Свойства тригонометрических функций контрольная работа: Контрольная работа «Свойства и графики тригонометрических функций»

Мы знаем, что \ (\; — 1 \ le \ sin \; x \ le 1 \; \) и \ (\; — 1 \ le \ cos \; x \ le 1 \; \) для всех \ (x \). Таким образом, для константы \ (A \ ne 0 \)

\ [\ nonumber
— | A | ~ \ le ~ A \, \ sin \; x ~ \ le ~ | A | \ quad \ text {and} \ quad
— | A | ~ \ le ~ A \, \ cos \; x ~ \ le ~ | A |
\]

для всех \ (x \).В этом случае мы называем \ (| A | \) амплитуду функций \ (y = A \, \ sin \; x \) и \ (y = A \, \ cos \; x \). В общем, амплитуда периодической кривой \ (f (x) \) составляет половину разницы наибольшего и наименьшего значений, которые может принимать \ (f (x) \):

\ [\ nonumber
\ text {Амплитуда \ (f (x) \)} ~ = ~ \ frac {\ text {(максимум \ (f (x) \))} ~ — ~ \ text {(минимум из \ (f (x) \))}} {2}
\]

Другими словами, амплитуда — это расстояние от верха или низа кривой до горизонтальной линии, которая делит кривую пополам, как на рисунке 5. 2.3.

Не все периодические кривые имеют амплитуду. Например, \ (\ tan \; x \) не имеет ни максимума, ни минимума, поэтому его амплитуда не определена. Аналогично, \ (\ cot \; x \), \ (\ csc \; x \) и \ (\ sec \; x \) не имеют амплитуды. Поскольку амплитуда включает вертикальные расстояния, она не влияет на период функции, и наоборот.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Найдите амплитуду и период \ (y = 3 \, \ cos \; 2x \).

Решение

Амплитуда равна \ (| 3 | = 3 \), а период равен \ (\ frac {2 \ pi} {2} = \ pi \). График показан на Рисунке 5.2.4:

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Найдите амплитуду и период \ (y = 2 — 3 \, \ sin \; \ frac {2 \ pi} {3} x \).

Решение

Амплитуда \ (- 3 \, \ sin \; \ frac {2 \ pi} {3} x \) равна \ (| -3 | = 3 \). Добавление \ (2 \) к этой функции для получения функции \ (y = 2 — 3 \, \ sin \; \ frac {2 \ pi} {3} x \) не меняет амплитуду, даже если она меняет максимум и минимум.2) \) достигает максимального значения \ (2 \) и минимального значения \ (- 2 \). Таким образом, амплитуда действительно равна \ (2 \).
Примечание: эта кривая все еще синусоидальная, несмотря на то, что она не является периодической, поскольку общая форма все еще имеет форму «синусоидальной волны», хотя и с переменными периодами .

До сих пор в наших примерах мы могли довольно легко определять амплитуды синусоидальных кривых. Так будет не всегда.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Найдите амплитуду и период \ (y = 3 \, \ sin \; x + 4 \, \ cos \; x \).

Решение

Иногда это называют комбинацией синусоидальной кривой , поскольку это сумма двух таких кривых. Период по-прежнему легко определить: поскольку \ (\ sin \; x \) и \ (\ cos \; x \) каждый повторяется каждые \ (2 \ pi \) радиан, то и комбинация \ (3 \, \ грех \; х + 4 \, \ соз \; х \). Таким образом, \ (y = 3 \, \ sin \; x + 4 \, \ cos \; x \) имеет период \ (2 \ pi \). Мы можем видеть это на графике, показанном на Рисунке 5.2.7:

Из графика видно, что амплитуда равна \ (5 \), что может быть не сразу очевидно, просто взглянув на определение функции.Фактически, определение \ (y = 3 \, \ sin \; x + 4 \, \ cos \; x \) может соблазнить вас подумать, что амплитуда равна \ (7 \), поскольку наибольшее значение \ (3 \, \ sin \; x \) может быть равно \ (3 \), а наибольшее из возможных значений \ (4 \, \ cos \; x \) — это \ (4 \), так что наибольшая их сумма может быть равно \ (3 + 4 = 7 \). Однако \ (3 \, \ sin \; x \) никогда не может равняться \ (3 \) для того же \ (x \), которое делает \ (4 \, \ cos \; x \) равным \ (4 \ ) (Зачем?).

Существует полезный метод (который мы обсудим далее в главе 6) для демонстрации того, что амплитуда \ (y = 3 \, \ sin \; x + 4 \, \ cos \; x \) равна \ (5 \ ).Пусть \ (\ theta \) будет углом, показанным в правом треугольнике
на рисунке 5. 2.8. Затем \ (\ cos \; \ theta = \ frac {3} {5} \) и \ (\ sin \; \ theta = \ frac {4} {5} \). Мы можем использовать это следующим образом:

\ [\ nonumber \ begin {align *}
y ~ & = ~ 3 \, \ sin \; x ~ + ~ 4 \, \ cos \; x \\ \ nonumber
& = ~ 5 \, \ left ( \ tfrac {3} {5} \, \ sin \; x ~ + ~ \ tfrac {4} {5} \, \ cos \; x \ right) \\ \ nonumber
& = ~ 5 \, (\ cos \; \ theta \; \ sin \; x ~ + ~ \ sin \; \ theta \; \ cos \; x) \\ \ nonumber
& = ~ 5 \, \ sin \; (x + \ theta) \ quad \ text {(по формуле сложения синусов)}
\ end {align *} \]

Таким образом, \ (| y | = | 5 \, \ sin \; (x + \ theta) | = | 5 | \, \ cdot \, | \ sin \; (x + \ theta) | \ le (5) (1) = 5 \), поэтому амплитуда \ (y = 3 \, \ sin \; x + 4 \, \ cos \; x \) равна \ (5 \).

