Реферат тетраэдр и параллелепипед. Реферат: Задачи урока: Практическое применение теоретических знаний по теме «Сечения. Тетраэдр. Параллелепипед. Куб.»

Методическая разработка Савченко Е.М. МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманской обл. ТетраэдрпараллелепипедГеометрия 10

Слайд 2

AВDАВСD – ромб, сторона которого 6 см, СNSD – параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника АВNS, если СN = 4 см и угол ADS равен 600.CNS6 см6 см4 смПовторение

Слайд 3

Многоугольник ABCDNH – фигура, составленная из отрезков.АВСDHN

Слайд 4

DАСВПоверхность, составленная из четырех треугольников … называется тетраэдромГрани Вершины Ребра

Слайд 5

Слайд 6

DАСВПротивоположные ребраоснованиеоснование

Слайд 7

Параллелепипед АВСDA1B1C1D1 – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов АВВ1А1, ADD1A1, CDD1C1 и ВСС1В1АВСD

Слайд 8

АВСDD1С1A1B1Параллелепипед АВСDA1B1C1D1Грани Вершины Ребра Противоположные грани

Слайд 9

Слайд 10

АВСDА1D1С1B1Диагональ параллелепипеда - отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Слайд 11

Прямоугольный параллелепипедДве грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны.

Слайд 12

АВСDD1С1A1B1Свойства параллелепипедаПротивоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Слайд 13

АВСDD1С1A1B1Свойства параллелепипедаДиагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Слайд 14

АDСВB1С1D1А1Каково взаимное положение прямых А1D и MN, А1D и В1С1, МN и A1B1?NMОшибка

Слайд 15

АDСВB1С1D1А1FEF и E - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых и угол между прямыми EF и AC.

Слайд 16

АDСВB1С1D1А1FF - средина ребра DD1 куба. Определите взаимное расположение прямых BD и B1F.

Слайд 17

АDСВB1С1D1А1FEF и E - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых и угол между прямыми В1Е и ОF.О

Слайд 18

АDСВB1С1D1А1FF и Е - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых АС и FЕ и угол между ними.Е

Слайд 19

АDСВB1С1D1А1FF и Е - средины ребер куба. Определите взаимное расположение прямых ОЕ и FВ1.ЕО

Слайд 20

АВСDNMEFF, Е, N, M - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NM и FЕ и угол между ними.

Слайд 21

АВСDNMN, M - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NM и ВС.

Слайд 22

АВСDNMN, M, Р и К - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NК и МС.РК

Слайд 23

АВСDNN, Р и К - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямых NВ и РК.РК

Слайд 24

АВСDNN и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой NР и плоскости АСDР

Слайд 25

АВСDОпределите взаимное расположение прямой DВ и плоскости АСD

Слайд 26

АВСDNF, S, N и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой CF и плоскости NPSРSF

Слайд 27

АВСDNK, F, S, N и Р - средины ребер тетраэдра. Определите взаимное расположение прямой KF и плоскости NPSРSFK

Реферат - «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

Тема: « Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда».

технология проектного обучения, информационные технологии.

Тема урока: Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Тип урока: урок закрепления и развития знаний.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная

Список используемых источников и программно-педагогических средств:

Л.С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2006г.

В. Н. Литвиненко. Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991.

Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс. ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" 31/2001.

А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете "Первое сентября". Математика. 3/94.

Мультимедийный интерактивный курс "Открытая математика. Стереометрия." Физикон

Проверить знание теоретического материала о многогранниках (тетраэдр, параллелепипед).

Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.

Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников.

Развивать графическую культуру и математическую речь.

Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.

Развивать познавательный интерес учащихся.

Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Компьютер с установленными программами «Живая геометрия», Power Point, мультимедиапроектор.

Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами для взаимопроверки, опоры – памятки, презентация по теме «Аксиомы стереометрии, следствия из них», презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда», цветные карандаши.

Повторение изученного материала с использованием презентации.

- Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани.

3) Повторение изученного материала с использованием презентации.

- Давайте повторим некоторые вопросы теории.

Что такое сечение тетраэдра (параллелепипеда)?

Какие многоугольники мы получали при построении сечений тетраэдра?

А какие многоугольники мы можем получить при построении сечений параллелепипеда?

Давайте повторим аксиомы стереометрии, следствия из них и способы задания плоскости (презентация 1, слайды 1-10)

Презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда».

- Теперь давайте вспомним алгоритм построения сечения тетраэдра на примере двух задач (презентация 1, слайды 11-12). (построение комментируется пошагово учителем).

- Пащенко Алексей с помощью своей презентации напомнит нам об алгоритмах построения сечений параллелепипеда (презентация 2, слайды 1-5) (ученик демонстрирует слайды, комментируя последовательность построения)

- А сейчас с помощью программы «Живая геометрия» мы «оживим» пространство на примере сечения куба. Программа позволяет вращать многогранник, что позволит вам увидеть сечение со всех сторон.

