, n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.1. Введение Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности. Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, в том числе философии. Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен. Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.
2. Экскурс в историю 1.1. Греческая философия и ее математика Первой философской теорией математики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее истинную ее часть. Как философское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но в центре его тем не менее лежит определенное истолкование сути математического знания. Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят, однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найлено какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова. Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547 гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени. Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны. Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии. Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом. Наряду с пифпгорейской философией, существовала другая, более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук. 1.2. Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенности механики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины. Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов. Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система. 1.3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых. 11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа. Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий. В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм. Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве. Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза» В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве. Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода. Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления. 1.4. Математика в XX в. Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в. таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиков устранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства, гарантирующие надежность математических рассуждений.
3. Философия и математика Подобно тому как основным вопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики к объективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологических проблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает. Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки. Под обычными науками мы понимаем все науки, за исключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которые изучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – это специальные науки за вычетом математики. Таким образом, математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту же реальную действительность? Самый общий ответ на него, заключается в том, что философия и математика используют разные способы описания объективной действительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственным языком, предполагающим формально-логический метод описания действительности. Как известно, философия изучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу, универсальный метод познания и преобразования природного и социального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), и качественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболее общих принципов, законов и категорий. Иное дело математика. Ее задача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону. Итак, раздел между философией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этими двумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языке описания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми его недостатками и достоинствами. Но если дело обстоит так, то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практически даже невозможно. Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию в познании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика, последняя занимает особое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чем философия и любая другая наука. Поподробнее обратимся к функциям математики и философии. Мировоззренческая функция философии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, в создание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как система дисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания – идеологией. Философия является не только основой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординация методов. Философия выполняет по отношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, что теория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерий истины. Наконец философия в целом, материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий и представлений. Таким образом, философские принципы имеют огромное методологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальные науки. Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, является всеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношений реальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука о чистых, абстрактных структурах. Отметим еще одну особенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные (частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особый способ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоже нечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологического характера). Уяснение предмета математики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов. Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки. Специфика математического подхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерия истины в математике. С критерием истины в частных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забывать об относительности практики как критерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольника равняется в точности 180 градусам. И это объясняется не столько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики. Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности. Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы. Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений. Итак математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описания может стать любой процесс действительности, а объектями этой области знания являются пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры. 4. Заключение Математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наук. Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой. 5. Список литературы 1. Е.А.Беляев, В.Я.Перминов «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, - 214 с. 2. Сборник научных трудов «Гносеологический анализ математической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130 с. 3. Е.Д.Гражданников «Экстраполяционная прогностика», Новосибирск, 1988, -142 с. 4. Н.И.Жуков «Философские проблемы математики», Минск, 1977, -95 с. 5. А.Г.Спиркин «Основы философии», Москва, 1988, 592 с.
www.ronl.ru
Реферат на тему“Философские проблемы математики”
| Исполнитель | |||||||
| Аспирант СПИИРАН |
| Научный руководитель | |||||||
| Доц. Маслиева О.В. |
| 1. | Введение | 3 | ||
| 2. | Экскурс в историю | 5 | ||
| 1.1. | Греческая философия и ее математика | 5 | ||
| 1.2. | Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых | 8 | ||
| 1.3. | Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. | 9 | ||
| 1.4. | Математика в XX в. | 12 | ||
| 3. | Философия и математика | 13 | ||
| 4. | Заключение | 19 | ||
| 5. | Список литературы | 20 |
Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как "чистой" и прикладной математики, так и других отраслей науки, в том числе философии.
Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.
Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят, однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найлено какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова.
Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547 гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.
Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.
Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "все есть число". Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.
Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии.
Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.
Наряду с пифпгорейской философией, существовала другая, более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов.
Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов.
Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе "теория-приложение", те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.
Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза"В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.
Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.
Под обычными науками мы понимаем все науки, за исключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которые изучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – это специальные науки за вычетом математики.
Таким образом, математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?
Самый общий ответ на него, заключается в том, что философия и математика используют разные способы описания объективной действительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственным языком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.
Как известно, философия изучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу, универсальный метод познания и преобразования природного и социального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), и качественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболее общих принципов, законов и категорий.
Иное дело математика. Ее задача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону.
Итак, раздел между философией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этими двумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языке описания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми его недостатками и достоинствами.
Но если дело обстоит так, то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практически даже невозможно.
Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию в познании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика, последняя занимает особое положение, иначе "вплетена" в ткань науки, чем философия и любая другая наука.
Поподробнее обратимся к функциям математики и философии.
Мировоззренческая функция философии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, в создание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как система дисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания – идеологией.
Философия является не только основой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординация методов.
Философия выполняет по отношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, что теория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерий истины.
Наконец философия в целом, материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий и представлений.
Таким образом, философские принципы имеют огромное методологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальные науки.
Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, является всеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношений реальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука о чистых, абстрактных структурах.
Отметим еще одну особенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные (частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особый способ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоже нечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологического характера).
Уяснение предмета математики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов.
Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки.
Специфика математического подхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерия истины в математике.
С критерием истины в частных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забывать об относительности практики как критерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольника равняется в точности 180 градусам. И это объясняется не столько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики. Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.Итак математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описания может стать любой процесс действительности, а объектями этой области знания являются пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае – абстрактные "математические" структуры.
Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.
Дата добавления: 23.10.2000
www.km.ru
Санкт-Петербургская кафедра философии
Реферат на тему
“Философские проблемы математики”
Исполнитель
Аспирант СПИИРАН
Селина О. С.
Научный руководитель
Доц. Маслиева О.В.
Санкт-Петербург
1998
Содержание
1.Введение 32.Экскурс в историю 5
1.1.Греческая философия и ее математика 5
1.2.Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых 8
1.3.Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 10
1.4.Математика в XX в. 13
3.Философия и математика 15
4.Заключение 22
5.Список литературы 23
Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, в том числе философии.
Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.
Первой философской теорией математики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее истинную ее часть. Как философское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но в центре его тем не менее лежит определенное истолкование сути математического знания.
Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят, однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найлено какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова.
Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547 гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.
Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.
Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.
Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии.
Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.
Наряду с пифпгорейской философией, существовала другая, более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов.
Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.
За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенности механики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины.
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов.
Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.
11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.
Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»
В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.
Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в. таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиков устранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства, гарантирующие надежность математических рассуждений.
Подобно тому как основным вопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики к объективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологических проблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.
Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.
Под обычными науками мы понимаем все науки, за исключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которые изучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – это специальные науки за вычетом математики.
Таким образом, математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?