Как правило, комбинация синусов и косинусов будет иметь период, равный наименьшему общему кратному периодов добавляемых синусов и косинусов. В примере 5.9 \ (\ sin \; x \) и \ (\ cos \; x \) каждый имеет период \ (2 \ pi \), поэтому наименьшее общее кратное (которое всегда является целым числом , кратным ) равно \ (1 \, \ cdot \, 2 \ pi = 2 \ pi \).

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Найдите период \ (y = \ cos \; 6x + \ sin \; 4x \).

Решение

Период \ (\ cos \; 6x \) равен \ (\ frac {2 \ pi} {6} = \ frac {\ pi} {3} \), а период \ (\ sin \; 4x \) равно \ (\ frac {2 \ pi} {4} = \ frac {\ pi} {2} \). Наименьшее общее кратное для \ (\ frac {\ pi} {3} \) и \ (\ frac {\ pi} {2} \) равно \ (\ pi \):

\ [\ nonumber \ begin {alignat *} {4}
1 \; \ cdot \; \ tfrac {\ pi} {3} ~ & = ~ \ tfrac {\ pi} {3} \ quad \ quad \ quad
& 1 \; & \ cdot \; \ tfrac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ tfrac {\ pi} {2} \\ \ nonumber
2 \; \ cdot \; \ tfrac {\ pi} {3} ~ & = ~ \ tfrac {2 \ pi} {3} \ quad \ quad \ quad
& 2 \; & \ cdot \; \ tfrac {\ pi} {2} ~ & = ~ \ pi \\ \ nonumber
3 \; \ cdot \; \ tfrac {\ pi} {3} ~ & = ~ \ pi \ quad \ quad \ quad & {} & {} \\ \ nonumber
\ end {alignat *} \]

Таким образом, период \ (y = \ cos \; 6x + \ sin \; 4x \) равен \ (\ pi \). Мы можем видеть это на его графике на Рисунке 5.2.9:

А как насчет амплитуды? К сожалению, мы не можем использовать технику из примера 5.9, так как мы не берем косинус и синус одного и того же угла; мы берем косинус \ (6x \), но синус \ (4x \). В этом случае из графика видно, что максимум близок к \ (2 \), а минимум близок к \ (- 2 \). В главе 6 мы опишем, как использовать программу численных вычислений, чтобы показать, что максимум и минимум равны \ (\ pm \, 1.2} \). Обратите внимание, что этот метод работает только в том случае, если угол \ (\ omega x \) одинаков как для синуса, так и для косинуса.

Мы видели, как добавление константы к функции сдвигает весь график по вертикали. Теперь мы увидим, как сдвинуть весь график периодической кривой по горизонтали.

Рассмотрим функцию вида \ (y = A \, \ sin \; \ omega x \), где \ (A \) и \ (\ omega \) ненулевые константы. Для простоты мы будем предполагать, что \ (A> 0 \) и \ (\ omega> 0 \) (в общем случае любой из них может быть отрицательным). Тогда амплитуда равна \ (A \), а период равен \ (\ frac {2 \ pi} {\ omega} \). График представлен на Рисунке 5.2.10.

Теперь рассмотрим функцию \ (y = A \, \ sin \; (\ omega x — \ phi) \), где \ (\ phi \) — некоторое постоянный. Амплитуда по-прежнему \ (A \), а период по-прежнему \ (\ frac {2 \ pi} {\ omega} \), поскольку \ (\ omega x — \ phi \) является линейной функцией \ (x \). Кроме того, мы знаем, что синусоидальная функция проходит весь цикл, когда ее угол изменяется от \ (0 \) до \ (2 \ pi \).Здесь мы берем синус угла \ (\ omega x — \ phi \). Так как \ (\ omega x — \ phi \) переходит от \ (0 \) к \ (2 \ pi \), полный цикл функции \ (y = A \, \ sin \; (\ omega x — \ phi) \) будет отслеживаться. Этот цикл начинается, когда

\ [\ nonumber \ omega x — \ phi ~ = ~ 0 \ quad \ Rightarrow \ quad x ~ = ~ \ frac {\ phi} {\ omega} \]

и заканчивается, когда

\ [\ nonumber \ omega x — \ phi ~ = ~ 2 \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad x ~ = ~ \ frac {2 \ pi} {\ omega} \; + \; \ frac {\ phi} { \ omega} ~. \]

Таким образом, график \ (y = A \, \ sin \; (\ omega x — \ phi) \) — это просто график \ (y = A \, \ sin \; \ omega x \), сдвинутый по горизонтали by \ (\ frac {\ phi} {\ omega} \), как на рисунке 5.2.11. График смещается вправо, когда \ (\ phi> 0 \), и влево, когда \ (\ phi <0 \). Величина сдвига \ (\ frac {\ phi} {\ omega} \) называется фазовым сдвигом графика.

Фазовый сдвиг определяется аналогично для других тригонометрических функций.

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Найдите амплитуду, период и фазовый сдвиг \ (y = 3 \, \ cos \; (2x — \ pi) \).

Решение

Амплитуда равна \ (3 \), период равен \ (\ frac {2 \ pi} {2} = \ pi \), а фазовый сдвиг равен \ (\ frac {\ pi} {2} \).График показан на Рисунке 5.2.12:

Рисунок 5.2.12 \ (y = 3 \ cos (2x − π) \)

Обратите внимание, что график такой же, как график \ (y = 3 \, \ cos \; 2x \), сдвинутый вправо на \ (\ frac {\ pi} {2} \), количество фазы сдвиг.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Найдите амплитуду, период и фазовый сдвиг \ (y = -2 \, \ sin \; \ left (3x + \ frac {\ pi} {2} \ right) \).

Решение

Амплитуда равна \ (2 \), период равен \ (\ frac {2 \ pi} {3} \), а фазовый сдвиг равен \ (\ frac {- \ frac {\ pi} {2}} { 3} = — \ frac {\ pi} {6} \).\ circ \)) не в фазе, и \ (\ sin \; x \) будет сказано, что отставание \ (\ sin \; \ left (x — \ frac {\ pi} {6} \ right) \ ) на \ (\ frac {\ pi} {6} \) радиан, а \ (\ sin \; \ left (x — \ frac {\ pi} {6} \ right) \) ведет \ ( \ sin \; x \) на \ (\ frac {\ pi} {6} \) радиан. Периодические функции с одинаковым периодом и одинаковым фазовым сдвигом — это в фазе .

