Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная погрешность — является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10?23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10?23±0,000 0013?10?23 Дж/К.
Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29−99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А — точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, — то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида
Да = А — а,
где А — соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 — приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 — с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то, а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b — приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
2. Что называется погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x — x_n|, где x — истинное значение, x_n — приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0. 1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором — одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0. 1/29.7 *100% = 0. 33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0. 15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x — истинное значение, x_n — приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
5) Какое округление, называется округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
6) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70 584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.
Показать Свернутьreferat.bookap.info
Реферат на тему:
Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.
Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но согласно РМГ 29-99[1] термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него[1]. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2,8±0,1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с. до 2,9 с. некоторой оговорённой вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).
В 2004 году на международном уровне был принят новый документ[2], диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределённость измерений», однако ГОСТ Р 50.2.038-2004[3] допускает использовать термин погрешность для документов, использующихся в России.
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.
ΔX > | Xmeas − Xtrue | ,
где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
,
.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
,*100 %
где Xn — нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
— если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;
— если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
В технике применяют приборы для измерения лишь с определённой заранее заданной точностью — основной погрешностью, допускаемой в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.
Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т. п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20 °C, за нормальное атмосферное давление 101,325 кПа.
Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точности, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияющими на точность средств измерения; значение параметров установлено стандартами на отдельные виды средств измерений. Класс точности средств измерений характеризует их точностные свойства, но не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения. Измерительным приборам, пределы допускаемой основной погрешности которых заданы в виде приведённых основных (относительных) погрешностей, присваивают классы точности, выбираемые из ряда следующих чисел: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0)*10n, где показатель степени n = 1; 0; −1; −2 и т. д.
где : t = Sxαs ; Sx — средняя квадратическая погрешность, а αs — коэффициент Стьюдента, а А — число, численно равное половине цены деления измерительного прибора.
Если F = F(x1,x2...xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:
Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике постулируется принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьезные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины».
wreferat.baza-referat.ru
Абсолютной погрешностью приближенного числа называется модуль разности между этим числом и его точным значением. 
. Отсюда следует, что 
заключено в пределах 
или 
.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет |1300 — 1284|=16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет |1280 — 1284| = 4.Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности … приближенного числа к модулю значения числа 
.Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет |200 — 197| = 3. Относительная погрешность равна 3/|197| или 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит 50/3600 ≈1,4%.
В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность – 1,4 %. Абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ («дельта») или Da; относительная погрешность — греческой буквой δ («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой А, то δ = Δ/|А|.
Значащей цифрой приближенного числа А называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Пример. А= 0,002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими.
n первых значащих цифр приближенного числа А являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными.
Пример. Если в числе a= 0,03450 все цифры верные, то 
.
| Правила приближенных вычислений | ||
| понятие | определение | пример или примечание |
| Приближенные вычисления | Вычисления, производимые над числами, которые известны нам с определённой точностью, например, полученными в эксперименте. | Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого. И наоборот. |
| Погрешности | Разница между точным числом а и его приближенным значением А называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | а — А | < D, то величина D называется абсолютной погрешностью приближенной величины А. Отношение D /|А| = δ называется относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах. | 3,14 является приближенным значением числа а, погрешность его равна 0,00159…, абсолютную погрешность можно считать равной 0,0016, а относительную погрешность δ равной 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%. |
| Значащие цифры | все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. | Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52438 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 .102 или 0,524 .105. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. Если число А = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами и известно, что δ = 0,1%, то a имеет 3 верных знака, т.е. А = 47,5 |
| Округление | Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. | При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. |
| Действия над приближенными числами | Результат действий над приближёнными числами представляет собой также приближённое число. Число значащих цифр результата можно вычислить при помощи следующих правил: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. 2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр. |
Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. При этом неточными могут оказаться и те цифры, которые получены действиями над точными цифрами данных чисел.
Пример 5. Перемножаются приближенные числа 60,2 и 80,1. Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближенных лишь сотыми, тысячными и т. д. долями. В произведении получаем 4822,02. Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц. Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,25 и 80,14. Тогда точное произведение будет 4828,435, так что цифра единиц в приближенном произведении (2) отличается от точной цифры (8) на 6 единиц.
Теория приближенных вычислений позволяет:
1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов;
3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
refac.ru
Ошибкой или погрешностью Dа приближенного значения а точного числа А называют разность (иногда ею называют разность ). Абсолютную величину разности между точным и приближенным значением D называют абсолютной погрешностью. Положительное число, удовлетворяющее неравенству
,
называется предельной абсолютной погрешностью. И для оценки точного числа пользуются записью, где задает границы его неопределенности.
Относительной погрешностью называется величина. Предельная относительная погрешность:. Если для определенности положить, и, то очевидно, что. Следовательно, выражение в левой части неравенства можно принять за предельную относительную погрешность. Обычно, в этом случае используют следующее приближение:
и .
Рассмотрим пример, связанный с погрешностью округления. Определим, какое из двух равенств, представленных ниже, окажется точнее
или .