Самый общий ответ на него, заключается в том, что философия и математика используют разные способы описания объективной действительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственным языком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.
Как известно, философия изучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу, универсальный метод познания и преобразования природного и социального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), и качественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболее общих принципов, законов и категорий.
Иное дело математика. Ее задача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону.
Итак, раздел между философией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этими двумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языке описания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми его недостатками и достоинствами.
Но если дело обстоит так, то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практически даже невозможно.
Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию в познании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика, последняя занимает особое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чем философия и любая другая наука.
Поподробнее обратимся к функциям математики и философии.
Мировоззренческая функция философии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, в создание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как система дисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания – идеологией.
Философия является не только основой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординация методов.
Философия выполняет по отношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, что теория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерий истины.
Наконец философия в целом, материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий и представлений.
Таким образом, философские принципы имеют огромное методологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальные науки.
Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, является всеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношений реальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука о чистых, абстрактных структурах.
Отметим еще одну особенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные (частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особый способ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоже нечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологического характера).
Уяснение предмета математики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов.
Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки.
Специфика математического подхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерия истины в математике.
С критерием истины в частных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забывать об относительности практики как критерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольника равняется в точности 180 градусам.
И это объясняется не столько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики. Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.
Итак математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описания может стать любой процесс действительности, а объектями этой области знания являются пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры.
Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.
nenuda.ru
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Санкт-Петербургская кафедра философии
Реферат на тему
“Философские проблемы математики”
Исполнитель
Аспирант СПИИРАН
Селина О. С.
Научный руководитель
Доц. Маслиева О.В.
Санкт-Петербург
1998
Содержание
1. Введение 3
2. Экскурс в историю 5
1.1. Греческая философия и ее математика 5
1.2. Возрождение. Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых 8
1.3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в. 9
1.4. Математика в XX в. 12
3. Философия и математика 13
4. Заключение 19
5. Список литературы 20
Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.
Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, в том числе философии.
Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений. Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.
Первой философской теорией математики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другого знания и как наиболее истинную ее часть. Как философское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философии математики, но в центре его тем не менее лежит определенное истолкование сути математического знания.
Истоки математики уходят в глубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят, однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, не найлено какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова.
Громадный сдвиг, осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547 гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свой специфический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ее развитие до настоящего времени.
Появление математики как систематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось в определенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.
Неудивительно, что в математике греки увидели не просто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и что всякая закономерность может быть выражена посредством неких математических соотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить все происходящее. Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.
Греки заметили, что арифметические действия обладают особой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовой гармонии.
Что касается природы самой математической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, а лишь видения разумом.
Наряду с пифпгорейской философией, существовала другая, более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов.
Математический атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращения математики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации. Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростом влияния естественных наук.
За тысячу лет, которую мы называем эпохой средневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектом различных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математических идей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенности механики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины.
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире неспециалистов.
Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.
11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.
Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности.Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»
В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.
Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в. таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиков устранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства, гарантирующие надежность математических рассуждений.
Подобно тому как основным вопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики к объективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологических проблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.
Прежде чем перейти к освещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.
Под обычными науками мы понимаем все науки, за исключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которые изучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – это специальные науки за вычетом математики.
Таким образом, математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией и математикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?
Самый общий ответ на него, заключается в том, что философия и математика используют разные способы описания объективной действительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственным языком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.
Как известно, философия изучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу, универсальный метод познания и преобразования природного и социального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), и качественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболее общих принципов, законов и категорий.
Иное дело математика. Ее задача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону.
Итак, раздел между философией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этими двумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языке описания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми его недостатками и достоинствами.
Но если дело обстоит так, то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практически даже невозможно.
Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию в познании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика, последняя занимает особое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чем философия и любая другая наука.
Поподробнее обратимся к функциям математики и философии.
Мировоззренческая функция философии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, в создание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как система дисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания – идеологией.
Философия является не только основой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординация методов.
Философия выполняет по отношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, что теория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его, критерий истины.
Наконец философия в целом, материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий и представлений.
Таким образом, философские принципы имеют огромное методологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальные науки.
Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, является всеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношений реальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука о чистых, абстрактных структурах.
Отметим еще одну особенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные (частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особый способ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоже нечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологического характера).
Уяснение предмета математики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов.
Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки.
Специфика математического подхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерия истины в математике.
С критерием истины в частных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забывать об относительности практики как критерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольника равняется в точности 180 градусам.
И это объясняется не столько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики. Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истины в математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться все выдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, что использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумя другими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.
Итак математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описания может стать любой процесс действительности, а объектями этой области знания являются пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры.
Математика – своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системе наук.
Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.
Е.А.Беляев, В.Я.Перминов «Философские и методологические проблемы математики», МГУ, 1981, - 214 с.
Сборник научных трудов «Гносеологический анализ математической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130 с.
Е.Д.Гражданников «Экстраполяционная прогностика», Новосибирск, 1988, -142 с.
Н.И.Жуков «Философские проблемы математики», Минск, 1977, -95 с.
А.Г.Спиркин «Основы философии», Москва, 1988, 592 с.
nreferat.ru
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Санкт-Петербургская кафедра философии
Реферат на тему
“Философские проблемы математики”
Исполнитель
АспирантСПИИРАН
СелинаО. С.
Научныйруководитель
Доц.Маслиева О.В.
Санкт-Петербург
1998
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Содержание
TOC o «1-3» 1. Введение… PAGEREF _Toc419473105h 3
2. Экскурс в историю… PAGEREF _Toc419473106h 5
1.1. Греческаяфилософия и ее математика… PAGEREF _Toc419473107h 5
1.2. Возрождение.Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малых PAGEREF _Toc419473108h 8
1.3. Неевклидовыгеометрии и развитие философии математики в XIX в.… … PAGEREF _Toc419473109h 9
1.4. Математика в XXв.… PAGEREF _Toc419473110h 12
3. Философия иматематика… PAGEREF _Toc419473111h 13
4. Заключение… PAGEREF _Toc419473112h 19
5. Список литературы… PAGEREF _Toc419473113h 20
1. ВведениеРоль математики всовременной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, безматематического описания целого ряда явлений действительности трудно надеятьсяна их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики,лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкоеиспользование математического аппарата. Более того, без разработки ииспользования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, нисоздание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различныхобластях человеческой деятельности.
Есть и другая сторонаданного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философскийанализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенностиматематического знания были предметом пристального внимания выдающихсяфилософов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемыматематики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозитразвитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, втом числе философии.
Философия в сферематематики способствует выработке адекватного понимания математического знания,решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики,специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики можетпредстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основеанализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может бытьполучено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходятпод известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторыхобъединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного пониманиялюбого предмета, но сам по себе он недостаточен.
