Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией , и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...” . Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы.

Его прижизненная известность основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный “избранник богов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века. Ах, Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнет серой ?

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечто мучительно знакомое:

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С ) , вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно; ...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет. ...Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.”

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центром французской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром для Ферма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.

Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией . Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий.

Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузского нахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господ Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед ... ” и т.д..

Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения.

Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и так как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию” и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить.” Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малый процесс Математики против г. Ферма”.

Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”.

Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692) , “Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа.

Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни.

Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 гг.), можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма.

В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод выделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась.

В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию. ... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” он высказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула

, n = 0,1,2,...

Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) - простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат .

Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа вида именно 3, 5, 17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет подумал и показал, что уже при n = 5 число F(5) делится на 641:

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135 цифр и делится на 27×2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящих n приблизительно равно при n ® ¥ .

Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни” вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb , где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют вид . То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник.

Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности:

1. Формой x2+y2 представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

2. Формой x2+2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не представимо в виде x2+2y2 .

3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо в виде x2-2y2 .

4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами.

Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма.

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого a³1, которое не делится на p, разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5,

p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2, 53-1-1=3×8, 57-1-1=7×2232, 511-1-1=11×8878 . Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть j(m) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любого a³1, взаимно простого с m, разность aj(m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”

Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языке звучит так:

не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство

при n>2.

Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде:

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях.“

Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем.

Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек не существует.

Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например, около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказать это утверждение.

В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.

Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.

Первый серьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида , где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.

Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида . В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателей n>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n <100 . В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000 . Это очень большое число, но это еще не все n , а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

“Верна или не верна?” - так назывался чудесный научно-популярный игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в начале семидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМ старинные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться к последнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и в облаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодой Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодно клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна теорема Ферма” - устало ответствует математик. “Простите, кто кому не верна?” - переспрашивает ошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическое утверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”. Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий - земные блага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требует ответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашается вникнуть в суть проблемы. Математик пускается в объяснения: “Уравнение Ферма может быть решено в целых числах, если показатель равен двум. Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем... ”

“Подождите, - перебивает его дьявол. - Как Вы сказали? Три в квадрате плюс четыре в квадрате... ”, и дьявол рисует кончиком хвоста:

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самого начала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему не терпится приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему” - отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди них не было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эта штучка жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностью овладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, ряды Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии. Шансов немного, но ... ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - разве это возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра по когомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются в формулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

Забавный фильм вполне точно подмечает инфернальный характер наследия Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.

Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма во-первых не существует, а во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики.

Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей стали бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше доказательство содержит ошибку на стр. ____ , которая заключатся в том, что ____________”

После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля обесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.

Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационные агентства передали сообщение о том, что двум американским математикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашей прессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил факт доказательства . XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихо и буднично. При помощи обычной теории идеалов.

Литература

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М., “Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

5rik.ru

Реферат - Пьер де Ферма

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона , крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец - Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать - Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени. Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество. В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией , и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...” . Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы. Его прижизненная известность основана на обильной переписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобраться с наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный “избранник богов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. На окончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века. Ах, Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнет серой ? Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основой дифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечто мучительно знакомое: н быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С ) , вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания. В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно; ...Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет. ...Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.” Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центром французской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже. Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дю Перрон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром для Ферма. Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи: “Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отыскания максимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагал Ферма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны от места наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих к античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков. Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов для нахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма. Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией . Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, я предложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моем предложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий. Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузского нахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вы мне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладила господ Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения их писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказал Архимед ... ” и т.д.. Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо не имеет решения. Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и так как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию” и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему ответить.” Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малый процесс Математики против г. Ферма”. Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представление чисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своей только что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежа вычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен, чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”. Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроем современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692) , “Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло в историю как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятий математического анализа. Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта” и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно эта рукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни. Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 гг.), можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резко изменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоваться касательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма. В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - метод выделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), который рассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики. Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузского сенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичность теоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то время мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась. В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чем арифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, и на геометрию. ... Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способом доказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”. Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способы построения простых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” он высказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула n = 0,1,2,... Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) - простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат . Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа вида именно 3, 5, 17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет подумал и показал, что уже при n = 5 число F(5) делится на 641: Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135 цифр и делится на 27?2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537. Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящих n приблизительно равно при n ? ? . Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни” вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb , где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют вид . То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник. Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности: 1. Формой x2+y2 представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою двух квадратов. 2. Формой x2+2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не представимо в виде x2+2y2 . 3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо в виде x2-2y2 . 4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами. Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалеть современников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный закон взаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век - Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утверждения Ферма. Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простого p и любого a?1, которое не делится на p, разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5, p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2?2, 53-1-1=3?8, 57-1-1=7?2232, 511-1-1=11?8878 . Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”. Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть ?(m) - число натуральных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любого a?1, взаимно простого с m, разность a?(m)-1 делится на m. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма” Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как “Великая теорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языке звучит так: не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство при n>2. Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма в оригинальном виде: “Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того же названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно не умещается на узких полях.“ Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейских тем. Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) вида интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек не существует. Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например, около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказать это утверждение. В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить. Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства или опровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n. Первый серьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексные числа вида , где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма. Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида . В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” для n=3. Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателей n>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение. Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n “Верна или не верна?” - так назывался чудесный научно-популярный игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в начале семидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМ старинные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться к последнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и в облаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодой Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодно клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна теорема Ферма”- устало ответствует математик. “Простите, кто кому не верна?”- переспрашивает ошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическое утверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”. Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий - земные блага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требует ответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашается вникнуть в суть проблемы. Математик пускается в объяснения: “Уравнение Ферма может быть решено в целых числах, если показатель равен двум. Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем... ” “Подождите,- перебивает его дьявол. - Как Вы сказали? Три в квадрате плюс четыре в квадрате... ”, и дьявол рисует кончиком хвоста: Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самого начала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему не терпится приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему”- отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди них не было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эта штучка жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностью овладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, ряды Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии. Шансов немного, но ... ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - разве это возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра по когомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются в формулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне. Забавный фильм вполне точно подмечает инфернальный характер наследия Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”. Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма во-первых не существует, а во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что при попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие к созданию новых обширных разделов математики. Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премии предоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей стали бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше доказательство содержит ошибку на стр. ____ , которая заключатся в том, что ____________” После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеля обесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился. Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационные агентства передали сообщение о том, что двум американским математикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашей прессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил факт доказательства . XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихо и буднично. При помощи обычной теории идеалов.