Ниже приводится сводка свойств тригонометрических графиков:

Для любых констант \ (A \ ne 0 \), \ (\ omega \ ne 0 \) и \ (\ phi \):
\ [\ nonumber \ begin {align *}
y = A \, \ sin \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет амплитуду \ (| A | \), период \ (\ tfrac {2 \ pi} {\ omega} \) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)} \\ \ nonumber
y = A \, \ cos \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет амплитуду \ (| A | \), период \ (\ tfrac {2 \ pi} {\ omega} \) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)} \\ \ nonumber
y = A \, \ tan \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет неопределенные амплитуду, период \ (\ tfrac {\ pi} {\ omega} \) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)} \\ \ nonumber
y = A \, \ csc \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет неопределенную амплитуду, период \ (\ tfrac {2 \ pi} {\ omega} \ ) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)} \\ \ nonumber
y = A \, \ sec \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет неопределенная амплитуда, период \ (\ tfrac {2 \ pi} {\ omega} \) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)} \\ \ nonumber
y = A \, \ cot \; (\ omega x — \ phi) ~~ & \ text {имеет неопределенную амплитуду, на iod \ (\ tfrac {\ pi} {\ omega} \) и сдвиг фазы
\ (\ tfrac {\ phi} {\ omega} \)}
\ end {align *} \]

Авторы и авторство

5.

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Найдите точные значения секанса, косеканса, тангенса и котангенса тригонометрических функций для π3, π3, π4, π4 и π6. π6.
• Используйте опорные углы для вычисления секанса, косеканса, тангенса и котангенса тригонометрических функций.
• Используйте свойства четных и нечетных тригонометрических функций.
• Признавайте и используйте фундаментальные идентичности.
• Оценивайте тригонометрические функции с помощью калькулятора.

Пандус для инвалидных колясок, соответствующий стандартам Закона об американцах с ограниченными возможностями, должен образовывать угол с землей, касательная которого составляет 112112 или меньше, независимо от его длины. Касательная представляет собой отношение, поэтому это означает, что на каждый 1 дюйм подъема у рампы должен быть 12 дюймов пробега. Тригонометрические функции позволяют нам определять формы и пропорции объектов независимо от точных размеров. Мы уже определили функции синуса и косинуса угла.Хотя синус и косинус являются наиболее часто используемыми тригонометрическими функциями, есть еще четыре. Вместе они составляют набор из шести тригонометрических функций. В этом разделе мы исследуем остальные функции.

Нахождение точных значений секанса, косеканса, тангенса и котангенса тригонометрических функций

Чтобы определить остальные функции, мы еще раз нарисуем единичный круг с точкой (x, y) (x, y), соответствующей углу t, t, как показано на рисунке 1.Как и в случае с синусом и косинусом, мы можем использовать координаты (x, y) (x, y), чтобы найти другие функции.

Рисунок 1

Первая функция, которую мы определим, — это касательная. Тангенс угла — это отношение значения y к значению x соответствующей точки на единичной окружности. На рисунке 1 тангенс угла tt равен yx, x ≠ 0.yx, x ≠ 0. Поскольку значение y равно синусу t, t, а значение x равно косинусу t, t, тангенс угла tt также может быть определен как sintcost, cost ≠ 0. синткост, стоимость ≠ 0. Функция касательной обозначается как tan.tan. Остальные три функции могут быть выражены как обратные функции, которые мы уже определили.

• Секущая функция обратна функции косинуса. На рисунке 1 секущая угла tt равна 1cost = 1x, x ≠ 0,1cost = 1x, x ≠ 0. Секущая функция сокращается до sec.sec.
• Функция котангенса обратна функции тангенса. На рисунке 1 котангенс угла tt равен costint = xy, y 0.costint = xy, y ≠ 0. Функция котангенса сокращенно обозначается как cot.cot.
• Функция косеканса обратна функции синуса. На рисунке 1 косеканс угла tt равен 1sint = 1y, y ≠ 0,1sint = 1y, y ≠ 0. Функция косеканса сокращенно обозначается csc.csc.

Функции касания, секанса, косеканса и котангенса

Если tt — действительное число и (x, y) (x, y) — точка, в которой конечная сторона угла tt радиан пересекает единичный круг, то

Пример 1

Нахождение тригонометрических функций из точки единичной окружности

Точка (−32,12) (- 32,12) находится на единичной окружности, как показано на рисунке 2. Найдите sint, cost, tant, sect, csct, sint, cost, tant, sect, csct и cott.cott.

Рисунок 2

Решение

Поскольку нам известны координаты (x, y) (x, y) точки на единичной окружности, обозначенной углом t, t, мы можем использовать эти координаты для нахождения шести функций: sint = y = 12cost = x = −32tant = yx = 12−32 = 12 (−23) = — 13 = −33sect = 1x = 1−32 = −23 = −233csct = 1y = 112 = 2cott = xy = — 3212 = −32 (21) = — 3sint = y = 12cost = x = −32tant = yx = 12−32 = 12 (−23) = — 13 = −33sect = 1x = 1−32 = −23 = −233csct = 1у = 112 = 2котт = ху = −3212 = −32 (21) = — 3

Попробуй # 1

Точка (22, −22) (22, −22) находится на единичной окружности, как показано на рисунке 3.Найдите sint, cost, tant, sect, csct, sint, cost, tant, sect, csct и cott.cott.

Рисунок 3

Пример 2

Нахождение тригонометрических функций угла

Найдите sint, cost, tant, sect, csct, sint, cost, tant, sect, csct и cottcott, когда t = π6. t = π6.

Решение

Ранее мы использовали свойства равносторонних треугольников, чтобы продемонстрировать, что sinπ6 = 12sinπ6 = 12 и cosπ6 = 32.cosπ6 = 32.Мы можем использовать эти значения и определения тангенса, секанса, косеканса и котангенса как функций синуса и косинуса, чтобы найти остальные значения функции.