Математики много раз иенялипредставление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенныхфактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычныхвоззрений. Другими словами, современноепонимание математики не может быть сформулировано как простое собраниеимеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взятонепосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, тоесть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследованияистории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры,функции, отношения к другим наукам.
2. Экскурсв историю1.1.Греческаяфилософия и ее математикаПервой философской теориейматематики был пифагореизм, который рассматривал математическое знание какнеобходимую основу всякого другого знания и как наиболее истинную ее часть. Какфилософское течение пифагореизм выходит за рамки собственно философииматематики, но в центре его тем не менее лежит определенное истолкование сутиматематического знания.
Истоки математики уходят вглубокую древность, к Египту и Вавилону. Большинство историков науки относят,однако, появление математики как теоретической дисциплины к более бозднемупериоду, а именно к греческому периоду ее развития, так как ни в египетской, нив вавилонской математике, несмотря на наличие там довольно сложных и точныхрезультатов, не найлено какго-либо следа собственно математического,дедуктивного рассуждения, то есть вывода одних формул и правил на основе другихили иначе – математического доказательства в обычном смысле этого слова.
Громадный сдвиг,осуществленный в греческой математике, заключается в идее доказательства илидедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписываетсявыдающемуся греческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 – 547гг. до н.э. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом,то надо сказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развиваласьчрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свойспецифический метод – метод дедуктивного доказательства, который определяет ееразвитие до настоящего времени.
Появление математики каксистематической науки оказало в свою очередь громадное влияние на философскоемышление, которое оказалось в определенномсмысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание того времени былонесколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснением природы. Нафоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же трудно доказать,как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим, математикапоявилась как знание совершенно особой природы, достоверность которого невызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводы совершеннонепреложны.
Неудивительно, что вматематике греки увидели не просто практически полежное средство, но, преждевсего, выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истинной инеизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику,сделав ее исходным пунктом в своих подходах к описанию действительности. Этамистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора иего последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все естьчисло». Смысл этого утверждения не сводится к тому естественному истолкованию,под которым подписался бы и современный ученый, что всюду могут быть обнаруженыколичественные связи и что всякая закономерность может быть выраженапосредством неких математических соотношений. Греческая философия того времениориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно былобы объяснить все происходящее. Дляпифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходных сущностей,определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственновоспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как подражаниечислам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того илииного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии.
Греки заметили, чтоарифметические действия обладают особой очевидностью, безусловнойнеобходимостью, принудительной для разума, которой не обладают никакиеутверждения о реальных событиях и фактах. Это обстоятельство было истолкованокак проявление особого отношения чисел к истине. Философия превратилась упифагорейцев в мистику чисел и геометрических фигур, убеждение в истинноститиго или иного утверждения о мире достигалось сведением его к числовойгармонии.
Что касается природы самойматематической закономерности, истоков ее безусловной истинности, то ранниепифагорейцы скорее всего не задумывались над этим вопросом. У Платона, однако,мы находим уже некоторую теорию на этот счет. Математические истины для Платонаврождены, они представляют собой впечатления об истине самой по себ, которыедуша получила, пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическоепознание есть поэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюденияприроды, а лишь видения разумом.
Наряду с пифпгорейскойфилософией, существовала другая, более реалистическая (с современной точкизрения) философия математики, идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита.Известно, что Демокрит отрицал возможность геометричесикх построений в пустоте:геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а преждевсего материальными телами, состоящими из атомов.
Математический атомизмпоявился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особыйвзгляд на природу математики в целом. Однако он неяво содержал в себеопределенную антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математическиеобъекты (числа) составляли основу мира в онтологическом смысле и основу егопонимания, то в атомистической эвристике математические закономерностивыступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям.Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойстваматематических объектов. Пифагорейцы были правы, возражая против превращенияматематики в физику, настаивая на чистоте математического метода, а также и наидеализации бесконечной делтмости геометрических величин. Система евклидовскойматематики не могла быть построена без такой идеализации. Но математическийатомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, более эмпиристскую философиюматематики, которая неизбежно должна была выйти на сцену в связи с ростомвлияния естественных наук.
1.2.Возрождение.Философские предпосылки обоснования исчисления бесконечно малыхЗа тысячу лет, которую мыназываем эпохой средневековья, в математике не произошло существенныхпереворотов, хотя математические и логические истины были постоянным объектомразличных схоластических спекуляций. Философия математики также стояла намертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической инеоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческогоматематического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие двастолетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математическихидей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральномуисчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенностимеханики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новойфилософии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное иабсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своейструктуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установкапроепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, яркопроявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теорииматематика и философа Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечномалого приращения функции. Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ееаргумент (x) на некоторую величину h, то получим приращениефункции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0, но вместе с тем этавеличина столь мала, что, умноживее на любоеконечное число, мы не получимконечной величины. В основном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины.
Противоречивостьалгоритмовдифференциального исчисления,несогласие их с представлениями о математической строгости, бало очевидным для большинстваматематиков XVIII в. Между тем само этоисчисление находило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь вцентральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблемаобоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной,перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик дажев мире неспециалистов.
Движение математическогоанализа в XVIII в. кобоснованию, кажется, можно полностью описать в системе «теория-приложение», теесть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимостьвычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело коткрытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов кновым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать болеестрогими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логическинепротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
1.3.Неевклидовыгеометрии и развитие философии математики в XIXв.Философские дискуссии вматематике XIX в. Былисвязаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовыхгеометрий. В области математического анализа также возникли принципиальныетрудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно,были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос оприроде математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чемв предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых.
11 февраля 1826 г.Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому советуфизико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главнаяидея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независимаот других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно,возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как иевклидова, если в евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных напротивоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всестороннеразработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математическогоанализа.
Значение неевклидовыхгеометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательствонепротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы опараллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий. Но не толькоэтому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своейизвестностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с темфактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природематематического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренномупересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, ометодах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать безпреувеличения, что современное понимание математики выросло из попытокосмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. в истолковании математики имеливлияние два направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое времяразличал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа дляПлатона относятся к миру идей, в то время как геометрические объекты являютсяидеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами ипоэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичноеразличение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенноэто касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленныеобразования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, тогеометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями.Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука ореальном пространстве.
