Главная »
Реферат »
Теория вероятностей и математическая статистика реферат
Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика. Теория вероятностей и математическая статистика реферат
Реферат - Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная работа
по дисциплине
Теория вероятностей
Решение задач
Задание 1
Имеется четверо мужчини шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способамиэто можно сделать?
Решение:
A(4;6) = 6!/2! =3*4*5*6 = 360
Ответ: 360 способов
Задание 2
В ожесточенном бою неменее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% — одно ухо, не менее 80% — одну руку, не менее 85% — одну ногу. Какое минимальное число потерявшиходновременно глаз, ухо, руку, ногу?
Решение: Я решиладанную задачу двумя способами.
1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б
где X+Y означаетобъединение множеств X и Y, XY — пересечение, функция N — число элементовмножества. Обозначим через A, B, C, D — множества бойцов, потерявших глаз, ухо,руку, ногу. В данном примере обозначим через N — процентное содержаниемножества.
Тогда
N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45
Аналогично
N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65.
Окончательно имеем
Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10ю
2. Всего100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе рукии 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум
Ответ: минимальноечисло потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногусоставляет 10 %.
Задание 3
Двое поочередно бросаютмонетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятностьвыигрыша для каждого игрока.
Решение:
A = {выиграл тот, ктоначал бросать монетку первым}
A = A1 + A2 + A3 +…A1 = {у первого игрока выпал герб}
A2 = {у первого игрокавыпала решка, у второго — решка, у первого — герб}
A3 = {у первого игрокавыпала решка, у второго — решка, у первого — решка, у второго — решка, упервого — герб} и так далее
P(A1)= 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) =
(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)= (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)
итакдалее
P(A)= P(A1+A2+A3+...) = [события A1,A2, A3,… несовместны] =
P(A1)+ +P(A2)+ P(A3)+… = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) +… =
[сумма геометрическойпрогрессии] = (1/2)/(1 — 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3
P(A) = 2/3 B = {выигралтот, кто начал бросать монетку вторым} B = не
A P(B) = P(не A) = 1 — P(A) = 1 — 2/3 = 1/3
Ответ: для первого 2/3,для второго 1/3.
Задание 4
В кошельке лежат 8монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачувыбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет15 очков, если «герб» принимается за «0»?
Решение:
h2 = {монета в 5копеек} h3 = {монета в 3 копейки} P(h2) = 8/10 = 0.8 P(h3) = 2/10 = 0.2 A = {всумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A
h2 = {в сумме будет 15очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3решки и 2 герба} A
h3 = {в сумме будет 15очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5решек} n = 5 p = 1/2 — вероятность выпадения решки q = 1 — p = 1/2 m — количество бросаний, при которых выпадет решка P(A
Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2)= 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 Поформуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125)+ (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625
Ответ: если бросаетсямонета в 5 копеек 0.3125
если бросается монета в3 копейки 0.03125
полная вероятность0.25625
Задание 5
Для лица, дожившего до20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006.Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждыйзастрахованный внес по 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следуетустановить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждениеокажется в убытке, была не больше 0,0228?
Решение: Пустьслучайная величина X — число страховых случаев за год. Xi — страховой случайдля i-того клиента,
i = 1… 15000 Xi ={1, если страховой случай для i-того клиента произошел
{0, иначе Случайнаявеличина Xi имеет распределение Бернулли при p = 0.006 M(Xi) = p = 0.006 D(Xi)= p(1-p) = (0.006)*(1 — 0.006) = (0.006)*(0.994) = 0.005964 X =sum_{i=1}^{15000} Xi M(X) = M(sum_{i=1}^{15000} Xi) = sum_{i=1}^{15000}M(Xi)=sum_{i=1}^{15000} 0.006 = (0.006)*(15000) = 90 D(X) = D(sum_{i=1}^{15000}Xi) = [события Xi независимы] = sum_{i=1}^{15000} D(Xi) = sum_{i=1}^{15000}0.005964 = =(0.005964)*(15000) = 89.46 Пусть m — выплата за страховой случайДоход страховой компании равен D = 15000*20 — mX = 300000 — mX Необходимо найтиm такое, что P(D <= 0) <= 0.0228 P(D <= 0) = P(300000 — mX <= 0) = P(mX>= 300000) = P(X > 300000/m) = = P((X-M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — M(X))/sqrt(D(X))) = = P((X — M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — 90)/sqrt(89.46))~ ~ [по центральной предельной теореме] ~
~ 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) P(D <= 0) <= 0.0228 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46)))<= 0.0228 Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) >= 0.4772 (300000/m — 90)/sqrt(89.46) >= 2 300000/m >= 108.9166593… m <= 2754.399574…m(max) = 2754
Ответ: максимальнаявыплата 2754 у.е.
www.ronl.ru
Реферат - Программа по дисциплине теория вероятностей и математическая статистика
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Крюковский А.С.