Попробуй # 2

Найдите sint, cost, tant, sect, csct, sint, cost, tant, sect, csct и cottcott, когда t = π3.t = π3.

Поскольку мы знаем значения синуса и косинуса для общих углов первого квадранта, мы можем найти другие значения функций для этих углов, установив xx равным косинусу и yy равным синусу, а затем используя определения тангенса, секанс, косеканс и котангенс. Результаты показаны в таблице 1.

Таблица 1

Использование опорных углов для вычисления тангенса, секанса, косеканса и котангенса

Мы можем оценивать тригонометрические функции углов вне первого квадранта, используя опорные углы, как мы уже делали с функциями синуса и косинуса. Процедура такая же: найдите опорный угол, образованный конечной стороной данного угла с горизонтальной осью. Значения тригонометрической функции для исходного угла будут такими же, как и для исходного угла, за исключением положительного или отрицательного знака, который определяется значениями x и y в исходном квадранте. На рисунке 4 показано, какие функции в каком квадранте положительны.

Чтобы помочь нам запомнить, какие из шести тригонометрических функций положительны в каждом квадранте, мы можем использовать мнемоническую фразу «Умный класс триггера.Каждое из четырех слов во фразе соответствует одному из четырех квадрантов, начиная с квадранта I и вращаясь против часовой стрелки. В квадранте I, который равен « A », и ll из шести тригонометрических функций положительны. В квадранте II « S mart» только s и его обратная функция, косеканс, положительны. В квадранте III, «установка T », только угол t и его обратная функция, котангенс, являются положительными.Наконец, в квадранте IV « C lass» только c осин и его реципрокная функция, секанс, положительны.

Рисунок 4

Как к

Учитывая угол не в первом квадранте, используйте опорные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций.

1. Измерьте угол, образованный конечной стороной данного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
2. Оцените функцию под опорным углом.
3. Обратите внимание на квадрант, в котором расположена конечная сторона исходного угла. Основываясь на квадранте, определите, будет ли выходной сигнал положительным или отрицательным.

Пример 3

Использование опорных углов для поиска тригонометрических функций

Используйте исходные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций от −5π6. − 5π6.

Решение

Угол между конечной стороной этого угла и осью x равен π6, π6, так что это опорный угол.Поскольку −5π6−5π6 находится в третьем квадранте, где и xx, и yy отрицательны, косинус, синус, секанс и косеканс будут отрицательными, а тангенс и котангенс будут положительными.

Попробуй # 3

Используйте исходные углы, чтобы найти все шесть тригонометрических функций от −7π4. − 7π4.

Использование четных и нечетных тригонометрических функций

Чтобы иметь возможность свободно использовать наши шесть тригонометрических функций как с положительными, так и с отрицательными угловыми входами, мы должны изучить, как каждая функция обрабатывает отрицательный вход. Как выясняется, в этом отношении существует важное различие между функциями.

Рассмотрим функцию f (x) = x2, f (x) = x2, показанную на рисунке 5. График функции симметричен относительно оси y . На всем протяжении кривой любые две точки с противоположными значениями x имеют одинаковое значение функции. Это соответствует результату расчета: (4) 2 = (- 4) 2, (4) 2 = (- 4) 2, (−5) 2 = (5) 2, (- 5) 2 = (5) 2 , и так далее. Таким образом, f (x) = x2f (x) = x2 — четная функция, такая функция, что два противоположных входа имеют одинаковый выход.Это означает, что f (−x) = f (x) .f (−x) = f (x).

Теперь рассмотрим функцию f (x) = x3, f (x) = x3, показанную на рисунке 6. График не симметричен относительно оси y . На всем протяжении графика любые две точки с противоположными значениями x также имеют противоположные значения y . Итак, f (x) = x3f (x) = x3 — нечетная функция, такая, что два противоположных входа имеют противоположные выходы. Это означает, что f (−x) = — f (x).f (−x) = — f (x).

Мы можем проверить, является ли тригонометрическая функция четной или нечетной, нарисовав единичный круг с положительным и отрицательным углом, как на рисунке 7. Синус положительного угла равен y.y. Синус отрицательного угла — y . Таким образом, синусоидальная функция является нечетной функцией. Таким образом мы можем проверить каждую из шести тригонометрических функций. Результаты представлены в таблице 2.

Рисунок 7

Таблица 2

Четные и нечетные тригонометрические функции

Четная функция — это функция, в которой f (−x) = f (x). f (−x) = f (x).

Нечетная функция — это функция, в которой f (−x) = — f (x) .f (−x) = — f (x).

Косинус и секанс четные:

Синус, тангенс, косеканс и котангенс нечетны:

Пример 4

Использование четных и нечетных свойств тригонометрических функций

Если секанс угла tt равен 2, каков секанс угла −t? −t?

Решение

Секанс — четная функция.Секущая угла равна секущей его противоположности. Таким образом, если секанс угла t равен 2, секанс −t − t также равен 2.

Попробуй # 4

Если котангенс угла tt равен 3,3, то каков котангенс угла −t? −t?

Распознавание и использование основных идентичностей

Мы исследовали ряд свойств тригонометрических функций. Теперь мы можем продвинуться дальше в отношениях и получить некоторые фундаментальные идентичности.Идентичности — это утверждения, которые верны для всех значений входных данных, на которых они определены. Обычно идентичность может быть получена из определений и отношений, которые мы уже знаем. Например, тождество Пифагора, которое мы узнали ранее, было получено из теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.

Фундаментальные личности

Мы можем вывести некоторые полезные тождества из шести тригонометрических функций. Остальные четыре тригонометрические функции могут быть связаны с функциями синуса и косинуса с помощью следующих основных соотношений:

Пример 5

Использование идентичностей для оценки тригонометрических функций

1. ⓐ Учитывая sin (45 °) = 22, cos (45 °) = 22, sin (45 °) = 22, cos (45 °) = 22, вычислите tan (45 °). загар (45 °).
2. ⓑ Учитывая sin (5π6) = 12, cos (5π6) = — 32, вычисляем sec (5π6) .sin (5π6) = 12, cos (5π6) = — 32, оцениваемsec (5π6).