^ 5) Практическая работа на построение сечений с последующей взаимопроверкой.

Ученики получают бланки-карточки для практической работы (приложение 1) Малая наполняемость класса (5 человек), достаточно большое количество посадочных мест, а также последующая взаимопроверка позволяет выполнение работы одного варианта.

На бланках также расположено несколько различных примеров построения сечений. У каждого ученика на парте опора-памятка (приложение 2).

Практическая работа состоит из 12 заданий разного уровня сложности. 5-7 правильно выполненных заданий – оценка «3», 8-10 заданий - оценка «4», 11-12 заданий - оценка «5»

Ученики меняются листами с практической работой, получают для проверки бланки с ответами (приложение 3). Проверяют работы друг друга, отмечая правильно построенные сечения.

- В качестве домашнего задания я попрошу вас решить задачи, аналогичные задачам в практической работе, но на построение сечений тетраэдра. Каждому предлагается выполнить по 4 задания (приложение 4) Задания имеют три уровня сложности.

- Итак, подведем итог, чему мы научились сегодня на уроке?

- Какие теоретические положения нам часто приходилось использовать?

- Какие ошибки были допущены при решении задач? Как вы их устранили?

- Кому приходилось возвращаться к задаче несколько раз?

- Где в практической деятельности вам пригодится сегодняшний урок?

На этапе рефлексии деятельности учащиеся анализируют, где и почему были допущены ошибки, каким способом они были исправлены, повторяют алгоритмы, вызвавшие затруднения, оценивают свою деятельность на уроке.

В завершение урока учащиеся с помощью учителя фиксируют степень соответствия поставленной цели и результатов деятельности. Выставляются оценки.

Практическая работа по построению сечений параллелепипеда. Приложение 1

Аксиома1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.

Аксиома2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Тетраэдр и параллелепипед | Социальная сеть работников образования

Тетраэдр Тетраэдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника

Свойства тетраэдра Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра , определяют описанный около тетраэдра параллелепипед Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой , опущенной из данной вершины Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой , соединяющей данные рёбра Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам . Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой , опущенной из данной вершины

Выделяют: равногранный тетраэдр , у которого все грани - равные между собой треугольники ортоцентрический тетраэдр , у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке прямоугольный тетраэдр , у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой правильный тетраэдр , у которого все грани - равносторонние треугольники соразмерный тетраэдр , бивысоты которого равны инцентрический тетраэдр , у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке

Правильный Тетраэдр Тип: правильный многогранник Грань: треугольник Вершин: 4 Рёбер: 6 Граней: 4 Граней при вершине: 3 Длина ребра: а Высота: Площадь: Объём:

Тетраэдры в технике Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т.д. Стержни испытывают только продольные нагрузки Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов

Тетраэдры в микромире Вода, Лёд, Н 2 О Молекула метана СН 4 Молекула аммиака NH 3 Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем Флюорит CaF 2 , тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем Сфалерит, ZnS , тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем Комплексные ионы [ BF 4 ] - , [ZnCl 4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(Nh4) 4 ] 2+

Параллелепипед Параллелепипед – многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм

Свойства параллепипеда Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Типы параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники; Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники; Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям. Куб— это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба — равные квадраты

Основные формулы Прямой параллелепипед Площадь боковой поверхности S б =Р о * h , где Р о — периметр основания, h — высота Площадь полной поверхности S п =S б +2S о , где S о — площадь основания Объём V=S о * h Прямоугольный параллелепипед Площадь боковой поверхности S б =2c( a+b ), где a , b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда Площадь полной поверхности S п =2( ab+bc+ac ) Объём V=abc , где a , b , c — измерения прямоугольного параллелепипеда

Куб Площадь боковой поверхности S б =4a², где а — ребро куба Площадь полной поверхности S п =6a² Объём V=a ³

Основные элементы Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок , соединяющий противоположные вершины, называется диагональю парал - лелепипеда . Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Теория o тетраэдрах и параллелепипедах — урок. Геометрия, 10 класс.

Тетраэдр (четырехгранник) - многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. (от греческого tetra - четыре и hedra - грань).

У тетраэдра \(4\) грани, \(4\) вершины и \(6\) ребер (Рис.1.).

Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные - боковыми гранями тетраэдра.

В зависимости от видов треугольников и их расположения, выделяют разные виды тетраэдров.

В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:

- правильная треугольная пирамида - основание равносторонний треугольник, все боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3.)

- правильный тетраэдр, у которого все четыре грани - равносторонние треугольники (Рис. 2.).

Из определения правильного многогранника следует, что все ребра тетраэдра имеют равную длину, а грани - равную площадь.

Параллелепипедом называется многогранник, у которого \(6\) граней - параллелограммы.

У параллелепипеда, как отмечено, \(6\) граней, \(8\) вершин и \(12\) ребер (Рис. 4.).