Литература 1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”, 1992. 2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978. 3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М., “Наука”, 1976. 4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983. 5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956. 6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

www.ronl.ru

Реферат - Пьер де Ферма

Пьерде Ферма

Аналитик, будь честен !

Иначеночью Эквидомид-мститель

Сожметтвое горло смертельной тоской..

Луи Феррон,“Опыт мюидальной геометрии”

“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второгоконсулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец — ПьерФерма, купец и брат названного Доминика, крестная мать — Жанна Казнюв, и я”.Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документискали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвокатаТопиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) годаисправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне (воФранции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силахосознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма,последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий,тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своимизагадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед,завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики новоговремени.

Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжализ Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочерисоветника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до званиясоветника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия,практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканскимблагочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Онимел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками.Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо.Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французскихкоролей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещалматематические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникампровинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявленийпубличности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своейстрасти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как,говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременностоль бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, которыйзанимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометриюсамой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я частоговорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в неевсе силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеконе самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривыхлиний прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место вистории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по деламслужбы.

Его прижизненная известность основана на обильнойпереписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Егопосмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики”Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобыразобраться с наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный“избранник богов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. Наокончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века. Ах,Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнет серой ?

Интерес к математике обозначился у Ферма как-тонеожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадаетлатинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлонияо свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античнойфилологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассужденийзнаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельновоспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии.Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая вгеометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: длянахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи.Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корникоторого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основойдифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечтомучительно знакомое:

/> .

Он быстро продвинулся дальше. Он нашелдостаточные условия существования максимумов, научился определять точкиперегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьегопорядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический методнахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то естьинтегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq= С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Этобыл настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения сматематическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобиюМарену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которуюВы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно;… Ябуду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике,которые появилась за последние пять-шесть лет.… Я нашел также многоаналитических методов для различных проблем, как числовых, так игеометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим яподелюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, откоторого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.”

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканскиймонах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 летвозглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центромфранцузской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будетпреобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку,и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода“почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже.Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самыеблестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг,Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дюПеррон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположниккартезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новойматематики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу. Этотзамечательный человек станет кошмаром для Ферма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточноинтересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут жезавязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмамисамого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи:“Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя — “Способ отысканиямаксимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагалФерма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники несодрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то,что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплерас забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассужденияКеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны отместа наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малостиприращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшиеаналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то естьматематикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным длянужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”). Традицияпредписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящихк античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можноскладывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламберв знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новыхисчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов длянахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры — современники Ферма — не поняли этогонового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение,которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным втечении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции”Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.

Кроме всего прочего быстро обнаружилось, чтоФерма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решатьзадачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между ученымимужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией.Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо — это вызов, содержащий десяткисложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик егостиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, которыйпри уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлетемне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими,чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, япредложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моемпредложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самыйнезначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся,формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, и откровенно блефовал,утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи.Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замеченысовременниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждениечитателей в течении столетий.

Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. ЛишьРобервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением,сохраняет дружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить“тулузского нахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вымне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладилагоспод Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения ихписем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, насамом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказалАрхимед… ” и т.д…

Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послалзадачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами,площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задачазаведомо не имеет решения.

Самую враждебную позицию по отношению к Фермазанял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, чтоэто тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, итак как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию”и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание егоистолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этомон знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за нимчислится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным емуответить.” Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малыйпроцесс Математики против г. Ферма”.

Легко понять, что привело в ярость именитогоученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные осии представление чисел отрезками — прием, который Декарт всесторонне развивает всвоей только что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежавычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен,чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего методанахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча,уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”.

Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны,но откроем современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим списоктерминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692),“Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло висторию как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основательфилософской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенныхобозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. Впротивоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу можетпридумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”,”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполнесправедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитскомпосредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенни здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, ихнапряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятийматематического анализа.

Первым теряет интерес к дискуссии Ферма.По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевалсоперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукописькоторой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта”и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно этарукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечиваетисчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света. Реверансы всторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни.

Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторонусамолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 — 1640 гг.),можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резкоизменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоватьсякасательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождениямаксимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целикомпогружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежисвоим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся“Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлениемна свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма.

В трудах древних, с их культом чертежа, мынаходим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечаеткое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел.Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) — методвыделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особнякомстоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), который рассматривал задачи опредставлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Изтринадцати книг его “Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европепереводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь вначале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод “Арифметики” ссобственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание,попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует“Арифметику” и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этихпометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств) рассеяны вписьмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления вматематике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащийотцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийцаДиофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузскогосенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текстсочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное наоснове писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистамиоткрылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичностьтеоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В то времямало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознатьформулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными иутерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждоенайденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась.

В последствии Ферма объяснит свое увлечениечислами в письме английским математикам Дигби и Броункеру. Этописьмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Фермапишет: “Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметическиезадачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чемарифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов;подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалилсяот геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако иэта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета“Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, ина геометрию.… Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам длядоказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите,то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способомдоказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясьчислами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способыпостроения простых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяетбыстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” онвысказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула

/>, n =0,1,2,...

Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простыечисла 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) — простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этотрезультат.

Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха,который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебезамечание Ферма о том, что все числа вида /> именно3, 5, 17 и т.д… суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этогодоказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару летподумал и показал, что уже при n = 5 числоF(5) делится на 641:

/> .

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных внастоящий момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135цифр и делится на 27×2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следуетподчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми,никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другойстороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколькоиз знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

Итак, Ферма ошибался. Его формула производила восновном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простыхчисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлерпредложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать этивычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не можетпри всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения.Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мыпо-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаеммассу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этойобласти принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850): числопростых чисел не превосходящих n приблизительно равно /> при n ® ¥ .

Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если быпозволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа какоборотни” вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г.19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвелсенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен спомощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb, где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют вид /> . То была месть Фермаспесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорамиотносительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономиламассу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можнопостроить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзяпостроить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гауссне поленился построить правильный 17-угольник.

Занимаясь тайнами простых чисел Фермасформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами.Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности:

1. Формой x2+y2 представимывсе простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1, причем каждое изних представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

2. Формойx2+2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3.Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не представимо ввиде x2+2y2 .

3. Формойx2-2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7.Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо ввиде x2-2y2 .

4. Формамиx2+3y2и x2+xy+y2 представимы все простыечисла, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами.

Ферма оставил крайне мало пояснений, дающихвозможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общиерезультаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновалположение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалетьсовременников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений(1) — (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утвержденийудалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень важную теорему оделимости — так называемой квадратичный закон взаимности, доказательствокоторого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж,Лежандр, Чебышев, а в наше век — Вейль, Артин и многие другие блестящиематематики. Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смыслепостроения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добраяполовина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказатьутверждения Ферма.

Один из важнейших результатов Ферма получилспециальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теорииделимости на простые числа: для любого простого p и любого a³1, которое не делится на p,разностьap -1-1 делится наp. Например,пусть a=5,

p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2, 53-1-1=3×8, 57-1-1=7×2232, 511-1-1=11×8878. Ферма высказал эту теорему вписьме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “… я бы Вамприслал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” далЛейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различныхдоказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать своютеорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма,пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновалиЭйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщениеего “Малой теоремы”: пусть j(m) — число натуральных чисел, не превосходящих m ивзаимно простых с m. Тогда для любого m и любого a³1, взаимно простого с m,разностьaj(m)-1 делится наm. Эту терему Эйлер скромно опубликовалв качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”

Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитойтеоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как “Великаятеорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном этоязыке звучит так:

не существует отличных от нуля целых чиселx,y и z, для которых имеет месторавенство

приn>2.

Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было.Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводимутверждение Ферма в оригинальном виде:

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат надва квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень вдве того же названия невозможно разделить”. И не поставив точку, Фермаприписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Нооно не умещается на узких полях.“

Этой фразой Ферма прокомментировал задачу изДиофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечаниеявляется вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалосьжитейских тем.

Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями сдвумя неизвестными) вида /> интересовалидревних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройкицелых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, чтопри n =1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений.Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек несуществует.

Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобномувыводу. Например, около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди(что означает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никакихшансов доказать это утверждение.

В отношении Ферма достоверно известно, что ондоказал “Великую теорему” при n=4 на полях все той же “Арифметики”. Иэто единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до нашихдней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиковк “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случай n=3он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.)пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великуютеорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал только один разв упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни водном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), вотношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже вписьме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основныедостижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означатьтолько одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительномдоказательстве”, которые так и не смог устранить.

Разумеется, это не охладило потомков. Начиная сконца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством“Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обреклатысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства илиопровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинутьсявперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.

Первый серьезный результат был получен конечно жеЭйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственныйчастный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарныйхарактер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолькосущественные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честностиФерма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексныечисла вида /> , где a, b — целые числа.В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.

Строго говоря, доказательство Эйлера былодефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел начисла вида />. В частности онпредполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Дляустранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новыеалгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программыначал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство“Великой теоремы Ферма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза:Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7.Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, чтодоказал теорему для всех простых показателей n>3. Однако бдительныйЛиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которуюдопустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, вГермании молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повториввсе ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложениена простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданиюголовокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются вспециальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятившийтеореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теоремуФерма” для всех простых показателей n <100. В 1857 г. ему былавручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. РаботыКуммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремыФерма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не могиметь доказательства теоремы в общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстветеоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя методКуммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинностьтеоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремыдля конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которымилегко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годовнашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000. Это очень большое число, но это еще не все n, а значит “Великаятеорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

“Верна или не верна?” — так назывался чудесныйнаучно-популярный игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в началесемидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМстаринные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться кпоследнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и воблаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодойКайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодноклиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна теоремаФерма” — устало ответствует математик. “Простите, кто кому не верна?” — переспрашиваетошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическоеутверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”.Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий — земныеблага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требует ответа напроклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашается вникнуть в сутьпроблемы. Математик пускается в объяснения: “Уравнение Ферма может быть решенов целых числах, если показатель равен двум. Например, три в квадрате плюсчетыре в квадрате равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем… ”

“Подождите, — перебивает его дьявол. — Как Вы сказали? Три вквадрате плюс четыре в квадрате… ”, и дьявол рисует кончиком хвоста:

/> /> /> /> />

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьяволбезнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самогоначала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировкутеоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему нетерпится приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа?Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторогопоказателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнутьтеорему” — отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут онвновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, нонужных цифр среди них не было” — заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всехпоказателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используязнания, накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у негосамый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эташтучка жжет почище адского пламени. — говорит он задумчиво — Я полностьюовладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, рядыДирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И язнаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращаетсялишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, — шепчетвозбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые впроективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований вхаусдорфовой топологии. Шансов немного, но… ”. “Позвольте, — прерывает егоматематик, — разве это возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответраскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра покогомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются вформулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

Забавный фильм вполне точно подмечаетинфернальный характер наследия Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятиемдля десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ееформулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезюуже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичнаятелеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основнаяидея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.

