Реферат
по теме:
«Шестое математическое действие»
Выполнила:
ученица 8 класса
Руководитель:
учитель математики
Содержание
1. Введение.
2. С корнем квадратным - сквозь историю.
3. День квадратного корня.
4. РР· истории возникновения формулы корней квадратного уравнения.
5. Квадратный корень из числа
6. Основные тождества для квадратных корней
7. Рзвлечение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· произведения, РґСЂРѕР±Рё Рё степени
10. Геометрические приложения.
11. Заключение.
12. Список литературы.
Введение
«Многие вещи нам не понятны не потому,
что наши понятия слабы; но потому, что
сии вещи не входят в круг наших понятий.»
Козьма Прутков
«Мысли и афоризмы», № 66.
В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями, поэтому важно знать правила действий с ними, научиться преобразовывать выражения, их содержащие, а также знать историю возникновения квадратных корней.
Цель настоящего реферата – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений их содержащих. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти способы, которые бы позволили извлечь квадратный корень в любом случае.
С корнем квадратным - сквозь историю
Начиная с XIII в. итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом «Radix» («корень») или сокращённо R. В XV в. Н. Шюке писал: R212 вместо .
Ныне применяемый знак РєРѕСЂРЅСЏ произошёл РѕС‚ обозначения, которое применяли немецкие математики XV-XVI РІРІ., называвшие алгебру «Косс», Р° алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV РІРІ. писали СЃРІРѕРё произведения РЅР° латинском языке. РћРЅРё называли неизвестное res – вещь. Ртальянские математики перевели res словом cosa. Последний термин был заимствован немцами, откуда Рё появились «Косс» Рё «коссисты».)
Впоследствии образовался знак Л… , близкий Рє современному символу РєРѕСЂРЅСЏ, РЅРѕ без верхней черты. Ртот знак встречается впервые РІ немецкой алгебре «Быстрый Рё красивый счёт РїСЂРё помощи искусных правил алгебры, обычно называемых РљРѕСЃСЃВ», изданной РІ 1525 Рі. РІ Страсбурге. Автором этой РєРЅРёРіРё был уроженец Чехии, учитель математики РІ Вене Криштоф Рудольф РёР· РЇРІРѕСЂР° (княжество, принадлежавшее РІ то время богемскому королевству). РљРЅРёРіР° пользовалась успехом Рё переиздавалась РЅР° протяжении XVI РІ. Рё вплоть РґРѕ 1615 Рі. Знаком РєРѕСЂРЅСЏ пользовались РІ XVI РІ. Рњ. Штифель, РЎ. Стевин Рё РґСЂ.
В 1626 г. нидерландский математик А. Жирар, сочетая знак Рудольфа с
2 3
показателями РЁСЋРєРµ, ввёл близкое Рє современному обозначение , Рё С‚.Рґ. Рто обозначение стало вытеснять знак R. Однако долгое время писали, например В a+b ( вместо современного ). Лишь РІ 1637 Рі. Рене Декарт соединил знак РєРѕСЂРЅСЏ СЃ горизонтальной чертой, применив РІ своей «Геометрии» современный знак РєРѕСЂРЅСЏ
.
Однако запись у Декарта несколько отличается от современной. У него, например, записано:
где буква с поставлена вместо латинского слова cubicus, что означает кубический. В современной записи это выражение будет выглядеть так: .
Ещё ближе к современному применял обозначение радикала Ньютон в «Универсальной арифметике» (1685 г.). Впервые запись корня, точно совпадающая с ныне принятой, встречается в книге француза Ролля «Руководство алгебры», написанной в 1690 г. Современный знак корня окончательно вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII в.
Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением
Рнтерес Рє квадратному РєРѕСЂРЅСЋ РёР· РґРІСѓС… РІРѕР·РЅРёРє давно. Р’ собрании Вавилонских исторических ценностей, храняВщемся РІ Йельском университете (РќСЊСЋ-Хейвен, штат Коннектикут), есть круглая глиняная табличка, РѕС‚Вносящаяся Рє 1750 Рі. РґРѕ нашей СЌСЂС‹. РќР° ней изображен рассеченный РґРёР°Вгоналями квадрат Рё четкими клиноВписными знаками выписаны три цифры. РљРѕРіРґР° РёС… прочли, стало СЏСЃРЅРѕ, что без малого четыре тысячи лет назад РІ Вавилоне умели определять диагональ квадраВта РїРѕ его стороне, умножая ее длину РЅР° квадратный корень РёР· РґРІСѓС…. ЦифВСЂС‹ РЅР° табличке как раз Рё представВляют СЃРѕР±РѕР№ эту величину, выведенную СЃ точностью РґРѕ пятого знака: 1, 24, 51, 10. РќСѓ что Р¶, это совсем неплоВС…РѕРµ приближение Рє истине, ведь
1 + 24/60+51/602+10/603=1,41421.
Невольно хочется повторить: это подсчитано в XVIII веке до нашей эры!
Р—Р° пять столетий РґРѕ нашей СЌСЂС‹ школа Пифагора сделала РѕРґРЅРѕ РёР· величайших математических открыВтий. Пифагорейцы пытались доказать, что любое число может быть выведеВРЅРѕ путем сложения, вычитания, СѓРјВножения Рё деления положительных целых чисел. Рђ корень квадратный РёР· РґРІСѓС… — число иррациональное Рё конечным числом таких операций РЅРµ получается. Рто Рё было обнаружено последователями Пифагора. Однако РѕРЅРё любили всяческую секретность Рё «законспирировали» СЃРІРѕРµ открытие РЅР° долгие РіРѕРґС‹.