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.

Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения, выделяют разные виды параллелепипедов:

Параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани прямоугольники (Рис. 5.),

Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).

У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера DA, DC, DD1 (Рис. 6.).

Свойства параллелепипеда: - Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

- Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

- Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда.

Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.

Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Так как у тетраэдра \(4\) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7.) или

У параллелепипеда \(6\) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9.), четырехугольник ( Рис. 10. ),

пятиугольник (Рис. 11. ) или шестиугольник (Рис. 12.).

При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:

1. Если две точки прямой принадлежит плоскости, то прямая находится в этой плоскости.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.

3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки \(K\), \(M\) и \(N\).

1. проводим \(MK\) так как обе точки находятся в одной плоскости

2. MK∩CC1=X непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются

3. проводим \(XN\) так как обе точки находятся в одной плоскости

5. проводим \(MP\) так как обе точки находятся в одной плоскости

6. через точку \(N\) в плоскости основанияNL&par;MP так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны

7. Соединяем \(N\) и \(L\) и получаем сечение \(MPNLK\).

Реферат - Задачи урока: Практическое применение теоретических знаний по теме «Сечения. Тетраэдр. Параллелепипед. Куб.»

развитие пространственных представлений учащихся при построении сечений многогранников, развитие устной и письменной речи учащихся, абстрактно-логического мышления, навыков работы с ПК.

воспитание воли и настойчивости для достижения конечных результатов при построении сечений простейших многогранников.

Практическое применение теоретических знаний по теме «Сечения. Тетраэдр. Параллелепипед. Куб.»

Отработка использования современных информационных технологий в обучении старшеклассников.

Активизация познавательной деятельности учащихся.

Программно - методическое обеспечение урока:

Учебник для общеобразовательных учреждений «Геометрия 10 -11», Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Л.С.Киселёва, Э.Г.Поздняк, Москва, Просвещение, 2009.

Творческий проект группы учащихся 10 класса, выполненные в программе Power Point.

Раздаточный материал для выполнения практических заданий.

Мультимедийная установка для показа презентаций по теме урока, экран.

Персональные компьютеры для работы с тестами и задачами на построение сечений.

Интерактивная доска для построения сечений многогранников.

Инструктаж по ТБ при работе на компьютере (1 мин).

Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4 мин).

Учитель сообщает тему урока, на котором будут рассмотрены авторские задачи учащихся класса на построение сечений некоторых простейших многогранников заданными плоскостями. На уроке учащимся предстоит выполнить практическую работу по построению сечений с помощью компьютера, а так же ответить на вопросы теста по теме урока с помощью компьютера.

2. Инструктирование по технике безопасности при работе в компьютерном классе.

Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями, находить точку пересечения данной прямой с данной плоскостью, находить линию пересечения двух данных плоскостей

Ученик: Сечение многогранника – это многоугольник, сторонами которого являются отрезки, принадлежащие граням многогранника, с концами на ребрах многогранника, полученный в результате пересечения многогранника произвольной секущей плоскостью.

Учитель: Какие многоугольники могут являться сечениями данных многогранников?

Ученик: Сечение тетраэдра: трёх-четырехугольники, сечение куба и параллелепипеда: трёх-шестиугольники, сечение треугольной и четырехугольной пирамиды: трех-пятиугольники.

Учитель: (Слайд 3) Давайте рассмотрим сечение параллелепипеда секущей плоскостью, проходящей через точки, лежащие на ребрах АА1, АВ и вершину Д1. Найдите ошибку в построении данного сечения и с помощью интерактивной доски исправьте её (ошибку).

Учитель: (Слайд 3) Давайте рассмотрим сечение тетраэдра секущей плоскостью, проходящей через точки, лежащие на ребрах АТ, АВ и СТ. Найдите ошибку в построении данного сечения и с помощью интерактивной доски исправьте её (ошибку).

Учитель: перечислите методы построения сечений?

Ученик: метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений.

Ученик: на аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Учитель: Вспомним метод следов на практике, для этого проверим домашнюю задачу № 83.

Авторская задача Титова А.(см. папку авторские работы учащихся) Дано: ABCDEA'B'C'D'E‘ – призма, точка M є BB', точка N є (C'CDD')‏, точка K є (AEE'A')‏. Построить сечение призмы ABCDEA'B'C'D'E' плоскостью, проходящей через точки M,N и K.

Учащиеся делают построение на заготовленных учителем чертежах пятиугольной призмы, а автор этой задачи объясняет её решение на интерактивной доске.

Построение см. с помощью презентации Титова А.

5. Самостоятельная работа с последующей проверкой правильности выполнения построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Пожеланию: составить авторскую задачу на сечения многогранников.

Сегодня на уроке мы закрепили навыки решения задач на построение сечений простейших многогранников и воспользовались для этого возможностями вычислительной техники.