Золотое сечение
С давних времен люди стремились познать законы бытия, то есть понять, как организован наш мир природой или Богом. Кто организатор, в данной ситуации большой роли не играет. И в античные времена, то есть примерно 2,5 тыс. лет назад царицей наук считалась математика. Некоторые философы и ученые, в частности Пифагор, считали, что мир устроен по строгим геометрическим законам и в основе мироздания лежит число. Так, число 2 считалось женским началом, число 3 – мужским.Пифагор фактически был основателем секты, поклоняющейся числам. Многие слышали о системе Пифагора, когда по дате рождения определяется характер и судьба человека. Пифагорейцы старались открыть всевозможные геометрические закономерности, показывающие роль числа в мире. В частности теорема Пифагора была одним из таких открытий. Среди геометрических головоломок, которые решали древние, было деление окружности и отрезков на равные части с помощью циркуля и линейки без делений, отыскание центра заданной окружности и т.д. Легко было разделить окружность на 2, 3, 4, 6 частей. Первая трудность возникла с делением на 5 частей. Пятиугольник с прочерченными диагоналями, образующими пятиконечную звезду, назывался пентаграммой, которая считалась с древнейших времен почитаемой фигурой. Это был древний магический знак добра и братства пяти начал, лежащих в основе мира – огня, земли, воды, дерева и металла. Кроме того, 5 – это сумма чисел 2 и 3, то есть мужского и женского начала.Еще одной задачей древних было деление отрезка на 2 неравные части так, чтобы длина большего отрезка, относилась к длине меньшего так же, как длина всего отрезка к длине большего. Или эту пропорцию можно перевернуть и найти отношение меньшего к большему. Эту задачу решали как геометрически с помощью циркуля и линейки и алгебраически, чтобы вычислить чему равно это соотношение.В результате вычислили, что отношение большего к меньшему = 1, 61803… (назовем его Ф), а меньшего к большему = 0,61803…Это разделение отрезка на 2 части Леонардо да Винчи позднее назвал золотым сечением, или золотой пропорцией. Посчитав эту пропорцию божественной, наиболее гармоничной, уже с древних времен золотую пропорцию закладывали в основу архитектурных сооружений. Например, отношение длины фасада здания, к его высоте и т.д. Окончательно утвержден был закон золотого сечения уже в эпоху Возрождения. Более того, пентаграмма оказалась тесно связана с золотым сечением: все диагонали равностороннего пятиугольника пересекаются между собой, деля друг друга в точной пропорции золотого сечения. Золотое сечение встречается и в пересечении диагоналей правильных симметричных многогранников.В 1202 году итальянский купец Леонардо Фибоначчи, увлекавшийся математическими головоломками, предложил задачу о кроликах. В ней спрашивалось, сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если каждая пара каждый месяц порождает новую пару разнополых кроликов, которая со второго месяца тоже становится производителем и кролики не дохнут.Изменение кроликов по месяцам будет следующим: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д. Какую закономерность можно найти в этом ряду?.. Каждое число является суммой двух предыдущих. Такую последовательность назвали числами Фибоначчи. И принято ее начинать с 0, 1, 1, 2, 3…, так как первые числа также соответствуют принципу суммы двух предыдущих.Является ли эта последовательность арифметической или геометрической прогрессией? Давайте узнаем во сколько раз каждое число больше предыдущего.1/1=12/1=23/2=1,55/3=1,(6)8/5=1,613/8=1,62521/13=1,61534/21=1,619055/34=1,6176Предел данной последовательности – и это доказано математиками – наше число Ф.Уже несколько веков ученые обращали внимание на развитие растений. Расположение листьев на стебле не случайно. Каждый новый лист, выросший выше по стеблю, связан с предыдущим определенным поворотом, как по винтовой лестнице. Рано или поздно какой-то лист оказывается ровно над другим. В ботанике принято представлять это в виде дроби, в знаменателе которой число количество оборотов вокруг стебля для перехода от нижнего листа к вышестоящему, расположенному над ним) а в числителе - число листьев в этом цикле. Оказалось, что в этих дробях участвуют только числа Фибоначчи. Злаки, липа, бук, береза образуют ботаническую дробь 2/1, дуб, смородина, слива 5/2, капуста, малина, тополь, редька 8/3, ель, облепиха 13/5. Для хвойных шишек характерны оси 21/8, 34/13, 55/21.Все биологические дроби можно выстроить в 2 ряда (первый представлен выше и его предел равен Ф), второй ряд – это 2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8… Эта последовательность стремится к числу Ф+1 (2, 618…).Числа Фибоначчи ученые встретили не только при изучении листьев и хвойных шишек, но и семян подсолнечника, чешуек ананаса и т.д.Нашли закономерности золотого сечения и в обращении планет вокруг солнца, в строении спиральных галактик и т.д.В музыке благозвучные интервалы и аккорды имеют соотношение частот, близкое к числу Фибоначчи. За столетия золотое сечение было положено в основу многих произведений искусства. В частности по классическим канонам, кульминация пьесы, повести, музыкального произведения должна наступать приблизительно, когда пройдет 2/3 действия. Согласно правилу золотого сечения в изобразительном искусстве основное изображение в картине должно занимать приблизительно 2/3 площади картины, композиционный центр принято располагать или в средней трети, или на ее границах, т.