Его доказательство впервые РїРѕВявилось РІ «Началах» Евклида около 300 Рі. РґРѕ нашей СЌСЂС‹. Рђ затем РїСЂРёВмерно РІ 140 Рі. нашей СЌСЂС‹ Теону РёР· РЎРјРёСЂРЅС‹ удалось разработать интеВреснейший алгоритм вычисления РєРѕСЂРЅСЏ квадратного РёР· РґРІСѓС…; этот алВгоритм стал предтечей всей методики использования непрерывных дробей.
Еще ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приблиВженное значение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· любого натурального числа. РџСЂР°Ввило, применявшееся РІ Вавилоне, таково: Вавилонские математики (II тысячелетие РґРѕ РЅ. СЌ.) разработали для извлечения квадратного РєРѕСЂРЅСЏ особый численный метод. Начальное приближение для  рассчитывалось РёСЃС…РѕРґСЏ РёР· ближайшего Рє РєРѕСЂРЅСЋ (РІ меньшую сторону) натурального числаВ
. Представив подкоренное выражение РІ РІРёРґРµ:В
, получаем:В
, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:
Ртерации РІ этом методе очень быстро сходятся. Для , например,В
 и мы получаем последовательность приближений:
В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.
Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие:  — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.
Чтобы извлечь корень из натурального числа с, его разлагают на сумму а2 + b (число а должно быть наибольшим таким, что а2 < с), тогда квадратный корень из с приближенно вычисляют по формуле:
Например,
Грекам был известен вавилонский метод приближенного нахождения квадратного корня. Например, у Герона Александрийского (около 1 в.) написано:
День квадратного корня
03.03.2009
«День квадратного корня» отмечают математики Калифорнии. Третье число третьего месяца девятого года, считают они, в «переводе» на математический язык означает «трижды три девять», или же «три как квадратный корень из девяти».
Учитель математики из города Редвуд Рон Гордон даже организовал специальное соревнование. Победитель получит, естественно, 339 долларов.
Дочь учителя создала специальный сайт РІВ Рнтернете, РіРґРµ фанаты «Дня квадратного РєРѕСЂРЅСЏВ», которых, как оказалось, сотни, предлагают СЃРІРѕРё варианты празднования этой даты.
В частности, самыми популярными «атрибутами» математического праздника являются вареные кубики из корнеплодов и выпечка в форме математического знака квадратного корня.
Каждое столетие имеет в своих календарных «закромах» 9 дней квадратного корня. В ХХI веке предыдущий раз такой день наступал 2 февраля 2004 года (2–2-4). Следующего же придется ждать 7 лет: он наступит 4 апреля 2016 года (4–4-16). А в прошлом, 2009 году, случилась полностью «квадратная» дата 01.04.09, 16:25. Она встречается намного реже, чем другие дни квадратных корней.
РР· истории возникновения формулы корней квадратного уравнения
Задачи РЅР° квадратные уравнения встречались уже РІ 499 Рі. РІ Древней РРЅРґРёРё. Часто РѕРЅРё были РІ стихотворной форме. Р’РѕС‚ РѕРґРЅР° РёР· задач знаменитого РёРЅРґРёР№СЃРєРѕРіРѕ математика XII века Бхаскары:
«Обезьянок резвых стаяВ cласть поевши развлекалась,РС… РІ квадрате часть восьмаяНа поляне забавлялась,Рђ 12 РїРѕ лианам …Стали прыгать, повисая,Сколько было обезьянок,РўС‹ скажи РјРЅРµ, РІ этой стае?В»
Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений:
(x/8)2 + 12 = x
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Рлишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Квадратный корень из числа
Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.
Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?
Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение РР· него находим, что
Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Ртим числом является 5, так как
Значит, камень будет падать 5 с.
Рскать положительное число РїРѕ его квадрату приходится Рё РїСЂРё решении РґСЂСѓРіРёС… задач, например РїСЂРё отыскании длины стороны квадрата РїРѕ его площади. Введем следующее определение:
Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу Р°, называется квадратным корнем РёР· Р°. Рто число обозначают
Таким образом
Пример. Так как
РР· отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные РєРѕСЂРЅРё, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение РЅРµ имеет числового значения.
В записи знак
называют знаком радикала (от латинского "радикс" - корень), а число а - подкоренным числом. Например, в записи
подкоренное число равно 25. Так как
Рто означает, что квадратный корень РёР· числа, записанного единицей Рё 2n нулями, равен числу, записываемому единицей Рё n нулями:
= 10…0
2n нулей n нулей
Аналогично доказывается, что
2n нулей n нулей
Например,
Основные тождества для квадратных корней
РР· определения квадратного РєРѕСЂРЅСЏ вытекает, что равенство=С…, РіРґРµ Р°
0, верно в том и только в том случае, когда х2=а, причем х
0. Заменяя в равенстве х2=а переменную х на
, получаем тождество
2=Р°, (1)
верное для всех а0. Заменяя в равенстве
=х переменную а на х2, получаем тождества
= С…, (2)
которое верно для всех х0.
Например, 2 = 25;
2 = 8;
2 = 0,11;
= 6;
=0,24.
Формулы и
показывают , что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны Т.е. если выполнить над каким – нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.
Если а – отрицательное число, то равенство неверно, так как
не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство
. Например,
2 =
=5, а не –5. Так как х2 =
2, а при х < 0 имеем –х> 0,
то при х< 0 верно равенство =
2 = - С… (3)
Ртак,
x, если х
0,
= -х, если х < 0.
Но мы знаем, что х, если х
0,
=
-х, если х < 0.
Поэтому для всех чисел х верно равенство
=
. (4)
Например, =
=8,
2 =
= 12
П р и м е р 1. Упростим выражение +
2 +
-
2.