Ведущие математики всех времен и народовнеоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма во-первыхне существует, а во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оновсего лишь закроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, чтопри попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие ксозданию новых обширных разделов математики.

Движение “ферматистов” приняло невероятныйразмах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскельзавещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премиипредоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей сталибомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащимидоказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическоеобщество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло болеетысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Вашедоказательство содержит ошибку на стр. ____, которая заключатся в том, что____________”

После первой мировой войны во время инфляции премияВольфскеля обесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.

Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущиеинформационные агентства передали сообщение о том, что двум американскимматематикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашейпрессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил фактдоказательства . XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихо и буднично.При помощи обычной теории идеалов.

Литература

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантовуанализу. М., “Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новойматематики. М., “Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализаот Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

www.ronl.ru

Реферат: Пьер де Ферма

Аналитик, будь честен !

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской..

Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

, n = 0,1,2,...

не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство

при n>2.

Список литературы

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М., “Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

Оглавление Введение Глава I. Развитие геометрии 1.1 История геометрии 1.2 Постулаты Евклида 1.3 Аксиоматика Гильберта 1.4 Другие системы аксиом ... Но факт есть факт - и одна из теорем Пифагора теперь известна каждому - это теорема о равенстве квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского ...

Раздел: Рефераты по математикеТип: дипломная работа

Геометрия Лобачевского

Тема: "Геометрия Лобачевского" Выполнила: Зайнулина Г. Г.Бишкек 2010 Н.И. Лобачевский и его геометрия До начала XIX столетия ни одна из попыток ... Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф. Клейн (1849-1925) в работе "О так называемой неевклидовой геометрии" доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем ... Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большинство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются, так как они наглядно очевидны.

Раздел: Рефераты по математикеТип: реферат

... становления и развития методики преподавания математики в России

Содержание Введение Глава 1. Теоретические аспекты изучения проблемы исторического становления и развития методики преподавания математики в России 1 ... Между тем не в меньшей степени представляется интересной история преподавания конкретных дисциплин: арифметики, алгебры, геометрии и т.д. Тем более важно исследовать эволюцию ... Методика преподавания математики рассматривает такие вопросы, как цели обучения, математические понятия и предложения, теоремы и их доказательство, задачи и их решение, методы и ...

Раздел: Рефераты по педагогикеТип: курсовая работа

Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике

Содержание Введение. 2 1. Психолого-педагогическое обоснование внеклассной работы по математике 4 2. Внеклассная работа как одно из направлений ... "Клуб веселых математиков", "Интеллектуальное казино", игра "Наука геометрия против" и "Слабое звено".Какая теорема в середине века называлась "магистром математики"? (теорема Пифагора)

Раздел: Рефераты по педагогикеТип: дипломная работа

Элективные курсы по математике в профильной школе

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Вятский государственный ... 1. "Замечательные теоремы и факты геометрии": теорема Пифагора, различные способы её доказательства и её роль в геометрии; обобщения теоремы Пифагора; теоремы Чевы и Менелая ... Отметим, что задачи содействуют установлению преемственных связей, так как уже в самом содержании задачи "заложено" содержание обучения математике (понятия, теоремы, способы ...

Раздел: Рефераты по педагогикеТип: дипломная работа

Вы можете узнать стоимость написания работы

5rik.ru

Реферат: Пьер де Ферма

Пьер де Ферма

Аналитик, будь честен !

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской..

Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций видаyp= Cxqиypxq= С), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

,n=0,1,2,...

Действительно, приn= 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочихnчислаF(n)- простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат .

Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733 г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха, который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру: “Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа видаименно 3, 5, 17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару лет подумал и показал, что уже приn= 5 числоF(5) делится на 641:

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (приn=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел ФермаF(452) состоит из 10135цифр и делится на 27×2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числаF(n)простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

Итак, Ферма ошибался. Его формула производила в основном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простых чисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный Эйлер предложил многочленx2-x+41, который при всех целыхxот 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать эти вычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения. Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов, мы по-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаем массу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этой области принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850) : число простых чисел не превосходящихnприблизительно равноприn®¥ .

Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если бы позволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа как оборотни” вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвел сенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb, где все простые числа piявляются числами Ферма, т. е. имеют вид. То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорами относительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построить правильный 17-угольник.

1. Формойx2+y2представимы все простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

2. Формойx2+2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 не представимо в видеx2+2y2.

3. Формойx2-2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 не представимо в видеx2-2y2.

4. Формамиx2+3y2иx2+xy+y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами.

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простые числа: для любого простогоpи любогоa³1, которое не делится наp, разностьap-1-1 делится наp. Например, пусть a=5,

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновали Эйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщение его “Малой теоремы”: пусть j(m) - число натуральных чисел, не превосходящихmи взаимно простых сm. Тогда для любогоmи любогоa³1, взаимно простого сm, разностьaj(m)-1 делится наm. Эту терему Эйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”

не существует отличных от нуля целых чиселx,yиz, для которых имеет место равенство

приn>2.

Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями с двумя неизвестными) видаинтересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, что приn=1, 2 уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочихnтаких троек не существует.

Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например, около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (что означает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнениеx3+y3=z3не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никаких шансов доказать это утверждение.

В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему” приn=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к “Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случайn=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.) пишет, что доказал теорему дляn=3 методом спуска. Между тем “Великую теорему” для общего случаяn>2 Ферма сформулировал только один раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смог устранить.

Первый серьезный результат был получен конечно же Эйлером (1768). Он показал, что случайn=4 уникален. Это единственный частный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарный характер. Уже приn=3 возникают значительные осложнения. Настолько существенные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честности Ферма. Эйлер доказал теорему для случаяn=3, рассматривая комплексные числа вида, где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.