Противоположное,рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которомусуждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природенеевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту,понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, какдумали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, нопредставляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущегочеловеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания –пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренниепредставления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всегоэмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятияхчистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении кчистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения неэмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем онии не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики,поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической.Математика таким образом может быть определена как система синтетическихсуждений, выражающая структуру априорных форм чувственности.Как система выводов и доказательств математикадолжна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математическиедоказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегдаочевидного синтеза»
В теоретическом планеаприориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этогорасхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях кматематике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин такжетребовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивнойясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтезгеометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличитьв практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдениятвердых тел или механических движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двухдиаметрально противоположных воззрений на сущность математики и вместе с темопределенное единство в методологических требованиях: от математических истинтребовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности,непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовымгеометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не быливелики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуютоткрытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании еепредмета, методов, связи с другими науками. Неевклидовы геометрии – примеродного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовыхгеометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можноотнести только три события, а именно появления самой идеи математики какдедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциальногоисчисления.
1.4.Математика в XXв.Факты, требующиеперестройки представления о сущности математики как науки, по своему характерумогут быть самыми разными. Такими фактами могут быть отдельные теоремы, новыематематические теории, новые явления в прикладной математике и т. д. Историяпоказывает, что на каждом конкретном этапе философия математики вращаетсявокруг какого-то определенного круга событий в математике, в какой-то мере,может быть, даже абсолютизируя его и преувеличивая его значимость. Дляфилософии математики XX в.таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиковустранить противоречия из теории множеств, а в общем плане – найти средства,гарантирующие надежность математических рассуждений.
3. Философия и математикаПодобно тому как основнымвопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневымвопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики кобъективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержанииматематического знания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот илииной ученый, зависит характер освещения им всех остальных методологическихпроблем математики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.
Прежде чем перейти косвещению вопроса о месте математики в системе науки, необходимо предварительновыявить хотя бы в общих чертах объем, содержание и соотношение таких понятий,как философия, обычные науки, специальные науки, частные науки.
Под обычными науками мыпонимаем все науки, за исключением математики, которая является необычнойнаукой. Термин специальные науки обозначает все науки, вкючая математику, ноисключая, разумеется, философию. Частные же науки – это те науки, которыеизучают обхекты в рамках какой-либо одной формы движения материи (или дажечасти ее) – физика, химия, биология, и т. д. Стало быть, частные науки – этоспециальные науки за вычетом математики.
Таким образом, математику,как и философию можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаесявсеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципеможет использоваться и практически используется во всех без исключения областяхзнания. Возникает вопрос – в чем же существенной различие между философией иматематикой, изчающими одну и ту же реальную действительность?
Самый общий ответ на него,заключается в том, что философия и математика используют разные способыописания объективной действительности и соответствующие им языки: в первомслучае мы имеем дело с естественным, а во втором случае – с искусственнымязыком, предполагающим формально-логический метод описания действительности.
Как известно, философияизучает все явления действительности под углом всеобщих закономерностей и дает,по существу, универсальный метод познания и преобразования природного исоциального окружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), икачественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболееобщих принципов, законов и категорий.
Иное дело математика. Еезадача состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либоматематичекого аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основанииэтого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика в отличие отфилософии отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира.Нельзя потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чистовнешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов.Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чистоколичественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени ихвнутреннюю, качественную сторону.
Итак, раздел междуфилософией и математикой проходит не по линии категорий форма и содержание,качество и количество или каких-то иных категорий философии. Различие между этимидвумя способами описания действительности заключается в ином – в методе и языкеописания процессов внешного мира, в том, что математика в любом случаепредполагает формализацию в широком смысле слова, формальный способ описанияизучаемых явлений. Язык математики – это формализованный язык, со всеми егонедостатками и достоинствами.
Но если дело обстоит так,то математический метод должен быть охарактеризован как вспомогательный способтеоретического описания действительности. В общем и целом так оно и есть.Однако математика иногда вернее и глубже отображает реальность, чем этоделается в рамках обычных наук. Больше того, имеют место случаи, когдаэвристическая модель математики оказывается решающей в познании тех или иныхпроцессов, поскольку их изучение на вербальном уровне по некоторым причинамзатруднено, а иногда практически даже невозможно.
Итак, несмотря на одинакововсеобщий характер, философия и математика выполняют различную функцию впознании. При этом философия меньше отличается от частных наук, чем математика,последняя занимает особое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чемфилософия и любая другая наука.
Поподробнее обратимся кфункциям математики и философии.
Мировоззренческая функцияфилософии обусловлена тем, что она является основой научной картины мира, всоздание которой свой посильный вклад вносит, конечно, каждая специальнаянаука. Являясь итогом общественно-исторической практики и познания, философия вэтом смысле выступает в качестве фундамента всего здания науки. Кроме того,философия как система дисциплин обусловливает формирование у человеканеобходимых ценностных ориентаций, имеет огромное воспитательное значение,являясь не только наукой, но и особой формой общественного сознания –идеологией.
Философия является не толькоосновой мировоззрения, но и всеобщим методом познания. Отсюда методологическаяфункция философии. Подобно тому как в системе наук философия выполняетрольстрежня всего знания, она является и всеобщим методом познания ипреобразования действительности: системе наук и их субординации соответствует,таким образом, система и субординация методов.
Философия выполняет поотношению ко всем частным наукам также теоретико-познавательную функцию. Этоочевидно уже потому, что теория познания является одной из относительносамостоятельных дисциплин, в которой изучаются формы и методы научногопознания, структура и уровни его, критерий истины.
Наконец философия в целом,материалистическая диалектика в особенности, выполняет по отношению ко всемостальным наукам логическую функцию. Ни один специалист не может успешно вестиисследования, обобщать и объяснять полученные результаты, не используяфилософских понятий и представлений.
Таким образом, философскиепринципы имеют огромное методологическое значение, обладают большойэвристичекой силой, дают возможность более интенсивно развивать специальныенауки.
Говоря о предмете ифункциях математики, очевидно, что в современной науке все более ощутимойстановится интегрирующая роль математики, поскольку она, как и философия, являетсявсеобщей научной дисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четкоопределить предмет математического знания. Дефиниция той или иной науки,конечно, не содержит исчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельсопределял математику как науку, занимающуюся изучением пространственных форм иколичественных отношений реальной действительности. Однако современные,наиболее развитые математические теории непосредственно имеют дело уже с такназываемыми абстрактными структурами, так что современная математика чаще всегоопределяется как наука о чистых, абстрактных структурах.