Ре ш е н и е. Так как 2 = 3,
2 = 2, то
+
2 +
-
2 =
2 +2
+
2 +
2 – 2
+
2 =2
2 + 2
2 = 2
3 + 2
2 = =10.
П р и м е р 2. Найдем значения выражения при а = 2,1
b = 3,6
Ре ш е н и е. При любом значении х выполняется равенство
=
. Поэтому
=
. РќРѕ
=
= 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем
=1,5.
Выражения и
имеют одно и то же значение 6.
В самом деле, = 3,
= 2,
= 6, поэтому
= 3
2 = 6 Рё
= =
= 6. Равенство
=
- частный случай общего утверждения :
Т е о р е м а 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а 0, b
0 имеем
=
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть число а и b неотрицательны.
Тогда по правилу возведения в степень имеем
2 =
= Р°
b
Кроме того, - неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел
Рё
. Поэтому
=
П р и м е р 1. Найдем значения выражения
Ре ш е н и е. Мы имеем = 25,
= 16,
= 0,01,
и потому = 25
16
0,01= 4.
Аналогично доказывается, что =
(2)
Преобразование выражений
При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:
=
,
где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки “ плюс “ и “ минус “). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А
0, Р’
0, А2 – В
0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства
в квадрат. В левой части имеем А
, в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем
2
+
=
= Рђ 2
= Рђ
2
=
= Рђ 2
= Рђ
2
= Рђ
.
Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство
доказано.
П р и м е р 1. Упростим выражение .
1-й с п о с о б. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =
= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле
=
-
=
-
.
2-й с п о с о б. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
5 - =
=
=
==
=
.
Поэтому =
=
. П р и м е р 2. Упростить выражение
1-Р№ СЃ Рї Рѕ СЃ Рѕ Р±:
=
+
=
= +
=
2-Р№ СЃ Рї Рѕ СЃ Рѕ Р±:
=
=
=
= =
Поэтому =
П р и м е р 3. Упростить выражение
Решение.
= 28 – 10
= 25 – 10
+3 =
= 52 – 10=
Поэтому = 5 –
= 28 + 10
= 25 + 10
+ 3 =
Поэтому = 5 +
=
= 5 – = 5 + 5 = 10
Пример 4. Упростить
Решение.
1.
2.
3.
Ответ:
Пример 5. Какое из чисел больше: или
?
Решение.
Очевидно, что
Оценим сумму
Так как , а
, то
Ответ:
Пример 6. Вычислить:В
Внесение множителя под знак корня
При внесении множителя под знак корня учитываются правила:
Пример7.  Вычислить:В
Так как , то
Ответ: -1.
Пример 8.  Упростить выражение .
Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ:
В В (
).
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:
В РїСЂРё
.
Ответ.  при
.
Пример 9.  Упростить выражение .
Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.
Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
.
После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.
Ответ. 13.
Пример 10.  Освободиться РѕС‚ иррациональности (корней) РІ знаменателе: Р°)В ; Р±)В
.
Решение.В Р°) Для того чтобы избавиться РѕС‚ иррациональности РІ знаменателе, применяется стандартный метод домножения Рё числителя Рё знаменателя РґСЂРѕР±Рё РЅР° сопряженный Рє знаменателю множитель (такое же выражение, РЅРѕ СЃ обратным знаком). Рто делается для дополнения знаменателя РґСЂРѕР±Рё РґРѕ разности квадратов, что позволяет избавиться РѕС‚ корней РІ знаменателе. Выполним этот прием РІ нашем случае:
В .
б) выполним аналогичные действия:
.
Ответ.;В
.
Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком
Ртот СЃРїРѕСЃРѕР± позволяет найти приближённое значение РєРѕСЂРЅСЏ РёР· любого действительного числа СЃ любой наперёд заданной точностью.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.
Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.
Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.
Удвоить an.
Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.
Сравнить полученное число с нулём.
Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.
Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.
После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.
Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.
Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.
Рспытание проводится так: Р·Р° вертикальной чертой (слева РѕС‚ остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число РєРѕСЂРЅСЏ, Рё Рє нему СЃ правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой РїСЂРёРїРёСЃРєРё число умножают РЅР° испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра РЅРµ годится Рё надо испытать следующую меньшую цифру.
Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример. Рзвлечём корень .
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-Р№ шаг. Рзвлекаем квадратный корень РёР· первой грани 86, получаем СЃ недостатком. Цифра 9 – это первая цифра РєРѕСЂРЅСЏ.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:
ВЇ 81
18… ¯¯¯¯¯549¯¯¯¯¯
Рљ числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое РјС‹ получим, РЅР° эту цифру было Р±С‹ либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Рто цифра 3. РћРЅР° находится путем РїРѕРґР±РѕСЂР°: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится РЅР° 18, получаем 3, так как 183 в€™ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра РєРѕСЂРЅСЏ.
6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.
Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.
Рзвлечение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· целого числа «нацело».
Пример: найдём √212521
в„–
Шаги алгоритма
Пример
Комментарии
1
Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево
21’ 25’ 21
Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе
2
Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы
1 группа – 21
42=16
16<21
цифра - 4
Найденная цифра записывается в ответе на первом месте
3
РР· первой РіСЂСѓРїРїС‹ цифр вычесть найденный РЅР° шаге 2 квадрат первой цифры ответа
_21’ 25’ 21
16
5
4
К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр
_21’ 25’ 21
16__
525
5
К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4
4*2=8
цифра – 6
86*6=516
516<525
Найденная цифра записывается в ответе на втором месте
6
РР· числа, полученного РЅР° шаге 4 вычесть число, полученное РЅР° шаге 5. Снести Рє остатку третью РіСЂСѓРїРїСѓ
_21’ 25’ 21
16
_525
516
921
7
К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6
46*2=92
цифра 1
921*1=921
Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте
8
Записать ответ
в€љ212521=461
Рзвлечение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· целого числа (корень РЅРµ извлекается «нацело»).