е. на 2/3 от верха или основания картины и т.д. Даже в 20 веке золотое сечение не потеряло своей актуальности. В 1947 году французский архитектор Ле Корбюзье разработал систему пропорционирования человеческой фигуры в соответствии с правилами золотого сечения. В частности, если провести мысленную горизонтальную линию через пупок, что рост человека примерно в 1,6 раза больше, чем от расстояние между пупком и подошвами ног (эту закономерность выявил еще в 1855 году немецкий ученый Цейзинг). Это соотношение у взрослого мужчины составляет 1,625, а у женщин почти ровно – 1,6. Корбюзье вывел десятки других подобных пропорций в теле человека. Эти пропорции он положил в основу модулей для архитектурного и инженерного проектирования.Также в 20 веке в США был проведен такой эксперимент. Десяткам людей было предложено из нескольких разных прямоугольников выбрать такой, который им кажется наиболее гармоничным, и 80% выбрали прямоугольник, длина которого в 1,6 раза больше ширины.Соотношения, равные золотой пропорции, физиологи обнаружили при изучении волн электрической активности мозга. Учеными выдвинута гипотеза, что золотое сечение является основой существования любых самоорганизующихся систем. О золотом сечении написано много трактатов. В последнее время оно всё больше привлекает внимание ученых.Высокая эстетичность золотого сечения заключается в том, что в нем отражается воспринимаемая на образно-эмоциональном уровне основа бытия Природы в целом.Правило золотого сечения – «не догма, а руководство к действию». В 20 веке появились картины без композиционного центра, пьесы без кульминации и т.д. Для привлечения внимания покупателей книги выпускают нестандартного формата, а текст на рекламном плакате иногда делают мелким или занимающим мало места на листе и т.п. Но исключения только подтверждают общее правило.
school48kirov.ucoz.ru
Рефератна тему : «Золотое сечение» |
Содержание.
| Содержание ………………………………………………………
Литература……………………………………………………….. | 2 3-4 5-7 8 9 10-12 13-15 16-17 18 19 19 |
1.Введение. Пропорция золотого
сечения. Ф и φ.
"Геометрия обладает двумя великими
сокровищами. Первое - это теорема Пифагора,
второе - деления отрезка в крайнем и среднем
отношении"
Иоганн Кеплер
Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер (1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест".
Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей.
Средневековые способы построения правильных многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть) простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.
Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.
Точка В делит отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.
Записанное в виде равенства отношений золотое сечение имеет вид
АВ/ВЕ= АВ/АЕ
Если положить АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается соотношение
Ф = 1+1/Ф
То есть Ф удовлетворяет уравнению
Ф2- Ф-1=0
Это уравнение имеет один положительный корень
Ф=(√5+1)/2=1.618034….
Заметим, что 1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято считать φ=0.618034….
Ф и φ - прописная и строчная формы греческой буквы "фи".
Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно присутствует число φ .
2.История золотого сечения
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Рис. 7. Динамические прямоугольники
Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамическихпрямоугольников.
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в
частности, вопросам золотого деления.
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
Рис.8. Парфенон
Рис. 9. Античный циркуль золотого сечения
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
Рис. 10. Построение шкалы отрезков золотой пропорции
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".
3. Построение пропорции.
З
десь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.
Рис. 1. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.
Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.
Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
4.Второе золотое сечение.
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN"><!-- saved from url=(0026)/tp/iz/zs.htm --><DIV align=center>
Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.
Рис. 2. Построение второго золотого сечения
На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
Таким образом было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не единственным способом.
5. "Золотые" фигуры.
5.1.Золотой прямоугольник:
Если построить квадрат со стороной АВ=а, найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что по теореме Пифагора
МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
В силу чего
Рис 20 стр74
АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВПрямоугольник АЕFD со сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой, поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.
Можно ли считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты. Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?