Отметим еще однуособенность математики. Обычно предмет науки отличают от ее обхекта. В случаематематики отличие объекта от предмета выглядит не так, как во всех иныхнауках, если иметь ввиду, что под предметом науки обычно понимают определеннуюсферу деятельности, совокупность, систему тех закономерностей, которыеизучаются ею. Математика, строго говоря, не изучает законов развития природнойили социальной среды, их изучают обычные науки. В самом деле, всеобщие законыокружающей нас действительности изучает философия, а частные – остальные(частные) науки. Математике же в этом отношении, что называется не повезло. Онане является частной наукой в обычном понимании этого слова; она есть особыйспособ теоретического описания действительности. В этом отношении она больше,чем обычная наука, ибо в принципе она может описывать любое явление окружающегонас мира и представляет собой целую совокупность дисциплин. (Философия – тоженечто большее, чем наука, но в ином смысле: она является и наукой, и особойформой общественного сознания, содержащей в себе элементы идеологическогохарактера).
Уяснение предметаматематики позволяет понять в общих чертах как она соотносится не только сфилософией, о чем говорилось выше, но и с частными науками, изучающимиотдельные фрагменты природного и социального окружения, равно как и идеальныхпо своей природе психических процессов.
Поскольку математикапредставляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципеможет и должна использоваться во всех отраслях науки.
Специфика математическогоподхода к изучению действительности во многом объясняет и особенность критерияистины в математике.
С критерием истины вчастных науках дело обстоит более или менее просто, особенно если не забыватьоб относительности практики как критерия истины. В математике же критерийистины выступает в весьма своеобразной форме; мы не можем доказать истинностьматематического предложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы неизмеряли углы треугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних угловтреугольника равняется в точности 180 градусам.
И это объясняется нестолько ошибками измерения, которое не может быть идеальным, абсолютно точным,сколько аподиктическим характером математических понятий, формально-дедуктивным выводом предложений, теорем математики.Короче говоря, практика является исходным пунктом математических понятий, но вкачестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно невыступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того илииного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности.
Своеобразие критерия истиныв математике выражается и в том, что, как правило, в качестве такого критериявыступает в итоге теория арифметики натуральных чисел, истины которых являютсянезыблемыми для каждого математика. Впрочем, в какой-то мере это относится ковсем наукам, если иметь ввиду наличие в философии (как мировоззренческой иметодологической основе науки) принципиальных положений, с которыми должнысогласовываться все выдвигаемые гипотезы.
Необходимо заметить, чтоиспользование в качестве непосредственного критерия истины арифметикинатуральных чисел означает, что этот критерий органически связан с двумядругими требованиями – точностью и непротиворечивостью. Удовлетворени этим двумкритериям – тоже необходимое условие истинности математических построений.
Итак математика –своеобразный способ теоретического описания действительности, область знания,имеющая свой особый статус в системе наукю Предметом математического описанияможет стать любой процесс действительности, а объектями этой области знанияявляются пространственные формы и количественные отношения реальнойдействительности, в общем случае – абстрактные «математические» структуры.
4. ЗаключениеМатематика – своеобразныйспособ теоретического описания действительности, область знания, имеющая свойособый статус в системе наук.
Математика является наукой,стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа сфилософией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга ивзаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемыхспециальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новыенаправления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщейнаукой.
5. Список литературы1.<span Times New Roman"">
Е.А.Беляев, В.Я.Перминов «Философские и методологические проблемыматематики», МГУ, 1981, — 214 с.2.<span Times New Roman"">
Сборник научных трудов«Гносеологический анализ математической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130с.3.<span Times New Roman"">
Е.Д.Гражданников«Экстраполяционная прогностика», Новосибирск, 1988, -142 с.4.<span Times New Roman"">
Н.И.Жуков «Философские проблемыматематики», Минск, 1977, -95 с.5.<span Times New Roman"">
А.Г.Спиркин «Основы философии»,Москва, 1988, 592 сwww.ronl.ru
Введение
Вопрос об отношении математики к реальному миру являетсяодним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответивна вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можноставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкованиеэтих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математическиепонятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мираили же они трактуются как продукт совершенно «свободного» творчествасубъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру «идей»,имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).
Еще древнегреческие философы дали два противоположныхистолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотельутверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) отреальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимаютпромежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром«идей» и являются лишь слабыми «тенями» последних. Вдальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению.Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношенииматематики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывалиследующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математикиявляются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования отреальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалистыутверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами«свободного» мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать,что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо отмира реальных вещей, в каком-то особом мире «идей», «идеальныхобъектов». [15; 8]
В течение столетий сторонники материалистического иидеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась этаборьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики кматериальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков,как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например,Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не толькопоказывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых онизависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позицияхстояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевскийи Пафнутий Львович Чебышев.
Методы математики способствуют механике, астрономии, физикеи другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что ещеосталось за границами знания. Например, законы механики и методы математикипомогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.)теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном,планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтвержденоастрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвеллак заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердилпрогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видахгеометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах,гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретическойэлектротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельныхвопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий.Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики;после этого был раскрыт их физический смысл.
1. Математика и действительность как основной философскийвопрос математики.
Центральной в философских вопросах математики являетсяпроблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальнойдействительности. Н.Бурбаки пишет, что «основная проблема состоит вовзаимоотношении мира экспериментального и мира математического» [2; 258].Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге «Развитие познания иматематика» отмечают, что «сам автор отказывается всерьез обсуждатьэту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти „нейтральность“при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что онвыступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и нерешающийся обсуждать их „из-за отсутствия компетентности“ [16; 53].Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математикидалеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркиваетТ.И.Ойзерман: „Многие философские проблемы, в отличие от проблем,возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что онивсегда сохраняют свое значение для человечества“ [17; 217].
Получая свое определенное решение в каждую историческуюэпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме,обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальныхпреобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, неподлежащим дальнейшему изменению, развитию.
В настоящее время основной вопрос философии по отношению кматематике сместился в план соотношения действительности и языка. „Считатьли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или жеутверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, неотрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос“[17; 227].
Проблему соотношения математики и действительности пыталисьрешить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести всетеоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точкузрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи быливыражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.
Представление, согласно которому математики рассуждают не ореальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю „…иллюзия,возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, недействительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но этопроисходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей ине возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности.Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах,которые этот символ обозначает“ [14; 561].
Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельногоизолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмируетэмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своемнепосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенномпорядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи.Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и стех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякийалгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии:»Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может бытьустановлена путем обобщения наблюдений и опытов" [14; 583].
Миллевская концепция математического знания показывает, какнедостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельноезначение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыминатяжками, искажающими ее сущность.
Пытаясь рассмотреть математическое знание как продуктчувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимымитрудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, аматематические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такимипонятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступночувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельногосубъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но непорождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, аматематические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможнопостроить грандиозное здание математики на таком шатком основании, какединичный чувственный образ в сознании индивида.
Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличиеот остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществленияязыковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит охарактере математического знания: “… математическое знание не выводится изопыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, чтомы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе сдругой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще неэмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле простословесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюдаследует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическоезнание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великаяистина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].
Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка,как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждалК.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в областилогики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельнуюсилу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особоецарство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов,обладают своим собственным содержанием” [11; 448].
Для диалектического материализма не существует дилеммы:либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либосчитать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектическийматериализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой,в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственновоспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме,несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книгеА.Рея “Современная философия”, отмечает как безусловно правильную мысль о том,что “…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения изпредложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактамиприроды” [9; 479].
Установление математических фактов, например, не путемэмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, ас помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем неозначает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается визучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится вотличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различииобъективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценностиматематики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективноесодержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задачасостоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.
2. Проблема существования в современной математике.
В современной математике и математической логике весьмаживо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам.Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятииабстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что впротивном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, ктопризнают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя,что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм влице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократнообращался к рассмотрению проблемы существования.
Эта проблема возникает из осознания невозможности сведенияабстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемымвещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то окаком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют />, n-мерные ибесконечномерные пространства и т. д.
В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируягегелевские «Лекции по истории философии», В.И.Ленин обращаетвнимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемойсуществования абстрактных математических объектов. «Числа, где они? Отделенныепространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не сутьнепосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чемчисло, — тело не имеет никакого сходства с последним» [9; 225]. На поляхВ.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением,вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очнуюставку с чувственно воспринимаемой действительностью.
Представление о самостоятельном существованииматематических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так илогико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумяреальностями — чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов.Причем как математик он имеет дело лишь со «второй реальностью», а счувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку,поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхатьи т. д.
Некритический подход к проблеме существования таит в себенемалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своегопреклонения перед миром математических объектов: «Невозможно избавиться отощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас иобладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл,и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было» [12; 112].Отсюда остается всего один шаг до признания, что «материя исчезает,остаются одни уравнения». [16; 76]
Но привычка обращаться с математическими объектами так, какбудто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика,вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.
А.Н.Колмогоров в своей статье «Современные споры оприроде математики» («Научное слово», 1929, №6) и Г.Вейль вкниге «О философии математики» (М.-Л., 1934) прямо указывают на то,что именно такая привычка обращаться с математическими объектами являетсяисточником серьезных затруднений в обосновании и построении математическихтеорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения напроблему существования.
Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную(классическую) концепцию математики.
При наивном понимании проблемы существования в математике,при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе,интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятиеактуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятиеактуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности.Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А иего отрицание /> не могут бытьодновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ/> можетсчитаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить,какое именно из двух суждений А или /> истинно.
Немецкий математик Л.Кронекер, а также представителипарижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математическиеобъекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об ихсуществовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему онитолько и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию«полуинтуиционистской» [5; 10]. Собственно же интуиционистскаяконцепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в какомбы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об ихсуществовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могутбыть тем или иным способом построены.
Классическая математика не принимает во внимание очевидноеразличие между двумя следующими определениями натуральных чисел — числа К ичисла Е.
«I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1также простое. Если такого числа нет, то К=1.
II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 такжепростое. Если такого числа нет, то Е=1.» [16; 84]
Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Есличисло К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема«близнецов» не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильнымдавать определение натурального числа в форме II и считают, что числоопределено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общейформе: «Существовать» должно означать то же самое, что «бытьпостроенным» [6; 11].
На основе критики классической математики и в то же времякак реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло такжеконструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математикерассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии сэтой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, ужеимеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты.Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теорииотклоняется в конструктивном направлении.
В конструктивной математике отрицают так называемые“чистые” теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств неттеоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существованиебесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае,если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этимисвойствами.
В становлении и развитии конструктивного направления вматематике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С.Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе “О критикеклассической математики” [20; 284-298] дает конструктивистскую критикуклассической математики и акцентирует внимание исследователей на том, чтомногие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связьюмежду ними и эмпирическим материалом в области естествознания.
Предшественником интуиционистской концепции существования внекотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существованиинатурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие кинтуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судитьлишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных отнатуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивостидоказательством их существования. «В математике существовать может иметьтолько один смысл, — оно означает устранение от противоречия» [18; 124].
Представление о самостоятельном существованииматематических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом.Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована взнаменитом афоризме «существовать — значит быть воспринимаемы», рьяновыступал против представления о самостоятельном существовании математическихобъектов. В своем памфлете «Аналитик, или Рассуждение, адресованноеневерующему математику…» Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малыхвеличин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]
Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализматипа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, которыйподверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объектавосприятию. В своем труде “Принципы математики” Б.Рассел переходит на позицииреализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признаваяматематические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]
Абстрактные объекты не существуют в качествесамостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо ониявляются лишь формами выражения действительности. Сама же действительностьвыступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяетто общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность.Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сампредмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должнобыть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть теили иные аспекты количественных отношений.
Представления, что математика имеет дело с реальнойдействительностью только через посредство абстрактных объектов, которыепонимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкаетматематика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не можетобъяснить факта увеличения математического знания. Математическое познаниеимеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами иколичественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактнымиобъектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новымрезультатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания итолько обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащениюматематического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В“Правилах для руководства ума” он писал, что “мысля о числе, не нужно делатьвывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, какэто делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…”. [7; 149]
В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и кдругим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, ктопревращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет,превращается, по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленнооперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальныйпредмет математики.
А.Гейтинг замечает, что “мы не могли бы сравниватьнатуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либосредствами материального представления, почему они и продолжают существоватьпосле акта их построения” [6; 24].
Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующейдеятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельногоиндивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а этозначит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реальносуществующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особомсуществовании абстрактных объектов.
3. Функция как отражение окружающей действительности
Функция представляет собой одно из основных математическихпонятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математикевыдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятияфункции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано егодействительное значение для развития математического познания.
Термин “функция” впервые был применен в конце XVII векаЛейбницем (1646-1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще вочень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла оботрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого родалиниях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского“функтус” — выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобожденоот геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрическогоязыка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное какимугодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Оно привелов восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрическихобразов знаменует новую эпоху в изучении функций.
Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбницаи его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона(1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостейи их свойств. Вместо слова «функция» Ньютон применял термин«ордината». Он сводил изучение геометрических и физическихзависимостей к изучению этих «ординат», а сами «ординаты»описывали различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, сталополноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следуетсчитать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданныевыражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведениев степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратныхтригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функцииназывали элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегдавыражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новыефункции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, прирешении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих функций нельзя былоявно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самыхзамечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своихработ пишет: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом,что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первыеназывают функциями вторых» [2; 18].