Решение

Поскольку нам известны значения синуса и косинуса для этих углов, мы можем использовать тождества для оценки других функций.

ⓐ
tan (45 °) = sin (45 °) cos (45 °) = 2222 = 1tan (45 °) = sin (45 °) cos (45 °) = 2222 = 1

ⓑ
сек (5π6) = 1cos (5π6) = 1−32 = −23 = −233sec (5π6) = 1cos (5π6) = 1−32 = −23 = −233

Попробуй # 5

Оценить csc (7π6).csc (7π6).

Пример 6

Использование тождеств для упрощения тригонометрических выражений

Упростите secttant.secttant.

Решение

Мы можем упростить это, переписав обе функции в терминах синуса и косинуса.

Показав, что secttantsecttant можно упростить до csct, csct, мы фактически установили новую идентичность.

Попробуй # 6

Упростить (тант) (стоимость). (Тант) (стоимость).

Альтернативные формы пифагорейской идентичности

Мы можем использовать эти фундаментальные тождества для вывода альтернативных форм пифагорейской идентичности, cos2t + sin2t = 1.cos2t + sin2t = 1. Одна форма получается делением обеих частей на cos2t: cos2t:

Другая форма получается делением обеих частей на sin2t: sin2t:

Альтернативные формы пифагорейской идентичности

Пример 7

Использование тождеств для связи тригонометрических функций

Если cos (t) = 1213 cos (t) = 1213 и tt находится в квадранте IV, как показано на рисунке 8, найдите значения других пяти тригонометрических функций.

Рисунок 8

Решение

Мы можем найти синус, используя тождество Пифагора, cos2t + sin2t = 1, cos2t + sin2t = 1, и оставшиеся функции, связав их с синусом и косинусом.

Знак синуса зависит от значений y в квадранте, где расположен угол.Поскольку угол находится в квадранте IV, где значения y отрицательны, его синус отрицательный, −513. − 513.

Остальные функции можно вычислить с помощью тождеств, связывающих их с синусом и косинусом.

Попробовать # 7

Если sec (t) = — 178sec (t) = — 178 и 0

Как мы обсуждали в начале главы, функция, которая повторяет свои значения через равные промежутки времени, известна как периодическая функция. Тригонометрические функции периодические. Для четырех тригонометрических функций, синуса, косинуса, косеканса и секанса, оборот одного круга или 2π, 2π, приведет к одинаковым выводам для этих функций. А для тангенса и котангенса только половина оборота даст одинаковые результаты.

Другие функции также могут быть периодическими.Например, продолжительность месяцев повторяется каждые четыре года. Если xx представляет собой продолжительность, измеряемую в годах, а f (x) f (x) представляет количество дней в феврале, тогда f (x + 4) = f (x). F (x + 4) = f ( Икс). Этот образец повторяется снова и снова во времени. Другими словами, каждые четыре года в феврале гарантированно будет такое же количество дней, как и 4 годами ранее. Положительное число 4 — это наименьшее положительное число, которое удовлетворяет этому условию и называется периодом. Период — это самый короткий интервал, в течение которого функция завершает один полный цикл — в этом примере период равен 4 и представляет время, необходимое нам, чтобы убедиться, что в феврале такое же количество дней.

Период функции

Период PP повторяющейся функции ff — это число, представляющее интервал, такой что f (x + P) = f (x) f (x + P) = f (x) для любого значения x.x.

Период функций косинуса, синуса, секанса и косеканса равен 2π.2π.

Период функций касательной и котангенса равен π.π.

Пример 8

Нахождение значений тригонометрических функций

Найдите значения шести тригонометрических функций угла tt по рисунку 9 .

Рисунок 9

Решение

Попробовать # 8

Найдите значения шести тригонометрических функций угла tt. на основе рисунка 10 .

Рисунок 10

Пример 9

Нахождение значения тригонометрических функций

Если sin (t) = — 32sin (t) = — 32 и cos (t) = 12, cos (t) = 12, найти sec (t), csc (t), tan (t), cot (t) .sec (t), csc (t), tan (t), cot (t).

Решение

Попробовать # 9

Если sin (t) = 22sin (t) = 22 и cos (t) = 22, cos (t) = 22, найти sec (t), csc (t), tan (t) и cot (t) .sec (t), csc (t), tan (t) ) И детская кроватка (t).

Вычисление тригонометрических функций с помощью калькулятора

Мы научились оценивать шесть тригонометрических функций для общих углов первого квадранта и использовать их в качестве опорных углов для углов в других квадрантах. Чтобы оценить тригонометрические функции других углов, мы используем научный или графический калькулятор или компьютерное программное обеспечение. Если в калькуляторе есть режим градусов и режим радиан, убедитесь, что выбран правильный режим, прежде чем производить расчет.

Вычисление касательной функции с помощью научного калькулятора, в отличие от графического калькулятора или системы компьютерной алгебры, похоже на вычисление синуса или косинуса: введите значение и нажмите клавишу TAN. Для обратных функций может не быть каких-либо специальных клавиш с надписью CSC, SEC или COT.В этом случае функция должна быть вычислена как обратная величина синуса, косинуса или тангенса.

Если нам нужно работать с градусами, а наш калькулятор или программное обеспечение не имеет режима градусов, мы можем ввести градусы, умноженные на коэффициент преобразования π180π180, чтобы преобразовать градусы в радианы. Чтобы найти секущую 30 °, 30 °, мы могли бы нажать

или

How To

Для угла в радианах используйте научный калькулятор, чтобы найти косеканс.

1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
2. Введите: 1/1/
3. Введите значение угла в круглых скобках.
4. Нажмите клавишу SIN.
5. Нажмите кнопку =.