Строго говоря, доказательство Эйлера было дефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел на числа вида. В частности он предполагал единственность разложения таких чисел на простые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремы Ферма” дляn=3.

Доказательство для случаяn=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателяn=7. Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, что доказал теорему для всех простых показателейn>3 . Однако бдительный Лиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданию головокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются в специальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателейn<100 . В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы в общем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинность теоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремы для конкретногоnсвелось к чисто вычислительным проблемам, с которыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всехn<100000 . Это очень большое число, но это еще не всеn, а значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самого начала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему не терпится приступить к решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа? Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему” - отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди них не было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается:“Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленные людьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эта штучка жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностью овладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, ряды Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии. Шансов немного, но ... ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - разве это возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра по когомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются в формулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

Литература

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М., “Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М., “Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

superbotanik.net

Реферат: Пьер де Ферма

Пьер де Ферма

Аналитик, будьчестен !

Иначе ночьюЭквидомид-мститель

Сожмет твое горлосмертельной тоской..

Луи Феррон, “Опытмюидальной геометрии”

Этот современник Д’Артаньяна почти не выезжал из Тулузы, где оселпосле женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советникатого-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до званиясоветника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия,практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью ифранцисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задачв реальной жизни. Он имел пятерых чад, в последствии ставших судейскимичиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество.

В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писалфилософских трактатов, как Декарт, не был наперсником французскихкоролей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещалматематические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни.Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь,избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себясолидным человеком, стеснялся своей страсти к досужим формальным играм. На склоне лет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаюгеометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно стольбесполезным, что я делаю мало различия между человеком, которыйзанимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называюгеометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же толькопрофессией , и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не длятого, чтобы вкладывать в нее все силы...” . Он изменил себе лишь передсмертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находокв небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаруживникаких сознательных претензий на место в истории, Ферма неожиданноумирает в возрасте 64 лет во время поездки по делам службы.

Его прижизненная известность основана на обильной переписке, в которойон донимал друзей и недругов необычными задачами. Его посмертная славаразрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики” Диофанта.Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобы разобратьсяс наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный “избранникбогов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. Наокончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыревека. Ах, Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнетсерой ?

Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и вдостаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинскийперевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония освойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античнойфилологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассужденийзнаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат можетпопытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографиипо алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчиваетсяуспехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, онсовершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумовплощадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Всегда можно составить ирешить некое простое алгебраическое уравнение, корни которого определяютэкстремум. Он придумал алгоритм, который станет основойдифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенныхрукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливопроступает нечто мучительно знакомое:

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условиясуществования максимумов, научился определять точки перегиба, провелкасательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Ещенесколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахожденияквадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то естьинтегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С ) , вычисляет площади,объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв.Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическимиавторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну:”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мнеоказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно; ...Ябуду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах поМатематике, которые появилась за последние пять-шесть лет. ...Я нашелтакже много аналитических методов для различных проблем, как числовых,так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен.Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякоговысокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любойдругой человек на свете.”

Кто такой отец Мерсенн? Это францисканский монах, ученый скромныхдарований и замечательный организатор, в течении 30 лет возглавлявшийпарижский математический кружок, который стал подлинным центромфранцузской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIVбудет преобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно велогромную переписку, и его келья в монастыре ордена минимов наКоролевской площади была своего рода “почтамтом для всех ученых Европы,начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научныежурналы, которые появились значительно позже. Сборища у Мерсеннапроисходили еженедельно. Ядро кружка составляли самые блестящиеестествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг, Мидорж,Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дюПеррон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья,основоположник картезианства, “отец” аналитической геометрии, один изоснователей новой математики, а так же друг и товарищ Мерсенна поиезуитскому колледжу. Этот замечательный человек станет кошмаром дляФерма.

Мерсенн счел результаты Ферма достаточно интересными, чтобы ввестипровинциала в свой элитный клуб. Ферма тут же завязывает переписку сомногими членами кружка и буквально засыпает письмами самого Мерсенна. Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи:“Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя - “Способ отысканиямаксимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, чтоизлагал Ферма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась.Современники не содрогнулись. Они мало, что поняли, но зато нашлиоднозначные указание на то, что идея алгоритма максимизации Фермазаимствовал из трактата Иоханнеса Кеплера с забавным названием “Новаястереометрия винных бочек”. Действительно, в рассуждения Кеплеравстречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны отместа наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идеямалости приращения функции вблизи экстремума вовсе не носилась ввоздухе. Лучшие аналитические умы того времени были не готовы кманипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебрасчиталась разновидностью арифметики, то есть математикой второго сорта,примитивным подручным средством, разработанным для нужд низменнойпрактики (“хорошо считают только торговцы”). Традиция предписывалапридерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящих кантичной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины можно складывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать ввиде отрезков.

Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламбер в знаменитой “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новых исчислений. Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов длянахождения касательных”. В конце XVIII века еще более определенновыскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры - современники Ферма - не поняли этого нового рода исчисления. Они усмотрели лишьчастные случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго перед“Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным в течении сорока лет”.Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции” Исаака Барроу,подробно освещавшие метод Ферма.

Кроме всего прочего быстро обнаружилось, что Ферма более склоненформулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решать задачи,предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между учеными мужамибыл общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией .Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это вызов,содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на самые неожиданныетемы. Вот образчик его стиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item,каков наименьший квадрат, который при уменьшении на 109 и прибавленииединицы даст квадрат? Если Вы не пришлете мне общего решения, топришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими, чтобыВас не очень затруднить. После того как Я получу от Вас ответ, япредложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моемпредложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробныхчисел самый незначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма частоповторялся, формулируя одни и те же вопросы по несколько раз, иоткровенно блефовал, утверждая, что располагает необыкновенно изящнымрешением предложенной задачи. Не обходилось и без прямых ошибок.Некоторые из них были замечены современниками, а кое какие коварныеутверждения вводили в заблуждение читателей в течении столетий.