Пример: найдём √123456
в„–
Шаги алгоритма
Пример
Комментарии
1
Установить точность извлечения 1/10m
m = 3
Определить количество знаков в ответе после запятой
2
Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево
12’ 34’ 56
3
Создать группы в дробной части числа, приписав, справа нули
12’ 34’ 56’, 00’ 00’ 00
Количество приписываемых нулей сокращается с заявленной точностью. В нашем примере – 6 нулей
(3 группы, так как m=3)
4
Рспользовать алгоритм 1, начиная СЃРѕ 2 шага
√12”34”56”00”00”00=351,363
_9_
_334
325
_956
701
_25500
21069
443100
421596
В_2150400
2108169
42231
Рзвлечение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· десятичной РґСЂРѕР±Рё.
Пример: найдём √104,2441
в„–
Шаги алгоритма
Пример
Комментарии
1
Разбить число на группы по 2 цифры в каждой
1’ 04’, 24’ 41
Цифры, входящие в целую часть числа разбить справа налево, а цифры, входящие в дробную часть – слева направо
2
Установить точность
m = 4
1’ 04’, 24’ 41’ 00’ 00
Если число группы в дробной части больше m, отбросить лишнее; если меньше m - составить недостающие группы из нулей
3
Рспользовать алгоритм 1, начиная СЃРѕ 2 шага
в€љ104,25520000=10,2105
1
_00425
404
_2152
2041
_1110000
1001025
108975
Рзвлечение квадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· обыкновенной РґСЂРѕР±Рё.
Пример: найдём
в„–
Шаги алгоритма
Пример
Комментарии
1
Установить точность извлечения
, m=2
2
Обратить обыкновенную дробь в десятичную
=2,4285
Число десятичных знаков поле запятой определяется заявленной точностью, удвоив её
3
Рзвлечь приближенный корень РёР· десятичной РґСЂРѕР±Рё, полученной РЅР° шаге 2(использовать алгоритм 1)
-√2,4285≈1,55
_1
_142
125
_1785
1525
260
Геометрические приложения
Рљ извлечению квадратных корней сводятся РјРЅРѕРіРёРµ геометрические задачи. Например, РІ РєСѓСЂСЃРµ геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен СЃСѓРјРјРµ квадратов длин катетов этого треугольника. Рндийцы РґРІРµ тысячи лет тому назад доказывали ее СЃ помощью следующего чертежа.
Р РёСЃСѓРЅРѕРє в„– 1.
Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом -
. Значит,
.
РР· теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками
М(х1;у1) и N(x2;y2) координатной плоскости (рис.2) выражается формулой
MN=. (1)
y N
y2
y2-y1
Сѓ1 M С…2-С…1
Рћ С…1 С…2 x
Р РёСЃ.2
Пример 1: Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени -- 16 м.
Решение: По теореме Пифагора имеем
12 (С…1;Сѓ1)
(С…2;Сѓ2)
16
Так как , т. е. расстояние равно 20 м.
По формуле (1) мы получим тот же самый результат.
Пример 2: Найдем расстояние между точками М (3; 1)и N(8; -11) координатной плоскости.
Решение: По формуле (1) имеем
MN = =
=13
Заключение
Сложение Рё умножение имеют РїРѕ РѕРґРЅРѕРјСѓ обратВРЅРѕРјСѓ действию, которые называются вычитанием Рё РґРµВлением. Пятое математическое действие - возведение РІ степень - имеет РґРІР° обратных: разыскание РѕСЃРЅРѕВвания Рё разыскание показателя. Разыскание РѕСЃРЅРѕРІР°ВРЅРёСЏ есть шестое математическое действие Рё назыВваемое извлечением РєРѕСЂРЅСЏ. Нахождение показателя - седьмое действие - называется логарифмироваВнием. Причину того, что возведение РІ степень имеет РґРІР° обратных действия, РІ то время как сложение Рё умножение - только РїРѕ РѕРґРЅРѕРјСѓ, понять нетрудно: РѕР±Р° слагаемых (первое Рё второе) равноправны, РёС… можно поменять местами; то же верно относительно СѓРјРЅРѕВжения; однако числа, участвующие РІ возведении РІ степень, С‚. Рµ. основание Рё показатель степени, неравВноправны между СЃРѕР±РѕР№; переставить РёС…, вообще РіРѕВРІРѕСЂСЏ, нельзя (например, 35РЅРµ равно53). Поэтому разыскание каждого РёР· чисел, участвующих РІ сложении Рё СѓРјРЅРѕВжении, производится одинаковыми приемами, Р° разыВскание основания степени Рё показателя степени РІС‹Вполняется различным образом.
В результате работы над рефератом, я расширила свои знания об арифметическом квадратном корне, узнала историю его возникновения и написания, рассмотрела задачи вычисление, на упрощение выражений, на избавление от иррациональности в знаменателе, научилась извлекать столбиком квадратный корень из многозначных чисел, десятичных дробей, обыкновенных дробей.
Данная тема является очень важной хотя и не очень понятной на первый взгляд. Каждый школьник должен научиться извлекать квадратный (или энный) корень, ведь при решении различных алгебраических или геометрических задач не обойтись без них. Даже в физике будут встречаться формулы, содержащие корни квадратные.
Я считаю, что полученные мною знания пригодятся для дальнейшего изучения алгебры и других предметов, а также для успешной сдачи экзаменов.
Список литературы
1. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. сред.шк.\ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 2 изд.М.:-Просвещение, 2013г
2. Маковецкий П. В. «Смотри в корень», Сборник любопытных задач и вопросов, Москва издательство «Наука» 2008 г., 448 стр.