Как к

Если угол измеряется в радианах, используйте графическую утилиту / калькулятор, чтобы найти косеканс.

1. Если в графической утилите есть режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
2. Введите: 1/1/
3. Нажмите клавишу SIN.
4. Введите значение угла в круглых скобках.
5. Нажмите клавишу ENTER.

Пример 10

Оценка косеканса с использованием технологии

Вычислите косеканс 5π7.5π7.

Решение

Для научного калькулятора введите следующую информацию:

Попробуй # 10

Вычислите котангенс −π8. − π8.

5.3 Упражнения по разделам

Устные

Могут ли значения синуса и косинуса радианной меры когда-либо быть равными на интервале [0,2π), [0,2π)? Если да, то где?

Каким должен быть косинус ππ градусов? Объясните свои рассуждения.

Для любого угла в квадранте II, если бы вы знали синус угла, как бы вы могли определить косинус угла?

Опишите секущую функцию.

Тангенс и котангенс имеют период π.π. Что это говорит нам о выходе этих функций?

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите точное значение каждого выражения.

В следующих упражнениях для оценки выражения используйте исходные углы.

Если sint = 34, sint = 34 и tt находится в квадранте II, найдите costcost, sectsect, csctcsct, tanttant, cott.cott.

Если cost = −13, cost = −13 и tt находится в квадранте III, найдите sint, sect, csct, tant, cott.sint, sect, csct, tant, cott.

Если tant = 125, tant = 125 и 0≤t <π2,0≤t <π2, найдите sint, cost, sect, csct, sint, cost, sect, csct и cott.cott.

Если sint = 32sint = 32 и cost = 12, cost = 12, найдите sect, csct, tant, sect, csct, tant и cott.коттеджи.

Если sin40 ° ≈0,643 sin40 ° ≈0,643 а также cos40 ° ≈0,766 cos40 ° ≈0,766 найти sec40 °, csc40 °, tan40 °, sec40 °, csc40 °, tan40 °, а также cotand40 ° .cotand40 °.

Если sint = 22, sint = 22, что такое sin (−t)? Sin (−t)?

Если стоимость = 12, стоимость = 12, что такое cos (−t)? Cos (−t)?

Если sect = 3.1, sect = 3.1, что такое sec (−t)? Sec (−t)?

Если csct = 0,34, csct = 0,34, что такое csc (−t)? Csc (−t)?

Если tant = −1,4, tant = −1,4, что такое tan (−t)? Tan (−t)?

Если cott = 9,23, cott = 9,23, что такое детская кроватка (−t)? Cot (−t)?

Графический

В следующих упражнениях используйте угол в единичной окружности, чтобы найти значение каждой из шести тригонометрических функций.

Технологии

Для выполнения следующих упражнений используйте графический калькулятор.

Расширения

Для следующих упражнений используйте личности, чтобы оценить выражение.

Если tan (t) ≈2,7, tan (t) ≈2,7 и sin (t) ≈0,94, sin (t) ≈0,94, найти cos (t) .cos (t).

Если tan (t) ≈1,3, tan (t) ≈1,3 и cos (t) ≈0,61, cos (t) ≈0,61, найти sin (t) . sin (t).

Если csc (t) ≈3,2, csc (t) ≈3,2 и cos (t) ≈0,95, cos (t) ≈0,95, найти tan (t) .tan (t).

Если cot (t) ≈0,58, cot (t) ≈0,58 и cos (t) ≈0,5, cos (t) ≈0,5, найти csc (t) .csc (t).

Определите, является ли функция f (x) = 2sinxcosxf (x) = 2sinxcosx четной, нечетной или ни одной из них.

Определите, является ли функция f (x) = 3sin2xcosx + secxf (x) = 3sin2xcosx + secx четной, нечетной или ни одной из них.

Определите, является ли функция f (x) = sinx − 2cos2xf (x) = sinx − 2cos2x четной, нечетной или ни одной из них.

Определите, является ли функция f (x) = csc2x + secxf (x) = csc2x + secx четной, нечетной или ни одной из них.

В следующих упражнениях используйте идентификаторы, чтобы упростить выражение.

Реальные приложения

Количество солнечного света в определенном городе можно смоделировать с помощью функции h = 15cos (1600d), h = 15cos (1600d), где hh представляет количество солнечных часов, а dd — день в году. Воспользуйтесь уравнением, чтобы определить, сколько часов солнечного света 10 февраля, 42 ^-й день в году. Укажите период функции.

Количество солнечного света в определенном городе можно смоделировать с помощью функции h = 16cos (1500d), h = 16cos (1500d), где hh представляет часы солнечного света, а dd это день года.Воспользуйтесь уравнением, чтобы определить, сколько часов солнечного света 24 сентября, 267 ^-й день в году. Укажите период функции.

Уравнение P = 20sin (2πt) + 100P = 20sin (2πt) +100 моделирует артериальное давление, P, P, где tt представляет время в секундах. (а) Определите кровяное давление через 15 секунд. б) Какое максимальное и минимальное артериальное давление?

Высота поршня h, h в дюймах может быть смоделирована уравнением y = 2cosx + 6, y = 2cosx + 6, где xx представляет угол поворота коленчатого вала.Найдите высоту поршня, когда угол поворота коленчатого вала составляет 55 ° 0,55 °.

Высота поршня h, h в дюймах может быть смоделирована уравнением y = 2cosx + 5, y = 2cosx + 5, где xx представляет угол поворота коленчатого вала. Найдите высоту поршня, когда угол поворота коленчатого вала составляет 55 ° 0,55 °.

тригонометрических функций

Произвольные углы и единичная окружность

Древнегреческие геометры считали углы только между 0 ° и 180 °, и они не считали ни прямой угол 180 °, ни вырожденный угол 0 ° углами. Эти частные случаи полезно не только рассматривать как углы, но также включать углы от 180 ° до 360 °, иногда называемые «углами отражения». С применением тригонометрии к предметам исчисления и дифференциальных уравнений, углы, превышающие 360 °, и отрицательные углы также стали приемлемыми.