Кружок Мерсенна прореагировал адекватно. Лишь Робервиль, единственныйчлен кружка, имевший проблемы с происхождением, сохраняет дружеский тонписем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить “тулузскогонахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вы мнепишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладилагоспод Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращенияих писем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначаланевозможным, на самом деле не является таковым и что есть много проблем,о которых, как сказал Архимед ... ” и т.д..

Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послал задачу о нахождениипрямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, площадь которогоравна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задача заведомо неимеет решения.

Самую враждебную позицию по отношению к Ферма занял Декарт. В егописьме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, что это тот самыйчеловек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, и таккак Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою“Геометрию” и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имеюоснование его истолковать) послал это с целью вступить в соперничество ипоказать, что в этом он знает больше, чем я, и так как еще из вашихписем я узнал, что за ним числится репутация весьма сведущего геометра,то я считаю себя обязанным ему ответить.” Свой ответ Декарт впоследствии торжественно обозначит как “малый процесс Математики противг. Ферма”.

Легко понять, что привело в ярость именитого ученого. Во-первых, врассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные оси и представлениечисел отрезками - прием, который Декарт всесторонне развивает в своейтолько что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежавычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже болеепоследователен, чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрируетэффективность своего метода нахождения минимумов на примере задачи ократчайшем пути светового луча, уточняя и дополняя Декарта с его“Диоптрикой”.

Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны, но откроемсовременную “Математическую энциклопедию” и просмотрим список терминовсвязанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692) ,“Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло висторию как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: оноснователь философской школы, он формирует понятия, совершенствуетсистему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новыхконкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но полюбому поводу может придумать массу остроумных математических трюков(см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спускаФерма”). Вероятно, они вполне справедливо завидовали друг другу.Столкновение было неизбежно. При иезуитском посредничестве Мерсеннаразгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенн и здесь оказалсяправ перед историей: яростная схватка двух титанов, их напряженная,мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятийматематического анализа.

Первым теряет интерес к дискуссии Ферма. По-видимому, он напрямуюобъяснился с Декартом и больше никогда не задевал соперника. В одной изсвоих последних работ “Синтез для рефракции”, рукопись которой он послалде ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта” и всяческиподчеркивает его приоритет в вопросах оптики. Между тем именно этарукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, которыйобеспечивает исчерпывающее объяснение законов отражения и преломлениясвета. Реверансы в сторону Декарта в работе такого уровня былисовершенно излишни.

Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторону самолюбие, пошел напримирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 - 1640 гг.), можнопредположить самое простое: в этот период его научные интересы резкоизменились. Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоватьсякасательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методенахождения максимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного,Ферма целиком погружается в математику дискретного, оставив опостылевшиегеометрические чертежи своим оппонентам. Его новой страстью становятсячисла. Собственно говоря, вся “Теория чисел”, как самостоятельнаяматематическая дисциплина, своим появлением на свет целиком обязанажизни и творчеству Ферма.

В трудах древних, с их культом чертежа, мы находим удивительно малоисследований по теории чисел. Евклид отмечает кое-какие правиладелимости и доказывает бесконечность множества простых чисел. Можнотакже припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) - методвыделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все.Особняком стоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), которыйрассматривал задачи о представлении чисел и решал неопределенныеуравнения в целых числах. Из тринадцати книг его “Арифметики” до нашихдней дошло лишь шесть. В Европе переводы сочинений Диофанта на латинскийи французский языки появились лишь в начале XVII в. Баше де Мезириак в1621 г. издал перевод “Арифметики” с собственными подробнымикомментариями и дополнениями. Именно это издание, попавшись в рукиФерма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” и помещает наполях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этих пометок, положения изтеории чисел (в основном без доказательств) рассеяны в письмах Ферма.Этого вполне хватило для возникновения нового направления в математике.После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащий отцуэкземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметикиалександрийца Диофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. деФерма, тулузского сенатора”. В книгу были включены также некоторыеписьма Декарта и полный текст сочинения Жака де Бильи “Новое открытие вискусстве анализа”, написанное на основе писем Ферма. Издание имелоневероятный успех. Перед изумленными специалистами открылся невиданныйяркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичностьтеоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний. В товремя мало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждыйшколяр мог осознать формулировку Великой теоремы Ферма. Началасьнастоящая охота за неизвестными и утерянными письмами ученого. До концаXVII в. было издано и переиздано каждое найденное его слово. Но бурнаяистория развития идей Ферма только начиналась.

В последствии Ферма объяснит свое увлечение числами в письме английскимматематикам Дигби и Броункеру. Это письмо имеет специальныйподзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”. Ферма пишет: “Едва ликто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметические задачи.Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чемарифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новыхавторов; подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько болеедругих отдалился от геометрии, когда начал излагать Аналитику врациональных числах; однако и эта часть не совсем лишена геометрии, чтовполне доказали книги Виета “Зететика”, где метод Диофанта переноситсяна непрерывные величины, а значит, и на геометрию. ... Лишь я, словноидущий впереди факелоносец, предлагаю вам для доказательства илипостроения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите, то поймете,что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способомдоказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясь числами? Рискнемпредположить, что более всего Ферма интересовали способы построенияпростых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяет быстровычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” онвысказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будетформула

, n = 0,1,2,...

Действительно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простые числа 3, 5, 17,257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n числа F(n) - простые,и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этот результат .

именно 3, 5, 17 и т.д.. суть простые, причем сам он, по его признанию,не смог этого доказать и, насколько я знаю, после него никто недоказал”. Эйлер пару лет подумал и показал, что уже при n = 5 число F(5)делится на 641:

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей.Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящиймомент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135 цифр и делится на27(2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следуетподчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n) простыми, никогда неутверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой сторонык настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько иззнали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

при n ( ( .