3.Петраков Р.РЎ. «Математические кружки РІ 8–10 классах»: РљРЅ. для учителя. – Рњ.: Просвещение, 1987В Рі.
4. Рнциклопедия для детей. Рў. 11. Математика/ Глав. ред. Рњ. Аксенова. Рњ.: Аванта+плюс. 2004В Рі.
5. Перельман РЇ. Р. «Занимательная алгебра», РњРѕСЃРєРІР° издательство «Наука» 2000 Рі., 200 стр.
6. «Большая Советская Рнциклопедия»
7. Рнтернет-сайт «Научные термины», www. izviliny.ru/science terms.
8. Рнтернет-сайт «Школа перспектива», www. sys-tema.ru.
infourok.ru
ВведениеВ С…РѕРґРµ решения некоторых математических задач приходится оперировать СЃ квадратными РєРѕСЂРЅСЏРјРё. Поэтому важно знать правила действий СЃ квадратными РєРѕСЂРЅСЏРјРё Рё научиться преобразовывать выражения, РёС… содержащие. Цель – изучение правил действий СЃ квадратными РєРѕСЂРЅСЏРјРё Рё СЃРїРѕСЃРѕР±РѕРІ преобразования выражений СЃ квадратными РєРѕСЂРЅСЏРјРё. РњС‹ знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными РґСЂРѕР±СЏРјРё, как, например, число 1/1998=0,000500500500… РќРѕ ничто РЅРµ мешает вообразить Рё число, РІ десятичном разложении которого РЅРµ обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными. Рстория иррациональных чисел РІРѕСЃС…РѕРґРёС‚ Рє удивительному открытию пифагорейцев еще РІ VIВ РІ. РґРѕ РЅ.В СЌ. Рђ началось РІСЃРµ СЃ простого, казалось Р±С‹, РІРѕРїСЂРѕСЃР°: каким числом выражается длина диагонали квадрата СЃРѕ стороной 1? Диагональ разбивает квадрат РЅР° 2 одинаковых прямоугольных треугольника, РІ каждом РёР· которых РѕРЅР° выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует РёР· теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор Рё нажать клавишу извлечения квадратного РєРѕСЂРЅСЏ. РќР° табло РјС‹ СѓРІРёРґРёРј 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления СЃ высокой точностью покажет 1,414213562373. Рђ СЃ помощью современного мощного компьютера
 можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период. Рхотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число
 – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа
 не обнаруживает никакой регулярной закономерности. По следам открытия пифагорейцев Как доказать, что число
 иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n=
. Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим
. Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому
 и, следовательно,
, или
. Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие. Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного
не существует.
\* MERGEFORMATРис. 1 Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна
, а в другом –
. Значит,
. РР· теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками Рњ (С…1; Сѓ1) Рё N (x2; y2) координатной плоскости (СЂРёСЃ.В 2) выражается формулой MN=
 (1) Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м. Решение. По теореме Пифагора имеем
Так как
, т.е. расстояние равно 20 м. Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости. Решение. По формуле (1) имеем MN =
=
=13
= – х, если х < 0. Поэтому для всех чисел х верно равенство
=
. (4) Например,
=
=8,
2 =
= 12. Пример 1. Упростим выражение
+
2 +
-
2. Ре ш е н и е. Так как
2 = 3,
2 = 2, то
+
2 +
-
2 =
2 + 2
В +
2 +
2 – 2
В +
2 =2
В
2 + 2
В
2 = 2
В 3 + 2
 2 = =10. Пример 2. Найдем значения выражения
 при а = 2,1; b = 3,6 Решение. При любом значении х выполняется равенство
=
. Поэтому
=
. РќРѕ
=
= 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем
В =1,5.
где А2 В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А
В 0, Р’
 0, А2 – В
 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства
 в квадрат. В левой части имеем А
В
, в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем
В
В 2
В
В
В +
= = Рђ
В 2
В = Рђ
В 2
В = = Рђ
В 2
В = Рђ
В 2
В = Рђ
В
. Таким образом, квадраты обеих частей равенства
 оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство
доказано. Пример 1. Упростить выражение
. 1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В = = 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле
=
 –
В =
 –
. 2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату: 5 –
=
=
= =
=
В =
.
Поэтому =
=
Пример 2. Упростить выражение
1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±:
=
В +
= =
В +
=
2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Ответ: 10. Пример 4. Упростить
Решение. 1.
2.
3.
Ответ:
Пример 5. Какое из чисел больше:
 или
? Решение. Очевидно, что
Оценим сумму
В
Так как
, Р°
, то
Ответ:
www.coolreferat.com
Квадратные корни
Введение
В ходерешения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратнымикорнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научитьсяпреобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий сквадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.
Мы знаем, чтонекоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичнымидробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешаетвообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакогопериода. Такие числа называются иррациональными.
Рсторияиррациональных чисел РІРѕСЃС…РѕРґРёС‚ Рє удивительному открытию пифагорейцев еще РІ VIВ РІ.РґРѕ РЅ.В СЌ. Рђ началось РІСЃРµ СЃ простого, казалось Р±С‹, РІРѕРїСЂРѕСЃР°: каким числомвыражается длина диагонали квадрата СЃРѕ стороной 1?
Диагональразбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом изкоторых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремыПифагора, длина диагонали квадрата равна/>.Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлеченияквадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор,выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощьюсовременного мощного компьютера /> можновычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но дажесамый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогдане сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либопериод.
Рхотя уПифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они.Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е.такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и настороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число /> – нельзя выразитьотношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы,десятичное разложение числа /> необнаруживает никакой регулярной закономерности.