В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: «Общее понятиефункции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждогох и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано илианалитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать всечисла и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать иоставаться неизвестной.» [11; 284]
Более общий подход к понятию функции, при которомотождествляются понятия «функция», «отображение»,«оператор», возник после того, как во второй половине XIX века быловведено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор(1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Егоможно сформулировать:
Пусть X и Y — два множества; говорят, что заданоотображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из Xуказан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называютобразом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в математикуобщего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов,относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложнаяфункция и т. д.
В результате систематического построения математическогоанализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теориимножества возникла новая отрасль математики — теория функций действительногопеременного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделовматематики
В начале XX века на базе этой теории функций возникла новаяветвь математики — функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие изфункций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения иумножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойстваопераций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишьтри измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут бытьбесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализуприменять в своих исследованиях геометрический язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактнойнаукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике,физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различныевопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взглядочень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видныйматематик Р. Курант (1888-1972) писал:
“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации,устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосферакоторых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...” [4;25]
В XX веке понятие функции подверглось дальнейшимобобщением. Возникло понятие функции, отражавшее свойства физических величин,сосредоточенных в отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребностифизики привели к изучению функций, принимавших случайные значения. Но методыматематического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайныхфункций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.
Современная трактовка понятия функции выглядит следующимобразом: «функцией называется отношение двух (группы) объектов, в которомизменению одного из них сопутствует изменение другого» [13; 615-616]
Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятияфункции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам онони прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль осуществовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которыхпозволяет найти значение другой величины.
В результате изучения различных функций в математикепоявились новые теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математикА.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательныеприменения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар, А.Пуанкаре,Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическуютеорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре,Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию конформныхотображений — советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин идр. На основе комплексных чисел возникает теория функций комплексногопеременного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.
Выше приведенные примеры теорий функции показывают намважность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочныйвывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, чтовсе эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительностиже эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-зазапросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самойматематики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории неимеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.
Как мы уже выяснили, понятие “функция” в математике играетзначительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие вфилософии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовкиэтого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятиев философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементаминекоторых множеств, — как одна из смысловых сторон “функции”, имеетнепосредственное отношение к окружающему миру.
В. И. Ленин писал: “Первое, что бросается нам в глаза прирассмотрении мира в целом – это взаимная связь всего существующего” (см. ЛенинВ.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).
Но далеко не все связи могут быть отражены в видефункциональных зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобныесвязи в окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в видеформул. Это, например, второй закон Ньютона />,закон Гука />, законы Кеплера и многиедругие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.
Таким образом, функция, как и любое другое математическоепонятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую насдействительность.
Заключение
Таким образом, проблемы реальности и существования вматематике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношениипонятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещен сразных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма исубъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое извышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешениепоставленного вопроса.
Проблема существования в математике также была представленанесколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивнымматериализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело своюточку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленныхпроблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении.
В качестве примера одного из математических абстракций былорассмотрено понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия,неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.
www.ronl.ru
Введение
Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно «свободного» творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру «идей», имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).
Еще древнегреческие философы дали два противоположных истолкования вопроса об отношении математики к реальному миру. Аристотель утверждал, что математические понятия являются абстракциями (отвлечения) от реальных вещей. Платон, напротив, считал, что математические понятия занимают промежуточное положение между миром чувственно воспринимаемых вещей и миром «идей» и являются лишь слабыми «тенями» последних. В дальнейшем взгляды Аристотеля и Платона неоднократно подвергались обсуждению. Но как ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами «свободного» мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире «идей», «идеальных объектов». [15; 8]
В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности. В этой борьбе большинство ведущих математиков, как правило, отстаивало материалистическое толкование математики. Например, Леонард Эйлер, писал: "…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей" [21; 9]. На материалистических позициях стояли и замечательные русские математики XIX века Николай Иванович Лобачевский и Пафнутий Львович Чебышев.
Методы математики способствуют механике, астрономии, физике и другим наукам проникать в сущность законов природы и предвидеть то, что еще осталось за границами знания. Например, законы механики и методы математики помогли У.Леверрье и Д.Адамсу (XIX в.), а потом и П.Ловеллу (ХХ в.) теоретически установить существование двух новых, расположенных за Сатурном, планет – Нептуна и Плутона, после чего их существование было подтверждено астрономическими наблюдениями. Методы математической физики привели К.Максвелла к заключению о наличии давления света, после чего П.Н.Лебедев подтвердил прогноз К.Максвелла рядом точных экспериментов. Учение о различных видах геометрических пространств (аффинном, конечномерным метрических пространствах, гильбертове пространстве) находит применение в электродинамике и теоретической электротехнике. В то же время математика не только помогает решению отдельных вопросов естествознания, но и способствует формированию и развитию новых теорий. Математика помогла физикам установить основные уравнения квантовой механики; после этого был раскрыт их физический смысл.
1. Математика и действительность как основной философский вопрос математики.
Центральной в философских вопросах математики является проблема соотношения весьма абстрактных математических конструкций и реальной действительности. Н.Бурбаки пишет, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического» [2; 258]. Хотя А.Нысанбаев и Г.Шляхин в своей книге «Развитие познания и математика» отмечают, что «сам автор отказывается всерьез обсуждать эту проблему, но не потому, что он стремится соблюсти „нейтральность“ при рассмотрении основного философского вопроса математики, а потому, что он выступает как математик, понимающий всю сложность философских проблем и не решающийся обсуждать их „из-за отсутствия компетентности“ [16; 53]. Из этих слов можно сделать вывод, что основной философский вопрос математики далеко не легок в своем разрешении. И этот вывод очень хорошо подчеркивает Т.И.Ойзерман: „Многие философские проблемы, в отличие от проблем, возникающих перед естествознанием, являются вечными в том смысле, что они всегда сохраняют свое значение для человечества“ [17; 217].
Получая свое определенное решение в каждую историческую эпоху, это вопрос вновь и вновь возникает перед философами в новой форме, обусловленной уровнем достигнутых знаний и характером социальных преобразований. Этот вопрос никогда не станет окончательно завершенным, не подлежащим дальнейшему изменению, развитию.
В настоящее время основной вопрос философии по отношению к математике сместился в план соотношения действительности и языка. „Считать ли математику наукой, изучающей определенные отношения действительности, или же утверждать, что она имеет дело лишь с формальными преобразованиями символов, не отрицающих никаких реальных связей и отношений? – так ставится вопрос“ [17; 227].
