Реферат: Законы распределения случайных величин и их применение. Реферат законы распределения случайных величин

Реферат - Законы распределения случайных величин и их применение

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Равномерное распределение

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому

Если, далее, и (<) — две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем

Где — коэффициент пропорциональности, не зависящий оти, а разность, — длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, то , откуда .

Таким образом

(1)

Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины . Если , то

так какне принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей. Согласно формуле (1), в которой принимаем , имеем

Так как, то при получаем

Наконец, если , то , так как значения лежит на сегментеи, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

График функции представлен на рис. 1.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле. Если или , то . Если , то

Таким образом,

(2)

График функции изображен на рис. 2. Заметим, что в точках a и b функция терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (2), называется равномерно распределенной случайной величиной.

3. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину Y :

. .

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

где— биномиальный коэффициент.

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: .

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения

Пусть и. Тогда.

Пусть и. Тогда.

Связь с другими распределениями:

Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы, где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq .

Если n большое, а λ — фиксированное число, то, где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.

4. Закон Пуассона

Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным:

Если при ,, то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n, получим при

Следовательно,

Полученное распределение вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.

Распределение Пуассона имеет максимум вблизи (знак [x] обозначает целую часть числа x, меньшую или равную x ).

Числовые характеристики распределения: Математическое ожидание Дисперсия

Распределение Пуассона играет важную роль для описания «редких» событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

5.Нормальное распределение

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.

Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).

В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).

Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.

При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид (3)

где a — любое действительное число, а >0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения , имеем

График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 3 изображены два графика функции y =. График I соответствует значениям a =0,=1, а график II — значениям a =0, =1/2.

Покажем, что функция удовлетворяет условию, т.е. при любыхa и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подинтегральной функции имеем

Следовательно,

Но,

В результате получим

(4)

Найдем вероятность . По формуле имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая

Тогда , и (5)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция (6) называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

Итак,

(7)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°.

2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. =- т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции изображен на рис. 4.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (7).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

Так как неравенстворавносильно неравенствам то полагая в соотношении (7) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей — нечетная функция, имеем (8)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.

Определить:

1) ;

2) ;

Решение:

1) Используя формулу (7), имеем

Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134, Ф(1,5)=0,43319. Следовательно 3

2) Так как a=0, то . По формуле (8) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы )=0,9973

Решение: По формуле (8) имеем

Следовательно,. Из табл. II находим, что этому значению соответствует =3, откуда.

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала Этот факт называют правилом трех сигм.

6.Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.

В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Приложение 1

Таблица I: Значения функции:

Приложение 2

Таблица II: Значения функции

www.ronl.ru

1.4 Случайные величины и законы их распределения

Случайной называется величина, которая в результате испытаний может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Непрерывными случайными величинами являются: время безотказной работы элементов, устройств, агрегатов, систем; время вынужденного простоя оборудования из-за отказов; уровень того или иного технического параметра и т.д. Дискретными случайными величинами являются: число неисправных элементов, устройств, агрегатов из общего числа находящихся в эксплуатации; число дефектных изделий в какой-либо партии продукции; количество повреждений элементов какого-либо оборудования в единицу времени и т.д.

Из-за невозможности указать, какое конкретное значение примет случайная величина в данном эксперименте, для ее характеристики применяются вероятности того, что она будет равна заданному значению или окажется в указанных пределах возможного значения. При этом используются понятия числовых характеристик распределений случайных величин.

Основные числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, коэффициент вариации.

Если задан ряд распределений вероятностей для значенийслучайной величиныX, то математическое ожидание определяется по формуле

.

Показателями, характеризующими степень рассеяния случайной величины около своего математического ожидания, являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

, ,

Для более полного описания случайных величин вводятся понятия функции распределения F(x) и плотности распределения f(x). Функция распределения определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х:

.

Плотность распределения непрерывной случайной величины – первая производная от функции распределения:

, .

Тогда математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины определятся как

, ,.

Пример. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в потреблении электрической мощности. При этом в течение года возможны дефициты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями соответственно 0,001, 0,0004 и 0,0002. Определить математическое ожидание недоотпуска электроэнергии промышленному предприятию за год.

Решение.

.

В году 8760 часов.

Биномиальное распределение Если производится серия N независимых опытов, причём вероятность появления изучаемого события в каждом опыте постоянна и равна р, а вероятность его непоявления равна , то вероятностьпоявления данного события точноi раз равна

где

Пример. На электростанции работает четыре однотипных генератора. Вероятность аварийного повреждения каждого из них . Составить закон распределения вероятного числа повреждённых генераторов.