По следамоткрытия пифагорейцев
Как доказать,что число /> иррационально?Предположим, существует рациональное число m/n=/>. Дробь m/n будем считатьнесократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой.Возведя обе части равенства, получим />. Отсюдазаключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому /> и,следовательно, />, или />. Но тогда получим что и n четное число, а этогобыть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.
Остаетсясделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного />не существует.
В В 1. Квадратный корень РёР· числаВ
Зная время t,можно найти путь при свободном падении по формуле: /> Решимобратную задачу.
Задача. Сколько секунд будетпадать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?
Чтобы найтиответ, нужно решить уравнение />В РР· негонаходим, что /> Теперь осталось найтитакое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Ртим числом является5, так как /> Значит, камень будетпадать 5В СЃ.
Рскатьположительное число РїРѕ его квадрату приходится Рё РїСЂРё решении РґСЂСѓРіРёС… задач,например РїСЂРё отыскании длины стороны квадрата РїРѕ его площади. Введем следующееопределение.
Определение. Неотрицательноечисло, квадрат которого равен неотрицательному числу Р°, называется квадратнымкорнем РёР· Р°. Рто число обозначают />
Таким образом/>
Пример. Так как
/>
Рзотрицательных чисел нельзя извлекать квадратные РєРѕСЂРЅРё, так как квадрат любогочисла или положителен, или равен нулю. Например, выражение />В РЅРµ имеет числовогозначения.
Р’ записи /> знак /> называют знаком радикала(РѕС‚ латинского «радикс» – корень), Р° число Р° – подкоренным числом.Например, РІ записи /> подкоренноечисло равно 25. Так как />В Ртоозначает, что квадратный корень РёР· числа, записанного единицей Рё2nнулями, равен числу, записываемому единицей Рё n нулями:
/> = 10…0
2n нулей n нулей
Аналогичнодоказывается, что /> 2n нулей n нулей
Например, />
2. Вычислениеквадратных корнейВ
РњС‹ знаем, чтоне существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Рто означает, что />В РЅРµ может быть рациональнымчислом. РћРЅ является иррациональным числом, С‚.Рµ. записывается РІ виденепериодической бесконечной десятичной РґСЂРѕР±Рё, причем первые десятичные знакиэтой РґСЂРѕР±Рё имеют РІРёРґ 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взятьчисло 1.414С…, РіРґРµ С… может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, возвести РїРѕ РїРѕСЂСЏРґРєСѓ эти числа РІ квадрат Рё найти такое значениех,РїСЂРё котором квадрат меньше, чем 2, РЅРѕ следующий Р·Р° РЅРёРј квадрат больше, чем 2.Таким значением является С…=2. Далее повторяем то же самое СЃ числами РІРёРґР°1,4142С…. Продолжая этот процесс, получаем РѕРґРЅСѓ Р·Р° РґСЂСѓРіРѕР№ цифры бесконечнойдесятичной РґСЂРѕР±Рё, равной />.
Аналогичнодоказывается существование квадратного корня из любого положительногодействительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьматрудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичныезнаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение /> с восемью верными цифрами.Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажатьклавишу /> – на экране высветится 8цифр значения />. В некоторыхслучаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажемниже.
Еслиточность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоватьсяспособом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.
Теорема. Если а – положительноечисло и /> – приближенное значениедля /> по избытку, то /> – приближенноезначение для /> по недостатку.
Доказательство.
По условию x1><sub/>/> и потому х12>a,/><1. Но />2 = /> = a/>. Т.к. /><1, то a/><a. Значит, />а и /> — приближенное значение для/> по недостатку.
Аналогичнодоказывается, что если /> – приближенноезначение для /> по недостатку, то /> – приближенное значение /> по избытку.
Поскольку /> и /> являются приближеннымизначениями для /> по избытку и понедостатку, то в качестве лучшего приближения для /> естественновыбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = />/>.А чтобы получить еще более точное значение для />,надо взять среднее арифметическое чисел />,т.е. число х3 = />/>. Так вычисляются одно за другимвсе лучшие и лучшие приближенные значения для />.Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения /> не совпадут в пределахзаданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваиваетчисло верных десятичных знаков.
Пример1. Уточнимпо формуле х2 = />/> приближение
х1 = 1,414для />.
Решение.
В нашемслучае а=2. Поэтому
х1 = />(1,414 + 1,4144271) +1,4142135…
Выполнив ещеодно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответаверны, т.е. число верных знаков удвоилось.
Пример2. Найдем приближенноезначение для /> с точностью до 0,0001.
Решение.
Выберем запервое приближение для /> число 2. Тогдавторое приближение вычисляется так:
С…2 = />= 2,25/>
Далее имеем
С…3 =/>= 2,2361,
С…4=/>=2,2361.
Значит, сточностью до 0,0001 имеем />=2,2361.
Ответ: />
В
3. ГеометрическиеприложенияВ
Рљ извлечениюквадратных корней сводятся РјРЅРѕРіРёРµ геометрические задачи. Например, РІ курсегеометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длиныгипотенузы прямоугольного треугольника равен СЃСѓРјРјРµ квадратов длин катетов этоготреугольника. Рндийцы РґРІРµ тысячи лет тому назад доказывали ее СЃ помощьюследующего чертежа.
/>
Р РёСЃ.В 1
Видим, чтоплощади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадьравна />, а в другом – />. Значит, />.
РР· теоремы Пифагораследует, что расстояние между точками
М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости(рис. 2) выражается формулой
MN=/>В (1)
В
Пример1. Найдем расстояние отвершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длинатени – 16 м.
Решение. Потеореме Пифагора имеем
/>
Так как />, т.е. расстояние равно 20 м.
Пример2. Найдем расстояние междуточками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.
Решение.