. То была месть Ферма спесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела чертупод многовековыми спорами относительно возможности построения правильныхмногоугольников и сэкономила массу времени любителям математики. Из этойтеоремы следует, что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-,65537- и другие многоугольники и нельзя построить, например, правильные7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих Гаусс не поленился построитьправильный 17-угольник.

Занимаясь тайнами простых чисел Ферма сформулировал много положений опредставимости чисел квадратичными формами. Например, он обнаружилследующие удивительно простые и глубокие закономерности:

1. Формой x2+y2 представимы все простые числа, которые лежат впрогрессии 4n+1 , причем каждое из них представимо этой формойединственным образом. Ни одно простое число из прогрессии 4n+3 непредставимо суммою двух квадратов.

2. Формой x2+2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях8n+1 и 8n+3. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+7 непредставимо в виде x2+2y2 .

3. Формой x2-2y2 представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях8n+1 и 8n+7. Ни одно простое число из прогрессий 8n+5 и 8n+3 непредставимо в виде x2-2y2 .

4. Формами x2+3y2 и x2+xy+y2 представимы все простые числа, лежащие впрогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 непредставимо указанными формами.

Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих возможность установить, какему удалось получить эти в высшей степени общие результаты. Лишь передсмертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновал положение (1) спомощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалетьсовременников Ферма, которые регулярно получали вариации на темуутверждений (1) - (4) в качестве задач. Первые полные доказательстваэтих утверждений удалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировалочень важную теорему о делимости - так называемой квадратичный законвзаимности, доказательство которого дал Гаусс. Через увлечениеквадратичными формами прошли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше век -Вейль, Артин и многие другие блестящие математики. Как всегда идеиФерма оказались чрезвычайно плодотворны в смысле построения далекоидущих обобщений и формирования новых понятий. Добрая половина терминовсовременной абстрактной алгебры возникла из попыток доказать утвержденияФерма.

Один из важнейших результатов Ферма получил специальное название “Малаятеорема Ферма”. Это фундаментальный факт теории делимости на простыечисла: для любого простого p и любого a(1, которое не делится на p,разность ap -1-1 делится на p. Например, пусть a=5,

p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2(2, 53-1-1=3(8, 57-1-1=7(2232, 511-1-1=11(8878 . Ферма высказал эту теорему в письме Френиклю де Бессив 1640 г. с обычным для него замечанием: “... я бы Вам прислалдоказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” дал Лейбниц. Затем Эйлер,начиная с 1736 г., публикует сразу три различных доказательства, которыепоказывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать свою теорему. Потомкичасто искали элементарные доказательства утверждений Ферма, пытаясьпонять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновалиЭйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенноеобобщение его “Малой теоремы”: пусть ((m) - число натуральных чисел, непревосходящих m и взаимно простых с m . Тогда для любого m и любогоa(1, взаимно простого с m, разность a((m)-1 делится на m. Эту теремуЭйлер скромно опубликовал в качестве четвертого доказательства “Малойтеоремы Ферма”

Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитой теоремы в историиматематики. Эта теорема получила известность как “Великая теоремаФерма” (она же “Большая”, она же “Последняя”). На современном это языкезвучит так:

не существует отличных от нуля целых чисел x, y и z, для которых имеет место равенство

при n>2.

Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было. Он вообще не знал знакаравенства, а использовал латинское eq. Приводим утверждение Ферма воригинальном виде:

“Куб, однако, на два куба или квадроквадрат на два квадроквадрата ивообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того женазвания невозможно разделить”. И не поставив точку, Ферма приписал: ”яоткрыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Но оно неумещается на узких полях.“

Этой фразой Ферма прокомментировал задачу из Диофанта: “Заданныйквадрат разложить на два квадрата”. Данное замечание является вторым посчету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалось житейскихтем.

интересовали древних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (инаходили) тройки целых чисел, образующие стороны прямоугольноготреугольника. Это означает, что при n =1, 2 уравнение в рамке имеетбесчисленное множество решений. Догадка Ферма заключалась в том, что привсех прочих n таких троек не существует.

Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобному выводу. Например,около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди (чтоозначает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 неимеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никакихшансов доказать это утверждение.

В отношении Ферма достоверно известно, что он доказал “Великую теорему”при n=4 на полях все той же “Арифметики”. И это единственноетеоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до наших дней. Напротяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиков к“Великой теореме”, предлагая частные случаи в качестве задач. Случайn=3 он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа1659 г.) пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем“Великую теорему” для общего случая n>2 Ферма сформулировал толькоодин раз в упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулируетее ни разу ни в одном из писем. Он предлагает только частные случаи(n=3, 4), в отношении которых уверенно говорит, что располагаетдоказательством. Даже в письме к де Каркави от 1659 г., в котором Фермаперечисляет свои основные достижения, о “Великой теореме” в общем виденет ни слова. Это может означать только одно: Ферма обнаружил пробелы всвоем “поистине удивительном доказательстве”, которые так и не смогустранить.

Разумеется, это не охладило потомков. Начиная с конца XVII в. началасьневиданная по своей напряженности гонка за доказательством “Великойтеоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обрекла тысячипоклонников математики на бесплодные поиски доказательства илиопровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалосьпродвинуться вперед даже при рассмотрении частных случаев конкретныхзначений показателя n.

, где a, b - целые числа. В XVII в. подобная ересь не могла придти вголову даже Ферма.

. В частности он предполагал единственность разложения таких чисел напростые множители. Для устранения пробелов в доказательстве Эйлерапонадобились принципиально новые алгебраические абстракции: числовыекольца и поля. Реализацию этой программы начал Гаусс, которомупринадлежит первое абсолютно строгое доказательство “Великой теоремыФерма” для n=3.