Решение. Число повреждённых генераторов является дискретной случайной величиной. Пользуясь формулой биномиального распределения, находим:

Распределение Пуассона. Этот закон позволяет определить вероятность наступления ровноk событий за промежуток времени t:

, ,,

где – параметр закона распределения – математическое ожидание числа событий за времяt; – интенсивность случайного события.

Закон распределения Пуассона может быть получен из биномиального распределения при достаточно больших N и малых р тогда

.

Пример 1. Выпущена партия резисторов 100000 штук. Вероятность того, что резистор имеет брак, . Найти вероятность того, что в партии ровно пять бракованных резисторов.

Решение.

.

Пример 2. Определить вероятность того, что за 500 ч работы произойдет два отказа в сложном изделии, если известно, что интенсивность отказов

Решение.

Экспоненциальное распределение. Интегральная функция экспоненциального распределения выражает вероятность отказа изделия или элемента за данный интервал времени: .

Функция надежности R(t) используется в качестве модели вероятности безотказной работы за то же время:

,

где – интенсивность отказов, которая для экспоненциального распределения постоянна.

Плотность вероятности отказов

Среднее время до возникновения отказа или среднее время безотказной работы является математическим ожиданием экспоненциального распределения, т.е. величиной, обратной интенсивности отказов

.

Заменяя в функции надёжности R(t) величину , обратной ейполучим ,

Таким образом, зная среднее время безотказной работы или постоянную интенсивность отказов, можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения элемента, устройства или агрегата до любого заданного моментаt.

Вероятность безотказной работы на интервале, превышающем среднее время , равна

.

Дисперсия времени безотказной работы

.

Среднее квадратическое отклонение

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы – характерный признак экспоненциального распределения.

Пример. Время безотказной работы силового трансформатора при перегрузке распределено по экспоненциальному закону , гдеt – время, ч. Найти вероятность того, что трансформатор в перегрузочном режиме проработает безотказно в течение 100 ч.

Решение. .

Среднее время безотказной работы

Вероятность безотказной работы при равна

.

Зависимость интенсивности отказов от времени представлена на рис. 1.7.

Рис 1.7. Кривая жизни изделия

Гамма-распределение. Гамма-распределение в теории надёжности применяется для описания характера изменения параметров надёжности в первый период эксплуатации и в период износа. Если отказ устройства или системы возникает тогда, когда происходит не менее k отказов его элементов, а отказы элементов, подчинены экспоненциальному закону с параметром плотность вероятности отказа определяется как

,

где – исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказомk элементов;

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств, отказ которых вызывается отказом k их элементов.

При k=1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением. При увеличении k гамма-распределение приближается к симметричному распределению, что и показывает рис. 1.7.

Распределение Вейбулла. В теории надежности распределение Вейбулла применяется в следующей форме:

где – приведённое значение среднего времени безотказной работы;– параметр формы распределения.

Вероятность отсутствия отказов за время t

Интенсивность отказов

α=2

Рис. 1.8. Изменение формы гамма-распределения в зависимости от k

Рис. 1.9. Изменение формы распределения Вейбулла в зависимости от а

При интенсивность отказов – убывающая функция; при– возрастающая, что соответствует периодам начальных отказов и старения (рис. 1.7).

Нормальное (гауссовское) распределение. Плотность вероятности нормального распределения характеризует время возникновения отказа:

,

где T – математическое ожидание времени между отказами; – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения соответствует вероятности отказа за время t:

Главная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным; к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения; в теории надёжности применяется для оценки постепенных отказов.

Распределение . Оно играет большую роль при решении задач, связанных с оценкой параметров надежности, определяемых при испытаниях или эксплуатации оборудования.

Рассмотрим k независимых случайных величин каждая из которых распределена по нормальному закону с параметрами ,, т.е.

.

Сумма квадратов этих величин обозначается

, .

Параметр k называется числом степеней свободы.

Плотность распределения имеет вид

, .

studfiles.net

Курсовая работа - Законы распределения случайных величин и их применение

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Равномерное распределение

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому

Если, далее, и (<) — две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем

Где — коэффициент пропорциональности, не зависящий оти, а разность, — длина сегмента . Так как при =a и =b имеем, то , откуда .

Таким образом

(1)

Теперь легко найти функцию F(x) распределения вероятностей случайной величины . Если , то

так какне принимает значений, меньших a. Пусть теперь . По аксиоме сложения вероятностей. Согласно формуле (1), в которой принимаем , имеем

Так как, то при получаем

Наконец, если , то , так как значения лежит на сегментеи, следовательно, не превосходят b. Итак, приходим к следующей функции распределения:

График функции представлен на рис. 1.

Плотность распределения вероятностей найдем по формуле. Если или , то . Если , то

Таким образом,

(2)

График функции изображен на рис. 2. Заметим, что в точках a и b функция терпит разрыв.

Величина, плотность распределения которой задана формулой (2), называется равномерно распределенной случайной величиной.

3. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Пусть — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину Y :

. .

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности , имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: . Её функция плотности вероятности задаётся формулой:

где— биномиальный коэффициент.

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

,

где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции: .

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

,

откуда

,

,

а дисперсия случайной величины.

.

Свойства биномиального распределения

Пусть и. Тогда.

Пусть и. Тогда.

Связь с другими распределениями:

Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.

Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы, где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq .

Если n большое, а λ — фиксированное число, то, где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.

4. Закон Пуассона

Второй предел биноминального распределения, представляющий практический интерес, относится к случаю, когда при неограниченном увеличении числа испытаний математическое ожидание остается постоянным:

Если при ,, то перейдя к противоположному событию, мы получим тот же случай. Полагая m << n, получим при

Следовательно,

Полученное распределение вероятностей случайной величины называется законом Пуассона.

Распределение Пуассона имеет максимум вблизи (знак [x] обозначает целую часть числа x, меньшую или равную x ).

Числовые характеристики распределения: Математическое ожидание Дисперсия

Распределение Пуассона играет важную роль для описания «редких» событий в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. – там, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий ( радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.).

5.Нормальное распределение

Нормальное распределение – это наиболее важный вид распределения в статистике.

Нормально распределяются значения признака под воздействием множества различных причин, которые практически не взаимосвязаны друг с другом и влияние каждой из которых сравнительно мало, по сравнению с действием всех остальных факторов.

Нормальное распределение отражает вариацию значений признака у единиц однородной совокупности. Подобное распределение наблюдается преимущественно в естественно-научных испытаниях (измерение роста, веса).

В социально-экономических явлениях нормального распределения данные встречаются редко. Здесь всегда присутствуют причины существенным образом влияющие на уровень изучаемого признака (результат управленческого воздействия).

Тем не менее, гипотеза о нормальном распределении исходных данных лежит в основе методологии анализа взаимосвязей выборочного метода и многих других статистических методов.

При достаточно большом числе испытаний нормальная кривая служит пределом, к которому стремятся многие виды распределения, в том числе биномиальное и гипергеометрическое.

Говорят, что случайная величина нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения имеет вид (3)

где a — любое действительное число, а >0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения , имеем

График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 3 изображены два графика функции y =. График I соответствует значениям a =0,=1, а график II — значениям a =0, =1/2.

Покажем, что функция удовлетворяет условию, т.е. при любыхa и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подинтегральной функции имеем

Следовательно,

Но,

В результате получим

(4)

Найдем вероятность . По формуле имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая

Тогда , и (5)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция (6) называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

Итак,

(7)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

1°.

2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. =- т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции изображен на рис. 4.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (7).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

Так как неравенстворавносильно неравенствам то полагая в соотношении (7) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей — нечетная функция, имеем (8)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.

Определить:

1) ;

2) ;

Решение:

1) Используя формулу (7), имеем

Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134, Ф(1,5)=0,43319. Следовательно 3

2) Так как a=0, то . По формуле (8) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы )=0,9973

Решение: По формуле (8) имеем

Следовательно,. Из табл. II находим, что этому значению соответствует =3, откуда.

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала Этот факт называют правилом трех сигм.

6.Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.

В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Приложение 1

Таблица I: Значения функции:

Приложение 2

Таблица II: Значения функции

www.ronl.ru

Реферат - Нормальный закон распределения случайных величин

Нормальный закон распределения(закон Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он являетсяпредельным законом в том смысле, что к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется следующей формулой для плотности вероятности:

, (26)

где х – текущие значения случайной величины X; М(X) и s – ее математическое ожидание и стандартное отклонение. Из (26) видно, что если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М(Х) и s, чтобы полностью знать закон ее распределения.

График функции (26) называется нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х = М(Х). Максимальная плотность вероятности, равная », соответствует математическому ожиданию М(Х) = ; по мере удаления от нее плотность вероятности f(х) падает и постепенно приближается к нулю (рис. 5).

Величина М(Х) называется также центром рассеяния. Среднеквадратичное отклонение s характеризует ширину кривой распределения.

При изменении значения М(Х) в (26) нормальная кривая не меняется по форме, но сдвигается вдоль оси абсцисс. С возрастанием s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая, становясь более пологой, растягивается вдоль оси абсцисс, при уменьшении sкривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Вид кривой распределения при разных значениях s:(s3<s2<s1) показан на рис.6.

Естественно, что при любых значениях М(Х) и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью Х, остается равной 1 (условие нормировки):

f(х) dх = 1, или f(х) dх = 1.

Нормальное распределение симметрично, поэтому М(Х) = Мо(Х)= Ме(Х).