5.2.Золотой треугольник:
Проводим прямую АВ. От точки А
о
ткладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через
полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии
АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1
откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого»
прямоугольника.
5.3. Золотой пятиугольник; построение Евклида.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 5).
Рис.6. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».
П
стр.75)
осмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольникаиз центра описанной окружности. Начнем с
отрезка АВЕ, разделенного в среднем и
крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен . Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2, а угол ЕАС - 3 - 180. Но тогда угол АВС равен 180-. Суммируя углы треугольника АВС получаем,
180=(3 -180) + (3-180) + (180 - )
Откуда 5=360, значит =72.
Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.
Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:
CN2 = а2 – (а/2) 2= а2 (1-4 2)
Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2) 2 + (1-1/4 2) = 2+1/ = 1 + = 2
Итак, АС = а = АВ = АЕ, что и требовалось доказать
5.4.Спираль Архимеда.
Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.
Рис.7.Спираль Архимеда
В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.
6.Числа Фибоначчи.
С золотым сечением косвенно связано имя итальянского математика Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи (Fibonacci - сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи)
В 1202г. им была написана книга "Liber abacci", то есть "Книга об абаке" . "Liber abacci" представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший заметную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими ("арабскими") цифрами.
Сообщаемый в книге материал поясняется на большом числе задач, составляющих значительную часть этого трактата.
Рассмотрим одну такую задачу:
"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, дабы узнать, сколько пар кроликов родится в течение этого года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов воспроизведет другую, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения"
| Месяцы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Пары кроликов | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Табл.1 Ряд Фибоначчи при u1=1
Перейдем теперь от кроликов к числам и рассмотрим следующую числовую последовательность:
u1, u2 … un
в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n>2
un=un-1+un-2.
Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.
Асимптотическое поведение последовательности, затухающие колебания ее соотношения около иррационального числа Ф могут стать
более понятными, если показать отношения нескольких пеpвых членов последовательности. В этом примере приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:
1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180
2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820
3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180
5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486
8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180
По мере продвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим приближением к недостижимому Ф.
Человек подсознательно ищет Божественную пропорцию: она нужна для удовлетворения его потребности в комфорте.
Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1.618 величина (1 : 1.618=0.618). Hо это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение – бесконечная дpобь, у этого соотношения также не должно быть конца.
При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382
1:0.382=2.618
Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235 ,2.618 ,1.618,0.618,0.382,0.236.Упомянем также 0.5.Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.
Тут необходимо отметить, что Фибоначчи лишь напомнил свою последовательность человечеству, так как она была известна еще в древнейшие времена под названием Золотое сечение.
Золотое сечение, как мы видели, возникает в связи с правильным пятиугольником, поэтому и числа Фибоначчи играют роль во всем, что имеет отношение к правильным пятиугольникам - выпуклым и звездчатым.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления. Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта (о решении Диофантовых уравнений). Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16...(то есть ряд чисел до n , где любое натуральное число, меньшее n можно представить суммой некоторых чисел этого ряда) на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2 =1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи?
Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через S (n), то получим общую формулу S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 –ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.
В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 – знакомое классическое золотое сечение.
Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! То есть золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.
7.Золотое сечение в искусстве.
7.1. Золотое сечение в живописи.
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».
Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника..
Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.
В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.
Т.Кук использовал при анализе картины Сандро Боттичелли «рождение Венеры» золотое сеченеие .
7.2. Пирамиды золотого сечения.
Широко известны медицинские свойства пирамид, особенно золотого сечения. По некоторым наиболее распространенным мнениям, комната, в которой находится такая пирамида, кажется больше, а воздух - прозрачнее. Сны начинают запоминаться лучше. Также известно, что золотое сечение широко применялась в архитектуре и скульптуре. Примером тому стали: Пантеон и Парфенон в Греции, здания архитекторов Баженова и Малевича
8. Заключение.
Н
еобходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.
Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.
Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.
Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.
Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.
На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.
Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».
Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»
Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.
Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"
Литература:
1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.2. Журнал "Наука и техника"
3. Журнал «Квант», 1973, № 8.4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.
5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
6. Стахов А. Коды золотой пропорции.
7.Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964
8. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998
9. Информация из интернета.
refdb.ru
9.4.2014
Цели и задачи урока:
Образовательные:
Закрепить умение определять понятия отношения и пропорции, правильно пользоваться основным свойством пропорции.
Создать условия для формирования первичного представления о "золотом сечении" и его значении.
Вовлечь учащихся в исследовательскую деятельность.
Воспитательные:
Показать математику как интересную науку, превратить занятие в увлекательное путешествие, где может проявить себя каждый ученик.
Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе.
Развивающие:
Развить внимание, память учащихся.
Развить сообразительность учащихся.
Развить коллективизм, общительность, уверенность в себе.
Развить потребность к самообразованию.
Развить творческое, логическое мышление у ребенка.
Оборудование:
Тип урока: урок – практикум с элементами исследования.
Этап урока
Содержание
Действия
(слова) учителя
Действия
(слова) учеников
№ слайда
Скриншоты слайдов
с пояснениями
I. Организацион-ный момент.
Звенит звонок
-Здравствуйте, садитесь.
-Начинаем урок математики
Учащиеся занимают свои места
1
II.
Сообщение темы и целей урока.
На слайде записаны слова
- Ребята, напомните, какую главу мы сейчас изучаем? (Математика вокруг нас).
- Сегодня на уроке мы попытаемся определить чудо математики, которое встречается в окружающем нас мире. Посмотрите на экран и скажите, что вы чувствуете? Перед вами фотографии растений, Египетские пирамиды, картина Ивана Ивановича Шишкина «Корабельная роща», Портрет Моны Лизы (Леонардо да Винчи «Джоконда»).
- С древних времен человек начал разделять вещи на красивые и не красивые. Уже в Древней Греции античные философы начали выявлять некую формулу, которая раскрыла тайну того, что мы называем гармонией. Так что же такое гармония?
- Ребята! Как, вы, считаете, что же такое гармония? С какими словами у вас ассоциируется слово “гармония”?
- Если рассматривать цветок вблизи и аналогично другие естественные и созданные человеком творения, то можно найти единство и порядок, свойственные всем этим предметам. Этот порядок и единство и есть Гармония, определяющая Красоту.
Итак, гармония это красота, а красота, как говорили греки, - это математика, следовательно, гармония это математика.
Из многих пропорций, которыми пользовался человек при создании живописи, скульптуры, музыки, поэм, самой главной является одна, и именно она отражает понятие ГАРМОНИИ наилучшим образом. Эту пропорцию называли по-разному: божественной, золотой, золотым сечением, золотой серединой, золотым делением, золотым числом.
Мы назовем ее с вами “Золотое сечение”
Иоганн Кеплер говорил: “Геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем”.
- Одно из таких соотношений получило название «Божественная пропорция» или же по другому…
- Откройте тетради, запишите число и тему урока.
Постановка целей: - Чему -
мы научимся, изучая эту тему?
Учащиеся отвечают на вопрос
Учащиеся смотрят на слайд и делают выводы
Обобщаем ответы учащихся
(читает ученик формулировку темы – «Золотое сечение»).
Записывают в тетрадь.
(читают ученики)
-Познакомиться с понятием «золотое сечение».
-Узнать, где оно применяется.
- Научиться использовать его в практической деятельности
2
3
4
5
III.
Устный опрос
На слайде вопросы для устного опроса по теме «Отношение двух чисел»
- Давайте посмотрим, как связано это слово с математикой! И в конце урока определим, верны ли слова ученого Ф. Хауздорда « Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг»
Но, сначала ответим на вопросы:
- Что такое отношение?
- Что такое пропорция?
- Основное свойство пропорции?
Учащиеся устно отвечают на вопросы, размещенные на слайдах
6
IV.
Работа над новой темой
1.Учащимся дается определение пропорции, отличное от изученного ранее
1. Историческая справка:
- Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV веке до н.э.
В Древней Греции с пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.
Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.
- Давайте же узнаем, что такое «золотое сечение».
Показать на схеме.
Учащиеся читают определение
Определение: золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором отношение его меньшей части и большей равно отношению большей к длине всего отрезка.
Дети высказывают свои предположения
7
V.
Закрепление нового материала
1.Учащиеся опытным путем находят числовое значение «золотого сечения»
Задание 1. (по группам)
Начертить отрезки: (1 группа)
5 см
2 см 3 см
(2 группа)
8 см
3 см 5 см
(3 группа)
13 см
5 см 8 см
- Какую закономерность вы видите? Любое ли деление отрезка мы можем назвать «золотым сечением»?
- Давайте проверим.
Рассмотрим пропорцию
- Какой вывод вы можете сделать? Какие пропорции относятся к «Золотому сечению»?
Как вы думаете, где применяется «Золотое сечение»? (ответы детей)
Учащиеся выполняют в тетрадях и далают вывод:
(1 группа)
Если мы 2 : 3, то получим ≈ 0,6
а 3 : 5 = 0,6
(2 группа)
Если мы 3 : 5, то получим ≈ 0,6
а 5 : 8 ≈ 0,6
Если мы 5 : 8, то получим ≈ 0,6
а 8 : 13 ≈ 0,6
(только те, в которых в обеих частях получается точно или приближенно 0,6) (вывод записать).