Значения в левых частях равенств найдем с большим числом десятичных знаков, откуда вычислим абсолютную погрешность. Она составляет соответственно 0,0004210… и 0,0015926… Сами погрешности (и абсолютные и относительные) принято округлять с избытком, так как при этом границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. Округляя с избытком, получаем предельные абсолютные погрешности 0,00043 и 0,0016 соответственно. Предельные относительные погрешности так же соответственно составляют и. В результате получаем, что второе равенство оказалось точнее.
Кроме округления имеются другие источники погрешности: математическая модель, исходных данные, приближенный метод, погрешность машинных вычислений. При определении итоговой погрешности числа, погрешности, полученные от разных источников, складываются.
Пользоваться оценкой не всегда удобно. Так для физических констант и табличных данных границы неопределенности, как правило, не задаются, однако они всегда имеют определенную точность, связанную с понятиями значащей и верной цифры числа.
Значащими называют все цифры в записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Например, в числе 0,042 значащими будут две цифры 4 и 2. Это же число можно записать, как и в этой записи так же две значащие цифры. В числе 350,0 все цифры значащие, при записи его как 350 или количество значащих цифр уменьшается и если изначально в числе определены четыре значащих цифры, то последние две его записи не правомерны.
Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.
Для числа 36,528, определенного с погрешностью 0,07 будут верными только цифры 3 и 6. Цифра 5 будет уже не верна, так как единица ее разряда это 0,1 а половина от этого значения меньше погрешности. Аналогично будут не верны цифры 2 и 8.
В числах принято оставлять только верные цифры, пользуясь при этом пользуясь правилами округления. В предыдущем примере, если оставить только первые две цифры, округлив число до 37, то погрешность округления составит 0,472. Общая погрешность составит 0,472+0,07=0,542. Это означает, что вторая цифра числа оказалась не верной и округление нужно продолжить. Округлив число до, получаем единственную верную цифру, погрешность числа в итоге составит 3,542.
В некоторых случаях используют понятие верной цифры в широком смысле. Это означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре.
Справочные величины, как правило, имеют в своем составе все верные цифры в широком смысле. И если, например, задана некоторая физическая константа, то можно утверждать, что ее абсолютная погрешность не превышает 0,005. Данное значение можно принять за предельную абсолютную погрешность и вычислить предельную относительную погрешность: 0,005/8,31 » 6,02×10-4 = 0,0602%. Если округлить результат с избытком до одной значащей цифры, то погрешность составит 0,07%.
www.ronl.ru
Размещено на
Размещено на
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10?23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10?23±0,000 0013?10?23 Дж/К.
Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида
Да = А - а,
где А - соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
2. Что называется погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x - x_n|, где x - истинное значение, x_n - приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x - истинное значение, x_n - приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
5) Какое округление, называется округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
6) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.
Размещено на Allbest.ru
...www.tnu.in.ua
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение
Абсолютная погрешность — является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10?23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10?23±0,000 0013?10?23 Дж/К.
Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29−99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением?
С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А — точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, — то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида
Да = А — а,
где А — соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.
Значит, 6 — приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 — с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то, а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b — приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
2. Что называется погрешностью приближения?
А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x — x_n|, где x — истинное значение, x_n — приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0. 1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором — одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0. 1/29.7 *100% = 0. 33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0. 15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x — истинное значение, x_n — приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
5) Какое округление, называется округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
6) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70 584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.
Показать Свернутьr.bookap.info
(Назад)
(Cкачать работу)
Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!
Реферат
Абсолютная и относительная погрешность
Введение Абсолютная погрешность -является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если- измеренное значение, а- истинное значение, то неравенстводолжно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величинараспределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.
· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с.
· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)×10−23 Дж/К, что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488×10−23±0,000 0013×10−23 Дж/К.
Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
1. Что называется приближённым значением? С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.
Погрешностью Δа приближенного числа а называется разность вида Δа = А - а,где А - соответствующее точное число.
Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см. Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.
Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.
. Что называется погрешностью приближения? А) Абсолютной?
Б) Относительной?
А) Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. |x - x_n|, где x - истинное значение, x_n - приближённое. Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Б) Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины.
математический погрешность дробь
где x - истинное значение, x_n - приближённое.
Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна. Говорят, что относительная погрешность в этом случае равна 12,5%.
) Какое округление, называется округлением?
А) С недостатком?
Б) С избытком?
А) Округление с недостатком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с недостатком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,458.
Б) Округление с избытком
При округлении числа, выраженного десятичной дробью, с точностью до 10^{-n} с избытком сохраняют n первых знаков после запятой, а последующие отбрасываются.
Например, округляя 12,4587 до тысячных с недостатком, получим 12,459.
) Правило округления десятичных дробей.
Правило. Чтобы округлить десятичную дробь до определенного разряда целой или дробной части, все меньшие разряды заменяются нулями или отбрасываются, а предшествующий отбрасываемой при округлении цифре разряд не изменяет своей величины, если за ним идут цифры 0, 1, 2, 3, 4, и увеличивается на 1 (единицу), если идут цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Пример. Округлить дробь 93,70584 до:
десятитысячных: 93,7058
тысячных: 93,706
сотых: 93,71
десятых: 93,7
целого числа: 94
десятков: 90
сотен: 100
Вывод
Несмотря на равенство абсолютных погрешностей, т.к. различны измеряемые величины. Чем больше измеряемый размер, тем меньше относительная погрешность при постоянстве абсолютной.
referat.co