Рассмотрим единичный круг. Обозначьте его центр (0,0) как O, и обозначьте точку (1,0) на нем как A. Как движущаяся точка B движется по единичной окружности, начиная с A и двигаясь по против часовой стрелки, угол AOB как угол 0 ° и увеличивается.Когда B прошел весь путь по окружности и вернулся к A, , тогда угол AOB будет углом 360 °. Конечно, это тот же угол, что и угол 0 °, поэтому мы можем идентифицировать эти два угла. Поскольку B продолжает второй раз по кругу, мы получаем углы от 360 ° до 720 °. Это те же углы, которые мы видели в первый раз, но у нас есть разные названия. Например, прямой угол обозначается как 90 ° или 450 °. Каждый раз по кругу мы получаем другое название угла.Таким образом, 90 °, 450 °, 810 ° и 1170 ° — это один и тот же угол.

Если B начинается в той же точке A и движется по часовой стрелке, то мы получим отрицательные углы, или, точнее, названия в отрицательных градусах для тех же углов. Например, если вы пройдете четверть круга по часовой стрелке, угол AOB будет назван как –90 °. Конечно, это то же самое, что и угол 270 °.

Итак, в общем, любой угол назван бесконечным множеством имен, но все они отличаются друг от друга на 360 °.

Синусы и косинусы произвольных углов

Свойства синусов и косинусов, которые следуют из этого определения

1. Синус и косинус являются периодическими функциями периода 360 °, то есть периода 2 π . Это потому, что синусы и косинусы определяются в терминах углов, и вы можете добавить кратные 360 ° или 2 π , и это не изменит угол. Таким образом, для любого угла θ , sin ( θ + 360 °) = sin θ, и

   cos ( θ + 360 °) = cos θ.

   Многие из современных приложений тригонометрии вытекают из использования тригонометрии в исчислении, особенно те приложения, которые имеют дело непосредственно с тригонометрическими функциями. Итак, мы должны использовать радиан, когда думаем о триггерах с точки зрения триггерных функций. В радианах последняя пара уравнений читается как

   sin ( θ + 2 π ) = sin θ, и

   cos ( θ + 2 π ) = cos θ.

2. Синус и косинус дополняют друг друга: cos θ = sin ( π /2 — θ )

   sin θ = cos ( π /2 — θ )

   Мы видели это раньше, но теперь у нас есть это для любого угла θ. Это правда, потому что, когда вы отражаете плоскость через диагональную линию y = x, угол заменяется его дополнением.

3. Пифагорейское тождество синусов и косинусов следует непосредственно из определения. Поскольку точка B лежит на единичной окружности, ее координаты x и y удовлетворяют уравнению x ² + y ² = 1. Но координаты — это косинус и синус, поэтому делаем вывод sin ² θ + cos ² θ = 1.

   Теперь мы готовы рассмотреть синус и косинус как функции.

4. Синус — нечетная функция, а косинус — четная функция. Возможно, вы не встречали этих прилагательных «нечетный» и «четный» применительно к функциям, но их важно знать. Функция f называется функцией с нечетным числом , если для любого числа x, f (- x ) = — f ( x ). Функция f называется функцией даже , если для любого числа x, f (- x ) = f ( x ).Большинство функций не являются ни нечетными, ни четными, но некоторые из наиболее важных функций являются теми или иными. Любой полином с членами нечетной степени является нечетной функцией, например, f ( x ) = x ⁵ + 8 x ³ — 2 x. (Обратите внимание, что все степени x являются нечетными числами.) Точно так же любой многочлен только с членами четной степени является четной функцией. Например, f ( x ) = x ⁴ — 3 x ² — 5.(Константа 5 равна 5 x ⁰ , а 0 — четное число.)

   Синус — нечетная функция, а косинус — четная

   sin (- θ ) = –sin θ, и

   cos (- θ ) = cos θ.

   Эти факты вытекают из симметрии единичной окружности относительно оси x . Угол — t — тот же угол, что и t , за исключением того, что он находится с другой стороны оси x . Переворачивание точки ( x, y ) на другую сторону оси x превращается в ( x, –y ), поэтому координата y инвертируется, то есть синус инвертируется , но координата x осталась прежней, то есть косинус не изменился.

5. Очевидным свойством синусов и косинусов является то, что их значения лежат в диапазоне от –1 до 1. Каждая точка на единичной окружности находится на расстоянии 1 единицы от начала координат, поэтому координаты любой точки также находятся в пределах 1 от 0.

Графики функций синуса и косинуса

Во-первых, заметим, что он периодичен с периодом 2 π . С геометрической точки зрения это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее 2 π влево или вправо, кривая вернется в исходное положение.Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы оси t . Мало что еще является очевидным, за исключением случаев, когда он увеличивается и уменьшается. Например, sin t увеличивается от 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается с увеличением угла AOB от 0 до π /2.

Теперь давайте посмотрим на график косинуса. Опять же, возьмите горизонтальную ось за ось t , а теперь возьмите вертикальную ось за ось x и изобразите уравнение x = cos t.

Обратите внимание, что он выглядит так же, как график sin t , за исключением того, что он сдвинут влево на π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не сталкивались с этим тождеством, оно легко следует из уже рассмотренных: cos t = cos — t = sin ( π /2 — (- t )) = sin ( π /2 + т ).

Графики тангенса и котангенса

Вы также можете видеть, что тангенс имеет период π ; также есть вертикальные асимптоты через каждые π единиц слева и справа.Алгебраически эта периодичность выражается как tan ( t + π ) = tan t.

График котангенса очень похож.

Это сходство просто потому, что котангенс t является тангенсом дополнительного угла π — t.

Графики функций секанса и косеканса

Как и следовало ожидать, график косеканса очень похож на график секанса.