Доказательство для случая n=5 предложили почти одновременно ватмосфере острого соперничества два француза: Лежен-Дирихле и Лежандр(1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839 г. теорема Фермабыла доказана для следующего простого показателя n=7. Это удалосьблагодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, чтодоказал теорему для всех простых показателей n>3 . Однако бдительныйЛиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той,которую допустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

Пока во Франции происходили эти события, в Германии молодой математикКуммер упорно занимается теоремой Ферма. Повторив все ошибки Ламе, онпришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложение на простыемножители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданиюголовокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня изучаются вспециальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер,посвятивший теореме несколько десятков лет, к концу жизни умелдоказывать “Великую теорему Ферма” для всех простых показателей n В 1857 г. ему была вручена премия Французской академии наук в размере 3тыс. франков. Работы Куммера окончательно похоронили надежды навозможность доказательства теоремы Ферма элементарными средствами. Сталоясно, что Ферма никогда не имел и не мог иметь доказательства теоремы вобщем виде.

После Куммера серьезных сдвигов в доказательстве теоремы Ферма непроисходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя метод Куммера,получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинностьтеоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательствотеоремы для конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, скоторыми легко справляются современные ЭВМ. В результате к концусемидесятых годов нашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказанадля всех n значит “Великая теорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

“Верна или не верна?” - так назывался чудесный научно-популярныйигровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в началесемидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМстаринные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться кпоследнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, ив облаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестящеиграет молодой Кайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливоспрашивает, что угодно клиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочузнать, верна или не верна теорема Ферма”- устало ответствует математик.“Простите, кто кому не верна?”- переспрашивает ошарашенный дьявол.“Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическое утверждение.Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”.Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий -земные блага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требуетответа на проклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашаетсявникнуть в суть проблемы. Математик пускается в объяснения: “УравнениеФерма может быть решено в целых числах, если показатель равен двум.Например, три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате.Но если показатель равен трем... ”

“Подождите,- перебивает его дьявол. - Как Вы сказали? Три в квадратеплюс четыре в квадрате... ”, и дьявол рисует кончиком хвоста:

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьявол безнадежноотстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самогоначала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняетформулировку теоремы и проникается ее интригующей историей. Он полоноптимизма, ему не терпится приступить к решению загадки: “Я всего лишьдолжен найти три числа? Три обычных числа, которые удовлетворяютуравнению г-на Ферма для некоторого показателя, например, для трех”.“Да, этого достаточно, чтобы отвергнуть теорему”- отвечает математик, нодьявол уже исчез. Через несколько минут он вновь сидит в кресле: “Яперебрал биллионы чисел для тысячи показателей, но нужных цифр среди нихне было” - заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались.Известно, что теорема Ферма верна для всех показателей не превосходящих100000. Попытайтесь доказать теорему, используя знания, накопленныелюдьми”. Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у него самыйозабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эташтучка жжет почище адского пламени. - говорит он задумчиво - Я полностьюовладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов,ряды Дирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многоедругое. И я знаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще начас”. Он возвращается лишь поздно ночью, разбудив задремавшегоматематика. “Послушайте, - шепчет возбужденно дьявол, - а Вы пробовалирассматривать алгебраические кривые в проективной плоскости инвариантныеотносительно бирациональных преобразований в хаусдорфовой топологии.Шансов немного, но ... ”. “Позвольте, - прерывает его математик, - развеэто возможно в случае произвольных полей”. Дьявол в ответ раскрываетнаучный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра по когомологиямВейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются в формулы,обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

Забавный фильм вполне точно подмечает инфернальный характер наследияФерма. “Великая теорема” обернулась проклятием для десятков, может бытьсотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ее формулировку изаразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезю уже невнимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служитьанекдотичная телеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теоремуФерма. Основная идея перенести игрек энной в правую часть. Подробностиписьмом”.

Ведущие математики всех времен и народов неоднократно объясняли, чтоэлементарное доказательство теоремы Ферма во-первых не существует, аво-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оно всего лишьзакроет проблему. Подлинное значение “Великой теоремы” в том, что припопытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие ксозданию новых обширных разделов математики.

Движение “ферматистов” приняло невероятный размах, после того, как в1908 г. немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100000 мароктому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премиипредоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людейстали бомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями,якобы содержащими доказательство “Великой теоремы”. Только вГеттингенское математическое общество за первые три года послеобъявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи “доказательств”.Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Ваше доказательство содержитошибку на стр. ____ , которая заключатся в том, что ____________”

После первой мировой войны во время инфляции премия Вольфскеляобесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.

Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущие информационныеагентства передали сообщение о том, что двум американским математикамудалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашейпрессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердилфакт доказательства . XX век покончил с “Великой теоремой Ферма” тихои буднично. При помощи обычной теории идеалов.

Литература

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.,“Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новой математики. М.,“Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализа отДиофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.

geum.ru

Реферат: Пьер де Ферма

Аналитик, будь честен !

Иначе ночью Эквидомид-мститель

Сожмет твое горло смертельной тоской..

Луи Феррон, “Опыт мюидальной геометрии”

Возможно вы искали - Реферат: Структурные и семантические меры социально – правовой информации

Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и yp xq = С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

Похожий материал - Доклад: Евклид и Лобачевский

Очень интересно - Курсовая работа: Логика - наука о законах и операциях правильного мышления

Вам будет интересно - Реферат: Hpor

Похожий материал - Реферат: Hpor

, n =0,1,2,...

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160 делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма F (452) состоит из 10135 цифр и делится на 27×2455 +1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следует подчеркнуть, что Ферма, считая числа F (n )простыми, никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другой стороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколько из знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

cwetochki.ru

Смотрите также

..:::Новинки:::..

Windows Commander 5.11 Свежая версия.

Новая версия
IrfanView 3.75 (рус)

Обновление текстового редактора TextEd, уже 1.75a

System mechanic 3.7f
Новая версия

Обновление плагинов для WC, смотрим :-)

Весь Winamp
Посетите новый сайт.

WinRaR 3.00
Релиз уже здесь

PowerDesk 4.0 free
Просто - напросто сильный upgrade проводника.

..:::Счетчики:::..