Для очной формы обучения ВСЕГО 120
лекции 48
семинары 24
Всего аудиторных занятий 72
самостоятельная работа 48
Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы:
Элементарная теория вероятностей, математические основы теории вероятностей, модели случайных процессов, математические модели статистики, проверка гипотез, принцип максимального правдоподобия, методы и процедуры оценивания параметров, статистические методы и алгоритмы обработки экспериментальных данных.
Целью изучения дисциплины является научное представление о методах исследования случайных событий и случайных величин.
^ Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: для успешного освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» необходимо предварительное изучение курса «Математика», в первую очередь разделов «Дифференциальное и интегральное исчисление», «Теория рядов», «Линейная алгебра».
^ В результате изучения дисциплины каждый студент должен:
иметь представление о:
целях и задачах теории вероятностей и математической статистике их роли и месте в социально-экономических исследованиях,
о современных направлениях в теории вероятностей и математической статистике,
о методологических проблемах теории вероятностей и математической статистики;
знать:
основные понятия комбинаторики, теории вероятностей,
основы теории случайных процессов,
основные понятия и задачи математической статистики;
уметь:
применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач,
пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач,
применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа для обработки экспериментальных данных,
уметь содержательно интерпретировать формальные результаты.
Основные виды занятий: лекции и практические занятия.
Основные виды текущего контроля занятий: семестровая контрольная работа, самостоятельные работы и защита практических работ, выполняемых в компьютерных классах.
Основной вид рубежного контроля знаний: экзамен.
^ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. Введение
Предмет и содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Соотношение теории вероятностей и математической статистики. Задачи математической статистики в области экономических исследований. Роль математической статистики в анализе закономерностей в компьютерных информационных системах.
^ I. Теория вероятностей
Тема 2. Основные понятия комбинаторики
Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания с повторением и без повторения.
^ Тема 3. Классическое определение вероятности
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Противоположные события. Независимые события. Относительная частота. Классическое и геометрическое определение вероятности. Элементарная теория вероятностей. Методы вычисления вероятностей.
^ Тема 4. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность
Пространство элементарных событий. Алгебра событий: теоремы о вероятности суммы событий, противоположных событий, сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность. Теоремы о вероятности произведения зависимых и независимых событий. Полная вероятность. Формула Байеса.
^ Тема 5. Дискретные случайные величины
Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).
^ Тема 6. Непрерывные случайные величины
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины (плотность вероятности). Формула для вероятности попадания случайной величины в данный интервал, выраженный через плотность вероятности, геометрический смысл формулы, случай малого интервала. Равномерное распределение, нормальное распределение, экспоненциальное распределение, логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение.
^ Тема 7. Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания. Среднее квадратичное отклонение. Формула для вычисления дисперсии, ее свойства. Определение математического ожидания и дисперсии для основных дискретных и непрерывных распределений. Геометрический и вероятностный смысл параметров нормального закона распределения случайной величины.
^ Тема 8. Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины. Функция распределения: дискретные и непрерывные случайные величины, полиномиальное, равномерное и нормальное распределения. Граничные распределения. Моменты многомерной случайной величины. Ковариация, коэффициент корреляции. Условные распределения. Регрессионная зависимость. Прямые регрессии.
^ Тема 9. Характеристические и производящие функции
Характеристические и производящие функции, их свойства, вычисление математического ожидания и дисперсии. Характеристические и производящие функции суммы независимых случайных величин. Характеристические и производящие функции основных распределений: распределения Бернулли, равномерного распределения, распределения Пуассона, нормального распределения.
^ Тема 10. Предельные теоремы
Значение предельных теорем. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел: теоремы Чебышева, Бернулли, Колмогорова. Предельные теоремы Муавра-Лапласа (локальная и интегральная). Центральная предельная теорема Ляпунова.
^ Тема 11. Метод Монте-Карло
Сущность метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), оценка погрешностей. Случайные числа. Разыгрывание дискретной случайной величины, противоположных событий, полной группы событий. Разыгрывание непрерывной случайной величины, метод обратных функций, метод суперпозиции. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
^ Тема 12. Марковские цепи
Марковские случайные процессы. Цепи Маркова. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях. Стационарное распределение. Матрица перехода. Равенство Маркова.
^ Тема 13. Случайные функции
Понятие случайной функции. Корреляционная теория случайной функции. Математическое ожидание. Дисперсия. Взаимная корреляционная функция и её свойства. Стационарные случайные функции. Спектральная теория стационарных случайных функций. Дельта-функция. Стационарный белый шум. Понятие о преобразовании стационарной случайной функции линейной динамической системой.
^ Тема 14. Случайные процессы
Понятие случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Потоки событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия, ординарность. Винеровский процесс. Ветвящийся процесс. Процессы гибели и размножения.