По формуле(1) имеем MN = />= />=13
В 4. Основные тождества для квадратныхкорнейВ
Рзопределения квадратного РєРѕСЂРЅСЏ вытекает, что равенство/>/>=С…,РіРґРµ Р°/>0, верно РІ том Рё только втом случае, РєРѕРіРґР°<sup/>С…2=Р°, причем С…/>0. Заменяя РІ равенстве С…2=апеременную С… РЅР° />, получаемтождество />2=Р°, (1)
верное длявсех а/>0. Заменяя в равенстве />=х переменную а на х2,получаем тождества
/>= С…, (2)
которое вернодля всех х/>0.
Например, />2 = 25;/>2 = 8; />2 = 0,11; />= 6; />=0,24.
Формулы /> и /> показывают, что длянеотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратногокорня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательнымчислом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.
Если а –отрицательное число, то равенство /> неверно,так как /> не имеет числовогозначения. При отрицательных значениях х неверно и равенство />. Например, />2 =/>=5, а не –5. Так как х2=/>2, а при х< 0 имеем – х> 0,
то при х<0 верно равенство />=/>2 = – х (3)
Ртак,
/>x, если х/> 0,
/>= – х, если х < 0.
Но мы знаем,что х, если х /> 0,
/>/>=
– х, если х< 0.
Поэтому длявсех чисел х верно равенство
/>= />. (4)
В
Например, />=/>=8, />2 = />= 12.
Пример1. Упростим выражение />+/>/>2+ /> — />/>2.
Ре ш е н ие. Так как />2 = 3, />2 = 2, то />+/>2 + /> — />2 =/>2 +
2/>/>/> + />2 +/>2 – 2/>/>/> + />2 =2/> />2 + 2 /> />2 = 2 /> 3 + 2 /> 2 = =10.
Пример2. Найдемзначения выражения /> при а = 2,1; b = 3,6
Решение. Прилюбом значении х выполняется равенство
/>= />. Поэтому />= />. Но />=/>= 1,5. Значит, при а = 2,1;b =3,6 имеем /> =1,5.
В
5. Рзвлечениеквадратного РєРѕСЂРЅСЏ РёР· произведения, РґСЂРѕР±Рё Рё степениВ
Выражения />/> и /> имеют одно и то жезначение 6.
В самом деле,/>= 3, />= 2, /> = 6, поэтому />/>/>= 3 /> 2 = 6 и />= =/>= 6. Равенство />/>/>=/> – часный случай общегоутверждения.
Теорема1. Квадратныйкорень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратныхкорней из этих чисел, т.е. при а /> 0, b/> 0 имеем />= /> /> />
Доказательство.
Пусть числа аи b неотрицательны.
Тогда поправилу возведения в степень имеем
/>В />В />2 = />/>/>В />= Р° />В b
Кроме того, /> /> /> – неотрицательное числокак произведение двух неотрицательных чисел /> и/>. Поэтому /> /> />= />
Пример 1. Найдем значения выражения/>
Решение.
Мы имеем /> = 25, />= 16, />= 0,01,
и потому /> =25/>16/>0,01= 4.
Аналогичнодоказывается, что /> = />
Теорема2.Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительнымзнаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратныйкорень из знаменателя, т.е. при а /> 0 и b> 0 имеем />
Теорема3.Прилюбом значении а и при любом b/> 0 верно равенство />
6. ПреобразованиевыраженийПрипреобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующаяформула:
/>= />В />В />,
где А2/> В (в обеих частях равенства одновременно берутсязнаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, чтои левая, и правая его части являются при А/> 0,В/> 0, А2 – В /> 0 неотрицательными числами.Возведем теперь обе части равенства /> в квадрат.В левой части имеем А /> />, в правой части по формулеквадрата суммы или разности получаем
/>В />В 2/>В />В />В + />=
= Рђ />В 2/>В = Рђ />В 2/>В =
= Рђ />В 2/>В = Рђ />В 2/>В = Рђ />В />.
Таким образом,квадраты обеих частей равенства /> оказалисьодинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство />доказано.
Пример1. Упроститьвыражение />.
1-й способ. В одном случае имеем А= 5, В = 21, А2 – В =
= 52– 21 = 4, и поэтому по формуле />
/>= /> – /> = /> – />.
В
2-й способ. Приведем подкоренное выражениек полному квадрату:
5 – />= />/>=/>/>=
=/>/>=/>/>В =/>.
Поэтому />= />= />
Пример2.Упроститьвыражение />
1-Р№ СЃРїРѕСЃРѕР±:
/>= />В + />=
= />В + />= />
В
2-й способ.Приведемподкоренное выражение к полному квадрату: />
/>
В
Пример3. Упростить выражение />
Решение.
/>/>
Ответ: 10.
Пример4. Упростить />
Решение.
1. />
2. />
3. />
Ответ: />
Пример5. Какое из чисел больше: /> или />?
Решение.
Очевидно, что/>
Оценим сумму /> />
/>
/>
Так как />, а />, то />
Ответ: />
В 7. Алгоритмизвлечения квадратного РєРѕСЂРЅСЏ столбикомРтот способпозволяет найти приближённое значение РєРѕСЂРЅСЏ РёР· любого действительного числа слюбой наперёд заданной точностью.
Для ручногоизвлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пустьизвлекается корень из целого числа A. Вотличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группыследует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописываянеобходимым количеством нулей.
Найти an, квадрат которого наиболее близкоподходит к группе старших разрядов числа A,оставаясь меньше последнего.
Провестивычитание из старших разрядов A квадратачисла an.
Удвоить an.
Сдвинутьостаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an –на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение /деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
Приписатьсправа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.
Сравнитьполученное число с нулём.
Еслиполученное число не равно 0, то найти такое 2an− 1, которое, будучи умноженным на />,даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболееблизкое к нему по значению. Перейти к п. 3.
Если в п. 6получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.
Послеполучения количества цифр, равного />, прекратитьвычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимойточности, записывая получающиеся цифры после запятой.
Описаннаяпоследовательность действий в математике получила название алгоритма извлеченияквадратного корня.
1.        Чтобыизвлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налевона грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой можетбыть и одна цифра.
2.        Чтобынайти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
3.        Чтобынайти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, костатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят наудвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергаютиспытанию.
4.В В В В В В В В Рспытаниепроводится так: Р·Р° вертикальной чертой (слева РѕС‚ остатка) пишут удвоенное,ранее найденное число РєРѕСЂРЅСЏ, Рё Рє нему СЃ правой стороны приписывают испытуемуюцифру; получившееся после этой РїСЂРёРїРёСЃРєРё число умножают РЅР° испытуемую цифру.Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра негодится Рё надо испытать следующую меньшую цифру.
5.        Следующиецифры корня находят с помощью того же приёма.
6.        Еслипосле снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньшеделителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0,сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример.Рзвлечём корень />.
1-й шаг. Число 8649 разбиваем награни справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем двеграни: />.
2-Р№ шаг. Рзвлекаем квадратныйкорень РёР· первой грани 86, получаем /> снедостатком. Цифра 9 – это первая цифра РєРѕСЂРЅСЏ.
3-й шаг. Число 9 возводим вквадрат (92<sub/>= 81) и число 81 вычитаем из первой грани,получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываемвторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг. Удваиваем первую цифрукорня 9 и, записывая слева, получаем:
/>
ВЇ 81
18… ¯¯¯¯¯549¯¯¯¯¯
Рљ числу 18нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мыполучим, РЅР° эту цифру было Р±С‹ либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Ртоцифра 3. РћРЅР° находится путем РїРѕРґР±РѕСЂР°: количество десятков числа 549, то естьчисло 54 делится РЅР° 18, получаем 3, так как 183 в€™ 3 = 549. Цифра 3 – этовторая цифра РєРѕСЂРЅСЏ.
6-й шаг. Находим остаток 549 –549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренноечисло 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколькограней содержит это число.
Аналогичноизвлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное числоразбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влевои вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописываниемк числу нуля.
В
В
Заключение
В
Данная работа посвящена квадратнымкорням. Рассмотрены правила действий с квадратными корнями, способыпреобразования выражений, содержащих квадратные корни, геометрические приложения.В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразованиявыражений с ними. Рассмотрен алгоритм извлечения квадратного корня.
Такимобразом, цель достигнута, задачи выполнены.
Список использованныхисточников1. Алгебра: Учеб. пособие для8 кл. / Е.П. Кузнецова и др; под ред. Л.Б. Шнепермана. – 2 изд. –Мн.: Нар. асвета, 2005.
2. Алгебра: Учеб. для 8‑хкл. общеобразоват. шк. с углубл. изучением математики / К.О. Ананченко идр. – Мн.: Нар. асвета, 1994.
3. Петраков Р.РЎ.«Математические кружки РІ 8–10 классах»: РљРЅ. для учителя. – Рњ.:Просвещение, 1987В Рі.
4. Рнциклопедия для детей.Рў. 11. Математика/ Глав. ред. Рњ. Аксенова. Рњ.: Аванта+плюс. 2004В Рі.
edportal.net
В
  Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В aВ mВ В·В aВ nВ =В aВ m + nВ .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
                                                    ( abc… ) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (В aВ /В bВ )В nВ =В В aВ nВ /В В bВ nВ .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (В aВ mВ )В nВ =В В aВ mВ nВ .
В
Рџ СЂ Рё Рј Рµ СЂ .В ( 2В В·В 3В В·В 5 / 15 )В ВІВ =В 2В ВІВ В·В 3В ВІВ В·В 5В ВІВ / 15В ВІВ = 900 / 225 = 4В .
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ   означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
В
1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
В
В
2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
В
В
3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
В В В В В В В В В В В В В В
4.  Если увеличить степень РєРѕСЂРЅСЏ РІВ n раз Рё одновременно возвести РІВ n-СѓСЋ степень подкоренное число, то значение РєРѕСЂРЅСЏ РЅРµ изменится:В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В
5.   Если уменьшить степень РєРѕСЂРЅСЏ РІВ n раз Рё одновременно извлечь корень n-РѕР№ степени РёР· подкоренного числа, то значение РєРѕСЂРЅСЏ не изменится:В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённаяна степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Теперь формула  aВ mВ :В aВ nВ =В aВ mВ -В n может быть использована РЅРµ только РїСЂРёВ В mВ , большем, чем  nВ , РЅРѕ Рё РїСЂРёВ В mВ , меньшем, чем  nВ .В В
Рџ СЂ Рё Рј Рµ СЂВ .В В В a4В :В a7В = aВ 4В -В 7В = aВ -3В .
Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n = a m - n  была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
 Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы . 2 0 = 1,  ( – 5 ) 0 = 1,  ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени изm-ой степени этого числа а :
В
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
Случай 1.
    где  a ≠0 ,  не существует.
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠0
Случай 2.В
      - любое число.
В
В
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.
В
Случай 3.
Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то
В
   0 0   - любое число.
Действительно,В
Ре ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:
В
                        1)   x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ( Почему? ).В В В В В В В В В
В
                        2)  при  x > 0 получаем:  x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
                               что  x – любое число; но принимая во внимание, что в
                              нашем случае xВ > 0 , ответом является  xВ > 0 ;В
В
                        3)  при  x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
                               в этом случае нет решения.
                        Таким образом,  x > 0.
uclg.ru