Проблему соотношения математики и действительности пытались решить многие философские течения. Эмпиризм, который стремился свести все теоретические знания к высказыванию о чувственном, хотел провести такую точку зрения и по отношению к математике. В наиболее яркой форме эти идеи были выражены в работах английского философа Дж.Ст.Милля.
Представление, согласно которому математики рассуждают не о реальных предметах, а о символах, есть, согласно Дж.Ст.Миллю „…иллюзия, возникшая вследствие того, что когда математик пользуется своими знаками, не действительно не думает о тех вещах, которые эти знаки обозначают. Но это происходит потому, что истины арифметики справедливы относительно всех вещей и не возбуждают в нашем сознании никаких идей о тех или иных вещах в частности. Поэтому утверждения математики – это утверждения не о символах, а о всех вещах, которые этот символ обозначает“ [14; 561].
Основой того, почему мы верим, что, например, 2+1=3 является наш опыт, под которым Дж.Ст.Милль понимал чувственный опыт отдельного изолированного индивида. Это соотношение, согласно Дж.Ст.Миллю, резюмирует эмпирический факт, который мы до сих пор постоянно встречали в своем непосредственном опыте. Нам всегда удавалось, встретив три вещи в определенном порядке, разложить их на группы из двух вещей и одной отдельно отстоящей вещи. Это интуитивная истина, ставшая нам известной благодаря обыденному опыту и с тех пор постоянно подтверждающаяся. Алгебра ведет это обобщение дальше: всякий алгебраический символ изображает любые числа. Аналогично в геометрии: „Всякая теорема геометрии есть закон внешней природы и может быть установлена путем обобщения наблюдений и опытов“ [14; 583].
Миллевская концепция математического знания показывает, как недостаточно понимал и оценивал он все своеобразие и огромное самостоятельное значение математики. Применение его идей к математике возможно лишь с грубыми натяжками, искажающими ее сущность.
Пытаясь рассмотреть математическое знание как продукт чувственного опыта отдельного субъекта, эмпиризм встречается с непреодолимыми трудностями. Чувственный опыт всегда имеет дело с единичным и случайным, а математические положения всеобщи и необходимы. Математика оперирует такими понятиями, содержание которых далеко выходит за рамки того, что доступно чувственному опыту отдельного человека. Непосредственным опытом отдельного субъекта всеобщие математические положения могут лишь подтверждаться, но не порождаться, так как выводы из непосредственного опыта всегда индуктивные, а математические положения носят необходимый характер. Поэтому невозможно построить грандиозное здание математики на таком шатком основании, как единичный чувственный образ в сознании индивида.
Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит о характере математического знания: “… математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. “3” обозначает “2+1”, а “4” означает “3+1”. Отсюда следует, что “4” означает то же, что “2+2”. Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и “великая истина”, что в ярде 3 фута” [19; 839].
Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка, как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в области логики и математики: “Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особое царство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов, обладают своим собственным содержанием” [11; 448].
Для диалектического материализма не существует дилеммы: либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектический материализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой, в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственно воспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме, несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книге А.Рея “Современная философия”, отмечает как безусловно правильную мысль о том, что “…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения из предложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактами природы” [9; 479].
Установление математических фактов, например, не путем эмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, а с помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем не означает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится в отличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различии объективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценности математики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективное содержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задача состоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.
2. Проблема существования в современной математике.
В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования.
Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.
В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируя гегелевские „Лекции по истории философии“, В.И.Ленин обращает внимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математических объектов. „Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, — тело не имеет никакого сходства с последним“ [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением, вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очную ставку с чувственно воспринимаемой действительностью.
Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями — чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со „второй реальностью“, а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.
Некритический подход к проблеме существования таит в себе немалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математических объектов: „Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было“ [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания, что „материя исчезает, остаются одни уравнения“. [16; 76]
Но привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.
А.Н.Колмогоров в своей статье „Современные споры о природе математики“ (»Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге «О философии математики» (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.
Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.
При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание 
не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ
может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или 
истинно.
Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию «полуинтуиционистской» [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.
Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими определениями натуральных чисел — числа К и числа Е.
«I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1 также простое. Если такого числа нет, то К=1.
II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 также простое. Если такого числа нет, то Е=1.» [16; 84]
Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Если число К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема «близнецов» не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общей форме: «Существовать» должно означать то же самое, что «быть построенным» [6; 11].
На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.
В конструктивной математике отрицают так называемые “чистые” теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.
В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе “О критике классической математики” [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.
Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. «В математике существовать может иметь только один смысл, — оно означает устранение от противоречия» [18; 124].
Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме «существовать — значит быть воспринимаемы», рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…» Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]
Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию. В своем труде “Принципы математики” Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]
Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.
Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В “Правилах для руководства ума” он писал, что “мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…”. [7; 149]
В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет, превращается, по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный предмет математики.
А.Гейтинг замечает, что “мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами материального представления, почему они и продолжают существовать после акта их построения” [6; 24].
Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов.
3. Функция как отражение окружающей действительности
Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.
Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского “функтус” — выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.
Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.
Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова «функция» Ньютон применял термин «ордината». Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих «ординат», а сами «ординаты» описывали различными аналитическими выражениями.
Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своих работ пишет: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых» [2; 18].
В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной.» [11; 284]
Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия «функция», «отображение», «оператор», возник после того, как во второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Его можно сформулировать:
Пусть X и Y — два множества; говорят, что задано отображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т. д.
В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множества возникла новая отрасль математики — теория функций действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики
В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь математики — функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный математик Р. Курант (1888-1972) писал:
“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели...” [4; 25]
В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.
Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: «функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого» [13; 615-616]
Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.
В результате изучения различных функций в математике появились новые теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию конформных отображений — советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.
Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.
Как мы уже выяснили, понятие “функция” в математике играет значительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами некоторых множеств, — как одна из смысловых сторон “функции”, имеет непосредственное отношение к окружающему миру.
В. И. Ленин писал: “Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении мира в целом – это взаимная связь всего существующего” (см. Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).
Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул. Это, например, второй закон Ньютона 
, закон Гука 
, законы Кеплера и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.
Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.
Заключение
Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение поставленного вопроса.
Проблема существования в математике также была представлена несколькими философскими направлениями: интуиционизмом, конструктивным материализмом и субъективным идеализмом. Каждое из этих направлений имело свою точку зрения на данную проблему. Разносторонность подходов к решению поставленных проблем говорит об их сложности и неоднозначности в толковании и разрешении.
В качестве примера одного из математических абстракций было рассмотрено понятие “функция”. Описана история возникновения данного понятия, неоднозначность в его толковании, роль и значение в современной науке.
www.ronl.ru