^ II. Математическая статистика
Тема 15. Основные понятия математической статистики
Предмет математической статистики. Статистическая совокупность. Выборки. Гистограмма и полигон частот. Статистическая (эмпирическая) функция распределения. Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства выборочных моментов. Точные выборочные распределения: Стьюдента (t–распределение), Фишера–Снедекора (F–распределение), Пирсона (-распределение). Таблицы математической статистики и работа с ними.
^ Тема 16. Оценка параметров. Точечные оценки
Состоятельные, эффективные смещенные и несмещенные оценки параметров. Статистическое среднее, статистическая дисперсия и статистическое среднее квадратичное как точечные оценки неизвестных: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения и корреляции. Метод наибольшего правдоподобия.
^ Тема 17. Доверительные оценки
Доверительные интервалы и интервальные оценки. Мера надёжности. Доверительные оценки неизвестной вероятности по большим выборкам. Доверительная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии. Доверительная оценка среднего квадратичного отклонения.
^ Тема 18. Статистические гипотезы
Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область, мощность критерия.
Проверка гипотезы о равенстве двух средних, при условии, что дисперсии равны, а выборки, принадлежат к генеральным совокупностям с нормальным распределением, t-критерий.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий по двум выборкам, принадлежащим к генеральным совокупностям с нормальным распределением, F-критерий.
Критерии согласия. Критерий 2. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к равномерно распределенной генеральной совокупности. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к нормально распределенной генеральной совокупности.
^ Тема 19. Дисперсионный анализ.
Основные понятия дисперсионного анализа. Случайная, детерминированная и смешанная модели дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Общая средняя. Уровни фактора. Групповые средние. Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений, связь между ними. Общая, факторная и остаточная дисперсии. Сравнение факторной и остаточной дисперсии. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних. Случай неодинакового числа испытаний на различных уровнях. Двухфакторный дисперсионный анализ. Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.
^ Тема 20. Корреляционный анализ
Основные понятия корреляционного анализа. Двумерная модель корреляционного анализа и точная оценка её параметров: коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции. Способы вычисления выборочных характеристик. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции, шкала Чеддока. Интервальные оценки параметров связи.
Трехмерная модель корреляционного анализа. Точечные оценки парных выборочных коэффициентов корреляции, частных выборочных коэффициентов корреляции, выборочных множественных (совокупных) коэффициентов корреляции и детерминации. Проверка значимости и нахождение интервальных оценок для значимых коэффициентов.
^ Тема 21. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей.
Статистические методы обработки эмпирических данных. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Непараметрические методы оценки корреляционной связи, коэффициенты ассоциации и контингенции. Ранговая корреляция. Выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендала. Проверка гипотез о значимости выборочных ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендала. Показатели согласованности, коэффициент конкордации Кендала, коэффициент взаимной сопряженности.
^ Тема 22. Регрессионный – анализ
Основные понятия регрессионного анализа. Условные средние, выборочные уравнения регрессии, выборочные линии регрессии. Линейная модель регрессионного анализа, требования к исходным данным. Метод наименьших квадратов. Оценка коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Дисперсии оценок параметров регрессии. Оценка дисперсии ошибок.
Уравнение регрессии в случае двумерного нормального закона распределения. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии и уравнения регрессии в целом. Интервальные оценки коэффициентов регрессии. Определение интервальной оценки для условного математического ожидания. Прогнозирование с помощью регрессионной модели.
Понятие о нелинейной регрессии; нелинейные модели регрессии: полиномы, равносторонняя гипербола, степенная зависимость, показательная и экспоненциальная функции; применение метода наименьших квадратов к определению параметров нелинейных моделей.
^ Тема 23. Многомерный статистический анализ
Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Множественный корреляционно-регрессионный анализ, ковариационная матрица, оценки параметров множественного корреляционного анализа, определение параметров множественной регрессии методом наименьших квадратов, показатели качества регрессии, доверительные интервалы и доверительные области.
Проблема размерности в многомерных методах исследования. Методы понижения размерности: компонентный анализ; факторный анализ, корреляционная матрица с общностями на главной диагонали, метод главных факторов, проблема вращения, проблема оценки факторов и задачи классификации; классификация задач факторного анализа и метода главных компонент. Методы многомерной классификации: классификация без обучения (кластер-анализ), расстояние между кластерами и мера близости, функционалы качества разбиения, иерархические кластер-процедуры, дендрограммы; классификация с обучением (дискриминантный анализ), линейный дискриминантный анализ, дискриминантный анализ в случае нормального закона распределения показателей. Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ. Понятие о робастных методах оценивания.
^ Тема 24. Применение ЭВМ в многомерном статистическом анализе
Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа: электронные таблицы, пакеты SPSS, NCSS and PASS, STATA, STATISTICA. Применение многомерных статистических методов в социально–экономических исследованиях.