Свойства обратных тригонометрических функций — Видео и стенограмма урока

Обозначение

Как вы только что видели, запись для этих обратных тригонометрических функций уникальна. Мы используем показатель степени -1, чтобы сообщить нам, что мы имеем дело с обратной триггерной функцией. Мы можем написать наши обратные триггерные функции так:

Это обозначение, которое вы чаще всего встретите в учебниках и в различных задачах триггера. И это, скорее всего, обозначение, которое вы будете использовать при написании своих задач. Но в тригонометрии у нас также есть формальные имена для этих функций. Мы называем функцию обратного синуса функцией арксинуса, функцию обратного косинуса функцией арккосинуса, а функцию арктангенса — функцией арктангенса.Хотя первые обозначения чаще встречаются в задачах, вы встретите эти формальные имена в математических дискуссиях. Итак, хорошо знать и то, и другое. Эти имена легко запомнить, если связать дугу с показателем -1. Все обратные тригонометрические функции начинаются с префикса arc- , за которым следует имя уже известной нам тригонометрической функции.

Ограниченный диапазон

Теперь вернемся к обычным триггерным функциям синуса, косинуса и тангенса. Вы помните их графики?

Красная линия — это график функции синуса , синяя линия — график функции косинуса , а фиолетовая линия — график функции тангенса .Что интересного вы заметили в этих графиках?

Все эти графики периодически повторяются. Функция тангенса повторяет каждые пробелы пи, в то время как функции синуса и косинуса повторяются через каждые 2 пробела. Каждый раз, когда функция повторяется, мы получаем один и тот же выходной ответ. Поскольку эти функции повторяются, мы должны ограничить диапазон или выходные значения наших обратных триггерных функций. В противном случае мы бы каждый раз получали разные ответы.

Ограничивая диапазон нашей обратной функции, мы находим главное или первичное значение нашей обратной функции.Это то, что происходит внутри вашего калькулятора всякий раз, когда вы выполняете функцию обратного триггера. Он дает вам ответ в допустимом диапазоне. Если бы мы не ограничивали наш диапазон, наш калькулятор не знал бы, какой ответ дать вам, поскольку ответы повторяются каждые 2pi для функций синуса и косинуса и pi для функции тангенса. Ниже приведены допустимые ограниченные диапазоны для наших обратных тригонометрических функций:

Эти диапазоны не совсем соответствуют тому, как повторяются наши обычные триггерные функции.На этот раз у нас есть функция обратного косинуса, которая ограничена между 0 и пи. Функция обратного синуса ограничена диапазоном от -pi / 2 до pi / 2, включая эти точки. Функция обратной тангенса имеет такой же ограниченный диапазон, что и обратный синус, за исключением того, что две точки -pi / 2 и pi / 2 не включены.

Что означают эти ограничения? Эти ограничения говорят вам, что ответ, который вы получите на калькуляторе, будет в этих пределах. И если вы рассчитываете вручную, эти пределы говорят вам, что ваш основной ответ также должен находиться в этом диапазоне.-1 (1) = пи / 2 . Это основной ответ, но на самом деле у нас есть ответы через каждые 2 пи. Мы можем включить все наши ответы, написав pi / 2 + 2 * pi * n , где n — количество пробелов, на которые ответ находится вне основного ответа.

Графики

Поскольку наши обратные функции ограничены своим диапазоном, то же самое происходит и с нашей функцией, когда мы строим график. Вместо того, чтобы наши функции продолжались вечно, как наши графики синуса, косинуса и тангенса, наши графики арксинуса, арккосинуса и арктангенса показывают график только в пределах принятого ограниченного диапазона.

На этом графике показана функция арксинуса , как красная линия, арккосинус , функция как синяя линия и арктангенс , функция как фиолетовая линия:

Видите, как мы ограничили график каждой из этих функций? Если бы мы не ограничивали их, эти графики продолжали бы бесконечно повторяться снова и снова, как наши функции синуса, косинуса и тангенса.

Резюме урока

Давайте рассмотрим, что мы узнали. Обратные тригонометрические функции — это функции, обратные нашим тригонометрическим функциям. Наши триггерные функции — это наши обычные функции синуса, косинуса и тангенса. Есть два способа написать наши обратные функции. Мы можем называть их по имени. У нас есть арксинус, обратный синусу, арккосинус — арккосинус, а арктангенс — арктангенс. Мы также можем записать их, используя символ экспоненты -1.

Эта обратная функция позволяет нам найти угол триггерной функции.-1 (1) . Мы оцениваем правую сторону, чтобы найти ответ. Мы можем использовать наш калькулятор, чтобы найти ответ. Если мы это сделаем, мы получим первичный ответ.

Помните, что наши функции синуса и косинуса повторяются через каждые два пробела, а наша касательная функция повторяется через каждые два пробела. Поскольку наши обратные функции ограничены первичным ответом, каждая обратная функция также имеет ограниченный диапазон. Они следующие:

Графики обратных функций также показывают этот ограниченный диапазон. На этом графике функция арксинуса и показана красной линией, арккосинус — синей линией, а арктангенс — фиолетовой линией:

Результаты обучения

По завершении этого урока у вас будет возможность:

• Определить обратные тригонометрические функции и их графики
• Опишите два способа записи этих функций
• Объясните ограниченный диапазон обратных функций

ACT Тригонометрия: полное руководство

Тригонометрия — это раздел математики, который имеет дело с прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)

Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, касающихся тригонометрии (официальные инструкции по тестированию ACT говорят, что проблемы тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.

Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из самых сложных тригонометрических задач ACT.

Что такое тригонометрия и как ее использовать?

Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.

Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.

Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника. 2 = 340 9000 долларов США 3

$ c = √340 $ или $ c = 2√85 $

Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?

Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.

Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $

Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $

Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.

(Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! С точки зрения подготовки к математике ACT, поймите, что тест попросит вас вычислить только достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosine‌x = 4/5 $». Вам никогда не придется находить действительную величину угла из х по АКТ.

Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , о котором мы поговорим чуть позже.> / P>

Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)

Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT

Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.

# 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.

# 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.

Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?

А.10 $ ‌tan‌23 ° $

Б. 10 $ sin‌23 ° $

C. 10 $ cos‌23 ° $

D. $ cos‌ {10/23} $

E. $ sin {10/23}