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (x1,x2), т.е. Р (x1< Х< x2), равна:

Р(x1 < Х < x2) = . (27)

На практике часто приходиться вычислять вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины на участки, симметричные относительно М(Х). В частности, рассмотрим следующую, важную в прикладном отношении задачу. Отложим от М(Х) вправо и влево отрезки, равные s, 2s и 3s (рис. 7) и проанализируем результат вычисления вероятности попадания Х в соответствующие интервалы:

Р(М(Х)– s <Х<М(Х)+ s) = 0,6827 = 68,27 %. (28)

Р(М(Х)– 2s <Х<М(Х)+ 2s) = 0,9545 = 95,45 %. (29)

Р(М(Х) –3s <Х<М(Х)+ 3s) = 0,9973 = 99,73 %. (30)

Из (30) следует: практически достоверно, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами М(Х) и s лежат в интервале М(Х) ± 3s. Иначе говоря, зная М(Х) = и s, можно указать интервал, в который с вероятностью Р = 99,73% попадают значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений Х известен как «правило трех сигм».

Пример. Известно, что для здорового человека рН крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Определите диапазон значений этого параметра.

Решение: для ответа на этот вопрос воспользуемся “правилом трех сигм”. С вероятностью равной 99,73% можно утверждать, что диапазон значений рН для здорового человека составляет 6,8 – 8.

Задачи

Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

1) 2)

Ответ: закон распределения задает только первая таблица

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Найдите вероятность р1=Р(Х=3) и р3=Р(Х=5), если известно, что р3 в 4 раза больше р1..

2) Получив ответ на первый вопрос, постройте многоугольник распределения.

Ответ: р1=0,05; р3=0,2

Плотность распределения случайной величины Х задана функцией

Найдите вероятность того, что значение случайной величины Х принадлежит интервалу (2, 3).

Ответ: 0,2

Запишите аналитическое выражение для плотности вероятностей.

Ответ: f(x) = 0 при |x| > 1f(x) = x+1 при –1<x≤0f(x) = -x+1 при 0<x≤1)

Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Ответ: 5

Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией:

Найдите математическое ожидание случайной величины Х.

Ответ: 1,5.

Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения является случайной величиной Х с функцией плотности вероятности f(x) = при 0≤ х ≤ 200 и f(х) = 0 при любых других значениях х. Определите среднюю длительность жизненного цикла у этого растения.

Ответ: 133,3 дня.

Дискретная величина Х имеет закон распределения:

Чему равна вероятность р4?

Найдите математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение и моду этой случайной величины.

Ответ: р4=0,24; М(Х)=0,58; D(X)=0,068; s(Х)=0,26; Мо=0,6).

Экспериментальная операция длится не менее 4 мин., но для ее завершения никогда не требуется более 10 мин. Определим случайную величину Т как время, необходимое для выполнения операции и допустим, что функция плотности вероятности для Т имеет вид: f(t) = k (t–4) × (10 – t) на интервале 4 £ t £ 10. Найдите значение постоянной k для этой f(t).

Ответ: 1/36.

Найдите числовые характеристики М(Х),D(Х),s(Х) непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью вероятности:

f(х) =

Ответ: М(Х) = 2/3; D(Х) = 1/18; s(Х) » 0,24.

Запишите плотность распределения для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, если М(Х) = 3, D(Х) = 4.

Ответ:

Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием М(Х)= 10. Вероятность попадания Х в интервал (10,20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,10)?

Ответ: 0,3.

Длина интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадают значения некоторой случайной величины, распределенной нормально, равна 30 ед. длины. Найдите стандартное отклонение.

Ответ: 5 ед. длины.

Диастолическое давления крови у женщин, страдающих гипертонической болезнью, в среднем равно 95 мм рт. ст., стандартное отклонение – 15 мм рт.ст. Определите интервал возможных значений этой величины, считая, что она распределена по нормальному закону.

Ответ: (50 – 140)мм рт.ст.

Считая, что случайная величина Х – диаметр лекарственной таблетки – распределена по нормальному закону с параметрами = 10 мм, s= 0,1 мм, найдите интервал, в котором с вероятностью 95,45 % будут заключены эти диаметры. Если в партии 3000 таблеток, то сколько из них окажется в этом интервале?

Ответ: (9,8 – 10,2)мм; 2864 табл.

www.ronl.ru

Смотрите также

• 
  Реферат войны и военные конфликты
• 
  Реферат война за независимость сша
• 
  История волейбола реферат по физкультуре
• 
  Возникновение земледелия и скотоводства реферат
• 
  Симметрия в окружающем мире реферат
• 
  Реферат метод наблюдения в психологии
• 
  Острые и хронические гастриты реферат
• 
  Миссия и цели организации реферат
• 
  Метрологический контроль и надзор реферат
• 
  Правила поведения в школе реферат
• 
  Реферат правила поведения в школе