ЛИТЕРАТУРА
Основная:
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа. 1998.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа. 1999.
Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.Н. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.
Справочник по математике для экономистов. /под ред. проф. В.И. Ермакова. М.: Высшая школа. 1997.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1996.
Дополнительная:
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика. М.: Российский университет дружбы народов. 1994.
Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. М.: Российский университет дружбы народов. 1994.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1980 г.
Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука. 1989.
Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.
www.ronl.ru
Реферат - Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная работа
по дисциплине
Теория вероятностей
Решение задач
Задание 1
Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
A(4;6) = 6!/2! = 3*4*5*6 = 360
Ответ: 360 способов
Задание 2
В ожесточенном бою не менее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% — одно ухо, не менее 80% — одну руку, не менее 85% — одну ногу. Какое минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу?
Решение: Я решила данную задачу двумя способами.
1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б
где X+Y означает объединение множеств X и Y, XY — пересечение, функция N — число элементов множества. Обозначим через A, B, C, D — множества бойцов, потерявших глаз, ухо, руку, ногу. В данном примере обозначим через N — процентное содержание множества.
Тогда
N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45
Аналогично
N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65.
Окончательно имеем
Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10ю
2. Всего 100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе руки и 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум
Ответ: минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногусоставляет 10 %.
Задание 3
Двое поочередно бросают монетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
Решение:
A = {выиграл тот, кто начал бросать монетку первым}
A = A1 + A2 + A3 +… A1 = {у первого игрока выпал герб}
A2 = {у первого игрока выпала решка, у второго — решка, у первого — герб}
A3 = {у первого игрока выпала решка, у второго — решка, у первого — решка, у второго — решка, у первого — герб} и так далее
P(A1) = 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) =
(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)
итакдалее
P(A) = P(A1+A2+A3+...) = [события A1, A2, A3,… несовместны] =
P(A1) + +P(A2) + P(A3) +… = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) +… =
[сумма геометрической прогрессии] = (1/2)/(1 — 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3
P(A) = 2/3 B = {выиграл тот, кто начал бросать монетку вторым} B = не
A P(B) = P(не A) = 1 — P(A) = 1 — 2/3 = 1/3
Ответ: для первого 2/3, для второго 1/3.
Задание 4
В кошельке лежат 8 монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если «герб» принимается за «0»?
Решение:
h2 = {монета в 5 копеек} h3 = {монета в 3 копейки} P(h2) = 8/10 = 0.8 P(h3) = 2/10 = 0.2 A = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A
h2 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3 решки и 2 герба} A
h3 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5 решек} n = 5 p = 1/2 — вероятность выпадения решки q = 1 — p = 1/2 m — количество бросаний, при которых выпадет решка P(A
Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2) = 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 По формуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125) + (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625
Ответ: если бросается монета в 5 копеек 0.3125
если бросается монета в 3 копейки 0.03125
полная вероятность 0.25625
Задание 5
Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес по 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, была не больше 0,0228?
Решение: Пусть случайная величина X — число страховых случаев за год. Xi — страховой случай для i-того клиента,
i = 1… 15000 Xi = {1, если страховой случай для i-того клиента произошел
{0, иначе Случайная величина Xi имеет распределение Бернулли при p = 0.006 M(Xi) = p = 0.006 D(Xi) = p(1-p) = (0.006)*(1 — 0.006) = (0.006)*(0.994) = 0.005964 X = sum_{i=1}^{15000} Xi M(X) = M(sum_{i=1}^{15000} Xi) = sum_{i=1}^{15000} M(Xi)=sum_{i=1}^{15000} 0.006 = (0.006)*(15000) = 90 D(X) = D(sum_{i=1}^{15000} Xi) = [события Xi независимы] = sum_{i=1}^{15000} D(Xi) = sum_{i=1}^{15000} 0.005964 = =(0.005964)*(15000) = 89.46 Пусть m — выплата за страховой случай Доход страховой компании равен D = 15000*20 — mX = 300000 — mX Необходимо найти m такое, что P(D <= 0) <= 0.0228 P(D <= 0) = P(300000 — mX <= 0) = P(mX >= 300000) = P(X > 300000/m) = = P((X-M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — M(X))/sqrt(D(X))) = = P((X — M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m — 90)/sqrt(89.46)) ~ ~ [по центральной предельной теореме] ~
~ 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) P(D <= 0) <= 0.0228 0.5 — Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) <= 0.0228 Ф((300000/m — 90/sqrt(89.46))) >= 0.4772 (300000/m — 90)/sqrt(89.46) >= 2 300000/m >= 108.9166593… m <= 2754.399574… m(max) = 2754
Ответ: максимальная выплата 2754 у.е.
www.ronl.ru