7
2. Идет демонстрация примеров «золотого сечения» в архитектуре (практическая работа)
Задание 2. (по группам)
- Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях. Красивейшее произведение древне-греческой архитектуры – храм Парфенон ( построен в V в. до н.э.) в Афинах. Он поражает не своими размерами, а гармоническим совершенством пропор-ции. Проверим это отношения (высота здания к его длине и она равна 0,6).
- А теперь рассмотрим другие произведения архитектуры и проверим пропорции…
Задание 3. (по группам)
Учащиеся рассматривают слайды с примерами использования «золотого сечения» и выполняют практическую работу и делают вывод.
8
3. Идет демонстрация примеров «золотого сечения» в живописи
Термин «золотое сечение» ввел великий итальянец Эпохи Возрождения Леонардо да Винчи доказывал, что пропорции «золотого сечения» свойственны и человеческому телу, но использовалось и знаменитым русским иконописцем Андреем Рублевым, применяется в скульптуре.
Задание 4.
- Перед вами репродукция картины Ивана Шишкина “Корабельная роща”.
Самая яркая деталь на этой картине - освещенная солнцем сосна, она делит картину в отношении «золотого сечения».
Проверьте это! Ярко освещенная солнцем сосна, стоящая на переднем плане, делит длину картины по горизонтали в «золотом» отношении.
Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по «золотому сечению» правую часть картины по вертикали. Также можно найти мотивы «золотого сечения» и в других частях картины.
Наличие в картине ярких деталей, делящих ее по «золотому сечению», придает картине уравновешенность, чувство спокойствия и гармонии.
Картины великих художников, вызывающие непонятную, притягатель-ную силу, запоминающиеся, написаны с применением «золотого сечения». Чтобы создать шедевр, даже в искусстве необходима математика!
Проверим «Божественную пропорцию» в живописи.
Учащиеся рассматривают слайды с примерами использования «золотого сечения» и выполняют практическую работу и делают вывод.
9
10
11
12
VI.
Физминутка.
Звучит фрагмент классического музыкального произведения. Учащимся предлагается посидеть с закрытыми глазами, чтобы отдохнуть
-Но «золотое сечение» помогает сделать красивым не только изображение, но и звуки. Знаменитый мастер Страдивари изготавливал свои скрипки строго в соответствии с божественной пропорцией. Послушайте, как прекрасны звуки скрипки
Учащиеся слушают музыкальный фрагмент с закрытыми глазами
(чтобы включить музыку на слайде надо нажать на 
)
VII. Работа над новой темой (продолжение)
4. Идет демонстрация примеров «золотого сечения» в природе (практическая работа)
-Золотое сечение нашло свое воплощение и в живой природе
- Например, рассматривая расположение листьев на общем стебле растения, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения.
Проверим «Божественную пропорцию» в природе.
Задание 5.
Учащиеся рассматривают слайд
Учащиеся выполняют вычисления и сравнивают их с числовым значением золотого сечения
13
14
VIII.
Закрепление изученного материала.
Просмотр слайдов с различными примерами золотого сечения
- Золотое сечение называют божественной мерой красоты, таким образом, золотое сечение это и есть формула красоты, которую мы искали.
Учащиеся смотрят слайды с 15 по 20 без комментариев
15
16
17
18
19
20
-Мы с вами также созданы по законам золотого сечения. Обратите внимание на пропорции лица. Данная схема представлена у вас в раздаточных материалах. Дома вы можете сравнить пропорции своего лица с золотым сечением, которое в средневековье считалось эталоном красоты
Учащиеся рассматривают схему лица
21
IX.
Итог урока.
Итоговое задание «Кроссворд»
-Надеюсь, сегодня вы узнали много интересного и моя попытка доказать вам всю красоту математики не была напрасной. А насколько внимательно вы меня слушали, мы вспомним фразу и ответим « Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг»
-А закончу я наш урок фразой:
"Там, где присутствует золотое сечение, ощущается красота и гармония"
Вы согласны со мной и неизвестным автором
Учащиеся высказывают свои мнения
Х.
Домашнее задание.
Запись домашнего задания
Выбрать одну картинку из презентации, постараться найти золотую пропорцию.
Нарисовать рисунок, используя принцип золотого сечения.
Записывают домашнее задание в дневник
ХI.
Рефлексия.
Выбор фразы.
Учащиеся по очереди высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске
22
infourok.ru
