ) = e^t$ то есть $~\ t = \ln (\alpha x + \beta )$ или, соответственно,

$~\ x = e^t$ то есть $~\ t = \ln x$

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

$~\ a_2 \alpha^2 y''(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)$ .

или, соответственно,

$~\ a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)$ .

2.1. Пример

Дано неоднородное уравнение

$~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y'(x)=6x$ .

Определив подстановку $~\ t=\ln x$ ( $~\ x=e^t$ ), приходим к уравнению

$~\ (y''(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t$ .

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

$~\ y''(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t$ ,

решение которого имеет вид

$~\ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t}$

или в терминах $~\ x$

$~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x$

2.2. Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

$~\ x^2 y''(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0$ .

Его решениями являются функции вида:

$~\ y(x) = x^r$ ,

где r — решения характеристического уравнения

$~\ r^2 + (p - 1)r + q = 0$ ,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной.

2.3. Пример

Дано однородное уравнение

$~\ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0$ .

Характеристическое уравнение которого имеет вид

$~\ r^2 + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0$ ,

с решениями $~\ r_1=1$ , $~\ r_2=2$ .Тогда общее решение однородного уравнения

$~\ y(x)=c_1x+c_2x^{2}$

wreferat.baza-referat.ru

Уравнения Эйлера | Бесплатные курсовые, рефераты и дипломные работы

Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида

(6.8)

(6.9)

или

(6.10)

(6.11)

называются уравнением Эйлера. Здесь — постоянные коэффициенты.

С помощью подстановки

(6.12)

для уравнения (6.8), (6.9) и

(6.13)

для уравнения (6.10), (6.11) оба эти уравнения сводятся к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого необходимо вычислить производные, например, от (6.12) по новой переменной t:

, (6.14)

…

……………………………………………………………

Подставив значения(6.14) в уравнение (6.8), получим новое уравнение с постоянными коэффициентами

, (6.15)

которое называется преобразованным уравнением, по отношению к уравнению (6.8). Интегрируя это уравнение, находится решение и далее после возвращения к старой переменной в соответствии с формулой (6.12) — , найдем решение уравнения (6.8). Решения уравнений (6.9), (6.10), (6.11) находятся аналогичным способом.

Пример 6.2. Найти решение уравнения: .

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

Подставив в исходное уравнение, получим

Следовательно, мы получили однородное линейное уравнение. Его характеристическое уравнение имеет корни . Поскольку корни действительные и кратные, с кратностью равной двум, то общее решение будет иметь вид:

Перейдя к переменной х, окончательно получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 6.3. Найти решение уравнения:

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

Подставив в исходное уравнение, получим

. (П6.3.1)

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и общее решение соответствующего ему однородного уравнения имеет вид

Поскольку характеристическое уравнение имеет двукратный корень равный единице: .

Частное решение уравнения (П6.3.1)можно получить методом неопределенных коэффициентов.

Поскольку параметры правой части неоднородного уравнения (П6.3.1) равны, соответственно, a =0, b = 1, q = 0, l = 0 и число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s=0, и m = max(q,l)= 0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

Вычислим производные от

и подставив их в уравнение (П6.3.1), получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения

Следовательно, частное решение уравнения (П6.3.1) имеет вид

а общее решение уравнения (П6.3.1) будет выглядеть так:

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Частные решения однородного уравнения Эйлера (6.8), также можно получить, если использовать подстановку вида:

(6.16)

Вычислив производные

и подставив их в уравнение (6.8) и сокращая на , получим

(6.17)

Это уравнение п-ой степени относительно k имеет п корней: ; если все корни различны, то мы получаем п линейно независимых частных решений , следовательно, общее решение будет иметь вид: