Наверное, каждый сталкивался с таким словом, как «апория». Это и немудрено, ведь многие изучали в университете курс философии. Однако далеко не каждый знает сущность этого слова и сможет правильно его растолковать.
Апории Зенона Элейского – выдающийся памятник человеческой мысли. Это одна из интереснейших проблем в философии Древней Греции, которая показывает, насколько парадоксальными могут оказаться совершенно очевидные на первый взгляд вещи.
О страницах жизни древнегреческого философа нам почти ничего неизвестно. Да и та информация, что до нас дошла, является весьма противоречивой.
Зенон Элейский – философ Древней Греции, родившийся в 490 году до нашей эры в Элее. Прожил 60 лет и умер (предположительно) в 430 году до нашей эры. Зенон был учеником и приемным сыном другого известного философа – Парменида. Кстати, если верить Диогену, то он был еще и любовником своего учителя, однако эти сведения решительно отвергнул грамматик Афиней.
Первый диалектик (по высказыванию Аристотеля) стал известен благодаря своим логическим умозаключениям, которые получили название «апории Зенона». Философия Зенона Элейского – вся состоит из парадоксов и противоречий, отчего становится еще интересней.
Тайнами и загадками окутана жизнь и смерть великого философа. Он известен также как деятель политики, из-за которой и погиб. Зенон, как утверждают некоторые источники, возглавил борьбу против элейского тирана Неарха. Однако философ был арестован, после чего его многократно и изощренно пытали. Но даже под страшнейшими пытками философ не выдал своих боевых товарищей.
Существует две версии смерти Зенона Элейского. По одной из них его изощренно казнили – бросили в огромную ступу и истолкли насмерть. Согласно другой версии, во время разговора с Неархом, Зенон бросился на тирана и откусил его ухо, за что моментально был убит слугами.
Известно, что философ создал не менее сорока различных апорий, однако до нас дошли только девять из них. Среди самых популярных апорий Зенона «Стрела», «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» и «Стадий».
Древнегреческий философ, апориями которого до сих пор озадачен не один десяток современных исследователей, поставил под сомнение существование таких незыблемых категорий, как движение, множество и даже пространство! Дискуссии, спровоцированные парадоксальными высказываниями Зенона Элейского, ведутся до сих пор. Богомолов, Сватковский, Панченко и Манеев – вот далеко не полный список ученых, которые занимались этой проблемой.
Так какова же суть этого понятия? И в чем состоит парадоксальность апорий Зенона Элейского?
Если перевести греческое слово «aporia», то апория – это «безвыходное положение» (дословно). Она возникает из-за того, что в самом предмете (или в его трактовке) спрятано определенное противоречие.
Можно говорить о том, что апория – это (в философии) проблема, решение которой сопряжено с большими трудностями.
Своими умозаключениями Зенон существенно обогатил диалектику. И хоть современные математики уверены, что они опровергли апории Зенона, они все равно таят в себе еще множество загадок.
Если же трактовать философию Зенона, апория – это, в первую очередь, абсурдность и невозможность существования движения. Хотя сам философ, вероятнее всего, не употреблял этот термин вообще.
Рассмотрим более детально четыре самые известные апории Зенона Элейского. Первые две ставят под удар существование такого понятия, как движение. Это апория «Дихотомия» и апория «Ахиллес и черепаха».
Апория «Дихотомия» на первый взгляд кажется абсурдной и совершенно бессмысленной. Она утверждает, что любое движение не может закончиться. Более того, оно не может даже начаться. Согласно этой апории, чтобы пройти все расстояние, нужно вначале пройти его половину. А чтобы преодолеть его половину, нужно пройти половину половины этого расстояния и так до бесконечности. Таким образом, невозможно пройти бесконечное число отрезков за конечный (ограниченный) промежуток времени.
Более известной является апория «Ахиллес и черепаха», в которой философ решительно утверждает, что быстрый герой никогда не сможет догнать черепаху. Всё дело в том, что пока Ахиллес будет пробегать участок, отделяющий его от черепахи, та, в свою очередь, тоже проползет некоторое расстояние от него. Далее пока Ахиллес будет преодолевать это новое расстояние, черепаха сможет отползти еще на небольшое расстояние дальше. И так будет происходить до бесконечности.
Если первые две апории ставят под сомнение существование движения как такового, то апории «Стрела» и «Стадий» опротестовали дискретное представление времени и пространства.
В своей апории «Стрела» Зенон утверждает, что любая выпущенная из лука стрела неподвижна, то есть находится в состоянии покоя. Чем аргументирует философ это свое нелепое, казалось бы, утверждение? Зенон говорит, что летящая стрела неподвижна, ибо в каждый отдельно взятый момент времени она занимает в пространстве место, равное себе же. Так как это обстоятельство справедливо для абсолютно любого момента времени, то значит, что это обстоятельство справедливо и в целом. Таким образом, утверждает Зенон, любая летящая стрела находится в состоянии покоя.
Наконец, в четвертой своей апории неординарный философ сумел доказать, что признание существования движения равняется, по сути, признанию того, что единица равняется своей половине!
Зенон Элейский предлагает вообразить три одинаковых ряда всадников на лошадях, выстроенных в шеренги. Предположим, что две из них двинулись в разные стороны, причем с одинаковой скоростью. Вскоре последние всадники этих шеренг окажутся на одной линии с серединой шеренги, которая осталась стоять на своем месте. Таким образом, каждая шеренга пройдет мимо половины шеренги, которая стоит, и мимо всего ряда, который двигается. И Зенон говорит, что один и тот же всадник за один промежуток времени пройдет одновременно и весь путь, и его половину. Другими словами, целая единица равняется своей же половине.
Вот мы и разобрались с этой непростой, но весьма увлекательной философской проблемой. Таким образом, апория – это, в философии, противоречие, которое таится в самом предмете либо в понятии о нем.
fb.ru
ОпубликоватьРеферат на тему:
Апори́и Зено́на (от др.-греч. ἀπορία, трудность) — внешне парадоксальные рассуждения на тему о движении и множестве, автором которых является древнегреческий философ Зенон Элейский (V век до н. э.). Современники упоминали более 40 апорий Зенона, до нас дошли 9, обсуждаемые в «Физике» и в других трудах Аристотеля, в комментариях Симпликия, Филопона и Фемистия к Аристотелю[1]; одна апория из этих 9 приводится также у Диогена Лаэртского[2], апории о множестве обсуждаются в диалоге Платона «Парменид». Комментатор Элиас сообщает, что Зенон высказал 40 рассуждений (эпихейрем) о множестве и пять — о движении[3]:
Он составил для своего учителя Парменида, который утверждал, что сущее одно по виду, но множественно согласно очевидности, {аргументацию} из сорока эпихейрем в пользу того, что сущее одно, так как считал, что быть союзником учителя — это хорошо. Еще как-то, защищая того же учителя, утверждавшего, что сущее неподвижно, он выдвинул пять эпихейрем в пользу того, что сущее неподвижно. Антисфен-киник, который не смог на них возразить, встал и стал ходить, полагая, что доказательство делом сильнее всякого возражения словом.
Наиболее известны парадокс «Ахиллес и черепаха» и другие апории Зенона о движении, которые обсуждаются более двух тысячелетий, им посвящены сотни исследований. Платон в «Пармениде» их не упоминает, поэтому В. Я. Комарова предполагает, что парадоксы движения были написаны Зеноном позднее других[4]. Ошибочно воспринимать эти рассуждения как софизмы или полагать, что с появлением высшей математики все апории разрешены[5]. Бертран Рассел писал, что апории Зенона «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней»[6]. Научные дискуссии, вызванные рассуждениями Зенона, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль непрерывного и дискретного (прерывного) в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время (см. список литературы), прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось[7].
Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце VI — первой половине V века до н. э., родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид, учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение[8]. Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива[9]. При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев, элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью[10].
Как отмечают В. Ф. Асмус и ряд других историков, элеаты отрицали не сами, видимые нами, движение и множественность мира, а их мыслимость[11][12], то есть, на современном языке, соответствие бытия и его научных моделей, которые, по мнению элеатов, невозможны без противоречий — в то время как рационально-логический подход позволяет этих противоречий избежать. Отстаивая свою идеологию в философских спорах, Зенон и другие элеаты использовали изощрённую логическую аргументацию, и важной её частью были апории Зенона, доказывающие нелогичность и противоречивость взглядов оппонентов.
Это наиболее известные (и, судя по библиографии, наиболее актуальные) парадоксы Зенона.
В V веке до н. э. древнегреческая математика достигла высокой ступени развития, и пифагорейская школа выражала уверенность, что математические закономерности лежат в основе всех законов природы. В частности, математическая модель движения в природе была создана на основе геометрии, которая к этому времени уже была достаточно глубоко разработана. Геометрия пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия — и самым идеализированным было фундаментальное понятие точки пространства, не имеющей никаких собственных измеримых характеристик[13]. Тем самым любая классическая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из бесконечного количества отдельных точек. В математике это противоречие не вызывало проблем, но применение этого же подхода к реальному движению поставило вопрос, насколько правомерен такой внутренне противоречивый подход[14]. Первым проблему ясно сформулировал Зенон Элейский в серии своих парадоксов (апорий).
Апории и вообще взгляды Зенона нам известны только в кратком пересказе других античных философов, которые жили столетия спустя и хотя высоко ценили Зенона как «основателя диалектики», но чаще всего были его идейными противниками. Поэтому трудно достоверно выяснить, как формулировал апории сам Зенон, что он хотел показать или опровергнуть[15]. По мнению большинства комментаторов, их цель — показать, что наше (математическое) представление о движении противоречиво[7][5]. Эта точка зрения подтверждается тем, что элеатов в древности называли афизиками, то есть противниками науки о природе[15].
В двух апориях (Ахиллес и Дихотомия) предполагается, что время и пространство непрерывны и неограниченно делимы; Зенон показывает, что это допущение приводит к логическим трудностям. Третья апория («Стрела»), напротив, рассматривает время как дискретное, составленное из точек-моментов; в этом случае, как показал Зенон, возникают другие трудности[12]. Отметим, что неправильно утверждать, будто Зенон считал движение несуществующим, потому что, согласно элейской философии, доказать несуществование чего бы то ни было невозможно: «несуществующее немыслимо и невыразимо»[16]. Цель аргументации Зенона была более узкой: выявить противоречия в позиции оппонента.
Часто в число апорий движения включают «Стадион» (см. ниже), но по тематике этот парадокс скорее относятся к апориям бесконечности. Далее содержание апорий пересказывается с использованием современной терминологии.
Под влиянием возникших философских споров сформировались два взгляда на строение материи и пространства: первый утверждал их бесконечную делимость, а второй — существование неделимых частиц, «атомов». Каждая из этих школ решала поставленные элеатами проблемы по-своему.
| Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху. |
Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона[12]. Черепаха как персонаж впервые упоминается у комментатора Симпликия; в тексте парадокса, приведённом у Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.
| Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся. |
Название «Дихотомия» (по-гречески: деление пополам) дано Аристотелем.
| Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда. |
Апории «Дихотомия» и «Стрела» напоминают следующие парадоксальные афоризмы, приписываемые ведущему представителю древнекитайской «школы имён» (мин цзя) Гунсунь Луну (середина IV века до н. э. — середина III века до н. э.):
Аристотель (IV век до н. э.) считал материю непрерывной и неограниченно делимой. В книгах IV (главы 2, 3), VI (главы 2, 9) и VIII (глава 8) своей «Физики» он анализирует и отвергает рассуждения Зенона[17]. В отношении апорий движения Аристотель подчёркивает, что хотя интервал времени можно неограниченно делить, но его нельзя составить из изолированных точек-моментов и нельзя этой бесконечной делимости соотносить бесконечное время:
| Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда — говорит он — всякое [тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а перемещающееся [тело] в момент «теперь» всегда [находится в равном себе месте], то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время не слагается из неделимых «теперь», а также никакая другая величина.Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое — о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до половины прежде, чем до конца.<…> Второе — так называемый «Ахиллес»: оно состоит в том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. И это рассуждение основывается на делении пополам, отличается же [от предыдущего] тем, что взятая величина делится не на две равные части.<…>Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из предположения, что время слагается из [отдельных] «теперь»; если это не признавать, силлогизма не получится. |
Диоген сообщает, что у Аристотеля и Гераклида Понтийского были сочинения под названием «Против учения Зенона», однако они не сохранились.
Мнения историков и комментаторов по поводу аргументов Аристотеля разделились: одни считали их достаточными, другие критиковали за неубедительность и недостаточную глубину. В частности, Аристотель не дал объяснения, как конечный отрезок времени может состоять из бесконечного числа частей[12]. В. Я. Комарова пишет[18]:
Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна — и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.
Первый древнегреческий атомист, Левкипп, был учеником Зенона и одним из учителей другого крупного атомиста, Демокрита. Наиболее детальное изложение античного атомизма — система Эпикура, IV—III века до н. э. — дошло до нас в изложении Лукреция Кара. В отличие от Аристотеля, Эпикур считал мир дискретным, состоящим из вечно движущихся неделимых атомов и пустоты. Особый интерес представляет эпикуровская концепция изотахии, согласно которой все атомы движутся с одинаковой скоростью[19]. Учитывая, что в мире Эпикура нельзя измерить нечто меньшее, чем атом, отсюда следует, что существует и наименьший измеримый интервал времени. Математическая идеализация этой модели представляла любое тело, фигуру или линию как объединение бесконечного числа бесконечно малых неделимых (этот подход как «метод неделимых» получил особенное развитие в XVI—XVII вв.).
Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский, комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения»[20]. Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.
Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль, автор известного «Исторического и критического словаря» (1696). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума[21].
Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта. Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt)[2]. Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика. Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий[22]. Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»[23]
Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них[2]:
и многие другие.
Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий[12][24]. О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.
Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»[25]:
Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.
Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения[26]. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»
Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой[27]: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.
Близкую точку зрения можно найти у Николя Бурбаки[28]:
Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.
Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени[29]. Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля[30], — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.
С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум[31]. Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши[32].
Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью»[33].
Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем. Математической основой теории служит математический анализ, первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода[34][35].
Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физика удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV — бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу — инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются)[36][5]. Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел[31].
Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.
Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.
Апория «Ристалище» (или «Стадион») вкратце формулируется так[37].
| Два тела движутся навстречу друг другу. В этом случае одно из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько оно затратило бы на прохождение мимо покоящегося. Значит, половина равна целому. |
Эта апория аналогична парадоксу Галилея: бесконечное множество может быть равномощно своей части.
Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира[15].
| Если их [существующих вещей] много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их [число] ограничено. [Но] если существующих [вещей] много, то их [число] неограничено: ибо всегда существуют другие вещи между существующими [вещами], и снова другие между ними. И так [число] существующих [вещей] неограничено. |
Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид»[38], где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает[15], что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.
Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX—XX веков антиномии теории множеств[15][39], особенно парадокс Кантора: с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности. Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.
Симпликий описывает эту апорию следующим образом[10].
| Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и свое предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет. |
Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.
Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона[40]. Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике»[41]:
Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее — это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это — всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.
В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте, греч. топос), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность[42]. Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое[12]. Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела[43].
| Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом?[44]. |
Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука — отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории — доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна[45]. Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид — парадоксы «Лысый» и «Куча»: «одно зерно — не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»
«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории — это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного»[10]. Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля — во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:
Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.
Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе[36]. В заключении этой статьи автор приходит к выводу:
Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности — локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.
А. С. Пушкин посвятил парадоксам Зенона стихотворение «Движение» (1825)[48].
| Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. |
В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» — это сторонник Зенона (элеат), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем, сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности [49].
Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?»[50].
Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории.
Поль Валери в поэме «Кладбище у моря» (Le Cimetiere Marin, 1920) писал[51]:
| Зенон Элейский, мыслию разящий, Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей, Хоть сам её полётом пренебрег. Рождён я звуком, поражён стрелою. Ужель тень черепахи мне закроет Недвижного Ахилла быстрый бег! |
В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».
Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса. Парадоксальная ситуация, описанная в ней, нашла также отражение в различных юмористических произведениях. Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха».
Литература перечислена в хронологическом порядке.
Категории: Философия физики, Парадоксы, Мысленные эксперименты, Зенон Элейский.
Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.wreferat.baza-referat.ru
Выполнил: Лещёв Денис
Южно-Уральский Государственный Университет
Челябинск
2004
1. Введение. К проблеме апорий в науке.
Двадцать четыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе так называемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.
2. Апории Зенона.
Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.
2.1. Апории относительно множества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.
2.1.1. Дошедшие до нас апории Зенона.
Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.
К апориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признание бытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны, если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.
Оставаясь на позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся с помощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивость апории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью о фиктивной бесконечности количества элементов космического универсального множества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этой целью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в мире существует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначив предикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным» через ùP(x), вышепроизведенное высказывание мы можем выразить следующим образом:
«x ( S(x) ® (P(x) ÙùP(x)) )
Перед нами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал вывод вообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не в том, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременно конечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил о немыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовало отрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даже невозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечное многое – подлинная реальность.
Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.
К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней.
2.1.2. Апория «о месте» и «метрическая апория».
К рассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «о месте» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующее помещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность».
Аристотель писал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не как в месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в теле как состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».
Разъяснения Аристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойстве некоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.
Пример с теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту», если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи, «разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь, обладающая этим состоянием.
Рассуждения, аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и в современных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный ряд чисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначала рассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементом которого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.
А возражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственны возражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединить во множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.
2.1.3. Логическая структура апорий данного типа
может быть представлена конъюнкцией:
»x ( S(x) ® P(x) ) Ù
х ( ùS(x) Ù P(x) ),
обнаруживающей нарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знак предиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством», P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».
Уход в бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логической некорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже, например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. На самом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используются знаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то есть опять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø») вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натурального ряда из «ничего».
В тесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, то есть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего». Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличения ни при каких обстоятельствах».
«Данная апория, — пишет Ю.А. Петров, — вскрывала трудности, связанные с представлением конечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в свою очередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагалась равной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения. Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим по величине. В обоих случаях получались противоречия».
Перед нами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связана она с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных по предположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек» и «мгновений».
2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.
Ещё со времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости понимания протяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этим вопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель, Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен и другие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что она буквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал времени представляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание было бы парадоксальным».
Однако в последнее время предпринимаются попытки доказать возможность получения, например, протяженного отрезка из непротяженных точек. Так,
А. Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет «преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительный линейный интервал состоит из непротяженных элементов — точек». Эти толкования не в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной трудности – доказать возможность получения протяженной длины из непротяженных каких бы то ни было объектов, ибо не столь важно, какова их конкретная природа или названия, но важно то, что они не обладают протяженностью.
На аналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и момент объектами, не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из бесконечного континуального множества этих объектов состоят реальное пространство и время. Б. Рассел утверждал, что если отбросить идеи об актуально бесконечных малых, трудности бесконечности и непрерывности, дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, в большинстве своем веские, не поднимают серьезных затруднений».
Оценивая подобного рода подходы к решению обсуждаемой апории Зенона, С. Яновская, на мой взгляд, правильно подчеркивала, что «таким образом отнюдь не решаются гносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения» протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных) множеств непротяженных элементов». Некорректность подобных решений анализируемой апории должна быть ясна из того, что суммирование какого угодно множества не обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудь минимально протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего и не получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но реальными протяженными какими-то квантами пространственно-временного типа, то, опираясь на движение и свойство отражения объектов, можно получить сколь угодно протяженные конечные тела.
2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.
Данная апория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых», что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным в самом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи покрытий его системами интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру).
Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного, пространства и времени при анализе зеноновской метрической апории (создание протяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают к кругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированными знаменитым элейцем. Этих апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов пространства и времени).
2.2. Апории относительно движения.
Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.
2.2.2. Апория «Дихотомия».
2.2.2.1. Формулировка апории.
Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка пути и так далее.
2.2.2.2. Соображения античных математиков.
Гегель дает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта».
Аналогичные соображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обратив внимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысль Аристотеля обратил внимание В.И. Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этой половины сначала её половину и так далее без конца.
Аристотель ответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но не бесконечно разделены (в действительности)…»
Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка, но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает делимость как возможность деления.
2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.
Один из математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое, трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?
Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими, можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn — в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число, следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такой же конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковым типом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множеств затруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены. Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти, рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписывание ему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существует точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечными множествами, даже счетными, неправомерно.
2.2.3. Апория «Стадий» («Стадион»).
2.2.3.1. Формулировка апории.
Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижные массы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 означает массы, движущиеся влево.
Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi, как неделимые. В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимых части Гi, то есть неделимый момент окажется делимым.
Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4 проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4. Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке α и 2α содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным.
2.2.3.2. Логическая ошибка в основе апории «Стадий»
скрывается за неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Это нарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1 и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно тела А2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, так как игнорируется такой параметр этого движения, как скорость ω реляционного движения, равная сумме модулей скоростей υ1 и -υ2 движений тел А1 и А2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структура данной апории может быть представлена формулой 
х ( P(x) ÙùP(x) ), где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременно признание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционного движения тел А1 и А2.
2.2.4. «Ахиллес и черепаха».
2.2.4.1. Суть апории.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояние есть α и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние α, черепаха отползет на α/k, когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха отползет на α/k2, и так далее, то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.
2.2.4.2. Противоречивость апории.
В этой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и еще одно. Предположим, что в некоторый момент времени tω Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса
SA=
и путь черепахи
SA=
Каждому отрезку пути 
, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути 
черепахи. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку пути 
, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины α, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем
1+α= α.
Это последнее затруднение: «часть равна целому» — явилась впоследствии предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половине XIX века установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своей правильной частью. Теперь это свойство иногда принимается в качестве определения бесконечного множества.
Зенон, как известно, не отрицавший реальности движения, не смог лишь логически последовательно осмыслить последнее, допуская трудно обнаружимое нарушение основных логических принципов. Констатируя этот факт, В.И. Ленин высказал свое замечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, а как его выразить в логике понятий», чтобы избежать при этом формально логической непоследовательности. Задача эта вполне разрешима уже с помощью средств, которыми располагает современная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечиво отобразить диалектическую противоречивость объективно реального процесса движения.
2.2.5. Апория «Стрела».
2.2.5.1. Формулировка апории.
Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
2.2.5.2. Основная логическая ошибка в апории «Стрела»
однотипна ошибкам в уже рассмотренных нами апориях: налицо непосредственное нарушение прежде всего логического принципа тождества, а отсюда следует нарушение прочих принципов. Оно выражается в неявном смешении понятий покоя и механического движения, осуществляемом посредством употребления понятия «находиться», «пребывать» в качестве ближайшего родового понятия по отношению к понятиям покоя и движения. Однако покой тела в онтологическом плане не является движением (в противном случае движение действительно должно было бы считать суммой состояний покоя), а выступает как абсолютное, недиалистическое отрицание механического движения в момент пересечения последнего. Поэтому и в логическом плане нельзя считать «покой» и «движение» видовыми в отношении понятий «находиться», «пребывать».
3. Влияние Зенона на философию Древней Греции как подтверждение реконструированного учения.
В своей работе я коснулся только некоторых математико-философских вопросов, связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон придал своим апориям ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реального физического пространства.
В апориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как и в большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятся на все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физические величины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физика открывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д. Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, что решение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».
Мы видим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других философов этого времени.
Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».
Список литературы
Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 1, 1970.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского. //Вестник Ленинградского университета, 1981.
Манеев А. К. Философский анализ зеноновских апорий. Минск, 1972.
www.ronl.ru
Выполнил: Лещёв Денис
Южно-Уральский Государственный Университет
Челябинск
2004
1. Введение. К проблеме апорий в науке.
Двадцать четыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе так называемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.
2. Апории Зенона.
Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.
2.1. Апории относительно множества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.
2.1.1. Дошедшие до нас апории Зенона.
Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.
К апориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признание бытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны, если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.
Оставаясь на позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся с помощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивость апории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью о фиктивной бесконечности количества элементов космического универсального множества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этой целью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в мире существует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначив предикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным» через ùP(x), вышепроизведенное высказывание мы можем выразить следующим образом:
«x ( S(x) ® (P(x) ÙùP(x)) )
Перед нами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал вывод вообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не в том, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременно конечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил о немыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовало отрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даже невозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечное многое – подлинная реальность.
Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.
К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней.
2.1.2. Апория «о месте» и «метрическая апория».
К рассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «о месте» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующее помещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность».
Аристотель писал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не как в месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в теле как состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».
Разъяснения Аристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойстве некоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.
Пример с теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту», если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи, «разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь, обладающая этим состоянием.
Рассуждения, аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и в современных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный ряд чисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначала рассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементом которого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.
А возражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственны возражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединить во множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.
2.1.3. Логическая структура апорий данного типа
может быть представлена конъюнкцией:
»x ( S(x) ® P(x) ) Ùх ( ùS(x) Ù P(x) ),
обнаруживающей нарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знак предиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством», P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».
Уход в бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логической некорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже, например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. На самом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используются знаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то есть опять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø») вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натурального ряда из «ничего».
В тесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, то есть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего». Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличения ни при каких обстоятельствах».
«Данная апория, — пишет Ю.А. Петров, — вскрывала трудности, связанные с представлением конечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в свою очередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагалась равной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения. Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим по величине. В обоих случаях получались противоречия».
Перед нами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связана она с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных по предположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек» и «мгновений».
2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.
Ещё со времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости понимания протяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этим вопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель, Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен и другие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что она буквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал времени представляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание было бы парадоксальным».
Однако в последнее время предпринимаются попытки доказать возможность получения, например, протяженного отрезка из непротяженных точек. Так,
А. Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет «преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительный линейный интервал состоит из непротяженных элементов — точек». Эти толкования не в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной трудности – доказать возможность получения протяженной длины из непротяженных каких бы то ни было объектов, ибо не столь важно, какова их конкретная природа или названия, но важно то, что они не обладают протяженностью.
На аналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и момент объектами, не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из бесконечного континуального множества этих объектов состоят реальное пространство и время. Б. Рассел утверждал, что если отбросить идеи об актуально бесконечных малых, трудности бесконечности и непрерывности, дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, в большинстве своем веские, не поднимают серьезных затруднений».
Оценивая подобного рода подходы к решению обсуждаемой апории Зенона, С. Яновская, на мой взгляд, правильно подчеркивала, что «таким образом отнюдь не решаются гносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения» протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных) множеств непротяженных элементов». Некорректность подобных решений анализируемой апории должна быть ясна из того, что суммирование какого угодно множества не обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудь минимально протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего и не получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но реальными протяженными какими-то квантами пространственно-временного типа, то, опираясь на движение и свойство отражения объектов, можно получить сколь угодно протяженные конечные тела.
2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.
Данная апория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых», что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным в самом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи покрытий его системами интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру).
Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного, пространства и времени при анализе зеноновской метрической апории (создание протяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают к кругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированными знаменитым элейцем. Этих апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов пространства и времени).
2.2. Апории относительно движения.
Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.
2.2.2. Апория «Дихотомия».
2.2.2.1. Формулировка апории.
Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка пути и так далее.
2.2.2.2. Соображения античных математиков.
Гегель дает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта».
Аналогичные соображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обратив внимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысль Аристотеля обратил внимание В.И. Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этой половины сначала её половину и так далее без конца.
Аристотель ответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но не бесконечно разделены (в действительности)…»
Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка, но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает делимость как возможность деления.
2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.
Один из математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое, трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?
Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими, можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn — в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число, следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такой же конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковым типом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множеств затруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены. Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти, рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписывание ему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существует точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечными множествами, даже счетными, неправомерно.
2.2.3. Апория «Стадий» («Стадион»).
2.2.3.1. Формулировка апории.
Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижные массы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 означает массы, движущиеся влево.
Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi, как неделимые. В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимых части Гi, то есть неделимый момент окажется делимым.
Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4 проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4. Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке α и 2α содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным.
2.2.3.2. Логическая ошибка в основе апории «Стадий»
скрывается за неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Это нарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1 и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно тела А2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, так как игнорируется такой параметр этого движения, как скорость ω реляционного движения, равная сумме модулей скоростей υ1 и -υ2 движений тел А1 и А2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структура данной апории может быть представлена формулой х ( P(x) ÙùP(x) ), где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременно признание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционного движения тел А1 и А2.
2.2.4. «Ахиллес и черепаха».
2.2.4.1. Суть апории.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояние есть α и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние α, черепаха отползет на α/k, когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха отползет на α/k2, и так далее, то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.
2.2.4.2. Противоречивость апории.
В этой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и еще одно. Предположим, что в некоторый момент времени tω Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса
SA=
и путь черепахи
SA=
Каждому отрезку пути , пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути черепахи. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку пути , пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины α, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем
1+α= α.
Это последнее затруднение: «часть равна целому» — явилась впоследствии предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половине XIX века установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своей правильной частью. Теперь это свойство иногда принимается в качестве определения бесконечного множества.
Зенон, как известно, не отрицавший реальности движения, не смог лишь логически последовательно осмыслить последнее, допуская трудно обнаружимое нарушение основных логических принципов. Констатируя этот факт, В.И. Ленин высказал свое замечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, а как его выразить в логике понятий», чтобы избежать при этом формально логической непоследовательности. Задача эта вполне разрешима уже с помощью средств, которыми располагает современная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечиво отобразить диалектическую противоречивость объективно реального процесса движения.
2.2.5. Апория «Стрела».
2.2.5.1. Формулировка апории.
Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
2.2.5.2. Основная логическая ошибка в апории «Стрела»
однотипна ошибкам в уже рассмотренных нами апориях: налицо непосредственное нарушение прежде всего логического принципа тождества, а отсюда следует нарушение прочих принципов. Оно выражается в неявном смешении понятий покоя и механического движения, осуществляемом посредством употребления понятия «находиться», «пребывать» в качестве ближайшего родового понятия по отношению к понятиям покоя и движения. Однако покой тела в онтологическом плане не является движением (в противном случае движение действительно должно было бы считать суммой состояний покоя), а выступает как абсолютное, недиалистическое отрицание механического движения в момент пересечения последнего. Поэтому и в логическом плане нельзя считать «покой» и «движение» видовыми в отношении понятий «находиться», «пребывать».
3. Влияние Зенона на философию Древней Греции как подтверждение реконструированного учения.
В своей работе я коснулся только некоторых математико-философских вопросов, связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон придал своим апориям ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реального физического пространства.
В апориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как и в большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятся на все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физические величины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физика открывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д. Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, что решение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».
Мы видим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других философов этого времени.
Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».
Список литературы
Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 1, 1970.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского. //Вестник Ленинградского университета, 1981.
Манеев А. К. Философский анализ зеноновских апорий. Минск, 1972.
www.ronl.ru
Выполнил: Лещёв Денис
Южно-Уральский Государственный Университет
Челябинск
2004
1. Введение. К проблеме апорий в науке.
Двадцать четыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе так называемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши дни нельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основания математики, вообще начал точного естествознания.
2. Апории Зенона.
Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации его аргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.
2.1. Апории относительно множества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.
2.1.1. Дошедшие до нас апории Зенона.
Дошедшие до нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается» существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая, то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность; в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логике понятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.
К апориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признание бытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны, если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.
Оставаясь на позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся с помощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивость апории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью о фиктивной бесконечности количества элементов космического универсального множества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этой целью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в мире существует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначив предикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным» через ùP(x), вышепроизведенное высказывание мы можем выразить следующим образом:
«x ( S(x) ® (P(x) ÙùP(x)) )
Перед нами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал вывод вообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не в том, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременно конечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил о немыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовало отрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даже невозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечное многое – подлинная реальность.
Но как только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме как отвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекает противоречащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенон не сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще не утихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечных множеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оно одновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средств опровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнением и поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался от признания многого в бытии, не поверил в его существование.
К сожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальный характер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реально существующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально не существует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить вывод о существовании многого при признании не только конечности, но и актуальной бесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все еще неразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противном случае надо открыто выразить недоверие последней.
2.1.2. Апория «о месте» и «метрическая апория».
К рассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «о месте» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующее помещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность».
Аристотель писал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не как в месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в теле как состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».
Разъяснения Аристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойстве некоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.
Пример с теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту», если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи, «разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь, обладающая этим состоянием.
Рассуждения, аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и в современных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный ряд чисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначала рассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементом которого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.
А возражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственны возражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединить во множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.
2.1.3. Логическая структура апорий данного типа
может быть представлена конъюнкцией:
»x ( S(x) ® P(x) ) Ùх ( ùS(x) Ù P(x) ),
обнаруживающей нарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знак предиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством», P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».
Уход в бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логической некорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже, например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. На самом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используются знаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то есть опять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø») вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натурального ряда из «ничего».
В тесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, то есть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего». Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличения ни при каких обстоятельствах».
«Данная апория, — пишет Ю.А. Петров, — вскрывала трудности, связанные с представлением конечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в свою очередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагалась равной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения. Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим по величине. В обоих случаях получались противоречия».
Перед нами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связана она с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных по предположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек» и «мгновений».
2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.
Ещё со времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости понимания протяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этим вопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель, Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен и другие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что она буквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал времени представляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание было бы парадоксальным».
Однако в последнее время предпринимаются попытки доказать возможность получения, например, протяженного отрезка из непротяженных точек. Так,
А. Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет «преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительный линейный интервал состоит из непротяженных элементов — точек». Эти толкования не в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной трудности – доказать возможность получения протяженной длины из непротяженных каких бы то ни было объектов, ибо не столь важно, какова их конкретная природа или названия, но важно то, что они не обладают протяженностью.
На аналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и момент объектами, не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из бесконечного континуального множества этих объектов состоят реальное пространство и время. Б. Рассел утверждал, что если отбросить идеи об актуально бесконечных малых, трудности бесконечности и непрерывности, дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, в большинстве своем веские, не поднимают серьезных затруднений».
Оценивая подобного рода подходы к решению обсуждаемой апории Зенона, С. Яновская, на мой взгляд, правильно подчеркивала, что «таким образом отнюдь не решаются гносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения» протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных) множеств непротяженных элементов». Некорректность подобных решений анализируемой апории должна быть ясна из того, что суммирование какого угодно множества не обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудь минимально протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего и не получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но реальными протяженными какими-то квантами пространственно-временного типа, то, опираясь на движение и свойство отражения объектов, можно получить сколь угодно протяженные конечные тела.
2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.
Данная апория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых», что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным в самом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи покрытий его системами интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру).
Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного, пространства и времени при анализе зеноновской метрической апории (создание протяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают к кругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированными знаменитым элейцем. Этих апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов пространства и времени).
2.2. Апории относительно движения.
Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.
2.2.2. Апория «Дихотомия».
2.2.2.1. Формулировка апории.
Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка пути и так далее.
2.2.2.2. Соображения античных математиков.
Гегель дает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказывается прохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда не кончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечного пункта».
Аналогичные соображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обратив внимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысль Аристотеля обратил внимание В.И. Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этой половины сначала её половину и так далее без конца.
Аристотель ответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но не бесконечно разделены (в действительности)…»
Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка, но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает делимость как возможность деления.
2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.
Один из математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое, трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?
Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими, можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn — в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число, следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такой же конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковым типом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множеств затруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены. Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти, рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписывание ему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существует точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечными множествами, даже счетными, неправомерно.
2.2.3. Апория «Стадий» («Стадион»).
2.2.3.1. Формулировка апории.
Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижные массы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 означает массы, движущиеся влево.
Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi, как неделимые. В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимых части Гi, то есть неделимый момент окажется делимым.
Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4 проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4. Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке α и 2α содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным.
2.2.3.2. Логическая ошибка в основе апории «Стадий»
скрывается за неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Это нарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1 и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно тела А2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, так как игнорируется такой параметр этого движения, как скорость ω реляционного движения, равная сумме модулей скоростей υ1 и -υ2 движений тел А1 и А2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структура данной апории может быть представлена формулой х ( P(x) ÙùP(x) ), где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременно признание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционного движения тел А1 и А2.
2.2.4. «Ахиллес и черепаха».
2.2.4.1. Суть апории.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояние есть α и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние α, черепаха отползет на α/k, когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха отползет на α/k2, и так далее, то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.
2.2.4.2. Противоречивость апории.
В этой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и еще одно. Предположим, что в некоторый момент времени tω Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса
SA=
и путь черепахи
SA=
Каждому отрезку пути , пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути черепахи. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку пути , пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины α, то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть α, то получаем
1+α= α.
Это последнее затруднение: «часть равна целому» — явилась впоследствии предметом размышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этому парадоксу различные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половине XIX века установил, что любое бесконечное множество может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своей правильной частью. Теперь это свойство иногда принимается в качестве определения бесконечного множества.
Зенон, как известно, не отрицавший реальности движения, не смог лишь логически последовательно осмыслить последнее, допуская трудно обнаружимое нарушение основных логических принципов. Констатируя этот факт, В.И. Ленин высказал свое замечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, а как его выразить в логике понятий», чтобы избежать при этом формально логической непоследовательности. Задача эта вполне разрешима уже с помощью средств, которыми располагает современная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечиво отобразить диалектическую противоречивость объективно реального процесса движения.
2.2.5. Апория «Стрела».
2.2.5.1. Формулировка апории.
Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.
2.2.5.2. Основная логическая ошибка в апории «Стрела»
однотипна ошибкам в уже рассмотренных нами апориях: налицо непосредственное нарушение прежде всего логического принципа тождества, а отсюда следует нарушение прочих принципов. Оно выражается в неявном смешении понятий покоя и механического движения, осуществляемом посредством употребления понятия «находиться», «пребывать» в качестве ближайшего родового понятия по отношению к понятиям покоя и движения. Однако покой тела в онтологическом плане не является движением (в противном случае движение действительно должно было бы считать суммой состояний покоя), а выступает как абсолютное, недиалистическое отрицание механического движения в момент пересечения последнего. Поэтому и в логическом плане нельзя считать «покой» и «движение» видовыми в отношении понятий «находиться», «пребывать».
3. Влияние Зенона на философию Древней Греции как подтверждение реконструированного учения.
В своей работе я коснулся только некоторых математико-философских вопросов, связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон придал своим апориям ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реального физического пространства.
В апориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как и в большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятся на все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физические величины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физика открывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д. Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, что решение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».
Мы видим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других философов этого времени.
Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».
Список литературы
Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 1, 1970.
Комарова В. Я. Учение Зенона Элейского. //Вестник Ленинградского университета, 1981.
Манеев А. К. Философский анализ зеноновских апорий. Минск, 1972.
www.ronl.ru
Выполнил: Лещёв Денис
Южно-Уральский Государственный Университет
Челябинск
2004
1. Введение. К проблемеапорий в науке.
Двадцатьчетыре столетия назад Зенон Элейский, первый древнегреческий философ, указывална невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и несомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зенономсформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интересв гносеологическом, логическом и специально-научном плане представляют иапории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого вбытии», проблемы получения протяженного отрезка при аддитивном синтезе такназываемых непротяженных точек(метрическая апория), и другие. «Трудности,нашедшие отражение в апориях Зенона, — подчеркивала С. Яновская, — и в наши днинельзя считать преодоленными». Поэтому апории Зенона не перестают интересоватьи математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений.Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познанияпространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, атакже с проблемами «начал» науки в смысле истории возникновения исходныхпонятий о природе(«тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество»,«конечное», «бесконечное» и другие) и в плане дискуссий, в ходе которыхуточнялся смысл этих понятий и которые переросли в итоге в проблему основанияматематики, вообще начал точного естествознания.
/>2.Апории Зенона.
Исследованиепарадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с истории интерпретации егоаргументов, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем ипозволит найти собственный путь к разрешению загадок Зенона. Для этоготребуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах илиболее убедительных предположениях.
/>2.1. Апории относительномножества. Первая теоретическая постановка проблемы бесконечности.
/>2.1.1. Дошедшие до нас апорииЗенона.
Дошедшиедо нас апории Зенона можно подразделить на две группы: в одних «опровергается»существование «многого», причем «многое» понимается как актуально существующая,то есть заданная всем набором своих элементов, некоторая полная, завершенная совокупность;в других вскрываются противоречия, связанные с отображением движения в логикепонятий. Однако и те, и другие тесно связаны между собой.
Капориям первой группы относятся те, которые призваны опровергнуть признаниебытия «многого». Суть их в следующем: если существующих вещей много, то ихдолжно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если ихстоль много, сколько их есть, то их число ограничено. Но, с другой стороны,если существующих вещей много, то их число неограниченно, ибо всегда существуютдругие вещи между существующими и снова другие между теми и так далее.
Оставаясьна позициях конструктивного направления в понимании множеств, попытаемся спомощью средств символической логики представить в явном виде логическую противоречивостьапории, прикрываемую подменой мысли о подлинной бесконечности мыслью офиктивной бесконечности количества элементов космического универсальногомножества, ошибочно выдаваемого за актуально бесконечное множество. С этойцелью сформулируем апорию в виде, удобном для формализации: «Если в миресуществует многое, то оно одновременно и конечно, и бесконечно». Обозначивпредикаты «быть многим» S(x), «быть конечным» через P(x), а «быть бесконечным»через ùP(x), вышепроизведенноевысказывание мы можем выразить следующим образом:
«x ( S(x) ®(P(x) Ù ùP(x)) )
Переднами логически ложная импликация, опираясь на которую, Зенон сделал выводвообще о немыслимости существования многого в бытии. Однако ошибка Зенона не втом, что он возмущался допущением, согласно которому «многое» одновременноконечно и бесконечно по числу его элементов, а лишь в том, что он заявил онемыслимости существования какого бы то ни было «многого», тогда как следовалоотрицать только такое «многое», которое в действительности не существует и даженевозможно, то есть актуальное бесконечное многое или потенциально бесконечноемногое – подлинная реальность.
Нокак только мы осознали этот факт, не остается иного выхода, кроме какотвергнуть те предпосылки, из которых логически необходимо вытекаетпротиворечащий им вывод о «несуществовании многого в бытии». Этого шага Зенонне сделал, чему мы можем, казалось бы, удивляться; однако и сейчас еще неутихают споры вокруг восходящей к Зенону проблемы актуально бесконечныхмножеств. Оставаясь при мнении, что если существует многое в бытии, то оноодновременно и конечно, и бесконечно, и не видя логических путей и средствопровержения этого мнения, Зенон не мог интуитивно согласиться с таким мнениеми поэтому сделал субъективно вполне последовательный шаг – отказался отпризнания многого в бытии, не поверил в его существование.
Ксожалению, до сего времени еще недостаточно четко осознается принципиальныйхарактер не вполне понятой и Зеноном дилеммы: или признать конечность реальносуществующего многого в бытии, или же в противном случае оно реально несуществует, ибо в принципе невозможно логически последовательно получить выводо существовании многого при признании не только конечности, но и актуальнойбесконечности его. В этом убеждает нас и многовековое существование все ещенеразрешимой проблемы апорий, и использование средств современной логики; в противномслучае надо открыто выразить недоверие последней.
/>2.1.2. Апория «о месте» и«метрическая апория».
Крассмотренной апории примыкают приводимые Аристотелем зеноновские апории «оместе» и «метрическая». Первую Аристотель излагает так: «…если все существующеепомещается в известном месте, то ясно, что будет и место места, и так идет вбесконечность».
Аристотельписал: «ничто ведь не препятствует, чтобы первичное место было в другом… не какв месте, а так, как здоровье заключается в теплом как свойство, а теплое в телекак состояние. Таким образом, нет необходимости идти в бесконечность».
РазъясненияАристотеля о месте как о некотором состоянии вещи или даже о свойственекоторого состояния нельзя признать удачной аргументацией.
Примерс теплом как «свойством здоровья» не избавляет от требования «места месту»,если место как-то подобно теплу, ибо тепло, как и любое состояние вещи,«разлить по всей вещи», и вместе с ней занимает то же самое место, что и вещь,обладающая этим состоянием.
Рассуждения,аналогичные по своей структуре только что рассмотренной апории, встречаются и всовременных основаниях математики, когда идущий в бесконечность натуральный рядчисел порождается из «ничего» (из Ø) посредством того, что сначаларассматривается Ø; затем множество {Ø}, единственным элементомкоторого является Ø; далее множество {Ø, {Ø}} и так далее.
Авозражения, которые выдвигаются против этой процедуры в наши дни, родственнывозражениям Аристотеля – они основаны на том, что нельзя и мысленно объединитьво множество вещи, которые не существуют раздельно друг от друга.
2.1.3. Логическая структура апорий данного типа
можетбыть представлена конъюнкцией:
»x ( S(x) ® P(x) ) Ù />х( ùS(x) Ù P(x) ),
обнаруживающейнарушение принципа логической непротиворечивости мысли, где S(x) – знакпредиката «быть вещью» или «быть подлинным (не равным Ø) множеством»,P(x) – «обладать местом», или «быть множеством вообще».
Уходв бесконечность в анализируемых апориях – результат приведенной логическойнекорректности в сфере мысли. Некорректность такого рода выражена уже,например, в заявке строить натуральный ряд чисел, не опираясь ни на что. Насамом же деле вместо абстракции «ничто» при таких построениях используютсязнаки Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}} и так далее, то естьопять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ø»)вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения натуральногоряда из «ничего».
Втесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория Зенона, тоесть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого из «ничего».Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудьвещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше, соответственно меньше,тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу существующего, причемсуществующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такаявеличина обладает бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличенияни при каких обстоятельствах».
«Даннаяапория, — пишет Ю.А. Петров, — вскрывала трудности, связанные с представлениемконечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых. Эти неделимые в своюочередь представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма полагаласьравной нулю, из чего следовало, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.Если же неделимые представлялись имеющими измерение, то тело большим повеличине. В обоих случаях получались противоречия».
Переднами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, ибо связанаона с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленных попредположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек»и «мгновений».
2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.
Ещёсо времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости пониманияпротяженного континуума как совокупности непротяженных элементов. Этимвопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие мыслители, как Аристотель,Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц, Кантор, У. Джеймс, Бриджмен идругие. Так, например, Бриджмен, писал: «если бы линию понимали так, что онабуквально состоит из совокупности точек нулевой длины, а интервал временипредставляет собою сумму неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание былобы парадоксальным».
Однаков последнее время предпринимаются попытки доказать возможность получения,например, протяженного отрезка из непротяженных точек. Так,
А.Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет«преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительныйлинейный интервал состоит из непротяженных элементов — точек». Эти толкованияне в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной трудности – доказатьвозможность получения протяженной длины из непротяженных каких бы то ни былообъектов, ибо не столь важно, какова их конкретная природа или названия, новажно то, что они не обладают протяженностью.
Нааналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и момент объектами,не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из бесконечного континуальногомножества этих объектов состоят реальное пространство и время. Б. Расселутверждал, что если отбросить идеи об актуально бесконечных малых, трудностибесконечности и непрерывности, дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, вбольшинстве своем веские, не поднимают серьезных затруднений».
Оцениваяподобного рода подходы к решению обсуждаемой апории Зенона, С. Яновская, на мойвзгляд, правильно подчеркивала, что «таким образом отнюдь не решаютсягносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения»протяженных объектов в виде актуально-бесконечных (к тому же еще и несчетных)множеств непротяженных элементов». Некорректность подобных решенийанализируемой апории должна быть ясна из того, что суммирование какого угодномножества не обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудьминимально протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего ине получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но реальнымипротяженными какими-то квантами пространственно-временного типа, то, опираясьна движение и свойство отражения объектов, можно получить сколь угоднопротяженные конечные тела.
2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.
Даннаяапория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых»,что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным всамом понятии множества и что мера множества, вообще говоря, не равна сумме мерего элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи покрытий егосистемами интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определеннуюдлину (меру).
Затронутыенами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного,пространства и времени при анализе зеноновской метрической апории (созданиепротяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают ккругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированнымизнаменитым элейцем. Этих апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагиваюттрудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути ивремени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратныхпредположениях, то есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблемаквантов пространства и времени).
/>2.2. Апории относительнодвижения.
Аргументыо движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» икомментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имелв своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множестваподтверждают это. Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниямочевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового,отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этихаргументов. Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.
/>2.2.2. Апория «Дихотомия».
/>2.2.2.1. Формулировка апории.
ПустьАВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, онадолжна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1, А2, …, Аn, …; значит,точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет концапути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути, затем до серединыостатка пути и так далее.
/>2.2.2.2. Соображения античныхматематиков.
Гегельдает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон здесь указывает набесконечную делимость пространства: так как пространство и время абсолютнонепрерывны, то нигде нельзя остановиться с делением… Движение оказываетсяпрохождением этого бесконечного количества моментов; оно поэтому никогда некончается, движущееся, следовательно, не может дойти до своего конечногопункта».
Аналогичныесоображения можно найти и у Аристотеля. Гегель справедливо отмечает, что ужеАристотель наметил правильный путь решения данной апории Зенона, обративвнимание на то, что пространство и время не актуально разделены бесконечнымобразом, а лишь потенциально делимы до бесконечности. На эту важную мысльАристотеля обратил внимание В.И. Ленин, конспектируя «Историю философии»Гегеля: «Движущийся к цели должен сначала пройти половину пути к ней. А от этойполовины сначала её половину и так далее без конца.
Аристотельответил: пространство и время бесконечно делимы (в возможности)… но небесконечно разделены (в действительности)…»
Развиваяидею Аристотеля о непрерывности как непрерывной делимости, а неактуализированной разделенности, Гегель писал: «Делимость как возможность естьвсеобщее, в ней положены как непрерывность, так и отрицательность, или точка,но положены как моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть,рассматривает делимость как возможность деления.
2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.
Одиниз математических вопросов, связанных с данной апорией, состоит в следующем:допустимо ли пользоваться актуальной бесконечностью, допустимо ли, например,рассматривать весь натуральный ряд уже построенным и ввести некоторое новое,трансфинитное число, следующее за всеми натуральными?
Теориямножеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот вопрос положительно.Кантор определяет порядковые трансфинитные числа. Если воспользоваться ими,можно сказать, что точка М достигает А1 в момент t1, А2 — в момент t2, …, Аn- в момент tn, а точка В — в момент tω, где ω – первое число,следующее за всем натуральным рядом. Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такойже конструкции ввел первый трансфинит ω, который и является порядковымтипом множества натуральных чисел. Однако с введением теории множествзатруднения, связанные с актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены.Они приняли только другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теориимножеств. В одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти,рассматривается порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписываниеему порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существуетточка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально бесконечнымимножествами, даже счетными, неправомерно.
/>2.2.3. Апория «Стадий»(«Стадион»).
/>2.2.3.1. Формулировка апории.
Пустьпо стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, нов противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижныемассы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3,Г4 означает массы, движущиеся влево.
Будемтеперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi, как неделимые. В неделимый моментвремени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы внеделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой частипространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, томожно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперьдвижение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых моментавремени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыренеделимых части Гi, то есть неделимый момент окажется делимым.
Этойапории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4. Но каждомунеделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая заэто время. Тогда в некотором отрезке α и 2α содержится «одинаковое»число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можноустановить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установленотакое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, чтомера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод являетсяпарадоксальным.
2.2.3.2. Логическая ошибка в основе апории «Стадий»
скрываетсяза неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Этонарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно телаА2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, таккак игнорируется такой параметр этого движения, как скорость ω реляционногодвижения, равная сумме модулей скоростей υ1 и -υ2 движений тел А1 иА2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структураданной апории может быть представлена формулой />х ( P(x) Ù ùP(x) ),где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременнопризнание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционногодвижения тел А1 и А2.
/>2.2.4. «Ахиллес и черепаха».
/>2.2.4.1. Суть апории.
БыстроногийАхиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находиласьна некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояниеесть α и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллеспройдет расстояние α, черепаха отползет на α/k, когда Ахиллес пройдетэто расстояние, черепаха отползет на α/k2, и так далее, то есть всякий размежду состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.
2.2.4.2. Противоречивость апории.
Вэтой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется иеще одно. Предположим, что в некоторый момент времени tω Ахиллес догонитчерепаху. Запишем путь Ахиллеса
SA=/>
ипуть черепахи
SA=/>
Каждомуотрезку пути />,пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути /> черепахи. Поэтому к моментувстречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. Сдругой стороны, каждому отрезку пути />, пройденному черепахой, можносопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того,Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины α, то есть он долженпройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков,пройденное последней, есть α, то получаем
1+α=α.
Этопоследнее затруднение: «часть равна целому» — явилась впоследствии предметомразмышления Галилея, Николая Кузанского и многих других, которые давали этомупарадоксу различные интерпретации. Чешский ученый Б. Болцано в первой половинеXIX века установил, что любое бесконечное множество может быть приведено вовзаимно однозначное соответствие со своей правильной частью. Теперь этосвойство иногда принимается в качестве определения бесконечного множества.
Зенон,как известно, не отрицавший реальности движения, не смог лишь логическипоследовательно осмыслить последнее, допуская трудно обнаружимое нарушениеосновных логических принципов. Констатируя этот факт, В.И. Ленин высказал своезамечание: «Вопрос не в том, есть ли движение, а как его выразить в логикепонятий», чтобы избежать при этом формально логической непоследовательности.Задача эта вполне разрешима уже с помощью средств, которыми располагаетсовременная символическая логика и которые позволяют логически непротиворечивоотобразить диалектическую противоречивость объективно реального процесса движения.
/>2.2.5. Апория «Стрела»./>
2.2.5.1. Формулировка апории.
Есливремя и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна,так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение,то есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.
Этаапория направлена против представления о непрерывной величине как о суммебесконечного числа неделимых частиц.
2.2.5.2. Основная логическая ошибка в апории «Стрела»
однотипнаошибкам в уже рассмотренных нами апориях: налицо непосредственное нарушениепрежде всего логического принципа тождества, а отсюда следует нарушение прочихпринципов. Оно выражается в неявном смешении понятий покоя и механическогодвижения, осуществляемом посредством употребления понятия «находиться»,«пребывать» в качестве ближайшего родового понятия по отношению к понятиямпокоя и движения. Однако покой тела в онтологическом плане не являетсядвижением (в противном случае движение действительно должно было бы считатьсуммой состояний покоя), а выступает как абсолютное, недиалистическое отрицаниемеханического движения в момент пересечения последнего. Поэтому и в логическомплане нельзя считать «покой» и «движение» видовыми в отношении понятий«находиться», «пребывать».
/>3. Влияние Зенона на философиюДревней Греции как подтверждение реконструированного учения.
Всвоей работе я коснулся только некоторых математико-философских вопросов,связанных с парадоксами Зенона. Но сам Зенон придал своим апориям ярковыраженный физический смысл: он направил их против возможности движения.Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реальногофизического пространства.
Вапориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как ив большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятсяна все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физическиевеличины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физикаоткрывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д.Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, чторешение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мывовсе не обязательно должны верить в то, что математическоепространственно-временное представление движения имеет физическое значение дляпроизвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем всеоснования предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты изнекоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядкавеличин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто всмысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершаетэкстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей…Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможностьнепосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредствомопыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, чтобесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована илиэкстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».
Мывидим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы.Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос отом, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими иактуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения,которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые тамвелись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и другихфилософов этого времени.
Четырьмяпарадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строгопоказывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве ивремени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили болеепоздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителейпроникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ееприменения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулироватьпифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанныеЗеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ отпредставления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью,у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории– лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической«делимости».
Список литературы
ГрюнбаумА. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969.
Историяматематики с древнейших времен до начала XIX столетия. Том 1, 1970.
КомароваВ. Я. Учение Зенона Элейского. //Вестник Ленинградского университета, 1981.
МанеевА. К. Философский анализ зеноновских апорий. Минск, 1972.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.refz.ru/
www.ronl.ru
Влияние Зенона на философию Древней Греции
Зенон придал своим апориям ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Основной вопрос состоит в соотношении математической модели и реального физического пространства.
В апориях Зенона предполагается, что пространство в малом устроено так же, как и в большом, факты из области движения величин определенного порядка переносятся на все величины. Между тем согласно современным физическим взглядам физические величины вовсе не являются делимыми до бесконечности. Современная физика открывает все новые и новые замечательные факты о строении микромира. Д. Гильберт и П. Бернайс в своей книге «Основания математики» (1934) писали, что решение парадокса «дихотомия» состоит «в указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени; скорее, мы имеем все основания предполагать, что эта математическая модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который пока доступен нашему наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому, как механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное заполнение пространства материей… Ситуация оказывается сходной во всех случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения(актуальной) бесконечности как данной посредством опыта или восприятия… Более подробное исследование показывает затем, что бесконечность вовсе не была нам дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого интеллектуального процесса».
Апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям Аристотеля и других философов этого времени.
Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые возможности ее применения. Еще они, естественно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».
Заключение
Основная мысль апорий Зенона Элейского состоит в том, что дискретность, множественность и движение характеризуют лишь чувственную картину мира, но она заведомо недостоверна. Истинная картина мира постигается только мышлением и теоретическим исследованием.
Если не вникать в глубину апорий, можно относиться к ним свысока и удивляться, как это Зенон не додумался до очевидных вещей. Но о Зеноне не перестают спорить, а история науки показывает, что если о чем-то долго спорят, то это, как правило, не зря. Несомненно, размышления над апориями помогли создать математический анализ, сыграли определенную роль в физической революции ХХ века и, вполне возможно, что в физике XXI столетия их значение будет еще более существенным.
Содержание
myunivercity.ru
